椭圆及其标准方程

a2 c2 0
x2
y2
a2 a2 c2 1
设a2 c2 b2
则：x2 a2
y2 b2
1
所求
的
椭
圆的方程
为
：x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
3.椭圆的标准方程:
y
y
F1
F1 O
F2
x
O
x
F2
方
x2
y2
a2 b2 1
y2 x2 a2 b2 1
（1）方程的左边是两项平方和的形式，等号的右边是1；
y y P
F2 P
F1 O F2
x
O
x
F1
标准方程
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2
焦点坐标
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
相 a、b、c 的关系 同
点 焦点位置的判断
a2=b2+c2 分母哪个大，焦点就在哪个轴上
例题精析
【例1】填空：
判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的 准则：
焦点在分母大的那个轴上。
(1)已知椭圆的方程为：x2 y2 1 ，则 a=___5__，b=___4____，2c5=___1_36___，焦点坐标 为：__(3_,_0)_、__(-_3_,0_)__焦距等于___6___;若CD为过
程 （2）在椭圆两种标准方程中，总有a>b>0；
（3）焦点在分母较大的变量所对应的坐标轴上；
特 （4） a—椭圆上任意一点P到F1、F2距离和的一Fra Baidu bibliotek；
点
c—半焦距.且有关系式 a2 b2 c2成立。
根据所学知识完成下表
定义
不
图形
同
点
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
左焦点F1的弦，则∆F2CD的周长为___２__0___
C
|CF1|+|CF2|=2a
F1
F2
D
【变式训练】
1.下列各式哪些表示椭圆？若是,则判定其焦点在何轴？ 并指明a2，b2，写出焦点坐标.
x2 y2 (1) 1
16 16
(2)
x2 m2
y2 m2 1
1
(4) 3x2 2y2 1
x2
这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的 距离叫做椭圆的焦距（2c）
M
F1 O
F2
思 你知道2a=2c和2a<2c时点的轨迹是什么吗？
考
归纳概念
M
A
1
F1
F2
注记: (1) |MF1|+|MF2|>|F1F2|时轨迹是椭圆; (2) |MF1|+|MF2|=|F1F2|时轨迹是线段F1F2; (3) |MF1|+|MF2|<|F1F2|时无轨迹。
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2
焦点坐标
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
相 a、b、c 的关系 同
点 焦点位置的判断
a2-c2=b2 分母哪个大，焦点就在哪个轴上
椭圆及其标准方程
--第二课时
2.求椭圆的方程：
问题1:(1) 求曲线方程的基本步骤？
（1）建系设点; （2）写出点集； （3）列出方程；
（4）化简方程； （5）证明（可省略）。
(2) 如何建立适当的坐标系？ y
M M
y
F2
F1 O
F2 x
O
x
F1
方案一
方案二
解：如图，以经过椭圆两焦点F1、F2的直线为x轴，线段 F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系,则F1(-c,0)， F2(c,0).设M(x,y)是椭圆上任意一点，由椭圆定义得：
|MF1|+|MF2|=2a.
即：(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
移项平方得：(x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2 (x c)2 y2
化简得：a2 cx a (x c)2 y2
两端平方化简得： (a2 c2 )x2 a2y2 a2(a2 c2 )
x2 16
1
(3)两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),且过
P(2,3)点；
x2
y2
1
16 12
(4)经过点P(－2,0)和Q(0,－3). x2 + y2 =1
49
小结：求椭圆标准方程的步骤：
①定位：确定焦点所在的坐标轴； ②定量：求a, b的值.
【变式训练】
1.动点P到两个定点F1（- 4，0）、F2（4，0）的距离之和
为8，则P点的轨迹为
（B）
A、椭圆 B、线段F1F2 C、直线F1F2 D、不能确定
2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
答案：(1) x2 y2 1
①a=4，b=1，焦点在x轴上；
16
② a 4,c
15 ，焦点在Y轴上；
(2) y2 x2 1 16
③a+b=10，c 2 5 。
(3) x2 y2 1或 y2 x2 1
36 16
36 16
3．经过点（2，-3）且与椭圆 9x 2 4 y 2 36 有共同的焦点的
椭圆标准方程。
小结
定义
不
图形
同
点
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
y y P
F2 P
F1 O F2
x
O
x
F1
标准方程
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
y2
(5)
1
24 k 16 k
(3) 9x2 25y2 225 0
2.已知椭圆的方程为：x2 y2 1,则
45
F2
a=___5__，b=___2____，c=___1____， P
焦点坐标为：__(0_,-_1_)、__(_0_,1_)，焦距
F1
等于___2______;
若曲线上一点P到下焦点F1的距离为3，则 点P到另一个焦点F2的距离等于__2__5___3__， 则∆F1PF2的周长为___2___5___2__
|PF1|+|PF2|=2a
3.方程x2sinα-y2cosα=1(0<α<π)表示焦点在y轴上 的椭圆，则α的取值范围为_____.
【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)a= 6 ,b=1,焦点在x轴上；
x2 y2 1 6
(2)焦点为F1(0,－3)，F2(0,3),且a=5；
y2 25
椭圆及其标准方程
生活中 的椭圆
问题:
(1)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是什么呢? (2) 平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹又 是什么呢？
数学实验
同学们一起观察以下操作： 在图板上，将一根无 弹性细绳的两端用图钉固定，一支铅笔的笔尖沿细绳运 动，能得到什么图形？
1.椭圆定义
把平面内与两个定点F1、F2的距离之和（2a）等 于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。