复数的概念及运算
复数概念及公式总结
复数概念及公式总结复数是数学中一个重要的概念，它在代数、解析几何、微积分等多个数学分支中都有着重要的应用。
本文将对复数的概念及相关公式进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和运用复数。
一、复数的概念。
复数是由实数和虚数组成的数，一般表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i 为虚数单位，满足i²=-1。
复数可以用平面直角坐标系中的点来表示，实部对应x 轴，虚部对应y轴。
复数的模长是指复数到原点的距离，记作|a+bi|=√(a²+b²)。
复数的共轭是指虚部取负，即a-bi。
二、复数的运算。
1. 加减法，实部和虚部分别相加减。
(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i。
(a+bi) (c+di) = (a-c) + (b-d)i。
2. 乘法，先用分配律展开，然后利用i²=-1化简。
(a+bi) (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i。
3. 除法，将分子有理化，然后利用共轭的性质进行化简。
(a+bi) / (c+di) = (ac+bd)/(c²+d²) + (bc-ad)/(c²+d²)i。
三、复数的指数形式。
复数可以用指数形式表示，即a+bi = r(cosθ + isinθ)，其中r为模长，θ为幅角。
根据欧拉公式，e^(iθ) = cosθ + isinθ，所以复数也可以表示为a+bi = re^(i θ)。
四、复数的常见公式。
1. 欧拉公式，e^(iπ)+1=0，这是数学中最著名的等式之一，将自然对数的底e、圆周率π、虚数单位i、单位复数1组合在一起。
2. 范-诺伊曼级数，1+2+3+4+...=-1/12，这是一个看似荒谬但又被证明正确的等式，它涉及了复数的无穷级数求和。
3. 费马大定理，xⁿ+yⁿ=zⁿ在n大于2时无整数解，这是数论中著名的定理，它与复数的幂运算有着密切的联系。
【数学知识点】复数的定义及运算公式大全
【数学知识点】复数的定义及运算公式大全
我们把形如z=a+bi(a,b均为实数)的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i 称为虚数单位。
接下来分享有关虚数的定义及运算公式，供参考。
我们把形如z=a+bi(a,b均为实数)的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i 称为虚数单位。
当z的虚部等于零时，常称z为实数;当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。
复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。
复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。
(1)加法运算
设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和：(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i。
(2)乘法运算
设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i。
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i2=-1，把实部与虚部分别合并。
两个复数的积仍然是一个复数。
(3)除法运算
复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商。
运算方法：可以把除法换算成乘法做，将分子分母同时乘上分母的共轭复数，再用乘法运算。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
复数概念及其运算
复数概念及其运算复数是数学中一个非常重要的概念，起源于希腊数学。
在实数范围中，我们可以解决绝大多数方程和不等式问题，但在某些情况下，我们需要引入复数来进行运算。
本文将讨论复数的概念及其运算规则。
一、复数的概念复数是由一个实数部分和一个虚数部分组成的数。
虚数定义为包含负数的平方根的数。
通常情况下，复数用字母"z"表示。
一个复数可以表示为：z = a + bi其中，a为实数部分，bi为虚数部分，i为单位虚数，且满足i²= -1。
例如，一个典型的复数可以是：z = 3 + 4i。
在这个例子中，实数部分为3，虚数部分为4。
二、复数的运算规则1. 加法：复数的加法规则遵循实数和虚数分别相加的原则。
设有两个复数 z₁ = a₁ + b₁i 和 z₂ = a₂ + b₂i。
它们的和为：z₁ + z₂ = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂)i例如，有两个复数 z₁ = 3 + 4i 和 z₂ = 2 + 5i。
它们的和为：z₁ + z₂ = (3 + 2) + (4 + 5)i = 5 + 9i2. 减法：复数的减法规则与加法类似，实数部分和虚数部分分别相减。
设有两个复数 z₁ = a₁ + b₁i 和 z₂ = a₂ + b₂i。
它们的差为：z₁ - z₂ = (a₁ - a₂) + (b₁ - b₂)i例如，有两个复数 z₁ = 3 + 4i 和 z₂ = 2 + 5i。
它们的差为：z₁ - z₂ = (3 - 2) + (4 - 5)i = 1 - i3. 乘法：复数的乘法规则通过展开公式进行计算。
设有两个复数 z₁ = a₁ + b₁i 和 z₂ = a₂ + b₂i。
它们的积为：z₁ * z₂ = (a₁a₂ - b₁b₂) + (a₁b₂ + b₁a₂)i例如，有两个复数 z₁ = 3 + 4i 和 z₂ = 2 + 5i。
它们的积为：z₁ * z₂ = (3 * 2 - 4 * 5) + (3 * 5 + 4 * 2)i = -14 + 23i4. 除法：复数的除法规则通过乘以共轭复数并进行简化计算。
八年级数学复数的概念与运算
八年级数学复数的概念与运算复数是数学中一个重要的概念，它在代数学、几何学和物理学等领域中都有广泛的应用。
复数由实数部分和虚数部分组成，可以用形如a+bi的形式表示，其中a为实数部分，b为虚数部分，i为虚数单位。
在八年级数学中，我们将学习复数的概念与运算。
一、复数的概念复数的定义是通过实数和虚数单位i来表示一个数。
实数部分可以为任意实数，虚数部分则是以i为系数的一个实数。
虚数单位i满足i²=-1的性质。
例如，2+3i就是一个复数，其中实数部分为2，虚数部分为3i。
二、复数的表示形式复数有三种一般表示形式：代数形式、极坐标形式和指数形式。
1. 代数形式代数形式是最常见的复数表示形式，即a+bi，其中a为实数部分，bi为虚数部分。
2. 极坐标形式复数还可以用极坐标表示形式，即r(cosθ+isinθ)。
其中，r为复数的模，θ为复数的辐角。
根据三角函数的性质，可以将复数转换成极坐标形式，也可以将极坐标形式转换成代数形式。
3. 指数形式对于一个复数a+bi，我们可以将它表示为reⁱθ的指数形式，其中r 为复数的模，θ为复数的辐角。
指数形式在复数的乘方和开方运算中非常有用。
三、复数的运算与实数类似，复数也可以进行基本的四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。
1. 复数的加法和减法复数的加法和减法实际上是对应实部和虚部的运算。
例如，(2+3i) + (4+5i) = 6+8i；(2+3i) - (4+5i) = -2-2i。
2. 复数的乘法复数的乘法是将每一个部分都相乘然后合并。
例如，(2+3i) × (4+5i) = (-7+22i)。
3. 复数的除法复数的除法可以通过乘以共轭复数转换为乘法运算。
共轭复数是将复数的虚数部分取负，例如，(2+3i) ÷ (4+5i) = (2+3i) × (4-5i) ÷ ((4+5i) ×(4-5i)) = (23/41) + (2/41)i。
复数的概念与运算
[解析] 方法一：z＝
( 3＋i)(－2＋2 3i) ＋ )(－ ＋ ) )( 3 1 ＝－ 4 ＋4i， ， )(－ ＋ (－2－2 3i)(－2＋2 3i) － )( ) 所以 z·
z ＝－
32 12 1 ＋ ＝ . 4 4 4
16
方法二： ＝ 方法二：z＝ 3 1 － 4 ＋4i， ， 所以 z·
7
m2－m－6 － 例 2 当 m＝________时，复数 z＝ ＝ 时 ＝ ＋(m2－2m－15)i 是纯 － m＋3 ＋ 虚数． 虚数．
例 2
[思路 正确理解复数的相关概念．要特别注意复数 z＝a＋ 思路] 正确理解复数的相关概念． ＝ ＋ 思路
bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是 a＝0 且 b≠0. ， ∈ 为纯虚数的充要条件是 ＝ ≠ － ≠ ， m2－2m－15≠0， 2 － ＝ ， [解析 z 为纯虚数⇒m －m－6＝0， 解析] 解析 为纯虚数⇒ m＋3≠0 ＋ ≠
15
[2010· 课标全国卷 已知复数 z＝ 课标全国卷] ＝ 的共轭复数， ) 的共轭复数，则 z· z ＝( 1 1 B. C．1 D．2 A. ． ． 4 2
变式题 A
3＋i ＋ ，z是 z (1－ 3i)2 － )
[思路 先化简 z，再求 z ，最后确定 z· z 的值． 思路] 的值． 思路 ， 3＋i ＋ 3＋i 3＋i ＋ ＋ ＝ ＝ ＝ 1－2 3i－3 － ) － (1－ 3i)2 － －2－2 3i －
∴z＝3＋4i. ＝ ＋
[点评 本题考查共轭复数和复数的模的概念，掌握这两个概念的有关 点评] 本题考查共轭复数和复数的模的概念， 点评 性质，可以简化解题过程．共轭复数的性质有： 性质，可以简化解题过程．共轭复数的性质有：① z ＝z；②z· z ＝|z|2＝| z |2； ； ③z∈R⇔ ＝ z .设 z＝a＋bi，|z|＝ a2＋b2，运算性质有：①|z|＝| z |；②|z1·z2| ∈ ⇔ z＝ 设 ＝ ＋ ， ＝ 运算性质有： ＝ ； z· 如下面的变式题． ＝|z1||z2|； |z|＝1⇔ z ＝1； |z|2＝| z |2＝|z2|＝| z 2|＝z· z 等． ； ③ ＝ ⇔ ； ④ ＝ ＝ 如下面的变式题．
初中数学知识归纳复数的概念与运算
初中数学知识归纳复数的概念与运算复数是数学中一个重要的概念，它可以用来表示一些无理数和虚数。
在初中数学中，学习复数的概念和运算是十分关键的。
本文将对初中数学中涉及的复数相关知识进行归纳总结。
一、复数的概念复数是由实数和虚数单位 i 组成的数。
其中，实数部分可以是任意的实数，虚数部分则为实数与 i 相乘得到的数。
复数通常用符号 a+bi来表示，其中 a 是实数部分，b 是虚数部分。
二、复数的表示形式1. 代数形式代数形式是复数的一种常见表示形式，即复数的实部和虚部分别用实数表示。
例如，复数 2+3i 就是采用代数形式表示的。
2. 几何形式几何形式是复数另一种重要的表示形式，它用平面向量的概念来表示复数。
复数 a+bi 可以看成是平面上点的坐标，其中实部 a 表示点的横坐标，虚部 b 表示点的纵坐标。
三、复数的运算1. 复数的加法复数的加法遵循实部相加、虚部相加的原则。
例如，(2+3i) + (4+5i) = 6+8i。
2. 复数的减法复数的减法与加法类似，实部相减，虚部相减。
例如，(2+3i) -(4+5i) = -2-2i。
3. 复数的乘法复数的乘法需要应用到乘法公式 (a+bi)(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i。
例如，(2+3i)(4+5i) = -7+22i。
4. 复数的除法复数的除法可以通过乘以共轭复数，并应用乘法公式来实现。
例如，(2+3i) ÷ (4+5i) = (2+3i)(4-5i) ÷ (4+5i)(4-5i) = (23/41)-(2/41)i。
四、复数的性质1. 共轭复数两个复数的共轭复数指的是虚部相反的复数。
例如，复数 a+bi 的共轭复数为 a-bi。
2. 模复数的模指的是复数对应的向量的长度，即平面上从原点到该点的距离。
3. 模的性质复数 a+bi 的模的平方等于 a^2 + b^2，即 |a+bi|^2 = a^2 + b^2。
这个性质可以通过向量的长度公式得出。
复数的基本概念与运算规则
复数的基本概念与运算规则复数是数学中的一种数形式，可以表示为实部与虚部的和。
在复数中，虚部用i来表示，i为虚数单位，满足i² = -1。
复数的基本概念与运算规则是我们学习复数的基础，以下将对其进行详细介绍。
一、复数的基本概念复数由实部和虚部组成，一般表示为a + bi，其中a为实部，bi为虚部。
实部和虚部都可以是实数。
当虚部为0时，复数退化为实数。
反之，当实部为0时，复数退化为纯虚数。
二、复数的表示形式1. 笛卡尔形式：复数a + bi可以表示为有序对(a, b)，其中a表示实部，b表示虚部。
2. 楔形式：复数a + bi可以表示为模长和辐角的形式。
其中模长是复数到原点的距离，辐角是复数与实轴的夹角。
三、复数的运算规则1. 加法运算：对于两个复数(a + bi)和(c + di)，其和为(a + c) + (b +d)i。
即实部相加，虚部相加。
2. 减法运算：对于两个复数(a + bi)和(c + di)，其差为(a - c) + (b - d)i。
即实部相减，虚部相减。
3. 乘法运算：对于两个复数(a + bi)和(c + di)，其积为(ac - bd) + (ad+ bc)i。
即实部的乘积减去虚部的乘积，然后再加上实部和虚部的乘积。
4. 除法运算：对于两个复数(a + bi)和(c + di)，其商为[(ac + bd)/(c² + d²)] + [(bc - ad)/(c² +d²)]i。
即实部的乘积加上虚部的乘积除以除数的模长的平方，然后再加上虚部的乘积减去实部的乘积除以除数的模长的平方。
4. 共轭运算：对于复数a + bi，其共轭为a - bi。
即实部不变，虚部取相反数。
五、复数的基本性质1. 加法满足交换律和结合律：对于任意复数a, b和c，有a + b = b + a和(a + b) + c = a + (b + c)。
2. 乘法满足交换律和结合律：对于任意复数a, b和c，有ab = ba和(ab)c = a(bc)。
复数的基本概念和运算
复数是由实数和虚数部分组成的数。
实数部分和虚数部分可以写成一对有序实数(x, y)，其中x是实数部分，y是虚数部分。
复数常用形式为a+bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位，满足i^2 = -1。
复数的基本概念：1.实数部分和虚数部分：复数可以表示为实数部分和虚数部分的和。
实数部分表示复数在实轴上的位置，虚数部分表示复数在虚轴上的位置。
2.纯虚数和实数：如果一个复数的实数部分为0，则该复数为纯虚数。
纯虚数可以表示为bi，其中b为非零实数。
3.共轭复数：如果一个复数的实数部分保持不变而虚数部分的符号取相反数，得到的复数称为原复数的共轭复数。
共轭复数可以表示为a-bi。
复数的运算：1.加法：两个复数相加可以将它们的实数部分相加，虚数部分相加。
例如(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i。
2.减法：两个复数相减可以将它们的实数部分相减，虚数部分相减。
例如(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i。
3.乘法：两个复数相乘可以使用分配律和i^2=-1。
例如(a+bi)(c+di) =(ac-bd) + (ad+bc)i。
4.除法：两个复数相除可以使用乘法的逆运算。
具体步骤是将除数的共轭复数乘以被除数，并将结果除以除数的模的平方。
例如(a+bi) / (c+di) = [(a+bi) * (c-di)] / (c^2+d^2) = [(ac+bd) + (bc-ad)i] /(c^2+d^2)。
复数运算的性质：1.加法和乘法满足交换律和结合律。
2.乘法满足分配律。
3.共轭复数的和等于两个复数的和的共轭。
4.除数和商的共轭等于被除数的共轭。
复数的应用：1.在物理学中，复数用于描述波的振幅和相位，如电磁波传播。
2.在工程学中，复数用于描述电路中的交流信号，如频率和相位差。
3.在数学分析中，复数用于解析几何和向量运算。
4.在计算机科学中，复数用于图像处理和信号处理。
总结起来，复数的基本概念包括实数部分和虚数部分，复数的运算包括加法、减法、乘法和除法。
复数的基本概念和运算
1、复数 z=x+iy或 z=x+yi 、
x, y为实数;i 2 = −1
实部： ( z ) = x; 虚部为 Im ( z ) = y Re 若 Im ( z ) = 0，则z为实数； 若 Re ( z ) = 0，则z为纯虚数。
共轭 z = x − iy
z1 z1 i) z1 ± z2 = z1 ± z2, z1z2 = z1z2, = ; z2 z2 ii) z = z; iii) zz =[ R z)] +[ Im z)] ; e( (
x → x0 y → y0
定理四、如果 f ( z )， g ( z )在 z 0处连续，下列函数在 z 0 处都连续。 处连续， 处都连续。 定理四、 f ( z ) ± g ( z ),
w = zn 多 项 式 ： w = P ( z ) = a 0 + a1 z + L + a n z n 有 理 式 ： w= P(z) 在 Q(z) ≠ 0 Q(z)
– 复平面与直角坐标平面上的点一一对应
y
0
z = x + iy (x,y )
x
P
• 向量表示
–模 – 幅角
| z |= r = x 2 + y 2
y
θ
O
z=x+iy
θ = Argz = arg z + 2kπ θ 0 = arg z, −π < θ0 ≤ π
x
z=0时辐角不确定
• 三角表示： z = r (cos θ + i sin θ )
(4) 在除去负实轴(包括原点)的复平面内, 主值支和其它各分支 处处连续, 处处可导, 且 (ln z )′ = 1 , (Lnz )′ = 1 .
复数与复数运算详细解析与归纳
复数与复数运算详细解析与归纳复数是数学中一种重要的概念，它包含了实数范围之外的数。
在本文中，我们将详细解析复数的定义、运算规则以及复数的归纳方法，旨在帮助读者更好地理解和应用复数。
一、复数的定义复数是由实数和虚数单位构成的数，通常表示为a+bi的形式，其中a和b都是实数，i是虚数单位，满足i²=-1。
复数由实部和虚部两部分组成，实部是实数部分，虚部是虚数部分。
二、复数的四则运算1. 加法：对应位置的实部和虚部分别相加。
2. 减法：对应位置的实部和虚部分别相减。
3. 乘法：按照分配律展开并合并同类项，同时注意i²的取值。
4. 除法：将除数乘以共轭复数的分子和分母，然后进行简化。
三、复数的性质与归纳1. 共轭复数：将复数的虚部取负数得到的数为共轭复数，记作z'。
共轭复数具有以下性质：a. 共轭复数的实部相等，虚部的符号相反。
b. 复数与它的共轭复数的乘积等于它的模的平方。
c. 对于实数，它的共轭复数等于它本身。
2. 复数的模和辐角：复数的模是复数到原点的距离，通常用|r|表示；辐角是复数与实轴正半轴之间的夹角，通常用θ表示。
复数的性质与归纳如下：a. 复数的模等于它与共轭复数的乘积的平方根。
b. 复数的辐角等于它在坐标平面上与实轴正半轴的夹角。
c. 两个复数相等，当且仅当它们的实部和虚部分别相等。
3. 欧拉公式：欧拉公式将复数的辐角表示为指数形式，可以用于简化复数的运算。
欧拉公式的表达式为e^(iθ) = cosθ + isinθ，其中e为自然对数的底数。
利用欧拉公式可以更方便地进行复数的乘方运算和三角函数的运算。
四、应用举例复数在物理学、工程学以及信号处理等领域有广泛的应用。
下面是一些常见的应用举例：1. 交流电路中的复数阻抗：复数可以用来表示交流电路中的电阻、电感和电容，进而分析电路中的电流和电压。
2. 复数频域分析：利用复数的欧拉公式，可以将信号在频域上进行分析和处理，例如傅里叶变换。
复数的概念及其运算
复数的概念及其运算北京 郎文敬高考复数题一般比较简单，主要考查复数的相关概念及其运算， 下面我们就典型例题展示这部分内容.一、复数的概念复数的概念是整个复数内容的基础，其中最重要的是复数的代数形式，经常考查的概念有：虚数（纯虚数）、复数相等的充要条件、共轭复数、几何意义等.例1已知复数()2262153m m z m m i m --=+--+，求满足下列条件的m 的值或取值范围：⑴z 是实数；⑵z 是纯虚数；⑶复数z 对应点在第二象限.解析：⑴由复数z 为实数，则22150m m --=且2603m m m --≠+，解得：5m =； ⑵由复数z 为纯虚数，则22150m m --≠且2603m m m --=+， 解得：3m =或2m =-；⑶由复数z 对应点在第二象限，则2260,32150,m m m m m ⎧--<⎪+⎨⎪-->⎩解得：3m <-，即(,3)m ∈-∞-.点评: 本题考查复数的概念，紧扣概念，建立方程（不等式）组，特别注意复数的实部与虚数的概念.变式：1.若222(32)i a a a a +-+-+为纯虚数，则实数a =______．1．-2.提示：220a a +-=得2a =-或1，2320a a -+≠得1a ≠且2a ≠，所以2a =-．二、复数的运算复数的运算是复数部分高考的重点内容，只要就是复数的四则运算，难度一般不大.例2计算：)()24334i i +-. 解析：结合复数的运算法则，可知)()24334i i +=-()224334i i i +=- 161234i i -=-()()(1612)34(34)34i i i i -+-+ =4864364825i i ---=4-.点评：准确运用复数的加、减、乘、除运算法则进行计算，是复数计算的常规方法. 注意常见的公式，如 ()212i i ±=±，2340i i i i +++=等，解题时要适当对原题进行变形，为计算创造条件.变式：2. ()()()()3571357i i i i +++++++的值是（ ）. A. 316i - B. 316i + C.16i + D.16变式：3. 在复平面内，若A ，B 两点对应的复数分别是1-i ，2-2i ，则线段AB 的长度是 （ ）B.2C.D.18专题三 复数的概念及其运算1．-2.提示：220a a +-=得2a =-或1，2320a a -+≠得1a ≠且2a ≠，所以2a =-．2. D . 提示：原式=()()()()1357i i i i ++-+++-=16.3.A. 提示：(22)(1)1,AB i i i =---=- 所以AB 的长度为AB =。
初中数学知识归纳复数的概念与复数的运算
初中数学知识归纳复数的概念与复数的运算复数是数学中一个重要的概念，在初中数学学习中也是一项必须掌握的内容。
本文将对复数的概念以及复数的运算进行详细的归纳。
一、复数的概念复数是由实数和虚数构成的数，通常记作a+bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位，满足i²=-1。
在复数a+bi中，a称为实部，bi称为虚部。
在实数范围内，有些方程是无法求根的，例如x²+1=0。
为了解决这类方程无解的问题，人们引入了虚数单位i。
虚数单位i具有i²=-1的性质，所以x²+1=0可以写成x²=-1，根据i的性质，我们可以得到x=i和x=-i两个解，这就是复数的引入。
复数既包括实数，也包括虚数，可以表示在复平面上，实部表示复数在实轴上的投影，虚部表示复数在虚轴上的投影。
二、复数的运算1. 复数的加法和减法设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d都是实数，则它们的和为(a+c)+(b+d)i，差为(a-c)+(b-d)i。
复数的加法和减法运算就是分别对实部和虚部进行相加或相减。
2. 复数的乘法设有两个复数a+bi和c+di，它们的乘积为(ac-bd)+(ad+bc)i。
使用分配律和虚数单位i的性质，将复数的乘法运算转化为实数之间的乘法运算，并根据i²=-1化简得到最终结果。
3. 复数的除法设有两个非零复数a+bi和c+di，它们的除法为：```(a+bi)(c-di)(a+bi) / (c+di) = ---------------(c+di)(c-di)```为了将除法转化为乘法，可以借助共轭复数的概念。
共轭复数是保持实部不变、虚部相反的复数，记作a-bi。
借助共轭复数的概念，我们可以将分子和分母都乘以共轭复数来进行除法运算。
三、复数的应用复数在数学中有广泛的应用，尤其是在电学和物理学中。
在电学中，电流和电压往往是复数形式的。
复数可以表示电流或电压的幅度和相位，方便进行电路分析和计算。
复数的概念和运算法则
复数的概念和运算法则复数是由实数和虚数组合而成的数，它由实部和虚部构成，通常表示为a + bi的形式，其中a和b都是实数，i为虚数单位，满足i^2 = -1。
复数在数学中起到重要作用，尤其在电工、物理学和工程领域中有广泛应用。
一、复数的定义和表示1. 定义：复数是由实数和虚数构成的数字，虚数单位i满足i^2 = -1。
2. 表示方法：复数一般表示为a + bi的形式，其中a为实部，bi为虚部。
实部和虚部都是实数。
二、复数的运算法则1. 加法和减法：（1）加法：两个复数相加，实部与实部相加，虚部与虚部相加，例如：(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i（2）减法：两个复数相减，实部与实部相减，虚部与虚部相减，例如：(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i2. 乘法：两个复数相乘，应用分配律，同时注意i的平方为-1，例如：(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i3. 除法：两个复数相除，需要进行分子分母的有理化，即以实数的形式写出结果，例如：(a + bi) / (c + di) = [(a + bi)(c - di)] / [(c + di)(c - di)]= [(ac + bd) + (bc - ad)i] / (c^2 + d^2)三、复数的共轭和模1. 共轭：复数的共轭是指保持实部不变，虚部取负的操作，例如：对于复数a + bi，它的共轭是a - bi，即实部不变，虚部取负。
2. 模：复数的模是指复数与自身共轭的乘积的平方根，例如：对于复数a + bi，它的模是|(a + bi)| = √(a^2 + b^2)四、复数的应用复数在电工、物理学和工程领域中有广泛的应用。
例如，在交流电路中，复数用于表示电压和电流的相位关系。
复数的基本概念与运算
复数的基本概念与运算复数是数学中的一种扩展概念，可以表示为实部与虚部之和的形式。
在复数的定义中，虚部使用虚数单位i来表示，i满足i²=-1。
本文将介绍复数的基本概念、表示形式以及常见的复数运算。
一、复数的定义与表示形式复数由实部与虚部组成，可以表示为a+bi的形式，其中a为实部，bi为虚部。
实部与虚部都是实数。
例如，2+3i就是一个复数。
其中实部是2，虚部是3。
二、复数的基本运算1. 复数的加法复数的加法按照实部与虚部分别相加的规则进行。
即，对于复数a+bi和c+di，它们的和是(a+c)+(b+d)i。
例如，(2+3i) + (4+5i) = (2+4) + (3+5)i = 6 + 8i。
2. 复数的减法复数的减法按照实部与虚部分别相减的规则进行。
即，对于复数a+bi和c+di，它们的差是(a-c)+(b-d)i。
例如，(2+3i) - (4+5i) = (2-4) + (3-5)i = -2 - 2i。
3. 复数的乘法复数的乘法使用分配律，按照实部与虚部相乘后相加的规则进行。
即，对于复数a+bi和c+di，它们的乘积是(ac-bd) + (ad+bc)i。
例如，(2+3i) × (4+5i) = (2×4-3×5) + (2×5+3×4)i = (-7+22i)。
4. 复数的除法复数的除法需要借助复数的共轭进行计算。
复数a+bi的共轭复数是a-bi，共轭复数记作a-bi。
复数的除法公式如下：(a+bi) / (c+di) = [(a+bi) × (c-di)] / [(c+di) × (c-di)] = [(ac+bd) + (bc-ad)i] / (c²+d²)。
例如，(2+3i) / (4+5i) = [(2+3i) × (4-5i)] / [(4+5i) × (4-5i)] = (-7/41) + (22/41)i。
复数的概念与运算
复数的概念与运算一:知识点详析1．复数的有关概念和性质：(1)i 称为虚数单位,规定21i =-,形如a+bi 的数称为复数,其中a ，b ∈R ． (2)复数的分类(下面的a ，b 均为实数)(3)复数的相等设复数1112221122,(,,,)z a b i z a b i a b a b R =+=+∈，那么12z z =的充要条件是：1122a b a b ==且．(4)复数的几何表示复数z=a+bi （a ，b ∈R ）可用平面直角坐标系内点Z(a ，b)来表示．这时称此平面为复平面，x 轴称为实轴，y 轴除去原点称为虚轴．这样，全体复数集C 与复平面上全体点集是一一对应的．复数z=a+bi (),a b R ∈．在复平面内还可以用以原点O 为起点，以点Z(a ，b)向量所成的集合也是一一对应的(例外的是复数0对应点O ，看成零向量)． (7)复数与实数不同处①任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小．②实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方．而复数对四则运算和开方均通行无阻． 3．有关计算：⑴n i ()*n N ∈怎样计算？（先求n 被4除所得的余数，r r k i i =+4 ()*,k N r N ∈∈） ⑵i i 2321232121--=+-=ωω、是1的两个虚立方根，并且：13231==ωω221ωω=122ωω=211ωω=121ωω=21ωω=12ωω=121-=+ωω⑶ 复数集内的三角形不等式是：212121z z z z z z +≤±≤-，其中左边在复数z 1、z 2对应的向量共线且反向（同向）时取等号，右边在复数z 1、z 2对应的向量共线且同向（反向）时取等号。
⑷ 棣莫佛定理是：[]))(sin (cos )sin (cos Z n n i n r i r n n ∈+=+θθθθ ⑸ 若非零复数)sin (cos ααi r z +=，则z 的n 次方根有n 个，即：)1210)(2sin2(cos-=+++=n k nk i nk r z nk ，，，， απαπ它们在复平面内对应的点在分布上有什么特殊关系？都位于圆心在原点，半径为n r 的圆上，并且把这个圆n 等分。
复数基础知识及其运算规律
复数基础知识及其运算规律一、复数的概念1.复数的定义：复数是由实数和虚数构成的数，一般形式为a+bi，其中a和b分别为实数，i为虚数单位，满足i^2=-1。
2.复数的分类：a)纯虚数：实部为0的复数，如i、-i等；b)实数：虚部为0的复数，如2、-3等；c)混合数：实部和虚部都不为0的复数，如1+2i、-3-4i等。
二、复数的表示方法1.代数表示法：用a+bi的形式表示复数；2.极坐标表示法：用r(cosθ+isinθ)的形式表示复数，其中r为模长，θ为辐角。
三、复数的运算规律1.加减法：a)(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i；b)(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i。
c)(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i；d)特殊情形：两个纯虚数相乘，结果为实数；e)单位根的乘法：i^k，其中k为整数。
f)(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)/(c2+d2)] + [(bc-ad)/(c2+d2)]i。
g)(a+bi)^2 = (a2-b2) + 2abi；h)(a+bi)3、(a+bi)4等，可以利用乘方公式进行展开。
2.共轭复数：a)若复数为a+bi，则它的共轭复数为a-bi；b)共轭复数具有以下性质：两数相加为实数，两数相乘为实数。
四、复数的性质1.模长：表示复数在复平面上的长度，公式为|a+bi| = √(a2+b2)；2.辐角：表示复数在复平面上与实轴的夹角，公式为θ = arctan(b/a)，其中a≠0；3.复数的平方等于1的解：i、-1、1+i、1-i等；4.复数的平方等于-1的解：i、-i等；5.复数的平方等于k（k为非零实数）的解：±√k、±i√k等。
五、复数在实际应用中的例子1.信号处理：在通信系统中，信号往往可以表示为复数形式，如调制解调器中的正弦波信号；2.物理学：在电磁学、量子力学等领域，复数用于描述物理量，如电流、电压、波函数等；3.工程学：在电子工程、控制理论等领域，复数用于分析电路、系统稳定性等。
复数的概念和运算
复数的概念和运算复数是数学中一个重要的概念，广泛应用于各个领域。
本文将介绍复数的概念和运算，以及复数在实际问题中的应用。
一、复数的概念复数是由实数和虚数组成的数，形式为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
实部和虚部可以是任意实数。
例如，3+2i和-5-4i都是复数。
其中，3是实部，2i是虚部。
二、复数的表示形式复数有多种表示形式，常见的有代数形式、三角形式和指数形式。
代数形式即a+bi的形式，是复数最常见的表示方法。
三角形式则是使用模长和幅角来表示复数，形式为|z|∠θ。
指数形式则是使用指数函数e的幂次来表示复数，形式为re^(iθ)，其中r为模长，θ为幅角。
三、复数的运算复数的运算包括加法、减法、乘法和除法。
这些运算可以通过分别对实部和虚部进行运算来完成。
下面以代数形式为例进行说明。
1. 复数的加法要计算两个复数的加法，只需将它们的实部相加，虚部相加即可。
例如，(3+2i)+(5-4i)=8-2i。
2. 复数的减法复数的减法与加法类似，只需将减数取相反数后再进行加法运算即可。
例如，(3+2i)-(5-4i)=-2+6i。
3. 复数的乘法复数的乘法是通过将两个复数的实部、虚部按照指定规则相乘得到。
例如，(3+2i)*(5-4i)=23+2i。
4. 复数的除法复数的除法是将被除数与除数的共轭复数相乘，然后分别除以除数的模长的平方。
例如，(3+2i)/(5-4i)=-0.2+0.56i。
四、复数的应用复数广泛应用于工程、物理、电子等领域，在实际问题中具有重要作用。
1. 电路分析在电路分析中，复数可以用来表示电流和电压之间的相位关系。
复数的乘法和除法可以简化对电路的计算和分析。
2. 信号处理在信号处理中，复数常用于表示正弦信号或复杂信号的频谱。
通过对复数进行运算，可以提取信号的频率、相位等重要信息。
3. 振动分析在振动分析中，复数可以用来表示物体振动的幅值和相位。
通过对复数进行运算，可以得到振动的幅频特性和相频特性。
复数的基本概念与运算
复数的基本概念与运算复数（Complex Number）是数学中的一个重要概念，在实际问题的建模和求解中起到了重要的作用。
它由实数和虚数部分组成，是一类具有特定形式的数。
本文将介绍复数的基本概念以及复数的运算规则。
一、复数的基本概念复数是由实数和虚数组成的数。
在复数中，虚数部分由虚数单位i（i^2=-1）表示。
一个复数可以写成a+bi的形式，其中a是实部，b是虚部。
实部和虚部分别是复数的实数部分和虚数部分。
二、复数的运算规则1. 复数的加法运算：将两个复数的实部分相加，虚部分相加。
例如：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i2. 复数的减法运算：将两个复数的实部分相减，虚部分相减。
例如：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i3. 复数的乘法运算：根据分配律和虚数单位i的定义，进行计算。
例如：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i4. 复数的除法运算：将被除数与除数同时乘以除数的共轭复数，然后按照乘法运算规则计算。
例如：(a+bi)/(c+di)=((ac+bd)+(bc-ad)i)/(c^2+d^2)三、复数的性质1. 复数的共轭：将复数的虚部加负号，即得到该复数的共轭复数。
例如：对于复数a+bi，它的共轭复数是a-bi。
2. 复数的模：复数的模表示复数到原点的距离，也就是复数的绝对值。
例如：对于复数a+bi，它的模是√(a^2+b^2)3. 复数的实部和虚部性质：（1）若复数的实部和虚部都为零，则该复数为零，记作0。
（2）若复数的实部为零，虚部不为零，则该复数为纯虚数。
（3）若复数的虚部为零，实部不为零，则该复数为实数。
四、复数的图示表示我们可以将复数在复平面上进行图示表示。
将复数a+bi表示为平面上的一个点P，P的横坐标是a，纵坐标是b。
通过这种方式，可以直观地理解复数的实部和虚部以及复数的运算规则。
五、应用复数在物理学、工程学、经济学等领域中具有广泛的应用。
复数的概念和运算
复数的概念和运算内容：1 .复数的有关概念虚数单位I ;复数的定义；复数的表示法；共轭复数；复数的模；复数相等 2•复数的运算： 复数代数形式的加、减、乘、除运算及加、减法运算的几何解释 要求：对数的发展有初步认识；对复数有关概念有理性的认识，能够解释，举例或变形、推断, 并能利用这些知识解决简单问题 •对复数运算及其加、减法的几何解释有较深刻的理性认识，形成技能，并能利用所学知识 解决有关问题•2n-3 2n-1 2n+1 2n+3 石例1. i + i + i + i 的值为（）•A 、-2B 、0C 、2D 、4 分析与解答：1 1 法一：原式 屮（1 1 i i 3） =（_1）n （i —i i —i ） =0i i法二：原式・2n_3” 丄・2丄・4 丄・6\ .鸟门」“ “丄“ 八 c=i （1 i i i ） = i （1 一1 1 一1） =0法三：视为等比数列,如：当 Z 1=i, z 2=1 时 z ： z | = -1 1 = 0 ,故选 B.注意在复数集中不能套用实数集中的性质 例3.下面命题中正确的是（）.A 、互为共轭复数的两数之差必是纯虚数B 、复数a+b i =c+d i 的充要条件是a=c,b=d.C 、 如果让实数 a 与纯虚数a i 对应，那么实数集与纯虚数集是 ---- 对应D 、 复平面虚轴上各点与纯虚数 - 对应 分析与解答：A 、 否定：因为复数工虚数，如 z=3, z =3, ••• z -z=0不是纯虚数B 、 a,b,c,d 应为R ，否则不成立，因此否定 .C 、 否定：a=0时，a i =0不是纯虚数.D 、正确，虚轴不包括原点例4.已知：3z-| z 戶7 -9i ，求复数乙分析与解答：设z=a+b i （a,b € R ），由已知有3（a bi ） - a 2 b 2 =7 -9i ,原式・ 2n _3 8、 1-i 2 .2n _3i （1 -1） 1 1 几种方法（法一，法二是同一种方法）均用到了 .4n 4n 1 4n 24n3 . i 1 , i i , i 1, i i . i 的运算的周期性: 例2 •设Z 1,Z 2为复数，那么 2 2 z 1 ■ z 2 = 0是Z 1,Z 2同时为零的（ A 、充分不必要条件C 、充分必要条件分析与解答： B 、必要不充分条件 D 、既不充分也不必要条件 若z 1 ,z 2同时为零，则 Z 12 - Z ； = 0成立；而当z 12 - z ； =0时，就不一定Z 1,Z 2同时为零.整理为3a --.、a 2 • b 2 • 3bi =7-9i ，根据复数相等，有‘3a _ J a 2 +b 2 =7 .......... 1)(、3b = -9 ............. 2)5由(2)得b=-3代入(1)得a=4或a .45经检验a 舍去，••• z=4-3 i . 4注意：利用复数相等将复数问题转化为实数问题后，在解方程组时，因有一个是无理方程，因 此必须验根•例5.设z € c ,且|z|=2，求|1 - .、3i • z |的最小值和最大值.分析与解答：法一：||1 3i| -|z||_|1 z|_|1 - ..3i| |z|,又••• |z|=2, |1 - 3i 戶2,二 0 勻1 一 . 3i ■ z 4 ,因此|1 - 3i • z |的最小值为0，最大值为4.此法利用的是复数模的性质：|0|-|Z 2||W |Z 什Z 2|W |Z 1| + |Z 2|.请问，你知道等号成立的条件吗? 法二：利用复数减法的几何意义： |z|=2是以原点为圆心，2为半径的圆.|1-..3i z|=|z-(-1 ..3i)|表示此圆上的点到点 M(-1, 3)的距离，10• y=0 或 1 2x 十y由图知：••• M 就在圆上，所以最小距离为 0，而最远距离在过 M 点的直径的另一端 M'处, |MM'|=2R=4，得最远距离为 4.此题还有其它解法，但这两种解法最快捷 •1 -i 例6 .当z 二 时，V 2 分析与解答：由Z = -耳!得Z 2 V2100 50 100 50求Z +Z +1的值. -2i .• i 4 彳 i ,…i =-1. 2100 5025 12 贝y z +z +仁(-1) +(-1) (- i )+仁-i .例7.求同时满足下列两个条件的所有复数 乙10 10(1) z 是实数，且1 z 6.Z (2) z 的实部和虚部都是整数 分析与解答： 由题，设 z=x+yi (x,y € Z 且 冲 +10 + • + 10 贝U z x yi z x + yi10 ~2x 2+y — 0), .10x -10yi 2*2 x y 二 x yi 10 = x(v — 2) y(1 - x 十y z 10是实数，• z y 2)i虚部 y(1 - J°T)=0, x y••• 1 ：：： x(1 21O_2)<6x+ y(1)当y=0时①式化为x<0 时，x 10：： 0,xd 10 a1 ：： x 6,x101 ■x6无解.x10 —10x>0 时，x 210 6, 1 ：：：x 6 无解.x x⑵当x2+y2=10时，①式可化为1<2x w 6,又T x,y € Z, • x=1,x=2,x=3.「X = 1 x = 1 x = 3 x = 3< 彳t <y=3 I"-3 lyi y = -1因此，同时满足条件(1)和(2)的所有复数是: 1 3i,1 -3i, 3 i,3 - i .。
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变式1. 复数z＝
(m∈R，i为虚数单位)在复平面上对应的点
不可能位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解析：解法一：z＝
显然
＞0与－
＞0不可能同时成立，
则z＝
对应的点不可能位于第一象限．
解法二：z＝
设x＝
，y＝
，则2x＋y＋2＝0
又直线2x＋y＋2＝0不过第一象限，
则z＝
(4)(a＋bi)÷(c＋di)＝
.
2．复数的加法乘法运算律 (1)z1＋z2＝z2＋z1. (2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． (3)z1z2＝z2z1. (4)z1(z2z3)＝(z1z2)z3. (5)z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.
3．虚数单位i的乘方 i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1.(其中n∈Z)
(3)1的三次虚根
的乘方．
【例3】(1)复数(
)10的值是( )
A．－1
B．1
C．－32
D．32
解析：本小题主要考查复数的运算，以及虚数单位的性质．
答案：A
(2)复数
的值是( )
A．－16
B．16
C．
D.
解析：本小题主要考查复数的运算.
＝
答案：A
【方法规律】
1．复数可以用代数形式，复平面中的点表示，还可以用三角形式和向量表 示等，要注意数形结合思想方法的运用．
3．复数的代数形式：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，把复数表示 成a＋bi的形式，叫做复数的代数形式．
4．复数的分类：对于复数a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，复数a＋bi(a、 b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z＝a＋bi叫做虚数；当a＝0且b≠0时，z＝bi叫 做纯虚数．
二、复数的运算
1．复数的四则运算法则
若复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，其中a，b，c，d∈R，则 (1)z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i. (2)z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i. (3)(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.
2．可以用复数相等的定义，将复数问题转化为实数问题来解决． 3．一般两个复数不存在大小关系(除非两个复数都是实数)这也是复数与实
数的区别之一．在数系扩充后有关实数的一些结论在复数范围内未必成 立．如实数中a2＋b2＝0的充要条件是a＝b＝0，在复数集中不一定成立． 4．复数的加、减、乘法运算类似多项式的运算，虚数单位的乘方结果呈周 期性的变化，复数的除法通过分母实数化转化为乘法运算．
∴
得
变式2. 求值：(1)
(2)
解答：(1)原式＝
＝
(2)设ω＝－
，则ω3＝1，
＝ωi.
∴原式＝(ωi＋ω)8＝ω8(1＋i)8＝ω6×ω2(2i)4＝16ω2
＝
1. 利用代数形式进行复数的乘方运算一般方法就是利用二项式定理展开．
2．在进行复数乘方运算时要注意以下特殊结论的应用：
(1)虚数单位i的乘方；(2)(1±i)2＝±2i；
第十一单元 数系的扩 推理与证明 11.1 复数的概念及运算
(理解复数的基本概念/理解复数相等的充要条件/了解复数的代数表示法及其 几何意义/掌握复数代数形式的四则运算/了解复数代数形式的加、减运算的 几何意义)
一、复数的有关概念 1．虚数单位i
(1)它的平方等于－1，即i2＝－1； (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时， 原有加、乘运算律仍然成立． 2．复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的 虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示．
5．两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说 这两个复数相等．
6．复平面、实轴、虚轴：如图，复数z＝a＋bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是一 一对应关系．这是因为对于任何一个复数z＝a＋bi(a、b∈R)，由复数相等的定 义可知，可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定，复数z对应点的横坐标是a， 纵坐标是b，复数z＝a＋bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标 系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚 轴．实轴上的点都表示实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
的实部和虚部可判断出其对应点在复平面上的位置．
【例1】已知复数z与(z＋2)2－8i均是纯虚数，则z＝______. 解析：设z＝ai，a∈R且a≠0，则(z＋2)2－8i＝4－a2＋(4a－8)i. ∵(z＋2)2－8i是纯虚数，∴4－a2＝0且4a－8≠0. 解得a＝－2. 因此z＝－2i. 答案：－2i
解析：
＝－1.
答案：A
4．复数(1－i)3的虚部为( )
A．3
B．－3
C．2
D．－2
解析：(1－i)3＝－2i(1－i)＝－2－2i.则复数(1－i)3的虚部为－2.
答案：D
5．复数 解析： 答案：
的值是________．
1. 根据复数的代数形式，通过其实部和虚部可判断一个复数是实数，还是虚数． 2．复数z＝a＋bi，a∈R，b∈R与复平面上的点Z(a，b)是一一对应的，通过复数z
5．对于简单的复数乘方运算，可以利用二项式定理进行运算，特殊的可利
用：(1)(1±i)2＝±2i；
(2)若ω＝
，
则ω3n＝1，ω3n＋1＝ω，ω3n＋2＝ ，n∈N.
6．在复数集中分解因式，对于x的多项式，都可分解为x的一次因式，分解
因式与对应方程解的关系与实数集中分解因式与对应方程解的关系是一样的．
1．设a是实数，且
是实数，则a等于( )
A.
B．1
C.
D．2
答案：B
2．在复平面内，复数
对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解析： ＝1－i，则复数对应的 Nhomakorabea(1，－1)在第四象限．
答案：D
3．(2010·开封高三月考)复数
＝( )
A．－1
B．1 C．－i D．i
对应的点不可能位于第一象限．
答案：A
复数的加减乘法运算类似于多项式的加减乘法运算，而复数的除法是通过分 母的实数化转化为复数的乘法运算．
【例2】已知z＝1＋i，
＝1－i，求实数a、b的值．
解答：由
＝1－i，把z＝1＋i代入得
＝1－i，
∴
＝1－i.
∴(a＋b)＋(a＋2)i＝(1－i)i＝1＋i，