衡水重点中学状元笔记——数学

衡水重点中学状元笔记

——数学典型易错题

（一）集合

一、混淆集合中元素的形成 例1 集合

{}

()|0A x y x y =+=，，

{}

()|2B x y x y =-=，，则A B = 。

错解：解方程组02x y x y +=⎧⎨-=⎩ 得11x y =⎧⎨

=-⎩

{}

11A B =-，∴

【易错分析】 产生错误的原因在于没有弄清楚集合中元素的形式，混淆点集与数集．集合

A B ，中的元素都是有序数对，即平面直角坐标系中的点，而不是数，因而A B ，是点集，而

不是数集。

{}

(11)A

B =-，∴

二、忽视空集的特殊性 例2 已知

{}

|(1)10A x m x =-+=，

{}

2|230B x x x =--=，若A B ⊆，则m 的值为 。

错解： 由(1)10m x -+= 得

1

1x m =

-

由2

230x x --= 得1x =-或3x =

1|1A x x m ⎧

⎫==⎨⎬-⎩⎭∴ {}13B =-， A B ⊆∵

111m =--∴

或3 2m =∴或

2

3m = 【易错分析】由于忽视空集的特殊性――空集是任何集合的子集，产生丢解的错误，以上只讨

论了A ≠∅的情形，还应讨论A =∅的情形，当A =∅时，1m =。m ∴的值为2

123

， ， 。

三、忽视集合中的元素的互异性这一特征

例3 已知集合{}

22342A a a =++，，，

{}

207422B a a a =+--，，，，且

{}

37A

B =，，求a 的

值．

错解： ∵

{}

37A

B =，， ∴必有2

427a a ++=

2450(5)(1)0a a a a +-=⇔+-=∴5a =-∴或1a = 【易错分析】由于忽视集合中元素应互异这一特征，产生增解的错误．求出a 的值后，还必须检验是否满足集合中元素应互异这一特征．

事实上，（1）当5a =-时，2423a a +-=，27a -=不满足B 中元素应互异这一特征，故5

a =-应舍去．

（2）当1a =时，2423a a +-=，21a -=满足

{}

37A

B =，且集合B 中元素互异．

a ∴的值为1。

四、没有弄清全集的含义 例4 设全集

{}{}

22323212S a a A a =+-=-，，，，，

{}

5S C A =，求a 的值。

错解： ∵{}5S C A =5S ∈∴且5A

∉

2235a a +-=∴2

280a a +-=∴

2a =∴或4a =-

【易错分析】没有正确理解全集的含义，产生增解的错误．全集中应含有讨论集合中的一切元素，所以还须检验． （1）当2a =时，

213

a -=，此时满足3S ∈．

（2）当4a =-时，219a S

-=∉，4a =-∴应舍去，2a =∴

（二）函数

（一）函数的图像和对称性

1.（1）若f （x ）满足f （x ）－f （2－x ）＝0，则y ＝f （x ）图像的特征是关于直线x=1对

称_；

（2）若f（x）满足f（x）＋f（2－x）＝0，则y＝f（x）图像的特征是关于点（1，0）中心对称；

（3）若f（x）满足f（x）－f（x－2）＝0，则y＝f（x）图像的特征是以2为周期；（4）若f（x）满足f（x）＋f（x－2）＝0，则y＝f（x）图像的特征是以4为周期。2.（1）R上的函数y＝f（x）满足f（a＋x）＝f（b－x），则y＝f（x）图像的对称轴为直线

；

x=a+b

2

对称。

（2）R上的函数y＝f（x＋a）与y＝f（b－x）的图像关于直线x=b−a

2

（二）单调区间注意定义域

1.函数y=√5−4x−x2的单调增区间是_________。

解：y=√5−4x−x2的定义域是[−5,1]，又g(x)=5−4x−x2在区间[−5,−2]上增函数，在区间[−2,1]是减函数，所以y=√5−4x−x2的增区间是[−5,−2]。

（三）恒成立问题

1.（1）若x2+2x+a>0在R上恒成立，则实数a满足的条件是________________；解：Δ=4−4a<0⇒a>1，∴a∈(1,+∞)

（2）若9x+2⋅3x+a>0在R上恒成立，则实数a满足的条件是________________。解：令t=3x>0，则f(t)=t2+2t+a>0⇒f(0)=a≥0,∴a∈0,+∞)

（四）函数的定义域、值域和单调性的逆用

1.已知函数f(x)=lg1+2x+4x⋅a

, 其中a为常数，若当x∈(－∞, 1］时, f(x)有意义，求实数a的a−a+1

取值范围。

【易错分析】：参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于a 的不等式（组）非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把a 分离出来，重新认识a 与其它变元(x )的依存关系，利用新的函数关系，常可使原问题“柳暗花明”。 解：

1+2x +4x ⋅a a 2−a+1

>0, 且a 2－a +1=(a －12)2+34>0, ∴ 1+2x +4x ·a >0, a >−(14x +1

2x ),

当x ∈(－∞, 1]时, y =1

4x 与y =1

2x 都是减函数， ∴ y =−(

14x

+

12x

)在(－∞, 1]上是增函数，−(

14x

+

12x

) max =－3

4

,

∴ a >－3

4

, 故a 的取值范围是(－34

, +∞)

（五）分类讨论思想 1.若(a +1)−

1

3

<(3−2a)−

13

，试求a 的取值范围.

解：∵幂函数y =x −

13

有两个单调区间，

∴根据a +1和3−2a 的正、负情况，有以下关系

{a +1>03−2a >0a +1>3−2a ① {a +1<0

3−2a <0a +1>3−2a ② {a +1<0

3−2a >0

③

解三个不等式组：①得2

3

＜a ＜3

2

，②无解，③a ＜－1

∴a 的取值范围是（－∞，－1）∪（23，3

2） 【易错分析】幂函数y =x −

1

3

有两个单调区间，在本题中相当重要，不少学生可能在解题中

误认为a +1>3−2a ，从而导致解题错误。

（六）根的分布问题

1．试确定方程2x 3−x 2−4x +2=0最小根所在的区间，并使区间两个端点是两个连续的整数。