二重积分习题及答案

a
a
b
b
b
dy ( x y)n2 f ( y)dx
a
y
a
b a
f
( y)dy[ 1 ( x n1
y
)n1
]b y
1
b
(b y)n1 f ( y)dy.
n1 a
y x
D
a
b
7 写出积分 f ( x, y)dxdy的极坐标二次积分形
D
式，其中积分区域
D {( x, y) | 1 x y 1 x2 , 0 x 1}.
1 求 x2e y2dxdy，其中 D 是以(0,0),(1,1),
D
(0,1)为顶点的三角形.
解 e y2dy 无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
x2e y2dxdy
1
dy
y x2e y2 dx
00
D
e1 y2
y3 dy
e1 y2 y2dy2 1 (1 2).
0
3
0
6
【注】在利用对称性计算二重积分时，要同时考虑被积 函数的奇偶性和积分区域的对称性，不能只注意积分区域
关于坐标轴的对称性，而忽视了被积函数应具有相应的奇
偶性.
6
证明
b dx
x
(x
y)n2
f
( y)dy
1
b
(b
y)n1
f
(
y)dy.
a
a
n1 a
b
x
证 dx ( x y)n2 f ( y)dy
x2
dy
0
2 3
(2) 提示:
I D ( x2 y2 2xy 2) dxdy
y
D ( x y 2) dxdy
1
yx
作辅助线 y x 将D 分成
D1
D1 , D2 两部分
D2
o
1x
2D2 (x y)dxdy 2D dxdy
2 ( 2 1)
3
2
说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.
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2、阅读一切好书如同和过去最杰出的 人谈话 。11:5 5:1911: 55:1911 :5512/ 12/2020 11:55:19 AM
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3、越是没有本领的就越加自命不凡。 20.12.1 211:55: 1911:5 5Dec-20 12-Dec-20
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4、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的 错儿。 11:55:1 911:55: 1911:5 5Saturday, December 12, 2020
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5、知人者智，自知者明。胜人者有力 ，自胜 者强。 20.12.1 220.12. 1211:5 5:1911: 55:19D ecembe r 12, 2020
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6、意志坚强的人能把世界放在手中像 泥块一 样任意 揉捏。 2020年 12月12 日星期 六上午 11时55 分19秒 11:55:1 920.12. 12
(2) I ( x2 y2 2xy 2) dxdy, 其中D 为圆域 D
x2 y2 1 在第一象限部分. 解: (1) 作辅助线 y x2 把与D 分成
D1, D2 两部分, 则 1
I D1 dxdy D2 dxdy
y 1 D1
o 1x D2
1
dx
1
1
x2 dy
1 dx
1
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7、最Baidu Nhomakorabea挑战性的挑战莫过于提升自我 。。20 20年12 月上午 11时55 分20.1 2.1211: 55Dece mber 12, 2020
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8、业余生活要有意义，不要越轨。20 20年12 月12日 星期六 11时55 分19秒 11:55:1 912 December 2020
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9、一个人即使已登上顶峰，也仍要自 强不息 。上午 11时55 分19秒 上午11 时55分 11:55:1 920.12. 12
• 10、你要做多大的事情，就该承受多大的压力。12/12/
2020 11:55:19 AM11:55:192020/12/12
• 11、自己要先看得起自己，别人才会看得起你。12/12/
谢 谢 大 家 2020 11:55 AM12/12/2020 11:55 AM20.12.1220.12.12
利用对称性 , 得
I x2 dxdy xyex2 y2 dxdy
D
D1
x ye x2 y2 dxd y
D2
1 x2 d x
x
dy 00
1
1
2 3
y
yx
o D2 D1
1x
1 y x
4. 计算二重积分
(1) I D sgn( y x2 )dxdy, D : 1 x 1，0 y 1
6e
2
1
计算积分 I 2 dy
yy
1
e xdx dy
yy
e xdx.
1
1
4
2
1 2
y
y
解 e xdx不能用初等函数表示
先改变积分次序.
y x
1
xy
原式 I dx e xdy
1 2
x2
y x2
1 x(e e x )dx 3 e 1 e.
1 2
82
3. 计算二重积分 I (x2 xyex2 y2 ) dxdy , 其中: D (1) D为圆域 x2 y2 1;
5 计算 ( x y )dxdy, D : x2 y2 1
D
分析 积分区域D关于x、y轴均对称, 被积函数
f ( x, y) x y 关于x,y均是偶函数，利用对称性
去掉绝对值符号.
1
解 采用直角坐标 ( x y )dxdy 4 dx
1 x2 ( x y)dy 8
D
0
0
3
y 3x 0 所围成的平面闭区域.
解
y
3x
0
2
3
x2 y2 4 y r 4sin
x
3y
0
1
6
x2 y2 2 y r 2sin
( x2 y2 )dxdy
3 d
4sin r 2 rdr
15(
3).
D
6
2sin
2
•
1、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。20.1 2.1220. 12.12Sa turday, December 12, 2020
解
在极坐标系下
x y
r r
cos sin
所以圆方程为 r 1,
直线方程为r
1
,
sin cos
x2 y2 1 x y1
f ( x, y)dxdy
2 d
1
1
f (r cos ,r sin )rdr.
D
0 sin cos
8
计算 ( x2 y2 )dxdy，其 D 为由圆
D
x2 y2 2 y， x2 y2 4 y及直线 x 3y 0，
(2) D由直线 y x , y 1 , x 1 围成 .
解: (1) 利用对称性.
I x2 d x d y xyex2 y2 d x d y
D
D
y
1 2
D
(
x
2
y
2
)
d
xd
y
0
D
1
2 d
1
r
3
d
r
20
0
4
o 1x
(2) 积分域如图: 添加辅助线 y x,将D 分为 D1, D2 ,