立体几何与解析几何综合题训练

A C D E B

M

立体解析综合题练习1

1．如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直， 已知//,AB CD AD CD ⊥，1

2

AB AD CD ==.

（Ⅰ）求证:BF //平面CDE ；

（Ⅱ）求平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值; (Ⅲ)线段EC 上是否存在点M ，使得平面BDM ⊥平面

BDF 若存在，

求出EM EC

的值；若不存在，说明理由.

2．已知1(2,0)F -，2(2,0)F 两点，曲线C 上的动点P 满足12123

||||||2

PF PF F F +=. （Ⅰ）求曲线C 的方程；

（Ⅱ）若直线l 经过点(0,3)M ，交曲线C 于A ，B 两点，且1

2

MA MB =，求直线l 的方程.

立体解析综合题练习2

1． 在如图所示的多面体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，BC AC ⊥，

且22====AE BD BC AC ，M 是AB 的中点． （Ⅰ）求证：CM ⊥EM ；

（Ⅱ）求平面EMC 与平面BCD 所成的锐二面角的余弦值； （Ⅲ）在棱DC 上是否存在一点N ,使得直线MN 与平面EMC

所成的角为60︒．若存在，指出点N 的位置；若不存在，请说明理由．

2．椭圆C:22

221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆C 上，且11212414,||,||.33PF F F PF PF ⊥==

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）若直线l 过圆M: x 2+y 2+4x-2y=0的圆心，交椭圆C 于,A B 两点，且A 、B 关于点M 对称，

求直线l 的方程.

立体解析综合题练习3

1．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA //BE ，AB =PA =4，BE =2． （Ⅰ）求证：CE //平面PAD ；

（Ⅱ）求PD 与平面PCE 所成角的正弦值； （Ⅲ）在棱AB 上是否存在一点F ，使得

平面DEF ⊥平面PCE ？如果存在，求AF

AB

的值； 如果不存在，说明理由．

2．已知抛物线C ：2

2y px =(0p >)的焦点F (1,0)，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上

异于O 的两点.

（Ⅰ）求抛物线C 的方程；

（Ⅱ）若直线OA ，OB 的斜率之积为1

2

-,求证：直线AB 过x 轴上一定点.

A

B

F

E

D C

立体解析综合题练习4

1．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD //BC ，AD DC ⊥，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 的中点，

1

2,1, 3.2

PA PD BC AD CD ===

== （I ）求证：PQ AB ⊥；

（II ）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值； （III ）求二面角P QB M --的余弦值.

2．已知椭圆，其短轴的一个端点到右焦点的距离为，且点在

椭圆上. 直线的斜率为,且与椭圆交于、两点．

（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求面积的最大值.

立体解析综合题练习5

1．如图，棱柱ABCD —1111A B C D 的所有棱长都为2， AC BD O =，侧棱1AA 与底面ABCD 的所成角

为60°，1A O ⊥平面ABCD ，F 为1DC 的中点． （Ⅰ）证明：BD ⊥1AA ；

（Ⅱ）证明：//OF 平面11BCC B ； （Ⅲ）求二面角D -1AA -C 的余弦值．

2．已知椭圆C 两焦点坐标分别为1(2,0)F -,2(2,0)F ，一个顶点为(0,1)A -. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）是否存在斜率为(0)k k ≠的直线l ，使直线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N ，满足AM AN =. 若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.

立体解析综合题练习6

1．如图, ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，DE AF //，AF DE 3=，BE 与平面

ABCD 所成角为060.

(Ⅰ)求证：AC ⊥平面BDE ； (Ⅱ)求二面角D BE F --的余弦值；

（Ⅲ）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得//AM 平面BEF ，并证明你的结论.

2．已知椭圆C ：22

221x y a b +=（0a b >>）过点(20)，，且椭圆C 的离心率为12

.

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）若动点P 在直线1x =-上，过P 作直线交椭圆C 于M N ，两点，且P 为线段MN 中点，再过P 作直线l MN ⊥.证明：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标.

:M 22

221(0)x y a b a b

+=>>2A (2,1)M l 2

2

M B C M ABC ∆A

B

C

1

B 1

C 1

A D

F

1

D O

A B

C

D

F

E

立体解析综合题练习7

1．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，且//AD BC ，90ABC PAD ∠=∠=︒，侧面PAD ⊥底面ABCD . 若1

2

PA AB BC AD ===

. （Ⅰ）求证：CD ⊥平面PAC ；

（Ⅱ）侧棱PA 上是否存在点E ，使得//BE 平面PCD ？若存在，指出点E 的位置并证明，若不存

在，请说明理由；

（Ⅲ）求二面角A PD C --的余弦值.

2．已知直线022=+-y x 经过椭圆)0(1:22

22

>>=+b a b

y a x C 的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆上位于x

轴上方的动点，直线AS ,BS 与直线4=x l ：分别 交于N M ,两点.

(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）(ⅰ) 设直线AS ,BS 的斜率分别为21,k k ，求证21k k ⋅为定值； (ⅱ)求线段MN 的长度的最小值.

立体解析综合题练习8

1．在如图的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE EB ⊥,//AD EF ，//EF BC ，

24BC AD ==，3EF =，2AE BE ==， G 是BC 的中点．

(Ⅰ) 求证：//AB 平面DEG ； (Ⅱ) 求证：BD EG ⊥；

(Ⅲ) 求二面角C DF E --的余弦

2．已知椭圆（）的长轴长是，且过点． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，为椭圆的右焦点，直线与关于轴对称．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

立体解析综合题练习9

1．在长方形11AA B B 中，124AB AA ==，C ，1C 分别是AB ，11A B 的中点（如图1）. 将此长方形

沿1CC 对折，使二面角11A CC B --为直二面角，D ，E 分别是11A B ，1CC 的中点（如图2）. （Ⅰ）求证：1C D ∥平面1A BE ； （Ⅱ）求证：平面1A BE ⊥平面11AA B B ； （Ⅲ）求直线1BC 与平面1A BE 所成角的正弦值.

2．已知直线与椭圆相交于两点，与轴相交于点，且当时，. （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点的坐标为，直线，与直线分别交于，两点. 试判断以为直径的圆是否经过点?并请说明理由.

1:22

22=+b

y a x C 0>>b a 22)221( ，C )0(≠+=k m kx y l :C N M 、F MF NF x l :1()l x my m =+∈R ()22

:109x y C t t

+=>,E F x B 0m =8

3

EF =

C A (3,0)-AE AF 3x =M N MN B 图（1）

图（2）

C 1

B

C

A

A 1

B 1

B

C

A

D

E

A 1

B 1

C 1

M

Y S

D

N B

x

A

O

A B

P C

D

A D

F

E

B G C