水星近日点进动的经典理论导出
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水星近日点进动的经典理论导出
肖军 (xj5107@)
两物质间存在的有心引力公式是
()21Rx F GMmx Rx e -=-- （1）
式中：1/x r =；r 是两物质间的作用距离。
若用平面极坐标（r 、θ）表示物质间的有心力公式，有
22
2
2
r d x F m a m C x x d θ⎛⎫
==-+ ⎪⎝⎭
（2）
比较（1）、（2）两式知
2
22
(1)Rx
d x G M x Rx e
d C
θ
-+=
- （3）
对于绕太阳运行的行星椭圆轨迹，有
2
2222
4/C
a b T
π= （4）
其中a 和b 分别是椭圆轨迹的长半轴和短半轴长度。类似光线在引力作用下无弯曲情形的讨论，应有
()()/0/01/e 1/e
R r R r
a a R r
b b R r --=-=- （5）
把（5）式代入（4）式，就可得到
4
220(1)Rx
C Rx e C -⎡⎤=-⎣⎦
（6）
其中
()()2
2
4
2
2
2
00
041/1C a T
G M a πεε
=-=- （7）
ε是偏心率。把（6）式代入（3）式，就可导出在r R >>情形时，行星椭圆运
动轨迹方程是
()2322
20016(1)R x d x G M G M
x R x d C C R x e θ-⎛⎫+=≈+ ⎪⎡⎤⎝⎭-⎣⎦
（8）
也即有
2
2220016d x G M G M R x d C C θ
⎡⎤⎛⎫=---⎢⎥
⎪⎝⎭⎣⎦
（9）
解此方程，可得到水星运行轨迹方程是
2
20cos 16G M
x B G M C R C θ⎛⎫ ⎪=
+ ⎪⎛⎫
⎝⎭- ⎪
⎝⎭ （10）
若水星运行一闭合轨迹，则应有
2θπ= （11）
也就是有
20213G M R C θπ⎛⎫
=
≈+ ⎪⎝⎭
（12）
由此可知，两个相邻近日点方位角之差是
2
26G M R
C θθππ∆=-= （13）
把（7）式和2/R G M c =代入（13）式，就可得到我们熟悉的行星近日点进动结果是
()
2
2
061G M a c
πθε∆=
- （14）