高考数学讲义导数及其应用.板块五.微积分与定积分的应用.学生版

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高中数学第一章导数及其应用 1.5 定积分的概念 1.6 微积分基本定理要点讲解素材新人教A版选修2-2

定积分和微积分要点讲解一、定积分的概念教材上从求曲边梯形的面积和变速运动的路程出发引入了定积分的概念：如果函数()f x 在区间[],a b 上是连续的，用分点011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=L L 将区间[],a b 等分成n 个小区间，在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点i ξ（1,2,,i n =L），作和式()()11nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[],a b 上的定积分，记作()baf x dx ⎰，即()()1lim nbi an i b af x dx f nξ→∞=-=∑⎰．对这个概念我们应从如下几个方面进行理解１．对区间[],a b 分割的绝对任意性：在定义中我们将区间[],a b 进行等分是为了计算上的方便，实际上对区间[],a b 的分割是任意的，这时只要这些区间中长度最大的区间的长度趋向于零即可．２．在每个小区间[]1,i i x x -上取点的绝对任意性：在教材上的两个例题是为了计算的方便将点取小区间[]1,i i x x -的端点，实际上我们可以在区间[]1,i i x x -上任意取点，如取中点等．３．当n →∞时，和式()()11nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑无限接近某个常数的唯一确定性．它不依赖于对区间[],a b 的分割方法，也不依赖于在每个小区间[]1,i i x x -上取点的方式．即()baf x dx ⎰是一个客观上存在的仅仅依赖于积分上下限和被积函数的唯一确定的常数．同时它也与积分变量无关，即()()b baaf x dx f t dt =⎰⎰．４．数学思想上的划时代意义．产生定积分概念的＂以直代曲＂＂以匀速代变速＂和＂无限逼近＂的数学思想，使人类在认识数学世界的观念上有了重大突破，在数学的发展史上具有重大意义．我们要仔细理解体会这种思想，可以说这才是我们在高中阶段学习定积分的真正目的．例如在求曲边梯形的面积的课本例１中，我们把区间[]0,1等分成n 个小区间，在每个小区间上＂以直代曲＂就将曲边问题转化为直边问题，随着n 的增大这些小区间的宽度越来越小，这时在每个小区间上直边形的面积已经和曲边形的面积非常接近，我们就可以以这些小直边形的面积之和近似代替曲边形的面积，而当n →∞时这些小直边形就几乎变成了线段，这时小直边形的面积几乎就等于小曲边形的面积，这无穷个几乎变成了线段的直边形的面积之和就是所求的曲边形的面积了．我们常说＂线动成面＂，对课本例１，我们也可以这样形象的理解：就将小直边形的宽度变成零，使其成为线段，这时小直边形和小曲边形的就完全重合了，而将这些线段从0到1运动就形成了()2f x x =，1x =， x 轴所围成的曲边形，将这些线段的＂面积＂积累起来就是所求的曲边形的面积．二、微积分基本定理的应用作变速直线运动的物体如果其运动方程是()S t ，那么该物体在时间区间[],a b 内通过的路程是()()S b S a -，另一方面由导数的物理意义，该物体在任意时刻的瞬时速度为()()'S t s t =，我们把该物体运动的时间区间[],a b 无限细分，在每个小时间段上，将其速度看作匀速，就能求出该物体在每个小时间段上通过的路程，将这无限个小时间段上的路程加起来，就是该物体在时间区间[],a b 上通过的路程，由定积分的定义可知，这个数值是()bas t dt ⎰．由此可知()()()()'bbaaS t dt s t dt S b S a ==-⎰⎰．一般地有如下结论：如果()f x 是[],a b 上的连续函数，并且有()()F x f x '=，则()()()baf x dx F b F a =-⎰．这就是微积分基本定理，是微积分学最为辉煌的定理，是数学发展史的一个重要里程碑，利用这个定理可以很方便的计算定积分，其关键是找到一个函数使其导数等于被积函数，下面举例说明它在计算定积分上的应用．例１计算定积分()1xx ee dx --⎰分析：()'x x e e =，()'x x e e --=-，故()'x x x x e e e e --+=-．解：()()11'112xxxx xx eedx eedx ee e e---⎡⎤-=+=+=+-⎣⎦⎰⎰．点评：关键是找()F x ，使()'x xF x e e -=-，可以通过求导运算求探求．例２计算定积分220cos sin 22x x dx π⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰．分析：被积函数比较复杂，我们可以先化简，再探求．由于222cos sin cos 2cos sin sin 1sin 222222x x x x x x x ⎛⎫-=-+=- ⎪⎝⎭，而'1x =，()cos 'sin x x =-，故()2cos '1sin cos sin 22x x x x x ⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭．解：()()[]2'2222000cos sin 1sin cos cos 2212x x dx x dx x x dx x x πππππ⎛⎫-=-=+=+ ⎪⎝⎭=-⎰⎰⎰点评：被积函数较为复杂时要先化简在求解．掌握如下的定积分计算公式对解题是有帮助的．①111bm m ab x dx xa m +=+⎰（,1m Q m ∈≠-），②1ln bab dx x a x =⎰，③b x x a b e dx e a =⎰，④ln x n xm n a a dx ma =⎰，⑤cos sin bab xdx xa=⎰，⑥()sin cos babxdx x a=-⎰．例如例３计算定积分()1223x x dx -⎰．分析：先展开再利用上面的定积分公式．解：()1223xx dx -⎰=()104269xxxdx -⋅+⎰=146920ln 4ln 6ln 9x x x ⎛⎫-⋅+ ⎪⎝⎭ 3108ln 4ln 6ln 9=-+．点评：根据定积分公式结合定积分的运算性质是计算定积分的根本．从上面不难看出利用微积分基本定理计算定积分比用定义计算要方便的多，在实际解题中要注意对被积函数的化简展开以及有意识的利用定积分的三条运算性质，以起到化难为易的作用．三、定积分的三条性质根据定积分的定义不难得到定积分的三条性质性质1．常数因子可提到积分号前，即：()()bbaakf x dx k f x dx =⎰⎰（k 为常数）；性质2．代数和的积分等于积分的代数和：即：()()()()bb bx aa a f x g x dx f x d g x dx ±=±⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰；性质3．（定积分的可加性）如果积分区间[],a b 被点c 分成两个小区间[],a c 与[],c b ，则：()()()bc daacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰。

高中数学第4章导数及其应用4.5定积分与微积分基本定理讲义含解析湘教版选修2_204163118.doc

4．5定积分与微积分基本定理[读教材·填要点]1．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：位于曲线y ＝f (x )(a ≤x ≤b )和x 轴之间的图形，叫作函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的“曲边梯形”．(2)曲边梯形面积的计算方法：化整为零、以直代曲，即把一个曲边梯形分成多个小曲边梯形，再用矩形代替小曲边梯形．2．计算变力所做的功的方法化整为零，以直代曲． 3．定积分的概念设f (x )是在区间[a ，b ]上有定义的函数，在a ，b 之间取若干分点a ＝x 0＜x 1＜x 2＜…＜x n ＝b .记小区间[x k －1，x k ]为Δk ，其长度x k －x k －1记作Δx k ，Δx k 中最大的记作d ，再在每个小区间Δk 上任取一点代表点z k ，作和式：∑k ＝1nf (z k )Δx k . ①如果(不论如何取分点x k 和代表点z k )当d 趋于0时和式①以S 为极限，就说函数f (x )在[a ，b ]上可积，并且说S 是f (x )在[a ，b ]上的定积分，记作S ＝⎠⎛a bf (x )d x .4．微积分基本定理如果f (x )是在[a ，b ]上有定义的连续函数，F (x )在[a ，b ]上可导并且F ′(x )＝f (x )，则⎠⎛a bf (t )d t ＝F (b )－F (a )．[小问题·大思维]1．求曲边梯形面积时，对曲边梯形进行“以直代曲”，怎样才能尽量减小求得的曲边梯形面积的误差？提示：为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多，得到的面积的误差越小．2．求曲边梯形的面积与计算变速直线运动的路程有哪些相同点？提示：(1)求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程的共同本质是“以直代曲”“以不变代变”的思想方法．(2)求解的方法步骤相同．3．由定积分的定义可知，⎠⎛a b f (x )d x 是一个常数还是一个变量？⎠⎛a bf (x )d x 的值与哪些量有关？提示：由定义可得定积分⎠⎛a bf (x )d x 是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (t )d t ＝⎠⎛a bf (u )d u .4．如图所示，如何用阴影面积S 1，S 2，S 3表示定积分⎠⎛a bf (x )d x 的值？提示：⎠⎛a bf (x )d x ＝S 1－S 2＋S 3.计算下列定积分：(1) ⎠⎛－13(4x －x 2)d x; (2)⎠⎛12(x －1)5 d x ；(3)⎠⎛12(t ＋2)d x; (4)⎠⎛121x x ＋d x .[自主解答] (1)取F (x )＝2x 2－x 33，因为F ′(x )＝4x －x 2，所以⎠⎛－13(4x －x 2)d x ＝F (3)－F (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2×32－333－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－－33＝203. (2)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤16x －6′＝(x －1)5，所以⎠⎛12(x －1)5d x ＝F (2)－F (1)＝16×(2－1)6－16×(1－1)6＝16. (3)取F (x )＝(t ＋2)x ，因为F ′(x )＝t ＋2，所以⎠⎛12(t ＋2)d x ＝F (2)－F (1)＝2(t ＋2)－(t ＋2)＝t ＋2. (4)f (x )＝1x x ＋1＝1x －1x ＋1，取F (x )＝ln x －ln(x ＋1)＝ln xx ＋1，则F ′(x )＝1x －1x ＋1.所以⎠⎛121x x ＋d x ＝⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x ＋1d x ＝F (2)－F (1)＝ln 43.运用微积分基本定理求定积分时的4个注意点(1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分； (4)注意用“F ′(x )＝f (x )”检验积分的对错．1．计算下列定积分：(1)⎠⎛－13(3x 2－2x ＋1)d x ； (2) ⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x d x ； (3) ⎠⎛0π (sin x －cos x )d x ； (4) ⎠⎛02|1－x |d x .解：(1)取F (x )＝x 3－x 2＋x ，则F ′(x )＝3x 2－2x ＋1.∴⎠⎛－13(3x 2－2x ＋1)d x ＝F (3)－F (－1)＝24.(2)取F (x )＝12x 2－ln x ，则F ′(x )＝x －1x.∴⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x d x ＝F (2)－F (1)＝32－ln 2. (3)取F (x )＝－cos x －sin x ，则F ′(x )＝sin x －cos x .∴⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝F (π)－F (0)＝2.(4)∵|1－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，0＜x ＜1，x －1，1＜x ＜2，∴取F 1(x )＝x －12x 2,0＜x ＜1，F 2(x )＝12x 2－x,1＜x ＜2，则F 1′(x )＝1－x ，F 2′(x )＝x －1.∴⎠⎛02|1－x |d x ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝1.已知函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，求x 0的值．[自主解答] 因为f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，取F (x )＝a3x 3＋cx ，则F ′(x )＝ax 2＋c ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝F (1)－F (0)＝a 3＋c ＝ax 20＋c . 解得x 0＝33或x 0＝－33(舍去)．即x 0＝33.利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算；其次要注意积分下限不大于积分上限．2．已知f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，取F 1(x )＝12ax 2＋bx ，∴F 1′(x )＝f (x )．则⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝F 1(1)－F 1(0)＝12a ＋b ， ⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx )d x ，取F 2(x )＝13ax 3＋12bx 2且F 2′(x )＝ax 2＋bx ，则⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝F 2(1)－F 2(0)＝13a ＋12b ，由⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176.解得a ＝4，b ＝3，故f (x )＝4x ＋3.求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．[自主解答] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－4，y ＝－x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S ，根据图形可得S ＝⎠⎛－32[(－x ＋2)－(x 2－4)]d x ＝⎠⎛－32(6－x －x 2)d x ，取F (x )＝6x －12x 2－13x 3，则F ′(x )＝6－x －x 2， ∴S ＝F (2)－F (－3)＝1256.若将本例中“直线y ＝－x ＋2”换为“抛物线y ＝3－34x 2”，如何求解？解：如图所示，设所求图形面积为S ，S ＝⎠⎛－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3－34x 2－()x 2－4d x＝⎠⎛－22⎝ ⎛⎭⎪⎫7－74x 2d x ，取F (x )＝7x －712x 3，则F ′(x )＝7－74x 2，∴S ＝F (2)－F (－2)＝563.利用定积分求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤 (1)画出图形．(2)确定图形范围，通过方程组求出交点的横坐标，确定积分上限和积分下限． (3)确定被积函数及积分变量，确定时可以综合考察下列因素：①被积函数的原函数易求；②较少的分割区域；③积分上限和积分下限比较简单． (4)写出平面图形的面积的定积分表达式．(5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．3．求曲线y ＝e x ，y ＝e －x及直线x ＝1所围成的图形的面积．解：由图可知，积分区间为[0,1]，面积S ＝⎠⎛10()e x －e－xd x ，取F (x )＝e x＋e －x，则F ′(x )＝e x －e －x， ∴S ＝F (1)－F (0)＝e ＋1e－2.变速直线运动的物体的速度为v (t )＝1－t 2，初始位置为x 0＝1，求它在前2秒内所走的路程及2秒末所在的位置．[自主解答] 当0≤t ≤1时，v (t )≥0，当1≤t ≤2时，v (t )<0. 所以前2秒钟内所走的路程S ＝⎠⎛01v (t )d t ＋⎠⎛12[－v (t )]d t＝⎠⎛01(1－t 2)d t ＋⎠⎛12(t 2－1)d t取F 1(t )＝t －13t 3，F 2(t )＝13t 3－t ，S ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝2.2秒末所在的位置：x 1＝x 0＋⎠⎛02v (t )d t ＝1＋⎠⎛02(1－t 2)d t ＝13. 即它在前2秒内所走的路程为2,2秒末所在位置为x 1＝13.1．有关路程、位移计算公式路程是位移的绝对值之和，从时刻t ＝a 到时刻t ＝b 所经过的路程s 和位移s 1分别为(1)若v (t )≥0(a ≤t ≤b )，则s ＝⎠⎛a b v (t )d t ；s 1＝⎠⎛a bv (t )d t .(2)若v (t )≤0(a ≤t ≤b )，则s ＝－⎠⎛a bv (t )d t ；s 1＝⎠⎛a bv (t )d t .(3)在区间[a ，c ]上，v (t )≥0，在区间[c ，b ]上，v (t )<0，则s ＝⎠⎛a cv (t )d t －⎠⎛c bv (t )d t ；s 1＝⎠⎛a bv (t )d t .2．求变力做功的方法步骤(1)要明确变力的函数式F (x )，确定物体在力的方向上的位移． (2)利用变力做功的公式W ＝⎠⎛ab F (x )d x 计算．[注意] 将力与位移的单位换算为牛顿(N)与米(m)，功的单位才为焦耳(J)．4．一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°角的方向做直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时F (x )做的功为( )A. 3 JB.233J C.433J D ．2 3 J解析：W ＝⎠⎛12F (x )cos 30°d x ＝⎠⎛1232(5－x 2)d x ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －13x 3⎪⎪⎪21＝433(J)．答案：C求抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积．[解] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ，解出抛物线和直线的交点为(2,2)及(8，－4)．法一：选x 作为积分变量，由图可看出S ＝A 1＋A 2.在A 1部分：由于抛物线的上半支方程为y ＝2x ，下半支方程为y ＝－2x ，所以S A 1＝⎠⎛02[2x －(－2x )]d x ＝22⎠⎛02x 12d x .取F 1(x )＝23x 32，∴S A 1＝22[F 1(2)－F 1(0)]＝163.S A 2＝⎠⎛28[4－x －(－2x )]d x ，取F 2(x )＝4x －12x 2＋223x 32.∴S A 2＝F 2(8)－F 2(2)＝383.∴S ＝163＋383＝18.法二：选y 作积分变量，将曲线方程写为x ＝y 22及x ＝4－y .S ＝2-4⎰⎣⎢⎡⎦⎥⎤－y －y 22d y .取F (y )＝4y －y 22－y 36，∴S ＝F (2)－F (－4)＝30－12＝18.1．定积分⎠⎛01(2x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解析：取F (x )＝x 2＋e x，则F ′(x )＝2x ＋e x，⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝F (1)－F (0)＝(1＋e)－(0＋e 0)＝e.答案：C2．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( )A.12g B ．g C.32g D ．2g解析：取F (x )＝12gt 2，则F ′(x )＝gt ，所以电视塔高为⎠⎛12gt d t ＝F (2)－F (1)＝2g －12g ＝32g . 答案：C3．s 1＝⎠⎛01x d x ，s 2＝⎠⎛01x 2d x 的大小关系是( )A ．s 1＝s 2B ．s 21＝s 2 C ．s 1>s 2D ．s 1<s 2解析：⎠⎛01x d x 表示由直线x ＝0，x ＝1，y ＝x 及x 轴所围成的图形的面积，而⎠⎛01x 2d x 表示的是由曲线y ＝x 2与直线x ＝0，x ＝1及x 轴所围成的图形的面积，因为在x ∈[0,1]内直线y ＝x 在曲线y ＝x 2的上方，所以s 1>s 2.答案：C4.⎠⎛－12x 4d x ＝________.解析：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 5′＝x 4，取F (x )＝15x 5，∴⎠⎛－12x 4d x ＝F (2)－F (－1)＝15[25－(－1)5]＝335. 答案：3355．若⎠⎛01(2x ＋k )d x ＝2，则k ＝________. 解析：取F (x )＝x 2＋kx ，则F ′(x )＝2x ＋k ， ∴⎠⎛01(2x ＋k )d x ＝F (1)－F (0)＝1＋k ＝2，∴k ＝1. 答案：16．求由曲线xy ＝1及直线x ＝y ，y ＝3所围成平面图形的面积．解：作出曲线xy ＝1，直线x ＝y ，y ＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．求交点坐标：由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝3，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3；由⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝1，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1(舍去)，故B (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，故C (3,3)，故所求面积S ＝S 1＋S 2＝⎠⎜⎛131⎝⎛⎭⎪⎫3－1x d x ＋⎠⎛13(3－x )d x ＝4－ln 3.一、选择题1.⎠⎛241x d x 等于( )A ．－2ln 2B ．2ln 2C ．－ln 2D ．ln 2解析：⎠⎛241x d x ＝ln 4－ln 2＝ln 2.答案：D2．一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间内所走的路程为( )A.13B.12C. 1D.32解析：曲线v (t )＝t 与直线t ＝0，t ＝1，横轴围成的三角形面积S ＝12即为这段时间内物体所走的路程．答案：B3.如图所示，阴影部分的面积是( )A ．2 3B ．2－ 3 C.323D.353 解析：S ＝⎠⎛－31 (3－x 2－2x )d x ，即F (x )＝3x －13x 3－x 2，则F (1)＝3－13－1＝53， F (－3)＝－9＋9－9＝－9.∴S ＝F (1)－F (－3)＝53＋9＝323. 答案：C4．定积分⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝( ) A ．5B ．6C ．7D ．8 解析：|x 2－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ，－2≤x ＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤2，取F 1(x )＝13x 3－x 2，F 2(x )＝－13x 3＋x 2，则F 1′(x )＝x 2－2x ，F 2′(x )＝－x 2＋2x .∴⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛－20 (x 2－2x )d x ＋⎠⎛02 (－x 2＋2x )d x ＝F 1(0)－F 1(－2)＋F 2(2)－F 2(0)＝8.答案：D二、填空题5．函数y ＝x －x 2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积等于________．解析：由x －x 2＝0，得x ＝0或x ＝1.因此所围成的封闭图形的面积为⎠⎛01(x －x 2)d x . 取F (x )＝12x 2－13x 3，则F ′(x )＝x －x 2，∴面积S ＝F (1)－F (0)＝16. 答案：166．设函数f (x )＝(x －1)x (x ＋1)，则满足∫a0f ′(x )d x ＝0的实数a ＝________.解析：⎠⎛0af ′(x )d x ＝f (a )＝0，得a ＝0或1或－1，又由积分性质知a >0，故a ＝1.答案：17．计算⎠⎛02(2x －e x )d x ＝________. 解析：取F (x )＝x 2－e x ，则F ′(x )＝2x －e x，所以⎠⎛02(2x －e x )d x ＝F (2)－F (0)＝5－e 2. 答案：5－e 28．曲线y ＝1x＋2x ＋2e 2x ，直线x ＝1，x ＝e 和x 轴所围成的区域的面积是________．解析：由题意得，所求面积为⎠⎛1e⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2x ＋2e 2x d x . 取F (x )＝ln x ＋x 2＋e 2x ，则F ′(x )＝1x＋2x ＋2e 2x ，所以⎠⎛1e⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2x ＋2e 2x d x ＝F (e)－F (1)＝e 2e . 答案：e 2e三、解答题9．计算下列定积分．(1)⎠⎛14⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x d x ； (2)⎠⎛01x 1＋x 2d x . 解：(1)取F (x )＝2x ln 2－2x ，则F ′(x )＝2x －1x .∴原式＝F (4)－F (1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16ln 2－2ln 2－(24－2)＝14ln 2－2. (2)取F (x )＝12ln(1＋x 2)，则F ′(x )＝x 1＋x2. ∴⎠⎛01x 1＋x 2d x ＝F (1)－F (0)＝12ln 2. 10．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积．解：f ′(x )＝3x 2－2x ＋1，∵(1,2)为曲线f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1上的点，设过点(1,2)处的切线的斜率为k ，则k ＝f ′(1)＝2，∴过点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x . y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形如图：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝2x 可得交点A (2,4)．∴y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积S ＝⎠⎛02(2x －x 2)．取F (x )＝x 2－13x 3，则F ′(x )＝2x －x 2， ∴S ＝F (2)－F (0)＝43.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

超实用高考数学专题复习(北师大版)：第二章函数导数及其应用导数的概念及运算定积分与微积分基本定理

挖掘2 根据导数的几何意义求解析式中的参数/ 互动探究
[例2] (1)(2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为
y＝2x＋b，则( )
A．a＝e，b＝－1
B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1
D．a＝e－1，b＝－1
[解析] y′＝aex＋ln x＋1，k＝y′|x＝1＝ae＋1， ∴切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1. 又∵切线方程为y＝2x＋b， ∴abe＝＋－1＝1，2，即a＝e－1，b＝－1.故选D. [答案] D
[四基自测]
1．(基础点：求导数值)若f(x)＝x·ex，则f′(1)等于( )
A．0
B．e
C．2e
D．e2
答案：C
2．(易错点：导数的运算)已知f(x)＝x·ln x，则f′(x)＝( )
mx A. x
B．x＋1
C.1x＋x 答案：D
D．ln x＋1
3．(基础点：求切线)函数f(x)＝x3在(0，0)处的切线为( )
A．不存在
B．x＝0
C．y＝0 答案：C
D．y＝x
4．(易错点：求切点)曲线y＝ex过点(0，0)的切线的斜率为________．
答案：e
考点一导数的计算挖掘1 求导函数值/ 自主练透 [例1] (1)设函数f(x)＝1－ex的图像与x轴交于P点(x0，y0)，则f′(x0)＝________． [解析] 令1－ex0＝0，∴x0＝0，而f′(x)＝－ex，∴f′(x0)＝f′(0)＝－e0＝－1. [答案] －1
[解析] 对于①，由y＝x3，得y′＝3x2，则y′|x＝0＝0，直线y＝0是过点P(0，0)的曲线C的切线，又当x＞0时，y＞0，当x＜0时，y＜0，满足曲线C在P(0，0)附近位于直线y＝0两侧，∴命题①正确；对于②，由y＝(x＋1)2，得y′＝2(x＋1)，则y′|x＝－1＝0，而直线l：x＝－1斜率不存在，在点P(－1，0)处不与曲线C相切，

高中数学第4章导数及其应用4.5定积分与微积分基本定理4.5.4微积分基本定理课堂讲义配套

2021/12/8
第十七页，共三十四页。
(3)∵ln2x2＋2
x′＝2x＋
1， x
∴
(2x＋ 1x)dx＝ln2x2＋2 x41
＝ln242＋2 4－ln22＋2＝l1n42＋2.
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规律方法求较复杂函数的定积分的方法：
(1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后求解，具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正、余弦函数、指数、对数函数与常数的和与差． (chángshù)
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第三页，共三十四页。
2．在下面图(1)、图(2)、图(3)中的三个图形阴影(yīnyǐng)部分的面积分别怎样表示？
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第四页，共三十四页。
答根据定积分与曲边梯形的面积的关系知：
图(1)中S＝bf(x)dx， a
图(2)中S＝－bf(x)dx， a
图(3)中S＝bf(x)dx－0f(x)dx.
＝0＋13＋sinπ2－π2－(sin 0－0) ＝43－π2.
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(2)∵|x2－4|＝x42－－x42
x≥2或x≤－2，－2<x<2，
又∵13x3－4x′＝x2－4，4x－13x3′＝4－x2， ∴ |x2－4|dx＝ (4－x2)dx＋ (x2－4)dx
1 2cos
2x，所以
(sin x－sin 2x)dx
＝－cos
x＋12cos
2xπ30
＝－12－14－－1＋12＝－14.
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高中数学第四章导数及其应用 4.5 定积分与微积分基

a
y＝0 和曲线 y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积，这就是定积分 bf(x)dx 的几何意义．
a
课堂讲练互动
2．定积分表示图形面积的代数和被积函数是正的，定积分的值也为正，如果被积函数是负的，函数曲线在 x轴之下，定积分的值就是带负号的曲边梯形的面积．当被积函数在积分区间上有正有负时，定积分就是x 轴之上的正的面积与x轴之下的负的面积的代数和．此外，定积分还有更多的实际意义，比如在物理学中，可以用定积分表示功、路程、压力、体积等．
课堂讲练互动
(3)积零成整，精益求精．
作和 Sn＝I1＋I2＋…＋In ＝b－n ana＋b－n a1＋2＋…＋n ＝b－n ana＋b－n a·nn＋2 1 ＝(b－a)·a＋b－a22n2n2＋n ＝(b－a)·a＋b－2 a2·1＋1n.
作下限上限．
被积函数
积分区间
课堂讲练互动
2．定积分的几何意义一般来说，定积分的几何意义是在区间[a，b]上，曲线与
直线x＝a，x＝b(a≠b)及x轴所围图形面积的代数和(即x
轴上方的面积减去x轴下方的面积)
3．定积分的物理意义
①当f(x)是表示速度关于时间x的函数时，bf(x)dx表示的是
a
运动物体从x＝a 到x＝b时所走过的路程
．
②当f(x)是表示力关于位移x的函数时，bf(x)dx表示的是
a
运动物体从x＝a到x＝b时所做的功
．
课堂讲练互动
自主探究
用定义求定积分的一般方法是什么？
提示 ①化整为零，插入等分点．n 等分区间[a，b]； ②以直代曲，估计误差．
取点 ξ∈[xi－1，xi]，可取 ξi＝xi－1 或 ξi＝xi； ③积零成整，精益求精．

高考数学一轮复习第三章导数及其应用 3.4 定积分与微积分基本定理课件理

D．不存在
解：如图，2f(x)dx＝1x2dx＋2(2－x)dx
0
0
1
＝13x3|10＋2x－12x2|21
＝13＋4－2－2＋12＝56.
故选 C.
【点拨】对分段函数 f(x)求定积分，关键是找到分段点 c 后利用定积分
性质bf(x)dx＝cf(x)dx＋bf(x)dx 求解．
a
a
c
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12/11/2021
解：由 v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)＝0，得 t＝1 或 3(舍
去)．所以路程 s＝01(t2－4t＋3)dt＝(13t3－2t2＋3t)|10＝43(m)．故
填43.
【点拨】物体沿直线朝一个方向运动的路程问题，只需对速度求定积分，积分的上、下限分别是计时结束和开始的时间．
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(2016·丽水模拟)曲线 y＝x2 和曲线 y2＝x 围成的图形面积是________．
解：由yy＝2＝xx2，
得x＝0，或x＝1， y＝0 y＝1，
则所求面积
为1( x－x2)dx＝23x32－13x3|10＝13.故填13. 0
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(2016·苍南模拟)1( 1－x2－x)dx＝________. 0
2．利用定积分求曲线围成图形的面积，关键是画出图形，结合图形确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值．
3．利用定积分解决简单的物理问题，关键是要掌握定积分的物理意义，结合物理学中的相关内容，将物理问题转化为定积分来解决．
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a
(3)abf(x)dx＝____________________ (其中 a＜c＜b)．

高考数学复习讲义：导数的概念及运算、定积分

处的切线垂直于 x 轴，则此时导数 f′(x0)不存在，由切线定义可知，切线方程为 x＝x0.
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[基本能力]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点． ( ) (2)求曲线过点 P 的切线时 P 点一定是切点． ( ) 答案：(1)√ (2)×
返回
看成常数，再求导复合函数确定复合关系，由外向内逐层求导
返回
[针对训练]
1．设 f(x)＝x(2 019＋ln x)，若 f′(x0)＝2 020，则 x0 等于( )
A．e2
B．1
C．ln 2
D．e
解析：f′(x)＝2 019＋ln x＋1＝2 020＋ln x，由 f′(x0)＝ 2 020，得 2 020＋ln x0＝2 020，则 ln x0＝0，解得 x0＝1. 答案：B
返回
2．曲线 y＝log2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________．解析：∵y′＝xln1 2，∴切线的斜率 k＝ln12，∴切线方程为 y＝ln12(x－1)，∴所求三角形的面积 S＝12×1×ln12＝2ln1 2＝ 1 2log2e. 答案：12log2e
二、填空题 1．已知函数 f(x)＝axln x＋b(a，b∈R)，若 f(x)的图象在 x＝1
处的切线方程为 2x－y＝0，则 a＋b＝________. 解析：由题意，得 f′(x)＝aln x＋a，所以 f′(1)＝a，因为函数 f(x)的图象在 x＝1 处的切线方程为 2x－y＝0，所以 a＝2，又 f(1)＝b，则 2×1－b＝0，所以 b＝2，故 a＋b＝4. 答案：4
答案：－xsin x 2．已知 f(x)＝13－8x＋2x2，f′(x0)＝4，则 x0＝________.

高考数学一轮复习第三章导数及其应用第5讲定积分与微积分基本定理课件理

－6
0
＝16.
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x2，x∈[0，1，
5．(2019·南昌模拟)设 f(x)＝1x，x∈[1，e]
(e 为自然对数的底数)，
则ef(x)dx 的值为________． 0
答案
4 3
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答案
解析 0ef(x)dx＝01x2dx＋1e1xdx＝13x3|10＋ln x|e1＝13＋ln e＝43.
第5讲定积分与微积分基本
定理
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基础知识整合
1．定积分的概念
在bf(x)dx 中，___□0_1_a_，__b____分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b] a
叫做积分区间，___□0_2_f_(x_)_____叫做被积函数，____□0_3_x______叫做积分变量， ___□0_4_f_(x_)_d_x___叫做被积式．
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4．(2019·海南模拟)已知 f(x)为偶函数且6f(x)dx＝8，则6 －6f(x)dx 等于
0
－6
() A．0
B．4
C．8
D．16
答案 D
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答案
解析
6
f(x)dx＝0
f(x)dx＋6f(x)dx，因为原函数为偶函数，即其图象
－6
－6
0
关于 y 轴对称，所以对应的面积相等，即0 f(x)dx＝6f(x)dx，故所求为 8×2
几何意义为1个圆的面积． 4
∴1 0
1－x2dx＝π4.
(2)1(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|10＝1＋e1－1＝e. 0
12/11/2021

高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.3定积分的概念讲义新人教A版选修22

高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.3定积分的概念讲义新人教A 版选修221．定积分的概念一般地，设函数f (x )在区间[a ，b ]上□01连续，用分点a ＝x 0<x 1<x 2<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式□02∑ni ＝1f (ξi )Δx ＝∑ni ＝1b －a nf (ξi )．当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，那么这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作：□03⎠⎛ab fx d x ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝□04lim n →∞∑ni ＝1 b －a n f (ξi )．2．定积分的相关名称3．定积分的几何意义(1)前提条件：函数f (x )在区间[a ，b]上连续，f (x )≥0.(2)定积分⎠⎛ab f (x )d x 的几何意义：由y ＝0，曲线f (x )以及直线x ＝a ，x ＝b 围成的曲边梯形的□12面积． 4．定积分的基本性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝□13k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)． (2)⎠⎛a b [f (x )±g(x )]d x ＝□14⎠⎛a b f (x )d x ±⎠⎛ab g(x )d x . (3)⎠⎛ab f (x )d x ＝□15⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c<b)．用定积分求曲边图形面积时，不判断曲边图形位于x 轴上方、还是下方，直接求解而出现错误．避免出错的措施为：(1)当对应的曲边图形位于x 轴上方时(图①)，定积分的值取正值，且等于曲边图形的面积；(2)当对应的曲边图形位于x 轴下方时(图②)，定积分的值取负值，且等于曲边图形面积的相反数；(3)当位于x 轴上方的曲边图形面积等于位于x 轴下方的曲边图形面积时，定积分的值为0(图③)，且等于位于x 轴上方的曲边图形面积减去位于x 轴下方的曲边图形面积．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ab f (t)d t .( )(2)⎠⎛a b f (x )d x 的值一定是一个正数．( ) (3)⎠⎛ab (x 2＋2x )d x ＝⎠⎛a b x 2d x ＋⎠⎛ab 2xd x .( )答案 (1)√ (2)× (3)√探究1 利用定义计算定积分例1 利用定积分的定义，计算⎠⎛12(3x ＋2)d x 的值．[解] 令f (x )＝3x ＋2. (1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[1,2]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n (i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n . (2)近似代替、求和取ξi ＝n ＋i －1n (i ＝1,2，…，n )，则S n ＝∑ni ＝1f (n ＋i －1n)·Δx ＝∑ni ＝1⎣⎢⎡⎦⎥⎤3n ＋i －1n ＋2·1n＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3i －1n 2＋5n ＝3n2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＋5＝32×n 2－n n 2＋5＝132－32n . (3)取极限⎠⎛12(3x ＋2)d x ＝lim n→∞S n ＝lim n→∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫132－32n ＝132. 拓展提升利用定义求定积分的关键仍然是“分割、近似代替、求和、取极限”这一过程．其中： (1)在近似代替时，可以选取每个小区间的左端点、右端点、区间中点、区间端点的几何平均数等相应的函数值来代替该区间的函数值；(2)将“近似代替、求和”作为一个步骤来处理，其条理性更强．【跟踪训练1】求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0与曲线f (x )＝x 2＋2x ＋1围成曲边梯形的面积．解将区间[0,1]等分成n 个小区间，则第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，等i 个小区间的面积为ΔS i ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n ·1n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫i n ＋1·1n，S n ＝∑ni ＝1⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫i n ＋1·1n＝1n 3(12＋22＋32＋…＋n 2)＋2n2(1＋2＋3＋…＋n )＋1＝1n3·n n ＋12n ＋16＋2n2·n n ＋12＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n 6＋1n＋2，S ＝lim n→∞S n ＝lim n→∞ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n 6＋1n ＋2＝73，所以所求的曲边梯形的面积为73.拓展提升b f(x)d x的值的关键是确定由曲线y＝f(x)，直线x＝a，利用定积分所表示的几何意义求⎠⎛a直线x＝b及x轴所围成的平面图形的形状．常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．解 (1)如图1，阴影部分面积为2＋5×12＝72，从而 ⎠⎛01(3x ＋2)d x ＝72.图1 图2探究3 利用定积分的性质求定积分例3 已知⎠⎛01x 3d x ＝14，⎠⎛12x 3d x ＝154，⎠⎛12x 2d x ＝73，⎠⎛24x 2d x ＝563，求：(1)⎠⎛02(3x 3)d x ；(2)⎠⎛14(6x 2)d x ； (3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x .[解] (1)⎠⎛02(3x 3)d x ＝3⎠⎛02x 3d x＝3⎝⎛⎭⎫⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x 3d x ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋154＝12.(2)⎠⎛14(6x 2)d x ＝6⎠⎛14x 2d x ＝6⎝⎛⎭⎫⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛24x 2d x ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋563＝126. (3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x ＝⎠⎛12(3x 2)d x －⎠⎛12(2x 3)d x＝3⎠⎛12x 2d x －2⎠⎛12x 3d x ＝3×73－2×154＝7－152＝－12.拓展提升【跟踪训练3】已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，2，4－x ，x ∈[2，3，52－x 2，x ∈[3，5]，求f (x )在区间[0,5]上的定积分．1.求阴影部分面积可分两类：(1)规则图形：按照面积的相关公式直接计算；(2)不规则图形：转化为规则图形或曲边梯形，再求面积的和或差，曲边梯形面积利用定积分来计算；改变积分变量，使问题简化.2.可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分.3.定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算.1．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象在x轴上方，且图象从左至右上升，则求由曲线y ＝f(x)，直线x＝a，x＝b(a≠b)及x轴围成的平面图形的面积S时，将区间[a，b]n等分，用每个小区间的左端点的函数值计算出面积为S1，用每个小区间的右端点的函数值计算出面积为S2，则有( )A．S1<S<S2B．S1≤S<S2C．S1≤S2≤S D．S1≤S≤S2答案 A解析由题意知，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i－1n ，i n 上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n，所以S 1＝∑i ＝1nf ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n ·1n <∑i ＝1nf ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n ·1n ＝S 2，则S 1<S <S 2.答案 D3.⎠⎛06(2x －4)d x ＝________.答案 12解析如图A(0，－4)，B(6,8)，M(2,0)，S △AOM ＝12×2×4＝4，S △MBC ＝12×4×8＝16，所以⎠⎛06(2x －4)d x ＝16－4＝12.4．曲线y ＝1x与直线y ＝x ，x ＝2所围成的图形面积用定积分可表示为 ________．答案 ⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x d x解析如图所示，阴影部分的面积可表示为⎠⎛12x d x －⎠⎛121xd x ＝⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x d x . 5．根据定积分的几何意义求定积分⎠⎛13(x －2)d x ，⎠⎛13|x －2|d x .解根据定积分的几何意义，所求定积分表示直线x ＝3，x ＝1，y ＝0分别与函数y ＝x －2，y ＝|x －2|的图象所围成的图形的面积，即如图的阴影部分的面积．∴⎠⎛13(x －2)d x ＝－12×1×1＋12×1×1＝0. ⎠⎛13|x －2|d x ＝12×1×1＋12×1×1＝1.。

导数及其应用定积分与微积分基本定理课件理ppt

求法
求函数的导数有多种方法，例如，利用求导公式求导；利用求导法则求导；利用复合函数求导法则求复合函数的导数；利用微分学基本定理求高阶导数等。
02
定积分
定积分的定义与性质
定积分的定义
定积分是函数在区间[a,b]上的积分，表示为∫abf(x)dx，其中f(x)是待积函数，a和b 是积分的下限和上限。
定积分的性质
定积分具有一些基本性质，如线性性质、可加性、可减性、可正可负性等。这些性质在解决定积分问题时非常重要。
定积分的几何与物理应用
定积分的几何应用
定积分可以用于计算曲线下面积、旋转体体积等问题。例如，计算圆、椭圆等图形的面积，或求圆柱、圆锥等旋转体的体积。
定积分的物理应用
定积分在物理中有广泛的应用，如计算变力沿直线所做的功、计算液体对平面所施加的力等。
最优问题求解
导数可以用于求解最优问题，例如在投资组合理论中，通过求解收益率关于资产配置的导数，可以找到最优的资产配置比例。
动态最优化
导数可以用于建立动态最优化模型，例如在宏观经济学中，通过求解一阶导数和二阶导数，可以研究经济的稳定性和增长问题。
定积分在物理学中的应用案例
面积和体积计算
定积分可以用于计算曲线下包围的面积和曲线的长度，以及计算立体的体积。例如，在计算旋转体的体积时，可以将旋转体表面展开成一系列的小圆环，然后利用定积分计算每个小圆环的面积并求和得到总体积。
微积分基本定理可以用于求解一些方程，例如在求解一些涉及到多个变量的方程时，可以通过微积分基本定理将方程转化为一个易于求解的方程并求解。
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物理应用
导数可以描述物理量随时间的变化率，例如速度是位移对时间的导数。导数在物理中有广泛的应用，例如牛顿第二定律、欧姆定律等。

高考数学一轮复习第三章导数及其应用第四节定积分与微积分基本定理课件理

④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
n
f(ξi)Δx＝
i＝1
当 n→∞时，上述和式无限接近某个常数，
这个常数叫做函数 f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作bf(x)dx. a
2．定积分的相关概念
在bf(x)dx 中， a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限， a
区间 [a,b] 叫做积分区间，函数 f(x) 叫做被积函数， x 叫做
由yy＝＝x－x，2 得交点 A(4,2)．因此 y＝ x与 y＝x－2 及 y 轴所围成的图形的面积为4 x－x－2dx＝

0
(2)
建立如图所示的平面直角坐标系，由抛物线过点(0，－2)，(－
5,0)，(5,0)，得抛物线的函数表达式为 y＝225x2－2，抛物线与 x 轴
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/7/12
最新中小学教学课件
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谢谢欣赏！
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0
7－3t＋12＋5 t
dt
＝
7t－32t2＋25ln1＋t
4 0
＝
4
＋
25ln 5.
(2)由题意知，力 F(x)所做的功为

高数学习资料含讲义及全部内容定积分的概念

第五章定积分的概念教学目的与要求：1．解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。

2．解广义积分的概念并会计算广义积分。

3．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。

5.1定积分概念一．定积分的定义不考虑上述二例的几何意义，下面从数学的角度来定义定积分定义设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点，把区间[a,b]分成n 个小区间，记},......,,max{,,......2,1,211n i i i x x x n i x x x ∆∆∆==-=∆-λ在[i i x x ,1-]上任意取一点i ξ，作和式：)1.......()(1ini ix f ∆∑=ξ 如果无论[a,b]作怎样分割，也无论i ξ在[i i x x ,1-]怎样选取，只要0→λ有→∆∑=i ni i x f 1)(ξI （I 为一个确定的常数），则称极限I 是f(x)在[a,b]上的定积分，简称积分，记做⎰badx x f )(即I=⎰badx x f )(其中f(x)为被积函数，f(x)dx 为积分表达式，a 为积分下限，b 为积分上限，x 称为积分变量，[a,b]称为积分区间。

注1．定积分还可以用δε-语言定义 2由此定义，以上二例的结果可以表示为A=⎰badx x f )(和S=⎰21)(T T dt t v3有定义知道⎰badx x f )(表示一个具体的书，与函数f(x)以及区间[a,b]有关，而与积分变量x 无关，即⎰badx x f )(=⎰b adu u f )(=⎰badt t f )(4定义中的0→λ不能用∞→n 代替5如果ini ix f Lim∆∑=→1)(ξλ存在，则它就是f(x)在[a,b]上的定积分，那么f(x)必须在[a,b]上满足什么条件f(x)在[a,b]上才可积分呢？经典反例：⎩⎨⎧=中的无理点，为，中的有理点，为]10[0]10[,1)(x x x f 在[0，1]上不可积。

高中数学第1章导数及其应用 1.5 定积分 1.5.3 微积分基本定理讲义(含解析)苏教版选修2

1．微积分基本定理[对应学生用书P28]已知函数f (x )＝2x ＋1，F (x )＝x 2＋x . 问题1：f (x ) 和F (x )有何关系？提示：F ′(x )＝f (x )．问题2：利用定积分的几何意义求⎠⎛20(2x ＋1)d x 的值．提示：⎠⎛20(2x ＋1)d x ＝6.问题3：求F (2)－F (0)的值．提示：F (2)－F (0)＝4＋2＝6. 问题4：你得出什么结论？提示：⎠⎛20f (x )d x ＝F (2)－F (0)，且F ′(x )＝f (x )．问题5：已知f (x )＝x 3，F (x )＝14x 4，试探究⎠⎛10f (x )d x 与F (1)－F (0)的关系．提示：因⎠⎛10f (x )d x ＝⎠⎛10x 3d x ＝14.F (1)－F (0)＝14，有⎠⎛10f (x )＝F (1)－F (0)且F ′(x )＝f (x )．微积分基本定理对于被积函数f (x )，如果F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ba f (x )d x ＝F (b )－F (a )，即⎠⎛ba F ′(x )d x＝F (b )－F (a )．1．微积分基本定理表明，计算定积分⎠⎛a bf (x )d x 的关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )．通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F (x )．2．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的内在联系，最重要的是它也提供了计算定积分的一种有效方法．[对应学生用书P29]求简单函数的定积分[例1] 求下列定积分： (1)⎠⎛21(x 2＋2x ＋3)d x ；(2)⎠⎛π0(sin x －cos x )d x ；(3)⎠⎛0－π(cos x －e x)d x . [思路点拨]先求被积函数的原函数，然后利用微积分基本定理求解． [精解详析](1)取F (x )＝x 33＋x 2＋3x ，则F ′(x )＝x 2＋2x ＋3，从而⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)d x ＝⎠⎛12F ′(x )d x ＝F (2)－F (1)＝253. (2)取F (x )＝－cos x －sin x ，则F ′(x )＝sin x －cos x ，从而⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝⎠⎛0πF ′(x )d x ＝F (π)－F (0)＝2.(3)取F (x )＝sin x －e x ，则F ′(x )＝cos x －e x，从而⎠⎛0－π(cos x －e x )d x ＝⎠⎛0－πF ′(x )d x ＝F (0)－F (－π)＝1eπ－1. [一点通]求简单的定积分关键注意两点：(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．1．(某某高考改编)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝____________.解析：∵f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2x ⎠⎛01f (x )d x 10＝13＋2⎠⎛01f (x )d x .∴⎠⎛01f (x )d x ＝－13.答案：＝－132.⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝________. 解析：∵(sin x ＋x )′＝cos x ＋1，∴⎠⎛π0(cos x ＋1)d x ＝(sin x ＋x )|π0 ＝(sin π＋π)－(sin 0＋0)＝π. 答案：π3．求下列定积分：(1)∫π20sin 2x 2d x ；(2)⎠⎛23(2－x 2)(3－x )d x . 解：(1)sin 2x 2＝12－cos x 2，而⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x ′＝12－12cos x ，所以∫π20sin 2x 2d x ＝∫π20⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12cos x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x |π20＝π4－12＝π－24.(2)原式＝⎠⎛32(6－2x －3x 2＋x 3)d x＝⎝⎛⎭⎪⎫6x －x 2－x 3＋14x 4|32 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6×3－32－33＋14×34－⎝ ⎛⎭⎪⎫6×2－22－23＋14×24 ＝－74.求分段函数的定积分[例2](1)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，cos x －1，x >0.求⎠⎛1－1f (x )d x ； (2)求⎠⎛a－a x 2d x (a >0)． [思路点拨]按照函数f (x )的分段标准，求出每一段上的积分，然后求和． [精解详析](1)⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛0－1x 2d x ＋⎠⎛01(cos x －1)d x ＝13x 3|0－1＋(sin x －x )|10＝sin 1－23. (2)由x2＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，得⎠⎛a －a x 2d x ＝⎠⎛a 0x d x ＋⎠⎛0－a (－x )d x ＝12x 2|a0－12x 2|0－a ＝a 2.[一点通](1)分段函数在区间[a ，b ]上的积分可分成几段积分的和的形式．(2)分段的标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原函数分段的情况分即可，无需分得过细．4.⎠⎛3－4|x ＋2|d x ＝________. 解析：∵|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，(－2<x ≤3)－x －2，(－4≤x ≤－2)∴⎠⎛3－4|x ＋2|d x ＝⎠⎛3－2(x ＋2)d x ＋⎠⎛－4－2(－x －2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2x |3－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2－2x |－2－4＝292.答案：2925．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ， x ＞0，x ＋∫a 0 3t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝________.解析：显然f (1)＝lg 1＝0，故f (0)＝0＋∫a 0 3t 2d t ＝t 3|a0＝1，得a ＝1. 答案：1求图形的面积[例3] 求由曲线[思路点拨]在坐标系中作出图象→求曲线与直线的交点→利用定积分求面积.[精解详析] 画出草图，如图所示．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝x 2－2x ＋3，得A (0,3)，B (3,6)．所以S ＝⎠⎛30(x ＋3)d x －⎠⎛30(x 2－2x ＋3)d x ，取F (x )＝12x 2＋3x ，则F ′(x )＝x ＋3，取H (x )＝13x 3－x 2＋3x ，则H ′(x )＝x 2－2x ＋3，从而S ＝F (3)－F (0)－[H (3)－H (0)]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×32＋3×3－0－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13×33－32＋3×3－0 ＝92. [一点通]利用定积分求曲线所围成的平面图形的面积的步骤： (1)根据题意画出图形；(2)找出X 围，定出积分上、下限； (3)确定被积函数；(4)写出相应的定积分表达式，即把曲边梯形面积表示成若干个定积分的和或差； (5)用微积分基本定理及其运算性质计算定积分，求出结果．6．曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为________．解析：所围成的图形如图阴影部分所示，点A (0，－2)，由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x －2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，所以B (4,2)，因此所围成的图形的面积为∫40()x －x ＋2d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2＋2x 40＝163. 答案：1637．设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________. 解析：由已知得S ＝⎠⎛0ax d x ＝23x 32|a 0＝23a 32＝a 2，所以a 12＝23，所以a ＝49. 答案：491．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)求被积函数是分段函数的定积分，应分段求定积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号后才能积分． 2．利用定积分求曲边梯形的面积(1)在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观地确定出被积函数以及积分的上、下限．(2)要把定积分和用定积分计算平面图形的面积这两个概念区分开，定积分是一种积分和的极限，可为正，也可为负或零；而平面图形的面积在一般意义下总为正，因此当f (x )≤0时要通过绝对值处理为正，一般情况下是借助定积分求出两个曲边梯形的面积，然后相加起来．[对应课时跟踪训练(十一)]一、填空题1.⎠⎛1e1x d x ＝________.解析：⎠⎛1e1x d x ＝ln x |e 1＝ln e －ln 1＝1.答案：12.⎠⎛0π(2sin x －3e x＋2)d x ＝________.解析：⎠⎛0π(2sin x －3e x ＋2)d x ＝(－2cos x －3e x ＋2x )|π0＝7＋2π－3e π. 答案：7＋2π－3e π3．(某某高考改编)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为________．解析：S 1＝13x 3⎪⎪⎪21＝83－13＝73，S 2＝ln x ⎪⎪⎪21＝ln 2<ln e ＝1，S 3＝e x⎪⎪⎪21＝e 2－e ≈2－＝，所以S 2<S 1<S 3.答案：S 2<S 1<S 34．设f (x )＝错误!则错误!f (x )d x ＝________.解析：⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝13x 3|10＋(2x －12x 2)|21＝56. 答案：565．(某某高考)如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．解析：因为函数y ＝e x与函数y ＝ln x 互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，又因为函数y ＝e x与直线y ＝e 的交点坐标为(1，e)，所以阴影部分的面积为2(e ×1－⎠⎛01e x d x )＝2e －2e x |10＝2e －(2e －2)＝2，由几何概型的概率计算公式，得所求的概率P ＝S 阴影S 正方形＝2e 2. 答案：2e2二、解答题6．f (x )是一次函数，且∫10f (x )d x ＝5，∫10xf (x )d x ＝176，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax 2＋bx |10＝12a ＋b ＝5. ⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2|10＝13a ＋12b ＝176，所以由⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176，解得a ＝4，b ＝3，故f (x )＝4x ＋3.7．求由曲线y ＝x 2与直线x ＋y ＝2围成的面积．解：如图，先求出抛物线与直线的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，x ＋y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝4，即两个交点为(1,1)，(－2,4)．直线为y ＝2－x ，则所求面积S 为： S ＝⎠⎛1－2[(2－x )－x 2]d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫2x －x 22－x 33|1－2＝92.8．设f (x )是二次函数，其图象过点(0,1)，且在点(－2，f (－2))处的切线方程为2x ＋y ＋3＝0.(1)求f (x )的表达式；(2)求f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积；(3)若直线x ＝－t (0＜t ＜1)把f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ， ∵其图象过点(0,1)，∴c ＝1，又∵在点(－2，f (－2))处的切线方程为2x ＋y ＋3＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＝1，f ′(－2)＝－2.∵f ′(x )＝2ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ·(－2)2＋b ·(－2)＋1＝1，2a ·(－2)＋b ＝－2.∴a ＝1，b ＝2，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)依题意，f (x )的图象与两坐标轴所围成的图形如图中阴影部分所示，故所求面积S ＝∫0－1(x 2＋2x ＋1)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x 0－1＝13. (3)依题意，有12S ＝∫0－t (x 2＋2x ＋1)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x 0－t ＝16，即13t 3－t 2＋t ＝16， ∴2t 3－6t 2＋6t －1＝0， ∴2(t －1)3＝－1， ∴t ＝1－132.。

高考数学一轮复习第三章导数及其应用第五节定积分与微积分基本定理实用课件理

定积分在物理中的应用
[例2] (1)(2018·湖北武汉调研)一辆汽车在高速公路上行
驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋
25 1＋t
(t的单
位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距
离(单位：m)是
()
A．1＋25ln 5
B．8＋25ln131
C．4＋25ln 5

a
间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量， f(x)dx 叫做被积式．
3．定积分的性质
kbf(x)dx
(1)bkf(x)dx＝

a
(k为常数)；

a
bf1(x)dx±bf2(x)dx
(2)b[f1(x)±
f2(x)]dx＝

a

a
；
bf(x)dx＝F(x)| ba＝ F(b)－F(a) ．

a
[基本能力]
(1)

π 2
0
(3x＋sin x)dx＝________.
答案：38π2＋1
(2)
2

ex－2xdx＝________________.
1
答案：e2－e－2ln 2
(3)
1

e|x|dx 的值为________．
＝2 3－23π.
答案：2 3－23π
(2)如图所示，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是________．
解析：由yy＝＝－ 1，x2＋2x＋1，解得x1＝0，x2＝2. ∴S＝∫20(－x2＋2x＋1－1)dx＝∫20(－x2＋2x)dx ＝－x33＋x220＝－83＋4＝43.

高考数学讲义导数及其应用.板块五.微积分与定积分的应用.教师版

1．函数定积分：设函数()y f x =定义在区间[,]a b 上．用分点0121n n a x x x x x b -=<<<<<=L ，把区间[,]a b 分为n 个小区间，其长度依次为10121i i i x x x i n +∆=-=-L ，，，，，．记λ为这些小区间长度的最大值，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0．在每个小区间内任取一点i ξ，作和式10()n n i i i I f x ξ-==∆∑．y=f (x )O yx ban I 的极限叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作()b af x dx ⎰，即10()lim ()n bi i ai f x dx f x λξ-→==∆∑⎰．其中()f x 叫做被积函数，a 叫积分下限，b 叫积分上限．()f x dx 叫做被积式．此时称函数()f x 在区间[,]a b 上可积．2．曲边梯形：曲线与平行于y 轴的直线和x 轴所围成的图形，通常称为曲边梯形．根据定积分的定义，曲边梯形的面积S 等于其曲边所对应的函数()y f x =在区间[]a b ，上的定积分，即()ba S f x dx =⎰．求曲边梯形面积的四个步骤：第一步：分割．在区间[]a b ，中插入1n -各分点，将它们等分成n 个小区间[]1i i x x -， ()12i n =L ，，，，区间[]1i i x x -，的长度1i i i x x x -∆=-，第二步：近似代替，“以直代曲”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．第三步：求和．第四步：取极限．3．求积分与求导数互为逆运算．()()()baF x dx F b F a '=-⎰，即()F x '从a 到b 的积分等于()F x 在两端点的取值之差．4．微积分基本定理如果()()F x f x '=，且()f x 在[,]a b 上可积，则()()()baf x dx F b F a =-⎰，其中()F x 叫做()f x 的一个原函数．由于[()]()F x c f x '+=，()F x c +也是()f x 的原函数，其中c 为常数．知识内容板块五.微积分与定积分的应用一般地，原函数在[,]a b 上的改变量()()F b F a -简记作()b a F x ，因此，微积分基本定理可以写成形式：()()()()bb a a f x dx F x F b F a ==-⎰．题型一：定积分的概念【例1】求22002y x x y x =-=，，≤≤围成图形面积．【考点】定积分的概念【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】 ①分割在区间[]0,2上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,2等分成n 个小区间：20n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，24n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，…，()212n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记第i 个区间为()212,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦L ，其长度为()2122i i x n n n -∆=-=．分别过上述1n -个分点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作：1S ∆，2S ∆，…，n S ∆，显然，1ni i S S ==∆∑．②近似代替∵22y x x =-，当n 很大，即x ∆很小时，在区间()212,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦L 上，可以认为函数22y x x =-的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点()21i n-处的函数值()()221212i i n n --⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．这样，在区间()212,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，用小矩形的面积i S '∆近似的代替i S ∆，即在局部范围内“以直代曲”，则有()()221212i i i i S S x n n ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫'⎢⎥∆≈∆=-⋅∆ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()2212122i i n n n ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-⋅ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦③求和由②，对应的曲边梯形的面积n S 为()()211212122nnn i i i i i S S n n n ==⎡⎤--⎛⎫⎛⎫'⎢⎥∆=∆=-⋅ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑111241ni i i n n n =--⎛⎫=⋅⋅-⋅ ⎪⎝⎭∑=()()231811n i n i i n =⎡⎤---⎣⎦∑ ()()()22223880121121n n n n =++++--+++-⎡⎤⎣⎦L L ()()()2311218826n n n n n n n ---=⋅-⋅，从而得到S 的近似值 ()()()2311218826n n n n n n S S n n ---≈=⋅-⋅；典例分析④取极限()()()2311121884 lim lim263nnn nin n n n nS Sn n→∞→∞=---⎡⎤==⋅-⋅=⎢⎥⎣⎦∑．【答案】【例2】根据定义计算积分11x dx-⎰．【考点】定积分的概念【难度】1星【题型】解答【关键词】【解析】所求定积分为两个全等的等腰直角三角形的面积，故11121112x dx-=⨯⨯⨯=⎰．【答案】1【例3】根据定义计算定积分21(1) x dx +⎰．【考点】定积分的概念【难度】1星【题型】解答【关键词】【解析】所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为52．即215(1)2x dx+=⎰．【答案】2【例4】根据定义计算积分⎰．【考点】定积分的概念【难度】1星【题型】解答【关键词】【解析】所求定积分为圆224x y+=在x轴上半部的半圆的面积，故21π22π2=⋅⋅=⎰．【答案】2π【例5】求定积分1)x dx⎰．【考点】定积分的概念【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】1100)x dx xdx=-⎰⎰⎰，设y，则22(1)1(0)x y y-+=≥，∵⎰表示以1为半径的圆的四分之一面积，∴π4=⎰．又易知1012xdx =⎰，因此10π2)4x dx -=⎰．【答案】π24-【例6】⎰等于（）A ．π4B ．π2C ．πD ．2π【考点】定积分的概念【难度】2星【题型】选择【关键词】2008-2009，北京12中，高二，第二学期，期中测试【解析】设y 22(1)1(0)x y y -+=≥，∵⎰表示以1为半径的圆的四分之一面积，∴π4=⎰．【答案】A【例7】求定积分3-⎰．【考点】定积分的概念【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】设y =22(3)25(0)x y y -+=≥．∵3-⎰表示以5为半径的圆的四分之一面积，∴325π4-=⎰．【答案】25π4【例8】由cos y x =及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为________．【考点】定积分的概念【难度】2星【题型】填空【关键词】【解析】可以表示为π3π2π2π223ππ022|cos |d cos d (cos )d cos d x x x x x x x x =+-+⎰⎰⎰⎰．【答案】π3π2π2π223ππ022|cos |d cos d (cos )d cos d x x x x x x x x =+-+⎰⎰⎰⎰【例9】图中阴影部分的面积总和可用定积分表示为（） A ．()d da f x x ⎰B ．()d daf x x ⎰C ．()d ()d ()d bcd abcf x x f x x f x x ++D ．()d ()d ()d bcdabcf x x f x x f x x -+⎰⎰⎰【考点】定积分的概念【难度】2星【题型】选择【关键词】【解析】由图可知，选D ．【答案】D【例10】求曲线sin y x =以及直线π2x =-，5π4x =，0y =所围成的图形的面积S ．【考点】定积分的概念【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】因为πsin 02|sin |sin 0π5πsinπ4x x x x x x x ⎧--<⎪⎪=⎨⎪⎪-<⎩，≤，，≤≤，，≤，所以由公式可知，5π5π0π44ππ0π225ππ|sin |d (sin )d sin d (sin )d cos cos cos 44π0π2S x x x x x x x x x x x --==-++-=-+=-⎰⎰⎰⎰．【答案】4【例11】已知函数()sin f x x =，⑴试用定积分表示sin y x =与x 轴围成的介于πx =-与πx =之间的平面图形的面积； ⑵结合sin y x =的图象猜出ππ()d f x x -⎰的值；⑶试将上述问题推广到一般的情况．【考点】定积分的概念【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】 ⑴由定积分性质可知，sin y x =与x 轴围成的介于πx =-与πx =之间的平面图形的面积πππ|()|d 2sin d S f x x x x -==⎰⎰；⑵ππ()d 0f x x -=⎰；⑶已知()f x 在[]a a -，上连续，①当()f x 为偶函数时，有0()d 2()d aaaf x x f x x -=⎰⎰；②当()f x 为奇函数时，有()d 0aaf x x -=⎰．【答案】⑴π02sin d S x x =⎰；⑵ππ()d 0f x x -=⎰；⑶已知()f x 在[]a a -，上连续，①当()f x 为偶函数时，有0()d 2()d a aaf x x f x x -=⎰⎰；②当()f x 为奇函数时，有()d 0aaf x x -=⎰．【例12】已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙（如图所示）．那么对于图中给定的0t 和1t ，下列判断中一定正确的是（）A ．在1t 时刻，甲车在乙车前面B ．1t 时刻后，甲车在乙车后面C ．在0t 时刻，两车的位置相同D ．0t 时刻后，乙车在甲车前面【考点】定积分的概念【难度】3星【题型】选择【关键词】2009，广东，高考【解析】甲、乙所行驶的路程0ts v dt =⎰甲甲、0ts v dt =⎰乙乙，由图像可知，曲线v 甲比v 乙在00~t 、10~t 与x轴所围成图形面积大，则在0t 、1t 时刻，s s >乙甲，即甲车均在乙车前面，选A ．【答案】A【例13】设()y f x =为区间[01]，上的连续函数，且恒有0()1f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算积分10()f x dx ⎰，先产生两组（每组N 个）区间[01]，上的均匀随机数1x ，2x …，N x 和1y ，2y …，N y ，由此得到N 个点11()x y ，(12)i N =L ，，，，在数出其中满足11()f x y ≤((12))i N =L ，，，的点数1N ，那么由随机模拟方法可得积分10()f x dx ⎰的近似值为．【考点】定积分的概念【难度】1星【题型】填空【关键词】2010，全国Ⅰ，高考13【解析】【答案】1N N【例14】 3dx 1cos x xππ-=+⎰（）A ．1B ．1-C ．0D ．2【考点】定积分的概念【难度】2星【题型】选择【关键词】【解析】 31cos x x+为奇函数，积分区间[π,π]-关于原点对称，故3dx 01cos x x ππ-=+⎰．【例15】函数()y f x =的图象与直线,x a x b ==及x 轴所围成图形的面积称为函数()f x 在[,]a b 上的面积，已知函数sin y nx =在[0,]n π上的面积为*2()n n∈N ，则函数sin3y x =在2[0,]3π上的面积为_____________．【考点】定积分的概念【难度】2星【题型】填空【关键词】【解析】 sin3y x =在π[0,]3上的面积为23，又此函数的一个周期为2π3，故在π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的面积也为23．【答案】43题型二：微积分基本定理【例16】 11(23)x dx -+=⎰______．【考点】微积分基本定理【难度】2星【题型】填空【关键词】【解析】【答案】6【例17】8-=⎰_______．【考点】微积分基本定理【难度】2星【题型】填空【关键词】【解析】 483834834514444x -⎛⎫==-= ⎪-⎝⎭⎰．【答案】454．【例18】5(24)x dx -=⎰______．【考点】微积分基本定理【难度】2星【题型】填空【关键词】【解析】【答案】5【例19】5(21)x dx +=⎰______．【考点】微积分基本定理【难度】2星【题型】填空【关键词】【解析】【例20】2(2)x x e dx -=⎰___________．【考点】微积分基本定理【难度】2星【题型】填空【关键词】【解析】【答案】25e -【例21】函数2()(1)f x x x =-，求1()d f x x ⎰．【考点】微积分基本定理【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】【答案】112-【例22】下列等于1的积分是（）A ．10d x x ⎰B ．10(1)d x x +⎰C ．101d x ⎰D ．101d 2x ⎰【考点】微积分基本定理【难度】2星【题型】选择【关键词】【解析】 1011d 10x x==⎰．【答案】C【例23】1()x x e e dx -+=⎰（）A ．1e e +B ．2eC ．2eD ．1e e-【考点】微积分基本定理【难度】2星【题型】选择【关键词】【解析】 1011()()0x x x x e e dx e e e e--+=-=-⎰．【答案】D【例24】计算下列定积分的值：⑴321(4)d x x x --⎰；⑵251(1)d x x -⎰；⑶π20(sin )d x x x +⎰．【考点】微积分基本定理【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】 ⑴332213120(4)d 2(189)21333x x x x x -⎛⎫⎛⎫-=-=--+= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎰．⑵62512(1)1(1)d 166x x x --==⎰．⑶π22220πππ(sin )d cos (1)122880x x x x x ⎛⎫+=-=--=+ ⎪⎝⎭⎰．【答案】⑴203；⑵16；⑶2π18+【例25】 2231111dx x xx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭⎰（）A ．7ln 28+B ．7ln 28-C ．5ln 24+D ．1ln 28+【考点】微积分基本定理【难度】2星【题型】选择【关键词】【解析】 223212111111ln ln 2128dx x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰．【答案】D【例26】曲线3πcos 02y x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭≤≤与坐标轴围成的面积是（） A ．4 B ．52C ．3D ．2【考点】微积分基本定理【难度】2星【题型】选择【关键词】【解析】 3ππ3π222π023ππ2cos d cos d (cos )d sin sin 1(2)32π2x x x x x x x x =+-=-=--=⎰⎰⎰．【答案】C【例27】121|4|d x x --⎰=（）A ．7B ．223C ．233D ．253【考点】微积分基本定理【难度】2星【题型】选择【关键词】【解析】 31122111111122|4|d (4)d 413333x x x x x x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=--= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎰⎰．【答案】B【例28】120|8|x dx -=⎰（）A ．213 B ．223 C ．233D ．253【考点】微积分基本定理【难度】2星【题型】选择【关键词】【解析】 3112200123|8|(8)8038x x dx x dx x ⎛⎫-=-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰．【答案】C【例29】121(||)x x dx -+=⎰．【考点】微积分基本定理【难度】2星【题型】填空【关键词】【解析】 11022111(||)d 2d 0d 10x x x x x x x--+=+==⎰⎰⎰．【答案】1【例30】由曲线24y x=、直线1x =、6x =和x 轴围成的封闭图形的面积为．【考点】微积分基本定理【难度】2星【题型】填空【关键词】【解析】由定积分的定义知，此封闭图形的面积为621644210d 4133x x x ⎛⎫=-=-+= ⎪⎝⎭⎰．【答案】103【例31】设函数2()(0)f x ax c a =+≠．若100()d ()f x x f x =⎰，001x ≤≤，则0x 的值为________．【考点】微积分基本定理【难度】2星【题型】填空【关键词】2008，山东，高考【解析】 1232001()d 033a a ax c x x cx c ax c ⎛⎫+=+=+=+ ⎪⎝⎭⎰，于是有2013x =，又001x ≤≤，故0x =．【例32】若1(2)2x k dx +=⎰，则k =________．【考点】微积分基本定理【难度】2星【题型】填空【关键词】【解析】 1201(2)()1210x k dx x kx k k +=+=+=⇒=⎰．【答案】1【例33】若20(23)0kx x dx -=⎰，则k 等于（）A ．0B ．1C ．0或1D ．不确定【考点】微积分基本定理【难度】2星【题型】选择【关键词】【解析】 2232320(23)()(1)00kkx x dx x x k k k k -=-=-=-=⎰，解得0k =或1．【答案】C【例34】已知()πsin cos d a x x x =+⎰，则二项式6⎛⎝展开式中含2x 项的系数是．【考点】微积分基本定理【难度】2星【题型】填空【关键词】【解析】【答案】192-【例35】已知0m >，若(21)d 6mx x -=⎰，则m = ．【考点】微积分基本定理【难度】2星【题型】填空【关键词】【解析】 220(21)d 60mmx x x xm m -=-=-=⎰，又0m >，故3m =．【答案】3【例36】求π20cos 2cos sin xdx x x+⎰的值．【考点】微积分基本定理【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】 π20cos 2cos sin xdx x x =+⎰π2220cos sin cos sin x xdx x x-=+⎰π20π(cos sin )(sin cos )020x x dx x x -=+=⎰．【答案】0【例37】()π20sin cos 2x a x dx +=⎰，则实数a = ．【考点】微积分基本定理【难度】2星【题型】填空【关键词】2008-2009，北京12中，高二，第二学期，期中测试【解析】 ()π20πsin cos (cos sin )(1)1220x a x dx x a x a a +=-+=--=+=⎰，故1a =．【答案】1【例38】42xe dx -⎰的值等于（）A ．42e e --B ．42e e +C ．422e e +-D ．422e e -+-【考点】微积分基本定理【难度】2星【题型】选择【关键词】【解析】 4424422204dx dx ()(1)(1)220x x x xx e dx e e e e e e e e ----=+=-+=-++-=+--⎰⎰⎰ 【答案】C【例39】2πsin dx x ⎰＝（）A ．0B ．πC ．2πD ．4π【考点】微积分基本定理【难度】1星【题型】选择【关键词】【解析】由sin x 的周期为2π，且为奇函数知2πππsin dx sin dx 0x x -==⎰⎰．【答案】A【例40】220(3)dx 10x k +=⎰，则k =______．【考点】微积分基本定理【难度】2星【题型】填空【关键词】【解析】 22302(3)dx ()82100x k x kx k +=+=+=⎰，解得1k = 【答案】1【例41】121dx 1e x +=-⎰_______．【考点】微积分基本定理【难度】2星【题型】填空【关键词】【解析】 121dx 1e x +=-⎰1ln(1)ln 12e x e +-== 【答案】1【例42】已知2()f x ax bx c =++，且(1)2f -=，(0)0f '=，1()2f x dx =-⎰，求a 、b 、c 的值．【考点】微积分基本定理【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】由(1)2f -=，得2a b c -+=， ……① 又()2f x ax b '=+，由(0)0f '=，得0b =……②1123210001()()23232b a b f x dx ax bx c dx ax x cx c ⎛⎫=++=++=++=- ⎪⎝⎭⎰⎰ ……③ 由①②③得：604a b c ===-，，．【答案】604a b c ===-，，【例43】已知函数0()sin d af a x x =⎰，则π2f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（） A ．1 B ．1cos1-C ．0D ．cos11-【考点】微积分基本定理【难度】2星【题型】选择【关键词】【解析】 0()sin d (cos )1cos 0aaf a x x x a ==-=-⎰，于是π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π(1)1cos12f f f ⎡⎤⎛⎫==- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．【答案】B【例44】试用定积分表示由直线y x =，1y x =-+，及y 轴围成的平面图形的面积，并求积分的值．【考点】微积分基本定理【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】 11222011[(1)]d (12)d ()240x x x x x x x -+-=-=-=⎰⎰．【答案】14【例45】试用定积分表示由直线y x =，1y x =-+，及x 轴围成的平面图形的面积，并求积分的值．【考点】微积分基本定理【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】 12122102111(1)111d (1)d 021*******x x x x x x -⎛⎫+-+=-=--= ⎪⎝⎭⎰⎰（或120[(1)]d y y y --⎰）．【答案】14【例46】从如图所示的长方形区域内任取一个点()M x y ，，则点M 取自阴影部分的概率【考点】微积分基本定理【难度】2星【题型】填空【关键词】2010，陕西，高考13【解析】这是一个几何概型的问题，所求概率31213dx 01333x x P ===⎰．【答案】13【例47】由曲线2y x=，3y x =围成的封闭图形面积为（）A ．112B ．14C ．13D ．712【考点】微积分基本定理【难度】2星【题型】选择【关键词】2010，山东，高考7【解析】如图，封闭图形的面积为34123011()dx 03412x x x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭⎰．【例48】设函数()y f x =的定义域为+R ，若对于给定的正数K ，定义函数,()()(),()K K f x Kf x f x f x K ⎧=⎨>⎩≤，则当函数1(),1f x K x ==时，定积分214()k f x dx ⎰的值为（）A ．2ln22+B ．2ln21-C ．2ln2D ．2ln21+【考点】微积分基本定理【难度】2星【题型】选择【关键词】2010，宣武，一模，题8【解析】由题设111,1()11,1xf x xx⎧⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩≤，于是定积分212121*********()1ln 2ln 21f x dx dx dx x x x =+=+=+⎰⎰⎰．【答案】D【例49】已知自由落体的速度为v gt =，则落体从0t =到0t t =所走过的路程为（）A ．2013gtB ．20gtC ．2012gtD ．2014gt【考点】微积分基本定理【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 00220011202t t gtdt gt gt ==⎰ 【答案】C【例50】若()1032x k dx -=⎰，则实数k 的值为．【考点】微积分基本定理【难度】2星【题型】填空【关键词】【解析】 ()12011130222x k dx x kx k ⎛⎫-=-=-= ⎪⎝⎭⎰，解得1k =-．【答案】1-【例51】由直线1x =，2x =，曲线2y x=及x 轴所围图形的面积为（）A ．3B ．7C ．73D ．13【考点】微积分基本定理【难度】2星【题型】选择【关键词】【解析】 322127dx 133x x ==⎰．【答案】C【例52】给出以下命题：⑴若()dx 0b af x >⎰，则()0f x >； ⑵20sin 4x dx π=⎰；⑶()f x 的原函数为()F x ，且()F x 是以T 为周期的函数，则0()()aa T Tf x dx f x dx +=⎰⎰；其中正确命题的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．0【考点】微积分基本定理【难度】2星【题型】选择【关键词】【解析】 ⑴错误，如2212113dx 201222x x -==-=>-⎰，但0x >对[1,2]x ∈-不成立； ⑵2ππsin 2sin dx 2(cos )40x dx x x π==-=⎰⎰，正确；⑶正确．【答案】B【例53】给出下列四个命题：①已知πsin dx a x =⎰，点)a 10y -+=的距离为1；②若0()0f x '=，则函数()y f x =在0x x =取得极值； ③1m -≥，则函数212log (2)y x x m =--的值域为R ；④在极坐标系中，点(2,)3P π到直线sin()36πρθ-=的距离是2．其中真命题是（把你认为正确的命题序号都填在横线上）【考点】微积分基本定理【难度】2星【题型】填空【关键词】【解析】π(cos )20a x =-=，点,2)10y -+=的距离为|321|12-+=，①正确； ②错误，如函数3y x =在0x =处导数值为零，但不取极值；222(1)1x x m x m --=---，10m --≤，从而22x x m --可取到任意正数，从而函数212log (2)y x x m =--的值域为R ，③正确；直线sin()36πρθ-=化为直角坐标系的方程为60x +=，点P在直线坐标系下的坐标为(1,，于是所求距离为|136|22-+=，④正确．【答案】①③④【例54】直线2y x =与抛物线23y x =-所围成图形的面积为．【考点】微积分基本定理【难度】2星【题型】填空【关键词】【解析】直线与抛物线的交点易求得为(1,2)--，(3,6)，结合图象知所求面积为332213(23)dx 313x x x x x -⎛⎫-+=-+ ⎪-⎝⎭⎰132(999)1333⎛⎫=-+-+-= ⎪⎝⎭．【答案】323【例55】如图，求曲线exy =，e x y -=及直线1x =所围成的封闭图形的面积S ．【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】由图可知x 的积分区间为[01]，，由微积分基本定理，有11111e d e d e e e 200ex x xx S x x --=-=+=+-⎰⎰．【答案】1e 2e+-【例56】求曲线322y x x x =-++与x 轴所围成的图形的面积．【考点】微积分基本定理【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】首先求出函数322y x x x =-++的零点：11x =-，20x =，32x =．又易判断出在(10)-，内，图象在x 轴下方，在(02)，内，图形在x 轴上方，所以所求面积为023232137(2)d (2)d 12A x x x x x x x x -=--+++-++=⎰⎰．【答案】3712【例57】如图，求曲线1xy =及直线y x =，2y =所围成的图形的面积S ．【考点】微积分基本定理【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】法一：若将线段BC 的解析式看做()y f x =，曲线BAC 的解析式看做()y g x =，又知点A ，B ，C 的横坐标分别是1，12，2，因此所求面积221122()d ()d S f x x g x x =-⎰⎰，又因为()y g x =是个分段函数，即111()21 2.x y g x x x x ⎧⎪==⎨⎪<⎩，≤≤，，≤所以21211122()d ()d ()d S f x x g x x g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰2121112212d d d x x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰221232ln ln 21112222x x x =--=-．法二：若将y 看做自变量，则所求图形可以看做曲线1x y=以及直线x y =，2y =所围成，因此所求面积为22211213d d ln ln 2122y S y y y y y ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭⎰⎰．【答案】3ln 22-【例58】求曲线22y x =以及直线4y x =-所围成的图形的面积S ．【考点】微积分基本定理【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】法一：解方程组224y xy x ⎧=⎨=-⎩可知，曲线22y x =以及直线4y x =-的两个交点为(22)A -，，(84)B ，．由图可知，选y 作为自变量，将曲线方程改写为22y x =以及直线4x y =+，可得到2234244d 4182226y y y S y y y -⎛⎫⎛⎫=+-=+-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎰．法二：33228220228822(4)d 4022332x S x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰18=．【答案】18【例59】已知()f x 为一次函数，且10()2()d f x x f t t =+⎰，则()f x =_______．【考点】微积分基本定理【难度】3星【题型】填空【关键词】【解析】设()f x ax b =+（0a ≠），则有120112()d 2202ax b x at b t x at bt x a b ⎛⎫+=++=++=++ ⎪⎝⎭⎰，于是有：1121a a b a b b ==⎧⎧⇒⎨⎨=+=-⎩⎩，()1f x x =-．【答案】()1f x x =-【例60】已知()f x 为一次函数，且10()22()f x x f t dt =+⎰，则()f x =_______．【考点】微积分基本定理【难度】3星【题型】填空【关键词】【解析】由题意知()2f x x b =+，于是()1201(2)10t b dt t bt b +=+=+⎰，所以()()2221f x x b x b =+=++，解得2b =-．【答案】()22f x x =-【例61】设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+．⑴求()y f x =的表达式；⑵求()y f x =的图象与两坐标轴所围成图形的面积．⑶若直线(01)x t t =-<<把()y f x =的图象与两坐标轴所围形的面积二等分，求t 的值．【考点】微积分基本定理【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】 ⑴设2()f x ax bx c =++（a 为常数，0a ≠），则()2f x ax b =+，又已知()22f x x '=+，∴1a =，2b =．∴2()2f x x x c =++．又方程()0f x =有两个相等实根．∴判别式440c ∆=-=，即1c =．故2()21f x x x =++． ⑵结合()f x 的图象知，所求面积0232111(21)d 133x x x x x x -⎛⎫=++=++= ⎪-⎝⎭⎰． ⑶依题意，有0221(21)d (21)d ttx x x x x x ---++=++⎰⎰， ∴3232011133t x x x x x x t-⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，3232111333t t t t t t -+-+=-+，化简得3226610t t t -+-=， ∴32(1)1t -=-，于是1t =．【答案】⑴2()21f x x x =++；⑵13；⑶1t =．【例62】求由抛物线24y ax =与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值．【考点】微积分基本定理【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】如图，焦点坐标为(0)F a ，，设弦AB 、CD 过焦点F ，CE 交y 轴于点E ，且AB OF ⊥．过A作AG BE ∥，交CF 于点G ，AGF FBE ACF FBD S S S S ∆∆>=>曲边三角形曲线三角形，故ACFDOA AFBDOA S S >曲边形曲边形．所求面积322028(033aa A x x a ===⎰．（或222082d 43ay A a y a a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎰．）【答案】283a【例63】抛物线2y ax bx =+在第一象限内与直线4x y +=相切．此抛物线与x 轴所围成的图形的面积记为S ．求使S 达到最大值的a 、b 值，并求max S ．【考点】微积分基本定理【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】依题设可知抛物线开口向下，它与x 轴的交点的横坐标分别为10x =，20bx a=->，所以2323201()()3260b aba b S ax bx x x b a a --⎛⎫=+=+=* ⎪⎝⎭⎰．又直线4x y +=与抛物线2y ax bx =+相切，即它们有唯一的公共点，由方程组24x y y ax bx +=⎧⎨=+⎩，，得2(1)40ax b x ++-=，其判别式的值必须为0，即2(1)160b a ++=．于是21(1)16a b =-+，代入（*）式得：34128()(0)3(1)b S b b b =>+，25128(3)()3(1)b b S b b -'=+．令()0S b '=，在0b >时得唯一驻点3b =，且当03b <<时，()0S b '>；当3b >时，()0S b '<．故在3b =时，()S b 取得极大值，也是最大值，即1a =-，3b =时，S 取得最大值，且max 92S =．【答案】1a =-，3b =，max 92S =．。

高考数学一轮复习第三章导数及其应用第五节定积分与微积分基本定理课件理

1
1
的x 3 d值x 为
0
.
答案 0
解析
1
=x 3 d x
=1
1
x 4-
1=01.
1
4 1 4 4
12/11/2021
4.若 1 f( x -) 2d x .1 ,2 f( x ) d x 1 ,则 2 f( x ) d x
0
0
1
答案 -2
解析
∵
2
1
2
f, (x )d xf(x )d xf(x )d x
4 0
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方法技巧
定积分在物理中的两个应用
(1)求变速直线运动的路程:如果变速直线运动物体的速度为v=v(t),那么
从时刻t=a到t=b所经过的路程s=
b a
v(t)dt.
(2)变力做功:一物体在变力F(x)的作用下,沿着与F(x)相同的方向从x=a
移动到x=b时,力F(x)所做的功是W=
所以所围成的封闭图形的面积为
1 0
1 2
(dxx+1)
×1x ×
=1
2
1 2
(1 x+1),
2
1 4
x2
1+x
2
2=x32
3
.
1 0
1 4
1 3
(2)建立直角坐标系,如图.
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过B作BE⊥x轴于点E, ∵∠BAE=45°,BE=2,∴AE=2, 又OE=5,∴A(3,0),B(5,2). 设抛物线的方程为x2=2py(p>0),
解析
由已知可得 1
3
a+c=ax 02 +c,

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