《高中数学圆锥曲线求离心率的方法》

∴ e=－
3
5
4
故 渐进线方程为:y=±－x 4
例2.直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A、B 求证： OA⊥OB。
证法1：将y=x-2代入y2=2x中，得 化简得 解得： x2-6x+4=0 (x-2)2=2x
x 3 5
则：y 1 5
A(3 5,1 5); B(3 5,1 5) 1 5 1 5 kOB , kOA , 3 5 3 5 1 5 1 5 1 5 kOB kOA 1 3 5 3 5 95
例 7 设θ ∈(0， )，则二次曲线 x2cotθ ﹣y2tanθ =1 的离心率 4 的取值范围为( ) 1 1 2 2 A.(0， ) B.( ， ) C.( ， 2) D.( 2，+∞) 2 2 2 2
解析：由 x2cotθ ﹣y2tanθ =1，θ ∈(0， )， 4 得 a2＝tanθ ，b2= cotθ , ∴c2＝a2+b2＝tanθ + cotθ , c2 tanθ + cotθ 2＝ ∴e ＝1+ cot2θ , 2＝ a tanθ ∵θ ∈(0， )，∴cot2θ >1, 4 ∴e2>2，∴e> 2.故选 D.
三、构建关于 a，c 的齐次等式求解
x 2 y2 例 4 设双曲线 2﹣ 2＝1(0<a<b)的半焦距为 c，直线 L 过 a b 3 (a,0)，(0,b)两点.已知原点到直线的距离为 c，则双曲线的离心率 4 为( ) 2 3 A.2 B. 3 C. 2 D. 3
解析：由已知，直线 L 的方程为 bx+ay -ab=0. ab 3 由点到直线的距离公式，得 ＝ c，又 c2=a2+b2, ∴4ab= 3c2, a2+b2 4 两边平方， 16a2(c2﹣a2)=3c4.两边同除以 a4， 得 并整理， 3e4-16e2+16=0. 得 解得 e2＝4 或 e2＝ 4 c2 a2+b2 b2 2＝ .又 0<a<b ，∴e ＝ =1+ 2>2，∴e2＝4，∴ a2 a2 a 3
∴OA⊥OB
证法2：同证法1得方程
x2-6x+4=0
由一元二次方程根与系数的关系，可知 x1+x2=6, x1·2=4 x
∵y1=x1-2 , y2=x2-2; ∴y1·2=(x1-2)(x2-2)=x1·2-2(x1+x2)+4 y x =4-12+4=-4
kOA kOB
∴OA⊥OB
y1 y2 y1 y2 4 1 x1 x2 x1 x2 4
F （2010 辽宁文数） （9）设双曲线的一个焦点为 ，虚轴的一个端点
2.P是双曲线 x2/4-y2=1 上任意一点，O为原点，则OP 线段中点Q的轨迹方程是（ B ） y2 y2 2 2 2 2 2 C . x 2 1 D.4 y x 1 A. x 1 B. x 4 y 1 4 4
3．和圆x2+y2=1外切，且和x轴相切的动圆圆心O的轨迹 x2=2|y|+1 。 方程是
图3
x2 y2 c 设双曲线的方程为 2﹣ 2＝1，则离心率 e= . a b a c2 h2 由点 C、E 在双曲线上，所以，将点 C 的坐标代入双曲线方程得 2﹣ 2＝ 4a b 1 ①， c2 λ ﹣2 2 λ 2h 2 将点 E 的坐标代入双曲线方程得 2( ) －( ) ＝1 ②． 4a 1+λ 1+λ b2 c e2 h2 h2 e2 e2 λ ﹣2 2 1 2h2 再将 e= ①、 ②得 ﹣ ＝1， 2＝ ﹣1 ③， ( ∴ ) －( ) a 4 b2 b 4 4 1+λ 1+λ b2 ＝1 ④． e2 3 将③式代入④式，整理得 （4－4λ ）＝1＋2λ ，∴λ ＝1－ 2 ． 4 e +2 2 3 2 3 3 由题设 ≤λ ≤ 得， ≤1－ 2 ≤ ．解得 7≤e≤ 10． 3 4 3 e +2 4 所以双曲线的离心率的取值范围为［ 7， 10］ ．
(3)一动圆Ｍ和直线l:x=-2相切，并且经过点 2 F(2,0)，则圆心Ｍ的轨迹方程是 y 8 x ．
一、知识回顾
圆 锥 曲 线

椭圆
标准方程
几何性质 第二定义
综合应用
双曲线 标准方程 几何性质 第二定义 统一定义 抛物线 标准方程 几何性质
椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和图形性质
F1 o F2
浅析高考题中求离心率的策略
求圆锥曲线的离心率近几年来在高考中都有题目出现.为此，结合高考题， 介绍求圆锥曲线的离心率的几种常用方法，以达到更好地理解和掌握解此类题 的技巧和规律，提高分析问题和解决问题的能力.
c 一、根据条件先求出 a，c，利用 e= 求解 a
例 1 若椭圆经过原点，且焦点为 F1(1，0)，F2(3，0)， 则其离心率为( ) 3 2 1 1 A. B. C. D. 4 3 2 4
Y
P
X
O1
O2
当⊙P与⊙O1: (x+3)2+y2=4外切时，有 |O1P|=R+2
①
当⊙P与⊙O2: (x-3)2+y2=100内切时，有 |O2P|=10-R ②
①、②式两边分别相加，得 |O1P|+|O2P|=12 即
( x 3) 2 y 2 ( x 3) 2 y 2 12
0<e<1 x=±a2/c
e>1 x=±a2/c
y=±(b/a)x
e=1 x=-p/2
渐近线方程
二、应用举例
例1.求双曲线9y – 16x =144的实半轴与虚 半轴长,焦点坐标,离心率及渐进线方程.
2 2
解:把方程化成标准方程: －- －=1 16 25
y2
x2
∴ c=√16+9 =5.
故 实半轴长a=4,虚半轴长b=3 ________
例3.一圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y26x-91=0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是 什么样的曲线
解法1：如图：设动圆圆心为P（x,y), 半径为R，两已知圆圆心为O1、O2。 分别将两已知圆的方程 x2+y2+6x+5=0 x2+y2-6x-91=0 配方，得（x+3)2+y2=4 (x-3)2+y2=100
e＝2.故选 A.
例 5 双曲线虚轴的一个端点为 M，两个焦点为 F1，F2，∠F1MF2 ＝120，则双曲线的离心率为（ ） 6 6 （A） 3 （B） （C） （D） 2 3 3 3
解析：如图 2 所示，不妨设 M(0，b)，F1(-c,0), F2(c,0),则 |MF1|=|MF2|= c2+b2.又|F1F2|＝2c， 在 △ F1MF2 中 ， 由 余 弦 定 理 ， 得 cos ∠ F1MF2 ＝ |MF1|2+|MF2|2﹣|F1F2|2 , 2|MF1|·|MF2| (c2+b2)+(c2+b2)﹣4c2 1 b2﹣c2 1 即 )＝cos120＝﹣ ，∴ 2 ＝﹣ ， 2 b ＋c2 2 2 c2+b2· c2+b2 ﹣a2 1 3 2＝c2﹣a2，∴ ∵b ＝﹣ ，∴3a2＝2c2，∴e2＝ ，∴e＝ 2c2﹣a2 2 2 6 .故选 B. 2
直线OP的斜率为k2，则 k1k2 的值为
1 ( ) 2
思考题
x y 已知椭圆 1中，F1、F2 分 4 2 1 别为其 左、右焦点和点A 1, ，试在 2 椭圆上找一点 P,使 y
2 2
（1）PA PF2 取得最小值;
P
A
P xຫໍສະໝຸດ Baidu
（2）PA
2 PF1取得最小值.
解析：由 F1、F2 的坐标知 2c=3﹣1，∴c=1，又∵椭圆过原点， ∴a﹣c=1，a+c=3，∴a=2，c=1, c 1 所以离心率 e= = .故选 C. a 2
例2 如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线 的离心率为( )
3 A. 2 6 B. 2 3 C. 2 D2
c 3 解析：由题设 a=2，2c=6，则 c=3，e= = ,因此选 C a 2
做练习
3．过点P（ 0 ， 4 ）与抛物线y2=2x只有一个公共点的 直线有 3 条。 4、直线 y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆 x2/5+y2/m=1 总有
公共点，则m的取值范围是
[1,5） 。
5、过点M（-2，0）的直线l与椭圆 x2+2y2=2 交于P1、P2
两点，线段P1P2的中点为P，设直线 l 的斜率为k1(k1≠0)，
椭圆 几何条件 标准方程 双曲线 抛物线
与一个定点和 一条定直线的距 离相等 与两个定点 与两个定点的 的距离的和等于 距离的差的绝对 常数 值等于常数
x2 y2 x2 y2 2 1(a b 0) 2 2 1(a 0, b 0) 2 a b a b
y 2 2 px ( p 0)
五、构建关于 e 的不等式，求 e 的取值范围
例8 如图，已知梯形ABCD中，｜AB｜＝2｜CD｜，点E分有 → 向线段AC所成的比为λ ， 双曲线过C、 E三点， D、 且以A、 B为焦点． 当 2 3 ≤λ ≤ 时，求双曲线离心率e的取值范围． 3 4
解析：以 AB 的垂直平分线为 y 轴，直线 AB 为 x 轴，建立如图 3 所示的直角坐标系 xOy，则 CD⊥y 轴. 因为双曲线经过点 C、D，且以 A、B 为焦点，由双曲线的对称性 c 知 C、D 关于 y 轴对称．依题意，记 A(﹣c，0)，C( ，h),E(x0，y0)， 2 1 其中 c= ｜AB｜为双曲线的半焦距，h 是梯形的高． 2 c -c+λ · 2 (λ -2)c λ h 由定比分点坐标公式得 x0＝ ＝ ，y0＝ ． 1+λ 2(1+λ ) 1+λ
课前热身
(１)
求长轴与短轴之和为20，焦距为4
x2 y2 (1) 1 36 16
5
的
x2 y2 1 和 16 36 椭圆的标准方程_________________
(2)求与双曲线 有共同渐近线，且过 2 ）的双曲线方程； 点（-3， 3
4 x2 y2 (2) 1 9 4
x2 y2 1 9 16
∵2c=6 ,2a=12 , ∴ c=3 , a=6 于是得动圆圆心的轨迹方程为 ∴b2=36-9=27
x2 y2 1 36 27
x2 y2 1 36 27
3x2+4y2-108=0
这个动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴、短轴分别为 12、 3. 6
三、课堂练习
1. 动点P 到直线 x+4=0 的距离减去它到点M（2，0）的距 离之差等于2，则点P 的轨迹是 （ D） A．直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
二、根据圆锥曲线的统一定义求解
x2 y2 例3 设椭圆 2+ 2＝1 (a>b>0)的右焦点为F1， 右 a b 准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距 离，则椭圆的离心率是 .
解析：如图1所示，AB是过F1且垂直于x轴的弦， ∵AD⊥l1于D，∴|AD|为F1到准线l1的距离， 1 图1 |AB| |AF1| 2 1 1 1 根据椭圆的第二定义，e= = = ， 即 e= .故填 . |AD| |AD| 2 2 2
图2
x 2 y2 例 6 双曲线 2﹣ 2＝1 的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线 a b 的离心率为( ) 3 A.2 B. 3 C. 2 D. 2
解析：由条件易知，双曲线为等轴双曲线， ∴a=b，∴c= 2a， c ∴e＝ ＝ 2.故选 C. a
四、根据曲线方程列出含参数的关系式，求 e 的取值 范围
图 形
顶点坐标
（±a,0),(0,±b)
（±a,0)
（0,0)
椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和图形性质
椭圆 对称性
X轴，长轴长2a, Y轴，短轴长2b
双曲线
X轴，实轴长2a, Y轴，虚轴长2b
抛物线
X轴
焦点坐标
离心率 e= c/a 准线方程
（±c,0)
（±c,0)
（p/2,0)
c2=a2-b2
c2=a2+b2
化简并整理，得 即可得
所以，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴、短轴分别 为 12、 3. 6 ( x 3) 2 y 2 ( x 3) 2 y 2 12 解法2：同解法1得方程 即，动圆圆心P(x,y)到点O1（-3，0）和点O2(3,0)距离的和 是常数12，所以点P的轨迹是焦点为（-3，0）、（3，0）， 长轴长等于12的椭圆。于是可求出它的标准方程。