非线性方程求根的迭代法

证：（1） xn+1 − α = ϕ ( xn ) − ϕ (α ) = ϕ ' (ξ n )( xn − α ) xn+1 − α xn − α
1
= ϕ ' (ξ n ) → ϕ ' (a ) > 0
∴
∴ xn+1 = ϕ ( xn )线性收敛 (2)由2.6的证明有： 的证明有： f " (ξ n ) (α − xn )2 , 故 α = xn+1 − 2 f ' ( xn ) xn+1 − α f "(ξn ) f "(α ) > 0(二阶收敛 )若 f " (α ) ≠ 0 → 2 = 2 f '( xn ) 2 f '(α ) = 0(大于二阶收敛 )若 f " (α ) = 0 xn − α
过 ( x n , f ( x n ) )切线
y = f ( xn ) + f ' ( xn ) ( x − xn )
与 y = 0 求交点，解出 求交点，
x = xn+1
x n+1
=
, 则
xn −
f ( xn ) f ' ( xn )
Newton迭代法收敛定理 迭代法收敛定理（ 2.6） 3. Newton迭代法收敛定理（定理 2.6）
例2.2
用 Newton 迭代法求 c (c > 0) 解：设 x = c , 则 取
x − c = 0,
2
f ( x) = x − c
2
2
，则由（2.1） 则由（2.1）
xn+1
xn − c 1 c = xn − = ( xn + ) 2 xn 2 xn
基本要求
1.熟悉区间＝分法； 1.熟悉区间＝分法； 熟悉区间 2.熟悉迭代法的建立 会使用收敛定理； 熟悉迭代法的建立， 2.熟悉迭代法的建立，会使用收敛定理； 3.熟悉Newton迭代法及其几何意义和收敛条件 熟悉Newton迭代法及其几何意义和收敛条件。 3.熟悉Newton迭代法及其几何意义和收敛条件。
§2.3 Newton 迭代法 一 Newton 迭代法 1.迭代公式建立 Taylor展开 将 f ( x ) 在 xn 点Taylor展开
f ′′( xn ) f ( x ) = f ( xn ) + f ' ( xn ) ( x − xn ) + ( x − xn )2 + ⋯ 2! f ( x ) ≈ f ( xn ) + f ' ( xn ) ( x − xn ) ——Taylor展开线性化（重要思想） Taylor展开线性化 Taylor展开线性化（重要思想）
f ( x) = 0
近似于 f ( x n ) + f ' ( xn ) ( x − x n ) = 0
解出 x 记为 xn+1，则
xn+1 = xn −
f ( xn ) f ' ( xn )
xn + 1
(n = 0,1,2,⋯)
(2.1)
2.Newton迭代法的几何意义 2.Newton迭代法的几何意义
作业： 作业：
作业集（ 作业集（B）第二章 1 、2 、3 、4 、6
计算方法
二.迭代法的收敛阶(收敛速度) 迭代法的收敛阶(收敛速度) 若有实数p>0, p>0,使 1.定义 定义: 1.定义:设 lim xn = α . 若有实数p>0,使
| x n +1 − α | = c ( c ≠ 0) lim p n→ ∞ | x n − α |
将 f (α )在
xn 处Taylor展开 Taylor展开
说明数列
有下界α 有下界α f ( xn ) < xn故 又 xn+1 = xn − f ' ( xn )
n+1
{x }
{x n + 1 } 单调递减。 单调递减。
∴ {xn+1 }收敛。设 收敛。
lim n→ ∞
xn+1 = x ，
则由（2.1）， 则由（2.1），x = x − f ( x ) , f ( x ) = 0, x = α f '( x)
则产生数列 x1 , x2 Βιβλιοθήκη Baidu..., x n , x n+1 ..., 若收敛， 若收敛，设极限为 α ，则
lim n→ ∞ lim x n + 1 = n→ ∞ ϕ ( x n )
α = ϕ (α )
之根， 即α是 f ( x ) = 0之根，故当 n充分大时 , x n +1可作为近似值
问题： 形式不唯一， 问题： ϕ ( x ) 形式不唯一，如： x − 10 x + 2 = 0 ⇔ x = 10 x − 2 或 x = lg( x + 2)
计算方法 第二章 求方程根的近似方法
f(x)=0根或f(x)零点， f(x)复杂时， f(x)=0根或f(x)零点，当f(x)复杂时，很难求 根或f(x)零点 复杂时 找近似有效简单方法）。 （找近似有效简单方法）。
§2.1 区间二分法
C[a,b],单调 单调， 理 论 : f(x) ∈ C[a,b],单调， f(a)f(b)<0 f(x)=0在(a,b)有惟一根。 f(x)=0在(a,b)有惟一根。 有惟一根 根分离：画草图，试算. 根分离：画草图，试算. 多项式方程根的模 的上下界。 的上下界。
所以，此时Newton法至少二阶收敛. 所以，此时Newton法至少二阶收敛. Newton法至少二阶收敛
Newton法改进 法改进： 3. Newton法改进：
设 f ( x ) = 0有m 重根 ( m ≥ 2) 则
f ( x n) x n +1 = x n − m f ' ( ) xn
收敛时至少是二阶收敛 。
若取近似根
*
则 x * = x 8 = 1 . 364 ，则
1 1 | x − x |≤ (1.368 − 1.360) = 0.004 < × 10 − 2 事后估计） （事后估计 事后估计 2 2
b−a 1 先验估计： | 先验估计： x − x |≤ n + 1 ≤ × 10 − 2 , 解出对分次数 n + 1 ≥ 8 2 2
有根α 设 f ( x ) = 0 在 [a, b] 有根α，且 f ( x ) 在 [a, b] （1） f ' ( x ), f " ( x ) 连续，且分别不变号； 连续，且分别不变号； （2） 取初值 x0 ∈
[a, b] ,使 f ( x ) f " ( x ) > 0
0 0
迭代法（2.1） 则 Newton 迭代法（2.1）产生的数列 {xn+1 } 的收敛到根α 的收敛到根α。 证： 以 f ' ( x ) > 0 , f " ( x ) > 0 , f ( x 0 ) > 0 为例证明（其它情况类似） 为例证明（其它情况类似）
注：L越小，收敛越快。 越小，收敛越快。
3．编程停机判断
计算， 由 x n + 1 = ϕ ( x n（取定初值 x0 ）计算，当 )
xn+1 − xn ≤ ε
时，由（＊） 3 式知
1 xn − α ≤ ε 1－L
比较小，此时停机， 比较小，此时停机， α ≈ xn+1 +
二、迭代加速公式（略） 迭代加速公式（
*
优点：条件简单. 优点：条件简单. y 缺点：收敛慢. 缺点：收敛慢. 不易求偶数重根. 不易求偶数重根. 如图 x
§2.2 迭代法
一. 迭代法的建立与收敛性
1.建立 : f ( x ) = 0 改写 x = ϕ ( x )， ( f，φ连续） 连续）
x n + 1 = ϕ ( x n ) ( n = 0,1,2,...) 取定初值 x 0
例2.1 用二分法求 x 3 + 4 x 2 − 10 = 0 1 (1,2)内的根 内的根， 在(1,2)内的根，要求绝对误差不超过 × 10 − 2 2 解： f(1)=-5<0 有根区间 中点 x n x1 = 1.5 f(2)=14>0 -(1,2)+ x 2 = 1.25 f(1.5)>0 (1,1.5) x 3 = 1.375 f(1.25)<0 (1.25,1.5) x 4 ≈ 1.313 f(1.375)>0 (1.25,1.375) f(1.313)<0 (1.313,1.375) x 5 = 1.344 f(1.344)<0 (1.344,1.375) x 6 ≈ 1.360 f(1.360)<0 (1.360,1.375) x 7 ≈ 1.368 f(1.368)>0 (1.360,1.368) x 8 = 1.364
则：（ 1）方程 x = ϕ ( x )在 [ a , b ]有唯一根 α ； （2） ∀ x 0 ∈ [ a , b ], x n + 1 = ϕ ( x n）收敛到 α Ln | x1 − x 0 （3） x n − α |≤ 1− L
设ϕ ( x )在[a , b]
证： (1) 设 g ( x ) = x − ϕ ( x ), 则 g (a ) = a − ϕ (a ) ≤ 0, g (b ) = b − ϕ (b ) ≥ 0, 故至少有 α ∈ [ a , b ], 使 g (α ) = 0 , 递增， 又 g ' ( x ) = 1 − ϕ ' ( x ) > 0 , g ( x ) 递增， 故根 α 唯一 .
(1) 设
x
n+1
= ϕ ( x n ) ( n = 0,1,2,⋯)收敛到 x = ϕ ( x )的根α。
′ 线性收敛； 若ϕ（x） c 1且ϕ（α ) ≠ 0, 则 x n+1 = ϕ ( x n )线性收敛； ∈
（ 2）设定理 2 . 6的条件成立
则Newton 迭代法求 f ( x ) = 0的单根 α 至少二阶收敛。 （即 f ' (α ) ≠ 0) 至少二阶收敛。
中值定理 ϕ ' (η n )( x n − x n−1 ) ≤ L x n − x n − 1 (由（＊）1 式） ≥ x n − α − L x n − α = (1 − L ) x n − α 1 xn − α ≤ x n +1 − x n 1－ L （由（＊）2 式 ） L2 Ln x n − x n −1 ≤ ⋯ ≤ x1 − x 0 ≤ 1－ L 1－ L 3 （＊） 2 （＊） x n +1 − x n = ( x n − α ) − ( x n +1 − α ) ≥ x n − α − x n +1 − α
x n +1 = 10 − 2
xn
取x0 = 3 取x 0 = 3 收敛性不同。 收敛性不同。
x n +1 = lg( x n + 2) 计算结果见表 2.4
2.收敛定理（定理2.2） 2.收敛定理（定理2.2） 收敛定理 2.2
1 a a （ ）当 ≤ x ≤ b时，≤ ϕ( x) ≤ b;
( 2) ∀x ∈ [a , b], | ϕ ' ( x ) |≤ L < 1 ( L为常数） 为常数）
阶收敛,相应的迭代法称为p阶方法. 则称 x np阶收敛,相应的迭代法称为p阶方法. 特别, 特别, p=1时叫线性收敛 时叫线性收敛, p=1时叫线性收敛, p=2时叫平方收敛 时叫平方收敛. p=2时叫平方收敛. 越大越好(why?) p越大越好(why?)
n→ ∞
2.定理2.7 2.定理2.7 定理
弦截法——(略) §2.4 弦截法 (
x (2) n+1 − α = ϕ ( x n ) − ϕ (α ) 中值定理 ϕ ' (ξ n )( x n − α ) ≤ L xn − α
(＊ )1
n+1
≤ L x n−1 − α ≤ ⋯ ≤ L
2
x0 − α → 0
(当 n → ∞ 时 )
x n+1
→ α
，故收敛。 故收敛。
(3)x n+1 − x n = ϕ ( x n+1 ) − ϕ ( x n )
f "(ξ n ) f (α ) = f ( xn ) + f ' ( xn )(α − xn ) + (α − xn )2 = 0 2! f ( xn ) f "(ξ n ) f "(ξ n ) 2 (α − xn ) = xn+1 − (α − xn )2 ≤ xn+1 ∴α = xn − − f ' ( xn ) 2 f ' ( xn ) 2 f ' ( xn )