常微分方程练习题及答案
常微分方程计算题及答案

计 算 题(每题10分)1、求解微分方程2'22x y xy xe -+=。
2、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy+=通过点(0,0)的第三次近似解. 3、求解方程'2x y y y e -''+-=的通解4、求方程组dx dt ydydtx y ==+⎧⎨⎪⎩⎪2的通解5、求解微分方程'24y xy x +=6、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过点(1,0)的第二次近似解。
7、求解方程''+-=-y y y e x '22的通解8、求方程组dxdt x ydydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪234的通解9、求解微分方程xy y x '-2=24 10、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过(0,0)的第三次近似解. 11、求解方程''+-=-y y y e x '24的通解12、求方程组dxdtx y dydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪2332的通解13、求解微分方程x y y e x (')-=14、试用逐次逼近法求方程22x y dxdy+=通过点(0,0)的第三次逼近解. 15、求解方程''+-=--y y y e x '22的通解16、求解方程x e y y y -=-+''32 的通解17、求方程组⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=yx dt dydtdx x y dt dy dt dx243452的通解 18、解微分方程22(1)(1)0x y dx y x dy -+-= 19、试用逐次逼近法求方程2dyx y dx=-满足初始条件(0)0y =的近似解:0123(),(),(),()x x x x ϕϕϕϕ.20、利用逐次逼近法,求方程22dyy x dx=-适合初值条件(0)1y =的近似解:012(),(),()x x x ϕϕϕ。
(完整版)常微分方程试题及答案

第十二章常微分方程(A)、是非题1.任意微分方程都有通解。
(X )2.微分方程的通解中包含了它所有的解。
15•微分方程xy |nx 0的通解是y 2In① y 3 In xdx xdy 0是可分离变量微分方程。
② xy 2x dx y x 2y dy 0是可分离变量微分方程。
③ x? y 4是齐次方程。
y 2y 0是二阶常系数齐次线性微分方程。
6. ysiny 是一阶线性微分方程。
(X)7. y 3 3x yxy 不是一阶线性微分方程。
(O )8. y 2y 5y 0的特征方程为r 22r 5 0。
(9. dy 1 xy 2 xy 2是可分离变量的微分方程。
dx、填空题1.在横线上填上方程的名称o )(O )2. sin xy x cosx 的通解中应含 _3个独立常数。
3. 1 e 2x 的通解是-e 2x C 1x C 2。
42x4.1 sin2x cosx 的通解是 -sin2x cosx C 1x C 2。
45. xy 2x 2yx 41是二 ______ 阶微分方程。
3.函数y 3sinx 4cosx 是微分方程y y 0的解。
(0 )4.函数y x 2 e x 是微分方程y 2y y0的解。
(X )C (C 为任意常数)。
(0 )④xyy x 2 sinx 是一阶线性微分方程。
6 .微分方程y y阶微分方程。
1A. 3 B7. y y 满足y L 0 2的特解是(B ) oxA. y e x 1 B . y 2e x C . y 2 e 2&微分方程y y sinx 的一个特解具有形式 A . y a sinx24 .微分方程y 3y 3的一个特解是(cosxC 1e xC 2e x 是方程y y 0的(A ),其中C 1,C 2为任意常数。
A.通解B .特解C .是方程所有的解 D .上述都不对7. 8.丄所满足的微分方程是yx空的通解为y xCx 2。
9.dx dy 0的通解为 x10.dy dx 2yx 15x 1 2,其对应的齐次方程的通解为11. 方程xy 1 0的通解为y 12. 3阶微分方程x 3 * 5的通解为yx 2Cxe 2 o x C 1 x C 2 x C 3 o120三、选择题1 .微分方程 xyy 3y 4y 0的阶数是(D ) oA. 3 B 2 .微分方程x 51的通解中应含的独立常数的个数为3.下列函数中,哪个是微分方程dy 2xdx 0的解(A . y 2xB . y x 2C .2x Dy a cosxy xy 3y 2 011 .在下列函数中,能够是微分方程 y y 0的解的函数是(C )y 1 B . y x C . y sinx D . y.Cx17.微分方程0的解为(B )C . y x asin x bcosxy acosx bsinx9.下列微分方程中,是二阶常系数齐次线性微分方程。
常微分方程试题及答案

常微分方程试题及答案一、单项选择题(每题5分,共20分)1. 下列哪一项不是常微分方程的特点?A. 未知函数是连续的B. 未知函数是可微的C. 未知函数的导数是未知的D. 方程中包含未知函数的导数答案:A2. 常微分方程的解是指满足方程的函数,下列哪一项不是解的性质?A. 唯一性B. 存在性C. 可微性D. 可积性答案:D3. 一阶线性微分方程的一般形式是:A. \( y' + p(x)y = q(x) \)B. \( y' = p(x)y + q(x) \)C. \( y' - p(x)y = q(x) \)D. \( y' + p(x)y = q(x) \) 或 \( y' - p(x)y = q(x) \)答案:A4. 已知微分方程 \( y'' - y = 0 \) 的一个特解是 \( y = e^x \),那么它的通解是:A. \( y = C_1e^x + C_2e^{-x} \)B. \( y = C_1e^x + C_2 \)C. \( y = C_1e^x + C_2e^x \)D. \( y = C_1 + C_2e^{-x} \)答案:A二、填空题(每题5分,共20分)1. 微分方程 \( y'' + y' + y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1e^{-x}+ C_2e^{-\frac{1}{2}x} \),其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
2. 微分方程 \( y'' - 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \),其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
3. 微分方程 \( y'' + 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \),其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
(完整版)常微分方程习题及解答

常微分方程习题及解答一、问答题:1.常微分方程和偏微分方程有什么区别?微分方程的通解是什么含义?答:微分方程就是联系着自变量,未知函数及其导数的关系式。
常微分方程,自变量的个数只有一个。
偏微分方程,自变量的个数为两个或两个以上。
常微分方程解的表达式中,可能包含一个或几个任意常数,若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同,这样的解为该微分方程的通解。
2.举例阐述常数变易法的基本思想。
答:常数变易法用来求线性非齐次方程的通解,是将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解。
例:求()()dyP x y Q x dx=+的通解。
首先利用变量分离法可求得其对应的线性齐次方程的通解为()P x dxy c ⎰=l ,然后将常数c 变易为x 的待定函数()c x ,令()()P x dxy c x ⎰=l ,微分之,得到()()()()()P x dxP x dx dy dc x c x P x dx dx⎰⎰=+l l ,将上述两式代入方程中,得到 ()()()()()()()()()P x dxP x dx P x dxdc x c x P x dx c x P x Q x ⎰⎰+⎰=+l l l即()()()P x dx dc x Q x dx-⎰=l 积分后得到()()()P x dxc x Q x dx c -⎰=+⎰%l 进而得到方程的通解()()(())P x dxP x dxy Q x dx c -⎰⎰=+⎰%l l3.高阶线性微分方程和线性方程组之间的联系如何?答:n 阶线性微分方程的初值问题()(1)11(1)01020()...()()()(),(),....()n n n n n nx a t xa t x a t x f t x t x t x t ηηη---'⎧++++=⎪⎨'===⎪⎩ 其中12()(),...(),()n a t a t a t f t ,是区间a tb ≤≤上的已知连续函数,[]0,t a b ∈,12,,...,n ηηη是已知常数。
常微分方程答案

《常微分方程》测试题 1 答案一、填空题(每空5分)12、 z=34、5、二、计算题(每题10分)1、这是n=2时的伯努利不等式,令z=,算得代入原方程得到,这是线性方程,求得它的通解为z=带回原来的变量y,得到=或者,这就是原方程的解。
此外方程还有解y=0.2、解:积分:故通解为:3、解:齐线性方程的特征方程为,,故通解为不是特征根,所以方程有形如把代回原方程于是原方程通解为4、解三、证明题(每题15分)1、证明:令的第一列为(t)= ,这时(t)==(t)故(t)是一个解。
同样如果以(t)表示第二列,我们有(t)== (t)这样(t)也是一个解。
因此是解矩阵。
又因为det=-t故是基解矩阵。
2、证明:(1),(t- t)是基解矩阵。
(2)由于为方程x=Ax的解矩阵,所以(t)也是x=Ax的解矩阵,而当t= t时,(t)(t)=E, (t- t)=(0)=E. 故由解的存在唯一性定理,得(t)=(t- t)《常微分方程》测试题2 答案一、填空题:(每小题3分,10×3=30分)1. 2. 3 3.4. 充分条件5. 平面6. 无7. 1 8. 9.10. 解组线性无关二. 求下列微分方程的通解:(每小题8分,8×5=40分)1、解:将方程变形为………(2分)令,于是得……(2分)时,,积分得从而…(2分)另外,即也是原方程的解………(2分)2、解:由于……………………(3分)方程为恰当方程,分项组合可得…………(2分)故原方程的通解为……(3分)3、解:齐线性方程的特征方程为特征根…(2分)对于方程,因为不是特征根,故有特解…(3分)代入非齐次方程,可得.所以原方程的解为…(3分)4、解:线性方程的特征方程,故特征根…………………(2分)对于,因为是一重特征根,故有特解,代入,可得……(2分)对于,因为不是特征根,故有特解,代入原方程,可得…(2分)所以原方程的解为…(2分)5、解:当时,方程两边乘以,则方程变为…(2分),即于是有,即……(3分)故原方程的通解为另外也是原方程的解. …(3分)三、解:, ,解的存在区间为…(3分)即令……(4分)又误差估计为:(3分)四、解:方程组的特征方程为特征根为,(2分)对应的特征向量应满足可解得类似对应的特征向量分量为…(3分)原方程组的的基解矩阵为…………………(2分)………(3分)五、证明题:(10分)证明:设,是方程的两个解,则它们在上有定义,其朗斯基行列式为…………………(3分)由已知条件,得…………………(2分)故这两个解是线性相关的.由线性相关定义,存在不全为零的常数,使得,由于,可知.否则,若,则有,而,则,这与,线性相关矛盾.(3分)故(2分)《常微分方程》测试题3答案1.辨别题(1)一阶,非线性(2)一阶,非线性(3)四阶,线性(4)三阶,非线性(5)二阶,非线性(6)一阶,非线性2.填空题(1).(2).(3).(4).3.单选题(1).B (2).C (3).A (4).B (5). A (6). B 7. A 4. 计算题(1).解当时,分离变量得等式两端积分得即通解为(2).解齐次方程的通解为令非齐次方程的特解为代入原方程,确定出原方程的通解为+(3).解由于,所以原方程是全微分方程.取,原方程的通积分为即(4). 令,则,代入原方程,得,当时,分离变量,再积分,得,即:5. 计算题令,则原方程的参数形式为由基本关系式,有积分得得原方程参数形式通解为5.计算题解方程的特征根为,齐次方程的通解为因为不是特征根。
常微分方程习题及答案

第十二章常微分方程(A)一、就是非题1.任意微分方程都有通解。
()2.微分方程的通解中包含了它所有的解。
()3.函数y=3sin x-4cos x就是微分方程y''+y=0的解。
()4.函数y=x2⋅e x就是微分方程y''-2y'+y=0的解。
()5.微分方程xy'-ln x=0的通解就是y=12(ln x)2+C(C为任意常数)。
(6.y'=sin y就是一阶线性微分方程。
()7.y'=x3y3+xy不就是一阶线性微分方程。
()8.y''-2y'+5y=0的特征方程为r2-2r+5=0。
()9.dydx=1+x+y2+xy2就是可分离变量的微分方程。
()二、填空题1.在横线上填上方程的名称①(y-3)⋅ln xdx-xdy=0就是。
②(xy2+x)dx+(y-x2y)dy=0就是。
③x dydx=y⋅lnyx就是。
④xy'=y+x2sin x就是。
⑤y''+y'-2y=0就是。
2.y'''+sin xy'-x=cos x的通解中应含个独立常数。
3.y''=e-2x的通解就是。
4.y''=sin2x-cos x的通解就是。
5.xy'''+2x2y'2+x3y=x4+1就是阶微分方程。
6.微分方程y⋅y''-(y')6=0就是阶微分方程。
7.y=1x所满足的微分方程就是。
)8.y '=9.2y的通解为。
x dx dy +=0的通解为。
y x5dy 2y 10.-=(x +1)2,其对应的齐次方程的通解为。
dx x +111.方程xy '-(1+x 2)y =0的通解为。
12.3阶微分方程y '''=x 3的通解为。
三、选择题1.微分方程xyy ''+x (y ')-y 4y '=0的阶数就是( )。
常微分方程习题与答案

第十二章常微分方程(A)、是非题1.任意微分方程都有通解。
()2 •微分方程的通解中包含了它所有的解。
()3. 函数y =3si nx-4cosx是微分方程y,y=0的解。
()4. 函数y = x2・e x是微分方程y';"-2y ' y = 0的解。
()5. 微分方程xy"T nx=0的通解是y =丄(1 nx)2+C (C为任意常数)。
()26. y"=siny是一阶线性微分方程。
()7. / = x3y3 xy不是一阶线性微分方程。
()8 . /-2/ 5^0的特征方程为『-2—5=0。
()9. dy = 1 x y2 xy2是可分离变量的微分方程。
()dx、填空题1 .在横线上填上方程的名称①y _ 3 ln xdx _ xdy 二0 是__________________________ 。
②xy2 x dx y _ x2 y dy = 0 是__________________________ 。
③x-d^ = y l n 丫是。
dx x④xy := y x2 sin x 是__________________ 。
⑤y y -2y =0是________________________ 。
2 . y si nxy"-x=cosx的通解中应含____________ 个独立常数。
3. _____________________________________ y “ = e Qx的通解是。
4. ______________________________________ y = sin 2x - cos x 的通解是。
5. _______________________________ x^ 2x2y 2,x3y=x4,1是阶微分方程。
6•微分方程y y - y Q =0是________________ 阶微分方程。
i7. y-丄所满足的微分方程是。
(完整版)常微分方程基本概念习题及解答

§1.2 常微分方程基本概念习题及解答1.dxdy =2xy,并满足初始条件:x=0,y=1的特解。
解:ydy =2xdx 两边积分有:ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解,c=0时,y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件:x=0,y=1的特解。
解:y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e特解:y=|)1(|ln 1+x c 3.dx dy =yx xy y 321++ 解:原方程为:dxdy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分:x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0解:原方程为: y y -1dy=-xx 1+dx 两边积分:ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5.(y+x )dy+(x-y)dx=0解:原方程为:dx dy =-yx y x +- 令xy =u 则dx dy =u+x dx du 代入有: -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg2x y . 6. x dxdy -y+22y x -=0 解:原方程为:dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令x y =u dx dy =u+ x dx du 211u - du=sgnx x1dx arcsin xy =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0解:原方程为:tgy dy =ctgxdx 两边积分:ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xc cos 另外y=0也是原方程的解,而c=0时,y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +ye xy 32+=0 解:原方程为:dx dy =y e y 2e x 32 e x 3-3e 2y -=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0解:原方程为:dx dy =x y ln xy 令xy =u ,则dx dy =u+ x dx du u+ x dxdu =ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnx y =cy. 10. dxdy =e y x - 解:原方程为:dx dy =e x e y - e y =ce x 11 dxdy =(x+y)2 解:令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dxdu -1=u 2 211u +du=dx arctgu=x+carctg(x+y)=x+c 12. dx dy =2)(1y x + 解:令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dx du -1=21uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c. 13. dx dy =1212+-+-y x y x解: 原方程为:(x-2y+1)dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c 14: dx dy =25--+-y x y x 解:原方程为:(x-y-2)dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c. 15:dxdy =(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解:原方程为:dxdy =(x+4y )2+3 令x+4y=u 则dx dy =41dx du -41 41dx du -41=u 2+3 dxdu =4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1). 16:证明方程y x dxdy =f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程,并由此求下列方程: 1)y(1+x 2y 2)dx=xdy2)y x dx dy =2222x -2 y x 2y+ 证明: 令xy=u,则xdx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u ,有: u x dx du =f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx 所以原方程可化为变量分离方程。
《常微分方程》练习题库参考答案

华中师范大学网络教育学院 《常微分方程》练习测试题库参考答案一、判断说明题1、在线性齐次方程通解公式中C 是任意常数而在常数变易法中C (x )是x 的可微函数。
将任意常数C 变成可微函数C (x ),期望它解决线性非齐次方程求解问题,这一方法成功了,称为常数变易法。
2、因p(x)连续,y(x)= y 0exp(-dx x⎰0x p(x))在p(x)连续的区间有意义,而exp(-dx x⎰x p(x))>0。
如果y 0=0,推出y(x)=0,如果y(x)≠0,故零解y(x)=0唯一。
3、(1) 它是常微分方程,因为含有未知函数的导数,f,g 为已知函数,y 为一元函数,所建立的等式是已知关系式。
(2) 它是常微分方程,理由同上。
(3) 它不是常 微分方程,因y 是未知函数,y(y(y(x)))也是未知的,所建立的等式不是已知关系式。
4、微分方程求解时,都与一定的积分运算相联系。
因此,把求解一个微分方程的过程称为一个微分方程。
微分方程的解又称为(一个)积分。
5、 把微分方程的通解用初等函数或通过它们的积分来表达的方法。
注意如果通解能归结为初等函数的积分表达,但这个积分如果不能用初等函数表示出来,我们也认为求解了这个微分方程,因为这个式子里没有未知函数的导数或微分。
6、 y `=f(x,y)主要特征是f(x,y)能分解为两个因式的乘积,其中一个因式仅含有x,另一因式仅含y ,而方程p(x,y)dx+q(x,y)dy=0是可分离变量方程的主要特征,就像f(x,y)一样,p,q 分别都能分解成两个因式和乘积。
7、二元函数f(x,y)满足f(rx,ry)=r mf(x,y),r.>0,则称f(x,y)为m 次齐次函数。
m=0则称它为0次齐次函数。
8、如果f(x,y)是0次齐次函数,则y `=f(x,y)称为齐次方程。
如果p(x,y)和q(x,y)同为m 次齐次函数,则pdx+qdy=0为齐次方程。
第七章常微分方程练习题(含答案)

第7章 常微分方程一、单项选择题1.微分方程3245(''')3('')(')0y y y x -++=阶数是( b )A.4阶 B .3阶 C .2阶 D .1阶2.微分方程222y x dxdy x +=是( b ) A.一阶可分离变量方程 B.一阶齐次方程 C.一阶非齐次线性方程 D.一阶齐次线性方程3.下列方程中,是一阶线性微分方程的是( c )A.0'2)'(2=+-x yy y xB.0'2=-+x yy xyC.0'2=+y x xyD.0)()67(=++-dy y x dx y x4.方程x y xy =-'满足初始条件11==x y 的特解是( a )A.x x x y +=lnB.Cx x x y +=lnC.x x x y +=ln 2D.Cx x x y +=ln 25.微分方程y y x 2='的通解为( c )A .2x y =B . c x y +=2C . 2cx y =D .0=y6.微分方程y y x ='满足1)1(=y 的特解为 ( a )A.x y =B. c x y +=C.cx y =D.0=y8.微分方程05))(sin(2''=+-+x y y xy y 是( a )A 一阶微分方程B 二阶微分方程C 可分离变量的微分方程D 一阶线性微分方程9.微分方程2y xy '=的通解为( c )A .2x y e C =+B . x y Ce =C . 2x y Ce =D .22x y Ce =二、填空题1.微分方程34()"30y y y y '++=的阶数为__2____;2.微分方程0=+y dxdy 的通解是x y ce -=; 3.微分方程02=+'xy y 的通解是2x y ce -=;4.微分方程x y y e +'=的通解是()10,0x ye C e C ++=<; 5. 一阶线性微分方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()()P x dx P x dx P x dx y Ce e Q x e dx --⎰⎰⎰=+⎰; 6. n 阶微分方程的通解含有__n __个独立的任意常数。
常微分方程计算题及答案

计 算 题(每题10分)1、求解微分方程2'22x y xy xe -+=。
2、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy+=通过点(0,0)的第三次近似解. 3、求解方程'2x y y y e -''+-=的通解4、求方程组dx dt ydydtx y ==+⎧⎨⎪⎩⎪2的通解5、求解微分方程'24y xy x +=6、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过点(1,0)的第二次近似解。
7、求解方程''+-=-y y y e x '22的通解8、求方程组dxdt x ydydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪234的通解9、求解微分方程xy y x '-2=24 10、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过(0,0)的第三次近似解. 11、求解方程''+-=-y y y e x '24的通解12、求方程组dxdt x y dydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪2332的通解 13、求解微分方程x y y e x (')-=14、试用逐次逼近法求方程22x y dxdy+=通过点(0,0)的第三次逼近解. 15、求解方程''+-=--y y y e x '22的通解16、求解方程x e y y y -=-+''32 的通解17、求方程组⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=yx dt dydtdx x y dt dy dt dx243452的通解 18、解微分方程22(1)(1)0x y dx y x dy -+-= 19、试用逐次逼近法求方程2dyx y dx=-满足初始条件(0)0y =的近似解:0123(),(),(),()x x x x ϕϕϕϕ.20、利用逐次逼近法,求方程22dyy x dx=-适合初值条件(0)1y =的近似解:012(),(),()x x x ϕϕϕ。
(整理)常微分方程试题及参考答案

(整理)常微分方程试题及参考答案常微分方程试题一、填空题(每小题3分,共39分)1.常微分方程中的自变量个数是________.2.路程函数S(t)的加速度是常数a,则此路程函数S(t)的一般形式是________.3.微分方程=g( )中g(u)为u的连续函数,作变量变换________,方程可化为变量分离方程.4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式为x= (t),P=ψ(t),t为参数,则方程参数形式的通解为________.5.方程=(x+1)3的通解为________.6.如果函数f(x,y)连续,y= (x)是方程=f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上,满足初始条件(x0)=y0的解.则y= (x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h 上的连续解.7.方程=x2+xy,满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________.8.方程+a1(t) +…+a n-1(t) +a n(t)x=0中a i(t) i=1,2,…,n是〔a,b〕上的连续函数,又x1(t),x2(t),…,x n(t)为方程n 个线性无关的解,则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是:________.9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________.10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵,x1(t),x2(t),…,x n(t)是方程组x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为:x(t)=________的形式.11.初值问题(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3 可化为与之等价的一阶方程组________.12.如果A是3×3的常数矩阵,-2为A的三重特征值,则方程组x′=Ax的基解矩阵exp A t=________.13.方程组的奇点类型是________.二、计算题(共45分)1.(6分)解方程= .2.(6分)解方程x″(t)+ =0.3.(6分)解方程(y-1-xy)dx+xdy=0.4.(6分)解方程5.(7分)求方程:S″(t)-S(t)=t+1满足S(0)=1, (0)=2的解.6.(7分)求方程组的基解矩阵Φ(t).7.(7分)验证方程:有奇点x1=1, x2=0,并讨论相应驻定方程的解的稳定性.三、证明题(每小题8分,共16分)1.设f(x,y)及连续,试证方程dy-f(x,y)dx=0为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x的积分因子.2.函数f(x)定义于-∞<x<+∞,且满足条件|f(x1)-f(x2)|≤n|x1-x2|,其中0<n<1,证明< p="">方程x=f(x)存在唯一的一个解.常微分方程试题参考答案一、填空题(每小题3分,共39分)1.12. 2+c1t+c23.u=4. c为任意常数5.y= (x+1)4+c(x+1)26.y=y0+7. (x)=8.对任意t9.x(t)=c1e t+c2te t+c3e-t+c4te-t10.x(t)=c1x1(t)+c2x2(t) +c n x n(t)11. x1(1)=1,x2(1)=2, x3(1)=312.expAt=e-2t[E+t(A+2E)+ ]13.焦点二、计算题(共45分)1.解:将方程分离变量为改写为等式两边积分得y-ln|1+y|=ln|x|-即y=ln 或e y=2.解:令则得=0当0时-arc cosy=t+c1y=cos(t+c1) 即则x=sin(t+c1)+c2当=0时y= 即x3.解:这里M=y-1-xy, N=x令u=xye-xu关于x求偏导数得与Me-x=ye-x-e-x-xye-x 相比有则因此u=xye-x+e-x方程的解为xye-x+e-x=c4.解:方程改写为这是伯努利方程,令z=y1-2=y-1 代入方程得解方程z==于是有或5.特征方程为特征根为对应齐线性方程的通解为s(t)=c1e t+c2e-t f(t)=t+1, 不是特征方程的根从而方程有特解=(At+B),代入方程得-(At+B)=t+1两边比较同次幂系数得A=B=-1故通解为S(t)=c1e t+c2e-t-(t+1)据初始条件得c1=因此所求解为:S(t)=6.解:系数矩阵A=则,而det特征方程det( )=0, 有特征根对对对因此基解矩阵7.解:因故x1=1,x2=0是方程组奇点令X1=x1-1, X2=x2, 即x1=X1+1,x2=X2代入原方程,得化简得*这里R(X)= , 显然(当时)方程组*中,线性部分矩阵det(A- )=由det(A- )=0 得可见相应驻定解渐近稳定三、证明题(每小题8分,共16分)1.证明:若dy-f(x,y)dx=0为线性方程则f(x,y)=因此仅有依赖于x的积分因子反之,若仅有依赖于x的积分因子。
常微分方程_习题集(含答案)

《常微分方程》课程习题集一、单选题1. 设函数(,),(,)M x y N x y 连续可微, 则方程(,)(,)0M x y dx N x y dy += 是全微分方程的充分必要条件是 . (A) M N y x ∂∂=∂∂, (B) ,M N x y ∂∂=∂∂ (C) ,M N y x ∂∂≠∂∂ (D) .M N x y ∂∂≠∂∂2. 下面的方程是全微分方程的是 . (A) 0ydx xdy x y-=+, (B) 220y dx x dy +=, (C) 220xy dx x ydy -=, (D)220ydx xdy x y -=-. 3. 设一阶方程2()()(),(()()0)dy p x y q x y r x p x r x dx=++≠,则它是 。
(A )线性非齐次方程; (B )伯努利方程;(C )黎卡堤方程; (D) 克莱洛方程。
4. 设一阶方程()(),(0,1)n dy p x y q x y n dx=+≠,则它是 。
(A )线性非齐次方程; (B )伯努利方程;(C )黎卡堤方程; (D) 克莱洛方程。
5. 形如'(')y xy y ϕ=+的一阶隐式方程称为 。
(A )线性非齐次方程; (B )伯努利方程;(C )黎卡堤方程; (D) 克莱洛方程。
6. 二阶微分方程2100x x x '''++=的通解是 。
(A )12[cos3sin 3]t x e C t C t -=+,(B )312[cos sin ]t x e C t C t -=+,(C )12[cos sin ]t x e C t C t -=+,(D) 312[cos3sin 3]t x e C t C t -=+.7. 二阶微分方程250x x x '''++=的通解是 。
(A )12[cos sin ]t x e C t C t -=+,(B )212[cos sin ]t x e C t C t -=+,(C )12[cos 2sin 2]t x e C t C t -=+,(D) 212[cos 2sin 2]t x e C t C t -=+.8. 二阶微分方程440x x x '''-+=的通解是 。
常微分方程习题及答案

第十二章常微分方程(A)7. y=-所满足的微分方程是x、是非题 1•任意微分方程都有通解。
() 2.微分方程的通解中包含了它所有的解。
() 3.函数y =3sinx —4cosx 是微分方程y" + y=0的解。
( ) 4.函数y=x 2 ■e x 是微分方程y"-2y ,+y=0的解。
()1 25.微分方程xy'-1 n X = 0的通解是j In x ) +C (C 为任意常数)。
() 6.y' 7. y'8. y 9. dydx 、填空题=sin y 是一阶线性微分方程。
() = x 3y 3+xy 不是一阶线性微分方程。
() -2/ +5y=0 的特征方程为 r 2-2 r + 5=0。
(= 1+x + y 2 +xy 2是可分离变量的微分方程。
() 1.在横线上填上方程的名称 ①(y -3 H n xdx-xdy =0 是 ②(xy 2 +x dx + (y - X 2y dy = 0是 2. 3.4. 5. ③x —.ln y 是 dx x ④ xy’ = y +x 2sinx 是y ^+sin xy’—x =cosx 的通解中应含y =sin2x -cosx 的通解是 xy'" + 2x 2y"2 +x 3y = x 4 +1是6.微分方程yry"-(y '6 =0是个独立常数。
阶微分方程。
阶微分方程。
12. 3阶微分方程yJx 3的通解为三、选择题1 .微分方程xyy "+x (y ,3-y 4y = 0的阶数是() A. 3 B . 4 C . 5 D . 22 .微分方程 厂-x 2y"-x 5=1的通解中应含的独立常数的个数为()。
A. 3 B . 5 C . 4 DA . y = 2xB . y = X 2C .24 .微分方程y'=3y 3的一个特解是()。
常微分方程练习题及答案

一、 填空题。
1. 方程23210d xx dt +=是 阶 (线性、非线性)微分方程. 2. 方程()x dyf xy y dx=经变换_______,可以化为变量分离方程 .3. 微分方程3230d yy x dx--=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x xy x e e xe =++,则此方程的系数α= ,β= ,γ= .5. 朗斯基行列式()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t L 在a x b ≤≤上线性相关的条件.6. 方程22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 .7. 已知()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的,则()A t = .8. 方程组20'05⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x x 的基解矩阵为 .9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程.10 .是满足方程251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解.11.方程 的待定特解可取 的形式:12. 三阶常系数齐线性方程20y y y '''''-+=的特征根是二、 计算题1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直.2.求解方程13dy x y dx x y +-=-+.3. 求解方程222()0d x dxx dt dt+= 。
4.用比较系数法解方程. .5.求方程 sin y y x'=+的通解.6.验证微分方程22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程,并求出它的通解.7.设3124A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ , ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11η ,试求方程组X A dt dX =的一个基解基解矩阵)(t Φ,求X A dtdX=满足初始条件η=)0(x 的解.8. 求方程2213dyx y dx=-- 通过点(1,0) 的第二次近似解.9.求 的通解10.若 试求方程组的解(),t ϕ 12(0),ηϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt三、证明题1. 若(),()t t Φψ是()X A t X '=的基解矩阵,求证:存在一个非奇异的常数矩阵C ,使得()()t t C ψ=Φ.2. 设),()(0βαϕ≤≤x x x 是积分方程],[,,])([)(0200βαξξξξ∈++=⎰x x d y y x y xx的皮卡逐步逼近函数序列)}({x n ϕ在],[βα上一致收敛所得的解,而)(x ψ是这积分方程在],[βα上的连续解,试用逐步逼近法证明:在],[βα上)()(x x ϕψ≡.3. 设 都是区间 上的连续函数, 且 是二阶线性方程的一个基本解组. 试证明:(i) 和 都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零);(ii) 和 没有共同的零点;(iii) 和 没有共同的零点.4.试证:如果)(t ϕ是AX dtdX=满足初始条件ηϕ=)(0t 的解,那么ηϕ)(ex p )(0t t A t -=.答案一.填空题。
常微分方程练习题及答案

常微分方程练习试卷一、23210d x x dt += ()x dy f xy y dx=_______ 3230d y y x dx--=(0)1,(0)2y y '== x y y y e αβγ'''++=*2()x x x y x e e xe =++α=β=γ=()0W t ≡12(),(),,()n x t x t x t L a x b ≤≤22(2320)0xydx x y dy ++-=y()X A t X '=()t Φ()A t =20'05⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x x251y y y y ''''''+++=20y y y '''''-+=二、13dy x y dx x y +-=-+ 222()0d x dx x dt dt+=sin y y x '=+22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=3124A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11ηX A dt dX =)(t ΦX A dt dX =η=)0(x2213dyx y dx =--(1,0)(),t ϕ12(0),ηϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦expAt(),()t t Φψ()X A t X '=C ()()t t C ψ=Φ),()(0βαϕ≤≤x x x],[,,])([)(0200βαξξξξ∈++=⎰x x d y y x y xx )}({x n ϕ],[βα)(x ψ],[βα],[βα)()(x x ϕψ≡)(t ϕAX dt dX=ηϕ=)(0t ηϕ)(ex p )(0t t A t -=u xy =11(()1)du dx u f u x =+3,2,1αβγ=-==-3y 1()()t t -'ΦΦ25 00tAt t e e e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦13dy x y dx x y +-=-+ 10,30x y x y +-=⎧⎨-+=⎩1,2x y =-=1,2,x y ξη=-⎧⎨=+⎩ .d d ηξηξξη+=-z ηξ=2(1)1z dz d z ξξ-=+21arctan ln(1)ln ||2z z C ξ-+=+2arctanln 1y C x -=+ 222()0d x dx x dt dt+= ,直接计算可得,于是原方程化为 ,故有或,积分后得,即,所以 就是原方程的通解,这里为任意常数。
常微分方程练习试卷及答案

常微分方程练习试卷及答案常微分方程练试卷一、填空题。
1.方程d2x/dt2+1=是二阶非线性微分方程。
2.方程xdy/ydx=f(xy)经变换ln|x|=g(xy)可以化为变量分离方程。
3.微分方程d3y/dx3-y2-x=0满足条件y(0)=1,y'(0)=2的解有一个。
4.设常系数方程y''+αy'+βy=γex的一个特解y(x)=e-x+e2x,则此方程的系数α=-1,β=2,γ=1.5.朗斯基行列式W(t)≠0是函数组x1(t),x2(t)。
xn(t)在[a,b]上线性无关的条件。
6.方程xydx+(2x2+3y2-20)dy=0的只与y有关的积分因子为1/y3.7.已知X'=A(t)X的基解矩阵为Φ(t),则A(t)=Φ(t)-1dΦ(t)/dt。
8.方程组x'=[2,5;1,0]x的基解矩阵为[2e^(5t),-5e^(5t);e^(5t),1]。
9.可用变换将伯努利方程y'+p(x)y=q(x)化为线性方程。
10.方程y''-y'+2y=2e^x的通解为y(x)=C1e^x+C2e^2x+e^x。
11.方程y'''+2y''+5y'+y=1和初始条件y(0)=y'(0)=y''(0)=0的唯一解为y(x)=e^-x/2[sin(5^(1/2)x/2)-cos(5^(1/2)x/2)]。
12.三阶常系数齐线性方程y'''-2y''+y=0的特征根是1,1,-1.二、计算题1.设曲线方程为y(x)=kx/(1-k^2),则曲线上任一点处的斜率为y'(x)=k/(1-k^2),切点为(0,0),切线方程为y=kx,点(1,0)的连线斜率为-1/k,因此k=-1,曲线方程为y=-x/(1+x)。
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常微分方程练习试卷一、填空题。
1、 方程23210d xx dt +=就是 阶 (线性、非线性)微分方程、 2、 方程()x dyf xy y dx=经变换_______,可以化为变量分离方程 、3、 微分方程3230d yy x dx--=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个、 4、 设常系数方程x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x xy x e e xe =++,则此方程的系数α= ,β= ,γ= 、5、 朗斯基行列式()0W t ≡就是函数组12(),(),,()n x t x t x t L 在a x b ≤≤上线性相关的条件、6、 方程22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 、7、 已知()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的,则()A t = 、8、 方程组20'05⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x x 的基解矩阵为 .9、可用变换 将伯努利方程 化为线性方程、10 、就是满足方程251y y y y ''''''+++= 与初始条件 的唯一解、11、方程的待定特解可取 的形式:12、 三阶常系数齐线性方程20y y y '''''-+=的特征根就是二、 计算题1、求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点与点(1,0)的连线相互垂直、2.求解方程13dy x y dx x y +-=-+、3、 求解方程222()0d x dxx dt dt+= 。
4.用比较系数法解方程、 、5.求方程sin y y x'=+的通解、6.验证微分方程22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=就是恰当方程,并求出它的通解、7.设3124A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ , ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11η ,试求方程组X A dt dX =的一个基解基解矩阵)(t Φ,求X A dtdX=满足初始条件η=)0(x 的解、8、 求方程2213dyx y dx=-- 通过点(1,0) 的第二次近似解、9、求的通解试求方程组x Ax '=的解(),t ϕ12(0),ηϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt10、若三、证明题1、 若(),()t t Φψ就是()X A t X '=的基解矩阵,求证:存在一个非奇异的常数矩阵C ,使得()()t t C ψ=Φ、2、 设),()(0βαϕ≤≤x x x 就是积分方程],[,,])([)(0200βαξξξξ∈++=⎰x x d y y x y xx的皮卡逐步逼近函数序列)}({x n ϕ在],[βα上一致收敛所得的解,而)(x ψ就是这积分方程在],[βα上的连续解,试用逐步逼近法证明:在],[βα上)()(x x ϕψ≡、3、 设 都就是区间 上的连续函数, 且 就是二阶线性方程的一个基本解组、 试证明:(i) 与 都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零);(ii) 与 没有共同的零点;(iii) 与 没有共同的零点、4、试证:如果)(t ϕ就是AX dtdX=满足初始条件ηϕ=)(0t 的解,那么ηϕ)(ex p )(0t t A t -=、答案一、填空题。
1、 二,非线性2、u xy=,11(()1)du dx u f u x=+ 3、无穷多 4、3,2,1αβγ=-==-5、必要6、3y7、1()()t t -'ΦΦ 8、 25 00t Att e e e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦9、10、11、12、 1,二、计算题2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦32()480dy dyxy y dx dx-+=1、求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点与点(1,0)的连线相互垂直、解: 设曲线方程为 , 切点为(x ,y ), 切点到点(1,0)的连线的斜率为 , 则由题意可得如下初值问题:、 分离变量, 积分并整理后可得 、代入初始条件可得 , 因此得所求曲线为 、2、求解方程13dy x y dx x y +-=-+、解:由10,30x y x y +-=⎧⎨-+=⎩ 求得1,2x y =-= 令1,2,x y ξη=-⎧⎨=+⎩ 则有.d d ηξηξξη+=-令z ηξ=,解得2(1)1z dz d z ξξ-=+,积分得21arctan ln(1)ln ||2z z C ξ-+=+,故原方程的解为222arctanln (1)(2)1y x y C x -=++-++、3、 求解方程222()0d x dxx dt dt+=解 令,直接计算可得,于就是原方程化为 ,故有或,积分后得,即,所以 就就是原方程的通解,这里为任意常数。
4、用比较系数法解方程、 、解:特征方程为 , 特征根为 、对应齐方程的通解为 、设原方程的特解有形如代如原方程可得利用对应系数相等可得 , 故 、原方程的通解可以表示为( 就是任意常数)、5、求方程sin y y x'=+的通解、解:先解y y '=得通解为x y ce =, 令()x y c x e =为原方程的解,代入得()()()sin x x x c x e c x e c x e x '+=+, 即有()sin x c x e x -'=,积分得1()(sin cos )2x c x e x x c -=-++ , 所以1(sin cos )2x y ce x x =-+ 为原方程的通解、6.验证微分方程22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=就是恰当方程,并求出它的通解、解:由于22(,)cos sin ,(,)(1)M x y x x xy N x y y x =-=-,因为2M Nxy y x∂∂=-=∂∂所以原方程为恰当方程、把原方程分项组合得22cos sin ()0x xdx xy dx yx dy ydy -++=,或写成2222111(sin )()()0222d x d x y d y ++=, 故原方程的通解为2222sin x x y y C -+=、7.设 3124A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ , ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11η ,试求方程组X A dt dX=的一个基解基解矩阵)(t Φ,求X A dtdX=满足初始条件η=)0(x 的解、解:特征方程为31det()(2)(5)0,24A E λλλλλ---==++=--求得特征值122,5λλ=-=-,对应122,5λλ=-=-的特征向量分别为1211,,(,0).12V V αβαβ⎡⎤⎡⎤==≠⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦可得一个基解矩阵2525().2tt tt e e t ee ----⎡⎤Φ=⎢⎥-⎣⎦ ,又因为1211(0)113-⎡⎤Φ=⎢⎥-⎣⎦,于就是,所求的解为=ΦΦ=-ηϕ)0()()(1t t 2525211111132tt t t e e ee ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 25252134t t t t e e e e ----⎡⎤+=⎢⎥-⎣⎦8、 求方程2213dyx y dx=-- 通过点(1,0) 的第二次近似解、解: 令0()0x ϕ=,于就是221001()[213()],xx y x x dx x x ϕϕ=+--=-⎰223452011133()[213()],1025xx y x x dx x x x x x ϕϕ=+--=-+-+-⎰ 9、求的通解32()480dy dyxy y dx dx-+=解:方程可化为3284dy y dx x dy y dx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭= ,令dyp dx =则有3284p y x yp +=(*),(*)两边对y 求导得322322(4)(8)4dpy p y p y p y p dy -+-=,即32(4)(2)0dp p y yp dy --=,由20dp y p dy -=得12p cy =,即2()p y c =、将y 代入(*)得2224c px c =+, 即方程的 含参数形式的通解为:22224()c p x c p y c ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,p 为参数;又由3240p y -=得123(4)p y =代入(*)得3427y x=也就是方程的解 、试求方程组x Ax '=的解(),t ϕ12(0),ηϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt10、若 221()69014p λλλλλ--==-+=-,解得1,23λ=,此时 k=1,12n =。
解:特征方程12v ηηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦,111123322120()()(3)()!it i t i t t t e A E e t i ηηηηϕηηηη=⎡⎤+-+⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑由公式expAt=10()!in tii t eA E i λλ-=-∑得[]33310111exp (3)01111ttt t t At e E t A E e t e t t ⎧-⎫-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-=+=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭三、证明题 1、 若(),()t t Φψ就是()X A t X '=的基解矩阵,求证:存在一个非奇异的常数矩阵C ,使得()()t t C ψ=Φ、证:()t Φ就是基解矩阵,故1()t -Φ存在,令1()()()X t t t -=Φψ , 则()X t 可微且det ()0X t ≠,易知()()()t t X t ψ=Φ、所以()()()()()t t X t t X t '''ψ=Φ+Φ()()()()()A t t X t t X t '=Φ+Φ()()()()A t t t X t '=ψ+Φ 而()()()t A t t 'ψ=ψ,所以()()0t X t 'Φ=,()0,X t '=()X t C =(常数矩阵),故()()t t C ψ=Φ 、2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦2、 设),()(0βαϕ≤≤x x x 就是积分方程],[,,])([)(0200βαξξξξ∈++=⎰x x d y y x y xx的皮卡逐步逼近函数序列)}({x n ϕ在],[βα上一致收敛所得的解,而)(x ψ就是这积分方程在],[βα上的连续解,试用逐步逼近法证明:在],[βα上)()(x x ϕψ≡、证明:由题设,有⎰++≡xx d y x 0,])([)(20ξξξψξψ,)(00y x =ϕ⎰∈++≡-xx n n x x d y x 0],[,,])([)(0120βαξξξϕξϕ,),2,1(Λ=n 、下面只就区间β≤≤x x 0上讨论,对于0x x ≤≤α的讨论完全一样。