《数值分析》第六讲：方程求根
数值分析代数方程求根
1
第六章 方程求根
6.5.1 多项式求值的秦九韶算法
f ( x) a0 x a1 x
n
n1
an1 x an
用一次式 x x0 除 f ( x ) ， 商记作 P ( x ) ,余式为 f ( x0 )
即： f ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) P( x) 设：P( x) b0 x n1 b1 x n2 bn2 x bn1
6.5.2 代数方程的Newton法
f ( x) a0 x n a1 x n1 an1 x an
考察其Newton公式：
xk 1 f ( xk ) xk f ( xk )
由秦九韶算法可方便的求出函数值与导数值， 代入即可。
© 2009, Henan Polytechnic University §5 代数方程求根
c0 b0 1 i n1 c i bi x0 c i 1 f ( x 0 ) c n 1
继续这一过程，可求出f(x)在点 x0 的各阶导数
© 2009, Henan Polytechnic University §5 代数方程求根
4 4
第六章 方程求根
5 5
第六章 方程求根
6.5.3 劈因子法
f ( x) a0 x n a1 x n1 an1 x an
* 如果能从中分离出一个二次因式 x2 u* x v， 就能得到它的一对共轭复根。
劈因子法的基本思想是从某个近似的二次因子出发， 用某种迭代过程使之逐步精确化.。
其中 考察
r0 r0 (u, v ) r1 r1 (u, v )
r0 r0 (u, v ) 0 r1 r1 (u, v ) 0
数值分析-计算方法-方程求根a-文档资料
6.3 Fixed-Point Iteration
例 用收敛定理考察例题6.1两种解法的收敛性。 解 考察等价方程：
3 x g ( x ) x 1 1
当x∈[1.4, 1.6]时g1(x)∈[1.4, 1.6], 并且有 1 g ( x ) 1 1 2 33 (x 1 ) 所以迭代方程 xk+1= g1(xk) 收敛。 考察等价方程：
k k 1 0
( k = 1, 2, … )
且存在极限
1 L x * x k 1 x lim g * k x * x k
6.3 Fixed-Point Iteration
证明：① g(x) 在[a, b]上存在不动点？
令 f a g ( x ) b ( x ) g ( x ) x
( b ) g ( b ) b 0 f ( a ) g ( a ) a 0 ,f
f (x) 有根
② 不动点唯一？
~ ~ g ( x ) 反证：若不然，设还有 x ，则 ~ ~ ~ ~ 在 x* 和x 之间。 g ( x *) g ( x ) g ( ξ ) ( x * x ), x* x
对于给定的精度 ,可估计二分法所需的步数 k ：
b a b a k k |x x*| k k 2 2
b a ln b a ln ε ε k k 2 ln 2
①简单; ② 对f (x) 要求不高(只要连续即可) . ①无法求复根及偶重根 ② 收敛慢 请同学们自行设计计算程序。
xk
k xk
1
6 1.32470
1.25992
7 1.32471
数值分析实验报告——方程求根
《数值分析》实验报告实验一方程求根一、实验目的:掌握二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法求方程的根的各种计算方法、并实施程序调试和运行，学习应用这些算法于实际问题。
二、实验内容:二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法求方程的根、程序的调试和运行，给出实例的计算结果。
观察初值对收敛性的影响。
三、实验步骤：①、二分法：定义：对于区间[a，b]上连续不断且f（a）·f（b）<0的函数y=f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。
实现方法：首先我们设一方程400*(x^4)-300*(x^3)+200*(x^2)-10*x-1=0，并求其在区间[0.1,1]上的根，误差限为e=10^-4。
PS：本方法应用的软件为matlab。
disp('二分法')a=0.1;b=1;tol=0.0001;n0=100;fa=400*(a.^4)-300*(a.^3)+200*(a.^2)-10*a-1;for i=1:n0 p=(a+b)/2;fp=400*(p.^4)-300*(p.^3)+200*(p.^2)-10*p-1;if fp==0||(abs((b-a)/2)<tol)disp('用二分法求得方程的根p=')disp(p)disp('二分迭代次数为：')disp(i)break;end;if fa*fp>0 a=p;else b=p;end;end;if i==n0&&~(fp==0||(abs((b-a)/2)<tol)) disp(n0) disp('次二分迭代后没有求出方程的根')end;程序调试：运行结果：用二分法求得方程的根p=0.1108二分迭代次数为：14②Newton法定义：取定初值x0，找到函数对应的点，然后通过该点作函数切线，交x轴，得到新的横坐标值，然后找函数对应的点，做切线，得到新的横坐标值,重复上述步骤，多次迭代，直到收敛到需要的精度。
《数值分析》第六讲：方程求根
6
第六章： 第六章：方程求根
天才的伽罗华
1829年 伽罗华中学毕业前， 1829年，伽罗华中学毕业前，把关 于群论的初步研究结果的论文提交给法 国科学院，科学院委托当时法国最杰出 国科学院， 的数学家柯西审核论文。 的数学家柯西审核论文。 在1830年1月18日柯西计划对伽罗华 1830年 18日柯西计划对伽罗华 的研究成果在科学院举行一次全面的意 见听取会。他在一封信中写道： 见听取会。他在一封信中写道：“今天 我应当向科学院提交一份关于年轻的伽 罗华的工作报告……但因病在家，我很 但因病在家， 罗华的工作报告 但因病在家 遗憾未能出席今天的会议， 遗憾未能出席今天的会议，希望安排我 参加下次会议，讨论已指明的议题。” 参加下次会议，讨论已指明的议题。
7
第六章： 第六章：方程求根 第二周，柯西向科学院宣读他自己的一篇论文时， 第二周，柯西向科学院宣读他自己的一篇论文时，忘记了原 来的议题。 来的议题。 1830年 1830年2月，伽罗华将论文寄给当时的科学院终身秘书傅立 叶，傅立叶于当年5月去世，在他的遗物中未发现伽罗华的手稿。 傅立叶于当年5月去世，在他的遗物中未发现伽罗华的手稿。 伽罗华递交的两次数学论文均被遗失。 伽罗华递交的两次数学论文均被遗失。 1831年1月，伽罗华将包含新成果的论文提交给法国科学院， 1831年 伽罗华将包含新成果的论文提交给法国科学院， 负责审查的数学家泊松（Possion),四个月后， 负责审查的数学家泊松（Possion),四个月后，以“完全不能理 四个月后 解”，建议科学院退稿。 建议科学院退稿。 1831年 1831年1月8日，因伽罗华揭发校长的政治两面派行为，被皇 因伽罗华揭发校长的政治两面派行为， 家国民教育委员会批准开除出巴黎师范大学； 家国民教育委员会批准开除出巴黎师范大学；
方程求根计算方法课件及实验教学
通过实际动手操作，学生能更好地理解方程求根的概念和方法，提高问题解决能力。
拓展思考
鼓励学生思考方程求根方法的适用性和限制性，帮助他们在实际问题中做出明智的选择。
迭代改进
教师应根据学生的实际情况和反馈，不断改进教学方法和实验设计，以提高教学效果。
方程求根计算方法课件及 实验教学
欢迎来到我们的课件，探索方程求根的计算方法和实验教学。方程求根在数 学中的重要性不可忽视，让我们一起开始这次精彩的探索之旅吧！
方程求根的重要性
方程求根是解决实际问题的关键步骤。它们在物理、工程学和经济学等领域中起着重要作用，帮助我们 找到未知数的值，并解决复杂的数学问题。
方程求根的一般方法
1 代入法
将可能的解代入方程，验证是否满足等式。这是一种常用的解方程方法。
2 消元法
通过逐步消除未知数的系数，将方程转化为更简单的形式，以便求解。
3 图像法
将方程的图像与坐标轴交点作为解。这种方法通常用于一次和二次方程。
二分法求实根
二分法是一种迭代方法，通过不断缩小搜索范围，找到实根的近似值。它基于连续函数的介值定理，是问题转化为一系列有根的逼近问题，通过多次逼近来找到实根。这种方法适用于未知数只存在 于特定区间的情况。
牛顿迭代法求实根
牛顿迭代法使用泰勒级数的概念，通过迭代逼近不断靠近方程的根。它是一 种快速收敛的方法，特别适用于函数具有光滑性的情况。
割线法求实根
割线法与牛顿迭代法类似，但它使用两个近似值来逼近根，从而更具稳定性。 割线法是一种可靠的求解非线性方程的方法。
方程求根的程序实现
选择合适的编程语言
根据问题的复杂性和计算要求，选择适用于方程求根的编程语言，如Python或MATLAB。
《数值分析》第六讲方程求根
《数值分析》第六讲方程求根数值分析是研究用数值方法解决数学问题的一门学科，其中方程求根是其中重要的内容之一、方程求根是指找到一个或多个满足方程条件的根。
在实际生活中，方程求根的问题是非常常见的，比如求解物理学中的运动方程、电路中的电流方程等等。
本文将简要介绍几种常用的方程求根方法。
首先介绍最简单的试位法。
试位法是通过选择一个初始值，然后逐步逼近根的位置。
具体来说，首先选择一个初始点x0，然后根据函数的性质来选择一个适当的步长h。
然后计算f(x0)和f(x0+h)，如果它们符号相同，则说明根在区间(x0,x0+h)内；如果符号不同，则说明根在区间(x0-h,x0)内。
通过这样的逐步逼近，最终可以找到方程的根。
然而，试位法的精度依赖于所选择的初始值和步长，如果选择不当，可能会导致找不到根。
其次介绍割线法。
割线法也是一种逼近法，它的思路是通过不断连接两个初始点来逼近根的位置。
具体来说，选择两个初始点x0和x1，计算f(x0)和f(x1)，然后通过割线的斜率来计算下一个点的位置，即x2=x1-(f(x1)*(x1-x0))/(f(x1)-f(x0))。
重复这个过程，可以逐步逼近根的位置。
割线法相较于试位法的优势是可以更快地逼近根的位置，但同样也依赖于所选择的初始点。
还有一种非常常用的方程求根方法是二分法。
二分法是通过不断将问题划分为两个子问题来逼近根的位置。
具体来说，选择一个初始区间[a,b]，计算f(a)和f(b)。
如果f(a)和f(b)符号相同，则说明根不在此区间内，需要重新选择区间。
如果f(a)和f(b)符号不同，则说明根在此区间内。
然后根据区间中点的位置，划分出两个新的子区间，再次进行判断。
通过这样的逐步划分，最终可以找到方程的根。
二分法是一种十分稳定和可靠的方法，但是它的收敛速度相对较慢。
最后介绍牛顿法。
牛顿法是一种迭代法，通过不断进行线性逼近来逼近根的位置。
具体来说，选择一个初始点x0，然后通过计算函数f在该点的斜率来计算下一个点的位置，即x1=x0-f(x0)/f'(x0)。
数值分析课件 第六章非线性方程求根
§3. Fixed-Point Iteration y p1 p0 y=x y=g(x) y p0 y=x
几个根？
• 哪儿有根？确定有根区间
• 根的精确化：已知一个根的近似值后，能否
将它精确到足够精度？
本章假设 f C[a, b]，且 f (a) · (b) < 0，则 f 在 (a, b) f 上至少有一根，(a,b)即为有根区间。问题1、2得到解 决。
1. 逐步搜索法
§2 根的搜索
x0=a xk-1 x* xk b
第六章 非线性方程求根
/* Solutions of Nonlinear Equations */ §1 Introduction
科学技术中常遇到高次代数方程或超越方程 的求根问题。大于4次的代数方程无求根公式。 因此需要研究函数方程求根问题的数值方法。
求 f (x) = 0 的根或零点x*
求根问题包括下面三个问题： • 根的存在性：即f(x)=0有没有根？若有，有
③ 当k 时， xk 收敛到 x* ？
| x * x k | | g ( x *) g ( x k 1 ) | | g ( ξ k 1 ) | | x * x k 1 |
L | x * x k 1 | ...... L | x * x 0 | 0
说明：①迭代函数不唯一，②迭代点列可能收敛，也可 能发散，迭代收敛与否不仅与迭代函数有关，还与初 始点有关。
方程求根的数值计算方法
代替牛顿法中的导数有
以下快速弦截法迭代公式：
xk +1 = xk − f ( xk ) − f ( xk −1 ) f ( xk )
( xk − xk −1 )
三、方程求根的弦截法
•弦 截 法 求 根 的 基 本 步 骤 ： 1 设 定 初 值 x 0 , x1 ; 2 求 出 f ( x 0 ), f ( x1 ); 3 利 用 弦 截 法 求 根 公 式 求 近 似 根 x; x = x1 − f ( x1 ) × ( x1 − x 0 ) /( f ( x1 ) − f ( x 0 )) 4 将 x1作 为 新 的 初 值 x 0, 新 的 近 似 根 x 作 为 新 的 初 值 x1 , 再 回 到 2;...如 此 循 环 往 复 直 到 x − x1 < ε & & f ( x ) < ε 为 止 。 •注 意 ： 对 于 弦 截 法 也 有 可 能 陷 入 死 循 环 。 解 决 的办法与牛顿法一样。
*
*
0
*
k +1
k
*
二、方程求根的牛顿法 对于方程 f ( x) = 0 ，设已知它的近似根 为 xk ，则函数 f ( x) 在点 xk 附近可用一阶 泰勒多项式 p( x) = f ( xk ) + f ′( xk )( x − xk ) 来近似， 若取 p( x) =0 的根作为 f ( x ) = 0 新的近似根， 记为 ，则有如下著名的牛顿公式 牛顿公式： x k +1 牛顿公式 相应的迭代函数是：
迭代法的设计思想
– 迭代法是一种逐次逼近法，这种方法使用某个 迭代法是一种逐次逼近法， 固定公式－即迭代公式反复校正根的近似值， 固定公式－即迭代公式反复校正根的近似值， 使之逐步精确化，直至满足精度要求的结果。 使之逐步精确化，直至满足精度要求的结果。 – 迭代法的求根过程分成两步，第一步先提供根 迭代法的求根过程分成两步， 的某个猜测值，即所谓迭代初值， 的某个猜测值，即所谓迭代初值，然后将迭代 初值逐步加工成满足精度要求的根。 初值逐步加工成满足精度要求的根。
数值分析第6讲方程求根PPT
f (x) f ''(x) ( f ' ( x))2
''(x)
( f ' )2
f '' f ''' f ' f ( f ' )3
2 f ( f '' )2
'( x*)
f
( x*) f ''( x*) ( f ' ( x*))2
0
''( x*)
(
f ' ( x*))2 f '' ( x*) ( f ' ( x*))3
x4 9.0000 x5 730 .00
x *x0 x1
x2
x
6
第六章：方程求根
y
yx
y (x)
y0 x1
y0 ( x0 )
y1 x2
y2 ( x1 )
y1 ( x1 )
x* x2 x1
x0
x
1 '(x) 0
y
y (x)
y x
y1 ( x1 )
y0 ( x0 )
y1 x2
y
yx
y (x)
y0 x1
y0 ( x0 )
y1 x2
y2 ( x1 )
y1 ( x1 )
x* x2
x1
x0
x
y
y1 ( x1 )
yx
y1 x2
y0 x1
x1
x3 x* x2
y0 ( x0 )
y (x)
x0
x
1 '(x) 0
0 '( x) 1
| '( x) | 1
数值分析_第六章_方程求根
代过程收敛 ．
１６畅 考虑下述修正的 New ton 公式（Steffenson 方法）
xn ＋ １ ＝ xn － f（ xn ）／ Dn ，
Dn ＝
f（ xn ＋
f（ xn ）） － f（ xn ）
f（ xn ） ，
n≥ ０ ．
假定 f′（ x 倡 ） ≠ ０ ，证明它对单根是一个二阶方法 ．
１７畅 设在区间［ a ，b］上函数 y ＝ f （ x）可逆 ，即存在足够光滑的 函数 Q（ y） ，使 x ＝ Q（ y） ．再设 x 倡 ∈ ［ a ，b］为 f （ x） ＝ ０ 的根 ，试把 x 倡 ＝ Q（０） ＝ Q（ y － y）用 T aylor 公式展开 ，从而导出下列公式 ：
x０ ＝ ０畅 ６ ，计算精确到 １０ － ５ ．
２０畅 试确定常数 p 、q 、r ，使迭代公式
xk ＋ １
＝
p xk
＋
q
a x２
k
＋
r
a２ x５
k
产生的序列｛ xk ｝收敛到３ a ，并使其收敛阶尽可能高 ．
２１畅 用弦截法 求 f （ x） ＝ x３ ＋ ２ x２ ＋ １０ x － ２０ ＝ ０ 的 根 ，要 求
x 倡 － xn
＝１＋ ｛２［ f″（ x倡 ）］２ （ x倡
－ ［ f″（ x倡 ）］２ （ x倡 － xn ）３
－
xn ）２
－
１ ２
［
f″（
x倡
）］２ （ x倡
－
xn ）２ ｝（ x倡
－
xn ）
＝１－
２ ３
＝
１ ３
．
可知 ，在重根附近 ，（６畅 ２０）式的敛速是线性的 ．
方程求根的数值方法
方程求根的数值方法数值方法是一种求解方程根的近似方法，它通过一系列计算和迭代来逼近方程的根。
这些方法常用于无法通过代数方法求得解析解的复杂方程，或者是当方程没有明确的解析解时。
在这篇文章中，我们将讨论三种常用的数值方法：二分法、牛顿法和割线法。
二分法是一种基于零点定理的根查找方法。
零点定理指出，如果一个函数在区间[a,b]的两个端点处取得正负值，那么这个函数在这个区间内至少存在一个根。
二分法的基本思想是将区间二分，并判断根是否在分割后的子区间内。
具体步骤如下：1.选择一个初始区间[a,b]，使得f(a)和f(b)异号。
2.计算区间中点c=(a+b)/23.如果f(c)等于0或者f(c)的绝对值小于给定的误差限，那么c是近似的根。
4.如果f(c)和f(a)异号，那么根在左半区间[a,c]内；否则，根在右半区间[c,b]内。
5.重复步骤2到4，直到找到满足条件的近似根。
二分法的优点是简单易懂，收敛速度较快；缺点是每次迭代只能减少一半的区间长度。
牛顿法是一种迭代法，通过对函数f(x)的一阶导数进行线性逼近，来求得方程f(x)=0的根。
具体步骤如下：1.选择一个初始近似根x0。
2.计算函数f(x)在x=x0处的导数f'(x0)。
3.计算线性逼近方程的解x1=x0-f(x0)/f'(x0)。
4.如果f(x1)的绝对值小于给定的误差限，那么x1是近似的根。
5.否则，令x0=x1，重复步骤2到4，直到找到满足条件的近似根。
牛顿法的优点是收敛速度快，通常是二次收敛；缺点是对于一些特殊的函数，可能会出现发散或者陷入局部最优解的情况。
割线法是对牛顿法的改进，它通过将区间的两个端点连接起来，构建一条割线来逼近方程的根。
具体步骤如下：1.选择两个初始近似根x0和x1，使得f(x0)和f(x1)异号。
2.计算割线的斜率k=(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)。
3.计算线性逼近方程的解x2=x1-f(x1)/k。
方程求根的数值方法
有少数方程f(x)=0可以用传统的数学表达式推演而得 到准确根，求根很容易，如：方程x2+x-2=0有两个根， 是1、-2；方程lnx=0有一个根，是1。但这样的方法 只能解极少数简单方程；对于大量的由实际问题而产 生的方程，例如下面的方程就求不出准确根（即：一 点误差都没有的根），只能用数值解法求近似根.
x2
x24 x2 3 4 x23 1
1.1641
得到方程的一个 近似根1.1640， 误差小于0.0001.
x4
x3
x34 x3 3 4 x33 1
1.1640
x5
x4
x44 x4 3 4 x4 1
1.1640
弦截法
Newton迭代法有一个较强的要求是存在导函数且不等于零。因此，用弦的斜 率近似的替代f’(x) 。
迭代法的几何意义
x
(
x)
y
yx
(x)
交点的横坐标即为f(x)=0的 根。
y=x
y=φ(x)
x* x2
x1
x0
简单迭代收敛情况的几何解释
例2：试用迭代法求方程 f(x)=x3-x-1=0在区间(1， 2)内的实根。
解：由 x 3 x 1 建立迭代关系：
xk1 3 xk 1 k=0,1,2,3…….
一般迭代法：将f(x)=0适当变形为x=φ(x),在根的 邻近找一个点x0作为初始点，作迭代
若数列{xk} 收敛，则极限值就是准确根。满足 x=φ(x)的点称为方程的不动点，此法又称为方程 求解的不动点法。
注意到迭代函数形式不唯一，其迭代差异可能很大。 迭代法需要讨论的基本问题有：迭代法函数构造、 迭代序列的收敛性，收敛速度以及误差估计。
数值分析-6方程求根
6第6 章求方程求根本章内容611.1 光波的特性6.1 根的搜索6.2 迭代法1.2 光波在介质界面上的反射和折射6.3 Netwon法6.41.3 光波在金属表面上的反射和折射6.4 弦截法与抛物法6.5 代数方程求根2本章要求•主要内容：迭代原理、迭代过程的加速、牛顿法、弦截法。
•基本要求()会用分法求解非线性方程的根–(1)会用二分法求解非线性方程的根。
–(2)理解迭代法的基本思想及收敛性；会用迭代法求解非线性方程的根。
–(3)了解收敛阶的概念。
了解收敛阶的概念–(4)掌握牛顿法与弦截法。
•重点、难点重点难点–重点：理解迭代的基本思想；–难点：收敛性的判断。
361科学技术中常到高次代数或超越的6.1根的搜索科学技术中常遇到高次代数方程或超越方程的求根问题。
大于4次的代数方程无求根公式。
——因此需要研究函数方程求根问题的数值方法。
求方程f (x )=0的根或零点——x*46.1 根的搜索61求根问题包括下面三个问题：•根的存在性：即f(x)=0有没有根？若有，有几个根？•在哪儿有根？确定有根区间•根的精确化：已知一个根的近似值后，能否将它精根的精确化已知个根的近似值后能否将它精确到足够精度？本章假设f∈C[a,b]，且f(a)·f(b)<0，则f在(a,b)上至少有一根，[a,b]即为有根区间。
问题1、2得到解决。
561611 6.1根的搜索设f (a )<0,f (b )>0，有根区间为(a ,b )，=a x k -1x*6.1.1逐步搜索法从x 0=a 出发，按某个预定步长(例如h =(b -a )/N )一步一步向右跨，每跨一x 0a b x k 步进行一次根的搜索，即判别f (x k )=f (a +kh )的符号，若f (x k )>0(而)<0)①简单；②对f (x )要求不高f (x k -1)<0),则有根区间缩小为[x k -1,x k ](若f (x k )=0，x k 即为所求根),然后从x k -1出发把搜索步长再缩小重复上面(只要连续即可)；③只要步长h 足够小，可达到任意精度.出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|x k -x k -1|<E 为止，*1①无法求复根及偶重根；②计算量大，收敛慢.此时取x ≈(x k +x k -1)/2作为近似根。
数值分析 - 第6章 方程求根
x5 = 5 4 x4 + 2 = 5 8.0728 ≈ 1.5185
∗ 取 x ≈ 1.5185
x 4 = 1.37662 −
x 5 = 1.48881 −
1.488813 − 1.488812 − 1 × (1.48881 − 1.37662) ≈ 1.488813 − 1.488812 − 1.376623 + 1.376622 146348
0≤ x≤1
x x x x
k +1
=
1
3
xk
2
, k = 0,1, 在[0,1]上 有唯一解，令
0 6 12
= 0.5, x1 = 0.74133, x 2 = 0.83641, x 3 = 0.87713, x 4 = 0.89517, x 5 = 0.90328 = 0.90695, x 7 = 0.90862, x 8 = 0.90938, x 9 = 0.90972, x10 = 0.90988, x11 = 0.90995 = 0.90999, x13 = 0.91000故可取 x ≈ 0.9100, 其误差限小于10 。
6方程求根
f ( x) e sin x 0
x
定义： 如果存在x*,使得 f (x*)=0，则称x*为方程的根， 或称为函数 f(x)的零点
理论上已证明: 对于次数n<=4的多项式方程，它的根可以用公式表示; 而次数n >= 5 的多项式方程，数学家阿贝尔已经证明， 它的根一般不能用解析表达式表示; 因此对于 f(x) = 0 的函数方程，只要得到满足精度要 求的根的近似值就可以了。 常用的求根方法分为区间法和迭代法两大类。
方法步骤：
①确定方程f(x)=0的有根区间[a,b] ②步长h=(b-a)/n，取xk=a+kh(k=0,1,…,n)， ③逐个计算函数值f(xk) ④若f (xk-1) f (xk)<0,
则缩小有根区间为[xk-1,xk] (若f(xk)=0,xk为根,停) ⑤然后从[xk-1，xk]出发,重复上面步骤,若|xk-xk-1|<，停， 取x*≈(xk+xk-1)/2作为近似根。
x0 0
x ( x)
xk 1 ( xk )
显然迭代发散
x0 0
3 x1 2 x0 1 1
迭代过程：
3 x2 2 x1 1 3
3 x3 2 x2 1 55
第二种方法： 等价方程变换为： x 3 x 1 初值： x 0 0
bk ak bk 1 ak 1 | x * xk | 2 2 2
ba k 1 0(k ) 2
注：二分法的优缺点
①简单，总收敛; ② 对f (x) 要求不高(只要连续即可) . ①无法求偶重根 ② 收敛慢 例6.2：求方程f(x)=x3-x-1=0在(1.0,1.5)内的实根，准确到小数点后 的第二位。
【精品课件教案PPT】 第六讲方程求根的数值解法32页PPT
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
【精品课件教案PPT】 第六讲方程求根的 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。 数值解法
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
《数值分析》第六讲：方程求根36页PPT
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
《数值分析》第六讲：方程求根
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
第六讲方程求根的数值解法
1
第六讲 主要知识点
1、牛顿法的思想、牛顿迭代公式；
2、牛顿法的收敛性；
3、牛顿法的收敛速度；
3、弦截法思想。
2
一般迭代法
对于一般形式的方程 f ( x ) 0 先将方程化为 再从某一数 x0 出发，作序列x0 ， xn 1 g ( xn ) , n 0,1,2, 若序列有极限，即lim xn a
点
x
p( xk , f ( xk )) ，引一条切线，其方程为 y f ( xk ) f ( xk )( x xk )
令其为零，得切线
l 与 x 轴的交点为
f ( xk ) x xk f ( xk )
6
牛顿法几何表示（续1）
f ( xk ) 将此式 x xk 与上面求得的牛顿 f ( xk )
( p) ( p) * *
17
牛顿法的收敛速度
迭代过程的收敛速度依赖于迭代函数 ( x )的选 取。如果当 x [a , b]时 ' ( x ) 0, 则该迭代过程只 可能是线性收敛。 对牛顿公式 其迭代函数为 由于 xk 1 xk f ( xk ) f ' ( xk )
f ( x) ( x) x ' f ( x) f ( x ) f '' ( x )
n
x g ( x)
则可得
a g (a )
即
f (a ) 0
即a是方程的根。x0称为初始近似， xn 称为n次近似，g ( x )称为迭代函数， xn 1 g ( xn )称为迭代公式。
3
一般迭代法（续）
由前面的讨论可知，选择合适的迭代函数 ( x ) ， 是提高迭代数列
数值分析-求根方程
k a k [ f ( a k )的 符号] x k [ f ( x k )的 符号] b k [ f ( b k )的 符号]
0 1 2 3 4
M 9 10
三次方程求根公式一元二次方程求根四次方程求根公式3次方程求根公式2次方程求根公式高次方程求根牛顿方程求根迭代法方程求根公式三次方程求根3次方程求根
非线性方程求根
/* Solutions of Nonlinear Equations */
§1 §2 §3 §4
§5
引言 二分法 迭代法 牛顿法 劈因子法
3. 隔离区间求法
原理：若 f (x)∈C[a, b]，且 f (a) · f (b) < 0，则 f (x)在 (a, b) 原理： ∈ ， ， 在 上必有一根。 上必有一根。 作出f 函数的草图 函数的草图， 作出 (x)函数的草图，由f (x)与x轴交点横轴标大概确定隔 与 轴交点横轴标大概确定隔 离区间。 离区间。 等价改写为f 将f(x)=0等价改写为 1(x)=f2(x)，作出 1(x)、f2(x)的草 等价改写为 ，作出f 的草 由两者交点横轴标大概确定隔离区间。 图，由两者交点横轴标大概确定隔离区间。 逐步搜索法，得到满足原理条件的各个区间。 逐步搜索法，得到满足原理条件的各个区间。
n = 0,1, 2,L
显然每个小区间都有单根且有如下关系： 显然每个小区间都有单根且有如下关系：
1 1 an − bn = an −1 − bn −1 = L = n a0 − b0 2 2 a n−1 xn−1 1 | xn − xn −1 | = n +1 a0 − b0 2
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1522-1565）仿照一般三次方程求根思想，推导的一般四次
方程求根公式； 从二次方程到三、四次方程求根公式历经至少3245年；
4
第六章：方程求根 意大利数学家的成功促使当时的众多数学家开始寻求更高次方
程的解法； 量变引起了质变，数学家们徒劳了两个多世纪，没有成功；
1771年法国数学家拉格朗日在论文《关于代数方程解法的思 考》中指出，用代数运算解一般的(n>4)次方程是不可能的,或 者这个问题超出了人类的智力范围，或者是根的表达方式不同 于当时所知道的一切; 1824年，天才的挪威数学家阿贝尔(Abel，1802—1829)在其 出版的著作中证明：如果方程的次数n≥5，并且将方程的系数 看成字母，那么任何一个由这些字母组成的根式都不可能是方
根据方程（ 1 ）令 xk 1 3 xk 1
取 x0 1 得：
12
第六章：方程求根
参照 xk 1 3 xk 1
x0 1 x1 3 x0 1 3 1 1 1.25992
x2 3 x1 1 3 1.25992 1 1.31229 x3 3 x2 1 3 1.31229 1 1.32235
x4 3 x3 1 3 1.32235 1 1.32427
x5 3 x4 1 3 1.32427 1 1.32463
x6 3 x5 1 3 1.32463 1 1.32470
x7 3 x6 1 3 1.32470 1 1.32471
程的根；
近300年的努力果然是徒劳的；
5
第六章：方程求根
阿贝尔之后，不少人找到了特殊高次方程的求根方法，得到
了有理根式形式的解； 到底哪些方程可以得到有理根式形式的解？ 1831年天才的法国数学家伽罗瓦(E.Galois，1811—1832)给
出了高次方程存在根式解的充分必要条件。
x2 y1
y1 ( x1 )
y2 ( x1 )
x * x2
x1Leabharlann x0x14
第六章：方程求根
x3 x 1 0
y
3
x x3 1
y ( x) 由 xk 1 xk 1 令 x0 1 得：
y x
y1 ( x1 )
x1 0.00000
x2 1.0000
| '( ) || xk m1 xk m2 | L | xk m1 xk m2 |
x3 2.0000
x4 9.0000
y1 x2
y0 ( x0 )
y0 x1
x5 730.00
x * x0 x1
x2
x
15
第六章：方程求根
y
y0 x1
y x
y ( x)
y0 ( x0 )
y
y ( x)
y x
y1 ( x1 )
y1 x2
遗憾未能出席今天的会议，希望安排我
参加下次会议，讨论已指明的议题。”
7
第六章：方程求根
第二周，柯西向科学院宣读他自己的一篇论文时，忘记了原
来的议题。 1830年2月，伽罗华将论文寄给当时的科学院终身秘书傅立 叶，傅立叶于当年5月去世，在他的遗物中未发现伽罗华的手稿。 伽罗华递交的两次数学论文均被遗失。 1831年1月，伽罗华将包含新成果的论文提交给法国科学院， 负责审查的数学家泊松（Possion),四个月后，以“完全不能理
解”，建议科学院退稿。
1831年1月8日，因伽罗华揭发校长的政治两面派行为，被皇
家国民教育委员会批准开除出巴黎师范大学；
8
第六章：方程求根
1831年5月l0日，伽罗华以“企图暗杀国王”的罪名被捕，关
押在圣佩拉吉监狱； l832年3月16日伽罗华获释后不久，为了一个舞女决定为“爱
情与荣誉”决斗；
L2 | xk 1 x* |
... L | x0 x* |
k 1
| xk x* | L | x0 x* |
k
xk x *
21
第六章：方程求根
| xk 1 xk || ( xk ) ( xk 1 ) || '( ) || xk xk 1 |
1832年5月29日夜，伽罗华仓促地把自己生平的数学研究心得
扼要写出，附以论文手稿，并在给朋友舍瓦利叶的信中说：“我
在分析方面做出了一些新发现。有些是关于方程论的；有些是关 于整函数的……。公开请求雅可比或高斯，不是对这些定理的正 这些对于消除所有有关的混乱是有益的。” 1832年5月30日上午，伽罗华死于决斗；
y0 ( x0 )
y
y x
y1 ( x1 )
y1 x2
y1 x2
y1 ( x1 )
y2 ( x1 )
y0 x1
y0 ( x0 )
x3
y ( x)
x * x2
x1
x0
x
x1
x * x2
x0
x
1 ' ( x) 0
0 ' ( x ) 1
| ' ( x ) | 1
20
第六章：方程求根 4、迭代法的收敛性
由 | ' ( x ) | L 1
| xk 1 x* || ( xk ) ( x*) || '( )( xk x*) |
L | xk x* | | xk x* | L | xk 1 x* |
次方程,塔尔塔利亚用8天时间解出了全部30个方程，得到了
解缺项三次方程的一般方法。
3
第六章：方程求根 米兰的数学和物理教授卡尔达诺(Cardano，1501—1576) 获悉该事后央求塔尔塔利亚将密诀告诉他，并发誓保密，在 卡尔达诺的恳求下，塔尔塔利亚把他的方法写成一首晦涩的 诗告诉了卡尔达诺； 1545年卡尔达诺出版著作《大法》(Arsmagna) ，公布了 一般三次方程求根公式，称为卡尔达诺公式； 《大法》同时公布了意大利数学家费拉里（Ferrali，
| xk p xk p1 | | xk p1 xk p2 | ... | xk 1 xk |
(L
k p1
L
k p 2
... L ) | x1 x0 |
k
22
Lk (1 Lp ) Lk | x1 x0 | | x1 x0 | 1 L 1 L
23
L | xk p xk | | x1 x0 | 1 L
k
第六章：方程求根
y
y x
b
a | ( x) | b
xk 1 ( xk )
a a
x * xk
y ( x)
b
x
24
第六章：方程求根
| xk m xk m1 || ( xk m1 ) ( xk m2 ) |
9
确性，而是对这些定理的重要性发表意见。我希望将来有人发现，
第六章：方程求根
伽罗华死后，舍瓦利叶把他的信发表在《百科评论》中。
1846年，法国数学家刘维尔领悟到伽罗华的天才思想，他花 了几个月的时间将伽罗华手稿中的部分内容发表在他的极有影 响的《纯粹与应用数学杂志》上，并向数学界推荐。 1870年法国数学家约当根据伽罗华的思想，写了《论置换与
第六章：方程求根
Lk 当 p | x * xk | | x1 x0 | 1 L 当 k xk x *
定理6.1 如果（x）满足： 1、x [a , b] ( x ) [a , b] 2、L 0, x [a , b], 有| ' ( x ) | L 1 则迭代过程 xk 1 ( xk ) 对 x0 [a , b], xk x * Lk ( x* ( x*)) 且 | xk p xk | | x1 x0 | 1 L
6
第六章：方程求根
天才的伽罗华
1829年，伽罗华中学毕业前，把关
于群论的初步研究结果的论文提交给法 国科学院，科学院委托当时法国最杰出 的数学家柯西审核论文。 在1830年1月18日柯西计划对伽罗华 的研究成果在科学院举行一次全面的意
见听取会。他在一封信中写道：“今天
我应当向科学院提交一份关于年轻的伽 罗华的工作报告……但因病在家，我很
3
x x 1 e sin x 0 x ?
3 x 2
11
第六章：方程求根 2、迭代思想
x 3 x 1
x x 1 0
3
（1） （2）
x x 1
3
x (1 x ) / x
求方程： x x 1 0 的根
3
( x 0)（3）
求方程（1）、或方程（2）、或方程（3）的根
方程的一般求根公式，没有公开他的解法，按当时的习俗作为
挑战对手的秘密武器； Ferro在临终前将解法传给了他的学生安东尼奥· 菲奥尔 (Antonio M.Fior); 费罗去世后，菲奥尔向当时意大利最大的数学家之一塔尔 塔利亚(Tartaglia，1500—1557)提出挑战，要他解出30个三
x1
x0
x*
y ( x)
x3
x2
x4
x
17
第六章：方程求根
y
y x
y1 ( x1 )
y1 x2
y0 x1
y0 ( x0 )
x3
x1
x * x2
y ( x)
x0
x
18
第六章：方程求根
y
y x