数学分析ch14-1第一类曲线积分与第一类曲面积分

解 由题意， L 在 (x, y, z) 点的线密度为
(x, y, z)
k
k，
x 2 y 2 z 2 2 e2t
其中 k 为常数。由 (1,0,1) 1得 k 2 ，所以 (x, y, z) e2t 。因此
M (x, y, z)ds e1 2t 3etdt 3 1et dt 3(1 e1) 。
解 由对称性得
x2ds y2ds z2ds 1 (x2 y2 z2 )ds 。
L
L
L
3L
由于在 L 上成立 x2 y2 z2 a2 ，且 L 是一个半径为 a 的圆周，因此
同理
(x2 y2 z2 )ds a2ds a2 ds 2πa3 。
L
L
L
于是
L
xds
L
yds
弧段 Pi1Pi 上的振幅均小于 s 。于是成立
I
n
i 1
ti ti 1
f (x(i ), y(i ), z(i )) f (x(t), y(t), z(t))
x2 (t) y2 (t) z2 (t)dt
x2 (t) y2 (t) z2 (t)dt s 。
s
s
从而得到
及 x 轴在第一象限所围图形的边界。
y A
a
O
B
x
图14.1.2
例 14.1.1 计算 I e x2y2 ds ，其中 L 为圆周 x2 y2 a2 ，直线 y x L
及 x 轴在第一象限所围图形的边界。
解
。 I e x2 y2 ds e x2 y2 ds e x2 y2 ds
L
L
即
n
L
f (x, y, z)ds
lim 0
i 1
f (i ,i , i
) si
。
其中 f (x, y, z) 称为被积函数， L 称为积分路径。
这样，本节一开始所要求的曲线 L 质量就可表为
M (x, y, z)ds 。
L
在平面情形下，函数 f (x, y) 在平面曲线 L 上的第一类曲线积分记
OA
AB
OB
线段 OA 的方程为 y x,0 x a 2 ，所以
e x2 y2 ds
a
2
e
2x
2dx ea 1 。
0
OA
圆弧 AB 的参数方程为 x a cos, y a sin, 0 π 4 ，所以
e x2 y2 ds π 4 ea ad π a ea 。
0
4
y
x x u v
J
y
u
y
v
z z
u v
满秩，则曲面∑是光滑的。
先看一下这个假设的几何意义：对曲面上任一点
Q(x0 , y0 , z0 ) （ x0 x(u0 , v0 ), y0 y(u0 , v0 ), z0 z(u0 , v0 ) ）， 曲线 r(u, v0 ) x(u, v0 )i y(u, v0 ) j z(u, v0 )k 就是曲面上过 Q 点的 u 曲线； 曲线 r(u0 , v) x(u0 , v)i y(u0 , v) j z(u0 , v)k 就是曲面上过 Q 点的 v 曲线。
f (x, y, z)ds lim I 。 0 L
特别地，如果平面光滑曲线 L 的方程为 y y(x), a x b ，
则
f (x, y)ds
b
f (x, y(x))
1 y2(x)dx 。
a
L
例 14.1.1 计算 I e x2y2 ds ，其中 L 为圆周 x2 y2 a2 ，直线 y x L
Pn (x( ), y( ), z( )) 。记小弧段 Pi1Pi 的长度为 si ，那么它的弧长为
si
ti ti1
x2 (t) y2(t) z2(t)dt 。令
n
f (x(i ), y(i ), z(i ))si ， i 1
其中 (x(i ), y(i ), z(i )) 为弧段 Pi1Pi 上任意一点。那么
s x2 (t) y2 (t) z2 (t)dt 。
定理 14.1.1 设 L 为光滑曲线，函数 f (x, y, z) 在 L 上连续。则 f (x, y, z)
在 L 上的第一类曲线积分存在，且
f (x, y, z)ds
f (x(t), y(t), z(t))
x2(t) y2 (t) z2(t)dt 。
设 L 的弧长为 s 。由于 f (x, y, z) 在紧集 L 上连续，因此一致连续。
所以对任意给定的正数 ，当 max ( si )充分小时， f (x, y, z) 在每个
弧段 Pi1Pi 上的振幅均小于 s 。于是成立
I
n
i 1
ti ti 1
f (x(i ), y(i ), z(i )) f (x(t), y(t), z(t))
这两条曲线在 Q 点的切向量分别为
ru
(u0 , v0
)
x u
(u0 , v0
)i
y u
(u0 , v0
)
j
z u
(u0 , v0
)k
，
rv
(u0
, v0
)
x v
(u0
, v0
)i
y v
(u0
, v0
)
j
z v
(u0
, v0
)k
，
因此，Jacobi 矩阵满秩就保证了 ru (u0 , v0 ) 与 rv (u0 , v0 ) 线性无关，它们所张
先考察 D 中一个小矩形 ，它的四个顶点为 P1 (u0 , v0 ), P2 (u0 u, v0 ), P3 (u0 u, v0 v), P4 (u0 , v0 v) 。
v
P4
P3
P1
P2
O
u
z
Q4
Q1
Q3
Q2
O
y
x
图14.1.3
设 被映为∑上的以 Q1,Q2 ,Q3 ,Q4 为顶点的小曲面片~ ，这里
为 f (x, y)ds 。
L
现在讨论如何计算第一类曲线积分。设 L 的方程为 x x(t), y y(t), z z(t), t ，
其中 x(t), y(t), z(t) 具有连续导数，且 x(t), y(t), z(t) 不同时为零（即 L 为光 滑曲线），那么 L 是可求长的，且曲线的弧长为
n
f (i ,i , i )si 。
i 1
如果当所有小弧段的最大长度 趋于零时，这个和式的极限存在，且 极限值与分点{Pi} 的取法及弧段 Pi1Pi 上的点 (i ,i , i ) 的取法无关，则称 这个极限值为 f (x, y, z) 在曲线 L 上的第一类曲线积分，记为
f (x, y, z)ds 或 f (P)ds 。
成的过 Q 点的平面就是曲面∑在Q 点的切平面，向量
ru (u0 , v0 ) rv (u0 , v0 )
就是曲面∑在Q 点的法向量，它的模长
ru (u0 ,v0 ) rv (u0 ,v0 )
就是切平面上以 ru (u0 , v0 ) 和 rv (u0 , v0 ) 为邻边的平行四边形的面积。
现在利用微元法来计算曲面∑的面积。
Q1 (x(u0 ,v0 ), y(u0 ,v0 ), z(u0 ,v0 ))； Q2 (x(u0 u,v0 ), y(u0 u,v0 ), z(u0 u,v0 ))； Q3 (x(u0 u,v0 v), y(u0 u,v0 v), z(u0 u,v0 v))； Q4 (x(u0 ,v0 v), y(u0 ,v0 v), z(u0 ,v0 v))。
L
zds
1 3
L
(
x
y
z)ds
1 3
L
0ds
0
。
I (x2 y2 2z)ds x2s y2ds 2 zds 4 πa3 。
L
L
L
L
3
曲面的面积
设曲面∑的方程为
x x(u,v),y y(u,v),z z(u,v) ， (u, v) D ， 即
r(u,v) x(u,v)i y(u,v) j z(u,v)k ， (u, v) D ， Hale Waihona Puke Baidu里 D 为 uv 平面上具有光滑（或分段光滑）边界的有界闭区域。假设 这个映射是一一对应的（这样的曲面称为简单曲面），且 x, y,z 对 u和v 有连续偏导数，相应的 Jacobi 矩阵
0
0
L
例 14.1.3 计算 I (x2 y2 2z)ds ，其中 L 为球面 x2 y2 z2 a 2
L
和平面 x y z 0 的交线。
例 14.1.3 计算 I (x2 y2 2z)ds ，其中 L 为球面 x2 y2 z2 a 2
L
和平面 x y z 0 的交线。
它在每点的线密度与该点到原点的距离的平方成反比，而且在点 (1,0,1)处的线密度为 1。求它的质量 M。
例 14.1.2 已知一条非均匀金属线 L 的方程为 x et cost, y et sin t, z et , 0 t 1 ，
它在每点的线密度与该点到原点的距离的平方成反比，而且在点 (1,0,1)处的线密度为 1。求它的质量 M。
n
(i ,i , i )si 。
i 1
当对 L 的分割越来越细时，这个近似值的极限就是 L 的质量。
利用这一思想我们引入第一类曲线积分的概念。
定义 14.1.1 设 L 是空间 R3 上一条可求长的连续曲线，其端点 为 A 和 B ，函数 f (x, y, z) 在 L 上有界。令 A P0 , B Pn 。在 L 上从 A 到 B 顺 序地插入分点 P1, P2 ,, Pn1 ，再分别在每个小弧段 Pi1Pi 上任取一点 (i ,i , i ) ,并记第 i 个小弧段 Pi1Pi 的长度为 si （ i 1,2,, n ），作和式
I
n
f (x(i ), y(i ), z(i )) si f (x(t), y(t), z(t))
x2(t) y2(t) z2(t)dt
i 1
n
i 1
ti
ti 1
f
( x(i
),
y(i ),
z(i
))
f
(x(t),
y(t),
z(t))
x2(t) y2(t) z2(t)dt 。
这两条曲线在 Q 点的切向量分别为
ru
(u0 , v0
)
x u
(u0 , v0
)i
y u
(u0 , v0
)
j
z u
(u0 , v0
)k
，
rv
(u0
, v0
)
x v
(u0
, v0
)i
y v
(u0
, v0
)
j
z v
(u0
, v0
)k
，
先看一下这个假设的几何意义：对曲面上任一点
Q(x0 , y0 , z0 ) （ x0 x(u0 , v0 ), y0 y(u0 , v0 ), z0 z(u0 , v0 ) ）， 曲线 r(u, v0 ) x(u, v0 )i y(u, v0 ) j z(u, v0 )k 就是曲面上过 Q 点的 u 曲线； 曲线 r(u0 , v) x(u0 , v)i y(u0 , v) j z(u0 , v)k 就是曲面上过 Q 点的 v 曲线。
L
证记
I
f (x(t), y(t), z(t))
x2 (t) y2 (t) z2 (t)dt 。
作区间[, ] 的划分 P : t0 t1 t2 tn ，在 L 上顺次插入分
点 Pi (x(ti ), y(ti ), z(ti )) (i 1,2,, n 1) ， 并 设 P0 (x(), y(), z()) ，
x2 (t) y2 (t) z2 (t)dt
x2 (t) y2 (t) z2 (t)dt s 。
s
s
从而得到
f (x, y, z)ds lim I 。 0 L
设 L 的弧长为 s 。由于 f (x, y, z) 在紧集 L 上连续，因此一致连续。
所以对任意给定的正数 ，当 max ( si )充分小时， f (x, y, z) 在每个
AB
线段 OB 的方程为 y 0, 0 x a ，所以
A
e x2 y2 ds a ex dx ea 1。 0
a
OB
因此
I 2(ea 1) a ea 。
4
O
B
x
图14.1.2
例 14.1.2 已知一条非均匀金属线 L 的方程为 x et cost, y et sin t, z et , 0 t 1 ，
第十四章 曲线积分、曲面积分与场论
§1 第一类曲线积分与第一类曲面积分
第一类曲线积分
设 一 条 具 有 质 量 的 空 间 曲 线 L 上 任 一 点 (x, y,z) 处 的 线 密 度 为 (x, y, z) 。将 L 分成 n 个小曲线段 Li (i 1,2,, n ），并在 Li 上任取一点 (i ,i , i ) ，那么当每个 Li 的长度 si 都很小时， Li 的质量就近似地等于 (i ,i , i )si ，于是整条 L 的质量就近似地等于