八年级数学：平行线截得比例线段定理

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平行线分线段成比例定理

3、如图梯形ABCD中点E、F分别在 AB、CD上EF∥AD假设EF作上下平行移动
一、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例. 关键要能熟练地找出对应线段
小结
二、要熟悉该定理的几种基本图形
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
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F
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a
（平行线分线段成比例定理）。
三练习
！
证明：因为
（平行线分线段成比例定理）。
因为
已知：如图，，求证：。
E
B
A
D
C
F
（平行线分线段成比例定理）。
设AB=X则BC=8—X
即：
（平行线分线段成比例定理）。
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平行线分线段成比例定理
l1
l2
l3
平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例如图
已知l1∥l2∥l3 求证
或
或
定理的证明过A点作AN ∥ DF交l2于M交l3于N 点连接 BN 、CM如图1-2
∵l1∥l2∥l3 ∴AM =DE MN=EF 在△ACN中有
.
∵BM∥CN ∴S△BCN= S△BMN ∴
亦即
平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例
“对应”是数学的基本概念图1-1中在l1∥l2∥l3的条件下可分别推出如下结论之一： 1简称“上比下”等于“上比下” 2简称“上比全”等于“上比全” 3 简称“下比下”等于“下比下” 把这个定理运用于三角形中就得到它的重要推论

平行线截得比例线段定理

平行线截得比例线段定理简介平行线截得比例线段定理是数学中的一条重要定理，它描述了平行线所截线段的比例关系。

这个定理可以帮助我们解决许多几何问题，特别是与平行线和线段相关的问题。

下面将详细介绍这个定理及其应用。

定理表述平行线截得比例线段定理，又称为Thales定理，它表述如下：定理：如果在两条平行直线上有一组交叉线段，那么这些交叉线段的长度比是相等的。

按照数学表达式来表示，设有两条平行线l和m，它们被一组交叉线段AB和CD分别截取，AB与CD之间的交叉线段分别为AE和CF。

那么，根据平行线截得比例线段定理，我们有以下等式成立：$\\frac{AB}{CD} = \\frac{AE}{CF}$其中，AB和CD为已知线段，AE和CF为待求线段。

证明平行线截得比例线段定理的证明可以基于数学的初等几何和比例关系。

这里简要概述一下该定理的证明过程。

首先，我们可以利用平行线之间的性质证明交叉线段的比例相等性质。

可以通过使用平行线上的内错角定理来证明同位角相等。

然后，我们可以利用对应角相等以及相似三角形的性质来证明线段的比例关系。

具体证明过程可能会涉及到对角线进行延长、三角形的相似性质以及比例的性质等。

不过，由于本篇文档的限制，无法将具体的证明过程呈现给读者。

如果你对该定理的证明感兴趣，可以通过查阅相关数学教材或资料进行深入学习。

应用示例平行线截得比例线段定理在几何问题中的应用非常广泛。

下面我们通过一个应用示例来进一步说明它的用途。

假设我们有三条平行线l，m和n，它们分别被交叉线段AB和CD截取。

已知AB与CD的比例为2:3，我们可以利用平行线截得比例线段定理来求解其他线段的长度。

假设平行线l与m之间截取的线段为AE，平行线m与n之间截取的线段为CF。

根据平行线截得比例线段定理，我们可以设立如下比例等式：$\\frac{AB}{CD} = \\frac{AE}{CF}$代入已知比例和线段长度，我们可以得到：$\\frac{2}{3} = \\frac{AE}{CF}$根据上述等式，我们可以解出AE和CF的比例关系，从而求解出AE和CF的具体长度。

平行线分线段成比例定理

平行线分线段成比例定理【重点难点解析】重点：平行线分比例线段定理与三角形一边的平行线的性质和判定 . 难点：平行线分线段成比例定理及推论的应用 .【命题趋势分析】利用平行线分线段成比例定理及相关推论，进行证明和计算是考试热点，在中考中常以填空题、选择题、计算题、证明题和作图题出现，解题时要结合比例性质 .核心知识【基础知识精讲】本节的主要内容是平行线分线段成比例定理与三角形一边的平行线的性质和判定 .1. 平行线分线段成比例定理(1) 定理：三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例 (2) 定理的基本图形若 l 1∥l 2 ∥l 3，则3. 三角形一边平行线的判定定理：如果一条直线截三角的两边 ( 或两边的延长线 ) 所得的线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边4. 相似三角形性质定理的预备定理平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形的三边成比例 ( 如图 )) ，所得的对应线段成比例2. 平行线分线段成比例推论(1) 推论：平行于三角形一边的直线截( 或两边的延长线△ABC中，若DE∥BC，则＝＝上述基础知识①用来证明线段成比例；②证明直线平行；③证明两三角形相似；④已知三条线段，作第四比例项典型例题例 1 如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE∶ED＝1∶3，BE的延长线交AC于 F.求AF∶FC.例 2 如图， D 为△ABC的AC边上一点， E 为CB延长线上一点，且＝，求证：AD＝EB.例 3 已知：如图，△ ABC 中，DE∥BC，AC＝6，AD＝6，CE＝2，则BD的长为多少？例 4 如图，已知AD为△ ABC中∠ BAC 的平分线，求证：【课本难题解答】例 1 在△ABC（AB> AC）的边AB上取一点D，在边AC上取一点E，使AD＝AE，直线DE和BC的延长线交于点P，求证：BP∶CP＝BD∶CE.（如图 5.2-11）（P 255 A.18）例 2 如图 5.2-12 ，过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和 E.求证：AE∶ED＝2AF∶FB例3 为了求出海岛上的山峰AB的高度、在D和F处树立标杆DC和FE，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1 步等于6尺），并且AB、CD和EF在同一平面内，从标杆DC退后123 步的G处，可看到山峰A和标杆顶端C在同一直线上，从标杆FE退后127 步的H处，可看到山峰A和标杆顶端E在一直线上，求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少?（如图 5.2- 13）（P 256B.17）补充一些小问题1.怎样用三角形面积公式证明平行线分线段成比例定理？2.平行线分线段成比例定理有没有逆定理？3.如图，D为△ABC的AB 边上一点，过 D 点作DE∥BC，DF∥AC，4.如图，已知AC∥BD，BD⊥AB，AD、BC相交于E，EF⊥AB 于 F. 求证：- ＝5. 如图，D、F 分别是△ ABC的边AB、AC上的点，且AD∶DB＝CF∶FA＝2∶3连DF 交BC的延长线于E. 求EF∶FD.AF交DE于G，BE交DF于H，求证：GH∥AB.6.已知：如图，在□ ABCD 中， E 是AB 的中点，在 AD 上截取 AF ＝FD ，EF 交 AC 于 G.求证：＝7. 如图，在△ ABC （AB > AC ）的边 AB 上取一点 D ，在边 AC 上取一点 E ，使 AD ＝AE ，线段 DE 和 BC 的延长线交于点 P. 求证： BP ∶CP ＝BD ∶CE8. 如图，已知菱形 ABCD 的边长为 3，延长 AB 到点 E ，使 BE ＝2AB ，连结 EC 并延长交 AD 的延长线于点 F ，求 AF 的长.【典型例题】例 1 如图，在△ ABC 中， DE ∥BC ， EF ∥ CD.（ 1）求证： AF ：AD=AD ：AB （2）若 AF=4，FB=5，求 FD 的长 . （ 1）证明：∵ EF ∥DC ，∴ AF ： AD=AE ： AC∵ DE ∥ BC ，∴ AD ：AB=AE ：AC ∴AF ： AD=AD ： AB（2）AF=4，FB=5，∴AB=9，由 AD 2=AF ·AB ，∴ AD=6，FD=2.A例 2 如图， M 为 ABCD 一边 AD 的中点， BM 交 AC 于点 P ，若 AC=6cm ，求 PC 的值 .A MAD 2例 3 如图，若 DE ∥ AB ，FD ∥BC ， = ，AB=9cm ，BC=6cm ，求 BEDF 的周长 .AC 3例 4 如图，在△ ABC 中，∠ ABC 的角平分线交 AC 于 D 。

平行线分线段成比例定理

平行线分线段成比例定理讲义
二、平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理是研究相似三角形的最重要和最基本的理论.它一方面可直接判定线段成比
例，另一方反面也可用辅助平行线转移比例.
1.平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例.
如图1-1
图1-1
若，则，(或；或)
定理的证明“对应”是数学的基本概念，图1-1中，在的条件下，可分别推出如下结论
之一：
(1)简称“上比下”等于“上比下”
(2)简称“上比全”等于“上比全”
(3)简称“下比全”等于“下比全”
把这个定理运用于三角形中就得到它的重要推论.
2.平行于三角形一边的直线的判定和性质(“A”、“X”型)
主要的基本图形：
1．如图2-1 已知△ABC中AB=AC，AD⊥BC，M是AD的中点，CM交AB于P，DN∥CP
交AB于N，若AB=6cm，求AP的值.
点评：此题利用平行线分线段成比例定理，结合中点定义找出线段的比值，进而求出线段的长.
2．(如图2-2)已知直线截△ABC三边所在的直线分别于E、F、D三点且AD=BE.
求证：EF：FD=CA：CB.
图2-2又AD=BE
∴.
证法(二) 过E作EP∥BA交CA的延长线于P是解决此问题的第二种辅助线作法.
证法(三) 过D作DN∥BC交AB于N也可解决此问题.。

数学教案-平行线分线段成比例定理_八年级数学教案_模板

数学教课方案－平行线分线段成比率定理_八年级数学教课方案 _模板教课建议知识构造重难点剖析本节的要点是平行线分线段成比率定理.平行线分线段成比率定理是研究相像形的最重要和最基本的理论，它一方面能够直接判断线段成比率，另一方面，当不可以直接证明要证的比率成即刻，常用这个定理把两条线段的比“转移”成另两条线段的比.本节的难点也是平行线分线段成比率定理.平行线分线段成比率定理变式许多，学生在找对应线段时经常出现错误；此外在研究平行线分线段成比率时，常用到代数中列方程度方法，利用已知比率式或等式列出对于未知数的方程，求出未知数，这类运用代数方法研究几何问题，学生接触不多，也经常出现错误.教法建议1.平行线分线段成比率定理的引入可考虑从旧知识引入，先复习平行线均分线段定理，再改变此中的条件引出平行线分线段成比率定理2.也可考虑研究式引入，对给定几组图形由学生丈量得出各直线与线段的关系，进而得到平行线分线段成比率定理，并加以证明，较附和学生的认知规律（第一课时）一、教课目的1．使学生在理解的基础上掌握平行线分线段成比率定理及其推论，并会灵巧应用.2．使学生掌握三角形一边平行线的判断定理.3．已知线的成已知比的作图问题.4．经过应用，培育识图能力和推理论证能力.5．经过定理的教课，进一步培育学生类比的数学思想.二、教课方案察看、猜想、概括、解说三、要点、难点l．教课要点：是平行线分线段成比率定理和推论及其应用．2．教课难点：是平行线分线段成比率定理的正确性的说明及推论应用．四、课时安排1课时五、教具学具准备投影仪、胶片、常用绘图工具．六、教课步骤【复习发问】找学生表达平行线均分线段定理．【解说新课】在四边形一章里，我们学过平行线均分线段定理，今日，在此基础上，我们来研究平行线均分线段成比率定理．第一复习一下平行线均分线段定理，如图：，且，∴因为问题：假如，那么能否还与相等呢？教师可率领学生阅读教材P211 的说明，而后重申：（该定理是用举例的方法引入的，没有给出证明，严格的证明要用到我们还未学到的知识，经过举例证明，让同学们认可这个定理就能够了，重要的是要求同学们正确地使用它）所以：对于是任何正实数，当时，都可获取：由比率性质，还可获取：为了便于记忆，上述 6 个比率可使用一些简单的形象化的语言“ ”.此外，依据比率性质，还可获取，即同一比中的两条线段不在同向来线上，也就是“ ，”这里不要让学存亡记硬背，要让学生会看图，达到依据图作出正确的比率即可，可多找几个同学口答练习 .平行线分线段成比率定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比率.平行线等分线段定理可看作是这个定理的特例.依据此定理，我们能够写出六个比率，为了便于应用，在此后的论证和计算中，可依据状况采用此中任何一个，拜见以下图 .，∴.此中后两种状况，为下一节学习推论作了准备.例 1已知：以下图，.求： BC.解：让学生来达成.注：在列比率式求某线段长时，尽可能将要求的线段写成比率的第一项，以减少错误，如例 1 可列比率式为：例 2已知：以下图，求证：.有了 5.1 节例 4 的教课，学生作此例题不会有困难，建议让学生来达成.【小结】1．平行线分线段成比率定理正确性的的说明.2．娴熟掌握由定理得出的六个比率式.（比较图形，并注意变化）七、部署作业教材 P221 中 3（训练学生战胜图形中各线段的扰乱）.八、板书设计如何在数学教课中培育学生的着手操作能力中图分类号： G633.6文件表记码：A文章编号：1002-7661（2013）24-0081-02 生理学研究表示，人脑半球在功能上有分工，各自办理不一样的信息，但在达故意理活动时又是协作一致作用的，左脑和右脑拥有互补性和整合性，在中学数学教课中，让学生利用学具进行操作，一方面能够减缓大脑的疲惫，另一方面学生的感知成立在操作活动基础上。

初中数学教案：平行线等分线段定理平行线段成比例定理

初中数学教案：平行线等分线段定理_平行线段成比例定理平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他需直线上截得的线段也相等．注意事项：定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的特殊的平行线组；它是由三条或三条以上的平行线组成．定理的作用：可以用来证明同一直线上的线段相等；可以等分线段．2．平行线等分线段定理的推论推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。

记忆方法：“中点”＋“平行”得“中点”．推论的用途：（1）平分已知线段；（2）证明线段的倍分．重难点分析本节的重点是平行线等分线段定理.因为它不仅是推证三角形、梯形中位线定理的基础，而且是第五章中“平行线分线段成比例定理”的基础. 本节的难点也是平行线等分线段定理.由于学生初次接触到平行线等分线段定理，在认识和理解上有一定的难度，在加上平行线等分线段定理的两个推论以及各种变式，学生难免会有应接不暇的感觉，往往会有感觉新鲜有趣但掌握不深的情况发生，教师在教学中要加以注意. 教法建议平行线等分线段定理的引入生活中有许多平行线等分线段定理的例子，并不陌生，平行线等分线段定理的引入可从下面几个角度考虑：①从生活实例引入，如刻度尺、作业本、栅栏、等等；②可用问题式引入，开始时设计一系列与平行线等分线段定理概念相关的问题由学生进行思考、研究，然后给出平行线等分线段定理和推论.教学设计示例一、教学目标1.使学生掌握平行线等分线段定理及推论.2.能够利用平行线等分线段定理任意等分一条已知线段，进一步培养学生的作图能力．3.通过定理的变式图形，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力．4.通过本节学习，体会图形语言和符号语言的和谐美二、教法设计学生观察发现、讨论研究，教师引导分析三、重点、难点1．教学重点：平行线等分线段定理2．教学难点：平行线等分线段定理四、课时安排l课时五、教具学具计算机、投影仪、胶片、常用画图工具六、师生互动活动设计教师复习引入，学生画图探索；师生共同归纳结论；教师示范作图，学生板演练习七、教学步骤【复习提问】1．什么叫平行线？平行线有什么性质．2．什么叫平行四边形？平行四边形有什么性质？【引入新课】由学生动手做一实验：每个同学拿一张横格纸，首先观察横线之间有什么关系？（横线是互相平等的，并且它们之间的距离是相等的），然后在横格纸上画一条垂直于横线的直线，看看这条直线被相邻横线截成的各线段有什么关系？（相等，为什么？）这时在横格纸上再任画一条与横线相交的直线，测量它被相邻横线截得的线段是否也相等？（引导学生把做实验的条件和得到的结论写成一个命题，教师总结，由此得到平行线等分线段定理）平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上挂得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．注意：定理中的“一组平行线”指的是一组具有特殊条件的平行线，即每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组，这一点必须使学生明确．。

平行截割(平行线分线段成比例定理运用)

平行截割一、知识纵横：平行线是初中平面几何中基本而重要的图形，平行线能改变角的位置并传递角，可“送”线段到恰当处，完成等积变形，当一组平行线截两条直线时就得到比例线段，平行线分线段成比例定理是研究比例线段、相似形的重要理论．利用、挖掘、创造平行线，是运用平行线分线段成比例定理解题的关键，另一方面，需要熟悉并善于从复杂图形中分解或构造如下形如“E ”、“A ”型或“X ”型的基本图形：二、典型例题：例1.如图，已知在平行四边形ABCD 中，M 、N 为AB 的三等分点，DM 、DN 分别交AC 于P 、Q 两点，则AP ：PQ ：QC= ．思路点拨图中有形如“X ”型的基本图形，建立含AP ，PQ ，QC 的比例式，并把AP ，PQ ，QC 用同一条线段的代数式表示．例2.如图，已知在△ABC 中，AE ：EB=1：3，BD ：DC=2：1，AD 与CE 相交于F ，则FDAF FC EF +的值为( ) A ．21 B ．1 C ．23 D ．2 思路点拨已知条件没有平行线，需恰当作平行线，构造基本图形，产生含FCEF ，FD AF 的比例线段，并设法沟通已知比例式与未知比例式的联系．例3.如图，BD 、BE ，分别是∠ABC 与它的邻补角∠ABP 的平分线，AE ⊥BE ，AD ⊥BD ，E 、D 为垂足．(1)求证：四边形AEBD 为矩形；(2)若AD AE =3，F 、G 分别为AE 、AD 上的点，FG 交AB 于点H ，且3=AGAF ，求证：△AHG是等腰三角形．例4.如图，梯形AB CD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ．(1)如果P 、E 、F 分别是BC 、AC 、BD 的中点，求证：AB=PE+PF ；(2)如果P 是BC 上的任意一点(中点除外)，PE ∥AB ，PF ∥DC ，那么AB=PE+PF 这个结论还成立吗?如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．思路点拨对于(2)，先假设结论成立，从平行线出发证明AB=PE+PF ，即需证明1=+ABPF AB PE ，将线段和差问题的证明转化为与比例线段有关问题的证明．注若题设条件无平行线，需作平行线．而作平行线要考虑好过哪一点作平行线，一般是由比的两条线段启发而得的，其目的是构造基本图形．平行线分线段成比例定理是证明比例线段的常用依据之一，比例线段丰富了我们研究几何问题的方法，主要体现在：(1)利用比例线段求线段的长度；(2)运用比例线段证明线段相等，线段和差倍分关系、两直线平行等问题．例5.如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，直线l 平行于BD ，且与AB 、DC 、BC 、AD 及AC 的延长线分别相交于点M 、N 、R 、S 和P ，求证：PM ×PN=PR ×PS思路点拨由于PM 、PN 、PR 、PS 在同一条直线上，所以不能直接应用平行线分线段成比例推得结论，需观察分解图形，利用中间比沟通不同比例式的联系三、巩固提高：1．如图，△ABC 中有菱形AMPN ，如果21=MB AM ，则=BCBP ． 2．如图，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上一点，CF 的延长线交AB 于点E ，若31=FD AF ，则=BE AE ；若nFD AF 1=，则=BE AE ． 3．如图，已知点D 为△ABC 中AC 边的中点，AE ∥BC ，ED 交AB 于点G ，交BC 的延长线于点F ，若3=GABG ， BC=8，则AE 的长为．4．如图，在平行四边形ABCD 中，AB=4cm ，BC=lcm ，E 是CD 边上一动点，AE 、BC 的延长线交于点F ，设DE=x (㎝)，BF=y(cm)，用x 的代数式表示y 得．5．如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，现得到下列结论：①FC BF EC AE =；②BC AB BF AD =；③BC DE AB EF =；④BFEA CF CE = ．其中正确比例式的个数有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．如图，BD 、CE 是△ABC 的中线，P 、Q 是BD 、CE 的中点，则BCPQ 等于( ) A ．31 B ．41 C ．51 D ．617．如图，已知在平行四边形ABCD 中，O 1、O 2，O 3为对角线BD 上三点，且BO 1=O l Q 2=O 2O 3=O 3D ，连结AO l 并延长交BC 于点C ，连结EO 3延长交AD 于点F ，则AD ：FD 等于( )A ．19：2B ．9：1C ．8：1D ．7：18．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，BD=3CE ，DE 交BC 于F ，则DF ：FE等于( )A ．5：2B ．2：lC ．3：1D ．4：19．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=31CD ，E 是AB 上一点，AE=2BE ，M 是腰BC 的中点，连结EM 并延长交DC 的延长线于点F ，连结BD 交EF 于点N 求证：BN ：ND=l ：10．10．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 经过梯形对角线的交点O ，且EF ∥AD ．(1)求证：OE=OF ，(2)求BCOE AD OE +的值；（3）求证：EFBC AD 211=+．11．已知如图1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，垂足分别为B 、D ，AD 和BC 相交于点E ，EF ⊥BD 于F ，我们可以证明EFCD AB 111=+成立．若将图1中的垂直改为斜交，如图2，AB ∥CD ，AD 、BC 相交于点E ，过点E 作EF ∥AB ，交BD 于点F ，则： (1) EFCD AB 111=+还成立吗?如成立，请给出证明；如不成立，请说明理由； (2)请找出S △ABD ，S △BED ，S △BDC 间的关系式，并给出证明．12．如图，在梯形ABCD 中．AB ∥CD ，AB ＝3CD ，E 是对角线AC 的中点，BE 延长后交AD 于F ，那么FDAF = ． 13．如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，过O 任作一直线与CD 、BC 的延长线分别交于F 、E 点，设BC=a ，CD=b ，CE=c ，则CF= ．14．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD= a ，BC= b ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，且AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，则PQ 的长为．15．如图，工地上竖立着两根电线杆AB 、CD ，它们相距15m ，分别自两杆上高出地面4m 、6m 的A 、C 处，向两侧地面上的E 、D 、B 、F 点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳AD 与BC 的交点P 离地面的高度为 m ．16．如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E ，F 是BC 的三等分点．AE 、AF 分别交BD 于M 、N 两点，则BM ：MN ：ND=( )A ．3：2；1B ．4：2：lC ．5：2：1D ．5：3：217．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=3，BC=9，AB=6，CD ＝4，若EF ∥BC ，且梯形AEFD 与梯形EBCF 的周长相等，则EF 的长为( )A ．745B ．533C ．539 D ．21518．如图，平行四边形ABCD 中，F 、F 分别是边AD 、BC 的中点，AC 分别交BE 、DF 于G 、H ，试判断下列结论：①BE=DF ；②AG=GH=HC ；③EG=21BG ； ④S △ABE =3S △AGE ，其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个19．如图，已知△ABC ，32=DC BD ，43=EC AE ，AD 、BE 交于F ，则FE BF FD AF ⋅的值( ) A ．37 B ．914 C ．1235 D ．1356 20．如图，已知AB ∥EF ∥CD ，AC+BD=240，BC=100，EC+ED=192，求CF ．21．如图，已知在平行四边形ABCD 中，E 为AB 边的中点，AF=21FD ，FE 与AC 相交于G ，求证：AG=51AC ．22．如图，已知M 、N 为△ABC 的边BC 上的两点，且满足BM=MN=NC ，一条平行于AC 的直线分别交AB 、AM 和AN 的延长线于点D 、E 和F ，求证：EF=3DE ．23．在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O ．某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：(1)当11121+==AC AE 时，有12232+==AD AO (如图甲)；（2）当21131+==AC AE 时，有22242+==AD AO (如图乙)； (3)当31141+==AC AE 时，有32252+==AD AO (如图丙)；在图丁中，当nAC AE +=11时，参照上述研究结论，请你猜想用n 表示AD AO 的一般结论，并给出证明(其中n 是正整数)24．如图，在平行四边形ABCD 中，P 1，P 2，…，P n 是BD 的n 等分点，连结AP 2并延长交BC 于点E ，连结AP n-2并延长交CD 于点F ．(1)求证：EF ∥BD ；(2)设平行四边形ABCD 的面积是S ，若S △AEF =83S ，求n 的值．。

平行线分线段成比例定理

如图，有一块形状为直角梯形的草地，周围均为水泥如图，有一块形状为直角梯形的草地，直道，两个拐角A 处均为直角，直道，两个拐角A、B处均为直角，草地中间另有一条水泥直道EF垂直于AB 垂足为E.已知AE EF垂直于AB， E.已知AE长 EB长 DF长直道EF垂直于AB，垂足为E.已知AE长a米，EB长b米，DF长 c米.求CF.
要熟悉该定理的几种基本图形
A B C D B C A E F E D D E F C A B B C C E D B A E F A B E D
F D
C A
16 16 8 CF = DE = , BF = 8= . 3 3 3
B
F
C
例2:三角形内角平分线分对边成两线三角形内角平分线分对边成两线这两线段和相邻的两边成比例. 段,这两线段和相邻的两边成比例这两线段和相邻的两边成比例
A
4 3
E
已知：是已知：AD是△ABC中∠A的平中的平分线，分线， BD AB 求证：求证：DC
课堂小结
平行线分线段成比例定理与平行线等分线段定理有何联系？定理有何联系？
A B D E
AB 当 =1 BC AB 当 ≠1 BC
A B
D E
C
F
C
F
结论：后者是前者的一种特殊情况！结论：后者是前者的一种特殊情况！平行线分线段成比例定理：平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 对应线段成比例三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
l4
l5
问题二如何不通过测量，运用所学知识，快速将一根绳如何不通过测量，运用所学知识，子分成两部分，使这两部分之比是2:3? 子分成两部分，使这两部分之比是2:3?

初中八年级下册数学基础习题练习：21平行线分线段成比例定理

平行线分线段成比例定理【知识要点】本节的主要内容是平行线分线段成比例定理与三角形一边的平行线的性质和判定.1.平行线分线段成比例定理及其推论定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边或（两边的延长线），所得的对应线段成比例。

注意：（1）平行线截得的线段注意三类对应关系：全下全下全上全上下上下上===,, （均为同一直线上两线段之比）（2）根据比例的性质：l 1∥l 2∥l 3DFACEF BC DE AB ==⇒，此为两直线上对应线段之比，即左比右等左比右。

2．截三角形两边或其延长线的直线平行于第三边的判定如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

如图：∵DE ∥BC∴ECACBD AB EC AE DB AD AC AE AB AD ===,,A B CDE F l 1 l 2 l 3ACBDAE3．平行于三角形一边，并且和两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

4．平行线的判定：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

∵EC AE DB AD = ∵AC AE AB AD = ∵ECACBD AD =∴DE ∥BC ∴DE ∥BC ∴DE ∥BC典型例题例1、如图，在△ABC 中，AD 是中线，EF∥BC 分别交AB 、AD 于E 、F 、P ，求证：PE ＝PF.C例2.如图，四边形BDFE是菱形，DC＝BD，且DC＝4，求AE.例3.如图，□ABCD中，AE交BC延长线于E交CD于F，BC∶CE＝3∶2，求CF∶FD.例3 如图，已知AD为△ABC中∠BAC的平分线，求证：＝.例4 已知，如图，D 为BC 三等分点，且DC<BD ，EF=DF 时，求AFAB的值.平行线分线段成比例定理练习1．在△ABC 中，DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，DE ：BC=2：3，则AD ：BD=__________。

数学教案-平行线分线段成比例定理(第二课时)_八年级数学教案

数学教课方案－平行线分线段成比率定理（第二课时） _八年级数学教课方案（第二课时）一、教课目的1．使学生在理解的基础上掌握平行线分线段成比率定理及其推论，并会灵巧应用.2．使学生掌握三角形一边平行线的判断定理.3．已知线的成已知比的作图问题.4．经过应用，培育识图能力和推理论证能力.5．经过定理的教课，进一步培育学生类比的数学思想.二、教课方案察看、猜想、概括、解说三、要点、难点l．教课要点：是平行线分线段成比率定理和推论及其应用．2．教课难点：是平行线分线段成比率定理的正确性的说明及推论应用．四、课时安排1 课时五、教具学具准备投影仪、胶片、常用绘图工具．六、教课步骤【复习发问】表达平行线分线段成比率定理（要求：联合图形，做出六个比率式）.【解说新课】在黑板上画出图，察看其特色：与的交点 A 在直线上，依据平行线分线段成比率定理有：（六个比率式）而后把图中相关线擦掉，剩下如下图，这样即可获取：平行于的边BC的直线DE截AB、AC，所得对应线段成比率．在黑板上画出左图，察看其特色：与的交点 A 在直线上，相同可得出：（六个比例式），而后擦掉图中相关线，获取右图，这样即可证到：平行于的边BC的直线DE截边BA、CA的延伸线，因此对应线段成比率．综上所述，能够获取：推论：（三角形一边平行线的性质定理）平行于三角形一边的直线截其余两边（或两边的延伸线），所得的对应线段成比率．如图，（六个比率式）．此推论是判断三角形相像的基础．注：对于推论中“或两边的延伸线”，是指三角形两边在第三边同一侧的延伸线，假如已知， DE 是截线，这个推论包括了以下图的各样状况．这个推论不包括以下图的状况．后者，教课中如学生不提起，可不用向学生交待．（考虑改用投影仪或小黑板）例 3 已知：如图，教材上采纳了先求，求： AE ．CE 再求 AE 的方法，建议在列比率式时，把CE 写成比率第一项，即：.让学生思虑，能否可直接未出【小结】1．知道推论的研究方法．AE （找学生板演）．2．要点是推论的正确运用七、部署作业（1）教材 P215 中 2．（2）选作教材 P222 中 B 组1．八、板书设计二次根式加减的教课方案汉滨区初级中学张教军课题：二次根式的加减课时： 1 课时课型：新讲课教课目的：1.知识目标：二次根式的加减法运算2.能力目标：能娴熟进行二次根式的加减运算，能经过二次根式的加减法运算解决实质问题。

平行线分线段成比例定理

3.1 相似形3.1.1．平行线分线段成比例定理在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题。

在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比。

在一张方格纸上，我们作平行线123,,l l l （如图3.1-1），直线a 交123,,l l l 于点,,A B C ，2,3AB BC ==，另作直线b 交123,,l l l 于点',','A B C ，不难发现''2.''3A B AB B C BC == 我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

如图3.1-2，123////l l l ，有AB DE BC EF =。

当然，也可以得出AB DEAC DF=。

在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例。

例1 如图3.1-2， 123////l l l ，且2,3,4,AB BCD F ===求,DE EF 。

解:32,//l //l l 321==∴EF DE BC AB , ∴28312,.235235DE DF EF DF ====++ 例2 在ABC ∆中，,D E 为边,AB AC 上的点，//DE BC ，图 3.1-1 图3.1-2求证：AD AE DEAB AC BC==。

证明（1）//,,,DE BC ADE ABC AED ACB ∴∠=∠∠=∠ ADE∆∴∽ABC ∆，.AD AE DEAB AC BC∴== 证明（2）如图3.1-3，过A 作直线//l BC ，////,l DE BC AD AEAB AC∴=。

过E 作//EF AB 交AB 于D ，得□BDEF ,因而.DE BF =//,.AE BF DE EF AB AC BC BC ∴== .AD AE DEAB AC BC∴== 从上例可以得出如下结论：平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

初二数学平行线分线段成比例定理讲义及练习

平行线分线段成比例定理一、主要知识点1．平行线分线段成比例定理,三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.2．三角形一边平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）:平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.3．三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.4．三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6）:平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。

二、重点剖析1．平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理论，同时，它也是直接证明线段成比EFBC=, 可以说成“上比下等于上比下"DEAB=, 可以说成“上比全等于上比全"又∵43=EC AE ∴ 73=AC AE ∴73=DC EG极 EG=3X , DC=7X （X>0），则∵32=DC BD ∴ DB=x x DC 31473232=⨯= ∴9143314==x xEG BD10例3求证分析 BC//FE 证明:∵则例4 分别连结E ，DB 分析:首先观察证明：∵点评（1（3 例5 求证分析例6 分析在△②—①得-AB AD BF BC 例7 如图11,AD BF ⊥AD 的延长线于交BC 的延长线于M 求证：AE=EM分析要证AE=EM,可延长BF 交AC 证明：延长BF 交AC ∴△ABF ≌△ANF8．图,GB AF l l 52,//21=,BC=4CD ， 91011AE 1213① 求证ME=NF② 当EF 向上平移图（2)各个位置其他条件不变时， ①的结论是否成立，请证明你的判断。

［练习与测试参考解答或提示]1．215;2．18cm ； 3．52,35； 4．9:4; 5．9； 6．10,18； 7．9：1； 8．2； 9．6 10．提示,过D 作DH//AC 交BG 于H 点，则DH AEGD AG =，DHEC BD BC =，又AE=EC ，BD=AB,即可得结论。

平行线截得比例线段定理

平行线截得比例线段定理介绍在几何学中，平行线截得比例线段定理是一种简单而又常用的几何定理。

这个定理描述了两条平行线之间的线段的比例关系，是解决平行线与线段问题的有效工具。

定理表述设有两条平行线l和m，在这两条平行线上任意选取三个点A、B、C，其中B是线段AC上的一点。

则有以下定理成立：定理：直线l和m所截线段AC、AB分别与直线m所截线段BC的比值相等。

即AB / BC = AC / CB证明下面给出该定理的简单证明：我们可以假设直线l和m的交点为O，并画出AO和CO两条直线。

由于AC是两条平行线l和m所切割的交线段，所以根据相似三角形的性质，我们可以得到如下比例关系：AO / CO = AB / CB进一步，我们可以对上面的比例式进行变形，得到：AB / CB = AC / CO再观察三角形ACO，我们可以发现，BC是CO的外部一部分，所以我们可以用AC减去CO得到CB的长度。

将这一点代入上式，我们可以得到：AB / CB = AC / (AC - CB)接下来，我们将等式两边的比例的分子和分母都乘以CB，得到：AB * CB / CB = AC * CB / (AC - CB)化简后可得：AB = AC * CB / (AC - CB)我们可以将分子视为AC和AB之间可乘的比例系数。

当分子为负时，我们可以观察到AC和AB位于点O的同一侧。

所以，这个比例关系对于任意选择的点B都是成立的。

因此，根据我们的证明，我们可以得出结论：直线l和m所截线段AC、AB分别与直线m所截线段BC的比值相等。

应用平行线截得比例线段定理有很多实际应用，特别是在几何证明和计算问题中。

在几何证明中，平行线截得比例线段定理是解决平行线问题的重要工具。

它可以帮助我们推导出其他与平行线相关的性质和定理。

在计算问题中，平行线截得比例线段定理可以用来计算未知比例线段的长度。

只要已知其他三个线段的长度和相对位置，我们就可以通过这个定理得出未知线段的长度。

八年级第九讲平行线分线段成比例定理

若，则，(或；或) 图1-1 定理的证明定理的证明过A 点作AN ∥DF ，交l 2于M ，交l 3于N 点，连接点，连接 BN 、CM(如图(1-2) 图1-2 ∵∴AM=DE MN=EF 在△ACN 中，有. ∵BM ∥CN ∴S △BCM =S △BMN∴ 亦即亦即如何理解定理结论中“所得对应线段成比例”呢？呢？ “对应”是数学的基本概念，图1-1中，在的条件下，可分别推出如下结论之一：名师堂八年级数学第九讲平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理是研究平行线分线段成比例定理是研究相似三角形相似三角形的最重要和最基本的理论.它一方面可直接判定线段成比例，另一方反面也可用辅助平行线转移比例. 1.平行线分线段成比例定理：平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条三条平行线截两条直线直线所得的对应线段成比例. 如图1-1(1) 简称“上比下”等于“上比下”(2) 简称“上比全”等于“上比全”. (3) 简称“下比全”等于“下比全”把这个定理运用于三角形中就得到它的重要推论. 2.平行于三角形一边的平行于三角形一边的直线直线的判定和性质(“A”、“X”型) 主要的基本图形：主要的基本图形：(图1) 平行线分线段成比例分线段成比例 (图2) 图1、2中，有定理：平行于三角形一边的直线截其他两边或延长线，所得的对应线段成比例(可看作性质1).及其及其逆定理逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边(可看作判定). 以及定理：平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线所截得的三角形与原三角形的三边对应成比例(可看作性质2). 对“A”、“X”型的特征分析：A 点是两相交直线的点是两相交直线的交点交点，D 、E 和B 、C 是两平行线和相交直线的交点，(共5点)，其中作比的三点在一条直线上(AD ：AB=AE ：AC 中，A 、D 、B 在一条直线上，A 、E 、C 在一条直线上.)在作辅助线的时候我们可以观察这些特征.而可以作比的六个点中如果有两个点是同一个点，那么过这个点作平行线往往可以一举多得. 注意点：(1)平行线分线段成比例没有逆定理(2)判断平行线的条件中，只能是被截的两条直线的对应线段成比例(被判断的被判断的平行线本身不能参与作比例) (3)有些时候我们也要注意图3，DE//BC ，则DF ：FE=BG ：GC (4)由于平行线分线段成比例定理中，平行线本身没有参与作比例，因此，有关平行线段的计算问题通常转化到“A”、“X”型中. 典型例题典型例题例1．如图2-1 已知△ABC 中AB=AC ，AD ⊥BC ，M 是AD 的中点，CM 交AB 于P ，DN ∥CP 交AB 于N ，若AB=6cm ，求AP 的值例2．(如图2-2)图2-3 已知已知直线直线截△ABC 三边所在的直线分别于E 、F 、D 三点且AD=BE. 求证：EF ：FD=CA ：CB. 图2-2 证法(二) 过E 作EP ∥BA 交CA 的延长线于P 是解决此问题的第二种辅助线作法. 证法(三) 过D 作DN ∥BC 交AB 于N 也可解决此问题. 例3．AM 是△ABC 的中线，P 是AM 上任意一点，BP 、CP 的延长线分别交AC 、AB 于E 、D 两点. 求证：DE ∥BC. 分析：如图2-3 练习1．选择题：．选择题：(1)如图，AB∥CD∥EF，则在图中下列关系式一定成立的是( ) A．B．C．DA．2 B．3C．DA．B．C．D．(4)在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且DE∥BC ，，则等于( ) A．B．C．D．．(2)如图，△ABC中，G是BC中点，E是AG中点，CE的延长线交AB于D，则EC：DE的值为( ) ．(3)如图，在△ABC中，DE∥BC，则下列，则下列比例比例式成立的是( ) (5)如图，△ABC中，DE∥AC交AB、BC于D、E，如果AB=7cm，AC=5cm，AD=3cm，则DE=( ) A．B．C．DA．B．C．D的面积的，求EC的长. ．(6)如图，在△ABC中，如果DE∥BC，DF∥AC，则下列，则下列比例比例式中不正确的是( ) ．2．已知：如图，△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，AD：DB=2：3，AC=a，求DE的长. 3．已知：如图，△ABC为等边三角形，边长为2，DE∥BC，△BCD的面积是△ABC4．如图，△ABC中，AD是中线，点F在AD上，且AF：FD=1：2，BF的延长线交AC于E，求AE：EC=？能力提升例1 已知：如图5-195-19，，AD 为△ABC 的角平分线，求证：AB∶AC=BD∶DC．例2 求证：求证：等腰三角形等腰三角形底边上任意一点到两腰距离的和等于一腰上的高．即图5-20中，中，AB=AC AB=AC AB=AC，，P 为底边BC 上任意一点，PR⊥AB 于点R ，PQ⊥AC 于点Q ，BH 为腰上的高．求证：证：PQ+PR=BH PQ+PR=BH PQ+PR=BH．．分析一参阅例3的分析一．的分析一．分析二如图5-225-22，△ACP ，△ACP 和△DCQ 应该全等，反之，只要证明了它们全等，问题就解决了．在这两个三角形中，个三角形中，AC=DC AC=DC AC=DC，∠ACP=60°，∠DCQ=180°－∠A ，∠ACP=60°，∠DCQ=180°－∠A CD CD－∠BCE=180°－60°－60°=60°，从而－∠BCE=180°－60°－60°=60°，从而例3 已知：如图5-215-21，△ABC ，△ABC 中，∠A 为直角．以AB AB，，AC 分别为边向外侧作分别为边向外侧作正方形正方形ABDE ABDE，，ACFG ACFG，线，线段CD CD，，BF 分别与AB AB，，AC 相交于点X ，Y ．求证：．求证：AX=AY AX=AY AX=AY．．分析一如图5-215-21（（a ），由于AX∥ED，AY∥GF，所以出现了两组成AX∥ED，AY∥GF，所以出现了两组成比例线段比例线段，在这些成比例的线段中，除AX AX，，AY 外，其余的线段都是两个已知正方形的边，因此AX=AY 应该能用应该能用平行线平行线分线段成比例定理得到证明．到证明．分析二如图5-215-21（（b ），连结线段EX EX，，GY GY，得到△CEX ，得到△CEX 和△BGY．这两个三角形的边CE=BG CE=BG，又，又AX 实际等于AY AY，所以△CEX ，所以△CEX 和△BGY 应该有相等的应该有相等的面积面积．反过来，如果证明了这两个三角形面积相等，问题也就解决了．而要证明这两个三角形面积相等，需要进行等积变形．这只要连结线段AD AD，，AF AF，，那么S △ACD =S △CEX ，S △BAF =S △BGY ，所以只需证明S △ACD =S △BAF ．但这．但这很简单很简单了．了．例4 已知：如图5-225-22，，C 为线段AB 上任意一点，以AC AC，，BC 分别为边在AB 同侧作等边△ACD 和等边△BCE，线段AE AE，，CD 相交于点P ，线段BD BD，，CE 相交于点Q ．求证：．求证：CP=CQ CP=CQ CP=CQ．．。