随机信号分析习题

随机信号分析习题一1. 设函数⎩⎨⎧≤>-=-0 ,0 ,1)(x x e x F x ，试证明)(x F 是某个随机变量ξ的分布函数。

并求下列概率：)1(<ξP ，)21(≤≤ξP 。

2. 设),(Y X 的联合密度函数为(), 0, 0(,)0 , otherx y XY e x y f x y -+⎧≥≥=⎨⎩， 求{}10,10<<<<Y X P 。

3. 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=)52(21ex p 1),(22y xy x y x f XY π 求：（1）边沿密度)(x f X ，)(y f Y（2）条件概率密度|(|)Y X f y x ，|(|)X Y f x y4. 设离散型随机变量X 的可能取值为{}2,1,0,1-，取每个值的概率都为4/1，又设随机变量3()Y g X X X ==-。

（1）求Y 的可能取值（2）确定Y 的分布。

（3）求][Y E 。

5. 设两个离散随机变量X ，Y 的联合概率密度为：)()(31)1()3(31)1()2(31),(A y A x y x y x y x f XY --+--+--=δδδδδδ试求：（1）X 与Y 不相关时的所有A 值。

（2）X 与Y 统计独立时所有A 值。

6. 二维随机变量（X ，Y ）满足：ϕϕsin cos ==Y Xϕ为在[0，2π]上均匀分布的随机变量，讨论X ，Y 的独立性与相关性。

7. 已知随机变量X 的概率密度为)(x f ，求2bX Y =的概率密度)(y f 。

8. 两个随机变量1X ，2X ，已知其联合概率密度为12(,)f x x ,求12X X +的概率密度？ 9. 设X 是零均值，单位方差的高斯随机变量，()y g x =如图，求()y g x =的概率密度()Y f y\10. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数222W X Y Z X⎧=+⎨=⎩ 设X ，Y 是相互独立的高斯变量。

求随机变量W 和Z 的联合概率密度函数。

11. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数2()W X YZ X Y =+⎧⎨=+⎩ 已知(,)XY f x y ，求联合概率密度函数(,)WZ f z ω。

12. 设随机变量X 为均匀分布，其概率密度1,()0X a x b f x b a ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩，其它（1）求X 的特征函数,()X ϕω。

（2）由()X ϕω，求[]E X 。

13. 用特征函数方法求两个数学期望为0，方差为1，互相独立的高斯随机变量1X 和2X 之和的概率密度。

14. 证明若n X 依均方收敛，即 l.i.m n n X X →∞=，则n X 必依概率收敛于X 。

15. 设{}n X 和{}n Y (1,2,)n =为两个二阶矩实随机变量序列，X 和Y 为两个二阶矩实随机变量。

若l.i.m n n X X →∞=，l.i.m n n Y Y →∞=，求证lim {}{}m n m n E X X E XY →∞→∞=。

随机信号分析习题二1. 设正弦波随机过程为0()cos X t A w t =其中0w 为常数；A 为均匀分布在[0,1]内的随机变量，即1,01()0,othersA a f a ≤≤⎧=⎨⎩ (1) 试求00030,,,44t w w w πππ=时，()X t 的一维概率密度；(2) 试求02t w π=时，()X t 的一维概率密度。

2. 若随机过程()X t 为(),X t At t =-∞<<+∞式中，A 为在区间[0,1]上均匀分布的随机变量，求[()]E X t 及12(,)X R t t 。

3. 设随机振幅信号为0()sin X t V w t =其中0w 为常数；V 是标准正态随机变量。

求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。

4. 设随机相位信号0()cos()X t a w t φ=+式中a 、0w 皆为常数，φ为均匀分布在[0,2]π上的随机变量。

求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。

5. 设()sin(),X t A wt t θ=+-∞<<+∞，()sin(),Y t B wt t θφ=++-∞<<+∞，其中A ，B ，w ，φ为实常数，~[0,2]U θπ，试求(,)XY R s t 。

6. 数学期望为()5sin X m t t =、相关函数为2210.5()12(,)3t t X R t t e--=的随机信号()X t 输入微分电路，该电路输出随机信号()()Y t X t =。

求()Y t 的均值和相关函数。

7. 设随机信号3()cos 2tX t Ve t =，其中V 是均值为5、方差为1的随机变量。

现设新的随机信号0()()tY t X d λλ=⎰。

试求()Y t 的均值、相关函数、协方差函数和方差。

8. 利用重复抛掷硬币的实验定义一个随机过程cos ,()2,t X t t π⎧=⎨⎩出现正面出现反面 设“出现正面”和“出现反面”的概率都为1/2。

(1) 求()X t 的一维分布函数(,1/2)X F x 和(,1)X F x ； (2) 求()X t 的二维分布函数12(,;1/2,1)X F x x 。

9. 给定一个随机过程()X t 和任一实数x ，定义另一个随机过程1,()()0,()X t xY t X t x≤⎧=⎨>⎩ 证明()Y t 的均值函数和自相关函数分别为()X t 的一维和二维分布函数。

10. 定义随机过程1,()1,n X t n ⎧=⎨-⎩第次投掷均匀硬币出现正面第次投掷均匀硬币出现反面 0,1,2,,(1)n n S t nS =±±-<<，S 为正常数，设[0,]U S ξ，且ξ与()X t 相互独立，令()()Y t X t ξ=-，试求(,)X R s t 与(,)Y R s t 。

11. 考虑一维随机游动过程n Y ，0,1,2,n =，其中00Y =，1nn ii Y X==∑，i X 为一取值1-和1+的随机变量，已知(1)i P X q =-=，(1)i P X p =+=，0,1p q ≤≤，1p q +=，且i X ，1,2,i =相互独立，试求：1) ()n P Y m =;2)n EY 和n DY 。

12. 考虑随机过程()X t ，其样本函数是周期性锯齿波。

两个典型的样本函数如图所示。

每 个样本函数都具有相同的形状，将0t =时刻以后出现的第一个零值时刻记为0T ，假设0T 是一个均匀分布的随机变量01,0()0,othersT T t Tp t ≤≤⎧=⎨⎩求()X t 的一维概率密度()X p x13. 将上题中的锯齿波过程作一点改动，使每个脉冲的幅度A 为服从麦克斯韦(Maxwell)分 布的随机变量222,0()20,0A a a p a b a ⎧⎛⎫-≥ ⎪=⎝⎭<⎩其中0T 的定义和上题相同。

假设不同脉冲的幅度A 之间统计独立，并均与0T 统计独立，求()Y t 的一维概率密度()Y p y 。

14. 考虑一个正弦振荡器，由于器件的热噪声和分布参数的影响，振荡器的输出正弦波可视 为一个随机过程()sin()X t A t =Ω+Θ其中振幅A 、角频率Ω和相位Θ是相互独立的随机变量，并且已知：202,0()0,others A aa A A p a ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩1,250350()1000,others w p w Ω⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩1,02()20,othersp θπθπΘ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩ 求()X t 的一维概率密度。

随机信号分析习题三1. 设有零均值的平稳过程{}()0X t t ≥，，其相关函数为()X R τ，令()()tY t X s ds =⎰ 0t ≥求{}()0Y t t ≥，的方差函数和协方差函数。

2. 设{}()X t t -∞<<+∞，是平稳过程，且()1EX t =，2()1X R eττ-=+，求随机变量1()S X t dt =⎰的数学期望和方差。

3. 设随机过程()()()Z t VX t Y t = t -∞<<+∞其中平稳过程()X t 和()Y t 及随机变量V 三者相互独立，且0X Y m m ==，()X t 的相关函数为2()2cos X R eττπτ-=，()Y t 的相关函数为3()9Y R e ττ-=+，又2EV =，9DV =。

求()Z t 的数学期望，方差和相关函数。

4. 设平稳过程{}()X t t -∞<<+∞，，其相关函数为()X R τ，且()(0)X X R T R =，0T >是常数。

证明：(1) (()())1P X t T X t +== (2) ()()X X R T R ττ+=5. 设()cos X t A wt =，t -∞<<+∞，其中w 是常数，A 是随机变量，具有概率密度函数1 01()0 others A x f x ≤≤⎧=⎨⎩讨论{}()X t t -∞<<+∞，的严平稳性。

6. 设A 是任意的随机变量，Θ是与A 相互独立的，且在[0,2]π上服从均匀分布的随机变量，令()sin()X t A wt =+Θ，t -∞<<+∞，0w >是常数，证明{}()X t t -∞<<+∞，是严平稳过程。

7. 设{}()X t t -∞<<+∞，是一个零均值的平稳过程，而且不恒等于一个随机变量，令()()(0)Y t X t X =+，t -∞<<+∞。

判断{}()Y t t -∞<<+∞，是否为平稳过程。

8. 设()cos sin Z t Y t X t =+，t -∞<<+∞，其中X 和Y 是相互独立的随机变量，且2(1)(1)3P X P Y =-==-=，1(2)(2)3P X P Y ====。

(1) 求{}()Z t t -∞<<+∞，的均值函数和相关函数；(2) 证明{}()Z t t -∞<<+∞，是宽平稳过程，但不是严平稳过程。

9.(上节习题课的例题12)考虑随机过程()X t ，其样本函数是周期性锯齿波。

两个典型的样本函数如图所示。

每个样本函数都具有相同的形状，将0t =时刻以后出现的第一个零值时刻记为0T ，假设0T 是一个均匀分布的随机变量01,0()0,othersT T t Tp t ≤≤⎧=⎨⎩ 判断()X t 平稳性。