双曲线几何性质 (1)
双曲线的几何性质(一)
x 2 2 2 1,即x a a x a, x a
2、对称性
2
y
(-x,y)
-a
(x,y)
o a
x
(-x,-y)
(x,-y)
关于x轴、y轴和原点都是对称。 x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 又叫做双曲线的中心。
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
x2 y 2 25 设双曲线方程为 2 2 1(b 0, ), 点C (13, y ). B/ 12 b 132 y 2 25 2 ( y 55) 2 则点B(25, y 55), 2 1或 2 1. 2 2 12 b 12 b
B
5b 联立方程组解得, y (负值舍去) 12
3 思考:一个双曲线的渐近线的方程为: y x ,它的 4
离心率为
.
例3 双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线的一部分绕其虚轴旋转 所成的曲面,它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m, 高55m,选择适当的坐标系,求出双曲线方程. y 13 建立如图直角坐标系,使小圆直径AA'在x 轴 C/ 解: C '， 上,圆心与原点重合,这时上、下口的直径CC 12 BB'平行于x轴。 A/ O A x 且 | CC'| 13 2(m), | BB'| 25 2(m).
MF ( x c ) y ,
2 2
MF c ∴ , 依题意 d a
( x c )2 y 2 a2 x c
c ①, a
x y 令 c a b ,方程②化为 2 2 1 这就是所求的轨迹方程. a b
2 2 2
2021年高二苏教版数学选修2-1名师导学：第2章 第7课时 双曲线的几何性质(1)
第7课时双曲线的几何性质(1)教学过程一、问题情境问题1前面的课依据椭圆的标准方程争辩了椭圆的哪几种性质?解范围、对称性、顶点、离心率.问题2椭圆+=1(a>b>0)的具体几何性质是什么?问题3现在能依据双曲线的标准方程争辩双曲线的几何性质吗?二、数学建构类比椭圆+=1(a>b>0)的几何性质,探讨双曲线-=1(a>0,b>0)的几何性质:范围、对称性、顶点、离心率.(程序是:同学:自我思考→得出初步结论→小组争辩→得出满足结论→回答所得结论(与大家沟通);老师:启发诱导→点拨释疑→补充完善)(1)范围:观看双曲线的草图,可以直观看出曲线在坐标系中的范围.双曲线在两条直线x=±a的外侧.留意:从双曲线的方程如何验证?从标准方程-=1可知-1=,由此双曲线上点的坐标都适合不等式≥1,即x2≥a2,|x|≥a,即双曲线在两条直线x=±a的外侧.(2)对称性:双曲线-=1关于每个坐标轴和原点都是对称的,坐标轴是双曲线的对称轴,原点是双曲线-=1的对称中心,双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.(3)顶点:双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点.在双曲线-=1的方程中,对称轴是x轴、y轴,所以令y=0得x=±a,因此双曲线和x轴有两个交点A1(-a,0),A2(a,0),它们是双曲线-=1的顶点,线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长为2a,a叫做双曲线的实半轴长.令x=0,没有实根,因此双曲线和y轴没有交点.我们定义点(0,±b)为虚轴的端点B1,B2,它们的连线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长.实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.等轴双曲线的性质:①渐近线方程为y=±x;②渐近线相互垂直;③离心率e=.等轴双曲线可以设为x2-y2=λ(λ≠0),当λ>0时焦点在x轴上,当λ<0时焦点在y轴上.列表:方程性质+=1(a>b>0)-=1(a>0,b>0)范围-a≤x≤a,-b≤y≤b x≥a或x≤-a,y∈R对称性关于坐标轴、原点都是对称的(对称轴、对称中心)关于坐标轴、原点都是对称的(对称轴、对称中心)顶点四两个,A1(-a,0),A2(a,0)个,A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)离心率e=<1,反映椭圆圆扁程度e=>1留意:在作图时,我们经常把虚轴的两个端点画上(为确定渐近线),但要留意它们并非是双曲线的顶点.(图1)(4)渐近线的发觉与论证:依据双曲线的上述性质,能较为精确地把双曲线-=1画出来吗?(能)通过列表描点,能把双曲线的顶点及四周的点,比较精确地画出来,但双曲线向何处伸展就不很清楚.我们能较为精确地画出曲线y=,这是为什么?(由于当双曲线伸向远处时,它与x轴、y轴无限接近)此时,x轴、y轴叫做曲线y=的渐近线.(图2)对渐近线并不生疏,例如:直线x=kπ+(k∈Z)是正切函数y=tan x图象的渐近线.双曲线有没有渐近线呢?假如有,又该是怎样的直线呢?引导猜想:在争辩双曲线范围时,由双曲线的标准方程-=1可解出y=±=±x.当x无限增大时,就无限趋近于零,也就是说,这时双曲线y=±x与直线y=±x无限接近.[1]这使我们有理由猜想直线y=±x为双曲线的渐近线.直线y=±x恰好是过实轴端点A1,A2,虚轴端点B1,B2,作平行于坐标轴的直线x=±a,y=±b所成的矩形的两条对角线,那么,如何证明双曲线上的点沿曲线向远处运动时,与渐近线越来越接近呢?明显,依据双曲线的对称性,只要考虑双曲线在第一象限就可以了.同学探讨证明方法,老师可赐予适当提示,查找不同的证明方法,找同学板演其推理过程,对于基础好一点的。
高中数学教程双曲线的几何性质
高中数学教程双曲线的几何性质（1）目标：1．能用对比的方法分析双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质，并熟记之；2．掌握双曲线的渐近线的概念和证明； 3．明确双曲线方程中,,a b c 的几何意义；4．能根据双曲线的几何性质，确定双曲线的方程并解决简单问题。
重、难点：双曲线的范围、对称性、顶点和渐近线。
（一）复习：1．双曲线的定义和标准方程； 2．椭圆的性质；（二）新课讲解：以双曲线标准方程12222=-by a x 为例进行说明。
1．范围：观察双曲线的草图，可以直观看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线a x ±= 的外侧。
注意：从双曲线的方程如何验证？从标准方程12222=-b y a x 可知22221b y a x ≥-，由此双曲线上点的坐标都适合不等式122≥ax即22a x ≥，a x ≥即双曲线在两条直线a x ±=的外侧。
2．对称性：双曲线12222=-by a x 关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线12222=-by a x 的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。
3．顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。
在双曲线12222=-by a x 的方程里，对称轴是,x y 轴，所以令0=y 得a x ±=，因此双曲线和x 轴有两个交点)0,()0,(2a A a A -，他们是双曲线12222=-by a x 的顶点。
令0=x ，没有实根，因此双曲线和y 轴没有交点。
1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点）， 双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。
2）实轴：线段2A A 叫做双曲线的实轴，它的长等于2,a a 叫做双曲线的实半轴长。
虚轴：线段2B B 叫做双曲线的虚轴，它的长等于2,b b 叫做双曲线的虚半轴长。
在作图时，我们常常把虚轴的两个端点画上（为要确定渐进线），但要注意他们并非是双曲线的顶点。
双曲线的简单几何性质 (一) - 浙江省桐乡
双曲线的简单几何性质 （一）高二数学 方蕾教学目标：1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质.2．用双曲线的方程去研究其几何性质，进一步反应了解析几何的特点，并用图像帮助理解双曲线的几何性质，解决一些相关问题.2．通过类比椭圆的简单几何性质的方法来研究双曲线的简单几何性质，在老师引导下让学生积极讨论、归纳，培养学生的观察、研究能力，增强他们的自信心. 教学重点：双曲线的简单几何性质 教学难点：渐近线的求法及理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、三角板 内容分析：本节知识是讲完了双曲线及其标准方程之后，反过来利用双曲线的方程研究双曲线的几何性质. 它是教学大纲中要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点 用坐标法研究几何问题，是数学中一个很大的课题，这里主要是对双曲线的几何性质的讨论以及利用性质解决相关数学问题.本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中也可以与其类比讲解，主要应指出它们的联系与区别.教学流程： (一)复习引入1. 双曲线的定义及其标准方程平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（大于0且小于21F F ）的动点的轨迹叫双曲线。
即a MF MF 221=-（0<2a <21F F ）焦点在x 轴上时：()0,012222>>=-b a b y a x 焦点在y 轴上时：()0,012222>>=-b a b x a y(注：双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置)c b a ,,的关系：222b a c +=0>>a c ,c 最大，b a ,可以a =2.椭圆的简单几何性质以()012222>>=+b a bya x为例⑴范围： b y b a x a ≤≤-≤≤- ,⑵对称性：以坐标轴为对称轴，原点为对称中心⑶顶点坐标：()()()(),b ,B ,-b , B a,,A a,A 00002121-长轴：线段21A A 长为2a ，a 短轴：线段21B B 长为2b ，b ⑷离心率：()1,0 ,∈=e ac e探究：类比椭圆几何性质的研究，你认为应研究双曲线的哪些性质？应如何研究这些性质？ （二）新课讲解利用双曲线的方程研究双曲线的几何性质以焦点坐标在x 轴上的标准方程为例，()0,012222>>=-b a by ax1．范围由标准方程12222=-b y a x 可得112222≥+=b y a x ，即22a x ≥，当a x ≥时，y 才有实数值，这说明双曲线在不等式a x -≤与a x ≥所表示的区域内；对于y 的任何值，x 都有实数值 这说明从横的方向来看，直线a x a x =-=和之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线2.对称性：类比研究椭圆对称性的研究方法，容易得到，双曲线关于x 轴、y 轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心. 2．顶点在双曲线方程12222=-b y a x 中，令讲解：结合图形，讲解顶点和轴的概念，0=y 得a x ±=，故它与x 轴有两个交点),0,(1a A()0,2a A -，且x 轴为双曲线12222=-b y a x 的对称轴，所以()0,),0,(21a A a A -为其对称轴的交点，称为双曲线的顶点(一般而言，曲线的顶点均指与其对称轴的交做双曲线12222=-by ax 的实轴，它点)，而对称轴上位于两顶点间的线段21A A 叫的长是2a .在方程12222=-by a x 中令0=x 得22b y -=，这个方程没有实数根，说明双曲线和y 轴没有交点。
2020高中数学 2.2.2 双曲线的简单几何性质(1)(含解析)
课时作业16 双曲线的简单几何性质（1)知识点一由双曲线的标准方程研究几何性质1。
若直线x＝a与双曲线错误!－y2＝1有两个交点,则a的值可以是( )A。
4 B.2C。
1 D.－2答案A解析∵双曲线错误!－y2＝1中，x≥2或x≤－2,∴若x＝a与双曲线有两个交点，则a>2或a<－2，故只有A选项符合题意．2．双曲线错误!－错误!＝1的焦点到渐近线的距离为( )A.2错误!B.2C.错误!D。
1答案A解析不妨取焦点（4,0)和渐近线y＝3x，则所求距离d＝错误!＝2错误!。
故选A.3．求双曲线4x2－y2＝4的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程．解把方程化为标准形式为错误!－错误!＝1，由此可知,实半轴长a＝1,虚半轴长b＝2。
顶点坐标是（－1,0),（1，0）．c＝错误!＝错误!＝错误!,∴焦点坐标是（－5，0)，（错误!,0)．离心率e＝错误!＝错误!，渐近线方程为错误!±错误!＝0，即y＝±2x。
知识点二求双曲线的离心率4。
下列方程表示的曲线中离心率为错误!的是（）A.错误!－错误!＝1 B.错误!－错误!＝1C.错误!－错误!＝1 D。
错误!－错误!＝1答案B解析∵e＝ca，c2＝a2＋b2，∴e2＝错误!＝错误!＝1＋错误!＝错误!2＝错误!。
故错误!＝错误!，观察各曲线方程得B项系数符合,应选B。
5．已知F1，F2是双曲线错误!－错误!＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ 是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．解设F1（c,0），将x＝c代入双曲线的方程得错误!－错误!＝1，∴y ＝±错误!。
由｜PF2|＝｜QF2|，∠PF2Q＝90°，知|PF1|＝｜F1F2|，∴b2a＝2c.∴b2＝2ac.∴c2－2ac－a2＝0.∴错误!2－2·错误!－1＝0.即e2－2e－1＝0。
双曲线的简单几何性质(直线与双曲线的位置关系)
焦点坐标,离心率.渐近线方程。 解：把方程化为标准方程
可得:实半轴长a=4
虚半轴长b=3 半焦距c=
42 32 5
焦点坐标是(0,-5),(0,5) 离心率:
e
4 渐近线方程: y x 3
c 5 a 4
5 例2:已知双曲线顶点间的距离是16，离心率e ， 4 焦点在x轴上，中心在原点，写出双曲线的方 程，并且求出它的渐近 线和焦点坐标 . 2 2
解： 椭圆的焦点在x轴上，且坐标为
F ， 0)，F （ ， 0） 1 (2 2 2 2 2
双曲线的焦点在x轴上，且c 2 2
3 双曲线的渐近线方程为 y x 3 b 3 ，而c 2 a 2 b 2 ， a 2 b 2 8 a 3 解出 a 2 6，b 2 2 x2 y2 双曲线方程为 1 6 2
xa
x a
ya
或
或
y a
b c 关于 ( a,0) y x e 坐标 a a 轴和 (其中 原点 都对 a c 2 a 2 b2 ) 称 (0, a) y x b
例题讲解
例1 :求双曲线
9y2 16x2 144 的实半轴长,虚半轴长,
y2 x2 2 1 2 4 3
. .
B2 A2
图形
. .
F1(-c,0)
F1
y
y
F2
A1 A2
O
F2(0,c)
B1
B1 F2(c,0)
F2
x
A1 O F1
x F1(0,-c)
方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线
பைடு நூலகம்
x y 1 (a b 0) 2 2 a b
双曲线的简单几何性质(1)b
B2 A1
O
A2
x
B1
应用举例:
求双曲线9y 例1.求双曲线 2 – 16x2 =144的实半轴与虚半轴 求双曲线 的实半轴与虚半轴 焦点坐标,离心率及渐进线方程 长,焦点坐标 离心率及渐进线方程 焦点坐标 离心率及渐进线方程.
y 2 x2 解： 原方程可化为 : 2 − 2 = 1 4 3
∴ 实半轴长 a = 4 ，虚半轴长 b = 3 .
2
y2 − 2 =1 b
y
B2 A1
O
2、对称性： 关于 轴，y轴，原点对称. 、对称性： 关于x轴 轴 ），A ， ）， ， ） 3、顶点：A1（-a，0）， 2（a，0） 、顶点： 线段A 线段B 线段 1A2叫实轴 . 线段 1B2叫虚轴 . 实轴长|A 实轴长 1A2|=2a
，虚轴
A2
x
B1
A2
x
B1
y 先取双曲线在第一象限内的部分进行证明。 先取双曲线在第一象限内的部分进行证明。
x − y = 1 得 y = b x 2 − a 2 ( x > a) ， 由 2 2 a a b
2
2
Q M
B2 A1
O
设M(x，y) 是双曲线上的点，则 ， 是双曲线上的点， 它到渐近线 bx − ay = 0 的距离为： 的距离为：
A2
x
B1
| bx − b x 2 − a 2 | | MQ | = = 2 2 c a +b = b | x − x2 − a2 | c
| bx − ay |
| ( x − x 2 − a 2 )( x + x 2 − a 2 ) | ba 2 1 = ⋅ = b⋅ c x + x2 − a2 c x + x2 − a2
双曲线的几何性质
双曲线的几何性质
双曲线的几何性质
1、取值区域：
x≥a,x≤-a或者y≥a,y≤-a
2、对称性：
关于坐标轴和原点对称。
3、顶点：
A(-a,0)A’(a,0)AA’叫做双曲线的实轴，长2a；B(0,-b)B’(0,b)BB’叫做双曲线的虚轴，长2b。
4、渐近线：
横轴：y=±(b/a)x竖轴：y=±(a/b)x
5、离心率：
e=c/a取值范围：（1，+∞）
6、双曲线上的一点到定点的距离和到定直线(相应准线)的距离的比等于双曲线的离心率。
7、双曲线焦半径公式：
圆锥曲线上任意一点到焦点距离。
过右焦点的半径r=|ex-a|；过左焦点的半径r=|ex+a|
8、等轴双曲线
双曲线的实轴与虚轴长相等，2a=2b e=√2
9、共轭双曲线
(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1与(y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1叫共轭双曲线
（1）共渐近线
（2）e1+e2>=2√2
10、准线：
x=±a^2/c,或者y=±a^2/c。
2[1].3.2_双曲线的简单几何性质_(1-3)
![2[1].3.2_双曲线的简单几何性质_(1-3)](https://img.taocdn.com/s3/m/8fbf98e5f8c75fbfc77db2aa.png)
∴ 双曲线方程为
总结： 1、“共渐近线”的双曲线的应 2 2用 x y
与
b 2 2 x y 方程为 2 2 ( 0，为参数)， a b
a
2
2
1共渐近线的双曲线系
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线； λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。 x2 y 2 x2 y2 2、与 2 2 1共焦点的椭圆系方程是 2 2 2 1, a b m m c x2 y2 双曲线系方程是 2 2 1. 2 m c m
F (2 2，，F2 2 2， 0) （ 0） 1
双曲线的焦点在x轴上，且c 2 2
3 双曲线的渐近线方程为 y x 3 b 3 ，而c 2 a 2 b 2 ， a 2 b 2 8 a 3 解出 a 2 6，b 2 2 x2 y2 双曲线方程为 1 6 2
小
结
椭 圆
双曲线
方程
a b c关系
图象
2 x2 y 1 a＞ b ＞0） 2 （ 2 a b
x2 y2 1 ( a＞ 0 b＞0) 2 b2 a
c 2 a 2 b 2 (a＞ b＞0)
y
M
c 2 a 2 b 2 (a＞ 0 b＞0)
Y p F2 X
F1
0
F2
X
F1
0
B2
. .
A2
图形
. .
F1
y
y
F2 B1
F2(0,c)
A1 A2
O
F2
x
B2
F1(-c,0) 方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线
B1 F2(c,0)
A1O F1
双曲线的几何性质(第一课时)
c 5 , c 10 a 4
又 e
b 2 c 2 a 2 10 2 82 36
x2 y 2 双曲线的方程为 1 64 36 3 渐近线方程为y x 4
焦点F1 (10,0), F2 (10,0)
如果我是双曲线，你就是那渐近线 如果我是反比例函数，你就是那坐标轴 虽然我们有缘，能够生在同一个平面 然而我们又无缘，漫漫长路无交点 为何看不见，等式成立要条件 难到正如书上说的，无限接近不能达到 为何看不见，明月也有阴晴圆缺 此事古难全，但愿千里共婵娟
y x 双曲线 2 2 1(a 0, b 0)的简单几何性质 y a b
a
-b o b x
2 2
（1）范围: y a, y a
（2）对称性: 关于x轴、y轴、原点都对称
（3）顶点: (0,-a)、(0,a) （4）渐近线: y a x
b
-a
c （5）离心率: e a
e
4 渐近线方程: y x 3
c 5 a 4
新课探究：双曲线的几何性质 5 例2: 已知双曲线顶点间的距离是16，离心率e= 4 ，
焦点在x轴上，中心在原点，写出双曲线的方
x y 解：依题意可设双曲线的方程为 2 2 1 a b
程，并且求出它的渐近线和焦点坐标. 2 2
2a 16，即a 8
2.3.2 双曲线简单的几何性质
第一课时
学习目标 1、类比椭圆，能够推出双曲线的几何性质； 2、会根据条件求双曲线的方程
复习回顾
定义 | |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
M
M F2
y
图象
双曲线的几何性质1
2.3.3双曲线的几何性质(一)一、教学目标知识与技能：了解双曲线的性质，能运用双曲线的标准方程讨论他的几何性质。
过程与方法：进一步掌握利用方程研究曲线的基本方法，通过与椭圆几何性质的对比，提高类比分析的能力。
理解并掌握代数知识在解析几何运算中的作用。
情感态度价值观：提高分析问题解决问题的能力，培养学生形结合思想、方程思想及等价转化思想。
二、学习重难点重点：双曲线的几何性质难点：双曲线的离心率，渐近线的问题三、学法指导：教师平等地参与学生的自主探究活动，引导学生全员参与，全过程参与。
通过启发、调整、激励来体现自己的主导作用，保证学生的认知水平和情感体验分层次向前推进。
四、知识链接【A 】练习：在一个坐标系中，画出下列双曲线的图形1、（1）1242522=-y x （2）1202522=-y x2、（1）1252422=-y x （2）1252022=-y x （3）1162522=-y x （4）192522=-y x （3）1251622=-y x （4）125922=-y x问题2、离心率可以刻画椭圆的圆扁程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么？【A 】例1、求双曲线14416922=-x y 的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。
【A 】练习：1、求下列双曲线的实轴长和虚轴长、顶点和焦点坐标、离心率、渐近线方程。
（1）32822=-y x （2）81922=-y xOy xO y x【B 】2、求适合下列条件的双曲线的标准方程。
（1）顶点在x 轴上，两顶点间的距离是8，45=e （2）焦点在y 轴上，焦距是16，34=e六、达标训练【A 】1、求下列双曲线的实轴长和虚轴长、顶点和焦点坐标、离心率、渐近线方程。
（1）422-=-y x （2）1254922-=-y x（3）14491622=-y x （4）14491622-=-y x【B 】2、求适合下列条件的双曲线的标准方程。
高二数学双曲线的几何性质1
5、渐近线方程：y
a
2 2
x2 b2
0
a ob
A1 F2
6、离心率： e=c/a
B2 X
练习:
1.双曲线 9y2－16x2 = 144 的半实 轴长是 4 , 半虚轴长 3 ,
焦点坐标是 (0, －5) 、(0, 5)
,
离心率为
5 4
,渐近线方程
是
y4x .
3
2.双曲线的一条渐近线方程为 y 1 x ,
且过点 P (3, 1 ),
2
则它的标准方程
是
x2
y2
2
1
82
.
3.求与双曲线x2 y2 1共渐近线且 16 9
过点A(2 3,3)的双曲线方程。
4、若双曲线的渐近线方程是
y 3 x ，求离心率。
5.
4
设双曲线
x2 a2
y2 b2
1(0
a
b)
的
半焦距为c，直线L过(a,0),(0,b)
叫做双曲线的离心率.
双曲线的离心率的取值范围是 (1, +∞).
焦点在y轴上的双曲线的几何性质
双曲线标准方程： 双曲线性质：
y2 a2
x2 b2
1
y
1、范围： y≥a或y≤-a
F2
A2
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。
3、顶点 A1（0，-a）,A2（0，B1a）
4、轴：实轴 A1A2 ; 虚轴 B1B2
a2 b2
1. 范围 双曲线在不等式 x≤－a与 x≥a所表示 的区域内.
X=－a X=a
双曲线 x 2 y 2 1(a>0,b>o)的几何性质
双曲线的简单几何性质
双曲线的简单几何性质【基础知识精讲】1.双曲线22a x -22by ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x ｜≥a,y ∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x 轴、y 轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点A 1(-a,0),A 2(a,0)，两顶点间的线段为实轴，长为2a ，虚轴长为2b ，且c 2＝a 2+b 2.与椭圆不同.(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y ＝±abx ，或令双曲线标准方程22a x -22b y ＝1中的1为零即得渐近线方程.(5)离心率e ＝ac＞1，随着e 的增大，双曲线张口逐渐变得开阔. (6)等轴双曲线(等边双曲线)：x 2-y 2＝a 2(a ≠0),它的渐近线方程为y ＝±x,离心率e ＝2.(7)共轭双曲线：方程22a x -22b y ＝1与22a x -22by ＝-1表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注意方程的表达形式.注意：1.与双曲线22a x -22b y ＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为22a x -22by ＝λ(λ≠0且λ为待定常数)2.与椭圆22a x +22b y ＝1(a ＞b ＞0)共焦点的曲线系方程可表示为λ-22a x -λ-22b y ＝1(λ＜a 2,其中b 2-λ＞0时为椭圆， b 2＜λ＜a 2时为双曲线)2.双曲线的第二定义平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l :x ＝c a 2的距离之比等于常数e ＝ac(c ＞a ＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p ＝cb 2，与椭圆相同. 3.焦半径(22a x -22b y ＝1,F 1(-c,0)、F 2(c,0))，点p(x 0,y 0)在双曲线22a x -22by ＝1的右支上时，｜pF 1｜＝ex 0+a,｜pF 2｜＝ex 0-a;P 在左支上时，则 ｜PF 1｜-(ex 1+a),｜PF 2｜＝-(ex 1-a).本节学习要求：学习双曲线的几何性质，可以用类比思想，即象讨论椭圆的几何性质一样去研究双曲线的标准方程，从而得出双曲线的几何性质，将双曲线的两种标准方程、图形、几何性质列表对比，便于掌握.双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切；直线与双曲线的交点问题、弦长间问题都离不开一元二次方程的判别式，韦达定理等；渐近线的夹角问题与直线的夹角公式.三角函数中的相关知识，是高考的主要内容.通过本节内容的学习，培养同学们良好的个性品质和科学态度，培养同学们的良好的学习习惯和创新精神，进行辩证唯物主义世界观教育.【重点难点解析】1.学习双曲线的几何性质，也可以与椭圆的几何性质对比进行，着重指出它们的联系和区别.2.本节重点是双曲线的几何性质，双曲线的第二定义及其应用，难点是双曲线的渐近线方程，第二定义，几何性质的应用.例1 (1)求中心在原点，对称轴是坐标轴，一条渐近线方程是y ＝-23x,且经过点Q(8，63)的双曲线方程.(2)已知双曲线满足：两准线间的距离为564，渐近线方程为y ＝±43x ，求双曲线方程. 分析 (1)据双曲线的渐近线方程，可求出a,b 之间的关系，以Q 点的坐标代入双曲线方程，即可求a,b 的值，亦可据共渐近线的双曲线系方程求出，这样可据焦点所在坐标轴的讨论.即设双曲线方程为42x -92y ＝λ(λ≠0)，将Q 点坐标代入求得 λ＝4故所求双曲线方程为 162x -362y ＝1.(2)当双曲线的焦点在x 轴上时，设其方程为22a x -22by ＝1,依题意有 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===,,43,56422222b a c a b c a 解得⎪⎩⎪⎨⎧==.366422b a 故所求双曲线方程为 642x -362y ＝1当双曲线焦点在y 轴上时，同理求得其方程为：22)332(x -22)9128(y ＝1综上所述，所求双曲线的方程为642x -362y ＝1或22)332(x -22)9128(y ＝1.例2 过双曲线92x -162y ＝1的右焦点F 2，作斜率为2的弦AB ，求｜AB ｜的长.分析 运用焦半径知识较为简便. 依题意有a ＝3,c ＝5,e ＝35,F 2(5,0) 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=1169)5(222y x x y 消去y 得 5x 2-90x+261＝0. 设方程的两根为x 1,x 2. 于是｜AB ｜＝e(x 1+x 2)-2a ＝35×590-6＝24. 注：若用弦长｜AB ｜＝221+·212214)(x x x x -+解计算量显然大一些，本例中AB 为过焦点弦，所以运用焦半径解题就较自然了.例3 已知直线l 和双曲线22a x -22by =1(a ＞0,b ＞0)及其渐近线依次交于A 、B 、C 、D 四点，求证：｜AB ｜=｜CD ｜.分析 若直线l 和x 轴垂直，结论显然成立；若直线l 不与x 轴垂直，则可设l 的方程为y=kx+m,代入双曲线方程并整理得：(b 2-a 2k 2)x 2-2a 2kmx-a 2(m 2+b 2)=0,设A(x 1,y 1),D(x 2,y 2),则x 1+x 2=22222ka b kma -再将y=kx+m 代入双曲线渐近线方程b 2x 2-a 2y 2=0 并整理得 (b 2-a 2k 2)x 2-2a 2kmx-a 2m 2=0.设B(x 3,y 3),C(x 4,y 4),则x 3+x 4=22222ka b kma - ∴x 1+x 2=x 3+x 4表明线段AD 的中点和线段BC 的中点重合，故问题得到证明.【难题巧解点拨】例1 求与双曲线162x -92y ＝1有共同渐近线且过点(2，3)的双曲线方程.分析一 只要判断清楚已知点(2，3)与渐近线的位置关系，便可知双曲线方程的表达式，进而可求出方程.解法一：双曲线162x -92y ＝1的渐近线方程为：y ＝±43x将x ＝2代入方程y ＝43x 得y ＝43·2＝23<3 ∴点(2，3)在直线y ＝43x 的上方，于是设所求的双曲线方程为：22a y -22bx ＝1 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=123432222b a b a )2()1( 由(1)设a ＝3k,b ＝4k ，代入(2)得：299k -2164k ＝1∴k ＝±23(舍负) ∴a ＝323b ＝23∴所求方程为：4272y -122x ＝1即2742y -122x ＝1分析二 与双曲线162x -92y ＝1有共同渐近线的双曲线方程表示为162x -92y ＝λ，待定系数λ便可求出双曲线方程.解法二：设所求双曲线方程为162x -92y ＝λ，(1)将点(2，3)代入(1)得：164-99＝λ ∴λ＝-43 所求方程为：162x -92y ＝-43即：2742y -122x ＝1为所求说明：(1)由渐近线及一点可以确定双曲线的位置，解法一正是利用此性质先定位再求出a 、b ，进而求出双曲线方程.(2)方程22αx -22βy ＝λ 当λ＝0时，表示两条直线：αx +βy ＝0和αx -βy＝0，正是双曲线的渐近线方程.因此当λ≠0时，方程表示以直线22αx -22βy ＝0为渐近线的双曲线系.解法二正是利用了此原理，设方程再代入点坐标便可求出双曲线方程比较简捷.例2 在双曲线122y -132x ＝1的一支上不同的三点A(x 1,y 1)、B(26,6)、C(x 2,y 2)与焦点F(0，5)的距离成等差数列.(1)求y 1+y 2;(2)证明线段AC 的垂直平分线经过某一定点，并求该定点的坐标. 分析 (1)从双曲线的焦半径分析往往用第二定义. (2)证明过定点可采取求点坐标的方法.解：(1)∵a ＝23,b ＝13,c ＝5,∴e ＝a c＝325＝635.根据双曲线的第二定义，可得：｜AF ｜＝e(y 1-c a 2)＝ey 1-a ＝635y 1-23, ｜CF ｜＝e(y 2-c a 2)＝ey 2-a ＝635y 2-23, ｜BF ｜＝e(6-c a 2)＝6e-a ＝6×635-23=33. 又｜AF ｜、｜BF ｜、｜CF ｜成等差数列，∴｜AF ｜+｜CF ｜＝2｜BF ｜，即(635y 1-23)+( 635y 2-23)＝2×33,∴y 1+y 2＝12. (2)证明：设x 1+x 2＝t ，则线段AC 的中点为(2t,6).∵1221y -1321x ＝1, 1222y -1322x ＝1.∴12))((2121y y y y -+-13))((2121x x x x -+＝0,∴2121x x y y --＝131(x 1+x 2)＝13t .∴线段AC 的垂直平分线的斜率k ＝-t 13，从而其方程为y-6＝-t 13 (x-2t)，即(y-225)t+3x ＝0，显然它过定点(0，225). 点评：涉及焦半径问题往往考虑第二定义，一般来讲，双曲线22a x -22by ＝1上一点P(x 1,y 1)的左、右焦半径长为｜PF 1｜＝±(ex 1+a),｜PF 2｜＝±(ex 1-a)(其中P 在右支上取正号，在左支上取负号).【典型热点考题】例1 已知双曲线22a x -22by =1(a ＞0,b ＞0)左、右焦点分别为F 1和F 2，P 是它左支上点，P 到左准线距离为d.问：是否存在这样的点P ，使d,｜PF 1｜，｜PF 2｜成等比数列，说明理由.分析 对于存在性问题，先假设存在满足题意的对象，然后结合题设条件进行判断.设存在P(x 0,y 0)且x 0≤-a ，使d ，｜PF 1｜，｜PF 2｜成等比数列，则｜PF 1｜2=d ｜PF 2｜， 设d ′为P 点到右准线的距离，由双曲线第二定义得：dPF 1='2d PF =e ∴｜PF 1｜=ed,∴(ed)2=d ·ed ′，∴ed=d ′，∴e(-c a 2-x 0)=-x 0+ca 2, ∴x 0=e e a -+1)11( ∵x 0≤-a,∴ee a -+1)11(≤-a,∴e 2-2e-1≤0，∴1-2≤e ≤2+1,又e ＞1， ∴1＜e ≤2+1.故当双曲线的离心率e ∈(1, 2+1)时，存在满足条件的P ，而当e ∈(2+1,+∞)时，不存在满足条件的点P.注：利用双曲线的第二定义解题是非常有效的方法.本例还可以利用双曲线的两种定义再结合不等式｜PF 1｜+｜PF 2｜≥｜F 1F 2｜求解，请同学们自己完成.例2 如图，已知梯形ABCD 中，｜AB ｜=2｜CD ｜，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点.当（32≤λ≤43)时，求双曲线离心率e 的取值范围.分析 如图，以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系，则CD ⊥y 轴.因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称.依题意，记A(-C ，0)，C(2c ,h),E(x 0,y 0,)其中c=21｜AB ｜为双曲线的半焦距，h 是梯形的高.由定比分点坐标公式得x 0=λλ++-12cc =)1(2)2(+-λλc ，y 0=λλ+1h 42e -22b h =1,①42e (12+-λλ)2-(1+λλ)222b h =1 ②由①式得22bh =42e -1③把③式代入②式，整理得42e (4-4λ)=1+2λ 故λ=1-232+e由题设32≤λ≤43得32≤1-232+e ≤43.解得 7≤e ≤10.所以双曲线的离心率的取值范围为［7,10］.注：本例先求出C 点纵坐标，用a 、b 、c 表示，然后将E 点坐标用λ表示，并代入双曲线方程，而得到含有e 与λ的等式，由λ范围求出e 的范围.例3 已知双曲线的两个焦点分别为M 、N ，点M 的坐标为(-2，-12)，点S(-7，0)、T(7，0)在双曲线.(1)利用双曲线定义，求点N 的轨迹方程；(2)是否存在过P(1，m)的直线与点N 的轨迹有且只有两个公共点A 、B ，且点P(1，m)恰是线段AB 的中点?若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，说明理由.分析 (1)设点N 的坐标为(x,y)，它不同于点M(-2，-12).由双曲线定义知 ｜｜SM ｜-｜SN ｜｜=｜｜TM ｜-｜TN ｜｜≠0 ∵S(-7,0),T(7,0),∴｜SM ｜=13,｜TM ｜=15.1°当｜SM ｜-｜SN ｜=｜TM ｜-｜TN ｜时，有｜TN ｜-｜SN ｜=2＜14=｜ST ｜，∴点N 的轨迹是中心在ST 的中点(0，0)，焦点为S 、T 的双曲线C 的左支，除去M(-2，-12)和D(-2，12)两点.双曲线C 的方程：x 2-482y =1(x ＜0). ∴点N 的轨迹方程为x 2-482y =1(x ＜0,y ≠±12). 2°当｜SM ｜-｜SN ｜=-(｜TM ｜-｜TN ｜)时，有｜TN ｜+｜SN ｜=28＞14=｜ST ｜，∴点N 的轨迹是中心在ST 的中点(0，0)，焦点为S 、T 的椭圆Q ，除去M(-2，-12)和D(-2，12)两点.椭圆Q 方程：1962x +1472y =1.∴点N 的轨迹方程为1962x +1472y =1(y ≠±12).综合1°、2°，点N 的轨迹方程为x 2-482y =1(x ＜0＝和1962x +1472y =1，其中y ≠±12.(2)1°当过点P(1，m)的直线的斜率k 不存在时，直线l 的方程为x=1，可得m=1.2°当k 存在时，设直线l :y=kx+m-k.若l 过点M 或点D.∵两点M 、D 既在双曲线C 上，又在椭圆Q 上，但不在点N 的轨迹上 ∴l 与点N 的轨迹只有一个公共点，不合题意；若l 不过M 、D 两点.当-43＜k 2＜43时(双曲线C 的渐近线方程为y ±43=0)，利用图像知，直线l 与点N 的轨迹有三个公共点，不合题意.当-∞＜k ≤-43或43＜k ≤+∞时，直线l 与点N 的轨迹有两个公共点A 、B ，且点P(1，m)是AB 的中点. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则在 3x 21+4y 21=12×49, ① 3x 22+4y 22=12×49, ② ①-②，得3(x 1+x 2)(x 1-x 2)=-4(y 1+y 2)(y 1-y 2) ③ 将x 1+x 2=2,y 1+y 2=2m,2121x x y y -- =k 代入③，得k=-m43.当43≤k ＜+∞，即43≤-m43＜+∞时，有-163≤m ＜0.【同步达纲练习】A 级一、选择题1.已知双曲线kx 2-2ky 2=4的一条准线是y=1，则实数k 的值等于( ) A.23 B.-32 C.-23 D.32 2.双曲线与其共轭双曲线有相同的( )A.顶点B.焦点C.准线D.渐近线3.过点(2，-2)且与双曲线x 2-2y 2=2有公共渐近线的双曲线方程是( )A.-42x +22y =1B. 42x -22y =1C.- 22x +42y =1D. 22x +42y =14.已知双曲线的半焦距为C ，两准线间的距离为d ，且c=d,则双曲线的离心率等于( ) A. 3B.2C.3D.25.当8＜k ＜17时，曲线k x -172+ky -82=1与82x +172y =1有相同的( )A.焦距B.准线C.焦点D.离心率二、填空题 6.以y=±21x 为渐近线，且焦点在坐标轴上，焦距为10的双曲线 . 7.双曲线42x -82y =1的两准线相距 ，两渐近线所夹的锐角等于 ；8.若双曲线的离心率为2，则其共轭双曲线的离心率为 .三、解答题9.试求以椭圆1692x +1442y =1的右焦点为圆心，且与双曲线9x 2-162y=1的渐近线相切的圆方程.10.过双曲线92x -162y =1的右焦点F 作倾斜角为4的弦AB ，求弦AB 的长及AB 的中点M到右焦点F 的距离.AA 级一、选择题1.在下列双曲线中，与双曲线32x -y 2=1的离心率和渐近线都相同的是( )A.3y 2-x 2=9 B.x 2-3y 2=9C.3y 2-9x 2=1D.3x 2-y 2=3 2.双曲线的两条渐近线方程为y=±43x,则双曲线的离心率为( ) A.45 B.2 C.45或35D.25或215 3.过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线162y -92x =1的通径的长是( )A.49 B.29C.9D.104.已知双曲线642x -362y =1上的一点P 到右焦点的距离为14，则P 点到左准线的距离为( )A.22B.24C.26D.285.已知双曲线x 2-y 2=1的左焦点为F ，点P 为双曲线在第三象限内的任意一点，则斜率k PF 的取值范围是( )A.k ≤0或k ≥1B.k ＜0或k ＞1C.k ≤-1或k ≥1D.k ＜-1或k ＞1二、填空题6.双曲线16x 2-9y 2=144上一点P(x 0,y 0)(x 0＜0)到左焦点距离为4，则x 0= .7.双曲线32x -y 2=1的共轭双曲线的准线方程是 .8.双曲线22ax -22b y =1的准线和渐近线的交点到双曲线的中心的距离等于 .三、解答题9.直线y=kx+1与双曲线x 2-y 2=1的左支交于A 、B 两点，直线l 过点(-2，0)和AB 中点，求直线l 在y 轴上截距b 的取值范围.10.求证：以过双曲线的一个焦点的弦为直径的圆，必与对应的准线相交，且这条准线截得的劣弧的弧度数为定值.【素质优化训练】1.过点A(1，1)且与双曲线x 2-y 2=2有且只有一个公共点的直线的条数是( ) A.1 B.2 C.3 D.42.双曲线的两条准线分焦点间的距离成三等分，则双曲线的离心率为( )A.33B. 2C.3D.23.若双曲线的两条渐近线是y=±23x ，焦点F 1(-26，0)，F 2(26，0)，那么它的两条准线间的距离是( )A.26138B.26134C.261318D.261394.已知双曲线的两个焦点是椭圆16x 2+25y 2=160的两个顶点，双曲线的两准线分别过椭圆的两个焦点，则此双曲线的方程是( )A. 62x -42y =1B. 42x -62y =1C.52x -32y =1D.32x -52y =15.已知E 、F 分别是离心率为215 的双曲线22a x -22by =1(a ＞0,b ＞0)的左顶点与右焦点，记M(0，b)，则∠EMF 等于( )A.45°B.60°C.90°D.120°二、填空题6.已知双曲线162x -92y =1和点A(6，2)、B(5，0)，M 是双曲线上的一个动点，则45｜MA ｜+｜MB ｜的最小值为 .7.双曲线的离心率是e=3，则两渐近线的夹角是 .8.渐近线为y=±21x,且和直线5x-6y-8=0有且仅有一个公共点的双曲线方程为 .三、解答题9.已知点A(5，0)和曲线y=142x (2≤x ≤25)上的点P 1，P 2，…，P n ，若｜P 1A ｜，｜P 2A ｜,…，｜P n A ｜成等差数列并且公差d ∈(51,51),求n 的最大值.10.已知双曲线22a x -22by =1(a ＞0,b ＞0)离心率e=323，过点A(0，-b)和B(a,0)的直线与原点间距离23. (1)求双曲线方程；(2)直线y=kx+m(k ≠0,m ≠0)与双曲线交于不同的两点C 、D ，且C 、D 两点都在以A 为圆心的同一圆上，求m 的取值范围.【生活实际运用】1.运用双曲线的光学性质，设计并制作一台灯或吊灯.2.双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚构旋转所成的曲面，它的最小半径是6米，最小半径处的截口平面到地面距离是5米，底面截口半径是10米，求此双曲线的标准方程.注：这是一个有实际意义的题目.解这类题目时，首先要确认以下两个问题：(1)选择适当的坐标系；(2)将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表达出来.双曲线的标准方程为362x -225162y =1.【知识验证实验】1.已知双曲线2x 2-y 2=2，试问过点N(1，1)能否作一直线与双曲线交于C 、D 两点，且使N 为CD 的中点?这样的直线如果存在，求出它的方程，如果不存在，则说明理由.将问题一般化：N(x 0,y 0)，双曲线方程为22a x -22by =1，若过点N 的双曲线的中点弦存在，则N 点应在什么位置?其方程又为何?2.点P 是双曲线32x -122y =1右分支上任意一点，F 1，F 2分别为左、右焦点，设∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=β，求证：3tan2α=tan 2β. 解：在△PF 1F 2中，利用正弦定理及分比定理得βsin 1PF =αsin 2PF =)sin(21βα+F F =αβsin sin 21--PF PF ，∴2cos2sin28βαβα++=2sin2cos24αββα-+，即2sin2αβ-=sin2βα+,展开并简化，得3sin2αcos 2β=sin 2βcos 2β， ∴3tan 2α=tan 2β.【知识探究学习】舰A 在舰B 的正东6km 处，舰C 在舰B 的北偏西30°且与B 相距4千米处，它们准备围捕海洋动物.某时刻A 发现动物信号，4s 后B 、C 同时发现这种信号，A 发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度是1km/s ，炮弹的速度是3320gkm/s ，其中g 为重力加速度.若不计空气阻力与舰高，问舰A 发射炮弹的方位角和仰角应是多少?解：取AB 所在直线为x 轴，AB 中点为原点建立直角坐标系，则A 、B 、C 舰的坐标分别为(3，0)、(-3，0)、(-5，23).记动物所在位置为P ，则｜PB ｜=｜PC ｜，于是P 在BC 中垂线上，其方程为3x-3y+73 =0.又A 、C 两舰发现信号的时间差为4秒，有｜PB ｜-｜PA ｜=4,于是P 在双曲线42x -52y =1的右支上，求得P 点坐标是(8，53)且｜PA ｜=10.又k PA =3，∴直线PA 的倾斜角为60°，于是舰A 发射炮弹的方位角是北偏东30°，设发射的仰角是θ，初速度为v 0=3320g ,则g v θsin 20=θcos 100v ，∴sin2θ=210v g =23, ∴仰角θ=30°参考答案：【同步达纲练习】A 级1.B2.D3.A4.B5.A6. 202x -52y =1或202x -52y =-1 7. 334,arctan228.332 9.解：由椭圆1692x +1442y =1的右焦点为(5，0)，∴圆心为(5，0)，又圆与双曲线92x -162y =1的渐近线相切，即圆心到直线y=±34x 的距离为圆的半径.∴r=50354⨯-⨯±=4 于是圆的方程为(x-5)2+y 2=16.10.解：∵F(5,0),∴AB:y=x-5，将AB 的方程代入双曲方程，得7x 2+90x-369=0，设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=-790,x 1x 2=-7369,∴｜AB ｜=212214)(2x x x x -+=7184322=7192，又x m =221x x +=-745,∴｜MF ｜=2｜x M -5｜=7280 AA 级1.B2.C3.B4.B5.B6.-5217.y=±21 8.a9.解：由⎩⎨⎧=-+=1122y x kx y 消去y 得，(1-k 2)x 2-2kx-2=0,若令f(x)=(1-k 2)x 2-2kx-2,则直线与双曲线左支相交于A 、B 两点，等价于方程f(x)=0有两个不大于-1的不等实根，即：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥---<-=+>-+=0)1()1(2120)1(84222122f k k k x x k k △ 解得1＜k ＜2，又AB 中点为(221k k -,211k -)，∴直线l 的方程为211k y-=2122+-+k kx ⇒y=2222++-+k k x ，令x=0,b=2222++-k k =1617)41(12+--k ，由k ∈(1, 2)知b ＜-2-2或b ＞2，故直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围为(-∞,-2-2)∪(2,+∞).10.证明：设PQ 是过焦点F 的弦，M 是PQ 的中点，l 是与F 相应的准线，分别过P 、Q 、M 作l 的垂线，垂足为P 1、Q 1、M 1，则｜MM 1｜=21｜｜PP 1｜±｜QQ 1｜｜=21·｜e PF 1±e PF 2｜=e21｜PQ ｜=e R＜R ，当P 、Q 位于同一支时，取“+”，否则取“-”，∴以PQ 为直径的圆必与准线l 相交，且截得的劣弧的弧度数θ=2arccos RMM 1=2arccose1为定值. 【素质优化训练】1.B2.C3.A4.A5.C6. 277.arctan 724 8. 42x -y 2=19.解：题设中的曲线是双曲线中的一段，即42x -y 2=1,(2≤x ≤25,y ≥0),A(5 ,0)是它的右焦点，其右准线为l :x=54,e=25,设P n (x n ,y n )(2≤x n ≤25,y n ≥0)，则｜P n A ｜=e(x n -54)=25x n -2,∴｜P n A ｜min=5-2,｜P n A ｜max=3,依题意，可设等差数列首项a 1＝5-2,第n 项a n =3=5-2+(n-1)d,得d=155--n (n ＞1)，又51＜d ＜51，∴51＜155--n ＜51,得55-4＜n ＜26-55,而7＜55-4且26-55＜15，∴7＜n ＜15，故n 可取最大值为14.10.解：(1)过AB 的直线方程为bx-ay-ab=0，由点到直线距离公式可得22b a ab +=23①，又e=a b a 22+=332 ②，由①、②得b=1,a=3，即所求双曲线方程为32x -y 2=1(2)由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=132y x mkx y 消去y,得(3k 2-1)x 2+6kmx+3(m 2+1)=0，当3k 2-1≠0即k ≠±33时，△=12(m 2-3k 2+1)＞0,即m 2-3k 2+1＞0 ③，设C(x 1,y 1),D(x 2,y 2),CD 中点为M(x 0,y 0).则x 0=221x x +=1332--k km ，y 0=kx 0+m=-132-k m，因C 、D 两点都在以A 为圆心的同一圆上，∴AM ⊥CD,而k AM =km m k 313--- k CD =k ，∴km m k 313---=-k1⇒3k 2=4m+1 ④，由④得：4m+1＞0m ＞-41 ⑤，将④代入③：m 2-(4m+1)+1＞0，得m ＜0或m ＞4，综合⑤得m 的取值范围为(-41，0)∪(4,+∞)。
双曲线的简单几何性质
(2)∵双曲线的焦点与椭圆的焦点相同， c 2 ∴c＝4.∵e＝ ＝2，∴a＝2，∴b ＝12， a ∴b＝2 3. ∵焦点在 x 轴上，∴焦点坐标为(± 4,0)， b 渐近线方程为 y＝± x，即 y＝± 3x，化 a 为一般式为 3x± y＝0.
【答案】 (1)D (2)(± 4,0) 3x± y＝0
双曲线的标准方程
求双曲线的标准方程也是从“定形”“定
式”和“定量”三个方面去考虑．“定形”是
指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况
下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”
设双曲线方程的具体形式；“定量”是指用定
义法或待定系数法确定a，b的值．
根据下列条件，求双曲线的标准方程． 5 (1)虚轴长为 12，离心率为 ； 4 3 (2)顶点间距离为 6，渐近线方程为 y＝± x； 2 (3)过点(2，－2)且与双曲线 x2－2y2＝2 有公共渐近 线．
【规律方法】 若不能明确双曲线的焦点在哪 条坐标轴上，可设双曲线方程为： mx2＋ny2＝1(mn＜0)．
双曲线的几何性质
(1)双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六
点”(两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点)、“四 线”(两条对称轴、两条渐近线)、“两形”(中心、 焦点以及虚轴端点构成的三角形，双曲线上一点和 两焦点构成的三角形)来研究它们之间的相互联系， 明确a、b、c、e的几何意义及它们的相互关系，简 化解题过程．
变式练习
1．(2010 年高考安徽卷)双曲线方程为 x2－2y2＝1， 则它的右焦点坐标为( C ) 2 5 A. B. ，0 2 2 ，0 6 C. D．( 3，0) ，0 2
2．(教材习题改编)已知双曲线的离心率为 2， 焦点是(－4,0)、(4,0)，则双曲线的方程为( x 2 y2 A. － ＝1 4 12 x y C. － ＝1 10 6
双曲线的几何性质
双曲线的几何性质
双曲线是二次曲线的一种，其几何性质如下：
1. 双曲线有两个分支，分布在两侧于中心对称的轴线上。
轴线与曲线没有交点。
2. 双曲线的两个分支无限延伸，没有端点。
两个分支之间的距离称为双曲线的焦距，记作2c。
3. 双曲线具有对称性质，即关于x轴、y轴及原点对称。
4. 双曲线的两个分支与其对称轴之间的距离称为双曲线的半轴长，记作a。
半轴长的大小决定了双曲线的形状。
5. 双曲线具有渐近线性质，即两个分支无限接近于直线，称为双曲线的渐近线。
渐近线的方程为y = ±(a/c)x。
6. 双曲线与椭圆和抛物线不同，它没有顶点或焦点。
7. 双曲线的离心率（eccentricity）为大于1的实数，其值决定了曲线的形状。
离心率越大，曲线越扁平。
8. 双曲线的方程一般形式为Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E、F为实数，且满足
B^2 - 4AC < 0，且A和C异号。
这些性质描述了双曲线的形状、对称性、渐近线以及与其他曲线的区别。
双曲线在几何学、物理学和工程学等领域中有广泛的应用。
双曲线的简单几何性质
01
课堂小结
渐近线方程
A2
B2
B1
a
b
这时双曲线方程为x2－y2＝a2，渐近线方程为x＝±y，它们互相垂直，并
A
D
B
C
且平分双曲线实轴和虚轴所成的角．
a＝b时，实轴和虚轴等长，这样的
双曲线叫做等轴双曲线.
4．渐近线
新课讲授
渐近线
利用渐近线画双曲线草图 画出双曲线的渐近线； 画出双曲线的顶点、第一象限内双曲 线的大致图象； 利用双曲线的对称性画出完整双曲线.
双曲线
202X
的简单几何性质(一)
两焦点的距离叫做双曲线的焦距.
1. 双曲线的定义：
我们把平面内与两个定点F1、F2的 距离的差的绝对值等于常数(小于| F1F2 |)的点的轨迹叫做双曲线.
复习引入
202X
这两个定点叫做双曲线的焦点.
新课讲授
2. 双曲线的标准方程：
x
y
F1
F2
O
坐标轴是双曲线的对称轴．
原点是双曲线的对称中心．
双曲线的对称中心叫做 双曲线的中心．
新课讲授
3．顶点
令y＝0，得x＝±a，∴双曲线和x轴 有两个交点A1(－a, 0)、A2(a, 0) .
令x＝0，得y2＝－b2， 这个方程没有实数根， 则双曲线和y轴无交点.
双曲线和它的对称轴 有两个交点，它们叫做双 曲线的顶点．
渐近线方程.
例题讲解
例1. 求双曲线9y2－16x2＝144的实半 轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、 渐近线方程.
01
练习.教科书P53练习第1、2、3题.
02
例题讲解
例2:
例题讲解
双曲线的几何性质(1)
5、离心率：e>1
双 曲 线 的 焦 距 与 实 轴 长的 比
e
c a
叫做
双
曲线的
离
心率。
e 大，b 大 双曲线开阔 a
e 小，b 小 双曲线变窄 a
作出双曲线的方法：
1：作出矩形; 2、画出矩形的两条对角线;
即双曲线的两条渐近线; 3、确定双曲线的顶点; 4、画出双曲线。
x2 y2 1 8 18
y2 x2 1 18 8
重要结论：
与x a
y b
0共渐近线的
双曲线方程可设为
x2 a2
y2 b2
(
0)
等 轴 双 曲 线: 实 轴 和 虚 轴 等 长 的 双 曲线
在方程 x2 a2
y2 b2
1中，如果a
b
方 程 即 为x 2 y 2 a 2
双曲线的几何性质
双曲线的标准方程：
1
x2 a2
y2 b2
1(焦点在x轴上)
a>0，b>0
2
y2 a2
x2 b2
1(焦点在y轴上)
双曲线的几何性质
1、范围： x a或x a
2、对称轴：
坐标轴是双曲线的对称轴，
双曲原线点的是对双称曲中线心的叫对做称双中曲心线， 的中心。
3、顶点： 双曲线和它的对称轴的两个交点 叫做双曲线的顶点。
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1
双曲线的几何性质
学习目标：理解并掌握双曲线的几何性质，能根据性质解决一些基本问题，进一步体会数形结合的思想.
学习重点：双曲线的几何性质及其运用.
一、学习情境
类比椭圆几何性质和研究方法，我们应该如何去研究双曲线的几何性质？
二、学习任务（理P56—P58例3完；文P49—P51例3完）
问题1: 画出
1
3
42
2
2
2
=
-
y
x
与
1
3
42
2
2
2
=
-
x
y
的图形，观察图形你能得出双曲线的哪些性质？
问题2: 请分别从图形和方程两个角度解释这些性质.
标准方程
图象
范围
对称轴
对称中心
实虚轴
顶点
渐近线
离心率
a,b,c关系
A级理P61 (文P53) 1、2、3、4
B级习题理2.3 (文2.2) 3、4
选做题
1、已知椭圆方程
1
9
16
2
2
=
+
y
x
和双曲线方程
1
9
16
2
2
=
-
x
y
有下列说法：
①椭圆和双曲线的实轴长都是4，但椭圆和双曲线的实轴分别在x轴和y轴上;
②椭圆的长半轴长是4，双曲线的实轴长是3
③它们的焦距都是10
其中说法正确的个数是（）
A、0
B、1
C、2
D、3个
2、根据下列条件，求双曲线方程
①与双曲线1
4
16
2
2
=
-
y
x
有公共焦点，且过点（2
3，2）
②与双曲线1
9
16
2
2
=
-
y
x
有共同的渐近线，且过点（3
2，-3）
三、归纳反思
椭圆和双曲线几何性质的比较：
椭圆双曲线定义
标准方程
图形
(顶点坐
标)
(焦点坐
标)
范围
轴
对称轴
(对称中
心)
离心率
及其范围
a,b,c关系
渐近线。