任意角的三角函数-讲义

１．2任意角的三角函数

(一)、任意角的三角函数

设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y , 那么:

(1）y 叫做α的正弦，记作sin α,即sin y α=;

（２）x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x α=;

（３)y x

叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=; 可以看出:当()2k k Z π

απ=+∈时,α的终边在y 轴上,这时点P 的横坐标0x =,所以

tan y x

α=无意义，除此之外，对于确定的角α，以上三个值都是唯一确定的。 正弦，余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的

函数，我们将它们统称为三角函数。

注:取角α的终边上任意一点(,)P a b (原点除外) ,则对应的角α的正弦值

sin α=，余弦值cos α=tan b a

α=。注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理。

例1、有下列命题:

①终边相同的角的同名三角函数的值相等;

②终边不同的角的同名三角函数的值不等;

③若sin α>0,,则α是第一、二象限的角;

④若α是第二象限的角，且(,)P x y 是其终边上一点,则

cos α=（其中正确的命

题的个数是） .

Ａ、1 B 、2 C 、3 D 、４

例２、若sin 0θ<且tan 0θ>,则θ是第_____＿____象限角。

例３、若sin cos 0θθ>,则θ在(）

A 、第一或第二象限

B 、第一或第三象限

C 、第一或第四象限 Ｄ、第二或

四象限

例4、已知sin sin ,cos cos ,sin cos 0θθθθθθ=-=-⋅≠且，判断点(tan ,sin )P θθ在

第几象限。

例５、已知角α的终边过点(3,4)(0)P a a a -≠,求2sin cos αα+的值

例6、有下列命题:

①终边相同的角的同名三角函数的值相等；

②终边不同的角的同名三角函数的值不等;

③若sin 0α>,则α是第一、二象限角;

④若α是第二象限角，且(,)P x y 是其终边上的任一点,则22cos x y α

=+

其中正确命题的个数是（)

Ａ、1 B 、2 C 、３ D 、４

例7、已知角θ的终边上有一点(,3)(0)P x x ≠，且10cos 10

x θ=

,求sin ,tan θθ的值 例8、已知 1

sin sin 01tan tan ααα+

<+，求α是第几象限角

（三）、三角函数的定义域

各种三角函数的定义域

例9：求函数sin cos tan x x y x

+=的定义域

（五)、诱导公式一

根据三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一种三角函数的值相等，由此得到公式一

例１4、求值

(1)00000sin(1320)cos1110cos(1020)sin 750tan 495-+-+

(2)1112sin()cos tan 465πππ-

+⋅

例15、(1)计算1112cos()sin tan 665

πππ-+⋅;（２）比较0sin1155与0sin(1654)-的大小

例16、确定0tan(672)-的符号

例17、求00000sin(1200)cos1290cos(1020)sin(1050)tan 945-⋅+-⋅-+的值

例1８、化简下列各式

（1）20200sin(1350)tan 4052cos(1080)a b ab -+--

（2)1112sin()cos tan 465

πππ-+⋅

（六）、同角三角函数的基本关系

一、同角三角函数的基本关系

1、平方关系：22sin cos 1αα+=

2、商数关系：sin tan (,)cos 2

k k Z απααπα=≠+∈ 他们还有如下等价形式: 2222sin sin 1cos ,cos 1sin ,sin cos tan ,cos tan αααααααααα=-=-==

222(sin cos )sin cos 2sin cos 1+2sin cos αααααααα+=++=

222(sin cos )sin cos 2sin cos 12sin cos αααααααα-=+-=-

22(sin cos )(sin cos )2αααα++-=

例19、已知tan 2α=-，求sin ,cos αα的值

例20 例21、化简44661cos sin 1cos sin αααα----

例2２、已知sin 3cos 0αα+=,求sin ,cos αα的值

例23、已知11sin ,cos ,333k k k k k αα+-==≠--,求tan 1tan 1

αα-+的值

例24、已知tan 3α=,求下列各式的值

(1）4sin cos 3sin 5cos αααα

-+ （2)2222sin 2sin cos cos 4cos 3sin αααααα--- (3)

2231sin cos 42αα+

例2５、已知1sin cos ,(0,)5

θθθπ+=

∈，求33sin cos ,sin cos θθθθ-+

例27、已知

tan 1tan 1

αα=--，求下列各式的值 （1)sin 3cos sin cos αααα-+；(2)2sin sin cos 2ααα++