定积分的概念

4．5.3 定积分的概念

1．定积分⎠⎛0

1

1d x 的值等于

( ) A ．0 B ．1 C.12 D ．2

答案 B

2．已知⎠⎛1

3

f (x )d x ＝56，则

( ) A.⎠⎛1

2

f (x )d x ＝28

B.⎠⎛2

3

f (x )d x ＝28

C.⎠⎛1

2

2f (x )d x ＝56

D.⎠⎛12f (x )d x ＋⎠⎛2

3

f (x )d x ＝56

答案 D

3．如图所示，⎠⎛a b

f 1(x )d x ＝M ，⎠⎛a

b f 2(x )d x ＝N ，则阴影部分的面积为

( )

A ．M ＋N

B ．M

C ．N

D ．M －N

答案 D

4．不用计算，根据图形，用不等号连接下列各式

( )

(1)⎠⎛01

x d x ________⎠⎛0

1

x 2d x (图1)；

(2)⎠⎛01

x d x ________⎠⎛1

2

x d x (图2)；

(3)⎠⎛024－x 2

d x ________⎠⎛022d x (图3)．

答案 (1)> (2)< (3)<

1．定积分可以表示图形的面积

从几何上看，如果在区间[a ，b ]上，函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么定积分⎠⎛a

b f (x )d x 就表示由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积，这就是定积分⎠⎛a

b f (x )d x 的几何意义． 2．定积分表示图形面积的代数和

被积函数是正的，定积分的值也为正，如果被积函数是负的，函数曲线在x 轴之下，定积分的值就是带负号的曲边梯形的面积．当被积函数在积分区间上有正有负时，定积分就是x 轴之上的正的面积与x 轴之下的负的面积的代数和．

3．此外，定积分还有更多的实际意义，比如在物理学中，可以用定积分表示功、路程、压力、体积等．

4．定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (u )d u ＝⎠⎛a

b f (t )d t ＝…(称为积分形式的不变性)，另外定积分⎠⎛a

b f (x )d x 与积分区间[a ，b ]息息相关，不同的积分区间，所得的值也不同，例如⎠⎛01(x 2＋1)d x 与⎠⎛0

3(x 2＋1)d x 的值就不同.