九年级数学圆的认识华东师大版知识精讲
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二.教学过程
［知识点回顾］
1.圆的基本元素：
（1）圆的位置由圆心确定，圆的大小由半径长度确定，半径相等的两个圆为等圆。
（2）连结圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦是直径，直径是弦，但弦不一定是直径。
（3）圆上任意两点间的部分叫弧，直径两个端点间的弧叫做半圆，大于半圆周的圆弧叫做优弧，小于半圆周的弧叫劣弧
图10
求证：
分析：
而在△OAD和△OEA中，有∠2=∠2
要证相似，只要有∠1=∠E
解此题的关键是证明∠1=∠E，要证∠1=∠E有如下方法。
解法1：连结AQ，因为直径PQ⊥BC，
∴
∴∠BAQ=∠CAQ
∵∠BAQ=∠1+∠3，∠CAQ=∠E+∠OQA
∵OA=OQ，
∴∠3=∠OQA∴∠1=∠E
解法2：
延长AO交⊙O于K，连BK
∵∠CEA=∠CBA
∴∠CBA=∠CAE，
∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∵CP⊥AB，∴∠CBA=∠ACP
∴∠CAE=∠ACP，
∴AD=CD
（2）∵∠ACB=90°，∠CAE=∠ACP，
∴∠DCF=∠CFD
∴
，
∴
设DP=3k，PA=4k
∵∠ACB=90°，CP⊥AB
例9.如图10，已知△ABC内接于⊙O，过圆心O作BC的垂线交⊙O于点P、Q，交AB于点D，QP、CA的延长线交于点E。
分析：本题有两种情况，（1）AB、CD在圆心O的同侧，（2）AB、CD在圆心O的两侧。
解：（1）AB、CD在圆心O的同侧，作OF⊥AB于F，交CD于E（如图2）
图2
∵AB∥CD，∴OE⊥CD
由垂径定理，知
连结OA、OC，OA=OC=25
∴AB与CD之间的距离EF＝15－7＝8cm
（2）AB、CD在圆心O的两侧（如图3）
3.圆周角
（1）顶点在圆上并且两边与圆相交的角叫圆周角。
（2）半圆或直径所对的圆来自百度文库角都相等，都等于90°
（3）同弧或等弧所对的圆周角相等。
（4）在同圆中，一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。
（5）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
（6）90°的圆周角所对的弦是直径。
【典型例题】
例1.如图1，CD是⊙O的直径，∠EOD=87°，AE交⊙O于B，且AB=OC，求：∠A的度数。
图8（1）
证法1：连结AD
∵直径BD，∴∠BAD=90°
∵AF⊥BD，
∴∠BAF+∠FAD=∠FAD+∠D=90°
∴∠BAF=∠D
∵∠D=∠C
∴∠C=∠BAF
∵∠ABC=∠ABC
∴△ABG∽△CBA
∴
证法2：延长AG交⊙O于M[如图8（2）]
图8（2）
∵BD是直径，且BD⊥AM
∴
∴∠BAM=∠C
∵∠ABC=∠ABC
图5
分析：“直径所对的圆周角是直角”是圆中的基本图形，解题时应充分利用。
解：∵AB是直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°
在Rt△ABC中
∵CD平分∠ACB，
，∴AD=BD
在Rt△ADB中，
。
例5.如图6所示，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于P，当点C在上半圆（不包括A、B两点）上移动时，点P（）
图6
A.到CD的距离保持不变
B.位置不变
C.
D.随C点的移动而移动
解：连结OP，因为OC=OP，
所以∠1=∠P
又因为CP平分∠OCD，所以∠1=∠2
所以∠2=∠P，所以CD∥OP
因为CD⊥AB，所以OP⊥AB
而过O点垂直于AB的直线只有一条，所以P点位置不变。
例6.已知，如图7，⊙O中的弦AB=10cm，P是弦AB上一点，且PA=4cm，OP=5cm，求：⊙O的半径。
∴△ABG∽△CBA
例8.如图9所示，已知C为半圆上的一点， ，过点C作直径AB的垂线CP，P为垂足，弦AE分别交PC、CB于点D、F
图9
（1）说明AD=CD
（2）若 求PB的长。
分析：已知条件中有三角函数值时，应将三角函数值转移到直角三角形中，以便用于计算。
解：（1）连结AC，
∵ ，∴∠CEA=∠CAE
图3
AB与CD之间的距离
例3.点A、B、C在半径为2cm的⊙O上，若 ，求：∠A的度数。
分析：此题要分类讨论，考虑A点在BC所对的优弧上或BC所对的劣弧上两种情况。
解：当点A在弦BC所对的优弧上时，如图4（1）。
图4（1）
连结OB、OC，过O作OD⊥BC于D，
则BD
在Rt△ODB中，
∴∠BOD=60°，∴∠BOC=120°
∴∠A=60°
当点A在弦BC所对的劣弧上时，如图4（2）
图4（2）
连结OB、OC，过O作OD⊥BC于D，则
∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=30°
∴∠BOC=120°
故∠A的度数是60°或120°。
例4.如图5，已知⊙O中，直径AB为10cm，弦AC长为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求：BC、AD和BD的长。
图7
解：连结OA，过点O作OM⊥AB于点M
则
∵P在AB上，PA=4cm
cm
在Rt△OMP中，
在Rt△OMA中，
∴OA=7cm，即⊙O半径是7cm。
小结：由垂径定理而产生的直角三角形在计算问题中有广泛的应用。
例7.如图8，△ABC是⊙O的内接三角形，⊙O的直径BD交AC于点E，AF⊥BD于点F，延长AF交BC于点G，证明：
九年级数学圆的认识华东师大版
【同步教育信息】
一.本周教学内容：
第二十三章第一节圆的认识
［知识与技能］
1.了解圆的基本元素，认识圆心角和圆周角。
2.掌握同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系。
3.了解一个圆中垂直于弦的直径的性质。
4.掌握半圆（或直径）与所对的圆周角之间的关系。
5.理解并掌握圆周角的性质，并会运用这些性质进行推理或计算。
图1
解：连结OB
∵AB=OC，OB=AB
∴OB=AB
设∠A度数为x，则∠BOA=x
∴∠OBE=∠BOA+∠A=2x
∵OE=OB
∴∠OEA=∠OBE=2x
∴∠EOD=∠E+∠A=3x=87°
∴x=29°，∴∠A=29°
例2.已知⊙O的直径是50cm，⊙O的两条平行弦AB=40cm，CD=48cm，求：弦AB与CD间的距离。
2.圆的对称性
（1）圆是轴对称图形，任一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆是中心对称图形，对称中心是圆心，特别地，圆具有旋转不变性，即圆无论绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合。
（2）在同圆或等圆的弧、弦与圆心角中，只要有一组量相等，那么另外两组量也分别相等。
（3）垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的弧（垂径定理）
［知识点回顾］
1.圆的基本元素：
（1）圆的位置由圆心确定，圆的大小由半径长度确定，半径相等的两个圆为等圆。
（2）连结圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦是直径，直径是弦，但弦不一定是直径。
（3）圆上任意两点间的部分叫弧，直径两个端点间的弧叫做半圆，大于半圆周的圆弧叫做优弧，小于半圆周的弧叫劣弧
图10
求证：
分析：
而在△OAD和△OEA中，有∠2=∠2
要证相似，只要有∠1=∠E
解此题的关键是证明∠1=∠E，要证∠1=∠E有如下方法。
解法1：连结AQ，因为直径PQ⊥BC，
∴
∴∠BAQ=∠CAQ
∵∠BAQ=∠1+∠3，∠CAQ=∠E+∠OQA
∵OA=OQ，
∴∠3=∠OQA∴∠1=∠E
解法2：
延长AO交⊙O于K，连BK
∵∠CEA=∠CBA
∴∠CBA=∠CAE，
∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∵CP⊥AB，∴∠CBA=∠ACP
∴∠CAE=∠ACP，
∴AD=CD
（2）∵∠ACB=90°，∠CAE=∠ACP，
∴∠DCF=∠CFD
∴
，
∴
设DP=3k，PA=4k
∵∠ACB=90°，CP⊥AB
例9.如图10，已知△ABC内接于⊙O，过圆心O作BC的垂线交⊙O于点P、Q，交AB于点D，QP、CA的延长线交于点E。
分析：本题有两种情况，（1）AB、CD在圆心O的同侧，（2）AB、CD在圆心O的两侧。
解：（1）AB、CD在圆心O的同侧，作OF⊥AB于F，交CD于E（如图2）
图2
∵AB∥CD，∴OE⊥CD
由垂径定理，知
连结OA、OC，OA=OC=25
∴AB与CD之间的距离EF＝15－7＝8cm
（2）AB、CD在圆心O的两侧（如图3）
3.圆周角
（1）顶点在圆上并且两边与圆相交的角叫圆周角。
（2）半圆或直径所对的圆来自百度文库角都相等，都等于90°
（3）同弧或等弧所对的圆周角相等。
（4）在同圆中，一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。
（5）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
（6）90°的圆周角所对的弦是直径。
【典型例题】
例1.如图1，CD是⊙O的直径，∠EOD=87°，AE交⊙O于B，且AB=OC，求：∠A的度数。
图8（1）
证法1：连结AD
∵直径BD，∴∠BAD=90°
∵AF⊥BD，
∴∠BAF+∠FAD=∠FAD+∠D=90°
∴∠BAF=∠D
∵∠D=∠C
∴∠C=∠BAF
∵∠ABC=∠ABC
∴△ABG∽△CBA
∴
证法2：延长AG交⊙O于M[如图8（2）]
图8（2）
∵BD是直径，且BD⊥AM
∴
∴∠BAM=∠C
∵∠ABC=∠ABC
图5
分析：“直径所对的圆周角是直角”是圆中的基本图形，解题时应充分利用。
解：∵AB是直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°
在Rt△ABC中
∵CD平分∠ACB，
，∴AD=BD
在Rt△ADB中，
。
例5.如图6所示，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于P，当点C在上半圆（不包括A、B两点）上移动时，点P（）
图6
A.到CD的距离保持不变
B.位置不变
C.
D.随C点的移动而移动
解：连结OP，因为OC=OP，
所以∠1=∠P
又因为CP平分∠OCD，所以∠1=∠2
所以∠2=∠P，所以CD∥OP
因为CD⊥AB，所以OP⊥AB
而过O点垂直于AB的直线只有一条，所以P点位置不变。
例6.已知，如图7，⊙O中的弦AB=10cm，P是弦AB上一点，且PA=4cm，OP=5cm，求：⊙O的半径。
∴△ABG∽△CBA
例8.如图9所示，已知C为半圆上的一点， ，过点C作直径AB的垂线CP，P为垂足，弦AE分别交PC、CB于点D、F
图9
（1）说明AD=CD
（2）若 求PB的长。
分析：已知条件中有三角函数值时，应将三角函数值转移到直角三角形中，以便用于计算。
解：（1）连结AC，
∵ ，∴∠CEA=∠CAE
图3
AB与CD之间的距离
例3.点A、B、C在半径为2cm的⊙O上，若 ，求：∠A的度数。
分析：此题要分类讨论，考虑A点在BC所对的优弧上或BC所对的劣弧上两种情况。
解：当点A在弦BC所对的优弧上时，如图4（1）。
图4（1）
连结OB、OC，过O作OD⊥BC于D，
则BD
在Rt△ODB中，
∴∠BOD=60°，∴∠BOC=120°
∴∠A=60°
当点A在弦BC所对的劣弧上时，如图4（2）
图4（2）
连结OB、OC，过O作OD⊥BC于D，则
∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=30°
∴∠BOC=120°
故∠A的度数是60°或120°。
例4.如图5，已知⊙O中，直径AB为10cm，弦AC长为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求：BC、AD和BD的长。
图7
解：连结OA，过点O作OM⊥AB于点M
则
∵P在AB上，PA=4cm
cm
在Rt△OMP中，
在Rt△OMA中，
∴OA=7cm，即⊙O半径是7cm。
小结：由垂径定理而产生的直角三角形在计算问题中有广泛的应用。
例7.如图8，△ABC是⊙O的内接三角形，⊙O的直径BD交AC于点E，AF⊥BD于点F，延长AF交BC于点G，证明：
九年级数学圆的认识华东师大版
【同步教育信息】
一.本周教学内容：
第二十三章第一节圆的认识
［知识与技能］
1.了解圆的基本元素，认识圆心角和圆周角。
2.掌握同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系。
3.了解一个圆中垂直于弦的直径的性质。
4.掌握半圆（或直径）与所对的圆周角之间的关系。
5.理解并掌握圆周角的性质，并会运用这些性质进行推理或计算。
图1
解：连结OB
∵AB=OC，OB=AB
∴OB=AB
设∠A度数为x，则∠BOA=x
∴∠OBE=∠BOA+∠A=2x
∵OE=OB
∴∠OEA=∠OBE=2x
∴∠EOD=∠E+∠A=3x=87°
∴x=29°，∴∠A=29°
例2.已知⊙O的直径是50cm，⊙O的两条平行弦AB=40cm，CD=48cm，求：弦AB与CD间的距离。
2.圆的对称性
（1）圆是轴对称图形，任一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆是中心对称图形，对称中心是圆心，特别地，圆具有旋转不变性，即圆无论绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合。
（2）在同圆或等圆的弧、弦与圆心角中，只要有一组量相等，那么另外两组量也分别相等。
（3）垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的弧（垂径定理）