第三章周期矩形脉冲的频谱
信号与系统课后习题与解答第三章
3-1 求图3-1所示对称周期矩形信号的傅利叶级数（三角形式和指数形式）。
图3-1解 由图3-1可知，)(t f 为奇函数，因而00==a a n2112011201)cos(2)sin(242,)sin()(4T T T n t n T n Edt t n E T T dt t n t f T b ωωωπωω-====⎰⎰所以，三角形式的傅利叶级数（FS ）为T t t t E t f πωωωωπ2,)5sin(51)3sin(31)sin(2)(1111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=指数形式的傅利叶级数（FS ）的系数为⎪⎩⎪⎨⎧±±=-±±==-= ,3,1,0,,4,2,0,021n n jE n jb F n n π所以，指数形式的傅利叶级数为Te jE e jE e jEe jEt f t j t j t j t j πωππππωωωω2,33)(11111=++-+-=--3-2 周期矩形信号如图3-2所示。
若：图3-22τT-2τ-重复频率kHz f 5= 脉宽 s μτ20= 幅度 V E 10=求直流分量大小以及基波、二次和三次谐波的有效值。
解 对于图3-2所示的周期矩形信号，其指数形式的傅利叶级数（FS ）的系数⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛====⎰⎰--22sin 12,)(1112212211τωττωππωττωωn Sa T E n n E dt Ee T T dt e t f T F tjn TT t jn n则的指数形式的傅利叶级数（FS ）为∑∑∞-∞=∞-∞=⎪⎭⎫⎝⎛==n tjn n tjn ne n Sa TE eF t f 112)(1ωωτωτ其直流分量为T E n Sa T E F n ττωτ=⎪⎭⎫ ⎝⎛=→2lim100 基波分量的幅度为⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=+-2sin 2111τωπEF F 二次谐波分量的幅度为⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=+-22sin 122τωπEF F 三次谐波分量的幅度为⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=+-23sin 32133τωπE F F 由所给参数kHz f 5=可得s T s rad 441102,/10-⨯==πω 将各参数的值代入，可得直流分量大小为V 110210201046=⨯⨯⨯--基波的有效值为())(39.118sin 210101010sin 210264V ≈=⨯⨯⨯- πππ二次谐波分量的有效值为())(32.136sin 251010102sin 21064V ≈=⨯⨯⨯- πππ三次谐波分量的有效值为())(21.1524sin 32101010103sin 2310264V ≈=⨯⨯⨯⨯- πππ3-3 若周期矩形信号)(1t f 和)(2t f 的波形如图3-2所示，)(1t f 的参数为s μτ5.0=，s T μ1= ，V E 1=； )(2t f 的参数为s μτ5.1=，s T μ3= ，V E 3=，分别求：（1）)(1t f 的谱线间隔和带宽（第一零点位置），频率单位以kHz 表示； （2）)(2t f 的谱线间隔和带宽； （3）)(1t f 与)(2t f 的基波幅度之比； （4）)(1t f 基波与)(2t f 三次谐波幅度之比。
周期性矩形脉冲频谱
这样,又一次分解,得到四个N/4点DFT, 两级蝶形运算,其运算量有大约减少一半，DFT的1/4。
对于N=8时DFT,N/4点即为两点DFT,因此
DIT的方法
再将N/2点DFT按k的奇偶分解为两个N/4点的DFT，如下图所示：
如此进行下去,直至分解为2点DFT。
如下图所示：按频率抽取法的运算特点
为所要分析的复频率的点数，即采样点的总数，不一定等于0θj e
从图中我们看到， 运算的主要部分是由线性系统来完成的。
由于系统的单位脉冲响应
2
2n 可以想象为频率随时间n 呈线性增长的复指数序列。
在雷达系统中,
，使其满足（2）将补上零值点，
，需要M次复乘。
lb L+N
NM次复数乘法。
可以看出，当
Hz)。
10点数据，后补零至100点,求X(e jw)，|X(k)|
w
有混叠、X(k)密度增加，不能区分w,
100点数据，求X(e jw)，|X(k)|
w
无混叠、能区分2
1w,
128点数据，求X(e jw)，|X(k)|
w
有混叠、能区分2
1w,
50数据，求X(e jw)，|X(k)|
xn=e (-0.05*n)，取N=20求其X(K) 矩形窗存在谱间泄漏
汉宁窗谱间泄漏减小
应用实例
一个长度为N的时域离散序列x(n)，其离散傅里叶变换X(k)（离散频谱）是由实部和虚部组成的复数，即
X
(k
R
列出频率轴几种定标方式的上图中f
′无量纲，在归一化频率谱图中，最高频率为
山东理工大学备课纸。
4.3 周期信号的频谱及特点
4.3
周期信号的频谱及特点
2）、周期矩形脉冲的频谱
有一幅度为E，脉冲宽度为τ的周期矩 形脉冲，其周期为T，如图所示。求 频谱。 T τ
−
τ
2
τ
2
Fn =
1 T
∫
2
T − 2
f (t ) e
− jnΩt
E e− jnΩt = T − jnΩ
τ
2 −
τ
2
E 2 − jnΩt dt = dt τ e ∫ − T 2 nΩτ sin( ) Eτ sin nΩτ 2E 2 2 = = T nΩτ T nΩ
1）、定义
依据复傅立叶系数Fn随nΩ的变化关系所画的图称为 双边频谱图，简称双边谱； |Fn|~ nΩ为双边幅度谱，见图4.3-1（b）；其 以纵轴对称。 θn~ nΩ为双边相位谱。见图4.3-1（d）图。其 以原点对称。
第 第23 23-8 8页 页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案 电子教案
, n = 0,1,2,..., φ0 = 0.
Fn ~ nΩ
θ n ~ nΩ
周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随 频率的变化关系。
第 第23 23-3 3页 页
■
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信号与系统 电子教案 电子教案
4.3
A0 f (t ) = + 2
∞
周期信号的频谱及特点
ω1
T τ = = 2π Ω τ T
2π
见课本P131 页图4.3-4。
增多。
(b)、 τ 一定，T增大，谱线间隔 Ω 减小，频谱谱 线密度增大。谐波幅度减小：
信号与系统(郑君里第二版)讲义第三章 傅里叶变换
t0
⎧0 ⎪T cos(mω1t )cos(nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪2 ⎩T1
m≠n m=n≠0 m=n=0
∫
∫
t0 +T1
t0
0 ⎧ ⎪T sin (mω1t )sin (nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪ ⎩2
m≠n m=n≠0
t0 +T1
t0
sin (mω1t )cos(nω1t )dt = 0 ，对于所有的 m 和 n
n =1
⎧ ⎪d 0 = a 0 ⎪ 2 2 ⎨d n = a n + bn ⎪ an ⎪θ n = arctan bn ⎩
n = 1,2,3,L n = 1,2,3,L
三、虚指数形式的傅里叶级数 任何周期信号 f (t ) 可以分解为
f (t ) =
n =−∞
∑ Fe
n
∞
jnω1t
傅里叶系数：
Fn = 1 t0 +T1 f ( t ) e − jnω1t dt ∫ t 0 T1
f (t )
E 2
−
T1 2
0
T1 2
t
奇函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = an = 0
4 bn = T1
Fn = −
∫ f (t )sin (nω t )dt
1
T1 2 0
1 π jbn ， ϕ n = − 2 2
6
奇函数的 Fn 为虚数。在奇函数的傅里叶级数中不会含有余弦项，只可能含 有正弦项。 3、奇谐函数（半波对称函数） 若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转， 此时波形并不发生变 化，即满足 ⎛ T ⎞ f (t ) = − f ⎜ t ± 1 ⎟ 2⎠ ⎝ 这样的函数称为半波对称函数或称为奇谐函数。 奇谐函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = 0 an = bn = 0 （ n 为偶数） （ n 为奇数）
矩形序列的频谱
矩形序列的频谱
矩形序列是一种离散信号，由一系列矩形脉冲组成。
频谱是对信号在频域上的表示，可以用来描述信号的频率成分。
对于矩形序列，其频谱可以通过傅里叶变换来计算。
傅里叶变换将时域上的信号转换为频域上的频谱。
矩形序列的频谱具有周期性，并且在频谱中存在一系列的谐波成分。
频谱中的主要成分是基频和其谐波。
基频对应于矩形序列的周期，而谐波则是基频的整数倍。
具体而言，矩形序列的频谱可以表示为一个包含无限多个谐波的频谱线。
其中，基频对应于频谱线的第一个峰值，而其他谐波则依次出现在基频的整数倍位置。
频谱的幅度表示了不同频率成分的强度，而相位表示了不同频率成分之间的相对关系。
总结起来，矩形序列的频谱是一个包含基频和谐波的频谱线，具有周期性。
通过分析频谱，我们可以了解矩形序列中不同频率成分的强度和相对关系。
信号与系统第三章-周期信号的傅里叶级数表示
一. 连续时间傅里叶级数
成谐波关系的复指数信号集:
k(t) { ejk 0 t}k 0 , 1 , 2 ,
其中1. 每个信号都是以 2 为周期的.
2.公共周期为
2 0
k 0
，且该集合中所有的信号都
是彼此独立的。
若将信号集 k (中t ) 所有的信号线性组合起来
有 x(t) akejk0t, k0,1 , 2
——傅里叶级数的三角函数表示式
若令 ak Bk jCk 则
x (t) a 0 1(B k jC k)e jk 0 t (B k jC k)e jk 0 t
k
k 1
a 0 (B k jC k)e jk 0 t (B k jC k)e jk 0 t k 1
ak* ak
k1
a k * a k A k e jk A k e j k
即： Ak Ak
k k
结论： 若 x ( t ) 是实信号,则有：
a k 的模关于k 偶对称，幅角关于 k 奇对称。
x(t)a 0[A kejk0 tejkA kejk0 tejk] k 1
a02 Akcos(k0tk) k1
B kjC kB kjC k
因此 Bk Bk
Ck Ck
结论： 若 x ( t ) 是实信号,则有：
a k 的实部关于 k 偶对称，虚部关于 k 奇对称。
将关系 Bk Bk , Ck Ck 代入，可得到
x (t) a 0 (B k jC k)e jk 0 t (B k jC k)e jk 0 t k 1 a 0 (B kjC k)ejk 0 t (B kjC k)ejk 0 t k 1 a02 B kcosk0tC ksink0t k1
第3章 频谱分析
jn1t
n 1
F jn e
1
jn1t
式(3-9)又可写为
f t
F jn e
1
jn1t
F e
n
jn1t
(3-10)
第 3章
连续时间系统的频域分析
式(3-10)称为周期信号f(t)的指数形式傅立叶级数展开式, 其中F(jnω1)为傅立叶系数, 简写为Fn, 又称为频谱函数。 由于 Fn为复数, 所以式(3-10)又称为复系数形式傅立叶级数展开式。 傅立叶系数Fn为
(n=0, 1, 2, 3, …) 4 T /2 bn f t sin n1tdt T 0
an 0
第 3章
连续时间系统的频域分析
(3) 奇谐函数。 若周期信号f(t)波形沿时间轴平移半个周 期后与原波形相对于时间轴镜像对称, 即满足
T f t f t 2
bn 0
故
1 2 sinn π/ 4 f t a0 an cos n1t cos n1t 2 n π n 1 n 1
因此
1 a0 2
an
2 sinn π/ 4 nπ
第 3章
连续时间系统的频域分析
即 a0=0.5 a1=0.45 a2≈0.32 a3=0.15
1807年, 傅立叶以他惊人的洞察力大胆断言: 任何周期函数都
可以用收敛的正弦级数表示。 他的关于把信号分解为正弦分 量的思想对后来的自然科学等领域产生了巨大的影响。
周期信号是定义在(－∞, ∞)区间内, 每隔一定时间T按相
同规律重复变化的信号。 图3-1所示是实际的周期性非正弦信号, 它们一般表示为
周期矩形脉冲频谱的研究
当T→∞时，ω1→0，
F (n1)
E
T
sa( n1
2
)
0
周期信号→非周期信号 离散频谱→连续频谱
从本例研究脉冲宽度与频谱的关系
从零频到所需考虑的最高频率分量的范围定义 为信号的有效频带宽度，简称信号的频宽或带宽。
对于频谱结构的包络线是抽样函数的信号，通
常把零频到包络线上第一零点的频率范围规定为频
宽，即：
E 10
40
0 40
2T t
n1
3、
1 ，T 20
1，则F (n1)
E sa(n )
20 20
f (t)
E
T
21
22
21
F(n1)
E 20
40
0 40
Tt
n1
从本例研究周期T与频谱的关系
谱线越周密期集T越，大但，与谱此线同间时隔谐越波小幅（度因却为随着1 周 2T期 ）的，增 加而减小。
1、 1 ，T 1，
20
4
Fn1
2
)
E 5
Sa( n
5
)
f (t)
E
4T 3T 2T T T 2T 3T 4T t
22
F(n1)
E 5
40
0 40
n1
2、
1 ，T 20
1，则F 2
(n1
)
E 10
sa( n
10
)
f (t)
E
2T
T
1
4
2
2
1
4
T
F(n1)
2
0~
用Bω表示频宽， Bf表示以赫兹为单位的频宽
B 2
信号与系统3.3典型信号的傅里叶级数
1 2
sin2ω1t
1 3
sin3ω1t
1 4
sin4ω1t
E
(1) n1
n 1
1 n
sin(n1t)
周期锯齿脉冲信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅
度以 1 的规律收敛。 n
第3章 傅里叶变换
四、周期三角脉冲信号
周期三角脉冲信号如图3-10所示。
f (t)
E
tT1ຫໍສະໝຸດ T1 20T1 2
第3章 傅里叶变换
三、周期锯齿脉冲信号
周期锯齿脉冲信号如图3-9所示。
f (t)
E
2
T1
2
t
T1
0
2
E
2
图3-9 周期锯齿脉冲信号
显然它是奇函数，因而an=0，由式(3-4)可以求出傅里
叶级数的系数bn。这样，便可得到周期锯齿脉冲信号的傅 里叶级数为
第3章 傅里叶变换
f(t)
E π
sinω1t
1 5
cos51t
2E
cos1t
1 3
cos31t
1 5
cos51t
其频谱函数如图3-8所示 由于对称方波的偶次谐波恰恰落在频谱包络线的零值 点，所以它的频谱只包含基波和奇次谐波。 该信号既是偶函数，又是奇谐函数，因此在它的频谱 中只包含基波和奇次谐波的余弦分量。
第3章 傅里叶变换 图3-8 对称方波频谱
T1
E
为ω１。脉冲间隔
T1
越大，谱线越密。
信号的周期T1增大 时，谱线的间隔变
小。反之变大
2
n
谱线包络 按抽样函 数衰减
4
2
4
第3章 傅里叶变换
第三章周期矩形脉冲的频谱
0
2
T
t
谱线间隔不变 2
T
Fn
1 8
2
0
第一个过零点增加一倍
幅值减小一倍
-
3
周期T不变，脉冲宽度变化 ③
情况 3： 1 T,6 F nT S(n a T ) 1 1S 6(n 1 a )6 ， 第一个过零点为 n =16 。
脉冲宽度再缩小一倍
f (t)
T
1
2
0
2
T
t
谱线间隔不变 2
周期矩形脉冲的频谱
f (t)
1
T
2
0
2
T
t
F n T 1 2 2e j n td T 1 t e j j n t n 2 2 T 2 s n n i 2 n T s n 2 n i 2 nn 0 , 1 , 2 ,
令 Sa(x) sinx 称为抽样函数，为偶函数。当 x0时 Sa(0)1，
f (t)
T
谱线间隔 2
T
1
2
0
2
1 Fn
4
T
t
第一个过零点：
S
a(2)0
2
2 4
2
0
Fn 在n有值，称为谱线；
-
2
周期T不变，脉冲宽度变化 ②
情况 2：T 8,F nT S(n a T )8 1S(n a 8 )， 第一个过零点为 n =8 。
脉冲宽度缩小一倍
f (t)
1
T
2
1 4
FFnn
1
8
幅值减小一倍
0
22
第一个过零点不变
-
7
脉冲宽度不变, 周期T变化 ③
情况 3：T16时，谱线间隔 2 ， 第一个过零点 2 。
三、周期性矩形脉冲频谱
1.0到下一个最大浮点数之间的差值。
该变量IEEE标准， eps=2-52, 近似为当输入或计算中有除以。
3.141 592 653 589 7…。
变量类型变量命名规则中对变量的命名应遵循以下规则：变量名可以由字母、字符长度不能大于局部变量是指那些每个函数体内自己定义的，工作空间访问的全局变量是指用关键字“global”声明的变量。
身的含义。
如果需要在工作空间和几个函数中都能访问一个全局变量，个函数中都声明该变量是全局的。
矩阵及其运算MATLAB最简单的方法是从键盘直接输入矩阵元素。
直接输入矩阵元素时应注意：各元素之间用空格或逗号隔开，用分号或回车结束矩阵行，用中括号把矩阵所有元素括起来。
对于特殊的矩阵可直接调用生成全0生成m其中对角线元素全为基本运算包括矩阵的加、减、计算两个矩阵的和的转置做矩阵乘法，必须要满足矩阵乘法的基本要求的行列式值8.3 基本语句for 循环变量end起始值和终止值为一整形数，步长可以为整数或小数，省略步长时，默认步长为循环时，判定循环变量的值是否大于步长为负时则判定是否小于则执行循环体，执行完毕后加上步长，whileend其执行方式为：若表达式为真(运算值非，则退出循环体，执行end后的语句。
条件转移语句有if中if语句的用法与其他高级语言相类似，格式一： ifend1执行语句2逻辑表达式1执行语句1else if 逻辑表达式执行语句2语句的用法与其他高级语言相类似，其基本语法格式为：switch表达式标量或字符串case 值2otherwise语句nend8.3.2 绘图语句MATLAB绘图语句有figure等。
有两种用法，只用一句figure(n)如果该图形窗口不存在，图形显示时分割窗口命令，把一个图形窗口分为函数帮助文件；函数体；这五个部分中最重要的是函数定义行和函数体。
函数定义行：MATLAB语言在文件的第一行用关键字“function”把函数，并指定它的名字（必须和文件名相同），同时也定义了函数的输入和输出参数。
周期信号的频谱
例题：O tf (t )T /31-TT如右图所示的周期性矩形脉冲信号（周期为T ）经过一个低通滤波器，求其响应及响应的平均功率。
已知该滤波器的传递函数为()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤<-≤=--时时时T T e T T e j H j j ωππωππωπωωωτωτ6,063,3/23,分析：周期信号可以分解成直流、基波、高次谐波等分量每个分量经过滤波器 复数解法解：求傅立叶系数：⎰-=3/001T tjn n dt eTC ωO tf (t )T /31-TT令ω0=2π/T3/0001T t jn eTjn ωω--=3/3sin 31ππjn e n c -⎪⎭⎫ ⎝⎛=3100==C A 2nj n n A eC ϕ=~基波和n 次谐波的复数表示低通滤波器只通过低于3ω0的信号，因此信号中只有直流、基波和二次谐波分量通过。
输出信号中的直流分量为：()3100==ωωj H A解：输出信号中的基波分量的复数表示为：()()τωπωωφπω0013/13sin 32+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=j j e c j H eA 输出信号中的二次谐波分量的复数表示为：()()τωπωωφπω00223/22232sin 94+-=⎪⎭⎫⎝⎛=j j e c j H e A 输出信号的时域表达式为：⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+τωπωπτωπωπ00002322cos 32sin 943cos 3sin 3231t c t c 输出信号的平均功率为：280.02sin 41sin 211222≈⎥⎤⎢⎡⎪⎫⎛+⎥⎤⎢⎡⎪⎫ ⎛+⎪⎫ ⎛=ππc c P out第三章：信号的频谱§3-1 周期信号的频谱§3-2 非周期信号的频谱密度 傅立叶变换与频谱密度信号的频谱分布与带宽基本信号的频谱密度§3-3 频谱分析的基本定理§3-4 采样定理傅立叶变换的引出如何从频域描述一个非周期信号？tf (t )傅立叶级数？——显然不行怎么办？退而求其次，先考虑描述函数在有限区间[a,b)上的一段吧tf a,b (t )a btf T (t )a b考虑有限区间周期扩展再扩展成周期T =b -a 的函数f T (t )f T (t ):周期函数~可以用傅立叶级数表示在区间[a,b)上与f (t ) 相同傅立叶变换的引出tf T (t )a b()(),1100dt et f Tdte tf T C tjn bat jn ba T n ωω--⎰⎰==()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++∈-++=∑∞-∞=b a t b f a f b a t t f t f eC n tjn n或,2)0(0,,2)0(00ω傅立叶级数只在区间(a,b ) 上收敛于f (t )，因此C n 并不是f (t ) 的复频谱如果f T (t ) 满足狄利克雷条件，则可以展开成傅立叶级数：定义：则：ω0=2π/T傅立叶变换的引出进一步，选取对称区间[-T /2,T /2)。
3.2.1 周期信号的频谱周期信号的频谱分析——傅里叶级数
4
狄利克雷（Dirichlet）条件 条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的 数目应是有限个。
条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有 限个；
条件3:在一周期内，信号绝对可积;
5
狄利克雷（Dirichlet）条件1:例1 不满足条件1的例子如下图所示，这个信号的周期 为8，它是这样组成的：后一个阶梯的高度和宽度是前一 个阶梯的一半。可见在一个周期内它的面积不会超过8， 但不连续点的数目是无穷多个。
0
1
1
0
1
2 1
2 1
指数形式的频谱图
F n 1
0.15
n
0.5
1.12
1
1.12
0.5
2 1
0.15 2 1
1
0.25
2 1 1
0
1
1
0
0.15
2 1
0.25
21
四．总结
（1）周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式
满足离散性，谐波性不满足收敛性，频带无限宽
26
一．频谱结构
f (t ) E
/ 2
脉宽为 脉冲高度为E 周期为T1
T1
/2
T1
t
1. 指数函数形式的谱系数
2. 频谱特点
27
1．指数形式的谱系数
1 F ( n 1 ) T1
1 = T1
jn 1 t
T1
T1
2 2
f ( t )e jn1t d t
bn n tg a n
1
关于的偶函数（实际 n 取正值） 关于的奇函数（实际 n 取正值） 关于的偶函数 关于 的奇函数
信号与系统第三章(2)
F n ⋅ 2 πδ (ω − n ω
) )
= 2π
n = −∞
∑
∞
F n ⋅ δ (ω − n ω
0
即周期信号的傅里叶变换为
F (ω ) = 2π ∑ Fn ⋅ δ (ω − nω 0 )
−∞
∞
上式表明：周期信号的频谱函数，是由无限多个冲激组 上式表明：周期信号的频谱函数， 成，这些冲激位于基频整数倍的频率 nω0处，每一冲激的 强度即为 2π Fn 。
3.5.1 单位冲激 δ (t )
由根据傅里叶变换的定义式， 由根据傅里叶变换的定义式，并且考虑到冲激函 数的抽（取）样性质，得 数的抽（ 样性质，
F (ω ) = ∫ δ (t )e
−∞
∞
− jωt
dt = ∫ δ (t )dt = 1
−∞
∞
结论:
1、单位冲激信号在整个频率范围内具有恒定的频 、单位冲激信号在整个频率范围内具有恒定的频 恒定的 谱函数,为常数1,即冲激信号包含相对幅度相等的所 谱函数 为常数 即冲激信号包含相对幅度相等的所 有频率分量,相位都为 相位都为0. 有频率分量 相位都为 2、信号的持续时间与其频带宽度成反比。 反比。 、信号的持续时间与其频带宽度成反比
−∞ ∞ − jωt
dt = ∫ τ e
2 − 2
− jωt
dt =
e
−e − jω
j
ωτ
2
3.5.7 虚指数函数
利用傅里叶反变换定义和冲激函数的抽样性质， 利用傅里叶反变换定义和冲激函数的抽样性质，可得
1 F [δ (ω − ω 0 )] = 2π
−1
∫ δ (ω − ω )e
−∞ 0
∞
第三章周期信号的傅里叶级数表
2T1 T0
Sa k
2
T0
T1
谱线为离散的（谐波性），在
k0
k
2
T0
时取值，
脉冲周期越大，谱线间隔 0 越小，越密；
各点频谱大小与脉宽 T1 成正比，与周期 T0 成反比；
频谱包络线形状：抽样函数，过零点为最大值为 2T1
T0
主要能量在第一过零点内，第一个零点坐标为:
k 1, kω0T1
k
k
ak
1 T
x(t)e jk0tdt 1
T
T
x(t)e jk(2 T )tdt
T
28
29
解：方法一：直接利用公式进行求解
ak
1 T
x(t)e jk0t dt 1
T
T
x(t)e jk(2 T )t dt
T
方法二：
x(t)
a k e jk0t
a e jk(2 T )t k
k
46
47
48
这两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶级 数收敛的充分条件。相当广泛的信号都能满足这 两组条件中的一组，因而用傅里叶级数表示周期 信号具有相当的普遍适用性。
49
50
三 、吉伯斯（Gibbs）现象 满足Dirichlet条件的信号，其傅里叶级数
是如何收敛于 的x。t 特别当 具有xt间
7
补充例题：
例:对单位冲激响应 h(t) 的 (LtT) I系统，其特征函数，
相应的特征值是什么?
解：Q h(t) (t) 的 LTI 系统是恒等系统，所以任何函 数都是它的特征函数，其特征值为 1。
例:如果一个LTI系统的单位冲激响应为， h(t) (t T)
周期矩形信号的频谱分析
1、周期信号的频谱周期信号在满足一定条件时,可以分解为无数三角信号或指数之与。
这就就是周期信号的傅里叶级数展开。
在三角形式傅里叶级数中,各谐波分量的形式为()1cos n n A n t ωϕ+;在指数形式傅里叶级数中,分量的形式必定为1j n tn F eω 与1-j -n tn F eω 成对出现。
为了把周期信号所具有的各次谐波分量以及各谐波分量的特征(如模、相角等)形象地表示出来,通常直接画出各次谐波的组成情况,因而它属于信号的频域描述。
以周期矩形脉冲信号为lifenxi 周期信号频谱的特点。
周期矩形信号在一个周期(-T/2,T/2)内的时域表达式为,20,>2()A t T t f t ττ≤⎧=⎨⎩(2-6)其傅里叶复数系数为12n n A F Sa T ωττ⎛⎫=⎪⎝⎭(2-7) 由于傅里叶复系数为实数,因而各谐波分量的相位为零(n F 为正)或为π±(n F 为负),因此不需要分别画出幅度频谱n F 与相位频谱n φ。
可以直接画出傅里叶系数n F 的分布图。
如图2、4、1所示。
该图显示了周期性矩形脉冲信号()T f t 频谱的一些性质,实际上那个也就是周期性信号频谱的普遍特性: ① 离散状频谱。
即谱线只画出现在1ω的整数倍频率上,两条谱线的间隔为1ω(等于2π/t)。
② 谱线宽度的包络线按采样函数()1/2a S n ωτ的规律变化。
如图2、4、2所示。
但1ω为2πτ时,即()2m πωτ=(m=1,2,……)时,包络线经过零点。
在两相邻 零点之间,包络线有极值点,极值的大小分别为-0、212()2A T τ,0、127()2A T τ,……③谱线幅度变化趋势呈收敛状,它的主要能量集中在第一个零点以内,因而把w=0- 2 / 这段频率范围称为信号的有效带宽, B ω或B f2B rad πωτ=1B f hz τ=图2、4、12、4、2 频谱包络线由上两式可见,信号频带宽度只与脉宽 有关,且成反比关系,这时信号分析中最基本的特性。
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频谱为： F nT S(n a 2) n0 , 1 ,2 ,
其中： 2
T
为基波频率， Fn 在n有值，称为谱线；
Sa(2 )
为包络线，
2
m
即 2m
处为零。
-
1
周期T不变，脉冲宽度变化 ①
情况 1：T 4,F nT S(n a T )1 4S(n a 4 )， 第一个过零点为 n =4 。
结论
不变，Fn 的第一个过零点频率不变，
即
2
，
f 1
带宽不变。
T 由小变大，谐波频率成分丰富，并且频谱的幅度变 小。
T 时，谱线间隔 0 ，这时：
周期信号 非周期信号；离散频谱 连续频谱
-
9
T 2
f (t)
谱线间隔 2
T 2
1
T
2
0
2
T
1 Fn
4
t
幅值:
F0
S
T
a(0)1 4
0
2
第一个过零点
-
6
脉冲宽度不变, 周期T变化 ②
情况 2： T 8 时，谱线间隔 2 ， 第一个过零点 2 。
T 4
周期T扩展一倍
T
ff ((tt))
11
T
22
00
22
T
T
t
t
谱线间隔减小一倍
f (t)
T
谱线间隔 2
T
1
2
0
2
1 Fn
4
T
t
第一个过零点：
S
a(2)0
2
2 4
2
0
Fn 在n有值，称为谱线；
-
2
周期T不变，脉冲宽度变化 ②
情况 2：T 8,F nT S(n a T )8 1S(n a 8 )， 第一个过零点为 n =8 。
脉冲宽度缩小一倍
f (t)
1
T
2
T
Fn
1 16
0
幅值再减小一倍
2
第一个过零点再增加一倍
-
4
结论
由大变小，Fn 的第一个过零点频率增大，
即
2
，
f 1
称为信号的带宽， 确定了带宽。
由大变小，频谱的幅度变小。 由于 T 不变，谱线间隔不变，即 2 不变。
T
-
5
脉冲宽度不变, 周期T变化 ①
情况 1： T4时，谱线间隔 2 ， 第一个过零点 2 。
0
2
T
t
谱线间隔不变 2
T
Fn
1 8
2
0
第一个过零点增加一倍
幅值减小一倍
-
3
周期T不变，脉冲宽度变化 ③
情况 3： 1 T,6 F nT S(n a T ) 1 1S 6(n 1 a )6 ， 第一个过零点为 n =16 。
脉冲宽度再缩小一倍
f (t)
T
1
2
0
2
T
t
谱线间隔不变 2
周期矩形脉冲的频谱
f (t)
1
Tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
0
2
T
t
F n T 1 2 2e j n td T 1 t e j j n t n 2 2 T 2 s n n i 2 n T s n 2 n i 2 nn 0 , 1 , 2 ,
令 Sa(x) sinx 称为抽样函数，为偶函数。当 x0时 Sa(0)1，
1 4
FFnn
1
8
幅值减小一倍
0
22
第一个过零点不变
-
7
脉冲宽度不变, 周期T变化 ③
情况 3：T16时，谱线间隔 2 ， 第一个过零点 2 。
T 8
周期T再扩展一倍
f (t)
1
T
T
2
0
2
T
谱线间隔再减小一倍
1 FFnn
8161
T
t
幅值再减小一倍
0 0
2 2
第一个过零点不变
-
8