基于应变能的各振型阻尼比的计算方法

基于应变能的各振型阻尼比的计算方法

当结构中使用不同的材料或者设置了阻尼器时，各单元的阻尼特性可能会不一样，并且阻尼矩阵为非古典阻尼矩阵，不能按常规方法分离各模态。而这时在时程分析中要使用振型叠加法，需要使用基于应变能的阻尼比计算方法。

具有粘性阻尼特性的单自由度振动体系的阻尼比，可以定义为谐振动(harmonic motion)中的消散能(dissipated energy)和结构中储藏的应变能(strain energy)的比值。 4D S

E E ξπ= 在此 E D : 消散能

E S : 应变能

在多自由度体系中，计算某单元的消散能和应变能时使用两个假定。

首先假定结构的变形与振型形状成比例。第i 个振型的单元节点的位移和速度向量如下。

()

(),,,,sin cos i n i n i i i n i i n i i t t ωθωωθ=+=+u φu φ

在此，

,i n u : 第i 振型中第n 个单元的位移

,i n u : 第i 振型中第n 个单元的速度

ϕi ,n : 第n 个单元的相应自由度的第i 振型形状

ωi : 第i 振型的固有圆频率

θi : 第i 振型的位相角(phase angle)

其次，假定单元的阻尼与单元的刚度成比例。 2n

n n i h ω=C K

在此，

C n : 第n 个单元的阻尼矩阵

K n : 第n 个单元的刚度矩阵

h n : 第n 个单元的阻尼比

基于上述假定，单元的消散能和应变能的计算如下：

()(),,,,,,,,,211,22T

T D i n n i n n i n n i n

T T S i n n i n i n n i n E i n h E i n ππ====u C u φK φu K u φK φ

在此，

E D (i , n ) : 第i 振型的第n 个单元的消散能

E S (i , n ) : 第i 振型的第n 个单元的应变能

全体结构的第i 振型的阻尼比可以使用所有单元的第i 振型的能量的和来计算。

()()

,,11,,11,4,N

N T D

n n i n n i n n i N N T S n i n n i

n n E i n h E i n ξπ======⋅∑∑∑∑φK φφK φ

在MIDAS 的时程分析中，振型叠加法中可选择“应变能因子”方法，在直接积分法中可选择“应变能因子”和“单元质量和刚度因子”方法。其中“应变能因子”方法就是基于应变能的各振型阻尼比的计算方法，程序内部根据在“组阻尼比”中输入的各单元和边界的阻尼计算各振型的阻尼比，然后构建整个结构的阻尼矩阵。“单元质量和刚度因子”方法是根据在“组阻尼比”中输入的各单元和边界的质量和刚度系数直接计算各单元和边界的Rayleigh 阻尼（目前只能输入刚度系数），然后构建整个结构的阻尼矩阵。（注意：单元质量和刚度因子）