2_流体动力学基础

a、b、c为t0时刻，某 质点的 坐标 ，不是空 间点的 坐标 （拉各 朗 日变数）。
流体质点速度：
vx =
ax =
dx dy dz ，vy = ， vz = dt dt dt
d x d y d z ，a y = 2 ，a z = 2 dt 2 dt dt
2 2 2
流体质点加速度：
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§2.1 研究流体流动的方法 研究
三、两种方法的 比较
拉格朗日 法（质点） 欧拉法（空间点）
第二章 流体动力学基础
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6 §2.7 §2.8 研究流体流动的方法 流动的分类 迹线与流线 流管 流束 流量 流体流动的连续性方程 理想流体运动的微分方程 理想流体沿流线的伯努例方程 粘性流体的运动微分方程
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P D F
c re a te d
w ith
p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
例题
vx = vx ( x, y, z, t ) vy = v y ( x, y, z, t) v = v ( x, y, z, t ) z z
§2.1 研究流体流动的方法 研究
一、欧拉法（续）
4. 加速度及其他物理量的时间变化率（续）
（1）加速度
§2.1 研究流体流动的方法 研究
一、欧拉法（续）
4. 加速度及其他物理量的时间变化率（续）
（2）其他物理量的时间变化率 (通用公式 ) d
r r r r r dv ∂v a = = + ( v ⋅ ∇ )v dt ∂t
r r v = v ( x, y, z ) p = p( x, y, z ) ρ = ρ ( x, y, z )
按照流体性质分：
Ø理想流体的流动和 粘性流体的流动 Ø不可 压缩流体的流动和 可压缩流体的流动
l
按照流动状态分：
Ø稳定 流动和 非稳定 流动 Ø层流流动和 紊流流动
l
按照流动空间的 坐标数目分：
az =
∂t
+
∂x dt
+
∂y ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱt
+
∂z dt
r ∂N ∂N ∂N + vy + vy (v ⋅∇ ) N = vx
∂x ∂y ∂z
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∂N ≠0 ∂τ
B.
∂N =0 ∂τ
N的位变加速度为0
dN =0 dτ
D.
特点：流场内的速度、压强、密度 等参 量不仅 是坐标 的函数，而且 与时间有 关。
即：
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∂ （） ≠0 ∂t
举例说明？
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§2.2 流动的分类
二、一维流动、二维流动和 三维流动
1. 定义
流动 参量是 几个坐标 变量的函数， 即为几维 流动。 r r v = v ( x) 一维流动 r r v = v ( x, y ) 二维 流动 r r v = v ( x, y, z ) 三维 流动
Ø一维流动、 二维 流动和 三维 流动
宗燕兵
特点：流场内的速度、压强、密度 等参 量只是坐标的函 数，而 与时间 无关 。 即：
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∂ （） ＝0 ∂t
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时变加速度与位变加速度的理解
vz=2z 2，求点（ 1，2，3）处的流体加速度。
∂v x ∂v ∂v ∂v + vx x + v y x + vz x ∂t ∂x ∂y ∂z ∂v y ∂v y ∂v y ∂v y ay = + vx + vy + vz ∂t ∂x ∂y ∂z ∂v z ∂v z ∂v z ∂v z az = + vx + vy + vz ∂t ∂x ∂y ∂z ax =
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研究流体流动的方法 流动的分类 迹线与流线 流管 流束 流量 流体流动的连续性方程 理想流体运动的微分方程 理想流体沿流线的伯努例方程 粘性流体的运动微分方程
§2.1 研究流体流动的方法
一、欧拉法
1. 方法概要 流场： 流场：充满运动流体的空间。 着眼于流场中各空间点 ， 综合流场中所有被研究空间点上流体质点的运动变化规律， 来获得整个流场的运动特性（速度分布）。 2. 研究对象 流场 (或者流场中的空间点 )
分别描述有 限质点的 轨迹 不能直接反映参 数的空间分布， 拉格朗日观 点是重要的
同时描述所有质点的 瞬时参数 直接反映参 数的空间分布， 流体 力学最常 用的 解析方法
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§2.2 流动的分类
l
§2.2 流动的分类
一、稳定流动和非稳定流动
1. 稳定流动（或 定常流动） 流动 参量不随时间变化的流动。
dρ ∂ρ r = + （ v ⋅ ∇） ρ dt ∂t
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r r ( v ⋅ ∇ ) v ： 位变加速度。由流体质点所在空间位置的变化引
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密度：
r v ⋅ ∇ 迁移导数
∂ 局部导数 ∂t
dρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ = + vx + vy + vz ∂t ∂x ∂y dt ∂z
8
7
计算题 1：已知 流场的速度分布为 vx=x2y，vy=-3y ，
vx = x + t vy = −y + t vz = 0
(2)积分求解
(1) 写微分方程式
例如 ，某一流场的 表达式为（欧拉 表达 式）
dx = x+t dt dy = −y + t dt dz =0 dt A = a + t0 + 1 B = b − t0 + 1 C =c
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p = p ( x , y , z, t )
ρ = ρ ( x, y , z , t )
密度场：
⇒
其他物理量（ N）场：
N = N( x, y, z, t )
4
§2.1 研究流体流动的方法 研究
一、欧拉法（续）
4. 加速度及其他物理量的时间变化率
（1）加速度 (因为流体质点在流场内是连续的 ax = ,且速度是 x、y、z、t的函数 ) 全微分，偏微分
解：
A
B
= 2x3y2 −3x2 y =2 = 9y =18 =8z3 =216
说明：随体导数的表达式及物理意义？
2 2 2 a = ax + a2 y + a z = 216.76m / s
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若流体在平面运动的速度场
vx = xy + 20t 1 vy = x − y2 + t 2 2
∂vx dx ∂vx dy ∂vx dz dv x ∂v + + = x + dt ∂x dt ∂y dt ∂z dt ∂t
定义： ∇ =
∂ v x ∂ v x dx ∂ v x dy ∂ v x dz a x = ∂ t + ∂ x dt + ∂ y dt + ∂ z dt a = ∂v y + ∂v y dx + ∂vy dy + ∂vy dz y ∂t ∂x dt ∂y dt ∂z dt ∂v z ∂vz dx ∂vz dy ∂vz dz
§2.2 流动的分类
一、稳定流动和非稳定流动（续）
2. 非稳定 流动 流动 参量随时间变化的流动。
r r v = v ( x , y , z, t ) p = p ( x, y, z , t ) ρ = ρ ( x, y, z , t )
设N为某稳定流场中的一个物理量，以下对该场描述正确的是 （ ） A. C.
t x=(a+1) e − t -1 ∴ 轨迹方程为 t (b+1) y e = − t -1 ∴ t=2时，该质点的位置为x=(a+1) e2 − 3, y =(b+1) e2 − 3 13
x = x (a , b , c , t ) y = y ( a, b, c, t ) z = z ( a, b, c, t )
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§2.1 研究流体流动的方法 研究
一、欧拉法（续）
3. 运动描述 流速场： vx = vx ( x, y, z, t) vy = vy ( x, y, z, t) v = v ( x, y, z, t) z z
x、 y、z是空间点的坐标， 不是某个质点的坐标
压强场：
（水文站观测 洪水的流动）
a x ==
dv x dt ∂v ∂v dx ∂v x dy ∂v x dz = x+ x + + ∂t ∂x dt ∂y dt ∂z dt = ∂vx ∂v ∂v ∂v + vx x + v y x + vz x ∂t ∂x ∂y ∂z
∂ r ∂ r ∂ r i+ j+ k ∂x ∂y ∂z 哈密顿算子
第二章 流体动力学基础
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6 §2.7 §2.8
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§2.1 研究流体流动的方法
一、欧拉法（ Euler ）（流场法） Euler 法：考察通过 固定空间位置点 的不同流体质点 的运 动状态，来了解整个运动空间内的流动情况，汇总这些情 况即可了解整个流体的运动变化规律（速度分布） 。 二、拉格朗日法（ Lagrange ）：（质点法） Lagrange 法是以研究 每个质点的运动全过程为基础，通 过对每个质点运动的研究来了解整个流体运动的规律 （速 度分布） 。 Lagrange 法在概念上比较直观，但在数学处理上较为复 杂。所以很少用，本书主要采用 Euler 法。