回归分析基本方法：最小二乘法参考PPT
一元线性回归模型及参数的最小二乘估计课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第三册
§8.2 一元线性回归模型及其应用 第1课时 一元线性回归模型及参数的最小二乘估计
1 一元线性回归模型 2 最小二乘法和
经验回归方程
3 利用经验回归方程
进行预测
01 一元线性回归模型
知识梳理
一元线性回归模型：我们称
Y＝bx＋a＋e， Ee＝0，De＝σ2
为Y关于x的_一__元__线__性__回__归_
8
∑i＝1xiyi－8 x b^ ＝ 8
∑i＝1x2i －8 x
y
2
＝132245－6－8×8×52×25982＝14，
所以a^ ＝ y －b^ x ＝98－14×52＝12，故经验回归方程为y^＝14x＋12.
(2)若该次考试数学平均分为120分，物理平均分为91.5分，试由(1)的结 论预测数学成绩为128分的同学的物理成绩.
n
(xi－ x )2
n
x2i －n x 2
i＝1
i＝1
由题意可得 x ＝15×(1＋1.5＋2＋2.5＋3)＝2， y ＝15×(0.9＋0.7＋0.5＋0.3＋0.2)＝0.52.
5
(xi－ x )(yi－ y )＝－1×0.38－0.5×0.18＋0.5×(－0.22)＋1×(－0.32)
i＝1
(1)(2)(3)(4)(5)回归模型，(6)(7)函数模型.
练1习1 若某地财政收入x与支出y满足一元线性回归模型y＝bx＋a＋e(单
位：亿元)，其中b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收入10亿
元，年支出预计不会超过
A.9亿元 C.10亿元
一元线性回归模型参数的最小二乘估计(第二课时)课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第三册
残差比较均匀地分布在以取
值为0的横轴为对称轴的水
平带状区域内. 所以在四幅
残差图中，只有图(4)满足
一元线性回归模型对随机误
差的假设.
典例 1：下面给出了根据某地区 2013～2019 年水果人均占有量 y(单位：kg)和年份代码
x 绘制的散点图和经验回归方程的残差图(2013～2019 年的年份代码 x 分别为 1～7).
注意到100m短跑的第一个世界纪录产生于1896年，因此可认为散点集中在曲线
y=c1+c2ln(t-1895)的周围. 其中c1和c2为未知参数，且c2 < 0.
用上述函数刻画数据变化的趋势，这是一个非线性经验回归函数，其中c1, c2 是待
定参数. 现在问题转化为如何利用成对数据估计参数c1和c2.
መ
以计算出=0.839
，ො
=28.957，
求出儿子身高Y关于父亲身高x的经验回归方
程为
ŷ 0.839 x 28.957
相应的经验回归直线如图所示.
ŷ 0.839 x 28.957
ො
思考:当x=176时，≈177.
如果一位父亲身高为176cm,他儿子长大成人后的身高一
定是177cm吗? 为什么?
残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断
原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析。
残差分析：
残差表：将残差以表格的形式呈现；
残差图：将残差以图象的形式呈现。
残差表：
编号
父亲身高/cm
儿子身高观测值/cm
儿子身高预测值/cm
残差/cm
1
174
回归分析法(精品PPT课件)
b0
i 1
W 2 n yi b0 b1xi xi 0
b1
i 1
8
求解上述方程组得：
n
n
n
n xiyi
xi
yi
b1 i1
n
x x n i1
i 1 i 1
2
i
n
2
i
i 1
1 n
bn
b0
yi
补充内容：回归分析法
回归分析是计量经济学中最为基础的一 部份内容。在这里我们简单地介绍回归 分析中估计模型具体参数值的方法。
1
一、一元线性回归与最小二乘法
Y=b0+b1x+ε，其中y 为应变量，x为自变量， b0为模 型的截距，b1为x变量的系数， ε为随机误差项。
如果现在有一系列的y与x的值，我们可以用很多方法 来找到一个线性的方程，例如任意连接两个特定的点， 但这种方法显然不能给出一条最好的拟合直线。另一 种方法是找出一条直线，使得直线与已有的点之间的 距离的和最小，但由于这条直线与点之间的距离有时 为正有时为负，求和时会相互抵消，所以用这种方法 找到的直线也并不一定最好。于是我们想到要找到一 条这样的直线，使得直线与点之间的距离的平方和最 小：
xi
n i1
n i1
9
例1：
某地区人均收入与某耐用消费品销售额的资料如 下表所示：请求出其一元回归模型。
年份 1991
人均收 入x/元
680
耐用消
费品销 售额y/
164
万元
1992 760
180
1993 900
200
1994 940
228
最小二乘法一元线性回归
最小二乘法产生的历史
• 最小二乘法最早称为回归分析法。由著 名的英国生物学家、统计学家道尔顿 （F.Gallton）——达尔文的表弟所创。 • 早年，道尔顿致力于化学和遗传学领域 的研究。 • 他研究父亲们的身高与儿子们的身高之 间的关系时，建立了回归分析法。
14
最小二乘法的地位与作用
• 现在回归分析法已远非道尔顿的本意 • 已经成为探索变量之间关系最重要的方 法，用以找出变量之间关系的具体表现 形式。 • 后来，回归分析法从其方法的数学原 理——误差平方和最小（平方乃二乘也） 出发，改称为最小二乘法。
12
解决问题的思路——可能性
• 寻找变量之间直线关系的方法多多。于是，再接下 来则是从众多方法中，寻找一种优良的方法，运用 方法去求出线性模型——y=a+bx+u中的截距a=？； 直线的斜率b=？正是是本章介绍的最小二乘法。 • 根据该方法所得，即表现变量之间线性关系的直线 有些什么特性？ • 所得直线可靠吗？怎样衡量所得直线的可靠性？ • 最后才是如何运用所得规律——变量的线性关系？
• Y=f(X1,X2,…,Xk; ū)
2
• 三、随机误差和系统误差 • 1、随机误差：是由随机因素形成的误差。 所 谓随机因素，是指那些对被解释变量的作用不 显著，其作用方向不稳定（时正时负），在重 复试验中，正作用与负作用可以相互抵消的因 素。 • 2、系统误差：由系统因素形成的误差。所谓 系统因素，是指那些对被解释变量的作用较显 著，其作用方向稳定，重复试验也不可能相互 抵消的因素。
2 2 i 相同，即 ，并且随机干扰项彼此不相关，即对于 i≠j,
2 Y1 Y1 , Y2 Y2 , Y1 2 Y2 Var Y ... ... Yn , Y1 Yn , Y2
最小二乘法在回归分析中的应用
最小二乘法在回归分析中的应用在统计学中，回归分析是一种广泛应用的分析方法。
它的主要目的是探讨自变量与因变量之间的关系，并用数学模型来解释它们之间的关联。
在这个过程中，最小二乘法是一种非常重要的工具，它可以帮助我们找到最佳的拟合直线或者曲线，从而最大限度地减小预测误差。
最小二乘法的基本原理最小二乘法是一种常用的参数估计方法，在回归分析中，它被用来估计自变量与因变量之间的线性关系。
假设我们有一个包含n个观测值的数据集，其中自变量为X1, X2, ..., Xn，因变量为Y1, Y2, ..., Yn。
最小二乘法的目标是找到一个方程y=\beta_0+\beta_1X_i来拟合这些数据，使得预测值与观测值的离差平方和最小。
最小二乘法的实现过程是先确定回归系数（β0, β1），然后计算每个观测值与拟合直线的离差（也称为残差），然后计算这些残差的平方和。
由于残差可以是正数也可以是负数，所以用平方和而非绝对值和来求和，可以保证残差的平均值为0。
最终的目标是将这个平方和最小化，从而得到最佳的回归系数。
图1：最小二乘法的目标是找到一条拟合直线，使得残差平方和最小最小二乘法的优点最小二乘法在回归分析中有很多优点。
首先，它是一种可靠且简单的方法，可以处理大部分数据集和模型类型。
其次，最小二乘法所得到的结果是可解释的，它可以帮助我们理解自变量和因变量之间的关系，预测未来的趋势。
最后，最小二乘法还具有抗干扰性，即使数据中存在离群点（比如数据中的异常值），它也能够找到最佳的拟合直线。
最小二乘法的应用最小二乘法在回归分析中有广泛的应用。
例如，在金融学中，我们可以用最小二乘法来研究股票价格与宏观经济指标之间的关系。
在医学研究中，我们可以用最小二乘法来研究某个疾病的风险因素，例如高血压、肥胖等。
在教育研究中，我们可以用最小二乘法来研究学习成就与教育资源之间的关系。
最小二乘法的限制尽管最小二乘法在回归分析中有很多优点，但它也有一些局限性。
线性回归与最小二乘法
线性回归与最小二乘法线性回归是一种常用的统计分析方法，也是机器学习领域的基础之一。
在线性回归中，我们通过寻找最佳拟合直线来对数据进行建模和预测。
最小二乘法是线性回归的主要方法之一，用于确定最佳拟合直线的参数。
1. 线性回归的基本原理线性回归的目标是找到一条最佳拟合直线，使得预测值与实际值之间的误差最小。
我们假设线性回归模型的形式为：Y = β₀ + β₁X₁ +β₂X₂ + … + βₙXₙ + ε，其中Y是因变量，X₁、X₂等是自变量，β₀、β₁、β₂等是回归系数，ε是误差项。
2. 最小二乘法最小二乘法是一种求解线性回归参数的常用方法。
它的基本思想是使所有样本点到拟合直线的距离之和最小化。
具体来说，我们需要最小化残差平方和，即将每个样本点的预测值与实际值之间的差的平方求和。
3. 最小二乘法的求解步骤（1）建立线性回归模型：确定自变量和因变量，并假设它们之间存在线性关系。
（2）计算回归系数：使用最小二乘法求解回归系数的估计值。
（3）计算预测值：利用求得的回归系数，对新的自变量进行预测，得到相应的因变量的预测值。
4. 最小二乘法的优缺点（1）优点：最小二乘法易于理解和实现，计算速度快。
（2）缺点：最小二乘法对异常点敏感，容易受到离群值的影响。
同时，最小二乘法要求自变量与因变量之间存在线性关系。
5. 线性回归与其他方法的比较线性回归是一种简单而强大的方法，但并不适用于所有问题。
在处理非线性关系或复杂问题时，其他方法如多项式回归、岭回归、lasso回归等更适用。
6. 实际应用线性回归及最小二乘法广泛应用于各个领域。
在经济学中，线性回归用于预测GDP增长、消费者支出等经济指标。
在医学领域，线性回归被用于预测疾病风险、药物剂量等。
此外，线性回归还可以应用于电力负荷预测、房价预测等实际问题。
总结：线性回归和最小二乘法是统计学和机器学习中常用的方法。
线性回归通过拟合一条最佳直线，将自变量与因变量之间的线性关系建模。
最小二乘法及其在回归分析中的应用
最小二乘法及其在回归分析中的应用最小二乘法是统计学中常用的一种数学方法，它主要用于回归分析。
回归分析是研究因变量与自变量之间关系的一种统计学方法。
最小二乘法的基本思想是建立一个线性回归模型，使误差的平方和最小化，从而得到最佳的拟合曲线。
一、最小二乘法的基本原理最小二乘法的基本原理是建立一个线性回归模型：y=a+bx+e，其中a、b分别为截距和回归系数（斜率），x为自变量，y为因变量，e为误差项。
最小二乘法的目标是使误差的平方和最小化，即：min(Σyi- a - bx)²最小二乘法要求误差项e满足一些假设条件，包括误差项的平均值为0、方差相同、误差项之间互相独立、误差项服从正态分布等。
二、最小二乘法在回归分析中的应用最小二乘法在回归分析中具有广泛的应用，例如：天气预测、股票市场预测、数据建模等。
以股票市场预测为例，当我们需要预测某只股票未来的价格变化时，可以通过最小二乘法建立线性回归模型来分析它与其他一些因素的关系，例如市场指数、公司业绩等。
通过最小化误差平方和，可以得到最佳的拟合曲线，然后预测未来股票价格的变化趋势。
三、最小二乘法的局限性虽然最小二乘法在回归分析中具有广泛的应用，但其也存在一些局限性。
例如，最小二乘法只能用于线性回归分析，而对于非线性的回归关系，就需要使用非线性回归分析方法；此外，最小二乘法容易受到异常值的影响，因此在应用过程中需要注意异常值的处理。
四、总结最小二乘法是回归分析中常用的数学方法，它可以用于解决许多实际问题，例如天气预测、股票市场预测等。
然而，最小二乘法也存在一些局限性，需要在应用中注意异常值的处理以及回归关系的线性性等问题。
最小二乘法是一种简单有效的统计学方法，可以被广泛应用于各种领域中，但是其认识并不容易，需要理解数学知识以及一定的数据分析能力，才能将其应用于实际工作中，更好地为决策与分析服务。
回归分析基本方法最小二乘法课件
最小二乘法的数学模型
最小二乘法的数学模型通常表示为线性方程组，其中包含自变量和因变量之间的 关系。
该方程组可以通过矩阵形式表示，以便于计算和分析。
最小二乘法的求解过程
数据准 备
01
02
数据收集
数据清洗
03 特征选择
模型建立
确定模型形式
拟合模型
模型诊断
模型评估
准确性评估
、 。
解释性评估
鲁棒性评估 预测性能评估
VS
在金融数据分析中，最小二乘法可以 通过对历史金融数据进行线性回归分 析，找到金融市场的变化规律和趋势， 从而进行投资决策和风险管理。这种 方法在股票、债券、期货等领域有广 泛应用。
生物统计学
总结
最小二乘法的原理 最小二乘法的应用 最小二乘法的优缺点
展望
01
最小二乘法的改进方向
02
与其他方法的比较与结合
最小二乘法对数据的分布类型要求不 高，可以用于正态分布和非正态分布 的数据。
缺点
对异常值敏感
假设限制多
无法处理非线性关系
无法处理分类自变量
时间序列预测
金融数据分析
金融数据分析是指利用统计学和数据 分析方法对金融数据进行处理和分析 的过程。最小二乘法可以用于拟合金 融数据，建立金融模型，从而进行风 险控制、投资决策等。
• 回归分析简介
• 最小二乘法的实现步骤 • 最小二乘法的优缺点 • 最小二乘法的应用案例 • 总结与展望
回归分析的定义 01 02
回归分析的分类
线性因果关系研究 数据解释
最小二乘法的定 义
它常用于回归分析中，通过最小化预 测值与实际观测值之间的误差平方和， 来估计最佳参数。
最小二乘法在回归分析和趋势预测中的应用
最小二乘法在回归分析和趋势预测中的应用最小平方法，又称最小二乘法。
其方法的计算依据是利用算术平均数的数学性质，在我们介绍算术平均数的数学性质时，有两条性质分别是：一、各个变量值与平均数的离差之和等于零，用表达式表示即0)(=-∑x x ；二、各个变量值与平均数的离差平方之和为最小值，用表达式表示为最小值=-∑2)(x x 。
这两条数学性质已证明过，我们把它们应用到回归分析和趋势预测中来。
回归分析和时间序列趋势预测中，主要是为求得回归方程或趋势方程，但在求得方程的参数时，就要用到上面的两条数学性质。
最小平方法的数学依据是实际值(观察值)与理论值(趋势值)的离差平方和为最小。
据此来拟合回归方程或趋势方程。
1、利用最小平方法拟合直线回归方程拟合直线回归方程的主要问题就在于估计待定参数a 和b 之值，而用最小平方法求出的回归直线是原有资料的“最佳”拟合直线。
假设直线回归方程为：bx a y c +=，其中a 是直线的截距，b 是直线的斜率，称回归系数。
a 和b 都是待定参数。
将给定的自变量x 之值代入上述方程中，可求出估计的因变量y 之值。
这个估计值不是一个确定的数值，而是y 许多可能取值的平均数，所以用c y 表示。
当x 取某一个值时，y 有多个可能值。
因此，将给定的x 值代入方程后得出的c y 值，只能看作是一种平均数或期望值。
配合直线方程的具体方法如下：∑=-=最小值2)(c y y Q (1) 用直线方程bx a y c +=代入式(1)得：最小值=--=∑2)(bx a y Q (2) 分别求Q 关于a 和Q 关于b 的偏导，并令它们等于0： 整理后得出由下列两个方程式所组成的标准方程组：⎩⎨⎧+=+=∑∑∑∑∑2x b x a xy x b na y (3)根据已知的或样本的相应资料x 、y 值代入式(3)，可求出a 和b 两个参数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=∑∑∑∑∑∑∑n x b n y a x x n y x xy n b 22)( (4)只要把a 和b 两个参数代入c y ，就可得到直线回归方程bx a y c +=。
分位数回归ppt课件
ˆ ˆ ˆ ) Q in[ ( 1 )( y ( ) m t 0 ( )Z 1 ( )
t : y X t ( )
ˆ
T
t : y X t ( )
ˆ ˆ ) ( y ] t 0 1 ( ) ( )Z ˆ
三、分位数回归的假设检验
分位数回归估计的检验包括两部分：
–一是与均值回归类似的检验，例如拟合优 度检验、拟似然比检验和Wald检验等； –一是分位数回归估计特殊要求的检验，例 如斜率相等检验和斜率对称性检验等。
1、拟合优度检验
ˆ ˆ( 假设分位数回归直线为 y ) X ( )
将解释变量矩阵和参数向量都分为两部分，即 ˆ ˆ , ˆ ) ˆ Z X( 1 ,Z ) 和 ( ) ( 0 ( ) 1 ( ) ，且有 y ( ) 0 ( ) 1 ( ) 定义：
分位数回归原理
假设随机变量的分布函数为：
F () y = P r o b ( Y y )
Y的
分位数的定义为：
Q ( ) = i n f { y : F ( y ) } , 0 < < 1
回归分析的基本思想就是使样本值与拟合值 之间的距离最短，对于Y的一组随机样本 ， 样本均值回归是使误差平方和最小，即
普通最小二乘估计分位数回归估计基本思想设法使所构建的方程和样本之间的距离最短同普通最小二乘估计方法目的借助数学模型对客观世界所存在的事物间的不确定关系进行数量化描写同普通最小二乘估计方法原理以平均数为基准求解最短距离以不同的分位数为基准求解最短距离算法最小二乘法加权最小一乘法前提假设独立正态同方差独立假设要求强假设弱假设检验类型参数检验非参数检验承载信息描述平均的总体信息充分体现整个分布的各部分信息极端值无法考虑极端值的影响可以充分考虑极端值的影响异方差影响大影响小拟合曲线只能拟合一条曲线可以拟合一簇曲线计算方法求偏导解行列式算法完备自助方法估计标准误差多种算法求解目标函数损失函数定义在统计学中损失函数是一种衡量损失和错误程度的函数
金融计量学课件PPT第2章最小二乘法和线性回归
为了提高预测精度，可以对模型 进行优化和调整，例如添加或删 除自变量、使用交叉验证等技术
。
04
CATALOGUE
最小二乘法和线性回归在金融中的应用
股票价格预测
总结词
通过最小二乘法和线性回归，可以对股票价格进行预测，帮助投资者做出更明 智的投资决策。
详细描述
利用历史股票数据，通过最小二乘法和线性回归分析股票价格的时间序列数据 ，建立预测模型。根据模型预测结果，投资者可以判断未来股票价格的走势， 从而制定相应的投资策略。
金融计量学课件ppt 第2章最小二乘法和 线性回归
目录
• 引言 • 最小二乘法 • 线性回归 • 最小二乘法和线性回归ALOGUE
引言
课程背景
金融市场日益复杂
01
随着金融市场的日益复杂，投资者和决策者需要更精确的定量
分析工具来评估投资机会和风险。
金融数据的特点
缺点
对异常值敏感，容易受到离群点的影 响；假设数据符合线性关系，对于非 线性关系的数据表现不佳；无法处理 分类变量和交互项。
03
CATALOGUE
线性回归
线性回归的定义
线性回归是一种通过最小化预测误差 平方和来建立变量之间线性关系的统 计方法。
线性回归模型通常表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + ε，其中Y是因 变量，X1、X2等是自变量，β0、β1 等是回归系数，ε是误差项。
02
金融数据具有时序性和波动性，通过计量经济学方法可以对这
些数据进行有效的分析和预测。
最小二乘法和线性回归在金融领域的应用
03
最小二乘法和线性回归是金融计量学中常用的基础分析方法，
估计值的回归方程最小二乘法
估计值的回归方程最小二乘法
最小二乘法是一种常用的回归分析方法，可以用来估计一组数据的回归方程，使得这些数据点的误差平方和最小。
具体步骤如下：
1. 收集数据：首先需要收集一组数据，包括自变量和因变量的测量值。
2. 绘制散点图：将自变量和因变量的测量值绘制成散点图，以便观察数据的分布情况。
3. 计算回归系数：使用最小二乘法计算回归系数，使得所有数据点的误差平方和最小。
回归系数表示自变量每增加一个单位，因变量的变化量。
4. 计算截距：截距表示当自变量为0时，因变量的取值。
同样使用最小二乘法计算截距。
5. 写出回归方程：将计算出的回归系数和截距代入回归方程，即可得到估计值的回归方程。
最小二乘法的优点是可以处理多个自变量和非线性关系，但是它假设误差服从正态分布，且对异常值比较敏感。
在实际应用中，需要根据数据的特点选择合适的回归分析方法。
高中数学(新人教A版)选择性必修二：一元线性回归模型、一元线性回归模型参数的最小二乘估计【精品课件】
0.177 9
0.094 9
-1.071 1
^
e=
^
y-y
残差图如图所示.
由图可知,残差比较均匀地分布在横轴的两边,说明选用的模型比较合适.
(4)计算得R2≈0.985 5.说明拟合效果较好.
反思感悟(1)解答本类题目应先通过散点图、样本相关系数来分析两个变
量是否线性相关,再利用求经验回归方程的公式求解经验回归方程,并利用
归公式,其图形称为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘
^ ^
法,求得的b, a叫做 b,a 的最小二乘估计.
n
^
∑ (x i -x)(y i -y)
b = i=1n
2
∑ (x i -x)
其中
,
i=1
^
^
a = y-bx.
回归直线过样本点的中心(x, y)
2.残差与残差分析
对于响应变量Y,通过观测得到的数据称为观测值,通过经验回归方程得到
2
∑ 2 -
=1
^
^
, = −Biblioteka )解 (1)散点图如图:
(2)由(1)中散点图可知 y 与 x 线性相关.
4
因为 ∑ xiyi=6×2+8×3+10×5+12×6=158,
=1
6+8+10+12
2+3+5+6
x=
=9,y =
=4,
4
4
4
∑ 2 =62+82+102+122=344,
2.67
由z=ln ae0+xln b及最小二乘法,得
ln b≈0.047 7,ln ae0≈2.378,
第二章--最小二乘法和线性回归PPT课件
-
22
▪ （二）最小二乘估计量的性质
▪ 如果满足假设(1)－(4)，由最小二乘法得到的估
计量ˆ 、ˆ 具有一些特性，它们是最优线性无
偏估计量（Best Linear Unbiased Estimators， 简记BLUE）。
-
23
▪ 估计量（estimator）：意味着ˆ 、ˆ 是包含着
图2－4 TSS、ESS、RSS的关系
-
37
▪
拟合优度
R2
＝
ESS TSS
▪ 因为 TSS=ESS+RSS
（2.37） （2.38）
▪ 所以 R2＝ESSTSSRSS1RS（S2.39） TSS TSS TSS
R20,1
▪ R2越大，说明回归线拟合程度越好；R2越小，说 明回归线拟合程度越差。由上可知，通过考察R2 的大小，我们就能粗略地看出回归线的优劣。
结果变量
原因变量
（effect variable）； （causal variable）
-
10
▪ α、β为参数（parameters）,或称回归系数 （regression coefficients）；
▪ ｕt通常被称为随机误差项（stochastic error term）,或随机扰动项（random disturbance term）,简称误差项，
其中t（=1,2,3,…..,T）表示观测数。 式（2.3）即为一个简单的双变量回归模型（因其仅 具有两个变量x, y）的基本形式。
-
9
▪ 其中yt被称作因变量 ▪ xt被称作自变量
（dependent variable）、（independent variable）、
回归直线方程—最小二乘法ppt课件
上面三种方法都有一定的道理，但总让人感到 可靠性不强.
回归直线与散点图中各点的位置用数学的方法 来描写应具有怎样的关系？
方法汇总
法一
1.选取两点作 直线 ps：使直线两 侧 的点的个 数根本一样。
法二
法三
1.画一条直线 2.丈量出各点 与它的间隔 3.挪动直线， 到达某一位置 使间隔的和最 小，丈量出此 时直线的斜率 与截距，得到 回归方程。
图
直 线
年 龄 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61
脂 肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
思索：将表中的年龄作为x代入回归方程，看看 得出的数值与真实数值之间的关系，从中他领会 到了什么？ y0.577x0.48
b
1
n
(xi x)2 1
a y b x
Q=(y1-bx1-a) 2+(y2-bx2-a) 2+…+(yn-bxn-a) 2 当a，b取什么值时，Q的值最小，即总体偏向最小
求线性回归方程的步骤：
(1)求平均数
；
(2)计算 xi与 yi 的乘积,再求
；
(3)计算
；
(4)将上述有关结果代入公式，写出回归 直线方程.
2.由一组 10 个数据(xi，yi)算得 x5, y10,
n
n
xiyi 58,4 xi229,2则 b= 2 ,a= 0 ,
i1
i1
回归方程为 y=2x .
下面讨论如何表达这些点与一条直线y=bx+a 之间的间隔。
最小二乘法的公式的探求过程如下：
偏最小二乘回归方法ppt详解.
max
1 ,c1
E01, F0c1
s.t
c11TT
1
c1
1 1
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多因变量偏最小二乘算法推导
采用拉格朗日算法，记
s 1T E0T F0c1 1 1T1 1 2 c1T c1 1
对 s 分别求关于1，c1 ，1和2 的偏导
数，并令之为零，有
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多因变量偏最小二乘算法推导
多因变量偏最小二乘算法推导
如此计算下去，如果的 X 秩是 ，则m 会有
E0 t1 p1T tm pmT
F0 t1r1T tmrmT Fm
由于 t1, ,tm 均可以表示成 E01, , E0 p 的线性组合。
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多因变量偏最小二乘算法推导
因此，（8）式还可以还原成 yk* F0k 关于 x*j E0 j 的回归方程形式 ，即
如果根据交叉有效性，确定共 抽取h个主成分 t1, ,th 可以得到一 个满意的预测模型。
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偏最小二乘回归的简化算法
则求 F0 在 t1, ,th 上的普通最小二 乘回归方程为
其中
F0 t1r1T t2r2T Fm
ri
F0T ti ti 2
,i
1,2,h
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（优选）偏最小二乘回归方法
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简言之
偏最小二乘回归是一种集多元 线性回归分析、典型相关分析和主 成分分析的基本功能为一体的新型 多元统计分析方法。
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此方法的优点：
（1）能在自变量存在严重多重 相关性的条件下进行回归建模；
（2）允许在样本点个数少于自 变量个数的条件下进行回归建模；
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• α：截距参数（intercept parameter）
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例1 大豆产出和施肥量
假使大豆的产出由以下模型所决定：
yie=ldfertilizer
• 农业研究者对（其他因素不变时）化肥用量 如何影响大豆产出量感兴趣。
• 随机误差项ε包括了：
土壤质量、降雨量等因素 • 影响的效果由β给出 • 系数β度量了在其他条件不变的情况下，施
假设检验的基本思想 • 基于小概率原理的反证法
二、假设检验的步骤
1、提出假设，包括原假设和备择假设 2、构造相应的检验统计量，确定其分布形式；
根据样本数据计算统计量的值； 3、确定显著性水平和临界值 ； 4、作出结论。（根据所计算的统计量的值与
临界值比较确定是否拒绝原假设）
原假设 The Null Hypothesis
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Y=X
• 模型表述了Y和X之间的线性关系。
• 简单线性回归模型（Simple linear regression model）
• 又称做两变量或双变量线性回归模型
two variable regression model)
(The
• β：y和x关系式中的斜率参数（slope parameter）
接受域与拒绝域
抽样分布
拒绝域
/2
1 -
非拒绝域
置信度
拒绝域
/2
临界值
H0 临界值 样本统计量
（1）H0：μ=68000
H1；μ≠68000
（2）检验统计量服从Z分布
检验统计量:
Z0
=
x x
=72006080=040.8 500/ 036
（3）α=0.02，查正态分布表得：Z=2.04， 接受域为（－2.04，2.04）
回归分析
• 研究步骤： • 首先，要确定所研究的问题（因变量），
并根据经济理论，找出与该问题相关的、 有影响力的经济因素（自变量），并建 立因变量与自变量的关系式（经济模 型）。
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• 其次，按照科学的方法收集相应变 量的实际数据。
• 最后，对所研究的问题作出结论。
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预测变量 (predictor variable)
回归元 (regressor)
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一元回归模型的定义
Y=X
• 变量ε：随机误差项或随机扰动项
• 表示：除X之外其他影响Y的因素
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随机误差项ε的产生
一、理论的不确定性 • （现象的内在随机性） 二、模型的简化 • 核心变量与非核心变量 • 忽略影响较小的因素 三、数据测量、收集的误差 四、模型函数形式设定错误
拒绝H 0
0
t
必须显著低于才会拒绝
左侧检验
0
t
小的数值与H0不矛盾.，因此不会拒绝 H0
右侧检验
（1）H0：μ≤368
H1；μ>368
（2）检验统计量服从t分布
检验统计量:
x
t0 = sx
=37.25368=1.5 15/ 25
（3）α=0.05，查t分布表得：t=2.064， 接受域为（－ ∞ ，2.064）
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第一节 理论模型的建立
• 简单回归模型
•
是指两个变量的线性模型，其中
一个是因变量，一个是自变量。也称为“二
元线性方程”。
• 用数学公式表示就是：
Y=X
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• 建立x解释y的模型时，面临三个问题：
（1）既然两个变量之间没有一个确切的关系， 应该如何考虑其他影响Y的因素？
（2）Y和X的函数关系是怎样的？
1. 陈述需要检验的假设
例如: H0: = 45 2. 原假设用 H0 表示
3. 总是包含等号“=” （比如=, , ) 4. 检验以“假定原假设为真”开始
如何设定假设检验？
平均每天上网玩游戏时间不是5小时。
H0: = 5 H1: 5
例题 1
• 据报导，美国全职教授年薪的数学期望 值为68000美元，标准差为5000美元。一 个由36名大学全职教授组成的样本表明， 平均薪水为72000美元，检验报导的可信 性。（显著性水平为0.02）
1-α 错误
拒绝
错误
正确
拒绝 H0
第一类 检验能
错误 力1 -
第三章 回归分析的基本方法： 最小二乘法
本章重点
• 经济学理论模型 • 最小二乘法 • 实例应用
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本章分析思路
• 建立经济学的理论模型 • 运用最小二乘法进行参数估计 • 实例运用
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被解释变量 (explained variable)
响应变量 (response variable)
被预测变量 (predicted variable)
回归子 (regressand)
自变量 (independent variable)
解释变量 (explanatory variable)
控制变量 (control variable)
结论：接受原假定。
假设检验中的两类错误 检验决策错误
第一类错误 弃真错误, 后果往往较为严重
出现第一类错误的概率为 ,等于显著性水
平 第二类错误
存伪错误, 出现第二类错误的概率为
检验决策结果
实际情况
实际情况
H0为真 不拒绝 正确
H0为假 决策
错误
不拒绝 H0
H0 为真 H0为假
置信水平 第二类
（3）怎样知道是否准确测定出了y和x之间的 关系（因果性效应）？
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• 计量经济学分析的应用： o y和x：某一个总体的两个变量 o 感兴趣：用x来解释y，或者说是研究y如何
随x而变化 • 如： • （Y）大豆的产出与（X）化肥的用量； • （Y）工资收入与（X）受教育的年数； • （Y）社区的犯罪率与（X）警察的数量。
结论：拒绝假定。
例题2
质检员认为在整个工作流 程中平均装盒量符合标准： 没有超过368克。随机抽 取25盒为样本，均值X = 372.5克，标准差s =15 克。 试在 =0.05的条件下进行 检验。
给出你的结论。
368 克.
接受域与拒绝域
H0:0 H1: < 0
拒绝H 0
H0:0 H1: > 0
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• 在自己建立经济模型的过程中，如何取舍 解释变量，一定要问个为什么。计量经济 学家首先就是要摆事实、讲道理，这是作 为计量经济学家必备的素质。
• 1、消费与收入之间的关系；
• 2、产品的销量与产品价格的关系；
• 3、GDP与投资、经济运行的关系。
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一元回归的术语
Y
X
因变量 (dependent variable)