最新上海电力学院数值计算方法上机实习题

2017数值计算方法上机实习报告

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数值计算方法上机实习题

1． 设⎰+=1

05dx x x I n

n ， （1） 由递推公式n

I I n n 151+

-=-，从0=0.1823I ,1824.00=I 出发，计算20I ； （2） 20=0I ，20=10000I , 用n I I n n 515111+-=--，计算0I ； （3） 分析结果的可靠性及产生此现象的原因(重点分析原因)。

解：（1）分别令I 0的近似值为0.1823、0.1824，MATLAB 程序如下：

I=0.1823; %题中的已知数据

for n=1:20;

I=(-5)*I+1/n; %由递推公式所得

end

fprintf('I20=%f\n',I)

M=0.1824; %与I 的计算结果形成对比

for i=1:20;

M=(-5)*M+1/i; %由递推公式所得

end

fprintf('M20=%f\n',M)

%% 输出结果

I20=-2055816073.851284

M20=7480927090.212283

（2）分别令I 20的近似值为0、10000，MATLAB 程序如下：

I=0; %赋予I20的初始值

for n=0:19;

I=(-1/5)*I+1/(5*(20-n)); %由递推公式所得

end fprintf('I0=%f\n',I)

M=10000;

for i=0:19;

M=(-1/5)*M+1/(5*(20-i));%由递推公式所得

end

fprintf('M0=%f\n',M)

%% 输出结果

I0=0.182322

M0=0.182322

（3）分析：

由输出结果可看出第一种算法为不稳定算法，第二种算法为稳定算法。

由于误差

*000I I e -=

02211*1*11*555)(5)15(15e e e I I n

I n I I I e n n n n n n n n n n ===-=+--+-=-=------

第一种算法为正向迭代算法，每计算一步误差增长5倍，虽然所给的初始值很接近，随着n 的增大，误差也越来越大。

*n

n n I I e -= n n n n n n n n n e I I n I n I e I I e 5

1)(51)5151(5151***111=-=+--+-==-=--- n n e e )5

1(0= 第二种算法为倒向迭代算法，每计算一步误差缩小5倍，虽然所给的初始值之间差很多，随着n 的增大，误差也越来越小。算法趋近稳定，收敛，可以选择这种算法。

2． 求方程0210=-+x e x 的近似根，要求41105-+⨯<-k k x x ，并比较计算量。 （1） 在[0，1]上用二分法；

（2） 取初值00=x ，并用迭代10

21

x k e x -=+； （3） 加速迭代的结果；

（4） 取初值00=x ，并用牛顿迭代法；

（5） 分析绝对误差。

解：

（1）利用二分法，MATLAB 程序如下：

%% 二分法程序

clear all

clc

a=0;b=1;

f=@(x)(exp(x)+10*x-2);

%@是定义函数句柄的运算符

c=(a+b)/2;%取区间中点

i=0;%分割次数

while abs(f(c))>5*10^(-4)

%判断f(x)的精度是否满足要求

if f(a)*f(c)<0

b=c;c=(a+b)/2;

elseif f(b)*f(c)<0

a=c;c=(b+a)/2;

end

i=i+1;

end

fprintf('二分法运算次数为%i\n',i)

fprintf('二分法计算结果为%f\n',c)

%% 输出结果 二分法运算次数为13

二分法计算结果为0.090515

（2）用题目中给出的迭代法，取初始值x(1)=0，并用迭代x(i)=(2-exp(x(i-1)))/10，MATLAB 程序如下：

%% 不动点迭代

clear all

clc

x0=0;

x=x0;

for k=1:10000 %规定迭代次数上限

y=(2-exp(x))/10; %迭代结果存到y中

if abs(x-y)<5*10^(-4)

fprintf('初始值为x0%i\n迭代次数为%i\n',x0,k);

break

end

x=y;

if k==10000;

fprintf('迭代次数超出上限%i\n',k);

end

end

fprintf('迭代法计算结果为%f\n',y);

%% 输出结果

初始值x0为0

迭代次数为4

迭代法计算结果为0.090513

（3）利用加速迭代法，MATLAB程序如下：

%% 加速迭代法

x=0;

f=@(x)(( 2-exp(x))./10);

y=f(x); y0=f(y);

y1=x-((y-x)^2)/(y0-2*y+x);

i=1;

while abs(y1-x)> 5*10^(-4)

x=y1;

y=f(x);

y0=f(y);

y1=x-((y-x)^2)/(y0-2*y+x);

i=i+1;

end

%% 输出结果

y1= 0.090525

i=2

（4）牛顿迭代法：

取初始值x=0，MA TLAB程序如下：

%% 清空环境变量