2021-2022年高考数学一轮总复习第七章不等式及推理与证明题组训练43基本不等式理

2021年高考数学一轮总复习第七章不等式及推理与证明题组训练43基本

不等式理

1．(xx·沈阳四校联考)下列各点中，与点(1，2)位于直线x ＋y －1＝0的同一侧的是( )

A ．(0，0)

B ．(－1，1)

C ．(－1，3)

D ．(2，－3)

答案 C

解析 点(1，2)使x ＋y －1>0，点(－1，3)使x ＋y －1>0，所以此两点位于x ＋y －1＝0的同一侧．故选C.

2．不等式(x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)≤0表示的平面区域为( )

答案 B

解析 方法一：可转化为①⎩⎨⎧x ＋2y ＋1≥0，x －y ＋4≤0或②⎩

⎨⎧x ＋2y ＋1≤0，

x －y ＋4≥0.

由于(－2，0)满足②，所以排除A ，C ，D 选项．

方法二：原不等式可转化为③⎩⎨⎧x ＋2y ＋1≥0，－x ＋y －4≥0或④⎩⎨⎧x ＋2y ＋1≤0，

－x ＋y －4≤0.

两条直线相交产生四个区域，分别为上下左右区域，③表示上面的区域，④表示下面的区域，故选B.

3．(xx·天津，理)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y≥0，x ＋2y －2≥0，

x ≤0，y ≤3，则目标函数z ＝x ＋y 的最大

值为( )

A.2

3 B

．1 C.32 D ．3

答案 D

解析 作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z ，作出直线y ＝－x ，平移使之经过可行域，观察可知，最大值在B(0，3)处取得，故z max ＝0＋3＝3，选项D 符合．

4．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧2x －y ＋1>0，x ＋m<0，y －m>0，表示的平面区域内存在点P(x 0，y 0)，满足x 0－2y 0

＝2，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，4

3)

B ．(－∞，1

3)

C ．(－∞，－2

3)

D ．(－∞，－5

3

)

答案 C

解析 作出可行域如图．

图中阴影部分表示可行域，要求可行域包含y ＝1

2x －1的上的点，只需要可行域的边界点(－

m ，m)在y ＝12x －1下方，也就是m<－12m －1，即m<－2

3

.

5．(xx·北京，理)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪

⎧2x －y≤0，x ＋y≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )

A ．0

B ．3

C ．4

D ．5

答案 C

解析 不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧2x －y≤0，x ＋y≤3，x ≥0

表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，

由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y ＝3，解得⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝1，

y ＝2，故当目标函数z ＝2x ＋y 经过点A(1，2)时，z 取得最大值，z max ＝2×1＋2＝4.故选C.

6．(xx·西安四校联考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的

最小值为( ) A ．－7 B ．－4 C ．1 D ．2

答案 A

解析 画出由x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，

如图所示，得它们的交点分别为A(2，0)，B(5，3)，C(1，3)．

可知z ＝y －2x 过点B(5，3)时，z 最小值为3－2×5＝－7.

7．(xx·贵阳监测)已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪

⎧x －2y ＋1≥0，x<2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1的取值范围是

( ) A ．[5

3，5]

B ．[0，5]

C ．[5

3，5)

D ．[－5

3

，5)

答案 D

解析 画出不等式组所表示的区域，如图中阴影部分所示，作直线l ：2x －2y －1＝0，平移l 可知2×13－2×23－1≤z<2×2－2×(－1)－1，即z 的取值范围是[－5

3

，5)．

8．(xx·南昌调研)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧y≥x，x ＋3y≤4，x ≥－2，则z ＝|x －3y|的最大值为( )

A ．10

B ．8

C ．6

D ．4

答案 B

解析 不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧y≥x，x ＋3y≤4，x ≥－2，

所表示的平面区域如图中阴影部分所示．

当平移直线x －3y ＝0过点A 时，m ＝x －3y 取最大值； 当平移直线x －3y ＝0过点C 时，m ＝x －3y 取最小值．

由题意可得A(－2，－2)，C(－2，2)，所以m max ＝－2－3×(－2)＝4，m min ＝－2－3×2＝－8，所以－8≤m≤4，所以|m|≤8，即z max ＝8.

9．(xx·安徽，理)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不

唯一，则实数a 的值为( ) A.1

2或－1 B ．2或1

2

C ．2或1

D ．2或－1

答案 D

解析 作出约束条件满足的可行域，根据z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，通过数形结合分析求解．

如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a>0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a<0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.

10．(xx·福建)变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧x ＋y≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y≤0，若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数

m 等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2

答案 C