湖南省三湘名校教育联盟2019-2020学年高三上学期第一次大联考数学(文)试题(学生版)
湖南省三湘名校教育联盟2019届高三第一次大联考试题(6科7份)
三湘名校教育联盟• 2019届高三第一次大联考化学本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页。
全卷满分100分，考试时间90分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 0 16 Na 23 Mg 24 S 32 Cl 35.5Fe 56 Cu 64一、选择题：本题共16小题，每小题3分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.化学与生产和生活密切相关。
下列过程中没有发生化学变化的是A.海水提溴B.纯碱去除油污C.用四氯化碳萃取溴水中的Br2D.粗故水的精制2.化学与生产、生活密切相关。
下列说法正确的是A.使用光导纤维长距离输送高压电，可以降低电能损耗B.钢管和铜管露天堆放在一起，钢管容易生锈C.天然纤维素和合成纤维素的主要成分都是纤维素D.食用花生油和鸡蛋清都不能发生水解反应3.设N A为阿伏加德罗常数的数值。
下列说法正确的是A.标准状况下，1:1.2 L H2与11.2 L D2所含的质子数均为N AB. 1 L 0.1 mol . LT1 FeCl3 溶液中含 Fe3+数目为 0.1 N AC.6.4gCu与3.2gS粉混合隔绝空气加热，充分反应后，转移电子数为0.2N AD.O.1 mol乙醇与0.1 mol乙酸在浓硫酸催化并加热下，生成乙酸乙酯分子数为0.1 N A4.下列关于有机化合物的说法正确的是A. C4H10O有4种同分异构体B.纤维素、蛋白质、油脂及聚乙烯均属于高分子化合物C.光照下CH4与Cl2等物质的量混合可制得纯净的CH3C1D.由苯生成环已烷、硝基苯的反应分别属于加成反应和取代反应5.下列有关离子能大量共存或离子方程式书写正确的是6.下列化学用语中正确的是7.已知4种短周期元素X、Y、Z、W的核外电子数之和为42。
2019-2020学年湖南省三湘名校教育联盟高三(上)第一次联考数学试卷1 (含答案解析)
2019-2020学年湖南省三湘名校教育联盟高三（上）第一次联考数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知全集U =R ，集合A ={−1,0，1，2，3}，B ={x|0≤x <2}，则A ∩(∁U B)=( )A. {−1,3}B. {0,1}C. {−1,2，3}D. {−1,0，3} 2. 已知复数z =−1i −1，则它的共轭复数z −在复平面内对应的点的坐标为( ) A. (−1,−1) B. (−1,1) C. (1,2) D. (1,−2)3. “x <1”是“log 2(x +1)<1”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 《九章算术》是我国古代的数学巨著，内容极为丰富，其中卷六《均输》里有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何。
”意思是：“5人分取5钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前2人所得钱数之和与后3人所得钱数之和相等。
”(“钱”是古代的一种重量单位)，则其中第二人分得的钱数是( )A. 56B. 1C. 76D. 43 5. 函数f(x)=x 33+sinx 的图像大致为( ) A. B. C. D.6. 设a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 为单位向量，且a ⃗ ⋅b ⃗ =0，则c ⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ )的最大值为( )A. 2B. √2C. 1D. 0 7. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2+c 2=a 2+bc ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4，则△ABC的面积是( ) A. √3 B. 2√3 C. 4 D. 4√38. 将函数的图象向左平移π4个单位得到f (x )的图象，则( ) A. f (x )=sin2xB. C. f (x )=−sin2x D. 9. 设a =0.32，b =20.3，c =log 0.34，则( ) A. b <a <cB. c <b <aC. b <c <aD. c <a <b 10. 定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x +1)+f(x −1)=0，且当x ∈(0,1]时，f(x)=x 2+1，则f(2222)=( ) A. 0B. 1C. 5D. −5 11. 已知函数若g(x)存在2个零点，则a 的取值范围是( ) A. [−1,0) B. [0,+∞) C. [−1,+∞) D. [1,+∞)12. 已知函数f(x)的定义域为R ，其导函数为fˈ(x)，对任意x ∈R ，fˈ(x)>f(x)恒成立，且f(1)=1，则不等式ef(x)>e x 的解集为( )A. (1,+∞)B. [1,+∞)C. (−∞,0)D. (−∞,0]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知函数f(x)=log 12(x 2−6x +5)在(a,+∞)上是减函数，则函数a 的取值范围是________ ． 14. 已知π<α<2π，cos(α−7π)=−35，则sin(3π+α)tan(α−7π2)的值为______。
湖南省三湘名校2019届高三第一次大联考数学(文)试卷含答案
三湘名校教育联盟• 2019届高三第一次大联考文科数学本试卷共4页。
全卷满分150分,考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时.选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷 上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,毎小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U=R ，集合 A=={145|2--x x x <0}，B={3<<3|x x - }，则图中阴影部分表示的集合为A. (-3,-2]B. (-2,3]C. (2,3]D.[3,7)2.若复数z 满足i i z +=+7)2(的共轭复数z 在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D. 第四象限3.已知向量)2,2(),2,1(-=+=b a λ,若|2||2|b a b a +=-，则λA.-3B. -1C.1D.24.函数2||ln ||)(x x x x f =的图像大致为5.已知{n a }是等比数列，数列{n b }满足*∈=N n a b n ,log 2 ，且442=+b b ，则3a 的值为A. 1B.2C.4D. 16 6.设Z a ∈，函数 a x e x f x -+=)(，若命题p ：“0))(),1,1(≠-∈∀x f x ”是假命题，则a 的取值个数有A. 1个B. 2个C.3个D. 4个7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A.8B.16C.24D.488.在区间[-2,2]上随机取一个数b,若使直线b x y +=与圆a y x x =+2有交点的概率为21，则a = A. 41 B. 21 C. 1 D.29.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”。
湖南省三湘名校教育联盟2019届高三上学期第一次大联考语文试卷含解析
2019届湖南省三湘名校教育联盟高三上学期第一次大联考语文试题第Ⅰ卷（阅读题）一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成下列小题。
文艺作品是文化最鲜活生动的栽体，它们以语言、形象、色彩、韵律等手段，记录和表现文化中的思想、审美、精神、气度。
作为“高峰”的文艺作品往往具备一个共同特征：以文化自觉和文化自信为底蕴，充盈着一个时代独特的文化气质，浓缩了那个时代的文化精神，同时又可以唤醒欣赏者的文化自觉、建立起文化自信，甚至包含推动社会思想文化变革的因子。
在建设社会主义文化强国的关键时期，文艺创作要发挥推动文化发展的强大力量，更加需要以文化自觉和文化自信为基石来攀登文艺“高峰”。
纵观当下文艺创作存在的系列问题，文化自觉和文化自信的缺失是个根源。
因历史虚无主义而否定历史，就会创作出调侃崇高、扭曲经典、颠覆历史，丑化人民群众或英雄人物的作品。
否定传统文化所尊崇的“真善美”，就会创作出是非不分、善恶不辨、以丑为美，过度渲染社会阴暗面的作品。
这是由于对自身文化价值缺少坚守和深刻认知，造成价值混乱和精神缺失。
当下，不少文艺工作者陶醉在追名逐利的潮流中，没有把自己当成文化的记录者、传承者，甚至缺乏应有的职业操守。
对中国传统文化精神不够敬重，对自身的文化使命缺少自觉，是文艺界“浮躁”风气的重要根源。
对文化发展缺乏主动承担的责任意识，就会造成利益至上。
创新是中华民族优秀文化传统的重要特征，这一点在文艺创作领域表现突出。
中国曾经是一个诗歌大国，诗歌的变革经历了无数文人骚客的创新实践。
到了近代，中国引入西方现代诗，形式和内容都脱离了中国传统诗歌创作的轨道，诗歌的力量渐渐式微。
解决这一状况的方法是“走中国诗歌创新之路”。
而这种创新，既要吸收古典诗歌的思想和审美价值，也要接纳现代西方对人、自然和社会三者之间冲突和张力的阐释，来找到自己的中国方法、本体立场、东方身份。
概而言之，要再创诗歌的“高峰”，需要在继承传统的基础上创新。
2019届湖南省三湘名校教育联盟高三第一次大联考数学(文)试题(解析版)
2019届湖南省三湘名校教育联盟高三第一次大联考数学（文）试题一、单选题1．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】分析：先求出A集合，然后由图中阴影可知在集合A中出去A,B的交集部分即可.详解：由题得：故有题中阴影部分可知：阴影部分表示的集合为故选D.点睛：考查集合的交集和补集，对定义的理解是解题关键，属于基础题.2．若复数满足的共轭复数在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】由求得，利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，由共轭复数的定义可得结果.【详解】因为数满足，所以，可得，所以在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3．已知向量，若，则A．-3 B．-1 C．1 D．2【答案】C【解析】由两边平方化简得，将向量，代入可得结果.【详解】由两边平方得可得，因为，，，解得，故选C.【点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.4．函数的图象大致为A．B．C．D．【答案】A【解析】利用奇偶性排除，利用特殊点排除，从而可得结果.【详解】因为，所以是偶函数，可得图象关于轴对称，排除；当时，，排除，故选A.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置，从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.5．已知{}是等比数列，数列{}满足，且，则的值为A．1 B．2 C．4 D．16【答案】C【解析】由为等比数列，可得，由可得，从而可得结果.【详解】为等比数列，所以因为，所以所以，可得，，故选C.【点睛】本题主要考查对数的运算以及等比数列的下标性质，属于中档题.比数列最主要的性质是下标性质：解答等比数列问题要注意应用等比数列的性质：若则.6．设，函数，若命题：“”是假命题，则a的取值个数有A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】由为假命题可得为真命题，由零点存在定理可得，结合是整数即可得结果.【详解】因为命题：“”是假命题，所以为真命题，为增函数，且函数是连续函数，，，又因为是整数，所以，即的个数为4，故选D.【点睛】本题主要考查全称命题的否定以及零点存在定理的应用，属于中档题. 应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．8B．16C．24D．48【答案】B【解析】首先确定几何体的空间结构，然后结合利用体积公式整理计算即可求得最终结果.【详解】如图所示，在棱长为4的正方体中，题中的三视图对应的几何体为四棱锥，四棱锥的底面积，该几何体的体积.本题选择B选项.【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．8．在区间[-2,2]上随机取一个数b,若使直线与圆有交点的概率为，则a =A．B．C．1 D．2【答案】B【解析】由直线与圆有交点可得，利用几何概型概率公式列方程求解即可.【详解】因为直线与圆有交点，所以圆心到直线的距离，，又因为直线与圆有交点的概率为，，故选B.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系以及几何概型概率公式的应用，属于中档题.解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答. 9．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如2268用算筹表示就是=||丄|||.执行如图所示程序框图，若输人的x=1, y = 2,则输出的S用算筹表示为A．B．C．D．【答案】C【解析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的值，再利用表格中的对应关系可得结果.【详解】第一次循环，；第二次循环，第三次循环，；第四次循环，，满足，推出循环，输出，因为对应，故选C.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.10．将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位长度，所得函数图象关于对称，则=A．B．C．D．【答案】B【解析】函数图象经过放缩变换与平移变换后可得，由可得结果.【详解】函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍后得到，再向左平移后得到，因为的图象关于于对称，，解得，当时，，故选B.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.11．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥A1-BC1D内切球的表面积为，则正方体外接球的体积为A．B．C．D．【答案】B【解析】利用体积相等求出正四棱锥的高，从而可得正四棱锥的棱长，可求得正方体的棱长，利用正方体外接球直接就是正方体对角线长，可求外接球的半径，进而可得结果.【详解】设正方体的棱长为，则，因为三棱锥内切球的表面积为，所以三棱锥内切球的半径为1，设内切球的球心为，到面的距离为，则，，，又，，又因为正方体外接球直接就是正方体对角线长，正方体外接球的半径为，其体积为，故选B.【点睛】解答多面体内切球的表面积与体积问题，求出内切球半径是解题的关键，求内切球半径的常见方法有两种：一是对特殊几何体（例如正方体，正四面体等等）往往直接找出球心，求出半径即可；二是对不规则多面体，往往将多面体分成若干个以多面体的面为底面以内切球的球心为高的棱锥，利用棱锥的体积和等于多面体的体积列方程求出内切球半径.12．过抛物线的焦点F且倾斜角为60°的直线交抛物线于A、B两点，以AF、BF 为直径的圆分别与y轴相切于点M，N，则|MN| =A．B．C．D．【答案】C【解析】由抛物线方程求出其焦点坐标，由直线倾斜角求出其斜率，由点斜式可得直线方程，直线方程与抛物线方程联立，求出的纵坐标，从而可得的值，进而可得结果.【详解】设，因为抛物线的焦点为，直线的倾斜角为，可得直线的斜率为，直线的方程为，因为为直径的圆分别与轴相切于点，所以，，将方程代入，整理得，，故选C.【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程与简单性质，直线与抛物线的位置关系以及圆与直线的位置关系，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于难题.二、填空题13．已知: 满足约束条件,则的最小值为________.【答案】【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出表示的可行域，如图，由可得，将变形为，平移直线，由图可知当直经过点时，直线在轴上的截距最大，则有最小值，最小值为，故答案为.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14．已知等差数列{}的前项和为, ,则的值为________.【答案】18【解析】由可得，求得，利用等差数列的下标性质以及等差数列的求和公式可得结果.【详解】设等差数列的公差为，则可化为，即，，，故答案为.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式，以及等差数列的性质，属于中档题.解与等差数列有关的问题要注意应用等差数列的性质（）与前项和的关系.15．已知F为双曲线的一个焦点，O为坐标原点,OF的中点M到C的一条渐近线的距离为，则C的离心率为________.【答案】2【解析】根据双曲线方程求出一条渐近线过程以及一个焦点的坐标，求出焦点到渐近线的距离，由中点到渐近线的距离，结合三角形中位线定理可求得，进而可得结果.【详解】双曲线方程，双曲线交点，渐近线方程为，由点到直线距离公式，可得，的中点到渐近线的距离为，根据中位线定理及双曲线的性质知焦点到渐近线的距离为，，离心率，故答案为2.【点睛】本题主要考查双曲线的性质及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．16．函数在区间[0，]上的值域为________.【答案】【解析】利用导数研究函数的单调性，可得可得的增区间为，减区间为，求出，从而可得结果.【详解】，当时，；可得的增区间为，当时，，可得的减区间为，，，故答案为.【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值与最值，属于难题. 求函数极值与最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.三、解答题17．已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边，且.（1）证明：A = 2B,（2）若，求△ABC的外接圆面积.【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)由，利用余弦定理，结合降幂公式可得从而可得结果；（2）由及正弦定理得，结合两角和的正弦公式以及诱导公式可得，再利用正弦定理可得结果.【详解】（1）由已知及余弦定理得，.（2）由及正弦定理得，即，，由（1）知，.【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.18．如图，四棱锥P-ABCD的底面四边形ABCD是梯形，AB//CD，CD=2AB，M是PC的中点.（1）证明：BM//平面；（2）若PB = BC且平面PBC丄平面PDC，证明：PA=AD．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)取的中点，连接利用三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质定理可得四边形时平行四边形，，再利用线面平行的判定定理即可证明结论；(2) 由等腰三角形的性质可得，利用面面垂直的性质可得平面，再利用，可得，进而证明结论.【详解】（1）取的中点，连接，则由已知得平面.（2）由题意得，平面平面平面，，.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、面面垂直的性质以及线面垂直的性质，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.19．随着生活节奏的加快以及智能手机的普及，外卖点餐逐渐成为越来越多用户的餐饮消费习惯.由此催生了一批外卖点餐平台，已知某外卖平台的送餐费用与送餐距离有关（该平台只给5千米范围内配送），为调査送餐员的送餐收入，现从该平台随机抽取80名点外卖的用户进行统计,按送餐距离分类统计结果如下表：以这80名用户送餐距离位于各区间的频率代替送餐距离位于该区间的概率.（1）从这80名点外卖的用户中任取一名用户.求该用户的送餐距离不超过3千米的概率；（2）试估计利用该平台点外卖用户的平均送餐距离；（3）若该外卖平台给送餐员的送餐贽用与送餐距离有关，规定2千米内为短距离，每份3元，2千米到4千米为中距离，每份5元；超过4千米为远距离，每份9元，若送餐员一天的目标收人不低于150元，试估计一天至少要送多少份外卖？【答案】（1）（2）2.35 （3）33【解析】（1）由表格中数据直接利用古典概型概率公式可得结果；（2）估计每名点外卖用户的平均送餐距离为；（3）送一份外卖的平均收入为（元），从而可得结果.【详解】（1）由表格中数列据可得概率.（2）估计每名点外卖用户的平均送餐距离为（千米），（3）送一份外卖的平均收入为（元），，估计一天至少要送份外卖.【点睛】本题主要考查阅读能力，古典概型概率公式的应用，属于中档题. 在解古典概型概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.20．已知椭圆C: (a>b>0)的离心率为,且过点(,1).（1）求椭圆C的方程；（2）设直线：交C于A、B两点，0为坐标原点，求△OAB面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据离心率为,且过点(,1)，结合性质，列出关于、、的方程组，求出、即可得结果；（2）设，将代入的方程，整理得，根据韦达定理、弦长公式以及点到直线距离公式，结合三角形面积公式可得，利用基本不等式可得结果.【详解】（1）由已知可得，且，解得，椭圆的方程为.（2）设，将代入的方程，整理得，，，，，，，当且仅当时取等号，面积的最大值为.【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.21．已知函数.（1）证明：；（2）若当时，，求实数a的取值范围.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数在处取得最小值，从而可得结果；（2）当时，，等价于，利用导数研究函数的单调性，可得在处取得最大值.【详解】（1），设，则，当时，；当时，，在处取得最小值，即.（2）由已知，设，则，是增函数，，当时，；当时，，在处取得最大值.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.22．在直角坐标系中，曲线：，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线是圆心极坐标为，半径为1的圆.（1）求曲线的参数方程和的直角坐标方程；（2）设，分别为曲线，上的动点，求的取值范围.【答案】（1）（为参数），；（2）【解析】分析：（1）结合公式，借助换元法可得曲线的参数方程，把极坐标化为直角坐标后可得圆的标准方程；（2）曲线的参数方程即为上点的坐标，求出它与圆心距离的最值范围，即可得的取值范围．详解：（1）的参数方程为（为参数），的直角坐标方程为.（2）设，，，∵，∴，，∴.点睛：点到圆上点的距离的取值范围是，其中是圆的半径．23．已知函数.（1）求不等式>0的解集；（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】（1）对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；（2）关于的不等式有解，等价于，结合绝对值三角不等式可得，从而可得结果.【详解】（1），当时，得；当时，得；当时，得，综上可得不等式的解集为.（2）依题意，令，，解得或，即实数的取值范围是.【点睛】绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．第 21 页共 21 页。
湖南省三湘名校教育联盟2020届高三上学期第一次大联考数学(文)试题
两式相减得 Tn 21 22 2n n 2n1 1 n 2n1 2 ，
∴ Tn n 1 2n1 2 .
21. 解析：（1）定义域为 0, ， f ' x 2x a 1 ，
x
∵ f x 在其定义域上是增函数，∴ f ' x 0 ， a 2x 1 ，
1 n n 12n 1 .
6
（1）求数列an 的通项公式；
（2）设 bn an log2 an ，求数列bn 的前 n 项和 Tn .
3
21. 设函数 f x x2 ax 2 ln x . （1）若 f x 在其定义域上是增函数，求实数 a 的取值范围；
1 e2
3 e
21
1 e2 3e e2
0
，
f
e2
1 e4
3 e2
0 ，∴ n 的最大值为-2.
22. 解析：（1）当 a 0 时， f x ex 2 ， f 1 e 2 .
f ' x ex ， f '1 e ，∴切线方程为 y e 2 e x 1 ，即 y ex 2 .
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3. “ 0 x 1”是“ log2 x 1 1 ”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.
1
A.
B. 1
2
2019-2020学年湖南省三湘名校教育联盟高三(上)第一次联考数学试卷试题及答案(解析版)(文科)
2019-2020学年湖南省三湘名校教育联盟高三（上）第一次联考数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x（x﹣2）≤0}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则（∁U A）∩B＝（）A．{﹣1}B．{﹣1，3}C．{1，2，3}D．{﹣1，0，2，3} 2．若复数z满足（1﹣i）z＝1+2i，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．“0＜x＜1”是“log2（x+1）＜1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，文各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．在这个问题中，丙所得为（）A．钱B．钱C．钱D．1钱5．已知函数f（x）＝x2+2cos x，f'（x）是f（x）的导函数，则函数y＝f'（x）的图象大致为（）A．B．C．D．6．已知，均为单位向量，|+|＝，则（2+）•（﹣）＝（）A．﹣B．C．﹣D．7．在△ABC中，AB＝1，AC＝3，＝1，则△ABC的面积为（）A．B．1C．D．8．要得到函数的图象，只需将函数g（x）＝sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位9．设a＝log43，b＝log86，c＝20.1，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a10．定义在R上的奇函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x（3﹣2x），则＝（）A．﹣1B．C．D．111．设函数，若关于x的方程f（x）+m＝0对任意的m∈（0，1）有三个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．[2，+∞）C．[﹣2，2]D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）12．已知f'（x）是f（x）（x∈R）的导函数，且f'（x）＞f（x），f（1）＝e，则不等式f（x）﹣e x＜0的解集为（）A．（﹣∞，e）B．（e，+∞）C．（﹣∞，1）D．（1，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数f（x）＝lg（x2+2x﹣3）的单调递减区间为．14．已知向量，，且，则＝．15．已知f（x）＝ln（e ax+1）﹣bx（b≠0）是偶函数，则＝．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，，，则当S n 取最大值时，n的值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5＝19，S5＝55．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和T n．18．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，2（a2﹣b2）＝2ac cos B+bc．（1）求A；（2）若D是BC边上一点，且BD＝3DC，，求tan C．19．设函数．（1）求f（x）的最小正周期、最大值及取最大值时x的取值集合；（2）讨论f（x）在区间上的单调性．20．已知数列{a n}满足a n＞1且＝．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝a n•log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．21．设函数f（x）＝x2﹣ax+2+lnx．（1）若f（x）在其定义域上是增函数，求实数a的取值范围；（2）当a＝3时，f（x）在[e n，+∞）（n∈Z）上存在两个零点，求n的最大值．22．已知函数f（x）＝e x+ax+a+2．（1）若a＝0，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当x≤0时，f（x）≥2，求实数a的取值范围．2019-2020学年湖南省三湘名校教育联盟高三（上）第一次联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x（x﹣2）≤0}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则（∁U A）∩B＝（）A．{﹣1}B．{﹣1，3}C．{1，2，3}D．{﹣1，0，2，3}【解答】解：A＝[0，2]，∁U A＝（﹣∞，0）∪（2，+∞），（∁U A）∩B＝{﹣1，3}．故选：B．2．若复数z满足（1﹣i）z＝1+2i，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由（1﹣i）z＝1+2i，得z＝，∴，则在复平面内对应的点的坐标为（，），位于第三象限．故选：C．3．“0＜x＜1”是“log2（x+1）＜1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件【解答】解：由log2（x+1）＜1得0＜x+1＜2，解得﹣1＜x＜1，则“0＜x＜1”是“log2（x+1）＜1”的充分不必要条件，故选：A．4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，文各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．在这个问题中，丙所得为（）A．钱B．钱C．钱D．1钱【解答】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a﹣2d+a﹣d＝a+a+d+a+2d，即a＝﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝5，∴a＝1，∴在这个问题中，丙所得为1钱．故选：D．5．已知函数f（x）＝x2+2cos x，f'（x）是f（x）的导函数，则函数y＝f'（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数的导数f′（x）＝2x﹣2sin x，则f′（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，B，设g（x）＝f′（x）＝2x﹣2sin x，则g′（x）＝2﹣2cos x≥0，即g（x）为增函数，排除D故选：C．6．已知，均为单位向量，|+|＝，则（2+）•（﹣）＝（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：∵，均为单位向量，且|+|＝，∴3＝，∴＝，则（2+）•（﹣）＝＝，故选：B．7．在△ABC中，AB＝1，AC＝3，＝1，则△ABC的面积为（）A．B．1C．D．【解答】解：∵AB＝1，AC＝3，＝1，∴cos（π﹣B）＝＝，∴a cos B＝﹣1，由余弦定理可得，a×＝﹣1，∴a2+1﹣9＝﹣2，∴a2＝6即a＝，cos B＝﹣，则△ABC的面积S＝＝＝．故选：C．8．要得到函数的图象，只需将函数g（x）＝sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：函数＝cos2x﹣＝＝sin（2x+），要得到f（x）的图象，只需将函数g（x）＝sin2x的图象向左平移个单位即可得到．故选：A．9．设a＝log43，b＝log86，c＝20.1，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：由指数函数y＝2x在R上单调递增，得20.1＞20，即c＞1，由对数函数y＝log4x，y＝log8x在（0，+∞）上单调递增，得：log41＜log43＜log44，log81＜log86＜log88，即0＜a＜1，0＜b＜1，∴c最大，又∵a＝log43＝log23＝log2，b＝log86＝3log26＝log2，且，∴a＜b，∴c＞b＞a，故选：D．10．定义在R上的奇函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x（3﹣2x），则＝（）A．﹣1B．C．D．1【解答】解：根据题意，f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），又由f（1﹣x）＝f（1+x），则f（x+1）＝﹣f（x﹣1）＝f（x﹣3），则有f（x）＝f（x+4），即函数f（x）是周期为4的周期函数，则有；故选：A．11．设函数，若关于x的方程f（x）+m＝0对任意的m∈（0，1）有三个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．[2，+∞）C．[﹣2，2]D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【解答】解：当x≤0时，∀m∈（0，1），e x﹣1＝﹣m有一根，∴当x＞0时，x2﹣ax＝﹣m有两根，作图可知，解得a≥2．故选：B．12．已知f'（x）是f（x）（x∈R）的导函数，且f'（x）＞f（x），f（1）＝e，则不等式f（x）﹣e x＜0的解集为（）A．（﹣∞，e）B．（e，+∞）C．（﹣∞，1）D．（1，+∞）【解答】解：构造函数，则，∴F（x）在R上为增函数，又∵F（1）＝＝1，∴原不等式f（x）﹣e x＜0可化为F（x）•e x﹣e x＜0，∴e x[F（x）﹣1]＜0，∴F（x）＜1，∴F（x）＜F（1），又∵F（x）在R上为增函数，∴x＜1，故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数f（x）＝lg（x2+2x﹣3）的单调递减区间为（﹣∞，﹣3）．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝lg（x2+2x﹣3），必有x2+2x﹣3＞0，解可得x＜﹣3或x＞1，即函数的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），设t＝x2+2x﹣3，则y＝lgt，又由t＝x2+2x﹣3在（﹣∞，﹣3）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，而y＝lgt在区间（0，+∞）上为增函数，则f（x）＝lg（x2+2x﹣3）的单调递减区间为（﹣∞，﹣3）；故答案为：（﹣∞，﹣3）14．已知向量，，且，则＝．【解答】解：∵向量，，且，∴，∴sinα＝2cosα，∴sin2α+cos2α＝sin2α+α＝1，解得sin2α＝，∴＝﹣sinα（﹣sinα）＝sin2α＝．故答案为：．15．已知f（x）＝ln（e ax+1）﹣bx（b≠0）是偶函数，则＝2．【解答】解：∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），即＝ln（e ax+1）﹣ax+bx＝ln（e ax+1）﹣bx，∴ax﹣bx＝bx，∴ax＝2bx，∴a＝2b，且b≠0，∴．故答案为：2．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，，，则当S n 取最大值时，n的值为674．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n，，，可得a n＝S n﹣S n﹣1＝S n S n﹣1，则﹣＝﹣1，可得＝﹣（n﹣1）＝，则S n＝，当1≤n≤674时，S n＞0；n≥675时，S n＜0．且1≤n≤674时，S n递增，当S n取最大值时，n的值为674．故答案为：674．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5＝19，S5＝55．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和T n．【解答】解：（1）设公差为d，则，解得，∴a n＝3+4（n﹣1）＝4n﹣1；（2），∴＝（﹣）＝．18．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，2（a2﹣b2）＝2ac cos B+bc．（1）求A；（2）若D是BC边上一点，且BD＝3DC，，求tan C．【解答】解：（1）∵由已知及余弦定理可得2（a2﹣b2）＝a2+c2﹣b2+bc，∴b2+c2﹣a2＝﹣bc，∴，∵A∈（0，π），∴．（2）∵，，可得∠DAC＝，可得sin∠DAC＝，∴在△ACD中，，在△ABD中，，∵BD＝3DC，∴3sin B＝2sin C，即，化简得．19．设函数．（1）求f（x）的最小正周期、最大值及取最大值时x的取值集合；（2）讨论f（x）在区间上的单调性．【解答】解：（1）＝＝，∴f（x）的最小正周期T＝π，当，即时，f（x）取最大值为．（2）x∈，，结合正弦函数图象可得f（x）在区间上单调递增，在区间与上单调递减．20．已知数列{a n}满足a n＞1且＝．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝a n•log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）由a n＞1，当n＝1时，，a1＝2，当n≥2时，＝，∴＝n2，∴，∵n＝1也适合，∴；（2），∴，，两式相减得＝（1﹣n）•2n+1﹣2，∴．21．设函数f（x）＝x2﹣ax+2+lnx．（1）若f（x）在其定义域上是增函数，求实数a的取值范围；（2）当a＝3时，f（x）在[e n，+∞）（n∈Z）上存在两个零点，求n的最大值．【解答】解：（1）∵定义域为（0，+∞），，∵f（x）在其定义域上是增函数，∴f'（x）≥0，，∵，∴实数a的取值范围是．（2）当a＝3时，，由f'（x）＞0得，由f'（x）＜0得，∴f（x）在处取得极大值，在x＝1处取得极小值f（1）＝0，∴x＝1是一个零点，当x＞1，f（x）＞0，故只需且f（e n）≤0，∵，，∴n的最大值为﹣2．22．已知函数f（x）＝e x+ax+a+2．（1）若a＝0，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当x≤0时，f（x）≥2，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝0时，f（x）＝e x+2，f（1）＝e+2．f'（x）＝e x，f'（1）＝e，∴切线方程为y﹣（e+2）＝e（x﹣1），即y＝ex+2．（2）当x≤0时，e x+ax+a+2≥2，即e x+ax+a≥0，令h（x）＝e x+ax+a，则h（0）≥0，a≥﹣1，当a＝0时，h（x）＝e x＞0，满足题意；当a＞0时，h'（x）＝e x+a＞0，∴h（x）在（﹣∞，0]上递增，由y＝e x与y＝﹣a（x+1）的图象可得h（x）≥0在（﹣∞，0]上不恒成立；当﹣1≤a＜0时，由h'（x）＝e x+a＝0，解得x＝ln（﹣a），当x＜ln（﹣a）时，h'（x）＜0，当ln（﹣a）＜x≤0时，h'（x）＞0，∴h（x）在（﹣∞，0]上的最小值为h（ln（﹣a）），∴h（ln（﹣a））＝aln（﹣a）≥0，解得﹣1≤a＜0．综上可得实数a的取值范围是[﹣1，0]．。
湖南省三湘名校教育联盟2019届高三第一次大联考数学(文)试题(解析版)
三湘名校教育联盟• 2019届高三第一次大联考文科数学一、选择题:本题共12小题,毎小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合2{|5140}A x x x =--<，{|33}B x x =-<<，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A. (3,2]--B. (2,3]-C. (2,3]D. [3,7)【答案】D【解析】分析：先求出A 集合，然后由图中阴影可知在集合A 中出去A,B 的交集部分即可.详解：由题得：{|27}(2,3)A x x A B =-<<耷=-故有题中阴影部分可知：阴影部分表示的集合为()A C AB ?[)3,7 故选D.点睛：考查集合的交集和补集，对定义的理解是解题关键，属于基础题.2.若复数z 满足(2)7z i i +=+的共轭复数z 在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】由()27z i i +=+求得72i z i+=+，利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，由共轭复数的定义可得结果.【详解】因为数z 满足()27z i i +=+，所以()()727325i i i z i i +-+===-+， 可得3z i =+， 所以z 在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.已知向量a ()1,2l =+ ，b ()2,2=-若22a b a b -=+，则lA. -3B. -1C. 1D. 2 【答案】C【解析】【分析】 由22a b a b -=+两边平方化简得0a b?，将向量a ()1,2l =+ ，b ()2,2=-代入0a b ?可得结果. 【详解】由22a b a b -=+两边平方得 22224444a a b b a a b b -?=+?可得0a b ?，因为a ()1,2l =+ ，b ()2,2=-， ()2140a b l ?-++=， 解得1l =，故选C.【点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b q ?，二是1212a b x x y y ?+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， ·cos ·a b a bq = （此时·a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是a b b ×；（3）,a b 向量垂直则0a b ?;(4)求向量ma nb + 的模（平方后需求a b ×）.4.函数()2ln x xf x x =的图象大致为A.B. C. D.【答案】A【解析】【分析】 利用奇偶性排除,C D ，利用特殊点排除B ，从而可得结果.【详解】因为()()22ln ln x x x x f x f x x x ---===， 所以()f x 是偶函数， 可得图象关于y 轴对称，排除,C D ；当0x >时，()()ln 1,10,02x f x f f x 骣琪==<琪桫，排除B ，故选A. 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置，从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.5.已知{n a }是等比数列，数列{n b }满足*2log ,n n b a n N =? ，且244b b +=，则3a 的值为A. 1B. 2C. 4D. 16【答案】C【解析】【分析】由{}n a 为等比数列，可得24a a = 23a ，由244b b +=可得2224log log a a +223log 4a ==，从而可得结果.【详解】{}n a 为等比数列，所以24a a = 23a因为244b b +=，所以所以22242242log log log a a log a a +==23232log 4a a ==，可得23log 2a =，34a \=，故选C.【点睛】本题主要考查对数的运算以及等比数列的下标性质，属于中档题. 比数列最主要的性质是下标性质：解答等比数列问题要注意应用等比数列的性质：若2p q m n r +=+=则2p q m n r a a a a a ==.6.设a Z Î，函数 ()x f x e x a =+-，若命题p ：“(1,1),)()0x f x "??”是假命题，则a 的取值个数有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】【分析】由p 为假命题可得()()00:1,1,0p x f x ??=为真命题，由零点存在定理可得111a e e -<<+，结合a 是整数即可得结果.【详解】因为命题p ：“()()1,1,)0x f x "??”是假命题， 所以()()00:1,1,0p x f x ??=为真命题，()f x 为增函数，且函数是()f x 连续函数， ()()110f f \-<，111a e e-<<+，又因为a 是整数，所以0,1,2,3a =，即a 的个数为4，故选D.【点睛】本题主要考查全称命题的否定以及零点存在定理的应用，属于中档题. 应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. 8B. 16C. 24D. 48【答案】B【解析】【分析】首先确定几何体的空间结构，然后结合利用体积公式整理计算即可求得最终结果.【详解】如图所示，在棱长为4的正方体中，题中的三视图对应的几何体为四棱锥11A CDD C -， 四棱锥的底面积()111244122CDD C S =??， 该几何体的体积111241633V Sh ==创=. 本题选择B 选项. 【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．8.在区间[-2,2]上随机取一个数b,若使直线y x b =+与圆22x y a +=有交点的概率为12，则a = A. 14 B. 12C. 1D. 2 【答案】B【解析】【分析】由直线y x b =+与圆22x y a +=有交点可得-，利用几何概型概率公式列方程求解即可. 【详解】因为直线y x b =+与圆22x y a +=有交点，所以圆心到直线的距离d ?b \?， 又因为直线y x b =+与圆22x y a +=有交点的概率为12，1122a \=?，故选B. 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系以及几何概型概率公式的应用，属于中档题. 解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.9.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指《孙 子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排 列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如2268用算筹表示就是=||丄|||.执行如图所示程序框 图，若输人的x=1, y = 2,则输出的S 用算筹表示为A.B. C. D.【答案】C【解析】【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出S 的值，再利用表格中的对应关系可得结果.【详解】第一次循环，1,1,3i x y ===；第二次循环，2,2,8i x y ===第三次循环，3,14,126i x y ===；第四次循环，4,1764i S ==，满足S xy =，推出循环，输出1764S =，因为1746对应，故选C. 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.10.将函数()()cos <2f x x p f f 骣琪=+琪桫图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），再把得到的图象向左平移6p 个单位长度，所得函数图象关于2x p =对称，则f = A. 512p - B. 3p - C. 3p D. 512p 【答案】B【解析】【分析】函数()()cos <2f x x p f f 骣琪=+琪桫图象经过放缩变换与平移变换后可得1cos 26y x p j 轾骣犏琪=++琪犏桫臌，由1226k p p j p 骣琪++=琪桫可得结果. 【详解】函数()()c o s <2f x x p f f 骣琪=+琪桫图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍后得到1cos 2y x j 骣琪=+琪桫， 再向左平移6p 后得到1cos 26y x p j 轾骣犏琪=++琪犏桫臌， 因为1cos 26y x p j 轾骣犏琪=++琪犏桫臌的图象关于于2x p =对称， 1226k p p j p 骣琪\++=琪桫，解得3k p j p =-， 当0k =时，3p j =-，故选B. 【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.11.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，三棱锥A 1-BC 1D 内切球的表面积为4p ，则正方体外接球的体积为A. B. 36p C. D.【答案】B【解析】【分析】利用体积相等求出正四棱锥的高，从而可得正四棱锥的棱长，可求得正方体的棱长，利用正方体外接球直接就是正方体对角线长，可求外接球的半径，进而可得结果.【详解】设正方体的棱长为a ，则BD =，因为三棱锥11A BC D -内切球的表面积为4p ，所以三棱锥11A BC D -内切球的半径为1，设11A BC D -内切球的球心为O ，1A 到面1BC D 的距离为h ，则1114A BC D O BC D V V --=，11114133BC D BC D S h S D D ?创?，4h \=， 又(23h =，4,a \= 又因为正方体外接球直接就是正方体对角线长，\3=，其体积为343363p p ?，故选B.【点睛】解答多面体内切球的表面积与体积问题，求出内切球半径是解题的关键，求内切球半径的常见方法有两种：一是对特殊几何体（例如正方体，正四面体等等）往往直接找出球心，求出半径即可；二是对不规则多面体，往往将多面体分成若干个以多面体的面为底面以内切球的球心为高的棱锥，利用棱锥的体积和等于多面体的体积列方程求出内切球半径.12.过抛物线24y x =的焦点F 且倾斜角为60°的直线交抛物线于A 、B 两点，以AF 、BF 为直径的圆分别与y轴相切于点M ，N ，则|MN| =A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由抛物线方程求出其焦点坐标，由直线倾斜角求出其斜率，由点斜式可得直线方程，直线方程与抛物线方程联立，求出,A B 的纵坐标，从而可得,OM ON 的值，进而可得结果.【详解】设()()1122,,A x y B x y ，因为24y x =抛物线的焦点为()1,0F ，直线AB 的倾斜角为60，可得直线AB直线AB的方程为)1y x -，因为,AF BF 为直径的圆分别与y 轴相切于点,M N ， 所以1211,22OM y ON y ==， 1212MN y y \=-， 将AB方程)1y x -代入24y x =，21240,y y y --===-12MN ==，故选C. 【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程与简单性质，直线与抛物线的位置关系以及圆与直线的位置关系，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知: ,x y 满足约束条件1030210x y x y y ì--?ïï+-?íï+?ïî,则2z x y =-的最小值为_______. 【答案】32【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出1030210x y x y y ì--?ïï+-?íï+?ïî约束条件表示的可行域，如图，由10210x y y ì--=ïïíï+?ïî可得1212x y ì=ïïïíïï=-ïî，将2z x y =-变形为2y x z =-， 平移直线2y x z =-，由图可知当直2y x z =-经过点11,22骣琪-琪桫时， 直线在y 轴上的截距最大，则2z x y =-有最小值， 最小值为1132222z =?=，故答案为32. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14.已知等差数列{n a }的前n 项和为n S , 1315310a a a ++=,则9S 的值为________. 【答案】18 【解析】 【分析】由1315310a a a ++=可得152010a d +=，求得52a =，利用等差数列的下标性质以及等差数列的求和公式 可得结果.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 则1315310a a a ++=可化为152010a d +=， 即142a d +=，52a \=，()199599182a a S a +\===，故答案为18.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式，以及等差数列的性质，属于中档题. 解与等差数列有关的问题要注意应用等差数列的性质2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系.15.已知F 为双曲线2221y x b -=的一个焦点，O 为坐标原点,OF 的中点M 到C 的一条渐近线的距离为2，则C 的离心率为________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据双曲线方程求出一条渐近线过程以及一个焦点的坐标，求出焦点到渐近线的距离，由OF 中点到渐近线的距离，结合三角形中位线定理可求得b .【详解】双曲线方程2221y x b-=，\双曲线交点)F，渐近线方程为y bx =，b =，OF 的中点到渐近线的距离为2，根据中位线定理及双曲线的性质知焦点到渐近线的距离为2b =?2c \=，离心率2ce a==，故答案为2. 【点睛】本题主要考查双曲线的性质及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解． 16.函数()sin 22cos f x x x =+在区间[0，p ]上的值域为________.【答案】[,]22-【解析】 【分析】利用导数研究函数()si n 22cos fx x x =+的单调性，可得可得()si n 22cos f x x x =+的增区间为50,,,66pp p 骣骣琪琪琪琪桫桫，减区间为5,66p p骣琪琪桫，求出()()502,266f f f f p p p 骣骣琪琪=-==-琪琪桫桫，从而可得结果.【详解】()()2'2cos 22sin 22sin sin 1f x x x x x =-=-+-()()22sin 1sin 1x x =--+，当50,,66x pp p 骣骣琪琪稳琪琪桫桫时，()'0f x >； 可得()sin22cos f x x x =+的增区间为50,,,66p pp 骣骣琪琪琪琪桫桫，当5,66x p p骣琪Î琪桫时，()'0f x <，可得()sin22cos f x x x =+的减区间为5,66p p骣琪琪桫，()()502,266f f f f p p p 骣骣琪琪=-==-琪琪桫桫， ()22f x 轾犏\?犏臌，故答案为22轾犏-犏臌. 【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值与最值，属于难题. 求函数()f x 极值与最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数()f x ¢；(3) 解方程()0,f x ¢=求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查()f x ¢在()0f x ¢=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知a,b,c 分别为△ABC 内角A,B,C 的对边，且22222a bccos B b c +=+. （1）证明：A = 2B,（2）若()1,cos 2cos b a B c b A ==-，求△ABC 的外接圆面积. 【答案】（1）见解析（2）p 【解析】 【分析】(1)由22222a bccos B b c +=+，利用余弦定理，结合降幂公式可得cos cos2,A B =从而可得结果；（2）由cos cos 2cos a B b A c A +=及正弦定理得cos cos cos 2sin cos A B sinB A C A +=，结合两角和的正弦公式以及诱导公式可得1cos 2A =，再利用正弦定理可得结果. 【详解】（1）由已知及余弦定理得2222cos22cos b c a bc B bc A +-==，cos cos2,2A B A B \==.（2）由cos cos 2cos a B b A c A +=及正弦定理得cos cos cos 2sin cos A B sinB A C A +=，即()2sin cos sin A B C A +=，1cos ,602A A \==，由（1）知30,22,1sin bB R R B====， S p \=.【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.18.如图，四棱锥P-ABCD 的底面四边形ABCD 是梯形，AB//CD ，CD=2AB ，M 是PC 的中点.（1）证明：BM//平面PAD ；（2）若PB = BC 且平面PBC 丄平面PDC ，证明：PA=AD. 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】(1)取PD 的中点F ，连接,AF MF 利用三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质定理可得四边形ABMF 时平行四边形，//AF BM ，再利用线面平行的判定定理即可证明结论；(2) 由等腰三角形的性质可得BM PC ^，利用面面垂直的性质可得BM ^平面,PDC BM PD ^，再利用//AF BM ，可得AF PD ^，进而证明结论.【详解】（1）取PD 的中点F ，连接,AF MF ， 则由已知得1////,//,//2MF CD AB AF BM BM ===\\平面PAD .（2）由题意得MB PC ^，平面PBC ^平面,PDC BM \^平面,PDC BM PD ^，//,AF BM AF PD =\^，PA AD \=.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、面面垂直的性质以及线面垂直的性质，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 19.随着生活节奏的加快以及智能手机的普及，外卖点餐逐渐成为越来越多用户的餐饮消费习惯.由此催生了一批外卖点餐平台，已知某外卖平台的送餐费用与送餐距离有关（该平台只给5千米范围内配送），为调査送餐员的送餐收入，现从该平台随机抽取80名点外卖的用户进行统计,按送餐距离分类统计结果如下表：以这80名用户送餐距离位于各区间的频率代替送餐距离位于该区间的概率.（1）从这80名点外卖的用户中任取一名用户.求该用户的送餐距离不超过3千米的概率； （2）试估计利用该平台点外卖用户的平均送餐距离；（3）若该外卖平台给送餐员的送餐贽用与送餐距离有关，规定2千米内为短距离，每份3元，2千米到4千米为中距离，每份5元；超过4千米为远距离，每份9元，若送餐员一天的目标收 人不低于150元，试估计一天至少要送多少份外卖？ 【答案】（1）710（2）2.35 （3）33 【解析】 【分析】（1）由表格中数据直接利用古典概型概率公式可得结果；（2）估计每名点外卖用户的平均送餐距离为()1120.520 1.524 2.516 3.58 4.5 2.3580?????；（3）送一份外卖的平均收入为32408233598080805???（元），从而可得结果. 【详解】（1）由表格中数列据可得概率12202478010P ++==.（2）估计每名点外卖用户的平均送餐距离为()1120.520 1.524 2.516 3.58 4.5 2.3580?????（千米）， （3）送一份外卖的平均收入为32408233598080805???（元）， 2315032.65富，\估计一天至少要送33份外卖.【点睛】本题主要考查阅读能力，古典概型概率公式的应用，属于中档题. 在解古典概型概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总数n ，其次求出概率事件中含有多少个基本事件m ，然后根据公式mP n=求得概率.20.已知椭圆C: 22221x y a b += (a>b>0)且过点（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线：2y x m =+交C 于A 、B 两点，0为坐标原点，求△OAB 面积的最大值. 【答案】（1）22142x y +=（2【解析】 【分析】（1）且过点，结合性质222a b c =+ ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b 即可得结果；（2）设()()1122,A xy B xy ，将2y x m =+代入C 的方程，整理得2220x m +-=，根据韦达定理、弦长公式以及点到直线距离公式，结合三角形面积公式可得12S AB d ==. 【详解】（1）由已知可得2e ==22211a b +=，解得224,2a b ==，\椭圆C 的方程为22142x y +=.（2）设()()1122,A x y B xy ，将y x m =+代入C的方程， 整理得2220x m +-=，()2222420,4m m m D=-->\<，21212,2x x x x m \+=-=-，212122222m y y x mx m -琪琪=++=琪琪桫桫，AB ==d =，2214222m m S AB d +-=４=，当且仅当22m -时取等号，OAB\D 【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b ，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.21.已知函数()ln f x x x =. （1）证明：()1f x x ?； （2）若当1x e³时，2()1f x ax x a ?+-，求实数a 的取值范围.【答案】（1）见解析（2）1a ³ 【解析】 【分析】（1）构造函数()()1g x f x x =-+，利用导数研究函数的单调性，求出函数()g x 在1x =处取得最小值()10,g =，从而可得结果；（2）当1x e³时，()21f x ax x a ?+-，等价于()2ln 11x x x a h x x ++?+，利用导数研究函数()h x 的单调性，可得()h x 在1x =处取得最大值()11,1h a =\?. 【详解】（1）()0,x ??，设()()1g x f x x =-+，则()'ln g x x =，当1x >时，()'0g x >；当01x <<时，()'0g x <，()g x \在1x =处取得最小值()()10,0g g x =\?，即()1f x x ?. （2）由已知2ln 11x x x a x ++³+，设()2ln 11x x x h x x ++=+， 则()()()()221ln ln 2'1x x x x h x x -++=+，ln ln 2y x x x =++是增函数，1120y e\>--+>， \当1,1x e 骣琪Î琪桫时，()'0h x >；当()1,x ??时，()'0h x <，()h x \在1x =处取得最大值()11,1h a =\?.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ³恒成立(()maxa f x³即可)或()a f x £恒成立（()mina f x£即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min0f x ³或()max 0f x £恒成立；④ 讨论参数.22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：2214y x +=，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 是圆心极坐标为(3,)p ，半径为1的圆.（1）求曲线1C 的参数方程和2C 的直角坐标方程；（2）设M ，N 分别为曲线1C ，2C 上的动点，求MN 的取值范围. 【答案】（1）cos 2sin x y j jì=ïí=ïî（j为参数），22(3)1x y ++=；（2）15MN ＃【解析】分析：（1）结合公式22cos sin 1j j +=，借助换元法可得曲线1C 的参数方程，把极坐标(3,)p 化为直角坐标后可得圆的标准方程；（2）曲线1C 的参数方程即为1C 上点的坐标，求出它与圆心距离的最值范围，即可得MN 的取值范围．详解：（1）1C 的参数方程为2x cos y sin j jì=ïí=ïî（j为参数），2C 的直角坐标方程为()2231x y ++=. （2）设()cos ,2sin M j j，()23,0C -，()2222cos 34sin MC j j =++()223cos 6cos 133cos 116j j j =-++=--+，∵1cos 1j-＃，∴22416MC ＃，224MC ＃，∴15MN ＃.点睛：点P 到圆C 上点的距离的取值范围是[,]PC r PC r -+，其中r 是圆C 的半径．23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数 ()212f x x x =--+ （Ⅰ）求不等式f(x)>0的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式21(3)35m f x x +?++有解，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）1(,)(3,)3-???；（2）(,3][2,)-??? 【解析】分析：（1）利用绝对值的定义去掉绝对值符号，分类解一元一次不等式组后再合并可得解集； （2）(3)3525210f x x x x +++=+++，利用绝对值的三角不等式求得25210x x +++的最小值min ，然后解不等式21min m +?即可．详解：（1）()13,2131,223,2x x f x x x x x ì-?ïïïï=---<<íïï-+?ïïî，当30x ->时，得3x >；当310x -->时，得123x -<<-；当30x -+>时，得2x ?， 综上可得不等式()0f x >的解集为()1,3,3骣琪-???琪桫.（2）依题意()()min21335m f x x +?++，令()()33525210g x f x x x x =+++=+++ 252105x x ?-++=.∴215m +?，解得2m ³或3m ?，即实数m 的取值范围是][(),32,-???.点睛：本题考查不等式“能成立”问题，要注意与“恒成立”问题的区别： （1）“能成立”：存在x 使不等式()t f x ³成立min ()tf x 鄢，存在x 使不等式()t f x £成立max ()tf x 郏；（2）“恒成立”：对任意的x 不等式()t f x ³恒成立max ()tf x 鄢，对任意的x 不等式()t f x £恒成立min ()tf x 郏．。
湖南省三湘名校教育联盟2019-2020学年高一上学期期中考试 数学 (含答案)
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题号 1
2
3
4
5
6
7
8
答案 B
B
A
D
C
B
A
B
9
10
11
12
D
C
D
C
11．D 解析：当 x≥10 时，f(x)单调递减且 f(10)＝－1，∴f(x＋6)<f(2x)⇒x＋6>2x≥10 或 2x<10<x＋6，
解得 4<x<6.
12．C 解析：f(x)＝ 1 －1－ x ＋1，而 y＝ 1 －1与 y＝－ x 均为奇函数，故 f(x)＋f(－x)＝1，
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2019-2020学年湖南省三湘名校教育联盟高三(上)第一次联考数学试卷2 (含答案解析)
2019-2020学年湖南省三湘名校教育联盟高三（上）第一次联考数学试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知全集U =Z,A ={1,2,3,4},B ={x |(x +1)(x −3)>0,x ∈Z }，则集合A ∩(C U B )的子集个数为( )A. 2B. 4C. 8D. 16 2. 已知复数z =i(−2−i)，则该复数在复平面内对应的点在第( )象限A. 一B. 二C. 三D. 四3. 《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是中国古代数学名著，程大位著．书中有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱，问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？(注：1两等于10钱)( )A. 乙分8两，丙分8两，丁分8两B. 乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两8钱C. 乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱D. 乙分9两，丙分8两，丁分7两4. 函数f(x)=3x 2−1x 3的大致图象为( )A.B.C.D.5. 设a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 为单位向量，且a ⃗ ⋅b ⃗ =0，则c ⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ )的最大值为( )A. 2B. √2C. 1D. 0 6. 若△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a 2=b 2+c 2−bc ，则角A 的大小为( )A. π6B. π3C. 2π3D. π3或2π37. 已知△ABC 的面积为30，且cosA =1213，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A. 72． B. 144． C. 150． D. 300．8. 将函数y =sin2x +cos2x 如何平移可以得到函数y =sin2x −cos2x 图象( )A. 向左平移π2B. 向右平移π4C. 向左平移π4D. 向右平移π29. 已知a =log 32，b =312，c =log 213，则( )A. a >b >cB. b >c >aC. c >b >aD. b >a >c10. 定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x +1)+f(x −1)=0，且当x ∈(0,1]时，f(x)=x 2+1，则f(2222)=( )A. 0B. 1C. 5D. −511. 已知f(x)=|e x −1|+1，若函数g(x)=[f(x)]2+(a −2)f(x)−2a 有三个零点，则实数a 的取值范围是( )A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (0,1)D. (1,2) 12. 已知f(x)=x(1+lnx)，若k ∈Z ，且k(x −2)<f(x)对任意x >2恒成立，则k 的最大值为( )A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 由抛物线y 2=2x 与直线y =x −4围成的平面图形的面积为________． 14. 已知cos(π+α)=−12，3π2<α<2π，则sin(2π−α)=________． 15. 若f(x)=ln(e 3x +1)−ax 是偶函数，则a =__________．16. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n =3n −1，n ∈N ∗.若b n =log 3a n ，则b 1+b 2+b 3+b 4的值为________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知递增的等差数列{a n }，首项a 1=2，S n 为其前n 项和，且2S 1，2S 2，3S 3成等比数列．(Ⅰ)求{a n }的通项公式； (Ⅱ)设b n =4a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ．18. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且cos(C +B)cos(C −B)=cos 2A −sinCsinB ．(1)求A ；(2)若a =3，求b +2c 的最大值．x3+mx2−3m2x+1(m>0)．19.已知函数f(x)=13(1)若m=1，求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；(2)若函数f(x)在区间(2m−1,m+1)上单调递增，求实数m的取值范围．20.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n+n=2a n(n∈N∗)．(1)证明：数列{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；>2018的n的最小值．(2)若b n=na n+n，数列{b n}的前n项和为T n，求满足不等式T n−2n21.已知函数f(x)=e x(e x+a)−a2x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)≥0，求a的取值范围．22.已知函数f(x)=x2−mlnx，g(x)=x2−x+a．(1)当a=0时，f(x)≥g(x)在(1,+∞)恒成立，求实数m的取值范围。
湖南省三湘名校教育联盟2020届高三数学第一次大联考试题 文
三湘名校教育联盟• 2020届高三第一次大联考文科数学本试卷共4页。
全卷满分150分,考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时.选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷 上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,毎小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U=R ，集合 A=={145|2--x x x <0}，B={3<<3|x x - }，则图中阴影部分表示的集合为 A. (-3,-2] B. (-2,3] C. (2,3]D.[3,7)2.若复数z 满足i i z +=+7)2(的共轭复数z 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D. 第四象限3.已知向量)2,2(),2,1(-=+=b a λ,若|2||2|b a b a +=-，则λ A.-3 B. -1 C.1 D.24.函数2||ln ||)(x x x x f =的图像大致为5.已知{n a }是等比数列，数列{n b }满足*∈=N n a b n ,log 2 ，且442=+b b ，则3a 的值为A. 1B.2C.4D. 166.设Z a ∈，函数 a x e x f x-+=)(，若命题p ：“0))(),1,1(≠-∈∀x f x ”是假命题，则a 的取值个数有 A. 1个 B. 2个 C.3个 D. 4个7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A.8 B.16 C.24 D.488.在区间[-2,2]上随机取一个数b,若使直线b x y +=与圆a y x x=+2有交点的概率为21，则a = A.41 B. 21C. 1D.2 9.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”。
高中-语文-高考-湖南省三湘名校教育联盟2019——2020学年高三第一次大联考——语文
湖南省三湘名校教育联盟2019——2020学年高三第一次大联考——语文一、现代文阅读1、阅读下面的文字，完成下列小题。
白话小说作家最重视的，是白话小说对社会大众的教育功能。
他们认为文艺作品通常固然都有宣传教育的功能，白话小说这种文体更有趣味一些，对知识程度不高的读者有更大的吸引力；笔记小说、传奇小说固然也有趣味，但它们使用的是不为大众所掌握的文言。
只有白话的小说，才能“通于俗人”“触于里耳”，让一般的大众甚至妇女儿童都能理解。
冯梦龙编辑的“三言”以喻世、醒世、警世命名，非常直观地揭示了白话小说这种后起形式的新型功能。
教化大众的功能又衍生出普及历史知识、报道当代政情等功能。
明清小说家希望通过小说把陶冶士人的经史之学向下输入到民众当中，因此把宋元时代充满民间趣味的讲史改造成为历史演义。
历史演义用白话取代民众难以掌握的文言，调整史传的叙述次序以增强历史事件的故事性，增添必要的细节以增强叙述的生动性，吸引读者通过这种通俗的文学形式学习历史，进而领悟其中所包含的训诫。
明清作家还以小说的形式对当代的人物和事件进行报道。
如崇祯初年，大阉魏忠贤被法办后，署名吴越草莽臣的作者根据邸报及其他材料，及时创作了《魏忠贤小说斥奸书》，叙述大阉一生经历，控诉他的罪行。
现代读者可能惊讶这样的作品也可以堂而皇之地冠以小说之名，小说居然可以运用于这种目的。
但明清作家觉得这样的做法不足为怪，既然小说的内容可以是非虚构性的历史人物和事件，为什么不可以是非虚构性的当代人物与事件呢？又如崇祯年间，明朝对后金(清)作战屡屡失利，陆云龙于是创作《辽海丹忠录》回顾战事情况，表彰忠烈，谴责覆军误国之人。
这些作品，有的类似人物传记，有的类似长篇通讯或报告文学。
作者的创作带有教育民众的意图，实际上提供了关于当代政治情形的知识与见解，具有新闻的舆论引导功能。
唐代宗教人士宣教的“变文”是白话小说的渊源之一，曾刺激了说话技艺与小说艺术的发展。
明清时期，宗教人士看到小说在通俗宣传方面的优势，将它用于宗教的传播。
湖南省三湘名校教育联盟2019届高三第一次大联考数学文含答案
三湘名校教育联盟•2019届高三第一次大联考文数学一、选择题:本题共12小题,毎小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U=R ，集合 A=={145|2--x x x <0}，B={3<<3|x x - }，则图中阴影部分表示的集合为A. (-3,-2]B. (-2,3]C. (2,3]D.[3,7)2.若复数z 满足i i z +=+7)2(的共轭复数z 在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D. 第四象限3.已知向量)2,2(),2,1(-=+=b a λ,若|2||2|b a b a +=-，则λA.-3B. -1C.1D.24.函数2||ln ||)(x x x x f =的图像大致为5.已知{n a }是等比数列，数列{n b }满足*∈=N n a b n ,log 2 ，且442=+b b ，则3a 的值为A. 1B.2C.4D. 166.设Z a ∈，函数a x e x f x -+=)(，若命题p ：“0))(),1,1(≠-∈∀x f x ”是假命题，则a 的取值个数有A. 1个B. 2个C.3个D. 4个7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A.8B.16C.24D.488.在区间[-2,2]上随机取一个数b,若使直线b x y +=与圆ay x x =+2有交点的概率为21，则a =A. 41B. 21C. 1D.29.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”。
其中的“筹”原意是指《孙 子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排 列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如2268用算筹表示就是=||丄|||.执行如图所示程序框 图，若输人的x=1, y = 2,则输出的S 用算筹表示为10. 将函数)2<|)(|cos()(πϕϕ+=x x f 图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），再把得到的图像向左平移6π个单位长度，所得函数图像关于2π=x 对称，则ϕ= A. 125π- B. 3π- C. 3π D. 125π11.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，三棱锥A 1-BC 1D 内切球的表面积为π4，则正方体外接球的体积为 A. π68 B. π36 C. π332 D. π66412.过抛物线x y 42=的焦点F 且倾斜角为60°的直线交抛物线于A 、B 两点，以AF 、BF 为直径的圆分别与y 轴相切于点M ，N ，则|MN| = A. 332 B.3 C. 334 D. 32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南省三湘名校教育联盟高三2019-2020学年第一次大联考语文试题及答案解析
湖南省三湘名校教育联盟高三2019-2020学年第一次大联考语文试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2．请将答案正确填写在答题卡上。
第I卷（选择题）一、选择题阅读下面的文字，完成下面小题。
人工影响天气是指为了避免或减轻气象灾害，合理利用气候资源，( )，实现增雨、增雪、防雹、防霜、消雨、消雾等目的的活动。
多数情况下，人工影响天气是顺其自然的，而背后的科技支撑和基础设施至关重要。
我国人工影响天气事业已走过了60年的发展历程。
1958年8月8日吉林省首次成功进行飞机人工增雨作业，开创我国现代人工影响天气事业发展新纪元。
今天，新一代人工影响天气指挥系统投入运行，不仅装备，高炮、火箭、飞机等一应俱全，还建设了大气和云环境模拟的云室和风洞等设备。
人工影响天气的社会效益明显，如在青海湖、黄河上游等地干旱期加大增雨作业，有力促进了草地生物量和覆盖度的增加，湖泊湿地面积的扩大，生态系统涵养水分功能得以逐步实现。
人工增雨（雪）在降低森林火险等级和森林草原防火灭火工作中也扮演着重要的角色，起着_______的作用。
日前，在人工影响天气60周年座谈会上，与会专家达成了共识：人工影响天气已经成为我国生态文明建设和防灾减灾的有力手段，在服务社会诸多方面，未来将发挥着越来越重要的作用。
1．依次填入文中横线上的成语，全都恰当的一项是（）A．雪中送炭风雨兼程除旧布新非同小可B．雪中送炭风雨无阻除旧布新举足轻重C．锦上添花风雨无阻鸟枪换炮非同小可D．锦上添花风雨兼程鸟枪换炮举足轻重2．下列在文中括号内补写的语句，最恰当的一项是（）A．在适当条件下用人为手段使天气现象朝着人们预定的方向转变，通俗地说，通过科技手段对局部大气的物理过程进行人工影响B．在适当条件下通过科技手段对局部大气的物理过程进行人工影响，通俗地说，用人为手段使天气现象朝着人们预定的方向转变C．通过科技手段在适当条件下对局部大气的物理过程进行人工影响，通俗地说，用人为手段使天气现象朝着人们预定的方向转变D．在适当条件下，通俗地说用人为手段使天气现象朝着人们预定的方向转变，通过科技手段对局部大气的物理过程进行人工影响3．文中画横线的句子有语病，下列修改最恰当的一项是（）A．在青海湖、黄河上游等地干旱期加大增雨作业力度，有力促进了湖泊湿地面积的扩大，草地覆盖度及生物量的增加，生态系统涵养水分功能得以逐步恢复。
湖南省三湘名校教育联盟2019-2020学年高三上学期第一次大联考数学(文)试题(教师版)
三湘名校教育联盟·2020届高三第一次大联考文科数学本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ，集合(){}|20A x x x =-≤，{}1,0,1,2,3B =-，则()⋂=U C A B （ ） A. {}1- B. {}1,3-C. {}1,2,3D. {}1,0,2,3-【答案】B 【解析】 【分析】求得集合{|02}A x x =≤≤，得到{|0U C A x x =<或2}x >，再根据集合的交集运算，即可求解. 【详解】由题意，集合(){}|20{|02}A x x x x x =-≤=≤≤，{}1,0,1,2,3B =-， 则{|0U C A x x =<或2}x >，所以(){}1,3U C A B ⋂=-. 故选：B.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合的交集、并集和补集的概念和运算，以及正确求解集合A 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2.若复数z 满足()112i z i -=+，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C 【解析】【分析】先由复数的除法得1322z i =-+，再求其共轭复数即可得解. 【详解】由()112i z i -=+，可得12(12)(1)1321312222i i i i z i i ++++-====-+-. 1322z i =--在复平面内对应的点为13(,)22--位于第三象限.故选：C.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及共轭复数的概念，属于基础题. 3.“01x <<”是“2log (1)1x +<”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据2log (1)111x x +<⇔-<<以及充分不必要条件的定义可得. 【详解】因为2log (1)111x x +<⇔-<<， 所以(0,1)(1,1)-,所以01x <<”是“2log (1)1x +<”的充分不必要条件. 故选A ．【点睛】本题考查了对数不等式以及充分必要条件,属基础题.4.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，丙所得为（ ） A.23钱 B. 1钱 C.43钱 D.53钱 【答案】B 【解析】 【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a ﹣2d ，a ﹣d ，a ，a +d ，a +2d ，由题意求得a ＝﹣6d ，结合a ﹣2d +a ﹣d +a +a +d +a +2d ＝5a ＝5即可得解．【详解】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a ﹣2d ，a ﹣d ，a ，a +d ，a +2d ， 则由题意可知，a ﹣2d +a ﹣d ＝a +a +d +a +2d ，即a ＝﹣6d ， 又a ﹣2d +a ﹣d +a +a +d +a +2d ＝5a ＝5，∴a ＝1， 故选：B.【点睛】本题主要考查了等差数列的应用，属于基础题.5.已知函数2()2cos f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数，则函数()y f x '=的图像大致为（）A. B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】因为()22sin 2(sin )f x x x x x '=-=-，显然()f x '是奇函数，求导易得()f x '在R 上单调递增.【详解】因为()22sin 2(sin )f x x x x x '=-=-，显然()f x '是奇函数，又()22cos 0f x x ''=-≥,所以()f x '在R 上单调递增.只有C 符合,故选C ．【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及利用导数判断函数的单调性,属中档题. 6.已知a ，b 均为单位向量，3a b +=，则()()2(a b a b +⋅-= ) A. 12-B.12C. 32-D.32【答案】 B 【解析】 【分析】由已知结合向量数量积的性质可求a b ⋅，代入即可求解． 【详解】解：a ，b 均为单位向量，且a b 3+=，223a 2a b b ∴=+⋅+，1a b 2∴⋅=， 则()()2212a b a b 2a a b b 2+⋅-=-⋅-=， 故选：B ．【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题． 7.在ABC ∆中，1AB =，3AC =，1AB BC ⋅=，则ABC ∆的面积为（ ）A.12B. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由()AB BC AB AC AB ⋅=⋅-可得2cos 3A =，进而得sin A =，再利用面积公式即可得解. 【详解】因为2()13cos 11AB BC AB AC AB AB AC AB A ⋅=⋅-=⋅-=⨯-=，解得2cos 3A =.所以sin 3A ==.所以ABC ∆的面积为11sin 1322AB AC A ⋅⋅=⨯⨯=故选：C.【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算及三角形的面积公式，属于基础题. 8.要得到函数()cos 2sin 26f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图像，只需将函数()sin 2g x x =的图像（ ） A. 向左平移12π个单位B. 向右平移12π个单位C. 向左平移6π个单位 D. 向右平移6π个单位 【答案】A 【解析】 【分析】由三角恒等变换的公式，化简得()sin(2)6g x x π=+，再结合三角函数的图象的变换，即可求解.【详解】由题意，函数()1cos 2sin 2cos 2(cos 22)62f x x x x x x π⎛⎫=--=-⎪⎝⎭12cos 2sin(2)26x x x π=+=+， 将()sin 2g x x =向左平移12π个单位，可得()sin[2()]sin(2)126f x x x ππ=+=+，故选：A.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角恒等变换的应用，其中解答中熟练利用三角恒等变换的公式，化简得到()g x 的解析式，再结合三角函数的图象变换求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.设4log 3a =，8log 6b =，0.12c =，则（ ） A. a b c >> B. b a c >>C. c a b >>D. c b a >>【答案】D 【解析】 【分析】由对数的运算化简可得log a =，2log b =，结合对数函数的性质，求得1a b <<，又由指数函数的性质，求得0.121c =>，即可求解，得到答案.【详解】由题意，对数的运算公式，可得24222log 31log 3log 3log log 42a ====28222log 61log 6log 6log log 83b ====，2<<，所以222log log log 21<<=，即1a b <<，由指数函数性质，可得0.10221c =>=， 所以c b a >>. 故选：D.【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用指数函数与对数函数的图象与性质，求得,,a b c 的范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10.定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当[0,1]x ∈时，()(32)f x x x =-，则29()2f =（） A. 1- B. 12-C.12D. 1【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和(1)(1)f x f x -=+可推出函数的周期为4,再根据周期性可求得.【详解】∵()()f x f x -=-，(1)(1)f x f x -=+，∴(1)(1)(3)f x f x f x +=--=-，4T =，29293111()(16)()()(32)1222222f f f f =-=-=-=--⨯=-． 故选A.【点睛】本题考查了函数的奇偶性,对称性,周期性,属中档题.11.设函数2e 1,0(),0x x f x x ax x ⎧-=⎨->⎩…，若关于x 的方程()0f x m +=对任意的(0,1)m ∈有三个不相等的实数根，则a 的取值范围是（） A. (,2]-∞- B. [2,)+∞C. [2,2]-D. (,2][2,)-∞-+∞【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为当0x >时，2x ax m -=-恒有两个正根,再根据二次方程实根分布列式可解得. 【详解】因为关于x 的方程()0f x m +=对任意的(0,1)m ∈有三个不相等的实数根 所以当0x …时，(0,1)m ∀∈ ，1x e m -=-有一根，当0x >时，2x ax m -=-恒有两个正根，由二次函数的图象可知20240a a m ⎧>⎪⎨⎪=->⎩ 对任意的(0,1)m ∈恒成立，所以24a ≥ 解得2a …．故选B ．【点睛】本题考查了函数与方程,不等式恒成立,属中档题.12.已知()f x '是()()f x x ∈R 的导函数，且()()f x f x '>，(1)f e =，则不等式()e 0xf x -<的解集为（ ） A. (,)e -∞ B. (e,)+∞C. (,1)-∞D. (1,)+∞【答案】C 【解析】 【分析】根据题意构造函数()()xf x F x e =，借助函数的单调性解不等式即可. 【详解】令()()x f x F x e=，则()()()0x f x f x F x e '-'=>， ∴()F x 在R 上为增函数，∴()0xf x e -<可化为()(1)F x F <，∴1x <． 故选：C【点睛】本题考查函数的导数与单调性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数2()lg(23)f x x x =+-的单调递减区间为_______． 【答案】(,3)-∞- 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性“同增异减”判断即可．【详解】令函数x 2+2x ﹣3＝u ，（u ＞0）则y ＝lg u 是增函数， 函数u ＝x 2+2x ﹣3，开口向上，对称轴为x 1=﹣， ∵u ＞0， 即x 2+2x ﹣3＞0， 解得：x ＞1或x 3＜﹣． ∴函数u 在(,3)-∞-单调递减，根据复合函数的单调性“同增异减”可得该函数单调递减区间为(,3)-∞-． 故答案为：(,3)-∞-．【点睛】本题考查了复合函数的单调性，复合函数的单调性遵循“同增异减”，属于基础题. 14.已知向量()2,sin a α=，()1,cos b α=，且//a b ，则()sin cos 2παπα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭______. 【答案】45【解析】 【分析】由向量平行可得2cos sin αα=，结合221sin cos αα=+可得24s i n 5α=，结合诱导公式化简得()2sin cos sin 2παπαα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭即可得解.【详解】向量()2,sin a α=，()1,cos b α=，且//a b ，所以2cos sin αα=.()2sin cos (sin )(sin )sin 2παπαααα⎛⎫-+=--= ⎪⎝⎭.由22222sin 5sin 1sin cos sin 44ααααα=+=+=，所以24sin 5α=. 故答案为：45. 【点睛】本题主要考查了向量共线的向量表示及同角三角函数关系，属于基础题. 15.已知()ln(e 1)(0)axf x bx b =+-≠是偶函数，则ab=__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据偶函数的定义,由()()f x f x -= 恒成立可得.【详解】由()()f x f x =-得1ln(1)ln(1)ln ln(1)ax ax axax ax e e bx e bx bx e ax bx e-++-=++=+=+-+，∴2ax bx = ，2ab=． 【点睛】本题考查了偶函数的性质,属基础题. 16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，132020a =，()*12,n n n a S S n n N -=≥∈，则当n S 取最大值时，n 的值为______. 【答案】674 【解析】 【分析】化简条件可得()*11112,n n n n N S S --=-≥∈，进而得120233n S n=-，利用反比例函数的性质分析数列的单调性即可得解.【详解】由()*12,n n n a S S n n N-=≥∈，可得()*112,nn n n SS S S n n N ---=≥∈.所以()*11112,n n n n N S S --=-≥∈. 从而有：1{}n S 是以1120203S =为首项，-1为公差的等差数列. 所以120202023(1)(1)33n n n S =+-⋅-=-，所以120233n S n=-. 当1674n ≤≤时，n S 递增，且0n S >； 当675n ≤时，n S 递增，且0nS <.所以当674n =时，n S 取最大值. 故答案为：674.【点睛】本题主要考查了n a 和n S 的递推关系，考查了数列的单调性，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，519a =，555S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】（1）41n a n =-（2）()343nn +【解析】【分析】（1）由等差数列的基本量表示项与和，列方程组求解即可； （2）先求得1111144143n n a a n n +⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，再利用裂项求和即可得解. 【详解】解析：（1）设公差为d ，则1141951055a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得134a d =⎧⎨=⎩，∴()34141n a n n =+-=-.（2）()()111111414344143n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， ∴11111114377114143n T n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭()343n n =+. 【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量运算及裂项求和，属于基础题.18.在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，222()2cos a b ac B bc -=+． （1）求A ；（2）D 为边BC 上一点，3BD DC =，2DAB π∠=，求tan C ．【答案】（1）23π；（2【解析】【详解】分析：（1）由余弦定理可得222a b c bc --=，从而可得cos A ，进而得解； （2）在ABC △中，由正弦定理可得：sin sin120c BC C =,①，在Rt ABC 中， ()sin 30cC BD+=,②，联立①和②可得解.详解：（1）由已知条件和余弦定理得：222222222a c b a b ac bc ac+--=⋅+即： 222a b c bc --=则2221cos 22b c a A bc +-==-又0A π<<，23A π∴=.（2）在ABC △中，由正弦定理可得：sin sin120c BC C =,① 在Rt ABD △中， ()sin 30c C BD+=,② 由①②可得：()sin 30sin CC +=1cos sin 22sin C C C +=,化简可得：tan C =点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．19.设函数()21sin sin cos 34f x x x x π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期、最大值及取最大值时x 的取值集合；（2）讨论()f x 在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性. 【答案】（1）最小正周期π；当5,12x k k Z ππ=+∈2）递增区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，递减区间为,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,5,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（1）由三角恒等变换的公式，化简函数()223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再结合三角函数的图象与性质，即可求解；（2）由,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得422333x πππ-≤-≤，结合正弦函数的图象与性质，即可求解函数的单调区间.【详解】（1）由题意，函数()211sin sin cos 24f x x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭1cos 21cos 2124424x x x -+=+-+32cos 224423x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期22T ππ==，当22,32x k k Z πππ-=+∈，即5,12x k k Z ππ=+∈时，()f x . （2）由,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得422333x πππ-≤-≤， 结合正弦函数的图象与性质，可得： 当42332x πππ-≤-≤-，即212x ππ-≤≤-，函数单调递减； 当2232x πππ-≤-≤，即51212x ππ-≤≤，函数()f x 单调递增； 当22233x πππ≤-≤，即5122x ππ≤≤，函数()f x 单调递减， 综上可得，函数()f x 的单调递增区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 单调递减区间为,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦与5,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的恒等变换，求得函数的解析式，再结合三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.20.已知数列{}n a 满足1n a >且()()()22221222log log log n a a a ++⋅⋅⋅+()()11216n n n =++. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n n b a a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）2n n a =（2）()1122n n T n +=-⋅+【解析】【分析】（1）先令1n =得12a =，再由()()()222212221log log log n a a a -++⋅⋅⋅+()()11216n n n =--，与条件作差得2n n a =；（2）由2n n b n =⋅，利用错位相减法求和即可. 【详解】解析：（1）当1n =时，()221log 1a =，由1n a >得12a =.当2n ≥时，()()()222212221log log log n a a a -++⋅⋅⋅+()()11216n n n =--， ∴()()()()()2211log 12112166n a n n n n n n =++---2n =，∴2n n a =， ∵1n =也适合，∴2n n a =.（2）2n n b n =⋅，∴1212222n n T n =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，231212222n n T n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，两式相减得1212222n n n T n +-=++⋅⋅⋅+-⋅()1122n n +=-⋅-，∴()1122n n T n +=-⋅+.【点睛】本题主要考查了和与项的递推关系及错位相减法求和，属于中档题.21.设函数2()2ln f x x ax x =-++.（1）若()f x 在其定义域上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）当3a =时，()f x 在[,)()n e n Z +∞∈上存在两个零点，求n 的最大值.【答案】(1)(-∞;(2)-2.【解析】分析：（1）由()f x 在其定义域上是增函数，∴()'0f x ≥恒成立，转化为最值问题，然后进行分离参数求解新函数单调性研究最值即可.（2）当3a =时，()()()2211231'x x x x f x x x---+==，得出函数的单调性和极值，然后根据()f x 在)(),n e n Z ⎡+∞∈⎣上存在两个零点，列出等价不等式求解即可. 详解：（1）∵定义域为()0,+∞，()1'2f x x a x=-+，∵()f x 在其定义域上是增函数，∴()'0f x ≥，12a x x ≤+，∵12x x +≥a 的取值范围是(-∞. （2）当3a =时，()()()2211231'x x x x f x x x---+==， 由()'0f x >得()10,1,2x ⎛⎫∈⋃+∞ ⎪⎝⎭，由()'0f x <得1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴()f x 在12x =处取得极大值131ln 0242f ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在1x =处取得极小值()10f =， ∴1x =是一个零点，当1x >，()0f x >，故只需12n e <且()0n f e ≤， ∵()21221313210e e f e e e e -+-=-+-=>，()242130f e e e -=-<，∴n 的最大值为-2. 点睛：考查导函数的单调性的应用以及零点问题，对于此类题型求参数的取值范围，优先要想到能否参变分离，然后研究最值即可，二对于零点问题则需研究函数图像和x 轴交点的问题，数形结合解此类题是关键，属于较难题.22.已知函数()e 2xf x ax a =+++．（1）若0a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）当0x …时，()2f x …，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）2y ex =+（2）[1,0]-【解析】【分析】(1)当0a = 时,利用导数的几何意义求得切线的斜率,再由点斜式求得切线方程;(2)当0x ≤ 时,将()2f x …恒成立转化为e 0x ax a ++…恒成立,由0x = 使不等式成立得到1a ≥-,然后构造函数()e xh x ax a =++求导,对a 分三种情况讨论可得. 【详解】（1）当0a =时，()e 2x f x =+，(1)e 2f =+．()e x f x '=，(1)e f '=，∴切线方程为(e 2)e(1)y x -+=-，即2y ex =+．（2）当0x …时，e 22x ax a +++…，即e 0x ax a ++…，令()e xh x ax a =++，则(0)0h …，1a -…， 当0a =时，()e 0xh x =>，满足题意；当0a >时，()0x h x e a '=+>，∴()h x 在(,0]-∞上递增，由x y e =与(1)y a x =-+的图像可得()0h x …在(,0]-∞上不恒成立；当10a -<…时，由()e 0x h x a '=+=解得ln()x a =-，当l n ()x a<-时，()0h x '<，当l n ()0a x -<…时，()0h x '>，∴()h x 在(,0]-∞上的最小值为(ln())h a -，∴(ln())ln()0h a a a -=-…，解得10a -<…． 综上可得实数a 的取值范围是[1,0]-．【点睛】本题考查了导数的几何意义,不等式恒成立,利用导数求函数的最值,属难题.。
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17. 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ， a5 19 ， S5 55 .
（ 1）求数列 an 的通项公式；
（ 2）求数列
1 的前 n 项和 Tn .
an an 1
18. 在 △ ABC 中，角 A, B , C 所对的边分别为 a,b, c ， 2( a2 b2) 2ac cos B bc ．
（）
1
1
A. 1Biblioteka B.C.D. 12
2
11. 设函数 f (x)
ex 1, x, 0
x2
ax, x
，若关于 x 的方程 f (x) 0
m
0 对任意的 m
(0,1) 有三个不相等的实数
根，则 a 的取值范围是（）
A. ( , 2]
B. [2, )
C. [ 2,2]
D. ( , 2] [2, )
12. 已知 f ( x) 是 f (x)( x R ) 的导函数，且 f ( x) f (x) ， f (1) e ，则不等式 f ( x) ex 0 的解集为
（）
A. ( , e)
B. (e, )
C. ( ,1)
D. (1, )
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 函数 f ( x) lg( x 2 2 x 3) 单调递减区间为 _______．
14. 已知向量 a 2,sin ， b 1,cos ，且 a / /b ，则 sin
这个问题中，丙所得为（
）
2
A钱
3
B. 1 钱
4
C. 钱
3
5
D. 钱
3
5. 已知函数 f ( x)
2
x
2cos x ， f ( x) 是 f ( x) 的导函数，则函数
y
f ( x) 的图像大致为（）
.
A.
B.
C.
D.
6. 已知 a ， b 均 单位向量， a b 3 ，则 2a b a b ( )
C. 向左平移 个单位 6
9. 设 a log 4 3 ， b log 8 6 ， c 20.1 ，则（
B. 向右平移 个单位 12
D. 向右平移 个单位 6
）
A. a b c
B. b a c
C. c a b
D. c b a
10. 定义在 R上的奇函数 f ( x) 满足 f (1 x) f (1 x) ，且当 x [0,1] 时， f ( x) x(3 2x) ，则 f ( 29) 2
A. 1 2
1
B.
2
C. 3 2
7. 在 ABC 中， AB 1， AC 3 ， AB BC 1 ，则 ABC 的面积为（
1
A.
B. 1
2
C. 5 2
3
D.
2
）
D. 5
8. 要得到函数 f x cos 2x sin
2 x 的图像，只需将函数 g x sin 2x 的图像（
）
6
A. 向左平移 个单位 12
an 满足 an
1且
2
log 2 a1
2
log 2 a2
（ 1）求数列 an 的通项公式；
21
log 2 an
n n 1 2n 1 . 6
（ 2）设 bn an log 2 an ，求数列 bn 的前 n 项和 Tn . 21. 设函数 f (x) x2 ax 2 ln x
（ 1）若 f ( x) 在其定义域上是增函数，求实数 a 的取值范围；
A. 1
B. 1,3
C. 1,2,3
D. 1,0,2,3
2. 若复数 z 满足 1 i z 1 2i ，则 z 在复平面内对应的点位于（
）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3. “ 0 x 1”是“ log 2( x 1) 1”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
cos 2
______.
15. 已知 f ( x) ln(e ax 1) bx( b 0)
a
偶函数，则
__________ ．
b
16. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ， a1
3 ， an
Sn Sn 1 n
2, n
N * ，则当 Sn 取最大值时， n 的
的是 值为______.
2020
三、解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .
（ 1）求 A ；
（ 2） D 为边 BC 上一点， BD 3DC ， DAB
，求 tanC ．
2
19. 设函数 f x sin xsin x
cos2 x
1
.
3
4
（ 1）求 f x 的最小正周期、最大值及取最大值时 x 的取值集合；
（ 2）讨论 f x 在区间
, 上的单调性 . 22
20. 已知数列
三湘名校教育联盟· 2020 届高三第一次大联考
文科数学
本试卷共 4 页. 全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 . 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 . 2. 回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 . 如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号 . 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷 上无效 . 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 . 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 . 1. 已知全集 U R ，集合 A x | x x 2 0 ， B 1,0,1,2,3 ，则 CU A B （ ）
D. 既不充分也不必要条件
4. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等
.
.问各得几何 . ”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分
5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相
同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列 . 问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）
（ 2）当 a 3时， f (x) 在 [en, )( n Z ) 上存在两个零点，求 n 的最大值 . 22. 已知函数 f ( x) ex ax a 2 ． （ 1）若 a 0，求曲线 y f ( x) 在点 (1, f (1))处的切线方程； （ 2）当 x, 0 时， f ( x)…2 ，求实数 a 的取值范围 .