高中物理竞赛辅导讲义-7.1简谐振动
高中物理竞赛辅导参考资料之17
（4）4E1。
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一弹簧振子作简谐振动， 一弹簧振子作简谐振动，总能量为 E1，如果谐振 动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的4 动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的4 倍，则其总能量将变为
/4； （1）E1/4；
（2）E1/2；
0.928 当
合成的 达到最大
时
得 当
合成的 达到最小
时
得
振动合成二
为了突出重点，设两分振动的振幅相等且初相均为零。
合振动
频率为 简谐振动
的
频率为 的 简谐振动
此合振动不是简谐振动，一般比较复杂，只介绍一种常见现象：
若
与
相差不大，
续上
频率相对较高的简谐振动 两分振动的频率
合振动 例如：
可看作呈周期性慢变的振幅
机械振动 往复运动。如声源的振动、钟摆的摆动等。 物体发生机械振动的条件： 物体受到始终指向平衡位置的回复力； 物体具有惯性。
第一节 引言 物体在它的平衡位置附近所作的
17-1
characteristic and describe of 掌握机械振动的基本规律是研究其它形式振动的基础。 simple harmonic motion
例五 Acos
两质点 1、2
同在 X 轴上作简谐振动
A
或
cos
A A
因 应取 且 在第一象限
振幅 A 相同 周期均为 T = 8.5s t=0时 质点1
在 A 处 向平衡点运动 处 向平衡点运动
Acos cos
两质点振动相位差 从旋转矢量图可以看出： 时，质点1第一次通过平衡点 A 转过
高考物理简谐波知识点
高考物理简谐波知识点简谐波是指周期性运动中的一种特殊情况，其运动方向与力的方向相同或者相反，并且其运动规律符合正弦或余弦函数。
在高考物理考试中，简谐波是一个重要的知识点。
本文将从简谐振动的定义、特点以及相关公式等方面进行论述，帮助考生更好地理解和掌握这一知识点。
一、简谐振动的定义简谐振动是指系统在受到一个恒定作用力的情况下，从平衡位置出发，沿着一条直线或者围绕某个固定轴进行的来回运动。
简谐振动具有以下几个特点：1. 运动方向与作用力方向相同或相反；2. 运动规律符合正弦或余弦函数；3. 振动频率不变，振动周期相等。
二、简谐振动的重要性简谐振动不仅是物理学中的重要概念，而且在我们的日常生活和许多科学研究领域都有着广泛的应用。
例如，天体物理学中的行星公转、地球的自转等都可以看作是简谐振动。
此外，简谐振动的理论还可以应用于弹簧振子、钟摆、电路中的交流电等问题的分析与研究。
三、简谐振动的基本公式1. 位移公式：x = A * sin(ωt + φ)其中，x表示质点的位移，A表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示初相位。
初相位决定了振动起点在平衡位置的相对位置。
2. 速度公式：v = ωA * cos(ωt + φ)v表示质点的速度，在位移公式的基础上对时间求一阶导数。
3. 加速度公式：a = -ω^2 * A * sin(ωt + φ)a表示质点的加速度，在位移公式的基础上对时间求两阶导数。
四、简谐振动的主要特点1. 振幅：振幅是指简谐振动中质点离开平衡位置的最大位移。
振幅越大，位移变化的幅度越大。
2. 角频率和周期：角频率ω和周期T是简谐振动的两个重要参数。
角频率等于2π除以周期。
周期是指简谐振动完成一个完整往复运动所需要的时间。
3. 频率和周期的关系：频率f是指单位时间内完成的振动次数，与周期的倒数相等，即f=1/T。
4. 动能和势能的转化：简谐振动过程中，质点的动能和势能不断地相互转化。
当质点位移最大时，动能最小，势能最大；当质点经过平衡位置时，动能最大，势能最小。
高中物理第七讲---振动与波动
第七讲 振动与波动湖南郴州市湘南中学 陈礼生一、知识点击1．简谐运动的描述和基本模型⑴简谐振动的描述：当一质点，或一物体的质心偏离其平衡位置x ，且其所受合力F 满足(0)F kx k =->，故得2ka x x m ω=-=-，ω=则该物体将在其平衡位置附近作简谐振动。
⑵简谐运动的能量：一个弹簧振子的能量由振子的动能和弹簧的弹性势能构成，即222111222E m kx kA υ=+=∑ ⑶简谐运动的周期：如果能证明一个物体受的合外力F k x =-∑，那么这个物体一定做简谐运动，而且振动的周期22T πω==m 是振动物体的质量。
⑷弹簧振子：恒力对弹簧振子的作用：只要m 和k 都相同，则弹簧振子的振动周期T 就是相同的，这就是说，一个振动方向上的恒力一般不会改变振动的周期。
多振子系统：如果在一个振动系统中有不止一个振子，那么我们一般要找振动系统的等效质量。
悬点不固定的弹簧振子：如果弹簧振子是有加速度的，那么在研究振子的运动时应加上惯性力．⑸单摆及等效摆：单摆的运动在摆角小于50时可近似地看做是一个简谐运动，振动的周期为2T =，在一些“异型单摆”中，l g 和的含义及值会发生变化。
〔6〕同方向、同频率简谐振动的合成：假设有两个同方向的简谐振动，它们的圆频率都是ω，振幅分别为A 1和A 2，初相分别为1ϕ和2ϕ，则它们的运动学方程分别为111cos()x A t ωϕ=+ 222cos()x A t ωϕ=+因振动是同方向的，所以这两个简谐振动在任一时刻的合位移x 仍应在同一直线上，而且等于这两个分振动位移的代数和，即12x x x =+由旋转矢量法，可求得合振动的运动学方程为cos()x A t ωϕ=+这说明，合振动仍是简谐振动，它的圆频率与分振动的圆频率相同，而其合振幅为A =合振动的初相满足11221122sin sin tan cos cos A A A A ϕϕϕϕϕ+=+2．机械波：〔1〕机械波的描述：如果有一列波沿x 方向传播，振源的振动方程为y=Acos ωt ，波的传播速度为υ，那么在离振源x 远处一个质点的振动方程便是cos ()x y A t ωυ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，在此方程中有两个自变量：t 和x ，当t 不变时，这个方程描写某一时刻波上各点相对平衡位置的位移；当x 不变时，这个方程就是波中某一点的振动方程．〔2〕简谐波的波动方程：简谐振动在均匀、无吸收的弹性介质中传播所形成的波叫做平面简谐波。
2020高中物理竞赛辅导课件—基础物理学(山大联赛版)第七章 振动(共62张PPT)
F
(h
x)Sg mg
gS
x
d2 x m dt 2
合力F 与位移 x 正比反向， 船在竖直方向作谐振动。
角频率
gS , 周期 T 2
m
m
gS 2
h g
例8： 劲度系数为 k 的轻弹
簧 一端固定在墙上，另一端连结
一质量为 m 的物体，跨过一质量
为 M 、半径为 R 的定滑轮，平衡
时弹簧伸长 l (如图)。 求：该系
振动有各种不同的形式： 机械振动、电磁振动、 广义振动：
任一物理量(如位移、电流等)在某一数值附近反复变化。
§7－1 简谐振动 (S.H.M.)
★ 简谐振动 (谐振动)
— 物体振动时，离开平衡位置的位移 x (或角位移 ) 随时间 t 的变化可表示为余弦函数或正弦函数：
x Acos ( t )
(1) ( t + ) 可确定 t 时刻的 x、v、a 的大小和方向；
(2) cos( t ) cos[ (t T ) ] , 突出了振动的周期性。
2）. 初相 φ — t = 0 时刻的相位。
4、决定简谐振动各特征量的因素
弹簧振子系统： k
m
T 2 2 m , 1 1 k
第七章
振动 和
波动学基础
基本要求
一、掌握描述简谐振动的各物理量 (特别是相位) 及各量 之间的关系 。
二、掌握旋转矢量法。 三、掌握简谐振动的基本特征，能建立一维简谐振动的
微分方程，能根据初始条件写出一维谐振动的振动 方程，并理解其物理意义。 四、理解两个同方向、同频率的简谐振动的合成规律。
机械振动 — 物体在一定位置附近作来回往复的运动。
统的振动圆频率。
高二物理竞赛课件：简谐振动的旋转矢量图示法
单摆周期 T与角振幅 m的关系为：
T
T0
1
1 22
sin 2
m
2
1 22
32 42
sin 4
m
2
T0 为 m很小时单摆的周期。
根据上述周期的级数公式，可以将周期计算到 所要求的任何精度。
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t 0
P
X
x
r
Ar 旋转的方向
逆时针方向
A 与参考方向X的夹角
振动相位
M 点在 X 轴上投影(P点)的运动规律：
x Acos(t 0 )
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A
O
v0
X
O
v0
X
A
速度、加速度的旋转矢量表示法：
v
v, a沿X 轴的投
影为简谐运动的速度、 加速度表达式。
M 点:
vm A
am 2 A
23 6 t 0.83s
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几种常见的谐振动
(1) 单摆
一根不会伸长的细线，上端固定，下端悬挂一个 很小重物，重物略加移动就可以在竖直平面内来回摆动。
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单摆受力分析如右图所示，
根据牛顿第二运动定律可得
mg sin
ml
d2
dt 2
q 很小时（小于 5o），可取
sin
d2
dt 2
g
l
2
其中2 g
l
C
l F
of
mg
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单摆在摆角很小时，在平衡位置附近作角谐振动，周期
T 2 2 g
l
转角q 的表达式可写为：
m cos(t 0 )
物理竞赛讲义-7.1简谐振动
7.1简谐振动一、简谐运动的定义1、平衡位置：物体受合力为0的位置2、回复力F ：物体受到的合力，由于其总是指向平衡位置，所以叫回复力3、简谐运动：回复力大小与相对于平衡位置的位移成正比，方向相反F k x =-二、简谐运动的性质F kx =-''mx kx =-取试探解（解微分方程的一种重要方法）cos()x A t ωϕ=+代回微分方程得：2m x kx ω-=-解得： 22T πω==对位移函数对时间求导，可得速度和加速度的函数cos()x A t ωϕ=+sin()v A t ωωϕ=-+2cos()a A t ωωϕ=-+由以上三个方程还可推导出：222()vx A ω+=2a x ω=-三、简谐运动的几何表述一个做匀速圆周运动的物体在一条直径上的投影所做的运动即为简谐运动。
因此ω叫做振动的角频率或圆频率，ωt +φ为t 时刻质点位置对应的圆心角，也叫做相位，φ为初始时刻质点位置对应的圆心角，也叫做初相位。
四、常见的简谐运动1、弹簧振子(1)水平弹簧振子(2)竖直弹簧振子2、单摆（摆角很小）sin F mg mg θθ=-≈-x l θ≈因此： F k x =-其中： mg k l=周期为：222T πω===例1、北京和南京的重力加速度分别为g 1=9.801m/s 2和g 2=9.795m/s 2，把在北京走时准确的摆钟拿到南京，它是快了还是慢了？一昼夜差多少秒？怎样调整？例2、三根长度均为l=2.00m 、质量均匀的直杆，构成一正三角彤框架ABC ．C 点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动．杆AB 是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨运动，如图所示．现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动?例3、位于铅垂平面内的“∠”形等截面弯管．两管分别与水平面成α角和β角．如图所示．其内盛有长为l、质量为m的液柱，受扰动后，液柱将沿管作往返振荡，求振荡周期(设管壁无阻力)．例4、如图所示，假想在地球表面的A、B两地之间开凿一直通隧道，在A处放置一个小球，小球在地球引力的作用下从静止开始在隧道内运动，忽略一切摩擦阻力，试求小球的最大速度，以及小球从A运动到B所需要的时间，已知地球半径为R，地球半径为R，A和B之间的直线距离为L，设地球内部质量密度均匀，不考虑地球的自转。
简谐振动课件
k/m
2
1 2 2 Ek kA sin (t ) 2
1 2 （3） 总能量 E E k E p kA 2
由此可见，弹簧振子的总能量不随时间变化，即机 械能守恒。
A
2E K
2 k / m 和能量守恒关系可得： 由
E 1 2 1 2 1 k 2 1 2 mv kx v kx 2 2 2 2 2
两质点同时到达极端位置----同相
若(2) 同时到原点但向相反方向运动----反相 若(3) 2 1 0 ,
x2
将先于 x1 到达极大值
x2 超前 x1
［例16-5］ 已知振动曲线求初相位及相位。
如图所示的 x—t 振动曲线，已知
A 振幅A、周期T、且t=0 时 x 求： 2
d 2x 2x 0 dt 2
或 x = Asin(ωt +φ)
这个解就是简谐振子的运动学方程，方程中的A，φ 是两个常数，在数学上叫积分常数，它由初始条件确定。
பைடு நூலகம்
k m
是由简谐振子本身的性质决定的，与振子是否 参加运动无关，称为振动系统的固有角频率。
3 简谐振动
弹簧振子在弹性恢复力作用下的振动是简谐振动。
恢复力 F 水 gSx
木块动力学方程：
d 2 x 水 gS x0 2 dt m
木块运动学方程：
x xm cos(t )
φ是位相，ω 是角频率：
2
水 gS
m
水 gS 水 Sh
g h
振动的周期
h T 2 g
平衡位置
二．描写简谐振动的三个特征量
(1)该振动的初相位； (2)a、b两点的相位； (3)从t=0到a、b两态所用的时间是多少? 解： (1) 由题图可知， t=0时，
高中简谐振动【高中物理竞赛推荐】
v
2
uv
t a n
A
O
v a
v v
x
x Acos(t )
vm A
v A sin(t ) an A 2 a A2 cos(t )
用旋转矢量图画简谐运动的x t图
讨论 ➢ 相位差：表示两个相位之差
（1）对同一简谐运动，相位差可以给出 两运动状态间变化所需的时间．
x1 Acos(t1 ) x2 Acos(t2 )
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
法二
t 时刻
t
π3
π3
0.08 0.04 o 0.04
起始时刻
x/m
0.08
t π π rad s1 t 2 0.667 s
3
2
3
例2 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹
簧的劲度系数 k 0.72N，物m体1的质量 . m 20g
其中F’为此时货轮所受浮力， 其方向向上，大小为
F m g gSx
则货轮所受合外力
F C
F’
o
x
C
F P F gSx kx
P
式中k=ρgS为常数，货轮作简谐运动(a)
P x
(b)
由 F md2 x / dt2 可得货轮运动的微分方程为
d 2 x gS
dt 2 m x 0
令 2 gS / m ，可得其振动周期为
(t2 ) (t1 ) t
t
t2
t1
x
Aa
A2
b
t
ov A v
π
3
t π 3T 1 T 2π 6
（2）对于两个同频率的简谐运动，相位 差表示它们间步调上的差异（解决振动合成 问题）.
2024年高中物理新教材讲义：简谐运动
1简谐运动[学习目标] 1.了解机械振动的概念，知道弹簧振子是一种理想化模型，理解弹簧振子的平衡位置(重点)。
2.理解简谐运动的概念和特点，知道简谐运动的图像特征(重点)。
3.会利用简谐运动的图像分析振子的位移和速度的变化情况(重难点)。
一、弹簧振子如图所示的装置，把小球向右拉到B点后释放，可以观察到小球左右运动了一段时间，最终停止运动。
(1)小球的运动具有什么特点？为什么小球最终停止运动？(2)在横杆上涂上一层润滑油，重复刚才的实验，观察到的结果与第一次实验有何不同？(3)猜想：如果小球受到的阻力忽略不计，弹簧的质量比小球的质量小得多，也忽略不计，实验结果如何？答案(1)小球的运动具有往复性。
小球因为受到阻力的作用最终停止运动。
(2)小球往复运动的次数增多，运动时间变长。
(3)小球将持续地在AB间做往复运动。
1．机械振动：物体或物体的一部分在一个位置附近的往复运动，简称振动。
2．平衡位置：振动的物体在振动方向上所受合力为0的位置。
3．弹簧振子(1)由小球和弹簧组成的系统，有时也简称振子，是一个理想化模型。
(2)小球与弹簧组成的振动系统看成弹簧振子的条件①弹簧为轻质弹簧，不计弹簧的质量，可认为质量集中于小球。
②不计摩擦阻力和空气阻力。
③小球从平衡位置被拉开的距离在弹簧弹性限度内。
对平衡位置的理解(1)弹簧振子的平衡位置是振子不振动时，小球静止的位置，①如图甲，水平方向弹簧振子：弹簧弹力为零时的位置。
②如图乙，竖直方向弹簧振子：弹簧的拉力与重力平衡时的位置。
③如图丙，光滑斜面上的弹簧振子：弹簧拉力与重力沿斜面向下的分力平衡时的位置。
(2)弹簧振子的平衡位置是振动过程中，小球的速度最大的位置。
(1)乒乓球在地面上的上下运动是一种机械振动。
(×)(2)弹奏吉他时琴弦的运动是机械振动。
(√)(3)机械振动是匀变速直线运动。
(×)(4)平衡位置即为速度为零的位置。
(×)例1(多选)弹簧上端固定在O点，下端连接一小球，组成一个振动系统，如图所示，用手竖直向下拉一小段距离后释放小球，小球便上下振动起来，关于小球的平衡位置，下列说法正确的是()A．在小球运动的最低点B．在弹簧处于原长的位置C．在小球速度最大的位置D．在小球原来静止的位置答案CD解析平衡位置是振动系统不振动、小球处于平衡状态时所处的位置，可知在该位置小球所受的重力大小与弹簧的弹力大小相等，即mg＝kx，则小球原来静止的位置是小球的平衡位置，故选项D正确，A、B错误；当小球在振动过程中经过平衡位置时，其加速度为零，速度最大，选项C正确。
江苏省南京师范大学附属中学物理竞赛讲义-7.1简谐振动
7.1简谐振动一、简谐运动的定义1、平衡位置：物体受合力为0的位置2、回复力F ：物体受到的合力，由于其总是指向平衡位置，所以叫回复力3、简谐运动：回复力大小与相对于平衡位置的位移成正比，方向相反F k x =-二、简谐运动的性质F kx =-''mx kx =-取试探解（解微分方程的一种重要方法）cos()x A t ωϕ=+代回微分方程得：2m x kx ω-=-解得： 22T πω== 对位移函数对时间求导，可得速度和加速度的函数cos()x A t ωϕ=+sin()v A t ωωϕ=-+2cos()a A t ωωϕ=-+由以上三个方程还可推导出：222()vx A ω+= 2a x ω=-三、简谐运动的几何表述一个做匀速圆周运动的物体在一条直径上的投影所做的运动即为简谐运动。
因此ω叫做振动的角频率或圆频率，ωt +φ为t 时刻质点位置对应的圆心角，也叫做相位，φ为初始时刻质点位置对应的圆心角，也叫做初相位。
四、常见的简谐运动1、弹簧振子(1)水平弹簧振子(2)竖直弹簧振子2、单摆（摆角很小）sin F mg mg θθ=-≈-x l θ≈因此： F k x =-其中： mg k l=周期为：222T πω===例1、北京和南京的重力加速度分别为g 1=9.801m/s 2和g 2=9.795m/s 2，把在北京走时准确的摆钟拿到南京，它是快了还是慢了？一昼夜差多少秒？怎样调整？例2、三根长度均为l=2.00m 、质量均匀的直杆，构成一正三角彤框架ABC ．C 点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动．杆AB 是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨运动，如图所示．现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动?例3、位于铅垂平面内的“∠”形等截面弯管．两管分别与水平面成α角和β角．如图所示．其内盛有长为l、质量为m的液柱，受扰动后，液柱将沿管作往返振荡，求振荡周期(设管壁无阻力)．例4、如图所示，假想在地球表面的A、B两地之间开凿一直通隧道，在A处放置一个小球，小球在地球引力的作用下从静止开始在隧道内运动，忽略一切摩擦阻力，试求小球的最大速度，以及小球从A运动到B所需要的时间，已知地球半径为R，地球半径为R，A和B之间的直线距离为L，设地球内部质量密度均匀，不考虑地球的自转。
高中物理奥林匹克竞赛专题---简谐振动
§9—1 简谐运动
一）何谓简谐振动
Shockwave Flash
平衡位置为原点建立坐标OX。
Ob jec t
X o
（回复力）
令：
解此微分方程：
A ：初始条件决定 简谐振动的运动方程（振动方程）
定义:符合1、2、3式特征的振动－－简谐振动
二）简谐振动的速度 加速度 图 图
图
三）描述简谐振动的物理量 1）振幅 : 离开平衡位置最大位移的绝对值
角速度
圆频率
初始时刻矢量与X轴夹角 任意时刻矢量与X轴夹角
初相 相位
Y
能把三要素一目了然地表示出来。
X
优点：形象化，便于振动的合成。
v
同样：
在X轴上的投影 在X轴上的投影
3）用复数表示 欧拉公式
对一谐振动
~ 为一复数 A
的实部
~
把谐振动用复数代表：
优点：便于谐振动的计算。
五）简谐振动的能量
动能： 势能： 系统总能：
类似的 速度振幅 加速度振幅
2）周期 完成一次全振动所经历的时间。 一周期T后，振动状态就重复一次
t+T时刻 t时刻振动状态完全一样
3）频率
单位时间完成振动的次数 单位： 赫兹 HZ
4）角（圆）频率
秒内完成的振动次数
单位（弧度/秒）
对弹簧谐振子
固有周期 固有频率
决定于振动 系统本身
用周期，频率 振动方程 可以表示为：
振幅 周期，频率，圆频率
描述振动强度的物理量 描述振动快慢的物理量
描述的都是振动的总体情况，无法描述振动 的细节情况，下面介绍其它的物理量
5）相位： 决定振动状态及进程的物理量。
高二物理竞赛课件：振动
速度 与振动频率
相等，这个矢量就 叫做旋转矢量.
5
t t
o
A
t
x
x Acos(t )
点旋以转o矢为量原A
的端点在 x轴
上的投影点的 运动为简谐运 动.
注意 运用旋转矢量法求相位（举例略）
6
三、简谐运动的能量
（1） 动能
Ek
1 mv2 2
• 建立简谐运动的动力学方程 即通过牛顿第二定律得出物体满足
d2 x 的动2力x 学微分方程
dt 2
建立简谐运动的运动方程
即求
x Acos(t )
旋转矢量法的运用
10
例：将m向左移动到x0自静止释放，此时开始计时。求振
动方程。
k1x k2x mx
k1
k2
m
x0
o F1 m F2
x
ox
2 A1
A2
cos(2
1
)
tan
A sin A sin
1
1
2
2
A cos A cos
1
1
2
2
8
（1）相位差
2
1
2k
π
(k 0，1，)
A A1 A2
加强
（2）相位差
2
1
(2k 1) π
(k 0，1，)
A A A
1
2
减弱
（3）一般情况
A1 A2 A A1 A2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
9
主要题目类型
t0
A A2 0 A x
t 7.5s
0
2 3
7.5
简谐振动【高中物理竞赛推荐】
例：P292，例题3
讨论
已知t 0, x 0, v0 0 求
v
x
π 0 A cos 2 v0 A sin 0 π sin 0 取 2 π x A cos(t ) 2
o
x
A
x t 图
T
T 2
o
A
t
简谐振动的x-t图线和相轨迹 质点坐标和速度建立的坐标系，称为相平面。其上一点 给出质点在某时刻的运动状态；随时间的推移，质点运 动状态在相平面上的代表点移动而画出曲线，称相轨迹 或相图。
F
C C P
F’
o
x
F mg gSx
F P F gSx kx
由
则货轮所受合外力
P
式中k=ρgS为常数，货轮作简谐运动 (a)
x
(b)
F md 2 x / dt2
可得货轮运动的微分方程为
令 2 gS / m ，可得其振动周期为
d 2 x gS x0 2 dt m
o
x A cos(t )
x
以 o 为原 u v 点旋转矢量 A 的端点在 x 轴 上的投影点的 运动为简谐运 动.
y
t
O
v vm
t
u v A
v an
v a
π 2
vm A
v A sin(t )
v v
x
an A
2
x A cos(t )
琴弦
钟摆
晶格振动
波是振动的传播，机械振动的传播即机械波。
振动并不限制在机械运动范围。交流电路中，电流与 电压围绕着一定数值往复变化，也是一种振动。
高二物理竞赛简谐振动PPT(课件)
x A cos(t )
例2. 以余弦函数表示的简谐振动的位移时间曲线如 图所示，确定其振动方程.
解: 设矢量确定振 动初相位：当 t = 0,
2
3
v0 2
3
A t=0
x t = 1s
A O
A x0
代入 x Acos (t ), v A s in( t )
得 x0 A cos , v0 A sin
arctan( v0 ) x0
A
x02
( v0
)2
k
m
x
A O A
例如：v0 = 0, x0 = A
= 0
例1. 一质点沿x 轴作简谐振动，A= 0.12 m, T= 2 s, 当t = 0 时, x0 = 0.06 m, 此时刻质点向x 正向运动。求此简 谐振动的表达式。
例：由旋转矢量确定简谐振动中位移与速度、位移与加速度的相位差。 振幅A 物体离开平衡位置的最大距离,决定于初始条件. 例：由旋转矢量确定简谐振动中位移与速度、位移与加速度的相位差。 用旋转矢量表示振动相位关系 简谐振动与匀速圆周运动 用旋转矢量表示振动相位关系 振幅A 物体离开平衡位置的最大距离,决定于初始条件. 若 = 2 1 > 0, 称x2比x1超前 (或x1比x2落后)。 求此简谐振动的表达式。 例：由旋转矢量确定简谐振动中位移与速度、位移与加速度的相位差。 注意：旋转矢量本身绕起始端匀角速度逆时针旋转，其末端在x轴上的投影点才做简谐振动。 由旋转矢量确定振动初相位：当 t = 0, 由旋转矢量确定振动初相位：当 t = 0, 振幅A 物体离开平衡位置的最大距离,决定于初始条件. 求此简谐振动的表达式。
求此简谐振动的表达式。
高二物理竞赛课件：简谐振动
01 简谐振动的特征
第
02 研究简谐振动的意义
一
03 简谐振动的动力学方程
讲
简
04 简谐振动的物理量
谐
振
05 振幅和初相的确定
动
06 简谐振动的矢量图示法
07 单摆和复摆
01/ 49
振动 —— 一个物理量在某一个值的附近作周期性变化 机械振动 —— 物体在稳定平衡位置作往返运动
傅科摆 —— 1851年在巴黎物理学家傅科用长67米的摆做了 实验。摆的周期T＝16.5 秒, 相对地球摆面转过0.05° 经过32小时，摆面转动一周，证明地球自转
振荡电荷
P P0 sin(t )
LC 振荡电路
U U0 sin(t )
简谐振动的特征
物体坐标按余弦函数变化
x Acos(t )
简谐振动 —— 物体运动的位置与时间关系按余弦规律变化
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02 研究简谐振动的意义
振动是研究波动的基础
驻波
机械波 —— 各向均匀介质中质点共同振动形成
晶体中原子在平衡位置做微小振动 —— 简谐振动 晶格振动形成格波
电荷的振荡 —— 空间电场和磁场发生变化 电场和磁场相互激发，相互作用形成电磁波
微观粒子的物质波 —— 几率波 波函数 —— 粒子在空间出现几率
经典物理眼中的电子运动
量子物理眼中的电子运动
复杂振动 —— 用傅立叶变换展开为 若干个不同频率简谐振动的叠加
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简谐振动的动力学方程
一维弹簧振子 —— 物体m做一维运动
弹性力
F kx
动力学方程
m
d2x dt 2
kx
x 2x 0
2 k —— 圆频率
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7.1简谐振动
一、简谐运动的定义
1、平衡位置：物体受合力为0的位置
2、回复力F ：物体受到的合力，由于其总是指向平衡位置，所以叫回复力
3、简谐运动：回复力大小与相对于平衡位置的位移成正比，方向相反
F k x =-
二、简谐运动的性质
F kx =-
''mx kx =-
取试探解（解微分方程的一种重要方法）
cos()x A t ωϕ=+
代回微分方程得：
2m x kx ω-=-
解得： 22T π
ω== 对位移函数对时间求导，可得速度和加速度的函数
cos()x A t ωϕ=+
sin()v A t ωωϕ=-+
2cos()a A t ωωϕ=-+
由以上三个方程还可推导出：
222()v
x A ω
+= 2a x ω=-
三、简谐运动的几何表述
一个做匀速圆周运动的物体在一条直径
上的投影所做的运动即为简谐运动。
因此ω叫做振动的角频率或圆频率，
ωt +φ为t 时刻质点位置对应的圆心角，也叫
做相位，φ为初始时刻质点位置对应的圆心
角，也叫做初相位。
四、常见的简谐运动
1、弹簧振子
(1)水平弹簧振子
(2)竖直弹簧振子
2、单摆（摆角很小）
sin F mg mg θθ=-≈-
x l θ≈
因此： F k x =-
其中： mg k l
=
周期为：222T π
ω===
例1、北京和南京的重力加速度分别为g 1=9.801m/s 2和g 2=9.795m/s 2，把在北京走时准确的摆钟拿到南京，它是快了还是慢了？一昼夜差多少秒？怎样调整？
例2、三根长度均为l=2.00m 、质量均匀的直杆，构成一正三角彤框架
ABC ．C 点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动．杆AB 是
一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨运动，如图所示．现观察到松鼠正在导
轨上运动，而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动?
例3、位于铅垂平面内的“∠”形等截面弯管．两管分别与水平面
成α角和β角．如图所示．其内盛有长为l、质量为m的液柱，
受扰动后，液柱将沿管作往返振荡，求振荡周期(设管壁无阻力)．
例4、如图所示，假想在地球表面的A、B两地之间开凿一直通隧道，
在A处放置一个小球，小球在地球引力的作用下从静止开始在隧道内运动，忽略一切摩擦阻力，试求小球的最大速度，以及小球从A运动到B所需要的时间，已知地球半径为R，地球半径为R，A和B之间的直线距离为L，设地球内部质量密度均匀，不考虑地球的自转。
例5、如图所示，车厢在平直的公路以a=g/3的加速度做匀加速运
动，用长为L的轻绳将小球悬于车厢天花板上，当小球相对车厢静
止时，将其稍稍拉离平衡位置，并将其由相对车厢静止的状态而释放，以后小球将在平衡位置附近做小角度摆动，求小球摆动的周期是多少?
例6、一个摆长为l 的单摆置于倾角为θ的光滑斜面上，悬点在
垂直斜面的直杆上，且悬线与斜面的夹角为α，求单摆沿斜面作
简谐运动时的周期。
例7、用两根长度均为l 的轻杆把质量为m 的小球悬挂在水平杆AB
上，可以前后摆动，两杆间夹角为θ，当吧AB 稍稍向上转过α角度，
这个摆的周期多大？
例8、两个系统，每个都由两个质量均为m 的相同物体组成，两物体间用弹性系数为k 的弹簧相连。
两系统以大小相同的恒定速度相向运动，弹簧保持原长。
某处时时刻，两系统相距L ，求再经过多长时间，两系统重新回到初始时刻的位置，但速度的方向相反？。