随机信号分析习题

随机信号分析习题一

1. 设函数⎩⎨⎧≤>-=-0 ,

0 ,1)(x x e x F x ，试证明)(x F 是某个随机变量ξ的分布函数。并求下列

概率：)1(<ξP ，)21(≤≤ξP 。 2. 设),(Y X 的联合密度函数为

(), 0, 0

(,)0 , other

x y XY e x y f x y -+⎧≥≥=⎨

⎩， 求{}10,10<<<

3. 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++-=

)52(21ex p 1

),(22y xy x y x f XY π 求：（1）边沿密度)(x f X ，)(y f Y

（2）条件概率密度|(|)Y X f y x ，|(|)X Y f x y

4. 设离散型随机变量X 的可能取值为{}2,1,0,1-，取每个值的概率都为4/1，又设随机变量3

()Y g X X X ==-。 （1）求Y 的可能取值

（2）确定Y 的分布。 （3）求][Y E 。

5. 设两个离散随机变量X ，Y 的联合概率密度为：

)()(3

1

)1()3(31)1()2(31),(A y A x y x y x y x f XY --+--+--=δδδδδδ

试求：（1）X 与Y 不相关时的所有A 值。 （2）X 与Y 统计独立时所有A 值。 6. 二维随机变量（X ，Y ）满足：

ϕ

ϕ

sin cos ==Y X

ϕ为在[0，2π]上均匀分布的随机变量，讨论X ，Y 的独立性与相关性。

7. 已知随机变量X 的概率密度为)(x f ，求2

bX Y =的概率密度)(y f 。

8. 两个随机变量1X ，2X ，已知其联合概率密度为12(,)f x x ,求12X X +的概率密度？ 9. 设X 是零均值，单位方差的高斯随机变量，()y g x =如图，求()y g x =的概率密度

()Y f y

\

10. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数

22

2

W X Y Z X

⎧=+⎨=⎩ 设X ，Y 是相互独立的高斯变量。求随机变量W 和Z 的联合概率密度函数。 11. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数

2()

W X Y

Z X Y =+⎧⎨

=+⎩ 已知(,)XY f x y ，求联合概率密度函数(,)WZ f z ω。

12. 设随机变量X 为均匀分布，其概率密度1

,()0X a x b f x b a ⎧≤≤⎪

=-⎨⎪⎩，

其它

（1）求X 的特征函数,()X ϕω。 （2）由()X ϕω，求[]E X 。

13. 用特征函数方法求两个数学期望为0，方差为1，互相独立的高斯随机变量1X 和2X 之和的概率密度。

14. 证明若n X 依均方收敛，即 l.i.m n n X X →∞

=，则n X 必依概率收敛于X 。

15. 设{}n X 和{}n Y (1,2,

)n =为两个二阶矩实随机变量序列，X 和Y 为两个二阶矩实随

机变量。若l.i.m n n X X →∞

=，l.i.m n n Y Y →∞

=，求证lim {}{}m n m n E X X E XY →∞→∞

=。

随机信号分析习题二

1. 设正弦波随机过程为

0()cos X t A w t =

其中0w 为常数；A 为均匀分布在[0,1]内的随机变量，即

1,01

()0,others

A a f a ≤≤⎧=⎨

⎩ (1) 试求000

30,

,

,44t w w w π

ππ=时，()X t 的一维概率密度；

(2) 试求0

2t w π

=

时，()X t 的一维概率密度。

2. 若随机过程()X t 为

(),X t At t =-∞<<+∞

式中，A 为在区间[0,1]上均匀分布的随机变量，求[()]E X t 及12(,)X R t t 。 3. 设随机振幅信号为

0()sin X t V w t =

其中0w 为常数；V 是标准正态随机变量。求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。

4. 设随机相位信号

0()cos()X t a w t φ=+

式中a 、0w 皆为常数，φ为均匀分布在[0,2]π上的随机变量。求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。

5. 设()sin(),X t A wt t θ=+-∞<<+∞，()sin(),Y t B wt t θφ=++-∞<<+∞，其中

A ，

B ，w ，φ为实常数，~[0,2]U θπ，试求(,)XY R s t 。

6. 数学期望为()5sin X m t t =、相关函数为2

210.5()12(,)3t t X R t t e

--=的随机信号()X t 输入

微分电路，该电路输出随机信号()()Y t X t =。求()Y t 的均值和相关函数。

7. 设随机信号3()cos 2t

X t Ve t =，其中V 是均值为5、方差为1的随机变量。现设新的

随机信号0

()()t

Y t X d λλ=

⎰

。试求()Y t 的均值、相关函数、协方差函数和方差。

8. 利用重复抛掷硬币的实验定义一个随机过程

cos ,()2,

t X t t π⎧=⎨

⎩出现正面

出现反面 设“出现正面”和“出现反面”的概率都为1/2。 (1) 求()X t 的一维分布函数(,1/2)X F x 和(,1)X F x ； (2) 求()X t 的二维分布函数12(,;1/2,1)X F x x 。

9. 给定一个随机过程()X t 和任一实数x ，定义另一个随机过程

1,()()0,()X t x

Y t X t x

≤⎧=⎨

>⎩ 证明()Y t 的均值函数和自相关函数分别为()X t 的一维和二维分布函数。 10. 定义随机过程

1,()1,n X t n ⎧=⎨

-⎩

第次投掷均匀硬币出现正面

第次投掷均匀硬币出现反面 0,1,2,

,(1)n n S t nS =±±-<<，S 为正常数，设[0,]U S ξ

，且ξ与()X t 相互独立，

令()()Y t X t ξ=-，试求(,)X R s t 与(,)Y R s t 。 11. 考虑一维随机游动过程n Y ，0,1,2,

n =，其中00Y =，1

n

n i

i Y X

==

∑，i X 为一取值1-

和1+的随机变量，已知(1)i P X q =-=，(1)i P X p =+=，0,1p q ≤≤，1p q +=，且i X ，

1,2,

i =相互独立，试求：

1) ()n P Y m =;

2)

n EY 和n DY 。

12. 考虑随机过程()X t ，其样本函数是周期性锯齿波。两个典型的样本函数如图所示。每 个样本函数都具有相同的形状，将0t =时刻以后出现的第一个零值时刻记为0T ，假设0T 是一个均匀分布的随机变量

01,0()0,others

T T t T

p t ≤≤⎧=⎨

⎩