第七章行列式与矩阵
线性代数中行列式与矩阵的比较
线性代数中行列式与矩阵的比较作者：王振尤兰来源：《课程教育研究·新教师教学》2015年第35期【基金项目】盐城工学院人才引进项目（XKR2011022）。
【中图分类号】O151.22-4 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2015）35-0003-02行列式和矩阵是线性代数中最先介绍的两个基本概念，贯穿整个线性代数课程。
但部分同学在学完了线性代数之后，对它们的符号、性质及应用却依然没有搞清楚，往往混淆。
多年来已有一些作者对这一对概念进行分析，但由于这两个概念在线性代数的每个部分都需要用到，所以详细地、多角度地分清这两个基本概念，对学好、用好线性代数这门课程非常必要。
文献[1，2]对这行列式与矩阵从概念与性质角度已做了部分辨析，下面笔者拟从概念、运算、化简、应用四个方面对这两个概念进行剖析，给出它们之间的区别与联系，串起线性代数中大部分内容，希望能对线性代数的教与学提供一个参考。
1.概念的比较1.1行列式与矩阵概念的区别由行列式和矩阵的定义可知，虽然行列式与矩阵表面上都是将一些数按行按列排成数表，再在两边加上一个符号的形式，但这两个概念是完全不同的。
首先，两边所加的符号不同：行列式两边用竖线“||”，而矩阵两边用圆括弧“（）”或方括弧“”[ ]。
其次，形状不同：行列式的行数与列数必须相等，但矩阵的行数与列数可以不相等。
再次，意义不同：n阶行列式是由n个数a（1≤i，j≤n）按规定的运算法则所确定的一个数，而m行n列矩阵是由m×n个数aij（1≤i≤m，1≤j≤n）按行按列排成的一个数表。
故两个表面不一样的行列式，它们的值却可能相等；而两个矩阵相等则要求必须是同型矩阵且相同位置元素相等，所以两个不同型的零矩阵是不相等的。
1.2与行列式、矩阵相关的一些概念当A是方阵（行数=列數）时，有对应的行列式|A|，称为方阵A阵的行列式；当A不是方阵时，没有对应的行列式。
在一般m×n矩阵A中，任取k行与k列（k≤m，k≤n），位于这些行列交叉处的k个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得到的k阶行列式，称为A的一个k阶子式。
矩阵与行列式的相似与不同
矩阵与行列式的相似与不同学校：长江大学院系：信息与数学学院专业：信息与计算科学姓名：***辅导老师：***【摘要】:本文中主要讨论了高等代数中矩阵和行列式的概念，并且从概念，性质以及运算几个方面阐述了行列式与矩阵的相似与不同。
【关键词】:矩阵.行列式.相似与区别矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。
数学上,一个m×n的矩阵是一个由m行n列元素排列成的矩形阵列.矩阵里的元素可以是数字、符号或数学式。
其重要的作用是解线性方程组和表示线性变换。
行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式，是由若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵。
行列式是一个函数，值是一个标量。
其值是按下述方式可能求得的所有不同的积的代数和，即是一个实数求每一个积时依次从每一行取一个元因子，而这每一个元因子又需取自不同的列，作为乘数，积的符号是正是负取决于要使各个乘数的列的指标顺序恢复到自然顺序所需的换位次数是偶数还是基数。
我们先看看矩阵和行列式有哪些相似。
1.形式上比较相似：矩阵和行列式看上去比较相似，主要表现在：它们中的元素都有顺序的排成行列表，表面上看起来很相似，导致很多初学者容易把行列式和矩阵弄混淆；其次，它们中的表示方法一致，比如说行列式和矩阵中第i行第j列的元素都用a ij表示；并且，它们对行列的称呼一致，从上到下依次称作第一行，第二行…第n行，记作r1，r2，…r n；从左到右依次称为第一列，第二列，…第n列，记作c1，c2…c n。
2.性质上有相同点：在一个不等于0的数乘行列式或矩阵的某一行或某一列时，等于该数乘以此行或此列的每一个元素；行列式和矩阵中把一个不为0的数乘行列式或矩阵的某一行或列后可以加到另一行或列对应的元素上，即某一行（列）的k倍可以加到另一行（列）上。
3.运算上具有相同点：（1）行列式和矩阵都满足叫法交换率和结合律。
可以表示为D1+D2=D2+D1（D1+D2）+D3=D1+(D2+D3)A+B = B+A (A+B)+C = A+(B+C)(2)行列式和矩阵满足乘法结合律，即D1(D2D3)=(D1D2)D3 A（BC）=（AB）C(3)行列式适合乘法分配率，矩阵适合乘法左分配率和右分配率，也就是说D1（D2+D3）=D1D2+D1D3（D2+D3）D1=D2D1+D3D1A(B + C) = AB + AC (B + C)A=BA + CA 矩阵和行列式虽然说有很多相同点，但它们始终是两个不同的概念，那么矩阵和行列式有什么区别呢。
矩阵与行列式知识梳理
矩阵与行列式知识梳理一、矩阵的概念1 将mn 个实数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==排成m 行n 列的矩形数表(通常用圆括号把数表括起来)：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211称为一个m 行n 列的矩阵，简称n m ⨯矩阵，用______表示.简记为_____.数ij a 称为矩阵的元素.几种特殊类型的矩阵：行矩阵、列矩阵、方阵、单位矩阵、零矩阵. 2 对于关于y x ,的线性方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a ，则矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛2211b ab a 称为该线性方程组的系数矩阵. 矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛222111c b a c b a 称为该线性方程组的增广矩阵. 3 矩阵的三种变换：(1) (2) (3)4 矩阵变换的目的是将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵，其增广矩阵的最后一列就是方程组的解.二、二阶行列式 1 定义：我们用记号2211b a b a 表示算式1221b a b a -，即12212211b a b a b a b a -=，记号2211b a b a 叫做行列式，因为它只有两行两列，所以把它叫做二阶行列式. 1221b a b a -叫做行列式2211b a b a 的展开式，其计算结果叫做2211b a b a 的值.1a 、2a 、1b 、2b 都叫做行列式2211b a b a 的元素.2 对角线法则：二阶行列式的展开式是主对角线上的两个数的乘积减去副对角线上的两个数的乘积.3作为判别式的二阶行列式：关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a ①其中1a 、2a 、1b 、2b 不全为零，行列式2211b a b a D =叫做方程组①的系数行列式. 设2211b c b c D x =，2211c a c a D y =.则当0≠D 时，方程组①有唯一解. 当0=D 且0==y x D D 时，方程组①有无穷多解. 当0=D ，x D 、y D 中至少有一个不为零时，方程组①无解. 三、三阶行列式1 三阶行列式的定义：把九个数排成三行三列的方阵，用记号333222111c b a c b a c b a ①表示算式 231312123213132321c b a c b a c b a c b a c b a c b a ---++②.我们把记号①叫做三阶行列式，把记号②叫做三阶行列式①的展开式，212121,,,,,c c b b a a 都叫做三阶行列式①的元素. 2 三阶行列式的展开方法：按对角线展开、按某一行(或一列)展开.3行列式333222111c b a c b a c b a 中某元素x 位于第i 行第j 列，其代数余子式等于它的余子式乘上j i +-)1(.4 【结论】三阶行列式等于它的任意一行(或一列)的所有元素与它们各自对应的代数余子式的乘积的和.如：111111333222111C c B b A a c b a c b a c b a ++=.其中33221c b c bA =，33221c a c a B -=，33221b a b a C -=【结论】三阶行列式的某一行(或一列)的各元素与另一行(或一列)对应元素的代数余子式的乘积的和等于零.5关于z y x ,,的三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333322221111d z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a 的系数行列式为333222111c b a c b a c b a D =，当0≠D 时，方程组有唯一解. 当0=D 时，方程组无解或无穷多解.注意：三元一次方程组，当0=D 时，情况复杂，方程组的解不同于二元一次方程组！。
矩阵的行列式和逆矩阵的计算
矩阵的行列式和逆矩阵的计算矩阵在数学中是一个重要的概念，广泛应用于统计学、物理学、工程学等领域。
对于矩阵的行列式和逆矩阵的计算，是矩阵理论与实践中的核心问题。
在本篇文章中，我们将对这两个问题进行详细的讨论。
1.行列式的定义在介绍矩阵的行列式之前，我们需要了解矩阵的基本概念。
矩阵是一个由m行n列元素组成的数表，用记号A=(aij)表示。
其中，i表示行号，j表示列号，aij为矩阵A的第i行第j列的元素。
矩阵的行和列分别称为行向量和列向量。
例如，下面是一个3行2列的矩阵：A = [1 2;3 4;5 6]行列式是一个与矩阵有关的数，在矩阵中扮演着重要的角色。
设A为一个n阶矩阵，由n行n列的元素组成，其行列式记作|A|，定义如下：当n=1时，|A|=a11;当n>1时，|A|=∑(-1)i+jaij|Mij|，其中Mij为划去第i行第j列后得到的n-1阶矩阵的行列式。
值得注意的是，行列式只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列顺序无关。
此外，矩阵的行列式有以下重要性质：（1）|A|=|AT|，即矩阵和其转置矩阵的行列式相等；（2）若矩阵A中某一行或某一列的元素全为0，则|A|=0；（3）若矩阵A的两行或两列成比例，则|A|=0。
2.行列式的计算方法在实际应用中，我们需要通过一定的方法来计算矩阵的行列式。
下面介绍两种常用的行列式计算方法。
（1）按行（列）展开法按行展开法是一种实际应用最广泛的行列式计算方法。
具体步骤如下：①选取矩阵的一行（列），将其展开成n个代数余子式的和，即：a11A11+a12A12+...+a1nAn1。
其中，aij为第一行（列）的元素，Ai1, Ai2, ..., Ain为它们对应的代数余子式。
②对于每个Ai1, Ai2, ..., Ain，依次递归使用按行展开法，将其展开成n-1个代数余子式的和。
③不断递归使用上述步骤，最终得到一个由每个代数余子式的积和求和得到的表达式，即为所求行列式。
线性代数下的行列式和矩阵
线性代数下的行列式和矩阵线性方程组一般有 m 个常数项，n 个未知数，m * n 个系数。
若常数项全为 0 ，则为齐次线性方程组；若未知数全为0 ，则称为零解。
于是我们考虑的问题是：齐次方程组：1.是否存在非零解，以及存在的条件2.通解的结构与性质3.解法非齐次方程组：1.是否有解，以及有解的条件是什么2.有多少解以及对应解数量的条件是什么3.多解的结构与性质4.解法行列式二，三阶行列式行列式的初始作用是解线性方程组！例如：最简单的二元线性方程组\left\{ \begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2 \end{aligned} \right.\Rightarrow 消元 \Rightarrow \left\{ \begin{aligned}x_1 = \frac{b_1a_{22} - b_2a_{12}}{a_{11}a_{22} -a_{12}a_{21}} \\ x_1 = \frac{b_2a_{21} -b_1a_{21}}{a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}} \end{aligned} \right.可以得出结论，答案是由方程的四个系数和常数决定的。
所以记住四个系数作为行列式，指定行列式的值是上式的分母:\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{bmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}于是有了这么一个行列式之后，我们就可以得到：D = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \ D_1 = \begin{bmatrix} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \end{bmatrix} \ D_2 = \begin{bmatrix}a_{21} & b_1 \\ a_{21} & b_2 \end{bmatrix} \\Rightarrow \\ x_1 = \frac{D_1}D, x_2 = \frac{D_2}D同理可以推广到三元线性方程组，定义三阶行列式。
矩阵的行列式和逆矩阵的求法及其应用
矩阵的行列式和逆矩阵的求法及其应用矩阵是线性代数的重要概念，其最基本的性质之一就是行列式和逆矩阵。
本文将介绍矩阵的行列式和逆矩阵的求法及其应用。
一、行列式的定义和计算行列式是一个方阵所代表的一个数，其分为一阶、二阶、三阶…… n 阶等多种。
对于 n 阶行列式而言，其可以根据下面的公式计算：$ |A|=\sum_{\sigma \in S_{n}} (-1)^{\epsilon(\sigma)} a_{1\sigma_{1}} a_{2 \sigma_{2}} \cdots a_{n \sigma_{n}} $其中，$a_{i j}$ 表示矩阵 A 中第 i 行第 j 列的元素，$S_{n}$ 表示 n 个元素的置换集合，$\sigma$ 为其中一个置换，$\sigma_{i}$ 为其对应置换的第 i 个元素，$\epsilon(\sigma)$ 表示置换 $\sigma$ 的逆序对数的奇偶性。
例如，对于以下的 3 阶行列式来说：& a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right]$其行列式可以这样计算：$|A|=\left|\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|=a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23}a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32}-a_{13} a_{22} a_{31}-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}$二、逆矩阵的定义和计算逆矩阵是指与矩阵 A 相乘可以得到单位矩阵的矩阵 B，即 $A B = B A = I$，其中 I 表示单位矩阵。
行列式与矩阵
是无意义的. 例如: 1 A = B = (3 4 ) 2 但 A ,B 均 无 意 义 .
AB =
3 6
8
=0
(5)行列式相等与矩阵相等不同.两行列式相等只 要值一样就认为是相等的.两矩阵相等,则要求对 应元素都分别相等. 2,n维向量中的维数与n维向量空间中的维数是否相同? 答: n维向量中的维数是指该向量有n个分量,或者 说它 R n 是的一员; n维向量空间中的维数是指向量 空间的基所含向量的个数.有时两者不尽相同,如:
1.矩阵与行列式的区别是什么?
答:矩阵与行列式是两个完全不同的概念.矩阵仅仅是 一个矩形的"数表",行列式是在一个方形数表中根 据定义规则进行运算的代数式,这是基本的区别.具体 来说有以下几点: (1)行列式是方形数表中定义,对不是方形的数表,不 能讨论行列式的问题,而矩阵无此限制. (2)矩阵的加法与行列式的加法不同.例如:
V = {(0, x2 , , xn ) xi ∈ R, i = 2,3, , n}
是一n-1维向量空间,但V中的向量却是n维的. (3)研究向量的线性相关性与讨论线性方程组有何联系? 答:向量是讨论线性方程组的有效工具.由m各方程 n个未知数构成线性方程组,可用m个n+1维向量代表. 这样,当m个向量线性无关时,表示方程组中没有多 余方程;当m个向量线性相关时,表示方程组中有多 余方程;由于向量组的秩即方程组中独立方程的个数, 而极大线性无关组则表示原方程组中去掉多余方程后 相互独立的与原方程组等价的方程组;另外,当有解 时,线性方程组的解也可以由向量组线性表出.
(4)有无只含一个向量的线性空间?有无含有有限个向量的 线性空间? 答:零空间是唯一的只含一个向量的线性空间.此外不 存在有限个向量构成的线性空间. (5)在秩为r阶的矩阵中,有无等于零的r阶子式?有无等 于零的r-1阶子式和有无等于零的r+1阶子式? 答:矩阵的秩等于r表示矩阵不为零的子式的最高阶数位r, 可以从两个方面来理解:其一,该矩阵至少存在一个不 为零的r阶子式(其余的r阶子式可以等于零,也可以不等 于零);其二,该矩阵的所有的r+1阶子式都等于零.据 此,该矩阵可能有r-1阶,r阶等于零的子式,但不可能有 等于零的r+1阶子式.
矩阵的行列式行列式的定义性质与计算方法
矩阵的行列式行列式的定义性质与计算方法矩阵是线性代数中的一个重要概念，它广泛应用于数学、物理、计算机科学等领域。
矩阵的行列式是矩阵理论中的一个重要概念，它具有定义性质与计算方法，对于矩阵的性质和运算具有重要的指导作用。
一、行列式的定义对于一个n阶方阵A = [aij]，其中aij表示矩阵A的第i行第j列的元素，那么行列式的定义如下：det(A) = Σ(±a1j A1j)，其中±表示正负号，A1j表示aij划去第i行第j列后的(n-1)阶行列式。
二、行列式的性质1. 如果矩阵A的某一行（列）全为零，则行列式det(A) = 0。
2. 交换矩阵A的两行（列）的位置，行列式det(A)的值不变。
3. 如果矩阵A的某一行（列）所有元素都乘以k倍（k为常数），则行列式det(A)乘以k。
4. 如果矩阵A的某一行（列）元素表示为两个数之和，例如aij =bij + cij，则行列式可以分解为两个行列式之和，即det(A) = det(A') +det(A")。
5. 如果矩阵A的两行（列）元素一一对应相等，行列式det(A) = 0。
三、行列式的计算方法1. 二阶和三阶行列式的计算特别简单，可以直接应用定义进行计算。
2. 对于n阶行列式，可以通过展开行列式的方法来进行计算。
例如，对于行列式det(A) = a1j A1j + a2j A2j + ... + anj Anj，其中aij是A的第i行第j列的元素，A1j是(aij划去第i行第j列后的n-1)阶行列式。
可以选择任意一行或一列展开，然后在展开的基础上继续展开剩余的(n-1)阶行列式，直到得到二阶行列式进行计算。
3. 利用行列式的性质，可以通过递推的方法来计算较大阶数的行列式。
例如，使用行列式的性质进行行列变换，将矩阵转化为上（下）三角阵，此时行列式即为对角线上元素的乘积。
4. 利用行列式的性质，可以通过化简的方法来计算较大阶数的行列式。
矩阵行列式的概念与运算(实用标准问题详解)
二元一次方程组 (其中 不全为零);记 叫做方程组的系数行列式;记 , 即用常数项分别替换行列式 中 的系数或 的系数后得到的.
(1)若D 则方程组有唯一一组解, ;
(2)若 ,且 中至少有一个不为零,则方程组无解;
(3)若 ,则方程组有无穷多解.
3。三阶行列式及对角线法则
用 表示算式;其结果是 .
解：根据矩阵的性质，知道（A），（B），（C）都不对，所以选取（D）
7、已知 若A=2B,则x,y的值分别为（ ）.
A.1,2 B. C.2,1 D.不存在
解：由
8、下列说确的是（ ）.
A.任意两个矩阵都可以相加
B.任意两个矩阵都可以相乘
C.一个 阶矩阵与一个 阶矩阵相乘得到一个 阶矩阵
D.一个 阶矩阵与一个 阶矩阵相乘得到一个 阶矩阵
我们把 叫做三阶行列式; 叫做三阶行列式的展开式.其计算结果叫做行列式的值; ( )都叫做三阶行列式的元素.
4．三阶行列式按一行(或一列)展开
把行列式中某一元素所在的行和列去后,剩下的元素保持原来的位置关系组成的二阶行列式叫做该元素的余子式;余子式前添上相应的正负号叫做该元素的代数余子式;其中第 行与第 列的代数余子式的符号为 .
二、选择题
5、给出下列三个式子：
（1）
（2）
（3）
其中正确的式子的个数是（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解：由于上面各命题都不对，所以选择（A）
6.下面给出矩阵的一些性质中正确的是（ ）
A.AB=BA B.若AB=(0),则A=(0)或B=(0) C.若AB=AC,则B=C D.(AB)C=A(BC)
17．顶点为 的 的面积等于行列式 的值的绝对值的一半。试用此结论求：
线性代数知识点梳理：行列式与矩阵运算
线性代数知识点梳理：行列式与矩阵运算线性代数是数学的一个重要分支，对于理解和解决现实世界中的问题具有重要意义。
在学习线性代数的过程中，行列式与矩阵运算是其中的重要组成部分。
本文将对行列式与矩阵运算的相关知识点进行梳理，帮助读者深入理解这一内容。
行列式的概念与性质行列式是一个数学工具，用于描述线性方程组的解的性质。
在代数学中，一个n阶方阵的行列式是一个确定的值，它是通过方阵中元素的线性组合而得到的。
行列式的计算方法有很多，比如拉普拉斯定理，莱布尼茨展开式等。
行列式的符号通常用竖线“| |”表示，如|A|表示矩阵A的行列式。
行列式具有一些重要的性质，例如：1.互换行（列）：如果行（列）互换，行列式取相反数。
2.行（列）成比例：如果矩阵的某一行（列）是另一行（列）的k倍，行列式的值也将乘以k。
3.行（列）相加：如果把矩阵的某一行（列）乘以k后加到另一行（列）上，行列式的值不变。
4.三角矩阵：上（下）三角矩阵行列式等于主对角线元素的乘积。
通过这些性质，我们可以简化行列式的计算，并在求解线性方程组等问题中应用行列式的性质。
矩阵运算与特殊矩阵矩阵是线性代数中另一个重要的概念，它是数字或符号排成若干行和若干列的矩形阵列。
矩阵可以进行加法、数乘、乘法等运算，这些运算有着重要的数学性质。
矩阵的加法和数乘运算是比较简单的，矩阵之间的加法就是对应元素相加，数乘就是矩阵中的每个元素都乘以相同的数。
矩阵的乘法是比较复杂的，矩阵乘法遵循结合律并不满足交换律。
特殊的矩阵包括对称矩阵、反对称矩阵、单位矩阵等。
对称矩阵是转置矩阵等于自身的矩阵，反对称矩阵是转置矩阵的相反数，单位矩阵是对角元素为1，其他元素为0的矩阵。
这些特殊矩阵在数学和物理领域中有着重要的应用。
行列式与矩阵之间的关系行列式与矩阵之间有着密切的联系。
通过矩阵的初等变换，我们可以改变行列式的取值，从而简化行列式的求解。
矩阵的逆也与行列式有关，方阵可逆当且仅当其行列式不等于0。
高等代数中的行列式与矩阵 关系与计算方法
高等代数中的行列式与矩阵关系与计算方法高等代数中的行列式与矩阵：关系与计算方法高等代数是现代数学的一门重要学科，其中行列式与矩阵是其核心内容之一。
本文将介绍行列式与矩阵的关系以及计算方法，帮助读者更好地理解和应用这一领域的知识。
1. 行列式的概念与性质行列式是一个方阵所具有的一个标量值。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作det(A)或|A|，其定义如下：det(A) = a₁₁·a₂₂·...·aₙₙ - a₁₂·a₂₁·...·aₙₙ₋₁ +a₁₃·a₂₃·...·aₙₙ₋₂ - ... + (-1)^(n+1)·a₁ₙ·a₂ₙ₋₁·...·aₙ₁其中，aᵢₙ代表矩阵A的第i行第j列的元素。
行列式具有以下性质：- 若矩阵A的两行或两列互换，则行列式的值变号。
- 若矩阵的某一行（列）元素全为0，则其行列式的值为0。
- 若矩阵的某行（列）有两个元素相同，则其行列式的值为0。
- 若矩阵的某行（列）是另一行（列）的倍数，则其行列式的值为0。
- 两个矩阵进行加减运算时，其行列式的值也分别相加减。
2. 矩阵的概念与性质矩阵是由数字按照矩形排列而成的数表，常用来表示线性方程组和线性变换。
一个矩阵由m行n列的元素构成，记作A =[aᵢₙ]ᵢ₌₁₋₁,...,m ₋ j₌₁,...,n。
矩阵具有以下性质：- 矩阵的行数与列数分别称为其阶数。
- 若两个矩阵的对应元素相等，则这两个矩阵相等。
- 矩阵的加法与减法满足交换律和结合律。
- 矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律。
- 矩阵的转置是指将矩阵的行与列互换，记作Aᵀ。
3. 行列式与矩阵的关系行列式与矩阵之间有着紧密的联系。
一个方阵A的行列式可以用它的元素构成的矩阵来表示，即：|A| = det(A) = [a₁₁, a₁₂, ..., a₁ₙ][a₂₁, a₂₂, ..., a₂ₙ][..., ..., ..., ...][aₙ₁, aₙ₂, ..., aₙₙ]其中，aᵢₙ代表矩阵A的第i行第j列的元素。
高等数学 第七章 线性代数
第七章线性代数
教学要求
1.理解行列式的概念、性质，会进行行列式的基本运算。
2.理解矩阵的概念、性质，会进行矩阵的基本运算。
3.掌握矩阵的秩的求法。
4.掌握初等变换的几个重要应用。
5.了解一般线性方程组解的讨论。
教学重点
行列式的性质及运算，矩阵的概念，运算及性质，逆矩阵，矩阵的秩与初等变换，一般线性方程组解的讨论。
教学难点
矩阵的运算及性质，逆矩阵，矩阵的秩与初等变换，一般线性方程组解的讨论。
教学内容
第一节行列式
一、行列式的概念
1.二阶行列式；
2.三阶行列式；
3.n阶行列式。
二、行列式的性质与计算
1.行列式的性质；
2.行列式的计算；
3.克拉墨法则。
第二节矩阵
一、矩阵的概念及其计算
1.矩阵的概念；
2.矩阵的线性运算；
3.矩阵的乘法运算；
4.矩阵的转置运算；
5.逆矩阵。
二、矩阵的初等变换
1.矩阵的初等变换；
2.初等变换；
3.用初等变换求逆矩阵；
4.用初等矩阵求矩阵的秩。
第三节线性方程组
一、向量组的线性相关性
1.向量的概念与运算；
2.向量组的线性相关性；
3.向量组的秩。
二、齐次线性方程组
1.解的判定和解的性质；
2.基础解系。
三、非齐次线性方程组
1.解的判定和解的结构；
2.用初等变换求线性方程组的通解。
行列式和矩阵的区别
行列式和矩阵的区别矩阵就是线性空间中的元素。
行列式就是矩阵的一个性质。
现代数学中的行列式的概念已经被边缘化了，行列式可以说在实际应用中只是一个矩阵的算出来的，很有些用处的值。
行列式和矩阵的区别1行列式和矩阵的区别矩阵相当于向量，行列式相当于向量的模。
一般教学上都先介绍行列式，再进行对矩阵的介绍，我觉得这样是不好的。
应该先了解矩阵。
一开始，在实际应用的时候，会出现很多很多的未知数，为了通过公式解出这些未知数，就进行联立方程组进行求解。
比如要知道x1,x2的值，就联立方程{a*x1+b*x2=ic*x1+d*x2=j}，这样子来求解。
可是啊，现实生活中，特别遇到一些复杂的工艺的时候，就会出现超级多的未知数，所以就会有超级多的方程需要联立求解，像上面的那个2阶方程还好，遇到20多阶的方程，这打死都不想算下去，太心累。
可是不算也不行啊，那怎么办呢？仔细观察，x1，x2的值其实是由a/b/c/d/i/j等这些数决定的，也就是说，我们要找求的未知数，取决于它们的常数项。
那咱就对这些常数项进行研究呗。
首先把这些常数项都列出来，这就形成了矩阵。
现在，我们就是要对这个所谓的矩阵进行研究，找找它的特点。
对数据找特点嘛，就对这些数字随便加减乘除咯，摸索着摸索着，突然有人发现，如果对矩阵用一种特殊的算法，来作为其中之一的特征，好像比较有用。
于是，这个算法就是对矩阵进行行列式计算。
相当于行列式就是这个矩阵的一个特征值或者说属性值。
就像向量中的向量的模一样。
运用这些特征，大伙发现，这个行列式还挺有用，可以验证这个方程组有没有解。
这就是行列式和矩阵的区别。
2行列式的性质1、行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。
2、行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。
3、若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。
高职高专高等数学教案
高职高专高等数学教案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质教学目标：理解函数的基本概念，掌握函数的性质。
教学内容：函数的定义，函数的单调性，奇偶性，周期性。
教学方法：通过实例讲解函数的概念，利用图形演示函数的性质。
1.2 极限的概念与性质教学目标：理解极限的基本概念，掌握极限的性质。
教学内容：极限的定义，极限的性质，无穷小，无穷大。
教学方法：通过实际问题引入极限的概念，利用数学推理证明极限的性质。
第二章：导数与微分2.1 导数的概念与计算教学目标：理解导数的基本概念，掌握基本函数的导数计算。
教学内容：导数的定义，导数的计算规则，基本函数的导数。
教学方法：通过实际问题引入导数的概念，利用公式计算基本函数的导数。
2.2 微分的概念与计算教学目标：理解微分的概念，掌握微分的计算方法。
教学内容：微分的定义，微分的计算规则，微分在实际问题中的应用。
教学方法：通过实际问题引入微分的概念，利用公式计算微分。
第三章：积分与面积3.1 积分的概念与计算教学目标：理解积分的基本概念，掌握基本函数的积分计算。
教学内容：积分的定义，积分的计算方法，基本函数的积分。
教学方法：通过实际问题引入积分的概念，利用公式计算基本函数的积分。
3.2 面积的概念与计算教学目标：理解面积的概念，掌握面积的计算方法。
教学内容：面积的定义，面积的计算方法，平面图形面积的计算。
教学方法：通过实际问题引入面积的概念，利用公式计算平面图形的面积。
第四章：级数与级数求和4.1 级数的概念与性质教学目标：理解级数的基本概念，掌握级数的性质。
教学内容：级数的定义，级数的性质，收敛级数，发散级数。
教学方法：通过实际问题引入级数的概念，利用数学推理证明级数的性质。
4.2 级数求和的方法教学目标：掌握级数求和的方法。
教学内容：等差级数的求和，等比级数的求和，交错级数的求和。
教学方法：利用数学推理和实例讲解级数求和的方法。
第五章：常微分方程5.1 微分方程的基本概念教学目标：理解微分方程的基本概念。
矩阵的模与行列式的关系
矩阵的模与行列式的关系
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目录
一、矩阵与行列式的概念及关系
二、行列式的性质
三、矩阵的模与行列式的关系
四、应用举例
正文
一、矩阵与行列式的概念及关系
矩阵是线性代数中的一个重要概念，它是一个按照长方形阵列排列的复数或实数集合。
矩阵通常用大写字母表示，例如 A、B 等。
矩阵的每一行被称为矩阵的一个分量，每一列被称为矩阵的一个元素。
矩阵的行列式是指矩阵中元素按照一定规则组合后所得到的一个标量值，它也是一个重要的线性代数概念。
二、行列式的性质
行列式具有以下性质：
1.行列式与它的转置行列式相等，即 det(A) = det(A^T)。
2.互换行列式的两行（或两列），行列式的值变为原来的相反数。
3.行列式的某一行（或列）乘以一个常数 k，行列式的值也要乘以 k。
4.行列式的某一行（或列）加上另一行（或列）的 k 倍，行列式的值不变。
三、矩阵的模与行列式的关系
矩阵的模是指矩阵中元素平方和的平方根。
矩阵的模与行列式有密切的关系。
对于一个 n 阶方阵 A，它的模可以表示为|A| = sqrt(det(A))。
这意味着矩阵的模与它的行列式的平方根成正比。
四、应用举例
假设有一个 3x3 的矩阵 A：
A = [[1, 2, 3],
[4, 5, 6],
[7, 8, 9]]
矩阵 A 的行列式为：
det(A) = 1*8 - 2*5 + 3*6 = 0
因此，矩阵 A 的模为：
|A| = sqrt(det(A)) = sqrt(0) = 0
这个例子说明了矩阵的模与行列式的关系。
线性代数中行列式与矩阵的比较
行列式和矩阵是线性代数中最先介绍的两个基本概念,贯穿整个线性代数课程。
但部分同学在学完了线性代数之后,对它们的符号、性质及应用却依然没有搞清楚,往往混淆。
多年来已有一些作者对这一对概念进行分析,但由于这两个概念在线性代数的每个部分都需要用到,所以详细地、多角度地分清这两个基本概念,对学好、用好线性代数这门课程非常必要。
文献[1,2]对这行列式与矩阵从概念与性质角度已做了部分辨析,下面笔者拟从概念、运算、化简、应用四个方面对这两个概念进行剖析,给出它们之间的区别与联系,串起线性代数中大部分内容,希望能对线性代数的教与学提供一个参考。
1.概念的比较1.1行列式与矩阵概念的区别由行列式和矩阵的定义可知,虽然行列式与矩阵表面上都是将一些数按行按列排成数表,再在两边加上一个符号的形式,但这两个概念是完全不同的。
首先,两边所加的符号不同:行列式两边用竖线“||”,而矩阵两边用圆括弧“()”或方括弧“”[]。
其次,形状不同:行列式的行数与列数必须相等,但矩阵的行数与列数可以不相等。
再次,意义不同:n 阶行列式是由n 2个数a ij(1≤i,j ≤n)按规定的运算法则所确定的一个数,而m 行n 列矩阵是由m×n 个数a ij (1≤i ≤m ,1≤j ≤n)按行按列排成的一个数表。
故两个表面不一样的行列式,它们的值却可能相等;而两个矩阵相等则要求必须是同型矩阵且相同位置元素相等,所以两个不同型的零矩阵是不相等的。
1.2与行列式、矩阵相关的一些概念当A 是方阵(行数=列数)时,有对应的行列式|A|,称为方阵A 阵的行列式;当A 不是方阵时,没有对应的行列式。
在一般m×n 矩阵A 中,任取k 行与k 列(k ≤m,k ≤n),位于这些行列交叉处的k 2个元素,不改变它们在A 中所处的位置次序而得到的k 阶行列式,称为A 的一个k 阶子式。
当A 是方阵时,由A 的行列式|A|的各个元素的代数余子式所构成的矩阵称为矩阵A 的伴随矩阵,其中余子式M ij 均是将|A|中的第i 行,第j 列划去所得到的n-1阶行列式。
矩阵和逆矩阵的行列式
矩阵和逆矩阵的行列式导言矩阵和逆矩阵的行列式在线性代数中扮演着重要的角色。
矩阵是数学中一种非常常见的结构，广泛应用于许多领域，如物理学、工程学和计算机科学等。
矩阵的行列式是对矩阵的一个数值性描述，而逆矩阵则提供了解线性方程组和矩阵运算的有力工具。
本文将全面、详细、完整地探讨矩阵和逆矩阵的行列式。
什么是矩阵的行列式？矩阵的行列式是一个数值，它可以通过一系列运算来计算得出。
行列式可以对矩阵进行一些重要的判别和求解操作。
对于一个n阶矩阵A，它的行列式记作det(A)或|A|。
行列式的定义对于一个2阶矩阵[a b c d]其行列式的计算公式为：det(A)=ad−bc 对于一个3阶矩阵[a b c d e f gℎi]其行列式的计算公式为：det(A)=aei+bfg+cdℎ−ceg−afℎ−bdi一般地，对于一个n阶矩阵，行列式的计算可以通过求和乘积的方式进行。
行列式的计算方法有很多种，例如拉普拉斯展开、递推法和使用矩阵的伴随矩阵等。
行列式的性质行列式具有一些重要的性质，这些性质对于行列式的计算和应用非常有帮助。
1.交换行列式的两行（列），行列式的值不变，但符号会改变。
2.如果一个行列式有两行（列）完全相同，那么这个行列式的值为0。
3.如果一个行列式的某一行（列）的元素都是0，那么这个行列式的值为0。
4.行列式的值与其转置矩阵的值相等。
5.如果一个矩阵的某一行（列）的元素都是常数k的倍数，那么这个矩阵的行列式的值也是k的倍数。
什么是逆矩阵？逆矩阵是一种特殊的矩阵，它与原矩阵相乘后得到单位矩阵。
逆矩阵在线性代数中具有重要的应用，特别是在解线性方程组中。
逆矩阵的定义对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I其中，I为n阶单位矩阵，则称矩阵B为矩阵A的逆矩阵，简称A的逆，记作A−1。
逆矩阵的存在性一个矩阵是否存在逆矩阵取决于它的行列式是否为0。
如果一个矩阵的行列式为0，则它不具有逆矩阵。
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习6：设 A 为3阶矩阵，将 A 的第2列加到第1列得 B ，再 交换 B 的第2行与第3行得单位矩阵，记
1 0 0 1 0 0 P1 1 1 0 , P2 0 0 1 ，则 A （ 0 0 1 0 1 0
）
P （A） 1P 2 P2 P （C） 1
例13：设 A 为3阶矩阵，将 A 的第2行加到第1行得 B , 再将 B 的第1列的 1 倍加到第2列得 C ，记
1 1 0 P 0 1 0 ，则（ 0 0 1
）
C PAP （B）
1 T
C P AP （A） C P AP （C）
T
1
（D）C PAP
（B）P P
1 1 2
1 （D）P P 2 1
一、考试内容
—————————————————————————————————————
1、行列式的概念和基本性质.
2、行列式按行（列）展开定理.
3、矩阵的概念，矩阵的线性运算，矩阵的乘法，方阵 的幂，方阵乘积的行列式，矩阵的转置. 4、逆矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件， 伴随矩阵. 5、矩阵的初等变换，初等矩阵，矩阵的秩，矩阵的等价. 6、分块矩阵及其运算.
3 （A） 3
）
1 （C） 3
3 （B）
（D） 3
* * n A , B 分别为 A, B 对应的伴随 例10：设 A, B 为 阶矩阵， A O * C C 矩阵，分块矩阵 C ，则 的伴随矩阵 （ ） O B * * B B O AA O （A） （ B ） * O * O A A BB * A B* O B A O （C） （D） * O * B A O A B 例11：设 A 为 m n 矩阵，B 为 n m 矩阵，E 为 m 阶单位
若行列式 A 6 ，则 B ___.
习3：设3阶矩阵 A 的特征值为 2,3, ,若行列式 2 A 48 ,
则 ___.
E 为 n 阶单位矩 习4：设n 维向量 (a,0,,0, a)T , a 0 ， 1 T T 阵，矩阵 A E , B E ，其中 A 的逆矩阵为B a 则 a ___ . * * 习5：设 A, B 为 2 阶矩阵，A , B 分别为 A, B 对应的伴随 O A 矩阵，若 A 2, B 3 ，则分块矩阵C B O 的伴随 矩阵为（ ） * * O 2 B O 3 B （A） （B） * * 3A 2A O O O 3 A* O 2 A* * * （C） （ D ） 2B 3B O O
3 A n n E 为 阶单位矩阵，若 O 例7：设 A 为 阶非零矩阵，
则（
）
E A 不可逆， E A 不可逆 （A） E A 不可逆， E A 可逆 （B） E A 可逆， E A 可逆 （C） E A 可逆， E A 不可逆 （D）
E 为n 阶单位矩阵， 例8：设 A, B, C 均为 n 阶非零矩阵，
矩阵，若 AB E ，则（
）
（A）秩( A) m ，秩( B) m （B）秩 ( A) m ，秩 ( B) n （C）秩( A) n ，秩( B) m （D）秩 ( A) n ，秩 ( B) n
T P 例12：设 A, P 均为3阶矩阵， 为 P 的转置矩阵，且 1 0 0 ，若 P ( , , ),Q ( , , ) , T 1 2 3 1 2 2 3 P AP 0 1 0 0 0 2
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5、理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可 逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴 随矩阵求逆矩阵. 6、了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵的等价的概 念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵 的逆矩阵和秩的方法.
例4：设3阶矩阵 A 的特征值为1,2,2，E 为3阶单位矩阵，
则 4 A1 E ______ .
T T A ( 1 , 0 , 1 ) 例5：设 ，矩阵 ，n 为正整数，则
aE An _____ .
例6：设 为3维列向量， T 是 的转置，若
1 1 1 T T 1 1 1 ， 则 _____. 1 1 1
7、了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则.
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三、真题选讲
例1：设行列式 D
3 2
0 2
4 2
0 2
0 7 0 0 5 3 2 2
，则第四行各元素余
子式之和的值为——.
例2：设 1,2 ,3 均为3维列向量，记矩阵
四、课外习题
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1 1 1 1 A 的特征值为 , , , ， 习1：若四阶矩阵 A 与 B 相似， 2 3 4 5 1 B E ______ . 则行列式
习2：设 1 , 2 均为2维列向量，矩阵
A (21 2 ,1 2 ), B (1 , 2 )
T Q 则 AQ 为（
）
0 0 2 0 0 2 1 1 0 1 2 0 （B） 0 0 2 1 0 0 （D） 0 2 0 0 0 2
2 1 （A） 0 2 （C） 0 0
1 1 0 0 1 0
A (1, 2 ,3 ), B (1 2 3 ,1 2 2 43 ,1 3 2 93 )
如果 A 1 ，那么 B ___.
1 例3：设 A, B 为3阶矩阵，且 A 3, B 2, A B 2 ,
则 A B
1
_____ .
二、考试要求
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1、了解行列式的概念，掌握行列式的性质. 2、会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定 理 计算行列式. 3、理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角 矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、 反对称矩阵及正交矩阵的定义和性质. 4、掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算 规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式性质.
若 B E AB, C A CA ，则 B C 为（）Βιβλιοθήκη （A）EE （B）
（C）A
（D） A
* T * A ( a ) 例9：设矩阵 ij 33 满足 A A ， 其中 A 为 A 的伴
随矩阵，AT 为 A 的转置矩阵，若 a11 , a12 , a13 为三个相等 的正数，则 a11 为（