复数的概念及运算

5．两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说 这两个复数相等．
6．复平面、实轴、虚轴：如图，复数z＝a＋bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是一 一对应关系．这是因为对于任何一个复数z＝a＋bi(a、b∈R)，由复数相等的定 义可知，可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定，复数z对应点的横坐标是a， 纵坐标是b，复数z＝a＋bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标 系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚 轴．实轴上的点都表示实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
∴
得
变式2. 求值：(1)
(2)
解答：(1)原式＝
＝
(2)设ω＝－
，则ω3＝1，
＝ωi.
∴原式＝(ωi＋ω)8＝ω8(1＋i)8＝ω6×ω2(2i)4＝16ω2
＝
1. 利用代数形式进行复数的乘方运算一般方法就是利用二项式定理展开．
2．在进行复数乘方运算时要注意以下特殊结论的应用：
(1)虚数单位i的乘方；(2)(1±i)2＝±2i；
解析：
＝－1.
答案：A
4．复数(1－i)3的虚部为( )
A．3
B．－3
C．2
D．－2
解析：(1－i)3＝－2i(1－i)＝－2－2i.则复数(1－i)3的虚部为－2.
答案：D
5．复数 解析： 答案：
的值是________．
1. 根据复数的代数形式，通过其实部和虚部可判断一个复数是实数，还是虚数． 2．复数z＝a＋bi，a∈R，b∈R与复平面上的点Z(a，b)是一一对应的，通过复数z
对应的点不可能位于第一象限．
答案：A
复数的加减乘法运算类似于多项式的加减乘法运算，而复数的除法是通过分 母的实数化转化为复数的乘法运算．
【例2】已知z＝1＋i，
＝1－i，求实数a、b的值．
解答：由
＝1－i，把z＝1＋i代入得
＝1－i，
∴
＝1－i.
∴(a＋b)＋(a＋2)i＝(1－i)i＝1＋i，
(4)(a＋bi)÷(c＋di)＝
.
2．复数的加法乘法运算律 (1)z1＋z2＝z2＋z1. (2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． (3)z1z2＝z2z1. (4)z1(z2z3)＝(z1z2)z3. (5)z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.
3．虚数单位i的乘方 i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1.(其中n∈Z)
5．对于简单的复数乘方运算，可以利用二项式定理进行运算，特殊的可利
用：(1)(1±i)2＝±2i；
(2)若ω＝
，
则ω3n＝1，ω3n＋1＝ω，ω3n＋2＝ ，n∈N.
6．在复数集中分解因式，对于x的多项式，都可分解为x的一次因式，分解
因式与对应方程解的关系与实数集中分解因式与对应方程解的关系是一样的．
变式1. 复数z＝
(m∈R，i为虚数单位)在复平面上对应的点
不可能位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解析：解法一：z＝
显然
＞0与－
＞0不可能同时成立，
则z＝
对应的点不可能位于第一象限．
解法二：z＝
设x＝
，y＝
，则2x＋y＋2＝0
又直线2x＋y＋2＝0不过第一象限，
则z＝
1．设a是实数，且
是实数，则a等于( )
A.
B．1
C.
D．2
答案：B
2．在复平面内，复数
对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解析： ＝1－i，则复数
对应的点(1，－1)在第四象限．
答案：D
3．(2010·开封高三月考)复数
＝( )
A．－1
B．1 C．－i D．i
3．复数的代数形式：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，把复数表示 成a＋bi的形式，叫做复数的代数形式．
4．复数的分类：对于复数a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，复数a＋bi(a、 b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z＝a＋bi叫做虚数；当a＝0且b≠0时，z＝bi叫 做纯虚数．
第十一单元 数系的扩 推理与证明 11.1 复数的概念及运算
(理解复数的基本概念/理解复数相等的充要条件/了解复数的代数表示法及其 几何意义/掌握复数代数形式的四则运算/了解复数代数形式的加、减运算的 几何意义)
一、复数的有关概念 1．虚数单位i
(1)它的平方等于－1，即i2＝－1； (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时， 原有加、乘运算律仍然成立． 2．复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的 虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示．
(3)1的三次虚根
的乘方．
【例3】(1)复数(
)10的值是( )
A．－1
B．1
C．－32
D．32
解析：本小题主要考查复数的运算，以及虚数单位的性质．
答案：A
百度文库2)复数
的值是( )
A．－16
B．16
C．
D.
解析：本小题主要考查复数的运算.
＝
答案：A
【方法规律】
1．复数可以用代数形式，复平面中的点表示，还可以用三角形式和向量表 示等，要注意数形结合思想方法的运用．
的实部和虚部可判断出其对应点在复平面上的位置．
【例1】已知复数z与(z＋2)2－8i均是纯虚数，则z＝______. 解析：设z＝ai，a∈R且a≠0，则(z＋2)2－8i＝4－a2＋(4a－8)i. ∵(z＋2)2－8i是纯虚数，∴4－a2＝0且4a－8≠0. 解得a＝－2. 因此z＝－2i. 答案：－2i
二、复数的运算
1．复数的四则运算法则
若复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，其中a，b，c，d∈R，则 (1)z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i. (2)z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i. (3)(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.
2．可以用复数相等的定义，将复数问题转化为实数问题来解决． 3．一般两个复数不存在大小关系(除非两个复数都是实数)这也是复数与实
数的区别之一．在数系扩充后有关实数的一些结论在复数范围内未必成 立．如实数中a2＋b2＝0的充要条件是a＝b＝0，在复数集中不一定成立． 4．复数的加、减、乘法运算类似多项式的运算，虚数单位的乘方结果呈周 期性的变化，复数的除法通过分母实数化转化为乘法运算．