衡水重点中学状元笔记——数学
衡水重点中学状元手写笔记高中数学
阅读感受
《衡水重点中学状元手写笔记高中数学》这本书，给人留下了深刻的印象。 它不仅是一本高中数学的学习笔记，更是一本展现学习方法和思考智慧的珍贵指 南。
这本书的笔记内容极其丰富。它不仅涵盖了高中数学的基本知识点，还详细 地记录了各种解题技巧和思路。每一页都充满了状元对数学知识的独特见解和深 入分析，使得读者能够从中获得更多的启示和思考。
《衡水重点中学状元手写笔记高中数学》的目录分析显示，本书具有以下特 点：知识点覆盖全面、重点难点突出、内容层次分明、实例解析丰富、图表与注 释详尽等。这些特点使得本书成为学生学习高中数学知识的有力助手。本书也具 有一定的趣味性，能够激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。因此，对 于广大高中生来说，《衡水重点中学状元手写笔记高中数学》是一本值得一读的 好书。
目录分析
《衡水重点中学状元手写笔记高中数学》目录分析
《衡水重点中学状元手写笔记高中数学》是一本旨在帮助学生掌握高中数学 知识的参考书。本书的目录经过精心设计，反映了高中数学的重要知识点和核心 内容，对于学生和教师都具有很高的参考价值。本书将对本书的目录进行分析， 探讨其特点、结构以及内容分布。
《衡水重点中学状元手写笔记高中数学》的目录涵盖了高中数学的所有知识 点，包括代数、几何、概率与统计等多个方面。这使得学生在使用本书时，能够 全面系统地掌握数学知识，提高数学素养。
精彩摘录
《衡水重点中学状元手写笔记高中数学》精彩摘录
制定计划：制定学习计划是提高学习效率的重要方法。在制定计划时，我们 应该考虑每天的学习任务、时间安排和目标，确保我们的学习有条不紊地进行。
积极思考：学习数学需要我们积极思考，通过思考问题、解决问题来提高思 维能力。在听课、做题时，我们应该善于总结规律、发现问题，从而掌握数学的 本质。
2021高考冲刺衡水中学高考状元全9科手写笔记曝光,考试多考30分
2021高考冲刺！衡水中学高考状元全9科手写笔记曝光，考试多考30分！一位高考状元在抖音上晒出自己的课堂笔记，结果获得260.6万的高赞。
在2.5万的留言中，除了赞扬这份努力，肯定笔记的价值，也有一些网友提出了疑问：我有一摞，可是我还是没有考上我想去的地方。
上课听懂了也记了笔记，下课还是不会做题；课堂笔记到底怎么记录和复习呢？求支招。
相信以上的困惑并不只是这三位网友独有的。
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衡水重点中学状元手写笔记7.0
衡水重点中学状元手写笔记7.0一、背景介绍衡水重点中学作为一所知名的高中，拥有悠久的历史和优秀的教育资源。
每年，这所学校都会培养出众多的优秀毕业生，其中不少人会成为高考状元。
这些状元们的手写笔记因此成为了宝贵的资料，对于其他学生来说具有重要的参考价值。
经过多年的积累和整理，这些手写笔记已经成为了衡水重点中学的一大特色。
二、手写笔记的特点1. 笔记内容覆盖面广衡水重点中学状元的手写笔记涵盖了高中阶段的所有学科，包括语文、数学、英语、物理、化学、生物等。
这些笔记不仅有课堂上的重点知识点，还有备考策略、答题技巧等方面的内容。
2. 手写笔记个性化强每位状元都有自己独特的笔记风格和特点。
他们的字迹清晰、工整，排版美观，颜色丰富。
笔记中还包含了大量的图表、图示和注释，使得学习过程更加直观和易于理解。
3. 笔记内容实用性强状元们在学习过程中积累了大量的经验和技巧，这些经验和技巧都被详细地记录在笔记中。
这些实用的方法和技巧对于其他学生来说具有重要的参考价值，可以帮助他们更好地掌握知识和提高学习效率。
三、手写笔记的价值1. 学习借鉴价值对于其他学生来说，状元的手写笔记具有重要的学习借鉴价值。
通过阅读这些笔记，他们可以了解到状元的思维方式和学习方法，发现自己的不足之处并加以改进。
同时，他们还可以从笔记中获取一些备考的策略和技巧，提高自己的学习效率和成绩。
2. 学术研究价值状元的手写笔记不仅对于学生有重要的参考价值，对于学术研究也具有一定的价值。
通过对这些笔记的研究和分析，我们可以深入了解状元们的学习方法和思维方式，探索他们的成长规律和学习影响因素。
这些研究成果可以为教育工作者提供有益的启示和借鉴，有助于更好地培养优秀人才。
四、如何使用手写笔记1. 查阅相关资料，了解学科特点和学习方法。
在阅读状元手写笔记之前，建议读者先查阅相关的学科资料，了解学科特点和学习方法，这样可以更好地理解笔记中的内容和方法。
2. 选择合适的笔记进行阅读。
衡水中学高中数学知识点、公式、典型题总结
高中数学总复习（五）复习内容：高中数学第五章-平面向量 复习范围：第五章1. 长度相等且方向相同的两个向量是相等的量.注意：①若b a,为单位向量，则b a=. （⨯） 单位向量只表示向量的模为1，并未指明向量的方向. ②若b a=，则a∥b. （√）2. ①()a μλ=()a λμ ②()a a aμλμλ+=+ ③()b a b aλλλ+=+④设()()R y x b y x a ∈==λ,,,,2211 ()2121,y y x x b a ++=+()2121,y y x x b a --=-()21,y x a λλλ= 2121y y x x b a +=⋅ 2121y x a += （向量的模，针对向量坐标求模） ⑤平面向量的数量积：θcos b a b a ⋅=⋅ ⑥a b b a ⋅=⋅ ⑦()()()b a b a b aλλλ⋅=⋅=⋅ ⑧()c b c a c b a⋅+⋅=⋅+注意：①()()c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅不一定成立；cb b a⋅=⋅c a =. ②向量无大小（“大于”、“小于”对向量无意义），向量的模有大小.③长度为0的向量叫零向量，记0 ，0与任意向量平行，0的方向是任意的，零向量与零向量相等，且00=-. ④若有一个三角形ABC ，则0；此结论可推广到n 边形.⑤若a n a m =（R n m ∈,），则有n m =. （⨯） 当a等于0时，0==a n a m ，而n m ,不一定相等. ⑥a ·a =2||a ，||a =2a（针对向量非坐标求模），||b a⋅≤||||b a⋅. ⑦当0 ≠a 时，由0=⋅b a 不能推出0 ≠b ，这是因为任一与a 垂直的非零向量b ，都有a ·b =0.⑧若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c （×）当b 等于0时，不成立.3. ①向量b与非零向量．．．．a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得a bλ=（平行向量或共线向量）. 当a ,0 λ与b 共线同向：当,0 λa 与b 共线反向；当b 则为0,0与任何向量共线.注意：若b a ,ba = （×）若c 是a 的投影，夹角为θ，则c a =⋅θcos ，ca =θcos （√）②设a=()11,y x ，()22,y x b =a ∥b⇔=-⇔01221y x y x b a b a b a ⋅=⋅⇔=λ a ⊥b001221=+⇔=⋅⇔y y x x b a③设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，则A 、B 、C 三点共线⇔∥⇔=λ（0≠λ）⇔（1212,y y x x --）=λ（1313,y y x x --）（0≠λ） ⇔（12x x -）·（13y y -）=（13x x -）·（12y y -）④两个向量a、b 的夹角公式：222221212121cos y x y x y y x x +⋅++=θ⑤线段的定比分点公式：（0≠λ和1-）设 P 1P =λPP 2 （或P 2P =λ1P P ，且21,,P P P 的坐标分别是),(),,(,,2211y x y x y x ）（，则推广1：当1=λ时，得线段21P P 的中点公式：推广2λ=MB则λλ++=1PB PA PM （λ对应终点向量）.三角形重心坐标公式：△ABC 的顶点()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，重心坐标()y x G ,： 注意：在△ABC 中，若0为重心，则0=++OC OB OA ，这是充要条件.⑥平移公式：若点P ()y x ,按向量a =()k h ,平移到P ‘()'',y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ky y h x x ''4. ⑴正弦定理：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，所对的角为A 、B 、C ，则R CcB b A a 2sin sin sin ===. ⑵余弦定理：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=-+=C ab a b c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222⑶正切定理：2tan2tanB A BA ba b a -+=-+ ⑷三角形面积计算公式：设△ABC 的三边为a ，b ，c ，其高分别为h a ，h b ，h c ，半周长为P ，外接圆、内切圆的半径为R ，r . ①S △=1/2ah a =1/2bh b =1/2ch c ②S △=Pr ③S △=abc/4R④S △=1/2sin C ·ab=1/2ac ·sin B=1/2cb ·sin A ⑤S △=()()()c P b P a P P --- [海伦公式] ⑥S △=1/2（b+c-a ）r a [如下图]=1/2（b+a-c ）r c =1/2（a+c-b ）r b[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=33321321y y y y x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121xx x y y y ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121x x x y y y BPM如图：图1中的I 为S △ABC 的内心， S △=Pr的一个旁心，S △=1/2（b+c-a ）r a图1 图2 图3 图4附：三角形的五个“心”； 重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点.旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.⑸已知⊙O 是△ABC 的内切圆，若BC =a ，AC =b ，AB =c [注：s 为△ABC 的半周长,即2cb a ++] 则：①AE=a s -=1/2（b+c-a ） ②BN=b s -=1/2（a+c-b ） ③FC=c s -=1/2（a+b-c ）综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4）. 特例：已知在Rt △ABC ，c 为斜边，则内切圆半径r =cb a abc b a ++=-+2（如图3）. ⑹在△ABC 中，有下列等式成立C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++. 证明：因为,C B A -=+π所以()()C B A -=+πtan tan ，所以C BA BA tan tan tan 1tan tan -=-+，∴结论！⑺在△ABC 中，D 是BC 上任意一点，则DC BD BCBCAB BD AC AD ⋅-+=222.证明：在△ABCD 中，由余弦定理，有 B BD AB BD AB AD cos 2222⋅⋅-+=①在△ABC 中，由余弦定理有 BC AB AC BC AB B ⋅-+=2cos 222②，②代入①，化简可得，DC BD BCBCAB BD AC AD ⋅-+=222（斯德瓦定理）①若AD 是BC 上的中线，2222221a cb m a -+=； ②若AD 是∠A 的平分线，()a p p bc cb t a -⋅+=2，其中p 为半周长；③若AD 是BC 上的高，()()()c p b p a p p ah a ---=2，其中p 为半周长.⑻△ABC 的判定：⇔+=222b a c △ABC 为直角△⇔∠A + ∠B =2π2c ＜⇔+22b a △ABC 为钝角△⇔∠A + ∠B ＜2π B IABCD E F I AB C DE Fr ar ar abc aab c CDACB图52c ＞⇔+22b a △ABC 为锐角△⇔∠A + ∠B ＞2π 附：证明：abc b a C 2cos 222-+=，得在钝角△ABC 中，222222,00cos c b a c b a C +⇔-+⇔⑼平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.)2=。
初中衡水状元笔记
初中衡水状元笔记
“衡水状元笔记”通常是指河北省衡水中学的优秀学生所记录的学习笔记。
这些笔记可能涵盖了各个学科的知识点、重点、难点以及解题方法等内容。
需要注意的是，购买或使用他人的笔记并不能保证你能够取得同样优异的成绩。
每个人的学习方法和习惯都不同，笔记只是一种辅助工具，关键在于自己的学习态度和努力程度。
如果你对某个学科的学习感到困惑或需要帮助，可以考虑以下几点：
1. 自己整理笔记：通过自己动手整理笔记，可以加深对知识的理解和记忆，同时也有助于培养自己的归纳总结能力。
2. 与老师和同学交流：积极与老师和同学进行交流，讨论学习中的问题和难点，可以获得不同的观点和解题思路。
3. 多做练习和题目：通过大量的练习和题目，可以熟悉题型，提高解题能力，并发现自己的不足之处。
4. 制定合理的学习计划：根据自己的时间和能力，制定合理的学习计划，合理安排学习时间，提高学习效率。
最重要的是，要保持积极的学习态度和持续的努力，相信自己的能力，不断提升自己的学习水平。
衡水重点中学状元手写笔记资料
衡水重点中学状元手写笔记资料标题：深度探讨衡水重点中学状元手写笔记资料在当今社会，教育资源日益紧缺，各种培训班层出不穷，要想在激烈的竞争中脱颖而出，并非易事。
然而，衡水重点中学状元手写笔记资料却成为了备受关注的教育利器。
那么，究竟什么是衡水重点中学状元手写笔记资料？它又有何种价值和影响？在本文中，将对这一主题进行全面的解析和探讨。
一、什么是衡水重点中学状元手写笔记资料？衡水重点中学作为一所具有相当影响力的名校，其状元手写笔记资料一直备受关注。
这些资料通常由优秀学生在学业上的个人所得和心得，其篇幅广泛而深入，内容丰富而有深度。
这些资料的内容包括多科目的学习方法、习题答案、解题技巧、知识点梳理等，深受学生和家长的喜爱。
二、状元手写笔记资料的深度和广度针对状元手写笔记资料的深度和广度，无疑是其吸引人之处。
笔记资料的深度主要体现在它所包涵的丰富知识和深刻见解上，而广度则表现在其所覆盖的知识面和学科范围上。
这些资料能够帮助学生更好地理解知识，拓展思维，提高学习效率，从而达到事半功倍的效果。
三、衡水重点中学状元手写笔记资料的价值和影响状元手写笔记资料在教学中的价值和影响是不言而喻的。
它不仅能够帮助学生在学习中更好地领会知识，掌握学科核心要点，而且还能激发学生对知识的兴趣，提高学习动力。
它还为学生们提供了良好的学习范本，使他们能够更好地规划自己的学习方法和学习进度。
而对于学校和家长来说，衡水重点中学状元手写笔记资料更是一份珍贵的宝贵教育资源。
四、对衡水重点中学状元手写笔记资料的个人观点和理解在我看来，衡水重点中学状元手写笔记资料不仅是一份教育资源，更是一份无价的人生财富。
它不仅教会了我高效的学习方法和技巧，更激发了我对知识的热爱和渴求。
这些资料不仅帮助了我的学习，还在很大程度上影响了我的成长和人生观。
我坚信衡水重点中学状元手写笔记资料对我的影响是深远而持久的。
五、总结和回顾通过对衡水重点中学状元手写笔记资料的深度和广度进行全面评估后，我们能够更加深入地理解这些资料的地位和价值。
衡水新高一数学知识点总结
衡水新高一数学知识点总结数学是一门基础学科，也是现代科学的重要组成部分。
在高中阶段，数学作为一门学科和一种思维方式，对培养学生的逻辑思维能力、分析问题的能力以及解决实际问题的能力有着重要的作用。
近年来，衡水新高一数学课程加强了对数学知识点的总结和讲解，以帮助学生更好地理解和掌握数学知识。
本文将对衡水新高一数学课程中的重要知识点进行总结，旨在帮助学生复习和巩固所学知识。
1. 函数与方程1.1. 函数的概念：函数是一个或多个自变量与因变量之间的关系，用来描述事物之间的联系。
1.2. 一次函数：一次函数的表达式为y=ax+b，其中a和b为常数，表示直线的斜率和截距。
1.3. 二次函数：二次函数的表达式为y=ax²+bx+c，其中a、b 和c为常数，表示抛物线的开口方向和形状。
1.4. 指数函数：指数函数的表达式为y=a^x，其中a为底数，表示指数的变化规律。
1.5. 对数函数：对数函数的表达式为y=logₐx，其中a为底数，表示指数与底数的关系。
2. 三角函数与解三角形2.1. 正弦函数：正弦函数的图像是一条连续的波浪线，描述了角度与边长之间的关系。
2.2. 余弦函数：余弦函数的图像是一条连续的波浪线，描述了角度与边长之间的关系。
2.3. 正切函数：正切函数的图像是一条连续的波浪线，描述了角度与边长之间的关系。
2.4. 解三角形：解三角形的方法有余弦定理、正弦定理和正切定理等，通过角度和边长之间的关系求解未知角度和边长。
3. 数列与数列极限3.1. 等差数列：等差数列是一个数列，其中相邻两项的差值为常数，用公式an=a₁+(n-1)d表示，其中a₁为首项，d为公差。
3.2. 等比数列：等比数列是一个数列，其中相邻两项的比值为常数，用公式an=a₁*q^(n-1)表示，其中a₁为首项，q为公比。
3.3. 数列极限：数列极限表示数列的无穷项的极限值，常用极限符号lim(an)表示。
4. 解析几何4.1. 平面直角坐标系：平面直角坐标系由横轴和纵轴组成，用来表示平面上的点的位置。
高考状元笔记数学
b a ≠ ． a b
[对症下药] B
方法 1：运用特值法，如 a=-，b=-3．
1 1 0 ，则 b<a<0，故而判断． a b 1 a 1 a
方法 2：运用性质由
3．(典型例题)对于 0<a<1，给出下列四个不等式
1 ①loga(1+o)<loga(1+ ) a 1 ②1oga(1+o)>loga(1+ ) a
4 的最小值是 sin x
2．(典型例题)设 x∈(0，π)，则函数 f(x)=sinx+ A．4 C．3 [考场错解] 是 4．故选 A B．5 D．6 因为 x∈(0，π)4 2 sin x >0， f(x)=sinx+ =4，因此 f(x)的最小值 sin x sin x sin x
2 2
D． ( ) n ( ) b
答案： C 又 0<
解析：利用特值法可看出某些选择不能成立，而事实上，∵|a|，|b|>0，
2
1 <1，∴10g |a|<log 1 |b|，由此也可直接得结论，应选 C 2
2 已知 a、b 为不等正数，s<t<0，M=
s ( a b) 2t ，N= ，则 M、N 的大小关系是_________. ab 2ab
1 1 ” a b 1 1 ” a b
．不能弱化条件变成“ a b
1 1 ” a b
考场思维训练 1 若，|a|>，|b|>0，且 ab>0，则下列不等式中能成立的是 A．
1 1 a b
(
)
B．
1 2
1 1 a b a 1 2
衡水重点中学状元笔记——数学
衡水重点中学状元笔记——数学典型易错题（一）集合一、混淆集合中元素的形成 例1 集合{}()|0A x y x y =+=，，{}()|2B x y x y =-=，，则A B = 。
错解：解方程组02x y x y +=⎧⎨-=⎩ 得11x y =⎧⎨=-⎩{}11A B =-，∴【易错分析】 产生错误的原因在于没有弄清楚集合中元素的形式，混淆点集与数集．集合A B ，中的元素都是有序数对，即平面直角坐标系中的点，而不是数，因而A B ，是点集，而不是数集。
{}(11)AB =-，∴二、忽视空集的特殊性 例2 已知{}|(1)10A x m x =-+=，{}2|230B x x x =--=，若A B ⊆，则m 的值为 。
错解： 由(1)10m x -+= 得11x m =-由2230x x --= 得1x =-或3x =1|1A x x m ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭∴ {}13B =-， A B ⊆∵111m =--∴或3 2m =∴或23m = 【易错分析】由于忽视空集的特殊性――空集是任何集合的子集，产生丢解的错误，以上只讨论了A ≠∅的情形，还应讨论A =∅的情形，当A =∅时，1m =。
m ∴的值为2123， ， 。
三、忽视集合中的元素的互异性这一特征 例3 已知集合{}22342A a a =++，，，{}207422B a a a =+--，，，，且{}37AB =，，求a 的值．错解： ∵{}37AB =，， ∴必有2427a a ++=2450(5)(1)0a a a a +-=⇔+-=∴5a =-∴或1a = 【易错分析】由于忽视集合中元素应互异这一特征，产生增解的错误．求出a 的值后，还必须检验是否满足集合中元素应互异这一特征．事实上，（1）当5a =-时，2423a a +-=，27a -=不满足B 中元素应互异这一特征，故5a =-应舍去．（2）当1a =时，2423a a +-=，21a -=满足{}37AB =，且集合B 中元素互异．a ∴的值为1。
数学五年级上册状元笔记
数学五年级上册状元笔记
以下是一个简短的数学五年级上册状元笔记：
数学五年级上册知识梳理
一、小数乘法
1. 小数乘法的计算法则：先按照整数乘法的法则算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。
如果位数不够，就用“0”补足。
2. 积的近似数：求积的近似数时，应用四舍五入法保留一定的小数位数。
3. 连乘、乘加、乘减：连乘时按照从左到右的顺序进行计算；乘加时先算乘法后算加法；乘减时先算乘法后算减法。
二、小数除法
1. 小数除法的计算方法：按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；整数部分不够除，商0，点上小数点继续除；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数末尾补0，再继续除。
2. 商的近似数：求商的近似数时，要比需要保留的小数位数多看一位，再运用四舍五入法取舍。
3. 商不变的规律：被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变。
4. 循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
5. 取近似值的方法：“四舍五入”法、“进一”法、“去尾”法。
三、小数四则混合运算
1. 小数的运算顺序和整数的运算顺序相同。
2. 分数、小数四则混合运算的顺序与整数四则混合运算的顺序相同。
四、解决问题
1. 解决问题时，我们需要注意题目中的数量关系，分析已知数量与未知数量之间的关系。
2. 解题时，要仔细审题，弄清题目中的条件、问题、数量关系和未知量。
3. 在解决问题时，常常需要画图帮助分析。
4. 解答完问题后，要检查结果是否符合实际情况。
中考状元数学笔记知识点汇总
中考状元数学笔记知识点汇总中考状元数学笔记知识点汇总一、实数（一）有理数1、有理数分类：①整数→正整数/0/负整数②分数→正分数/负分数2、数轴：画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴3、相反数如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。
4、倒数如果两个数之积为1，则称这两个数为倒数5、绝对值①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
②正数的绝对值是他本身/负数的绝对值是它的相反数/0的绝对值是0。
（二）实数1、实数分类：①有理数→整数/分数②无理数(无限不循环小数)2、平方根：①如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根。
②一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方。
③求一个数a的平方根运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。
3、算术平方根如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x 就叫做a的算术平方根4、立方根：①如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根。
②正数的立方根是正数/0的立方根是0/负数的立方根是负数。
③求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数。
5、乘方性质正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
6、实数的运算：加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。
②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
③一个数与0相加不变。
减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。
②任何数与0相乘得0。
③乘积为1的两个有理数互为倒数。
除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。
②0不能作除数。
乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，a叫底数，n叫次数。
混合顺序①先算乘方，再算乘除，最后算加减②同级运算，按照从左至右的顺序进行；③如果有括号，先小再中后大运算律：① a+b=b+a ②(a+b)+c=a+(b+c)③ab=ba ④(ab)c=a(bc) ⑤(a+b)c=ac+bc7、科学记数法: 把一个整数或有限小数表示成±a×10n的形式，其中 n是整数。
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衡水重点中学状元笔记——数学典型易错题（一）集合一、混淆集合中元素的形成 例1 集合{}()|0A x y x y =+=，，{}()|2B x y x y =-=，，则A B = 。
错解：解方程组02x y x y +=⎧⎨-=⎩ 得11x y =⎧⎨=-⎩{}11A B =-，∴【易错分析】 产生错误的原因在于没有弄清楚集合中元素的形式，混淆点集与数集．集合A B ，中的元素都是有序数对，即平面直角坐标系中的点，而不是数，因而A B ，是点集，而不是数集。
{}(11)AB =-，∴二、忽视空集的特殊性 例2 已知{}|(1)10A x m x =-+=，{}2|230B x x x =--=，若A B ⊆，则m 的值为 。
错解： 由(1)10m x -+= 得11x m =-由2230x x --= 得1x =-或3x =1|1A x x m ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭∴ {}13B =-， A B ⊆∵111m =--∴或3 2m =∴或23m = 【易错分析】由于忽视空集的特殊性――空集是任何集合的子集，产生丢解的错误，以上只讨论了A ≠∅的情形，还应讨论A =∅的情形，当A =∅时，1m =。
m ∴的值为2123， ， 。
三、忽视集合中的元素的互异性这一特征例3 已知集合{}22342A a a =++，，，{}207422B a a a =+--，，，，且{}37AB =，，求a 的值．错解： ∵{}37AB =，， ∴必有2427a a ++=2450(5)(1)0a a a a +-=⇔+-=∴5a =-∴或1a = 【易错分析】由于忽视集合中元素应互异这一特征，产生增解的错误．求出a 的值后，还必须检验是否满足集合中元素应互异这一特征．事实上，（1）当5a =-时，2423a a +-=，27a -=不满足B 中元素应互异这一特征，故5a =-应舍去．（2）当1a =时，2423a a +-=，21a -=满足{}37AB =，且集合B 中元素互异．a ∴的值为1。
四、没有弄清全集的含义 例4 设全集{}{}22323212S a a A a =+-=-，，，，，{}5S C A =，求a 的值。
错解： ∵{}5S C A =5S ∈∴且5A∉2235a a +-=∴2280a a +-=∴2a =∴或4a =-【易错分析】没有正确理解全集的含义，产生增解的错误．全集中应含有讨论集合中的一切元素，所以还须检验． （1）当2a =时，213a -=，此时满足3S ∈．（2）当4a =-时，219a S-=∉，4a =-∴应舍去，2a =∴（二）函数（一）函数的图像和对称性1.（1）若f （x ）满足f （x ）－f （2－x ）＝0，则y ＝f （x ）图像的特征是关于直线x=1对称_；（2）若f（x）满足f（x）＋f（2－x）＝0，则y＝f（x）图像的特征是关于点（1，0）中心对称；（3）若f（x）满足f（x）－f（x－2）＝0，则y＝f（x）图像的特征是以2为周期；（4）若f（x）满足f（x）＋f（x－2）＝0，则y＝f（x）图像的特征是以4为周期。
2.（1）R上的函数y＝f（x）满足f（a＋x）＝f（b－x），则y＝f（x）图像的对称轴为直线；x=a+b2对称。
（2）R上的函数y＝f（x＋a）与y＝f（b－x）的图像关于直线x=b−a2（二）单调区间注意定义域1.函数y=√5−4x−x2的单调增区间是_________。
解：y=√5−4x−x2的定义域是[−5,1]，又g(x)=5−4x−x2在区间[−5,−2]上增函数，在区间[−2,1]是减函数，所以y=√5−4x−x2的增区间是[−5,−2]。
（三）恒成立问题1.（1）若x2+2x+a>0在R上恒成立，则实数a满足的条件是________________；解：Δ=4−4a<0⇒a>1，∴a∈(1,+∞)（2）若9x+2⋅3x+a>0在R上恒成立，则实数a满足的条件是________________。
解：令t=3x>0，则f(t)=t2+2t+a>0⇒f(0)=a≥0,∴a∈0,+∞)（四）函数的定义域、值域和单调性的逆用1.已知函数f(x)=lg1+2x+4x⋅a, 其中a为常数，若当x∈(－∞, 1］时, f(x)有意义，求实数a的a−a+1取值范围。
【易错分析】：参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于a 的不等式（组）非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把a 分离出来，重新认识a 与其它变元(x )的依存关系，利用新的函数关系，常可使原问题“柳暗花明”。
解：1+2x +4x ⋅a a 2−a+1>0, 且a 2－a +1=(a －12)2+34>0, ∴ 1+2x +4x ·a >0, a >−(14x +12x ),当x ∈(－∞, 1]时, y =14x 与y =12x 都是减函数， ∴ y =−(14x+12x)在(－∞, 1]上是增函数，−(14x+12x) max =－34,∴ a >－34, 故a 的取值范围是(－34, +∞)（五）分类讨论思想 1.若(a +1)−13<(3−2a)−13，试求a 的取值范围.解：∵幂函数y =x −13有两个单调区间，∴根据a +1和3−2a 的正、负情况，有以下关系{a +1>03−2a >0a +1>3−2a ① {a +1<03−2a <0a +1>3−2a ② {a +1<03−2a >0③解三个不等式组：①得23＜a ＜32，②无解，③a ＜－1∴a 的取值范围是（－∞，－1）∪（23，32） 【易错分析】幂函数y =x −13有两个单调区间，在本题中相当重要，不少学生可能在解题中误认为a +1>3−2a ，从而导致解题错误。
（六）根的分布问题1．试确定方程2x 3−x 2−4x +2=0最小根所在的区间，并使区间两个端点是两个连续的整数。
解：令f(x)＝2x3−x2−4x+2∵f(−3)＝－54－9＋12＋2＝－49＜0 f(−2)＝－16－4＋8＋2＝－10＜0f(−1)＝－2－1＋4＋2＝3＞0，，f(0)＝0－0－0＋2＝2＞0f(1)＝2－1－4＋2＝－1＜0，f(2)＝16－4－8＋2＝6＞0根据f(−2)·f(−1)＜0，f(0)·f(1)＜0，f(1)·f(2)＜0可知f(x)的零点分别在区间（－2，－1），（0,1），（1,2）内。
因为方程是一个一元三次方程，所以它最多有三个根，所以原方程的最小根在区间（－2，－1）内。
【易错分析】只要构造函数f(x)＝2x3−x2−4x+2，计算f(x)的自变量x取整数值时的函数值，根据其符号，确定方程根的个数及根的分布。
三、三角函数（一）选择题：1．（如中）为了得到函数y=sin(2x−π6)的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）A 向右平移π6B 向右平移π3C 向左平移π6D向左平移π3【易错分析】审题不仔细，把目标函数搞错是此题最容易犯的错误。
答案: B2．（如中）函数y=sin x(1+tan x⋅tan x2)的最小正周期为( )A πB 2πC π2D3π2【易错分析】将函数解析式化为y=tan x后得到周期T=π,而忽视了定义域的限制,导致出错.答案: B（二）填空题：1．（如中）已知方程x 2+4ax +3a +1=0（a 为大于1的常数）的两根为tan α，tan β，且α、∈β(−π2,π2)，则tan α+β2的值是_________________。
【易错分析】忽略了隐含限制tan α,tan β是方程x 2+4ax +3a +1=0的两个负根，从而导致错误。
正确解法：∵a >1 ∴tan α+tan β=−4a <0，tan α⋅tan β=3a +1>o ∴tan α,tan β是方程x 2+4ax +3a +1=0的两个负根 又α,β∈(−π2,π2) ∴α,β∈(−π2,0) 即α+β2∈(−π2,0)由tan (α+β)=tan α+tan β1−tan α⋅tan β=−4a1−(3a+1)=43可得tanα+β2=−2.答案: -22．已知5cos 2α+4cos 2β=4cos α,则cos 2α+cos 2β的取值范围是_______________。
【易错分析】由5cos 2α+4cos 2β=4cos α得cos 2β=cos α−54cos 2α代入cos 2α+cos 2β中,化为关于cos α的二次函数在[−1,1]上的范围，而忽视了cos α的隐含限制，导致错误。
答案: [0,1625]略解: 由5cos 2α+4cos 2β=4cos α得cos 2β=cos α−54cos 2α (1) ∵cos 2β∈[0,1] ∴cos α∈[0,45]将（1）代入cos 2α+cos 2β得cos 2α+cos 2β=−14(cos α−2)2+1∈[0,1625]。
（三）解答题：1．求函数y x x =+-sin cos 4434的相位和初相。
解：y x x x x =+--(sin cos )sin cos 22222234=-+=-⋅-+==+12214121421414414422sin cos cos sin()x x x x π∴原函数的相位为42x +π，初相为π2【易错分析】部分同学可能看不懂题目的意思，不知道什么是相位，而无从下手。
应将所给函数式变形为y A x A =+>>sin()()ωϕω00，的形式（注意必须是正弦）。
2． 若sin cos αβ=12，求sin cos βα的取值范围。
解：令αβα=sin cos ，则有∴+=+-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪∴-≤+≤-≤-≤⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪∴-≤≤121211121112121212a a a a a sin()sin()().()αβαβ【易错分析】此题极易只用方程组（1）中的一个条件，从而得出-≤≤3212a 或-≤≤1232a 。
原因是忽视了正弦函数的有界性。
另外不等式组（2）的求解中，容易让两式相减，这样做也是错误的，因为两式中的等号成立的条件不一定相同。
这两点应引起我们的重视。
四、平面向量易错点1．遗漏零向量【例1】 已知a ⃗=(3,2−m)与b ⃗⃗=(m,−m)平行，则m 值的个数是________。
【错解】由//得−m m=2−m 3，即m 2−5m =0，解之得m 1=5，m 2=0（舍），∴m 的值只有一个。