第3章 平稳随机过程的谱分析
2.2.4 平稳随机过程的相关性分析
2 lim RX (τ ) = RX (∞) = mX
证明 : 当 τ → ∞ 时 , X (t )与 X (t + τ )不相关 , 则有 :
τ →∞
lim R X (τ ) = R X ( ∞ ) = lim E [ X ( t ) X ( t + τ )]
τ →∞
2 = lim { E [ X ( t )] ⋅ E [ X (t + τ )]} = m X
17
∞
样本函数x(t)的平均功率： 样本函数x(t)的平均功率： x(t)的平均功率
1 T 2 w = lim ∫−T xT (t) dt T →∞ 2 T 1 1 ∞ 2 = lim ⋅ ∫−∞ XT (ω) dω T →∞ 2 T 2π 1 ∞ 1 2 = lim ∫−∞[T→∞ 2T XT (ω) ]dω 2π
∫
∞
−∞
xT ( t ) e
− jω t
dt =
∫
T
−T
x (t )e
− jω t
dt
1 xT (t ) = 2π
1 T 2 w = lim ∫−T xT (t) dt T →∞ 2 T
∫
∞
−∞
X T (ω )e jωt dω
2
1 ∞ 2 ∫−∞[x(t)] dt = 2π ∫−∞ X (ω) dω
样本函数x(t)的功率谱密度， 样本函数x(t)的功率谱密度， x(t)的功率谱密度 简称样本的功率谱密度。 简称样本的功率谱密度。
x(t), w和 T (ω)取 于 验 结 , 都 有 定 随 性 X 决 试 的 果 带 一 的 机 .
例 : 已知平稳过程 X (t )的自相关函数为 : (1) R X (τ ) = 3e
通信专业中的一些重要公式
第一章 绪论 1.传码率B R即波型（码元）传输速率，每秒钟传输的码元速率。
常表示为B R ，单位为“波特（Baud ）”。
)(1Baud T R B =（1.1-1）式中：T 是每个码元占有的时间长度，单位是s 。
2.传信率b R ：即信息传输速率，指每秒钟传输的信息量。
常表示为b R ，单位是“比特/秒（bit/s 或bps ）”。
对于二进制码元，传码率和传信率数值相等，但单位不同。
对于多进制码元，两者不同，但可以通过下列公式进行转换。
)/(log 2s bit N R R B b ⋅= （1.1-2）式中：N 是进制数。
3.误码率e P是指错误接收的码元数在传送总码元数中所占的比例，或者更确切地说，误码率是码元在传输系统中被传错的概率。
即e P = 错误接收码元数目/传输码元总数目 （1.1-3） 4.误信率b P又称误比特率，是指错误接收的信息量在传送信息总量中所占的比例，或者说，它是码元的信息量在传输系统中被丢失的概率。
即b P = 错误接收比特数/传输总比特数 (1.1-4）5.信息量单个符号的信息量[])(1log )(log )(i a i a i x P x P x I =-= （1.2-2）6.熵（平均信息量）∑∑-==Xa Xx P x P x I x P X H )(log )()()()( （1.2-10）式中X 为离散信源符号集合，)(X H 的单位取决于对数底a 的取值，通常情况下取2=a ，这时，)(X H 的单位为bit /符号。
若离散信源X 中只有M 个符号，则上式又可以表示成下式∑=-=Mi i a i x P x P X H 1)(log )()( （1.2-11）7.连续信道连续信道的信道容量，由著名的香农（Shannon ）公式确定，其内容为：假设信道的带宽为)(Hz B ，信道输出的信号功率为)(W S ，输出的加性带限高斯白噪声功率为)(W N ，则该信道的信道容量为())/(/1log 2s bit N S B C += （1.3-26）若噪声的单边功率谱密度为0n ，则有噪声功率为B n N 0=，可得香农公式的另一种形式[])/()/(1log 02s bit B n S B C += （1.3-27）其中0称为信道容量的“三要素”。
通信原理辅导及习题解析
通信原理辅导及习题解析（第六版）第3章随机过程本章知识结构及内容小结[本章知识结构][知识要点与考点]1． 随机过程的基本概念 （1）随机过程的定义随机过程可从样本函数与随机变量两种角度定义。
第一，随机过程是所有样本函数的集合；第二，随机过程可以看作实在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。
（2）随机过程的分布函数 ① n 维分布函数12121122(,,,;,,,){(),(),,()}n n n n n F x x x t t t P t x t x t x ξξξ=≤≤≤② n 维概率密度函数1212121212(,,,;,,,)(,,,;,,,),,,n n n n n n nF x x x t t t f x x x t t t x x x ∂=∂∂∂维数n 越大，对随机过程统计特征的描述就越充分。
（3）随机过程的数字特征 ① 均值（数学期望）1[()](,)()E t xf x t dx a t ξ∞-∞==⎰均值表示随机过程的样本函数曲线的摆动中心。
② 方差2222[()]{()[()]}[()]()()D t E t E t E t a t t ξξξξσ=-=-=方差表示随机过程在时刻t 相对于均值的偏离程度。
③自相关函数1212(,)[()()]R t t E t t ξξ=自相关函数目的是为了衡量在任意两个时刻上获得的随机变量之间的关联程度。
④协方差函数1211221212(,){[()()][()()]}(,)()()B t t E t a t t a t R t t a t a t ξξ=--=-协方差函数对随机过程在任意两个时刻上的随机变量与各自均值的差值之间的相关联程度进行描述。
⑤互相关函数,1212(,)[()()]R t t E t t ξηξη=互相关函数用来衡量两个随机过程之间的相关程度。
2． 平稳随机过程 （1）定义 ①严平稳随机过程若一个随机过程()t ξ的任意有限维分布函数与时间起点无关，则称为严平稳的，即：()()12121212,,,,,,,,,,n n n n n n f x x x t t t f x x x t t t =+∆+∆+∆②宽平稳随机过程若一个随机过程()t ξ的均值为常数，自相关函数仅于时间间隔21t t τ=-有关，则称为宽平稳，即：()()()12, ,E t a R t t R ξτ==⎡⎤⎣⎦（2）各态历经性若随机过程的任一实现，经历了随机过程的所有可能状态，则称其是各态历经的，即随机过程的数字特征，可以由其任一实现(样本函数)的数字特征来代表。
随机信号分析(第3版)第三章 习题答案
Z (t )的均值: E[ Z (t )] = E[ A ⋅ X (t ) ⋅ Y (t )] = E[ A] ⋅ E[ X (t )] ⋅ E[Y (t )] = 2 E[ X (t )] ⋅ E[Y (t )]
2 mX = RX (∞) = lim
2 cos ω0τ = 0 → mX = 0 τ →∞ eτ
⎡ 2 1.3 0.4 __ ⎤ ⎢ __ 2 1.2 0.8⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0.4 1.2 __ 1.1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0.9 __ __ 2 ⎦ 3.12 解：根据广义平稳随机信号过程的自相关函数矩阵的对称性，得到： ⎛ 2 1.3 0.4 0.9 ⎞ ⎜ 1.3 2 1.2 0.8 ⎟ ⎟ C= ⎜ ⎜ 0.4 1.2 2 1.1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0.9 0.8 1.1 2 ⎠ 3.13
= E[100 sin 2 (ω 0 t + θ ) ×100 sin 2 (ω 0 t + ω 0τ + θ ) ] = 2500 E[1 − cos(2ω 0τ ) − cos(4ω 0 t + 2ω 0τ + 4θ )] = 2500 E[1 − cos(2ω 0τ ) ] ∴ R Z (τ ) 仅与 τ 有关，且均值为常数，故 Y(t ) 是平稳过程。
3.6 给定随机过程 X ( t ) = A cos (ω 0t ) + B sin (ω 0t ) ，其中 ω 0 是常数， A 和 B 是 两个任意的不相关随机变量，它们均值为零，方差同为 σ 2 。证明 X ( t ) 是广义平 稳而不是严格平稳的。 3.6 证明：Q m X (t ) = E[X(t )] = E[ A cos(ω 0 t ) + B sin(ω 0 t) ] = 0
随机过程分析
随机过程分析摘要随着科学的发展，数学在我们日常的通信体系中有着越来越重的地位，因为在科学研究中，只有借助于数学才能精确地描述一个现象的不同量之间的关系,从最简单的加减乘除，到复杂的建模思想等等。
其中，随机过程作为数学的一个重要分支，更是在整个通信过程中发挥着不可小觑的作用。
如何全面的对随机信号进行系统和理论的分析是现在通信的关键，也是今后通信业能否取得巨大进步的关键。
关键字通信系统随机过程噪声通信中很多需要进行分析的信号都是随机信号。
随机变量、随机过程是随机分析的两个基本概念。
实际上很多通信中需要处理或者需要分析的信号都可以看成是一个随机变量，利用在系统中每次需要传送的信源数据流，就可以看成是一个随机变量。
例如，在一定时间内电话交换台收到的呼叫次数是一个随机变量。
也就是说把随某个参量而变化的随机变量统称为随机函数；把以时间t为参变量的随机函数称为随机过程。
随机过程包括随机信号和随进噪声。
如果信号的某个或某几个参数不能预知或不能完全预知，这种信号就称为随机信号；在通信系统中不能预测的噪声就称为随机噪声。
下面对随机过程进行分析。
一、随机过程的统计特性1、数学期望:表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心，即均值2、方差:表示随机过程在时刻t对于均值a(t)的偏离程度。
即均方值与均值平方之差。
3、自协方差函数和相关函数:衡量随机过程任意两个时刻上获得的随机变量的统计相关特性时，常用协方差函数和相关函数来表示。
（1）自协方差函数定义式中t1与t2是任意的两个时刻；a(t1)与a(t2)为在t1及t2得到的数学期望；用途：用协方差来判断同一随机过程的两个变量是否相关。
（2）自相关函数用途：a 用来判断广义平稳；b 用来求解随机过程的功率谱密度及平均功率。
二、平稳随机过程1、定义（广义与狭义）：则称X(t)是平稳随机过程。
该平稳称为严格平稳，狭义平稳或严平稳。
广义平稳概念：若一个随机过程的数学期望及方差与时间无关，而其相关函数仅与τ有关，则称这个随机过程为广义平稳随机过程。
数据通信原理 第03章 随机过程(3.4)
h( )h( ) Ri ( )dd R0 ( )
上式表明,输出过程的自相关函数仅是时间间隔 的函数。 由上两式可知，若线性系统的输入是平稳的，则 输出也是平稳的。
28
3、输出过程o(t)的功率谱密度 对下式进行傅里叶变换：
若 H f t yt 则系统 H 是非时变系统,否则是时变系统。
六、线性时不变系统的微分特性
线性时不变系统满足微分特性、积分特性
et
de t dt
系统
系统
r t
dr t dt
et dt
t
r t dt
t
系统
E[ 0 (t )] a h( )d a H (0)
式中，H(0)是线性系统在 f = 0处的频率响应，因
26
2、输出过程o(t)的自相关函数： 根据自相关函数的定义
R0 (t1 , t1 ) E[ 0 (t1 ) 0 (t1 )] E
f 1 t C1 C 1 f 1 t
f 2 t
f 1 t
C2
H
C 2 f 2 t
H f 1 t
C 1 H f 1 t
H
H C 1 f 1 t C 2 f 2 t
C1
f 2 t
H
H f 2 t
C2
C 2 H f 2 t
C 1 H f 1 t C 2 H f 2 t
若 H C1 f1 t C2 f 2 t C1 H f1 t C2 H f 2 t
随机过程5.4 平稳过程的谱分析简介
1) S(ω)为实值非负函数，即
S() S() 0.
2)又若{X(t), t∈R}是实过程, 则S(ω)是偶 函数. 证 1) S() lim 1 E[ F(,T ) 2 ] S() 0;
T 2T
2) 实平稳过程的相关函数是偶函数, 由(5) 式可得
S() R()e jd R()e jd
2T T
2 2T
成立.
上式两边求均值再取极限, 左端为
lim
T
E
1 2T
T
X
2
(t
)dt
T
(4)
电子科技大学
称为平稳过程X(t) 的平均功率.
若(4)中的积分与求均值可交换顺序, 则
1
lim T 2T
T
E{
T
X (t )
2 }dt
E[
X (t )
注
RX
(
)
1
2
e
jt
dFX
(
),
R
称为平稳过程相关函数的谱展式.
定义5.4.1 称FX(ω)为过程{X(t),t∈T}的谱函
数，若存在SX (ω)，使
FX () SX (1 )d1, R
电子科技大学
称SX(ω)为过程的谱密度. 利用特征函数和分布函数之间的关系,可
S() R()e jd, (5)
R()
1 2ຫໍສະໝຸດ S ()ejd,(6)
平稳过程的相关函数与功率谱密度构成一
对Fourier变换.
注 (6) 式称为相关函数的谱分解式.
推论1 {X(t), t∈R}是平稳过程, 则其谱密 度S(ω) 满足
随机信号分析_第三章_平稳随机过程的谱分析
A RX (t , t ) e j d
说明如果A<RX(t,t+τ)>绝对可积，那自 相关函数的时间平均与功率谱密度是傅 里叶变换对。
对于平稳随机过程，由于： A<RX(t,t+τ)>＝ A<RX(τ)>＝ RX(τ) 所以: j S X ( ) RX ( )e d
S X ( ) R X ( )e
0
j
d
0
Ae e
j
d Ae
e
j
d
1 1 A[ ] j j 2 A 2 2
例3.4 P203 设随机相位信号X(t)＝Acos(ω0t+θ)， 其中A, ω0为常数； θ为随机相位，在（0， 2π）均匀分布。可以计算初其自相关函 数RX(τ)=[A2cos (ω0τ)]/2, 求X(t)的功率谱 密度。 解：引入δ函数。 1 1 j ()e d 2 2
3.2.1 功率谱密度的性质
1. 功率谱密度的非负性。即： SX(ω)>=0 2. 功率谱密度是ω的实函数。即： SX(ω)= SX(ω)
3. 对于实随机过程来讲，功率谱密度是ω 的偶函数。即： SX(ω)＝ SX(－ω) 4. 功率谱密度可积。即：
S X ( )d
3.2.2 谱分解定理
满足上述条件的x(t)的傅利叶变换为：
Fx ( ) x(t )e
jt
dt
称为x(t)的频谱。为一复数，有 Fx(ω)= Fx(-ω)
Fx(ω)的傅利叶反变换为：
1 x(t ) 2
第八讲 随机过程谱分析
缺陷:不含任 何相位信息
2016/12/2 12
随机过程的平均功率
频域计算
任一样本函数的平均功率：
时域计算 任一样本函数的平均功率：
1 Qx 2
S x ( )d
1 Qx lim T 2T
T
T
(t ) 1 函数傅立叶变换 1 2 ( )
2016/12/2
20
（维纳-辛钦定理应用于一般（非平稳）随机过程）
对于一般的随机过程X(t)，有：
1 S X ( ) {lim T 2T
TLeabharlann TRX (t , t t )dt}e jt dt
S X ( )d
要求均值为零 这个定理要求不能应用于含有 直流分量或周期分量的随机信 号（功率谱密度是离散的）， 实际中含有直流分量和周期分 量的随机过程很多。
2016/12/2
平均功率有限
RX (t ) RX (0)
2 sX
m2 X
0
t
相关函数的典型曲线
18
维纳——辛钦定理的推广（含直流和周期分量的平稳过程）
2016/12/2
7
二
随机过程的功率谱密度
样本函数是平均功率有限信号 不存在傅立叶变换（频谱） 但存在功率谱。
随机过程的特点：
如何定义随机过程的功率谱？
1）定义每个样本函数的功率谱 2）对样本空间中所有样本函数的功率谱求统计平均
2016/12/2
8
x(t )
xT (t )
T
第三章 随机信号分析
随机信号是一类变化规律不确定的、随时间变化的 信号。知道当前的值，不能精确地预计未来某个时刻 的值。 一般来说，由人工产生的信号大都是确知信号，如 周期正弦波、雷达的发射信号等 自然界产生的许多信号都是随机信号，如海浪、地 物杂波、图象信号、语音信号、地震信号和医学上的 生理信号等。 在实际中遇到的信号，大部分都是随机信号。即使 由人工产生的信号是确知的，但信号经信道传输以后 也会受到噪声污染而变成了随机信号。
p1 x 1 , t 1 p1 x 1 , p 2 x 1 , x 2 , t 1 , t 1
p 2 x 1 , x 2 ,
24
2、严平稳随机过程的数字特征
（1） 数学期望（均值函数）:与时间无关
E X t
x p1 x , t d x
第三章 随机信号
1
学习目标
随机过程的基本概念; 随机过程的数字特征（均值函数、方差函数、相关函 数）; 随机过程的平稳性、各态历经性、自相关函数的性质、 维纳－辛钦定理; 高斯随机过程的定义、性质，其一维概率密度函数和正 态分布函数，高斯白噪声; 平稳随机过程通过线性系统，其输出过程的均值函数、 自相关函数和功率谱密度、带限白噪声; 窄带随机过程的表达式，其包络、相位的统计特性，其 同相分量、正交分量的统计特性； 余弦波加窄带高斯过程的合成包络的统计特性(选学） 匹配滤波器 2 循环平稳随机过程
13
如果对于X(t)任意时刻和任意n都给定了分布函数
或概率密度，即n越大，对随机过程统计特性的描述
就越充分，但问题的复杂性也随之增加。
14
2、随机过程的数字特征
第3章平稳随机过程总
（ii）严平稳随机过程的二维概率密度只与 t1, t2的时 间间隔有关，而与时间起点无关
(3.1.6) (3.1.7)
CX (t1,t2 ) CX ( ) RX ( ) mX2
CX (0)
RX (0) mX2
2 X
(3.1.8) (3.1.9)
（4）严平稳的判断
• 按照严平稳的定义，判断一个随机过程是否为严平稳， 需要知道其n维概率密度，可是求n维概率密度是比较 困难的。不过，如果有一个反例（例3.2），就可以判 断某随机过程不是严平稳的，具体方法有两个：
遍历性过程
一般随机过程要对大量样本函数在特定时刻 取值，用统计方法得到数字特征。这种方法 成为统计平均或集合平均，也简称为集平均 。 辛钦证明：在具备一定的补充条件下，对平 稳随机过程的一个样本函数取时间均值，就 从概率意义上趋近于此过程的统计均值。
任何一个样本函数的特性都能充分地代表整 个随机过程的特性。
在通信中，常常把稳定状态下的随机过 程，当作平稳随机过程来处理，这样，对 这个随机过程任何时候来测量，都会得到 同样的结果，从而大大简化了数学模型。 对一些非平稳的随机过程，在较短的时间 内，常常把它作为平稳随机过程来处理。
第3章 平稳随机过程
1 平稳随机过程的定义
严格 平稳 随机 过程
如果随机过程的任意n维分布不随时间起点变 化，即当时间平移时，其任意的n维概率密度 不变，则称是严格平稳的随机过程或称为狭 义平稳随机过程。
RZ (t1,t2 ) E[Z (t1)Z (t2 )] E{[ X cos t1 Y sin t1][ X cos t2 Y sin t2 ]} E[ X 2 ]cos t1 cos t2 E[Y 2 ]sin t1 sin t2
平稳随机过程的谱分析1
解：
S ( z)
' X
m
RX (m) z
m 0
E[ X 2 (t )]
1 j S X ( s)ds j 2j
利用留数定理，考虑沿着左半平面上的一个半径为无穷大的半圆积分
3.2平稳随机过程的功率谱密度性质
左半平面有两个极点，在－1和－3处，于是，可以 分别计算两个极点的留数为
K 1 K 3
故
( s 2)(s 2) 3 |s 1 ( s 3)(s 1)(s 3) 16 ( s 2)(s 2) 5 |s 3 ( s 1)(s 1)(s 3) 48
j
5 6 2 5
2 6
习
3.1
题
设平稳随机过程X(t)的功率密度为
25 2 16 S X ( ) 4 34 2 225
求用复频率s=j表示的SX(s)，并在复频率面上画出SX(s) 的零、极点图。
3.2平稳随机过程的功率谱密度性质
2
a 2 1 j0 j0 j ( e e ) e d 2 2 a 2 j ( 0 ) j ( 0 ) [ e e ]d 4 a 2 [ ( 0 ) ( 0 )] 2
3.3平稳随机过程的功率谱密 度与自相关函数之间的关系
1 ' m 1 S ( z ) z dz D X 2j
式中D为收敛区中的简单闭合围线。
3.4 离散时间随机过程的功率谱密度
（二）平稳过程的采样定理
若零均值的限带平稳过程X(t)的功率谱密度为
S X ( ), S X ( ) 0, | | c | | c
刘次华版 平稳随机过程的谱分析
指导教师：卢玉贞
主讲人：柳 毅 团队成员：郑蓉蓉 潘智慧 李朝阳 李 阳 LOGO
7.3 窄带过程及白噪声过程的功率谱密度
窄带随机过程：谱密度限制在很窄的一段频率范围内。
求该过程的均方值及相关函数。 解 均方值为
S0 -2 1 例1: 已知窄带平稳过程的谱密度为 s X ( ) S0 1 2 0 其它
1 s XY ( )ei d 2 1 a ib i e d 2 0 1 [(a0 b) sin( 0 ) b0 cos(0 )]. 2
0 0
解： RXY ( )
0
7.5 平稳过程通过线性系统的分析
1 E[ X 2(t )] RX (0) 2
相关函数为
s X ( )d
2
1
1
2
1
s0 d
1
s0 (2 1 )
R X ( )
1
0
s X ( ) cos( )d 2 s0
1
s0 cos( )d 2 ) sin(
yt L e
H e
jt
jt
其中
H L e jt
t 0
对线性时不变系统输入一谐波信号时，其输出也是同频率的谐波， 只不过振幅和相位有所改变。其中H表示了这个变化，称它为系统的频 率响应函数一般地，它是复值函数。
7.5 平稳过程通过线性系统的分析
s XY ( )
2
s X ( ) sY ( ) .
(4) 若 X t 和 Y t 相互正交，则
平稳随机过程的谱分析
a
a2 ( 0 )2 a2 ( 0 )2
设平稳过程 X(t)的谱密度是 SX ，
若 Y(t)＝X(t)+ X(t－T), 其中 T 为已知
求 Y(t) 的谱密度 SY
联合平稳过程的互谱密度
[定义] 设 X (t) 和 Y (t) 是两个平稳过程，且它们是联合
平稳（平稳相关）的，若它们的互相关函数 RXY() 满
n1
由欧拉公式 f (t) Fne jn1t
n
其中 F (0) a0
Fn
1 2
(an
jbn ),n
0
引入了负频率
1 Fn 2 (an jbn ),n 0
12
指数形式的傅里叶级数的系数
Fn
1 T
T
2 T
f ( )e jn1 dt
2
f (t) 1
T
n
T
2 T
2
f
(
)e
一种测量声音的相对响度的单位 巴斯卡＝牛顿/平方米 ( N/m2) 人类最小感知 20个微巴斯卡，用巴斯卡(Pa)来表达声音或噪音， 须处理小至20，大至2,000,000,000的数字
白噪声，就是说功率谱为一常数；也就是说，其协方差函 数在delay=0时不为0，在delay不等于0时值为零； 换句 话说，样本点互不相关。
2
f
(
)e
jn1
d
e
jn1t
n
f (t) 1
2
∞ -∞
f(τ)e-jωτdτe
jt
d
傅立叶变换将平方可积且满足狄利赫利条件的函数f（t）表 示成复指数函数的积分或级数形式。
F () ∞ f(τ)e-jωτdτ -∞
第三章电子讲义：随机信号分析
第三章随机信号分析知识结构-随机过程的基本概念和统计特征-平稳随机过程与各态历经性-平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度-高斯过程及其应用-随机过程通过线形系统教学目的-了解随机信号的概念和基本分析方法；-掌握随机过程数字特征、平稳随机过程的相关函数与功率谱密度的关系及其计算-掌握平稳随机过程通过线性系统的性质和相应计算。
教学重点-随机过程的基本概念和数字特征-自相关函数与功率谱密度的关系（即维纳-辛钦定理）-平稳随机过程通过线形系统教学难点-各态历经性的理解-随机过程的自相关函数的性质-维纳-辛钦定理教学方法及课时-多媒体授课（4学时）（2个单元）备注（在上课之前最好让学生复习一下“概率论”）单元四（2学时）§3.1 引言（随机信号的范畴和基本分析方法）本节知识要点：研究随机信号的意义和基本方法随机过程是信号和噪声通过通信系统的过程，因此，分析与研究通信系统，总离不开对信号和噪声的分析。
通信系统中遇到的信号，通常总带有某种随机性，即它们的某个或几个参数不能预知或不可能完全预知（如能预知，通信就失去意义）。
我们把这种具有随机性的信号称为随机信号。
通信系统中还必然遇到噪声，例如自然界中的各种电磁波噪声和设备本身产生的热噪声、散粒噪声等，它们更不能预知。
凡是不能预知的噪声就统称为随机噪声，或简称为噪声。
从统计数学的观点看，随机信号和噪声统称为随机过程。
因而，统计数学中有关随机过程的理论可以运用到随机信号和噪声分析中来。
其基本分析方法主要是通过分析其基本的数字特征，如均值、方差、相关函数等来实现的。
§3.2 随机过程的基本概念本节知识要点：随机过程概念及其基本数字特征1、随机过程的一般概念通信过程中的随机信号和噪声均可归纳为依赖于时间参数t的随机过程。
这种过程的基本特征是，它是时间t的函数，但在任一时刻观察到的值却是不确定的，是一个随机变量。
或者，它可看成是一个由全部可能实现构成的总体，每个实现都是一个确定的时间函数，而随机性就体现在出现那一个实现是不确定的。
5 平稳随机过程历经性及谱密度
1 2 E[ FX (, T ) ] d Tlim 2T
功率谱密度
功率谱密度
[定义] 设 { X (t), < t < } 是均方连续的随机过程，称
2
1 lim E T 2T
T
T
X 2 (t ) d t
为 X (t) 的平均功率。称
2 , 0 (2) RX (n, n ) E[ X n X n ] 0, 0
故 随机序列的均值为常数，相关函数仅与有关， 因此它是平稳随机序列。
例2
• 设有状态连续、时间离散的随机过程 X (t) = sin(2t)，
其中 为（0, 1）上均匀分布的随机变量，t 只取整数 值 1, 2, ，试讨论随机过程X (t)的平稳性。 [解] E[ X (t )] E[sin(2t )]
lim RX ( ) mX mX .
4.2 平稳过程的各态历经性
对于随机过程 X (t, e) ，
对于每一个固定的 t T ，X (t, e) 是一个随机变量，
E[X (t)] = mX (t) 为统计平均。
对于每一个固定的 e ，X (t, e) 是普通的时间函数，
在 T 上对 t 取平均，即得时间平均。
因此 X (t)是平稳随机过程。
平稳过程相关函数的性质
[定理] 设 {X (t), t T }是平稳过程，则其相关函数 RX() 具有下列性质：
(1) RX (0) 0 ; (2) RX ( ) RX ( ) ; (3) RX ( ) RX (0) ; 实平稳过程的相关函数是偶函数
0t<时的各态历经性（1）
[定理1] 对于平稳过程 { X (t), 0 t < } ，等式
【精品】第3章平稳随机过程的谱分析
第3章 平稳随机过程的谱分析付里叶变换是处理确定性信号的有效工具，它信号的频域内分析处理信号,常常使分析工作大为简化.3.1 对于随机信号，是否也可以应用频域分析方法？付里叶变换是否可引入随机信号中？3.2 随机过程的谱分析3.2.1 回顾：确定性信号的谱分析)(t f 是非周期实函数，)(t f 的付里叶变换存在的充要条件是：1．)(t f 在),(∞-∞上满足狄利赫利条件；2．)(t f 绝对可积：+∞<⎰+∞∞-dt t f )(3．若)(t f 代表信号,则)(t f 信号的总能量有限,即：+∞<⎰+∞∞-dt t f 2)()(t f 的付里叶变换为：⎰+∞∞--=dt e t f F t j ωω)()(付里叶逆变换为⎰+∞∞-=ωωπωd e F t f t j )(21)(重要等式:⎰⎰+∞∞-+∞∞-=ωωπd F dt t f 22)(21)(此等式称为帕塞瓦（Parseval)等式,其物理意义是：等式左边信号在时域上的总能量，等式右边的2)(ωF 可认为是单位频带内的能量，总能量通过积分⎰+∞∞-ωωd F 2)(得到，称2)(ωF 等于为能谱密度。
3.2.2 随机过程的功率谱密度一、样本函数的平均功率问题1：由于付里叶变换是针对确定性函数进行的,在处理随机过程)(t X 时,取)(t X 的一个样本函数)(t x （在曲线族中取某一曲线)来进行付里叶分析。
问题2：随机过程)(t X 的样本函数)(t x 一般不满足付里叶变换的条件，它的总能量是无限的，需考虑平均功率.若随机过程)(t X 的样本函数)(t x 满足+∞<=⎰-∞→TTT dt t x TW 2)(21limW 称为样本函数)(t x 的平均功率。
对于平稳过程，其样本函数的平均功率是有限的。
二、截取函数对于)(t X 的一个样本函数)(t x ，在)(t x 中截取长为T 2的一段，记为)(t x T，它满足:⎪⎩⎪⎨⎧≥<=Tt T t t x t x T 0)()(称)(t x T为)(t x 的截取函数.三、截取函数的付里叶变换0>T ,取定后,)(t x T的付里叶变换一定存在:⎰⎰--+∞∞--==TTt j tj T T dt e t x dt et x X ωωω)()()(其付里叶逆变换为:⎰+∞∞-=ωωπωd e X t x t j T T )(21)(其帕塞瓦（Parseval ）等式为+∞∞-==ωωπdXdttxdttxTTTT222)(21)()(⎰⎰⎰+∞∞--四、随机过程的平均功率说明:)(t x T与)(ωT X 具有随机性，因为)(t x 是)(t X 的一个样本，具有随机性，因此，)(t x T与)(ωT X 都是随机变量.由⎰⎰+∞∞--=ωωπd X dt t x T TT22)(21)(⇔⎰⎰+∞∞--=ωωπd X Tdt t x TT TT22)(41)(21⇔])(41[])(21[22⎰⎰+∞∞--=ωωπd X TE dt t x TE T TT⇔⎰⎰∞+∞--=ωωπd TX E dt t x E T T TT2])([21])([2122⇔⎰⎰∞+∞-∞→-∞→==ωωπd TX E dt t x E T W T T TT T 2])([lim 21])([21lim 22称⎰-∞→=T T T dt t x E T W ])([21lim 2为随机过程)(t X 的平均功率。
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第3章 平稳随机过程的谱分析付里叶变换是处理确定性信号的有效工具，它信号的频域内分析处理信号，常常使分析工作大为简化。
对于随机信号，是否也可以应用频域分析方法？付里叶变换是否可引入随机信号中？3.1 随机过程的谱分析3.1.1 回顾：确定性信号的谱分析)(t f 是非周期实函数， )(t f 的付里叶变换存在的充要条件是：1．)(t f 在),(∞-∞上满足狄利赫利条件；2．)(t f 绝对可积：+∞<⎰+∞∞-dt t f )(3．若)(t f 代表信号，则)(t f 信号的总能量有限，即：+∞<⎰+∞∞-dt t f 2)()(t f 的付里叶变换为：⎰+∞∞--=dt e t f F t j ωω)()(付里叶逆变换为⎰+∞∞-=ωωπωd e F t f t j )(21)(重要等式：⎰⎰+∞∞-+∞∞-=ωωπd F dt t f 22)(21)(此等式称为帕塞瓦（Parseval ）等式，其物理意义是：等式左边信号在时域上的总能量，等式右边的2)(ωF 可认为是单位频带内的能量，总能量通过积分⎰+∞∞-ωωd F 2)(得到，称2)(ωF 等于为能谱密度。
3.1.2 随机过程的功率谱密度一、样本函数的平均功率问题1：由于付里叶变换是针对确定性函数进行的，在处理随机过程)(t X 时，取)(t X 的一个样本函数)(t x （在曲线族中取某一曲线）来进行付里叶分析。
问题2：随机过程)(t X 的样本函数)(t x 一般不满足付里叶变换的条件，它的总能量是无限的，需考虑平均功率。
若随机过程)(t X 的样本函数)(t x 满足+∞<=⎰-∞→TTT dt t x TW 2)(21limW 称为样本函数)(t x 的平均功率。
对于平稳过程，其样本函数的平均功率是有限的。
二、截取函数对于)(t X 的一个样本函数)(t x ，在)(t x 中截取长为T 2的一段，记为)(t x T，它满足：⎪⎩⎪⎨⎧≥<=Tt T t t x t x T 0)()(称)(t x T为)(t x 的截取函数。
三、截取函数的付里叶变换 0>T ，取定后，)(t x T的付里叶变换一定存在：⎰⎰--+∞∞--==TTt j tj T T dt e t x dt et x X ωωω)()()(其付里叶逆变换为：⎰+∞∞-=ωωπωd e X t x t j T T )(21)(其帕塞瓦（Parseval ）等式为⎰⎰⎰+∞∞--+∞∞-==ωωπd X dt t x dt t x T TTT 222)(21)()(四、随机过程的平均功率说明：)(t x T与)(ωT X 具有随机性，因为)(t x 是)(t X 的一个样本，具有随机性，因此，)(t x T与)(ωT X 都是随机变量。
由⎰⎰+∞∞--=ωωπd X dt t x T TT22)(21)(⇔ ⎰⎰+∞∞--=ωωπd X Tdt t x TT TT22)(41)(21⇔])(41[])(21[22⎰⎰+∞∞--=ωωπd X TE dt t x TE T TT⇔⎰⎰∞+∞--=ωωπd TX E dt t x E T T TT2])([21])([2122⇔ ⎰⎰∞+∞-∞→-∞→==ωωπd TX E dt t x E T W T T TT T 2])([lim 21])([21lim 22称⎰-∞→=T T T dt t x E T W ])([21lim 2为随机过程)(t X 的平均功率。
记TX E S T T X2])([lim)(2ωω∞→=，称)(ωXS 为随机过程)(t X 的功率谱密度。
)(ωX S 描述了随机过程)(t X 的功率在各个频率分量上的分布。
3.1.3功率谱密度与复频率面拉谱拉斯变换回顾：在付里叶变换中，令ωj s =，便有变换为⎰+∞∞--=dt e t f s F t s )()(这便是有名的拉谱拉斯变换。
令ωσj s +=，用s 来代替ω，得)(s S X，s 是复频率。
应用复频率来表示平稳随机过程的功率谱密度，在某些实际应用中是很方便的。
取0=σ，)(s S X 便是由拉谱拉斯变换引伸出的频谱分析。
3.2 功率谱密度的性质 1．功率谱密度为非负函数，即：0)(≥ωX S2． 功率谱密度为ω的实函数。
3．功率谱密度为ω的偶函数：)()(ωω-=X X S S证明：4．功率谱函数可积∞<⎰∞∞-ωωd S X )(5．有理谱密度是实际应用中最觉常见的一类功率谱密度，自然界和工程实际应用中的有色噪声常常可用有理函数形式的功率谱密度来逼近。
这时，)(ωXS 可以表示为两个多项式之比，即2222222022222220)()(d d d c c c S S N N N M M M X ++++++++=----ωωωωωωω必须满足N M <。
3.3 功率谱密度与自相关函数之间的关系定理：平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度之间构成付里叶变换对，即：设)(ωXS 是功率谱密度，)(τX R 是自相关函数，则有 ⎰+∞∞--=ττωωτd e R S j X X )()(⎰+∞∞-=ωωπτωτd e S R j X X )(21)(证明：TX E S T T X 2])([lim)(2ωω∞→=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=*∞→T X X E T T T 2)()(lim ωω ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰---∞→TTTTt j t j T dt e t X dt et X TE 221121)()(21lim ωω⎰⎰----∞→=T T t t j TTT dt dt e t X t X E T 21)(2112)]()([21lim ω⎰⎰----∞→=TT t t j TTX T dt dt e t t R T21)(2112),(21lim ω令1t t =， 12t t -=τ，则1dt dt =，τd dt =2{}⎰⎰-----∞→+=tT tT j TTX T X d e dt t t R T S ττωωτ),(21lim)(⎰⎰∞∞---∞→⎭⎬⎫⎩⎨⎧=ττωτd e dt R T j TT XT )(21lim⎰∞∞--∞→⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅⋅=ττωτd e T R T j X T 2)(21lim⎰∞∞--=ττωτd e R j X )()(ωX S 与)(τX R 的相互关系反映了时域特性与频域特性之间的联系，是分析随机信号的一个最重要、最基本的公式：可以相互利用，使求解计算大大简化。
3.4 联合平稳随机过程的互谱密度1． 两个随机过程)(t X 、)(t Y 的截取函数设)(t x 、)(t y 分别为)(t X 与)(t Y 的样本函数，令：⎪⎩⎪⎨⎧≥<=Tt T t t x t x T 0)()(⎪⎩⎪⎨⎧≥<=Tt T t t y t y T 0)()()(t x T 、)(t y T 分别称为)(t x 与)(t y 的截取函数。
2． 截取函数的付里叶变换)(t x T 、)(t y T 的付里叶变换分别为⎰⎰--+∞∞--==TTt j tj T T dt e t x dt et x X ωωω)()()(⎰⎰--+∞∞--==TTt j tj T T dt e t y dt et yx Y ωωω)()()(付里叶逆变换分别为⎰+∞∞-=ωωπωd e X t x t j T T )(21)( ⎰+∞∞-=ωωπωd e Y t y t j T T )(21)(3． 样本函数互功率样本函数)(t x 与)(t y 的互功率定义为：⎰-∞→=TTT xy dt t y t x TW )()(21lim4． 帕塞瓦定理根据帕塞瓦定理，有⎰⎰∞∞-*∞∞-*=ωωωπd Y X dt t y t x T T T T)()(21)()(又，⎰⎰∞∞-*-=dt t y t x dt t y t x T T TT)()()()(所以，⎰⎰∞∞-*-=ωωωπd Y X dt t y t x T T TT)()(21)()(5． 两个随机过程的互功率由于)(t x 与)(t y 具有随机性，)(t x T 、)(t y T 也具有随机性，从而)(ωT X 、)(ωT Y 具有随机性。
为消除随机性，取：⎰⎰⎰-∞→-∞→-∞→===TT T TTT T T T XY dt t Y t X E Tdtt y t x E T dt t y t x T E W )]()([21lim )]()([21lim])()(21lim [称其为随机过程的互功率。
6． 互功率谱密度由帕塞瓦定理，有⎰⎰∞∞-*-=ωωωπd Y X dt t y t x T T TT )()(21)()(⎰⎰∞∞-*∞→-∞→==ωωωπd T Y X E dt t y t x T E W T T T TT T XY2)]()([lim 21])()(21[lim令：TY X E S T T T XY 2)]()([lim )(ωωω*∞→=称)(ωXY S 为互功率谱。
7． 平稳随机过程互相关与互功率谱的关系定理:互相关与互功率谱为一付里叶变换对，即：⎰+∞∞--=ττωωτd e R S j XY XY )()(⎰+∞∞-=ωωπτωτd e S R j XY XY )(21)(和⎰+∞∞--=ττωωτd e R S j YX YX )()(⎰+∞∞-=ωωπτωτd e S R j YX YX )(21)(8． 互功率谱密度的性质（1）)()()(ωωω*=-=YX YX XY S S S（2）若)(t X 与)(t Y 正交，则0)()(==ωωYX XY S S（3）若)(t X 与)(t Y 不相关，则)(2)()(ωδπωω⋅⋅⋅==Y X YX XY m m S S3.5 噪声与功率谱密度1． 理想白噪声若)(t N 是一个具有0均值的平稳过程，其功率谱密度均匀分布在),(+∞-∞的： 整个频率区间，即021)(N S N =ω0N 为一正实数，则称)(t N 为白噪声过程，简称白噪声。
2． 白噪声的时域分析由⎰+∞∞-=ωωπτωτd eS R j N N )(21)(及021)(N S N =ω，有)(21)(0τδτ⋅=N R N )(t N R 自相关系数为⎩⎨⎧===其他1)0()()(τττN N N R R r以上说明，白噪声在任两个相邻时刻（两个时刻不管多么邻近）的取值都是不相关的。
这说明白噪声过程随时间的起伏极快。
3． 白噪声在工程中的应用实际上，白噪声是不存在的。
在工程中，当所研究的随机过程通过某一系统时，若过程的功率谱密度在一个比系统带宽大得多的频率范围内近似均匀分布，就可以把它当作白噪声来处理。