正弦定理作业题1
高一数学正弦定理试题答案及解析
高一数学正弦定理试题答案及解析1.如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？(结论保留根号形式)【答案】【解析】连结，根据题意计算，的值，再根据出根据，推出是等边三角形，由此到此，导出的值，再根据余弦定理，在中,先求出的距离，最后由时间求出乙船航行的速度．试题解析：如图，连结，由已知，，，又，是等边三角形，，由已知，，，在中，由余弦定理，．．因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）答：乙船每小时航行海里．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．2.在△ABC中，角所对边长分别为且（Ⅰ）若，求角；（Ⅱ）若，求的值【答案】（1）；（2）【解析】（1）在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围;（2）在三角兴中，注意隐含条件（3）解决三角形问题时，根据边角关系灵活的选用定理和公式.试题解析：解：（1）由已知，由正弦定理得由余弦定理，又，，又，【考点】（1）正弦定理的应用；（2）余弦定理的应用.3.设的内角所对边的长分别是，且，的面积为，求与的值.【答案】，；或，．【解析】解题思路：先利用三角形的面积公式求出，因为无法判定角A 的范围，因此利用同角三角函数基本关系式求出，再利用余弦定理分类讨论求边a..规律总结：解三角形问题，主要涉及三角关系、三边关系、边角关系和面积；所用知识主要有正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等,但要注意解的个数问题.试题解析：由三角形面积公式，得，故.∵，∴；当时，由余弦定理得，所以；当时，由余弦定理得，，所以 .【考点】1.解三角形；2.三角函数基本关系式.4.在中，内角的对边分别为，若,,,则等于( ).A．1B．C．D．2【答案】A【解析】由正弦定理得.【考点】正弦定理的应用.5.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°. （1）若PB＝，求PA；（2）若∠APB＝150°，求tan∠PBA.【答案】（1）（2）【解析】试题分析:（1）在三角形中，两边和一角知道，该三角形是确定的，其解是唯一的，利用余弦定理求第三边.（2）利用同角三角函数的基本关系求角的正切值.（3）若是已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据大边对大角进行判断.（4）在三角兴中，注意这个隐含条件的使用.试题解析:解：（1）由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.在△PBA中，由余弦定理得PA2＝.故PA＝. 5分（2）设∠PBA＝α，由已知得PB＝sin α.在△PBA中，由正弦定理得，化简得cos α＝4sin α.所以tan α＝，即tan∠PBA＝. 12分【考点】（1）在三角形中正余弦定理的应用.（2）求角的三角函数.6.在△中，已知，向量，，且．（1）求的值；（2）若点在边上，且，，求△的面积.【答案】（1）；（2）△的面积为.【解析】（1）由条件，转化为，进而转化为关于的方程，解出的值；（2）由（1）知三角形的三个内角，求三角形的面积，关键是再求两条边，结合条件，在△中，应用余弦定理即可.在这道题中体现了方程的思想，即求什么，就要建立与它相关的方程，便可通过解方程求得.试题解析：（1）由条件可得，（3分）（方法一）：由，，所以，整理得，即，又，所以，所以，即（6分）（方法二）：由，，所以，整理得，即，又，所以（6分）（2）由（1）知三角形的三个内角分别为、、，由正弦定理得三边关系为，若设，则，，在△中，由余弦定理，得，解得，所以，（12分）所以．（14分）【考点】1.三角形中的正（余）弦定理；2.三角形面积公式；3.方程思想.7.在中，角的对边分别是，已知，则（）A．B．C．D．或【答案】B【解析】由已知知，所以B＜A=，由正弦定理得，==，所以，故选B【考点】正弦定理8.中，，，，则 .【答案】.【解析】因为，，所以C==45o，由正弦定理知，所以==，由余弦定理得==.【考点】正弦定理；余弦定理9.在△ABC中，若，则△ABC的形状为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定【答案】A.【解析】∵，∴由正弦定理可得，∴，又∵，∴，∴为钝角三角形.【考点】正弦定理余弦定理结合判断三角形形状.10.在△ABC中，分别为内角A，B，C的对边，且（1）求A的大小；（2）若，试判断△ABC的形状.【答案】（1）；（2）是等腰的钝角三角形.【解析】（1）条件中的等式给出了边与角满足的关系，因此可以考虑采用正弦定理实现边角互化，统一转化为边的关系：，即，再由余弦定理的变式可知；（2）由（1）结合条件可知，可将（1）中所得的关系式利用正弦定理再转化为角之间的关系：，即，再根据条件可联立方程组解得，结合（1）可知，因此，故有是等腰的钝角三角形.试题解析：（1）∵，∴根据正弦定理得， 2分即，∴， 4分又，∴ 6分（2）由（1）根据正弦定理得， 8分即①，又∵②，联立①，②，得，.......... 10分又∵，∴，∴， 11分故是等腰的钝角三角形. 12分【考点】正余弦定理相结合解三角形.11.设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，算出A、B两点的距离为 m.【答案】50．【解析】如图：由已知及三角形的内角和定理知，用正弦定理得．【考点】解三角形的应用．12.在△ABC中，已知∠BAC=60°，∠ABC=45°，BC=，则AC=【答案】【解析】∵∠BAC=60°，∠ABC=45°，∴BC=由正弦定理可得，,可得,故答案为：【考点】正弦定理在解三角形中的应用.13.已知三个内角,,的对边分别为,,,且，(1)求角(2)若=,的面积为,求的周长.【答案】(1);(2).【解析】 (1)利用将边化成角即可；（2）利用三角形的面积公式和余弦定理得出关于的方程.规律总结：解三角形问题，往往要综合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式以及三角恒等变形等知识，综合性较强，主要思路是利用有关定理实现边、角的合理互化.注意点：1.转化成，是学生思维的难点；2.第二问中，要注意整体思想的运用，而不是分别解出的值，可减少计算量.试题解析：(1)由及正弦定理，得,又,,.(2)因为三角形的面积公式所以，由余弦定理，得：，三角形的周长为.【考点】1.正弦定理;2.余弦定理3.三角形的面积公式14.在△ABC中，AC=1，A=2B，则的值等于（）.A．3B．2C．1D．【答案】B.【解析】根据正弦定理有，又AC=1，A=2B，则，所以.【考点】正弦定理及二倍角的正弦公式.15.在三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c记a=x，b=2，B=45°，若三角形ABC 有两解，则x的取值范围是 .【答案】.【解析】如图，根据题意只需，解得.【考点】已知两边与一边的对角的三角形个数问题.16.在锐角中△ABC，角A，B所对的边长分别为a,b．若2asinB=b,则角A等于（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】根据正弦定理,可得．将原题中变形为,所以有,可得．因为是锐角三角形,所以．【考点】正弦定理．17.中,角所对的边分别为,,,,则．【答案】【解析】根据余弦定理有,代入,,,解得．考点:余弦定理．18.在中，已知，，试判断的形状。
专题01：正弦定理常见题型
专题01：正弦定理常见题型题型一：正弦定理及辨析例1：1．在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若sin cos A Ba b=，则B =（ ） A ．34πB ．3π C ．4π D ．6π【答案】C 【解析】 【分析】 由正弦定理结合sin cos A Ba b=求得tan 1B =，即可求出B . 【详解】 由正弦定理可得sin sin cos A B B a b b==，则sin cos B B =，tan 1B =，又()0,B π∈，则4B π=.故选：C. 举一反三1．（多选）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ， 则下列说法正确的有（ ） A ．A :B :C = a :b :c B ．sin sin sin sin a b c aA B C A++=++C ．若A >B ， 则a >bD ．πA B C ++=【答案】BCD 【解析】 【分析】结合三角形的性质、正弦定理求得正确答案. 【详解】在三角形中，大角对大边，所以C 选项正确. 三角形的内角和为π，所以D 选项正确.由正弦定理得::sin :sin :sin a b c A B C =，所以A 选项错误. 设sin sin sin a b ck A B C===， 则()sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin k A B C a b c a k A B C A B C A++++===++++，B 选项正确.故选：BCD2．在ABC 中，15,10,60a b A ===︒，则sin B =( )ABCD【答案】A 【解析】 【详解】由正弦定理可知：sin sin sin a b B A B =⇒=故选：A题型二：正弦定理解三角形例2：1．（2015·山东·高考真题）在△ABC 中，105A ∠=︒，45C ∠=︒，AB =BC 等于______．【解析】 【分析】由和角正弦公式求sin105︒函数值，再应用正弦定理求BC 即可. 【详解】sin105sin(6045)sin 60cos 45cos 60sin 45︒=︒+︒=︒︒+︒︒=由正弦定理可知，sin sin AB BCC A=，∴sin sin AB A BC C ==2．（2016·江苏·高考真题）在ABC 中，AC=6，4cos .54B C π==，（1）求AB 的长；（2）求()6cos A π-的值.【答案】（1）2【解析】 【详解】试题分析：（1）利用同角三角函数的基本关系求sin B ， 再利用正弦定理求AB 的长；（2）利用诱导公式及两角和与差正余弦公式分别求sin ,cos A A ，然后求cos().6A π-试题解析：解（1）因为4cos B=5，0B π<<，所以2243sin 1cos 1(),55B B =-=-= 由正弦定理知sin sin AC AB B C =，所以26sin 25 2.3sin 5AC CAB B⨯⋅===（2）在ABC 中，A B C π++=，所以，于是cos cos()cos()cos cos sin sin ,444A B C B B B πππ=-+=-+=-+又43cos ,sin ,55B B ==故42322cos 55A =-= 因为0A π<<，所以272sin 1cos A A =- 因此23721726cos()cos cos sin sin 6662A A A πππ--=+==举一反三1．（2012·湖南·高考真题（文））在△ABC 中，7，BC=2，B =60°，则BC 边上的高等于 A 3B 33C 36+D 339+【答案】B 【解析】 【详解】 7232127sin 60sin 7A A A =⇒==， 所以321sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+= 则BC 边上的高3213377h C ===B . 2．（2018北京高考）在△ABC 中，a =7，b =8，cos B = –17．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．【答案】(1) ∠A =π3 (2) AC 33【解析】 【详解】分析：（1）先根据平方关系求sin B ,再根据正弦定理求sin A ，即得A ∠；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程11sin 22ab C hb =，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin C ，解得AC 边上的高．详解：解：（1）在△ABC 中，∵cos B =–17，∴B ∈（π2，π），∴sin B =2431cos 7B -=．由正弦定理得sin sin a b A B = ⇒ 7sin A =8437，∴sin A =32．∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3．（2）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A =311432727⎛⎫⨯-+⨯ ⎪⎝⎭=3314．如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=33337142⨯=，∴AC 边上的高为332．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 题型三：正弦定理判定三角形解得个数例3：1．设在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，若满足3,,6a b m B π===的ABC 不唯一，则m 的取值范围为（ ） A ．33⎝ B ．3)C ．132⎛ ⎝⎭D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理计算可得； 【详解】解：由正弦定理sin sin a b A B =12m=，所以m =， 因为ABC 不唯一，即ABC 有两解，所以566A ππ<<且2A π≠，即1sin 12A <<，所以12sin 2A <<，所以11122sin A <<m <<故选：A2．在ABC 中，若3b =，2c =，45B =，则此三角形解的情况为（ ） A ．无解 B ．两解C ．一解D ．解的个数不能确定【答案】C 【解析】 【分析】求出sin C 的值，结合大边对大角定理可得出结论. 【详解】由正弦定理可得sin sin b c B C=可得2sin 2sin sin 33c B C B b ===<， 因为c b <，则C B <，故C 为锐角，故满足条件的ABC 只有一个. 故选：C. 举一反三1．在△ABC 中，3A π∠=，b ＝6，下面使得三角形有两组解的a 的值可以为（ ）A ．4 B．C．D．【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理即可求解. 【详解】解：由题意，根据正弦定理有sin sin a bA B=，所以sin sin b A B a =，要使三角形有两组解，则sin sin 1b AB a=<，且a b <，即sin b A a b <<，所以6a <，所以a 的值可以为 故选：C ．2．（多选）ABC 中，角A ，B ，C 所对的三边分别是a ，b ，c ，以下条件中，使得ABC 无解的是（ ）A ．120a b A ===；B ．45a b A ===；C ．60;b A B ===D ．,sin ,60c A B c ===， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正余弦定理及三角形的性质分析解即可. 【详解】对于A ，大边对大角，而a <b ，无解； 对于B ，由正弦定理得sinB 1>，无解；对于C ，由cos A 可得sin A =a ，再由正弦定理或余弦定理可求出c ，有解；对于D ，由=c 和a ，通过余弦定理可得cos 0C =，与60C =矛盾，无解. 故选：ABD题型四：正弦定理求外接圆的半径例4：1．（2011·全国·高考真题（理））设向量,,a b c 满足2a b ==，2a b ⋅=-，,60a c b c --=︒，则c 的最大值等于A ．4B ．2CD ．1【答案】A 【解析】 【详解】因为2a b ==，2a b ⋅=-，所以1cos ,2a b a b a b⋅==-, ,120a b =︒.如图所以，设,,OA a OB b OC c ===，则CA a c =-, C B b c =-,120AOB ∠=︒. 所以60ACB ∠=︒，所以180AOB ACB ∠+∠=︒，所以,,,A O B C 四点共圆. 不妨设为圆M ，因为AB b a =-,所以222212AB a a b b =-+=. 所以23AB =由正弦定理可得AOB ∆的外接圆即圆M 的直径为2R 4AB sin AOB==∠.所以当OC 为圆M 的直径时，c 取得最大值4. 故选A.点睛:平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决． 2．（2022·上海·高考真题）在△ABC 中，3A π∠=，2AB =，3AC =，则△ABC 的外接圆半径为________ 211213【解析】 【分析】运用正弦定理及余弦定理可得解. 【详解】 根据余弦定理：22212cos 4922372BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=， 得7BC =由正弦定理△ABC sin3=故答案为 举一反三1．（2022·湖北·鄂南高中模拟预测）ABC 的内角A B C ､､的对边分别为a b c ､､，且1,cos sin a b C c A ==-，则ABC 的外接圆半径为__________.【解析】 【分析】利用正弦定理可得sin sin cos sin sin B A C C A =-，进而可得34A π=，即得.【详解】1a =，则cos sin b a C c A =-，由正弦定理，得sin sin cos sin sin B A C C A =- 故()sin sin cos sin sin A C A C C A +=-，展开化简得：cos sin sin sin A C C A =-，()0,C π∈，sin 0C ≠， 故cos sin A A =-，()0,A π∈， 即34A π=，∴外接圆直径2R sin aA==，.2．（2022·河南·长葛市第一高级中学模拟预测（文））在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边若2a =，3b =，sin 2sin cos A B C =，则ABC 外接圆的半径为_____________．【解析】 【分析】利用正弦定理角化边求出cos C ，再根据余弦定理求出c ，进而求出外接圆半径.由正弦定理得，2cos a b C =，1cos 3C =， 由余弦定理得222222231cos 22233a b c c C ab +-+-===⨯⨯，解得3c =．又sin C =，所以外接圆半径12sin c R C =⋅=故答案为：8. 题型五：正弦定理边角互化例5：1．（2019·全国·高考真题（文））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 【答案】34π. 【解析】 【分析】先根据正弦定理把边化为角，结合角的范围可得. 【详解】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈π，sin 0,A ∴≠得sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=故选D ． 【点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在(0,)π范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角．2．（2022·全国·高考真题（文））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-． (1)若2A B =，求C ； (2)证明：2222a b c =+ 【答案】(1)5π8； (2)证明见解析． 【解析】（1）根据题意可得，()sin sin C C A =-，再结合三角形内角和定理即可解出； （2）由题意利用两角差的正弦公式展开得()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．（1）由2A B =，()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()sin sin sin sin C B B C A =-，而π02B <<，所以()sin 0,1B ∈，即有()sin sin 0C C A =->，而0π,0πC C A <<<-<，显然C C A ≠-，所以，πC C A +-=，而2A B =，πA B C ++=，所以5π8C =． （2）由()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，再由正弦定理可得，cos cos cos cos ac B bc A bc A ab C -=-，然后根据余弦定理可知，()()()()22222222222211112222a cb bc a b c a a b c +--+-=+--+-，化简得：2222a b c =+，故原等式成立． 举一反三1．（2014·江西·高考真题（文））在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若32a b =，则2222sin sin sin B A A -的值为（ ）A ．19B ．13C ．1D ．72【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理边化角求解即可. 【详解】由正弦定理有22222222sin sin 221sin B A b a b A a a --⎛⎫==- ⎪⎝⎭.又3322b a b a =⇒=, 故297212142b a ⎛⎫-=⨯-= ⎪⎝⎭.故选：D【点睛】本题主要考查了正弦定理边化角的问题,属于基础题.2．（2022·安徽·一模（理））在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若sin a c B =，则tan A 的最大值为（ ）A ．1B ．32C ．43D ．54 【答案】C【解析】【分析】 先由正弦定理化简得111tan tan C B +=，结合基本不等式求得tan tan 4B C ≥，再由正切和角公式求解即可.【详解】在ABC 中，sin a c B =，所以sin sin sin A C B =，又()sin sin A B C =+，整理得：sin cos cos sin sin sin B C B C B C +=，又sin sin 0B C ≠，得到111tan tan C B +=，因为角A 、B 、C 为锐角，故tan A 、tan B 、tan C 均为正数，故1≥tan tan 4B C ≥，当且仅当tan tan 2B C ==时等号成立， 此时tan tan tan tan 1tan tan()11tan tan 1tan tan 1tan tan B C B C A B C B C B C B C +⋅=-+=-=-=---⋅，当tan tan B C 取最小值时，1tan tan B C 取最大值，11tan tan B C -取最小值，故111tan tan B C-⋅的最大值为43， 即当tan tan 2B C ==时，tan A 的最大值为43． 故选：C ．。
苏教版数学必修五：1.1正弦定理(一)作业纸
5．在 中，有等式：① ；② ；
③ ；④ .
其中恒成立的等式序号为_______________.
6．在 中， ， ，则 的长为.
7．在 中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则 ＝.
8．在 中，若sin2A＝sin2B＋sin2C，则 的形状是.
9．在 中，已知 则 中最短边长为.
课题：§1.1正弦定理（一）作业纸总第____课时
班级_______________姓名_______________
1．在 中，已知 ， ， ，则 _________.
2．在 中，已知 ， ， ，则 _________.
3．一个三角形的两个内角分别为 和 ，如果 角所对的边长为 ，那么 角所对的边长是_________.
3．解答题订正：
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
10．在 中，已知 ,则角C=.
11．根据下列条件解三角形：
（1） ;
（2） ;
（3） .
12.在 若 ，且 为锐角，试判断此三角形的形状.
13.在 中，已知角 对应的边分别为 ，且
(1)求 的值；
(2)当 · = 时，求 的值.
三、作业错误分析及订正：
1．填空题错误分析：[错误类型分四类：①审题错误；②计算错误；③规范错误；④知识错误；只有“知识性错误”需要写出相应的知识点.]
题号
1234来自567
正弦定理练习题
正弦定理练习题在三角形ABC中，已知角A=60度，角B=45度，边BC=6，则边AC的长度为：在三角形ABC中，已知角A=30度，角C=90度，若三角形ABC的斜边AB的长为2√3，则直角边BC的长度为：在三角形ABC中，已知角A=60度，角B=45度，边BC的长为6，则边AC的长为：在三角形ABC中，已知角A=45度，角B=60度，边BC的长为6。
求边AC的长。
在三角形ABC中，已知角A=30度，角C=90度，直角边BC的长为4。
求斜边AB的长。
在三角形ABC中，已知角A=60度，角B=90度，斜边BC的长为8。
求直角边AC的长。
本节内容是在学生学习了任意三角形的基础上，进一步学习正弦定理和余弦定理。
通过正弦定理和余弦定理，学生可以解决任意三角形中的边角问题。
根据课程标准的要求和学生已有的知识基础和认知能力，确定本节课教育教学目标是：(1)知识与技能：通过探究正弦定理的证明过程，学生能够理解正弦定理的含义，并能用它解决任意三角形中的有关问题。
(2)过程与方法：通过观察、思考、分析、推理、归纳、猜想等思维活动，学生能够发现正弦定理的结论，并能够用它解决一些实际问题。
(3)情感态度价值观：通过探究正弦定理的过程，学生能够感受到数学的乐趣和价值，同时培养学生的数学意识和实践能力。
(1)教学重点：探究正弦定理的证明过程，并能用它解决任意三角形中的有关问题。
(2)教学难点：证明正弦定理的过程以及在解决任意三角形问题中的应用。
本节课采用探究式教学方法，通过创设问题情境，引导学生进行自主探究和合作交流，从而发现正弦定理的结论并掌握其证明方法。
同时，在教学过程中，注重启发式教学方法的运用，通过问题引导、探究活动等方式，激发学生的思维和兴趣，提高学生的学习积极性和主动性。
本节课需要学生掌握正弦定理的证明方法和应用，因此需要学生认真听讲、积极思考、自主探究、合作交流，并尝试解决一些实际问题。
同时，在教学过程中，教师可以通过问题引导、探究活动等方式，引导学生进行思考和探究，帮助学生掌握正弦定理的证明方法和应用。
正弦定理练习题(含答案)
正弦定理 复习1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．2 6解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin B sin A ＝ 6. 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.323解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝a sin B sin A＝4 6. 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝22，又∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝45°. 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )A ．1 B.12 C ．2 D.14解析：选A.C ＝180°－105°－45°＝30°，由b sin B ＝c sin C 得c ＝2×sin 30°sin45°＝1. 6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ，∴cos A cos B ＝sin B sin A， sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2. 7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )A.32B.34C.32或 3D.34或32解析：选D.AB sin C ＝AC sin B ，求出sin C ＝32，∵AB ＞AC ， ∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°.再由S △ABC ＝12AB ·AC sin A 可求面积． 8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2C. 3D. 2解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2sin C， ∴sin C ＝12. 又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________. 解析：由正弦定理得：a sin A ＝c sin C， 所以sin A ＝a ·sin C c ＝12. 又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π6. 答案：π610．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433＝32. 答案：3211．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由a sin A ＝b sin B 得，a ＝12×sin30°sin120°＝43， ∴a ＋c ＝8 3.答案：8 312．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ，代入式子a ＝2b cos C ，得2R sin A ＝2·2R ·sin B ·cos C ，所以sin A ＝2sin B ·cos C ，即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ，化简，整理，得sin(B －C )＝0.∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°，∴－180°＜B －C ＜180°，∴B －C ＝0°，B ＝C .答案：等腰三角形13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________. 解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝63sin60°＝12，又S △ABC ＝12bc sin A ，∴12×12×sin60°×c ＝183，∴c ＝6.答案：12 614．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C＝________. 解析：由∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3得，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°， ∴2R ＝a sin A ＝1sin30°＝2， 又∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，∴a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2R sin A －2sin B ＋sin C sin A －2sin B ＋sin C＝2R ＝2. 答案：215．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 解析：依题意，sin C ＝223，S △ABC ＝12ab sin C ＝43， 解得b ＝2 3.答案：2 316．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．解析：∵b sin C ＝43×12＝23且c ＝2， ∴c <b sin C ，∴此三角形无解．答案：017．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？解：在△ABC 中，BC ＝40×12＝20， ∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°，所以∠A ＝180°－(30°＋105°)＝45°，由正弦定理得AC ＝BC ·sin ∠ABC sin A＝20sin30°sin45°＝102(km)． 即货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是10 2 km.18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A 2，求A 、B 及b 、c .解：由sin C 2cos C 2＝14，得sin C ＝12， 又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或C ＝5π6. 由sin B sin C ＝cos 2A 2，得 sin B sin C ＝12[1－cos(B ＋C )]， 即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝π6，B ＝C ＝5π6(舍去)， A ＝π－(B ＋C )＝2π3. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，得b ＝c ＝a sin B sin A ＝23×1232＝2. 故A ＝2π3，B ＝π6，b ＝c ＝2. 19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值． 解：(1)∵A 、B 为锐角，sin B ＝1010， ∴cos B ＝1－sin 2B ＝31010. 又cos 2A ＝1－2sin 2A ＝35，∴sin A ＝55，cos A ＝255， ∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B＝255×31010－55×1010＝22. 又0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝π4. (2)由(1)知，C ＝3π4，∴sin C ＝22. 由正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C 得 5a ＝10b ＝2c ，即a ＝2b ，c ＝5b . ∵a －b ＝2－1，∴2b －b ＝2－1，∴b ＝1.∴a ＝2，c ＝ 5.20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．解：由S ＝12ab sin C 得，153＝12×603×sin C ， ∴sin C ＝12，∴∠C ＝30°或150°. 又sin B ＝sin C ，故∠B ＝∠C .当∠C ＝30°时，∠B ＝30°，∠A ＝120°.又∵ab ＝603，a sin A ＝b sin B，∴b ＝215. 当∠C ＝150°时，∠B ＝150°(舍去)．故边b 的长为215.。
正弦定理练习题典型题(含答案)
正弦定理一1、在ABC ∆中，060A ∠=，6a =，3b =，则ABC ∆解的情况（ ）A ．无解B ．有一解C ．有两解D ．不能确定2、在△ABC 中，若b=2，A=120°，三角形的面积S=，则三角形外接圆的半径为( ) A ．B ．2C ．2D ．43、在ABC △中，,,a b c 分别是角A,B,C 的对边,已知1,2a b ==，3cos 2A =，求角C ．4、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知acosC ＋ccosA ＝2bcosA ．（1）求角A 的值；（2）求sinB ＋sinC 的取值范围．5、在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a=2csinA ．（1）求角C 的值；（2）若c=，且S △ABC =，求a+b 的值．参考答案1、【答案】A2、【答案】B3、【答案】解：在ABC △中，3cos 2A =，得6A π=， 又1,2a b ==，由正弦定理得sin sin a b A B=， ∴sin 2sin 2b A B a ==， 又b a >，得4B π=或4B 3π=， 当4B π=时，6412C ππ7π=π--=； 当4B 3π=时，6412C π3ππ=π--=， ∴角C 为127π或12π． 4、【答案】（1）A ＝；（2）(，]．试题分析：（1）要求解，已知条件中有角有边，一般情况下我们可以利用正弦定理把边化为角的关系，本题acosC ＋ccosA ＝2bcosA ，由正弦定理可化为sin cos sin cos 2sin cos A C C A B A +=，于是有sin()2sin cos A C B A +=，即sin 2sin cos B B A =，而sin 0B ≠，于是1cos 2A =，3A π=；（2）由（1）23CB π=-，且203B π<<，2sin sin sin sin()3B C B B π+=+-，由两角和与差的正弦公式可转化为3sin()6B π+，再由正弦函数的性质可得取值范围. 试题解析：（1）因为acosC ＋ccosA ＝2bcosA ，所以sinAcosC ＋sinCcosA ＝2sinBcosA ，即sin(A ＋C)＝2sinBcosA ．因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C)＝sinB ．从而sinB ＝2sinBcosA ．因为sinB ≠0，所以cosA ＝．因为0＜A ＜π，所以A ＝．（2）sinB ＋sinC ＝sinB ＋sin(－B)＝sinB ＋sincosB －cos sinB ＝sinB ＋cosB ＝sin(B ＋)．因为0＜B ＜，所以＜B ＋＜．所以sinB ＋sinC 的取值范围为(，]．考点：正弦定理，两角和与差的正（余）弦公式，正弦函数的性质.5、【答案】试题分析：（1）由a=2csinA 及正弦定理得sinA=2sinCsinA ，又sinA≠0，可sinC=．又△ABC 是锐角三角形，即可求C ．（2）由面积公式，可解得ab=6，由余弦定理，可解得a 2+b 2﹣ab=7，联立方程即可解得a+b 的值的值．试题解析：解：（1）由a=2csinA 及正弦定理，得sinA=2sinCsinA ，∵sinA≠0，∴sinC=．又∵△ABC 是锐角三角形，∴C=．（2）∵c=，C=， ∴由面积公式，得absin =，即ab=6.①由余弦定理，得a 2+b 2﹣2abcos=7， 即a 2+b 2﹣ab=7.②由②变形得（a+b ）2=3ab+7.③将①代入③得（a+b ）2=25，故a+b=5.考点：正弦定理．点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．正弦定理二1、在ABC ∆中，o 60A =，3a =2b =B 等于 ( )A. o 45B.o 135C. o 45或o 135D. 以上答案都不对2、在ABC ∆中，若ab c b a 2222+=+，则C =（ ）A ．030B ．0150C ．045D ．01353、在△ABC 中，若30A =，8a =，b =ABC S ∆等于（ ）A ．．．．4、设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC ∆的形状为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定5、已知,,a b c 是ABC ∆的三边长，且222a b c ab +-=（1）求角C（2）若3a c ==，求角A 的大小。
高一数学(正弦定理练习)含答案
班级：
姓名：
1．在 ABC 中， a 3,b 5 ， sin A 1 ，则 sin B 3
(B)
A． 1 5
B． 5 9
C． 5 3
D．1
1 解析：选 B 在△ABC 中，由正弦定理sina A＝sinb B，得 sin B＝bsian A＝5×33＝59．
2．在 ABC 中， a bsin A ，则 ABC 一定是
10．在 ABC 中， a,b, c 分别是角 A, B,C 所对应的边，且 b 6, a 2 3, A 30 ，求 ac
的值．
解析：由正弦定理sina A＝sinb B得 sin B＝ 23．由条件 b＝6，a＝2 3，知 b>a， 所以 B>A．所以 B＝60°或 120°． (1)当 B＝60°时，C＝180°－A－B＝180°－30°－60°＝90°． 在 Rt△ABC 中，C＝90°，a＝2 3，b＝6，则 c＝4 3， 所以 ac＝2 3×4 3＝24．
解：设△ABC 中，A＝45°，B＝60°， 则 C＝180°－(A＋B)＝75°． 因为 C>B>A，所以最小边为 a． 又因为 c＝1，由正弦定理得， a＝cssiinnCA＝1×sisnin754°5°＝ 3－1， 所以最小边长为 3－1．
6．在 ABC 中，若 (sin A sinB )(sinA sinB ) sin2 C ，则 ABC 的形状是________．
① a 8,b 16, A 30 ，有两解； ② b 18, c 20, B 60 b＝18，有一解； ③ a 15,b 2, A 90 ，无解； ④ a 40,b 30, A 120 ，有一解．
解析：①中<b<c，有两解； ③中 A＝90°且 a>b，有一解；④中 a>b 且 A＝120°，有一解．综上，④正确． 答案：④
正弦定理基础训练题(有详解)
○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………正弦定理基础训练题（有详解)一、单选题1．在△ABC 中，4a =，52b =，5cos(B C)30++=，则角B 的大小为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．6π或56π 2．在△ABC 中，若2sin b a B =，则A =( )A ．π6或5π6 B ．π3或2π3C ．π4或π3D ．π4或3π4 3．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知22a =，4b =，45B =，则A =（ ） A ．30B ．60C ．30或150D ．60或1204．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC △的形状为（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．不确定5．ABC ∆中，若sin cos cos a b cA B C==，则ABC ∆中最长的边是（ ） A ．aB ．bC ．cD ．b 或c6．ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知 26a b =＝，，A 4π=，则B =（ ） A ．6πB ．3π C ．6π或56πD ．3π或23π7．在中，，，，则的面积是（ ）A ．B ．C ．或D ．或8．已知ABC 中，满足3,2,30a b B ==∠=︒，则这样的三角形有 A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个9．在△ABC 中,6A π=,4B π=,a=1,则b=（ ）A ．1B ．2C ．2D ．310．在△ABC 中，所对的边为a ，b ，c ，a=8，B=60°，A=45°，则b=（）○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A ．B ．C ．D ．11．在中，所对的边分别为，若，，，则等于（ ） A ．B ．C ．D ． 12．在中，若，，则A ．B ．C ．D ．二、填空题13．ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若4cos 5A =，5cos 13C =，13a =，则b =____．14．已知ABC ∆的三个内角、、A B C 成等差数列，且 2AB =， 3AC =，则cos C 的值是__________. 15．在中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且，，，则的面积_____．16．在ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ．若a b >，且22sin a b A =，则B =_____．17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ：B ：C =1：2：3，则a ：b ：c =______．18．在ABC ∆中,43,22,33C c b π===，那么A =__________. 19．在ABC ∆中, 若13,cos 2a A ==-,则ABC ∆的外接圆的半径为 _____.20．在中，已知，那么的形状______三角形．参考答案1．A 【解析】 【分析】首先根据三角形内角和为π，即可算出角A 的正弦、余弦值，再根据正弦定理即可算出角B 【详解】在△ABC 中有A B C π++=,所以B C A +=π-,所以()35cos(B C)305cos 30cos 5A A π++=⇒-+=⇒=,又因为0A π<<,所以02A π<<，所以4sin 5A ==,因为4a =，52b =，所以由正弦定理得sin 1sin 2b A B a ==，因为a b A B >⇒>,所以6B π=。
正弦定理与余弦定理练习题共3套(附答案)
正弦定理与余弦定理练习第一套正弦定理（一）●作业导航掌握正弦定理，会利用正弦定理求已知两角和任意一边或两边和一边对角的三角形问题．一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于()A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°2．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为()A ．9B ．18C ．93D ．1833．已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于()A ．1∶2∶3B ．2∶3∶1C ．1∶3∶2D ．3∶1∶24．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k≠0)，则k 的取值范围为()A ．(2，＋∞)B ．(-∞，0)C ．(-21，0)D ．(21，＋∞) 5．在△ABC 中，sin A ＞sin B 是A ＞B 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是________．2．在△ABC 中，若b ＝2c sin B ，则∠C ＝________．3．设△ABC 的外接圆半径为R ，且已知AB ＝4，∠C ＝45°，则R ＝________．4．已知△ABC 的面积为23，且b ＝2，c ＝3，则∠A ＝________．5．在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，a ＝2(3＋1)，那么△ABC 的面积为________．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．在△ABC 中，∠C ＝60°，BC ＝a ，AC ＝b ，a ＋b ＝16．(1)试写出△ABC 的面积S 与边长a 的函数关系式．(2)当a 等于多少时，S 有最大值？并求出这个最大值．2．在△ABC 中，已知a 2-a ＝2(b ＋c )，a ＋2b ＝2c -3，若sin C ∶sin A ＝4∶13，求a ，b ，c ．3．在△ABC 中，求证2tan 2tanBA BA b a b a +-=+-．4．△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，b ＝1，求证：1＜a ＋c ≤2．5．在一个三角形中，若有一个内角不小于120°，求证：最长边与最短边之比不小于3．参考答案一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．D 分析：由正弦定理得，B bA a sin sin =，∴sin B ＝23sin =aA b ，∴∠B ＝60°或∠B ＝120°．2．C 分析：∵∠A ＝30°，∠B ＝120°，∴∠C ＝30°，∴BA ＝BC ＝6，∴S △ABC ＝21×BA ×BC ×sin B ＝21×6×6×23＝93．3．A 分析：由正弦定理得，C cB b A a sin sin sin ==，∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶3∶2＝21∶23∶1，∴A ∶B ∶C ＝30°∶60°∶90°＝1∶2∶3．4．D 分析：利用正弦定理及三角形两边之和大于第三边．5．C 分析：A ＞B ⇔a ＞b ⇔2Rsin A ＞2Rsin B ⇔sin A ＞sin B ．二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．23或3分析：sin C ＝23230sin 32=︒，于是，∠C ＝60°或120°，故∠A ＝90°或30°，由S △ABC ＝21×AB ×AC ×sin A ，可得S △ABC ＝23或S △ABC ＝3．2．30°或150°分析：由b ＝2c sin B 及正弦定理C cB B c Cc B b sin sin sin 2sin sin ==得，∴sin C ＝21，∴∠C ＝30°或150°．3．22分析：∵c ＝2R sin C ，∴R ＝22sin 2=C c．4．60°或120°分析：∵S △ABC ＝21bc sin A ，∴23＝21×2×3sin A ，∴sin A＝23，∴∠A ＝60°或120°．5．6＋23分析：∵B bA a sin sin =，∴︒=︒-︒-︒+45sin )6045180sin()13(2b，∴b ＝4．∴S △ABC ＝21ab sin C ＝6＋23．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．解：(1)∵a ＋b ＝16，∴b ＝16-aS ＝21ab sin C ＝21a (16-a )sin60°＝43(16a -a 2)＝-43(a -8)2＋163（0＜a ＜16)(2)由(1)知，当a ＝8时，S 有最大值163．2．解：∵sin C ∶sin A ＝4∶13∴c ∶a ＝4∶13设c ＝4k ，a ＝13k ，则⎪⎩⎪⎨⎧-=++=-38213)4(213132k b k k b kk∵k ＝133时b ＜0，故舍去．∴k ＝1，此时a ＝13，b ＝2135-，c ＝4．3．证明：由正弦定理，知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B2tan2tan2cos 2sin 22cos 2sin 2)22sin(22sin()22sin()22sin(sin sin sin sin sin 2sin 2sin 2sin 2B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A BA BA B R A R B R A R b a b a +-=-++-=--++-++--+--++=+-=+-=+-∴4．证明：∵A 、B 、C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝3π，A ＋C ＝32π．∵b ＝1，设△ABC 的外接圆半径为R ，∴b ＝2R sin 3π∴1＝2R ·23，∴3R ＝1．∴a ＋c ＝2R sin A ＋2R sin C ＝2R (sin A ＋sin C )＝2R ［sin(32π-C )＋sin C ］＝2R (23cos C ＋23sin C )＝23R (21cos C ＋23sin C )＝23R sin(C ＋6π)＝2sin(C ＋6π)∵A ＋C ＝32π，∴0＜C ＜32π∴6π＜C ＋6π＜65π∴21＜sin(C ＋6π)≤1∴1＜2sin(C ＋6π)≤2 ∴1＜a ＋c ≤2．5．证明：在△ABC 中，设C ≥120°，则c 最长，令最短边为a ，由正弦定理得A B A A C a c sin )sin(sin sin +==∵A ≤B∴2A ≤A ＋B ≤180°-C ≤60°∵正弦函数在(0，3π)上是增函数，∴sin(A ＋B )≥sin2A ＞0∴A B A a c sin )sin(+=≥A A A A A sin cos sin 2sin 2sin =＝2cos A ∴a c≥2cos A ∵2A ≤60° ∴0°＜A ≤30°∴cos A ≥cos30°＝23∴a c ≥2·23∴a c≥3∴最长边与最短边之比不小于第二套正弦定理练习（二）1．在ABC ∆中，已知角04345,2,,3B c b ===则角A 的值是（）A．15°B．75°C．105°D．75°或15°2．ABC ∆中，bsinA<a<b,则此三角形有（）A．一解B．两解C．无解D．不确定3．若sin cos cos ,A B CABC a b c==∆则是（）A．等边三角形B．有一内角是30°C．等腰直角三角形D．有一内角是30°的等腰三角形4．在ABC ∆中，已知0060,45,8,B C BC AD BC ===⊥于D,则AD 长为（）A.4(31)- B.4(3+1)3+3)D.4(33)5．在ABC ∆中，A>B 是sinA>sinB 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．在ABC ∆中，060,6,14B b a ===，则A=7．在ABC ∆ABC ∆中，已知cos 2cos 21sin 2sin cos ,cos sin B C A B C C B +=+==求证：b=c 且A=900。
作业1 正弦定理
作业1 正弦定理一、选择题(每小题10分) 1. 若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( )A.3＋1 B ．23＋1C ．2 6D ．2＋2 3 答案 C解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B，得4sin 45°＝b sin 60°，∴b ＝2 6. 2．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．60° C ．45° D ．135° 答案 C解析 由a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b sin Aa＝2sin 60°3＝22. ∵a >b ，∴A >B ，B <60° ∴B ＝45°.3．在△ABC 中，sin A ＝sin B ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 答案 D4. 在△ABC 中，a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c 等于( ) A ．2 5 B. 5C ．25或 5D ．以上都不对解析： 由于sin B ＝b sin A a ＝32，故B ＝60°或120°. 当B ＝60°时，C ＝90°时，c ＝30°.c ＝a 2＋b 2＝25； 当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝ 5. 答案： C5. 根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( ) A ．a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解 B ．b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解 C ．a ＝5，c ＝2，A ＝90°，无解D ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解 答案 D 解析 A 中，因a sin A ＝bsin B ， 所以sin B ＝16×sin 30°8＝1，∴B ＝90°，即只有一解；B 中，sinC ＝20sin 60°18＝539，且c >b ，∴C >B ，故有两解；C 中， ∵A ＝90°，a ＝5，c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝25－4＝21， 即有解，故A 、B 、C 都不正确．二、填空题(每小题10分)6．在△ABC 中，∠A ＝60°，AC ＝3，BC ＝332，那么AB 的长为________．解析：由正弦定理得AC sin B ＝BCsin A∴sin B ＝AC sin ABC＝1，B ＝90° ∴AB 2＝AC 2－BC 2＝9－274＝94.即AB ＝32答案：327. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝60°，a ＝3，b ＝1，则c ＝________.答案 2解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得3sin 60°＝1sin B，∴sin B ＝12，故B ＝30°或150°.由a >b ，得A >B ，∴B ＝30°，故C ＝90°， 由勾股定理得c ＝2.8．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.答案102解析 ∵tan A ＝13，A ∈(0°，180°)，∴sin A ＝1010.由正弦定理知BC sin A ＝ABsin C ， ∴AB ＝BC sin C sin A ＝1×sin 150°1010＝102.班别：高一（ ）班 学号： 姓名： 成绩：一、选择题6． 7． 8．三、解答题(每小题20分)9．在△ABC 中，∠A ＝60°，AC ＝3，BC ＝332，那么AB 的长为________．解析：由正弦定理得AC sin B ＝BCsin A∴sin B ＝AC sin ABC＝1，B ＝90° ∴AB 2＝AC 2－BC 2＝9－274＝94.即AB ＝32答案：32作业27任意角三角函数一、选择题(每小题10分)1．如图在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )． A ．正弦线PM ，正切线A ′T ′ B ．正弦线MP ，正切线A ′T ′ C ．正弦线MP ，正切线AT D ．正弦线PM ，正切线AT解析 根据单位圆中的三角函数线可知C 正确． 答案 C2．有三个命题：①π6与5π6的正弦线相等；②π3与4π3的正切线相等；③π4与5π4的余弦线相等．其中真命题的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．0解析 根据三角函数线定义可知，π6与5π6的正弦线相等，π3与4π3的正切线相等，π4与5π4的余弦线相反．答案 B3．设a ＝sin(－1)，b ＝cos(－1)，c ＝tan(－1)，则有( )．A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <a <bD ．a <c <b解析 如图作出角α＝－1rad 的正弦线、余弦线及正切线，显然b ＝cos(－1)＝OM >0，c ＝tan(－1)<a ＝sin(－1)<0，即c <a <b .答案 C4．已知α(0＜α＜2π)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为( )A.3π4或π4 B.5π4或7π4 C.π4或5π4D.π4或7π4解析：根据正弦线和余弦线的定义知，当x ＝π4和5π4时，其正弦线和余弦线长度相等，且符号相同．答案：C5．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( )A ．sin α＋cos α＞1B ．sin α＋cos α＝1C ．sin α＋cos α＜1D ．不能确定解析：作出α的正弦线和余弦线，由三角形“任意两边之和大于第三边”的性质可知sin α＋cos α＞1.答案：A二、填空题(每小题10分)6．若角α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在第________象限．解析：∵α为第二象限角， ∴sin α＞0，cos α＜0.∴P (sin α，cos α)位于第四象限． 答案：四7．tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝________． 解析：原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋ cos (2×360°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30° ＝1－1＋32＝32. 答案：328．利用单位圆，可得满足sin α＜22，且α∈(0，π)的α的集合为________．解析：如图所示，终边落在阴影内的角α满足sin α＜22. 答案：(0，π4)∪(3π4，π)班别：高一（ ）班 学号： 姓名： 成绩：一、选择题6． 7． 8．三、解答题(每小题20分)9． 计算下列各式的值：(1)tan 136π＋sin(－233π)；(2)sin 780°cos 450°＋tan 390°. 解析：(1)原式＝tan(2π＋π6)＋sin(－8π＋π3)＝tan π6＋sin π3＝33＋32＝(2)原式＝sin(720°＋60°)cos(360°＋90°)＋tan(360°＋30°) ＝sin 60°·cos 90°+tan30°＝33.。
正弦定理练习题及答案1-1-1
正弦定理第1课时一、选择题 1．(2009·福建)已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30° [答案] B[解析] 由题意，得12×4×3sin C ＝33，∴sin C ＝32，又0°<C <90°，∴C ＝60°.2．在△ABC 中，已知(b ＋c ) ∶ (c ＋a ) ∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．6∶5∶4B ．7∶5∶3C ．3∶5∶7D ．4∶5∶6 [答案] B[解析] 设b ＋c ＝4x ，c ＋a ＝5x ，a ＋b ＝6x (x >0)，从而解出a ＝72x ，b ＝52x ，c ＝32x .∴a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝7∶5∶3. 3．在△ABC 中，a ＝10，B ＝60°，C ＝45°，则c 等于( )A ．10＋ 3B ．10(3－1)C ．10(3＋1)D ．10 3 [答案] B[解析] A ＝75°，sin A ＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝6＋24，c ＝a sin C sin A ＝10×sin45°sin75°＝10(3－1)．4．在△ABC 中，下列关系中一定成立的是( )A ．a >b sin AB ．a ＝b sin AC ．a <b sin AD ．a ≥b sin A [答案] D[解析] 由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，∴a ＝b sin A sin B ，在△ABC 中，0<sin B ≤1，故1sin B≥1，∴a ≥b sin A .5．已知△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，∠B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是( )A ．x >2B ．x <2C ．2<x <2 2D ．2<x <2 3 [答案] C[解析] 由题设条件可知⎩⎨⎧x >2x sin45°<2，∴2<x <2 2.6．在△ABC 中，a ＝λ，b ＝3λ，∠A ＝45°，则满足此条件的三角形个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无数个[答案] A[解析] ∵a ＝λ<b sin45°＝3λ×22＝62λ，∴无解．故选A. 7．△ABC 中，a ＝2，b ＝2，B ＝π6，则A 等于( )A.π3B.π4C.π4或3π4D.π3或2π3 [答案] C[解析] a sin A ＝b sin B ，∴sin A ＝22，∴A ＝π4或A ＝3π4，又∵a ＞b ，∴A ＞B ，∴A ＝π4或3π4，∴选C.8．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝13，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C等于( )A.833B.2393C.2633D ．2 3[答案] B[解析] 由a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝2R ＝a sin A ＝13sin60°＝2393. 二、填空题9．在△ABC 中，A ＝60°，C ＝45°，b ＝2.则此三角形的最小边长为__________． [答案] 23－2 [解析] ∵A ＝60°，C ＝45°，∴B ＝75°，∴最小边为c ，由正弦定理，得b sin B ＝csin C，∴2sin75°＝c sin45°， 又∵sin75°＝sin(45°＋30°) ＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24， ∴c ＝2×sin45°sin75°＝2×226＋24＝23－2.10．△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c .若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B＝________.[答案] 54[解析] 由正弦定理，得a b ＝sin Asin B，∴a ＝52b 可化为sin A sin B ＝52. 又A ＝2B ，∴sin2B sin B ＝52，∴cos B ＝54.11．(2009·珠洲高二检测)在△ABC 中，∠A 、∠B 的对边分别为a 、b ，且∠A ＝120°，a ＝23，b ＝4，那么满足条件的△ABC 的个数为________个．[答案] 0[解析] ∵a ＝23，b ＝4，∴a <b ，∴A <B ， 又A ＝120°，∴B >120°(这显然不可能)， ∴满足条件的三角形不存在．12．已知a 、b 、c 是△ABC 中的∠A 、∠B 、∠C 的对边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则C ＝________.[答案] 60°或120°[解析] S ＝12ab sin C ，a ＝4，b ＝5，S ＝5 3.∴sin C ＝32.∵C 为△ABC 的内角，∴C ＝60°或120°.三、解答题13．已知△ABC 中，BC ＝a ，AB ＝c ，且tan Atan B ＝2c －b b，求A .[解析] 由已知条件及正弦定理可得sin A cos A ·cos Bsin B ＝2sin C －sin B sin B，化简整理得 sin A cos B ＋cos A sin B ＝2sin C cos A ， ∴sin(A ＋B )＝2sin C cos A ， 即sin C (1－2cos A )＝0，∵sin C ≠0，∴1－2cos A ＝0，cos A ＝22，∵0°＜A ＜180°，∴A ＝45°. 14．已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，先判断三角形是否有解？有解的作出解答．(1)a ＝7，b ＝8，∠A ＝105°； (2)a ＝10，b ＝20，∠A ＝80°； (3)b ＝10，c ＝56，∠C ＝60°； (4)a ＝23，b ＝6，∠A ＝30°. [解析] (1)∵a ＝7，b ＝8， ∴a <b ，又∵∠A ＝105°>90°，∴无解． (2)a ＝10，b ＝20，a <b ，∠A ＝80°<90°， ∵b sin A ＝20·sin80°>20·sin60°＝103， ∴a <b ·sin A ，∴无解．(3)b ＝10，c ＝56，b <c ，∠C ＝60°<90°，∴有一解．∵sin B ＝b sin C c ＝10·sin60°56＝22，∴∠B ＝45°，∠A ＝180°－(∠B ＋∠C )＝75°.∴a ＝b sin A sin B ＝10·sin75°sin45°＝10×6＋2422＝5(3＋1)．(4)a ＝23，b ＝6，a <b ，∠A ＝30°<90°， 又∵b sin B ＝6sin30°＝3，a >b sin A ，∴有两解．由正弦定理，得sin B ＝b sin A a ＝6sin30°23＝32，∴∠B ＝60°或120°.当∠B ＝60°时，∠C ＝90°， c ＝a sin C sin A ＝23sin90°sin30°＝43；当∠B ＝120°时，∠C ＝30°， c ＝a sin C sin A ＝23sin30°sin30°＝2 3.15．(2009·全国Ⅱ)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，cos(A －C )＋cos B ＝32，b 2＝ac ，求B . [解析] 由cos(A －C )＋cos B ＝32及B ＝π－(A ＋C )得cos(A －C )－cos(A ＋C )＝32，∴cos A cos C ＋sin A sin C －cos A cos C ＋sin A sin C ＝32，∴sin A sin C ＝34.又∵b 2＝ac ，由正弦定理，得sin 2B ＝sin A sin C ，∴sin 2B ＝34，∴sin B ＝32.∴B ＝π3或2π3.若B ＝2π3时，边b 为最大边，∴b >a ，b >c ，∴b 2>ac 这与已知b 2＝ac 矛盾，∴B ≠2π3.故B ＝π3.16．(2008·宁夏、海南文)如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2.(1)求cos ∠CBE 的值；(2)求AE .[解析] (1)∵∠BCD ＝90°＋60＝150°，CB ＝AC ＝CD ， ∴∠CBE ＝15°.∴cos ∠CBE ＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°.sin30°＝6＋24. (2)在△ABE 中，AB ＝2，由正弦定理，得 AE sin ∠ABE ＝ABsin ∠AEB ，即AE sin(45°－15°)＝2sin(90°＋15°)， 故AE ＝2sin30°cos15°＝2×126＋24＝6－ 2.17．在△ABC 中，已知tan B ＝3，cos C ＝13，AC ＝36，求△ABC 的面积．[解析] 设在△ABC 中AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b .由tan B ＝3得，B ＝60°，∴sin B ＝32，cos B ＝12.又cos C ＝13，∴sin C ＝1－cos 2C ＝223.由正弦定理，得c ＝b sin Csin B ＝36×22332＝8.又∵sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝36＋23，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×36×8×(36＋23)＝62＋8 3.。
正弦定理余弦定理综合练习题含答案
正弦定理综合练习题1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于( )A. 6B. 2C. 3 D．26 2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )A．4 2 B．4 3 C．4 6 D.32 33．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°，a＝43，b＝42，则角B为( )A．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对4．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于( ) A．1∶5∶6B．6∶5∶1 C．6∶1∶5 D．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝1∶5∶6.5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c＝( )A．1 B.12C．2 D.146．在△ABC中，若cos Acos B＝ba，则△ABC是( )A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形7．已知△ABC中，AB＝3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积为( )A.32B.34C.32或 3 D.34或328．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c＝2，b＝6，B＝120°，则a 等于( )A. 6 B．2 C. 3 D.29．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝1，c＝3，C＝π3，则A＝________.10．在△ABC中，已知a＝433，b＝4，A＝30°，则sin B＝________.11．在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，则a＋c＝________. 12．在△ABC中，a＝2b cos C，则△ABC的形状为________．13．在△ABC中，A＝60°，a＝63，b＝12，S△ABC＝183，则a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝________，c＝________.14．已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，a＝1，则a－2b＋csin A－2sin B＋sin C＝________.15．在△ABC中，已知a＝32，cos C＝13，S△ABC＝43，则b＝________.16．在△ABC中，b＝43，C＝30°，c＝2，则此三角形有________组解．17．如图所示，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后船到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，及灯塔A的距离是多少？18．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a＝23，sin C2cosC2＝14，sin B sinC＝cos2A 2，求A、B及b、c.19．在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且cos 2A＝3 5，sin B＝10 10(1)求A＋B的值；(2)若a－b＝2－1，求a，b，c的值．20．△ABC中，ab＝603，sin B＝sin C，△ABC的面积为153，求边b的长．余弦定理综合练习题1．在△ABC中，如果BC＝6，AB＝4，cos B＝13，那么AC等于( )A．6 B．2 6 C．3 6 D．462．在△ABC中，a＝2，b＝3－1，C＝30°，则c等于( )A. 3B. 2C. 5 D．23．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋3bc，则∠A等于( )A．60° B．45° C．120° D．150°4．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tan B＝3ac，则∠B的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π35．在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，则a cos B＋b cos A等于( ) A．a B．b C．c D．以上均不对6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度决定7．已知锐角三角形ABC中，|AB→|＝4，|AC→|＝1，△ABC的面积为3，则AB→·AC→的值为( )A．2 B．－2 C．4 D．－48．在△ABC中，b＝3，c＝3，B＝30°，则a为( )A. 3 B．2 3 C.3或2 3 D．29．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．10．△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．11．已知a、b、c是△ABC的三边，S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝53，则边c的值为________．12．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则cos A∶cos B∶cos C＝________.13．在△ABC中，a＝32，cos C＝13，S△ABC＝43，则b＝________.14．已知△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，AC＝6，则AB→·BC→的值为________．15．已知△ABC的三边长分别是a、b、c，且面积S＝a2＋b2－c24，则角C＝________.16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．17．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，且2cos(A＋B)＝1，求AB的长．18．已知△ABC的周长为2＋1，且sin A＋sin B＝2sin C.(1)求边AB的长；(2)若△ABC的面积为16sin C，求角C的度数．19．在△ABC中，BC＝5，AC＝3，sin C＝2sin A.(1)求AB的值；(2)求sin(2A－π4 )的值．20．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos A sin B＝sin C，确定△ABC 的形状．正弦定理综合练习题答案1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于( )A. 6B. 2C. 3 D．26解析：选A.应用正弦定理得：asin A＝bsin B，求得b＝a sin Bsin A＝ 6.2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )A．4 2 B．4 3 C．4 6 D.32 3解析：选C.A＝45°，由正弦定理得b＝a sin Bsin A＝4 6.3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°，a＝43，b＝42，则角B为( )A．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对解析：选C.由正弦定理asin A＝bsin B得：sin B＝b sin Aa＝22，又∵a>b，∴B<60°，∴B＝45°.4．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于( ) A．1∶5∶6B．6∶5∶1C．6∶1∶5 D．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝1∶5∶6.5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c＝( )A．1 B.12C．2 D.14解析：选A.C＝180°－105°－45°＝30°，由bsin B＝csin C得c＝2×sin 30°sin45°＝1.6．在△ABC中，若cos Acos B＝ba，则△ABC是( )A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵ba＝sin Bsin A，∴cos Acos B＝sin Bsin A，sin A cos A＝sin B cos B，∴sin2A＝sin2B即2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B，或A＋B＝π2.7．已知△ABC中，AB＝3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积为( )A.32B.34C.32或 3 D.34或32解析：选D.ABsin C＝ACsin B，求出sin C＝32，∵AB＞AC，∴∠C有两解，即∠C＝60°或120°，∴∠A＝90°或30°.再由S△ABC＝12AB·AC sin A可求面积．8．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c＝2，b＝6，B＝120°，则a 等于( )A. 6 B．2 C. 3 D.2解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2sin C，∴sin C＝12.又∵C为锐角，则C＝30°，∴A＝30°，△ABC为等腰三角形，a＝c＝ 2.9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝1，c＝3，C＝π3，则A＝________.解析：由正弦定理得：asin A＝csin C，所以sin A＝a·sin Cc＝12.又∵a＜c，∴A＜C＝π3，∴A＝π6. 答案：π610．在△ABC中，已知a＝433，b＝4，A＝30°，则sin B＝________.解析：由正弦定理得asin A＝bsin B⇒sin B＝b sin Aa＝4×12433＝32.答案：3211．在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，则a＋c＝________.解析：C＝180°－120°－30°＝30°，∴a＝c，由asin A＝bsin B得，a＝12×sin30°sin120°＝43，∴a＋c＝8 3.答案：8312．在△ABC中，a＝2b cos C，则△ABC的形状为________．解析：由正弦定理，得a＝2R·sin A，b＝2R·sin B，代入式子a＝2b cos C，得2R sin A ＝2·2R·sin B·cos C，所以sin A＝2sin B·cos C，即sin B·cos C＋cos B·sin C＝2sin B·cos C，化简，整理，得sin(B－C)＝0.∵0°＜B＜180°，0°＜C＜180°，∴－180°＜B－C＜180°，∴B－C＝0°，B ＝C.答案：等腰三角形13．在△ABC中，A＝60°，a＝63，b＝12，S△ABC＝183，则a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝________，c＝________.解析：由正弦定理得a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝asin A＝63sin60°＝12，又S△ABC＝12bc sin A，∴12×12×sin60°×c＝183，∴c＝6. 答案：12 614．已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，a＝1，则a－2b＋csin A－2sin B＋sin C＝________.解析：由∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3得，∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，∴2R＝asin A ＝1sin30°＝2，又∵a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，∴a－2b＋csin A－2sin B＋sin C＝2R sin A－2sin B＋sin Csin A－2sin B＋sin C＝2R＝2.答案：215．在△ABC中，已知a＝32，cos C＝13，S△ABC＝43，则b＝________.解析：依题意，sin C＝223，S△ABC＝12ab sin C＝43，解得b＝2 3.答案：2316．在△ABC中，b＝43，C＝30°，c＝2，则此三角形有________组解．解析：∵b sin C＝43×12＝23且c＝2，∴c<b sin C，∴此三角形无解．答案：017．如图所示，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后船到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，及灯塔A的距离是多少？解：在△ABC中，BC＝40×12＝20，∠ABC＝140°－110°＝30°，∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°，所以∠A＝180°－(30°＋105°)＝45°，由正弦定理得AC＝BC·sin∠ABCsin A＝20sin30°sin45°＝102(km)．即货轮到达C点时，及灯塔A的距离是10 2 km.18．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a＝23，sin C2cosC2＝14，sin B sinC＝cos2A2，求A、B及b、c.解：由sin C2cosC2＝14，得sin C＝12，又C∈(0，π)，所以C＝π6或C＝5π6.由sin B sin C＝cos2A2，得sin B sin C＝12[1－cos(B＋C)]，即2sin B sin C＝1－cos(B＋C)，即2sin B sin C＋cos(B＋C)＝1，变形得cos B cos C＋sin B sin C＝1，即cos(B－C)＝1，所以B＝C＝π6，B＝C＝5π6(舍去)，A＝π－(B＋C)＝2π3.由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C，得b＝c＝asin Bsin A＝23×1232＝2.故A＝2π3，B＝π6，b＝c＝2.19．在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且cos 2A＝35，sin B＝1010.(1)求A＋B的值；(2)若a－b＝2－1，求a，b，c的值．解：(1)∵A、B为锐角，sin B＝1010，∴cos B＝1－sin2B＝31010.又cos 2A＝1－2sin2A＝35，∴sin A＝55，cos A＝255，∴cos(A＋B)＝cos A cos B－sin A sin B＝255×31010－55×1010＝22.又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝π4 .(2)由(1)知，C＝3π4，∴sin C＝22.由正弦定理：asin A＝bsin B＝csin C得5a＝10b＝2c，即a＝2b，c＝5b.∵a－b＝2－1，∴2b－b＝2－1，∴b＝1.∴a＝2，c＝ 5.20．△ABC中，ab＝603，sin B＝sin C，△ABC的面积为153，求边b的长．解：由S＝12ab sin C得，153＝12×603×sin C，∴sin C＝12，∴∠C＝30°或150°.又sin B＝sin C，故∠B＝∠C.当∠C＝30°时，∠B＝30°，∠A＝120°.又∵ab＝603，asin A＝bsin B，∴b＝215.当∠C＝150°时，∠B＝150°(舍去)．故边b的长为215.余弦定理综合练习题答案1．在△ABC中，如果BC＝6，AB＝4，cos B＝13，那么AC等于( )A．6 B．2 6 C．3 6 D．46解析：选A.由余弦定理，得AC＝AB2＋BC2－2AB·BC cos B＝42＋62－2×4×6×13＝6.2．在△ABC中，a＝2，b＝3－1，C＝30°，则c等于( ) A. 3 B. 2 C. 5 D．2解析：选B.由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝22＋(3－1)2－2×2×(3－1)cos30°＝2，∴c＝ 2. 3．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋3bc，则∠A等于( ) A．60° B．45° C．120° D．150°解析：选D.cos∠A＝b2＋c2－a22bc＝－3bc2bc＝－32，∵0°＜∠A＜180°，∴∠A＝150°.4．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tan B＝3 ac，则∠B的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析：选D.由(a2＋c2－b2)tan B＝3ac，联想到余弦定理，代入得cos B＝a2＋c2－b22ac＝32·1tan B＝32·cos Bsin B.显然∠B≠π2，∴s in B＝32.∴∠B＝π3或2π3.5．在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，则a cos B＋b cos A等于( ) A．a B．b C．c D．以上均不对解析：选C.a·a2＋c2－b22ac＋b·b2＋c2－a22bc＝2c22c＝c.6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形D．由增加的长度决定解析：选A.设三边长分别为a，b，c且a2＋b2＝c2.设增加的长度为m，则c＋m＞a＋m，c＋m＞b＋m，又(a＋m)2＋(b＋m)2＝a2＋b2＋2(a＋b)m＋2m2＞c2＋2cm＋m2＝(c＋m)2，∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．7．已知锐角三角形ABC中，|AB→|＝4，|AC→|＝1，△ABC的面积为3，则AB→·AC→的值为( )A．2 B．－2 C．4 D．－4解析：选 A.S△ABC＝3＝12|AB→|·|AC→|·sin A＝12×4×1×sin A，∴sin A＝32，又∵△ABC为锐角三角形，∴cos A＝12，∴AB→·AC→＝4×1×12＝2.8．在△ABC中，b＝3，c＝3，B＝30°，则a为( )A. 3 B．2 3 C.3或2 3 D．2解析：选C.在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，即3＝a2＋9－33a，∴a2－33a＋6＝0，解得a＝3或2 3.9．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD 的长为________．解析：∵2B＝A＋C，A＋B＋C＝π，∴B＝π3 .在△ABD中，AD＝AB2＋BD2－2AB·BD cos B＝1＋4－2×1×2×12＝ 3.答案：310．△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．解：∵sin A∶sin B∶sin C＝(3－1)∶(3＋1)∶10，∴a∶b∶c＝(3－1)∶(3＋1)∶10.设a＝(3－1)k，b＝(3＋1)k，c＝10k(k＞0)，∴c边最长，即角C最大．由余弦定理，得cos C＝a2＋b2－c22ab＝－12，又C∈(0°，180°)，∴C＝120°.11．已知a、b、c是△ABC的三边，S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝53，则边c的值为________．解析：S＝12ab sin C，sin C＝32，∴C＝60°或120°.∴cos C＝±12，又∵c2＝a2＋b2－2ab cos C，∴c2＝21或61，∴c＝21或61.答案：21或6112．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则cos A∶cos B∶cos C＝________.解析：由正弦定理a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，设a＝2k(k＞0)，则b＝3k，c＝4k，cos B＝a2＋c2－b22ac＝2k2＋4k2－3k22×2k×4k＝1116，同理可得：cos A＝78，cos C＝－14，∴cos A∶cos B∶cos C＝14∶11∶(－4)．答案：14∶11∶(－4)13．在△ABC中，a＝32，cos C＝13，S△ABC＝43，则b＝________.解析：∵cos C＝13，∴sin C＝223.又S△ABC＝12ab sin C＝43，即12·b·32·223＝43，∴b＝2 3.答案：2314．已知△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，AC＝6，则AB→·BC→的值为________．解析：在△ABC中，cos B＝AB2＋BC2－AC22AB·BC＝49＋25－362×7×5＝1935，∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝7×5×(－1935)＝－19.答案：－19 15．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，则角C ＝________. 解析：12ab sin C ＝S ＝a 2＋b 2－c 24＝a 2＋b 2－c 22ab ·ab 2＝12ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°.答案：45°16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．解析：设三边长为k －1，k ，k ＋1(k ≥2，k ∈N )，则⎩⎨⎧ k 2＋k －12－k ＋12＜0k ＋k －1＞k ＋1⇒2＜k ＜4，∴k ＝3，故三边长分别为2,3,4，∴最小角的余弦值为32＋42－222×3×4＝78.答案：7817．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1，∴cos(π－C )＝12，即cos C ＝－12. 又∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝a 2＋b 2－2ab (－12)＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ＝(23)2－2＝10，∴AB ＝10. 18．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数． 解：(1)由题意及正弦定理得AB ＋BC ＋AC ＝2＋1，BC ＋AC ＝2AB ，两式相减，得AB ＝1.(2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C ＝16sin C ，得BC ·AC ＝13， 由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝AC ＋BC 2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC ＝12， 所以C ＝60°.19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π4)的值．解：(1)在△ABC中，由正弦定理ABsin C＝BCsin A，得AB＝sin Csin ABC＝2BC＝2 5.(2)在△ABC中，根据余弦定理，得cos A＝AB2＋AC2－BC22AB·AC＝255，于是sin A＝1－cos2A＝55.从而sin 2A＝2sin A cos A＝45，cos 2A＝cos2A－sin2A＝35.所以sin(2A－π4)＝sin 2A cosπ4－cos 2A sinπ4＝210.20．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos A sin B＝sin C，确定△ABC 的形状．解：由正弦定理，得sin Csin B＝cb.由2cos A sin B＝sin C，有cos A＝sin C2sin B＝c2b.又根据余弦定理，得cos A＝b2＋c2－a22bc，所以c2b＝b2＋c2－a22bc，即c2＝b2＋c2－a2，所以a＝b.又因为(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，所以(a＋b)2－c2＝3ab，所以4b2－c2＝3b2，所以b＝c，所以a＝b＝c，因此△ABC为等边三角形．。
正弦定理作业
正弦定理（一）作业 班级 姓名1、正弦定理的内容是2、已知ΔABC 中A=600，B=300，a=3；求边b=（ ） : Ａ ３ Ｂ ２ Ｃ 3D 23、（2007·重庆）在△ABC 中，,3AB =A=45°，C=75°，则BC=（ ）A 、33-B 、2C 、2D 、33+4、在ABC ∆中，, B=1350，C=150， a=5则此三角形的最大边长为_____ 5、（2011·北京）在ABC ∆中，若5=b ，4π=∠B ，2tan =A ，则=A sin ，=a .6、（2007·天津）在△ABC 中，已知AC=2，BC=3，54A cos-=求sinB 的值；7、（2007·全国）设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a=2bsinA ．求角B 的大小 答案：12sin sin sin a b c RABC===、 2、C 3、A 4、，6、257、6π正弦定理（二）作业 班级 姓名1、试判断下列三角形解的情况：已知060,12,11===B c b 则三角形ABC 有（ ）解 A 一 B 两 C 无解2、已知0110,3,7===A b a 则三角形ABC 有（ ）解A 一B 两C 无解3、在A B C ∆中，已知c=10，∠A ＝30o ，则∠B 等于（ ）A.105oB. 60oC. 15oD.105o 或15o4、在ABC ∆中，三个内角之比3:2:1::=C B A ，那么c b a ::等于____5、已知ΔABC 中 a+b=12 ，B=450 ，A=600则a= ，b=6、已知在ΔABC 中,三内角的正弦比为4:5:6，有三角形的周长为7.5，则其三边长分别为7、在ABC ∆中，已知02,45b cm B ==，如已知B c b sin 2=，求C ∠的度数答案：1、B 2、A 3、D 4、1:2 5、)12(32- 6、2 ,2.5 ,3 7、6π。
高一数学正弦定理试题答案及解析
高一数学正弦定理试题答案及解析1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．角A，B，C成等差数列．（1）求的值；（2）边a，b，c成等比数列，求的值【答案】（1）（2）【解析】（1）由已知易得,可得,即可求得；（2）由边a，b，c成等比数列可得，即,由（1）已知，即可求得结果．试题解析：（1）由已知2B＝A＋C，A＋B＋C＝180°，解得B＝60°，所以cos B＝．（2）由已知b2＝ac，及cos B＝，根据正弦定理得sin2B＝sin Asin C，所以sin Asin C＝1－cos2B＝．【考点】正弦定理的应用；等差、等边的性质．2.在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°,60°，则塔高为（）A B C D【答案】A【解析】如图所示：设山高为AB，塔高为CD为，且ABEC为矩形，由题意得，故选A【考点】直角三角形中的边角关系3.在，角A、B、C所对的边分别为，若，则=.【答案】.【解析】由正弦定理得，，化简得，，，由于，.【考点】正弦定理的应用.4.已知锐角△ABC的面积为，BC=4，CA=3，则角C的大小为（）A．75°B．60°C．45°D．30°【答案】B.【解析】由面积公式得，解之得，由于三角形为锐角三角形，因此.【考点】三角形的面积公式应用.5.在△ABC中，若，则△ABC的形状（）A．直角三角形B．等腰或直角三角形C．不能确定D．等腰三角形【答案】B【解析】由，又，所以△ABC的形状是等腰或直角三角形，故选Ｂ．【考点】正弦定理．6.在中，内角所对的边长分别为，，，．求和的值．【答案】【解析】由，可以求出的值，并有正弦定理可求得，由于则进而可求得，方法①由两个和的正弦公式可求得，并再次采用正弦公式可得，方法②由余弦定理建立的方程可求.试题解析:由得，由正弦定理得，所以由得所以，.【考点】正弦定理，余弦定理.7.在中，角对的边分别为，且．(1)求的值；(2)若，求的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）已知，根据正弦定理和合比定理求的值；（2）由余弦定理得出的值，再根据三角形的面积公式可求出的面积．试题解析：（1）因为，由正弦定理，得，∴；（2）∵，由余弦定理得，即，所以，解得或（舍去），所以.【考点】1、正弦定理；2、余弦定理；3、三角形面积公式.8.已知函数f(x)=msinx+cosx(m>0)的最大值为2.(1)求函数f(x)在［0,π］上的单调递减区间；(2)△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a,b,c, 且C=60°，c=3，求△ABC的面积.【答案】(1); (2).【解析】(1)根据辅助角公式，函数的最大值为令其为2，即可求得m，利用正弦函数的单调性可求得此函数的递减区间，找到［0,π］上的单调递减区间即可；（2）本小题关键是求得边a与b的乘积，利用正弦定理，把化为边a与b的关系，另一方面已知C=60°，c=3，由余弦定理，可得边a与b的另一关系，两式联立解得ab（当然也可解得a与b的单个值，但计算量大），利用可求得面积.试题解析：(1)由题意，f(x)的最大值为所以而m>0，于是m=，f(x)=2sin(x+).由正弦函数的单调性及周期性可得x满足即所以f(x)在［0,π］上的单调递减区间为(2)设△ABC的外接圆半径为R，由题意，得化简得sin A+sin B=2sin Asin B.由正弦定理，得①由余弦定理，得a2+b2-ab=9，即(a+b)2-3ab-9="0." ②将①式代入②，得2(ab)2-3ab-9=0，解得ab=3或 (舍去)，故【考点】辅助角公式, 正弦函数的单调性,正弦定理, 余弦定理,方程思想，三角形面积公式：.9.已知的三个内角成等差数列，它们的对边分别为，且满足，．（1）求；（2）求的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由成等差数列及可知，。