同步发电机基本方程
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《电力系统分析理论》课件第6章 同步发电机的基本方程
由于两个绕组的空间位置相 差120度，a相绕组的证磁通 交链到b相绕组就成了负磁 通，因此互感系数为负。
第六章 同步发电机的基本方程
用傅里叶系数表示，取基波：
LabLba[m0 m2co2s(a300)] LbcLcb[m0 m2co2s(a900)] LcaLac[m0 m2co2s(a1500)]
d q
i 0
32cso1iansa
coas(120)
sina(120)
1
coas(120)
sina(120)
1
ia ib ic
2
2
2
或缩记为：
id0 qPaibc
(61)7
第六章 同步发电机的基本方程
利用逆变换，可以得到：
coas coas(120)
sina sina(120)
电流的正方向与磁链的正方向符
a
dy
+
a
+
D
Q
D
ω
fQ
c +D +x
合右手螺旋定则，定子各绕组中 b
D
c
电流的正方向与磁链的正方向符
+z
b
合右手螺旋定则
q
第六章 同步发电机的基本方程
➢ 感应电势：与电流正方向 一致
➢ 定子电流：中性点流向机 v f 端
➢ 定子电压：电流流出端为 正
➢ 转子电压：提供正向电流 的励磁电压是正的
vf
f
Rf
0
0
if
00
D Q
0
0 0
RD 0
0 RQ
iD iQ
v为各绕组端电i为 压各 ；绕组电流；
(61)
第六章 同步发电机的基本方程
用傅里叶系数表示，取基波：
LabLba[m0 m2co2s(a300)] LbcLcb[m0 m2co2s(a900)] LcaLac[m0 m2co2s(a1500)]
d q
i 0
32cso1iansa
coas(120)
sina(120)
1
coas(120)
sina(120)
1
ia ib ic
2
2
2
或缩记为：
id0 qPaibc
(61)7
第六章 同步发电机的基本方程
利用逆变换，可以得到：
coas coas(120)
sina sina(120)
电流的正方向与磁链的正方向符
a
dy
+
a
+
D
Q
D
ω
fQ
c +D +x
合右手螺旋定则，定子各绕组中 b
D
c
电流的正方向与磁链的正方向符
+z
b
合右手螺旋定则
q
第六章 同步发电机的基本方程
➢ 感应电势：与电流正方向 一致
➢ 定子电流：中性点流向机 v f 端
➢ 定子电压：电流流出端为 正
➢ 转子电压：提供正向电流 的励磁电压是正的
vf
f
Rf
0
0
if
00
D Q
0
0 0
RD 0
0 RQ
iD iQ
v为各绕组端电i为 压各 ；绕组电流；
(61)
同步发电机的基本方程
1. 电势方程和磁链方程 电势方程：
va a R 0 0
ia
vb
vc
bc
0
0
R 0
0 R
0
ib
ic
v f
f
Rf
0
0
i f
0 0
D
Q
0
0 0
RD 0
0 RQ
i
D
iQ
式中：
d / dt
磁链方程：
a Laa
(1)电机导磁部分的导磁系数不变。即把同步发电机 简化为一线性元件。
(2)电机转子在结构上对纵轴及横轴分别对称。 (3)定子a、b、c三相绕组在空间互差120°,是完全 对称而又相同的三个绕组。 (4)定子绕组沿定子作均匀分布。这样可使定子电流 在空气隙中产生正弦分布的磁势，定子绕组与转子绕 组间的互感磁通在空气隙中也按正弦分布。
•同步电机稳态对称运行时，电枢磁势幅值不变，转速恒定，对于转子相对静止。
它可以用一个以同步转速旋转的矢量 来表示。如果定子电流用一个同步旋
转的通用相量 表示，那么，相量 与相量 在任何时刻都同相位，而且在
数值上成比例，如图6-11所示。
Fa
I
Fa
I
ia I cos
ib
I
cos(
120o
)
ic
2-1 同步发电机的基本方程的前提条件
一、同步电机的结构
•有阻尼绕组的凸极式同步 发电机
定子方面有静止的三相绕
组a、b、c；
转子方面有与转子一起旋
转的一个励磁绕组f、 纵轴等效阻尼绕组D和横 轴等效阻尼绕组Q。
•隐极式同步发电机，没有 两个阻尼绕组。
图2-1
电力系统分析第七章 同步发电机的基本方程
maD 0 0
0 maQ 0
3 2maf LRS P 1 3 2maD 0
0 0 3 2maQ
0 0 0
16
郑州航空工业管理学院
• Park方程：磁链方程
L0 m0 3 l2 2 d 0 q 0 0 f 3 maf 2 D 3 m 2 aD Q 0
2017/4/16 郑州航空工业管理学院 12
一. 派克变换 4. 物理意义: 将观察者的立场由静止的定子转移 至旋转的转子，原来定子三个静绕组 abc由两个与转子同步旋转的dq绕组代 替，实现交直流变换。 结论：经派克变换后的同步发电机的原 始方程就是一组常系数微分方程。
二. dq0坐标下的同步发电机的 等效结构 d轴方向: d（定子）、f（励磁）、D q轴方向: q（定子）、Q d轴方向相当于一个三卷变； q轴方向相当于一个双卷变； 0轴方向相当于一个单匝线圈；
7
郑州航空工业管理学院
磁链方程可记为：
abc LSS fDQ RS
LSR iabc LRR i fDQ
LSS ：定子绕组间自感、互感系数矩阵
LRR ：转子绕组间自感、互感系数矩阵
LRS , LSR ：定转子绕组间互感系数矩阵
18
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四. 电压方程的坐标变换
• Park方程：电压方程
vabc abc Rs v fDQ fDQ 0
vabc abc Rsiabc vdq 0 Pvabc P abc PRsiabc P abc Rsidq 0 dq 0 P P 1 dq 0 Rsidq 0
第三章 同步发电机的基本方程
第三章同步发电机的基本方程3-1 基本前提3.1 基础假设•电机铁心的导磁系数为常数；•电机定子三相绕组结构对称，磁轴空间相差120o；•电机转子在结构上对纵轴和横轴对称；•转子绕组的磁动势在定子绕组所感应的空载电动势是时间的正弦函数；•电机定、转子表面光滑。
3.1 正方向的规定•定子绕组：磁链正方向：各轴线正方向；电流正方向：产生正向磁连的电流；•转子绕组：横轴落后于纵轴。
同步机磁路结构图3.1 正方向的规定同步机电路结构图•定子绕组：–三相电流的正方向：流出绕组为正；•转子绕组：–励磁电流的正方向：从励磁电源流出为正。
3-2 同步发电机的原始方程3.2.3 同步发电机原始方程的电感系数•定子各绕组的自感系数：的变化规律自感Laa⇓定子绕组的自感系数是以Π为周期是时变的。
3.2.3 同步发电机原始方程的电感系数•定子绕组间的互感系数：⇓定子绕组的互感系数是以Π为周期是时变的。
互感L ab 的变化规律3.2.3 同步发电机原始方程的电感系数•转子绕组间的自感系数：由于定子是个空心的圆柱，转子绕组电流产生的磁通，其磁路的磁导总是不变的。
因此，转子各绕组的自感系数Lff 、LDD和LQQ都是常数。
3.2.3 同步发电机原始方程的电感系数•转子绕组间的互感系数：由于定子是个空心的圆柱，且转子绕组间的相互位置固定不变，从而转子绕组电流产生的磁通，其磁路的磁导总是不变的。
因此，转子各绕组的互感系数都是常数。
3.2.3 同步发电机原始方程的电感系数•转子绕组间的互感系数：•d轴绕组间：励磁绕组f和阻尼绕组D之间的互感系数L fD =LfD=常数。
•d、q轴绕组间：由于d、q轴绕组相互垂直，因此d、q轴绕组间的互感系数LfQ = LQf=LDQ=LQD=0。
3.2.3 同步发电机原始方程的电感系数•定、转子绕组间的互感系数：⇓定、转子绕组间的互感系数是以2Π为周期是时变的。
互感L af 的变化规律3-3 d、q、0坐标系的同步机方程3.3.1 同步发电机原始方程变系数产生的原因•转子的旋转•转子的d、q轴不对称3.3.2 电流相量的分解•采用双反应理论把电流相量分解为和横轴纵轴分量id分量i。
武大电力系统分析第三章同步发电机的基本方程
二、电感系数
1. 定子各相绕组的自感系数
Laa l0 l2 cos 2
Lbb l0 l2 cos 2( 120o ) Lcc l0 l2 cos 2( 120o )
（3-7）~（3-9）
2. 定子绕组间的互感系数
Lab Lba [m0 m2 cos 2( 30o )] Lbc Lcb [m0 m2 cos 2( 90o )] Lca Lac [m0 m2 cos 2( 150o )]
组等效替代
三、 d、q、0坐标系统的磁链方程 和电感系数
将原始磁链方程（3-4）分写成两个式子
ψabc L iSS abc L iSR fDQ
(3 32)
ψfDQ L iRS abc L i RR fDQ
经过P变换，得
(3 33)
Ld
0
0 maf
d
0
Lq 0 0
q
0
0 L0 0
ψabc ψfDQ
LSS LRS
LSR iabc
L RR
i fDQ
(3 4)
原始方程分析：
电势、磁链共12个方程
电压、电流、磁链共有18个运行变量
六个绕组的电压是已知的
理论上用12个方程可解出12个变量
问题是： • 转子的d轴和q轴的磁导（或磁阻） 并不相等 • 转子与定子的相对位置又不断变化， 磁链方程中的电感参数也随转子位置变 化而变化，即上述电势、磁链方程是变 系数方程 • 实际解方程是十分困难的
q Lqiq m iaQ Q
0 L0i0 f m ifa d Lf if L ifD D
D
m iDa d
LDf if
LDi
D
Q mQaiq LQiQ
同步发电机的基本方程
i0 0
39/79
3.3 dq0坐标系的同步电机方程
2) dq0系统的电势方程
vabc vfDQ
ψψfaDbQc
RS
0
0 iabc
RR
ifDQ
vabc ψabc RSiabc
40/79
3.3 dq0坐标系的同步电机方程
量图？ 6. 掌握空载电势、同步电抗？
2/79
3.1 基本前提
B,
B
1) 理想同步电机
磁路：忽略饱和、磁滞、涡流。
认为导磁系数为常数。叠加原理。 O
H
定子结构：结构相同，空间相差120º。
转子结构：纵轴和横轴分别对称。
转子和定子表面光滑，忽略导体槽和通风槽影响。
空载电动势是正弦函数。
0
ψD
0
0
RD
0
iD
0 ψQ
0 0 RQ iQ
8/79
3.2 同步发电机的原始方程
1) 电势方程
vabc vfDQ
ψψfaDbQc
RS
0
0 iabc RR ifDQ
转子在磁路上只是分别对于d轴和q轴对称而 不是随意对称的；定子各绕组电感系数作周期 性变化。
27/79
3.2 dq0坐标系的同步电机方程
1) 坐标变换和dq0系统—电枢磁势
同步电机稳态运行时，电枢磁势幅值不变，转 速恒定，对于转子相对静止。
双反应理论 电枢磁势对转子磁场的作用分
解为纵轴分量和横轴分量
0º 90º 180º 270º 360º
39/79
3.3 dq0坐标系的同步电机方程
2) dq0系统的电势方程
vabc vfDQ
ψψfaDbQc
RS
0
0 iabc
RR
ifDQ
vabc ψabc RSiabc
40/79
3.3 dq0坐标系的同步电机方程
量图？ 6. 掌握空载电势、同步电抗？
2/79
3.1 基本前提
B,
B
1) 理想同步电机
磁路：忽略饱和、磁滞、涡流。
认为导磁系数为常数。叠加原理。 O
H
定子结构：结构相同，空间相差120º。
转子结构：纵轴和横轴分别对称。
转子和定子表面光滑，忽略导体槽和通风槽影响。
空载电动势是正弦函数。
0
ψD
0
0
RD
0
iD
0 ψQ
0 0 RQ iQ
8/79
3.2 同步发电机的原始方程
1) 电势方程
vabc vfDQ
ψψfaDbQc
RS
0
0 iabc RR ifDQ
转子在磁路上只是分别对于d轴和q轴对称而 不是随意对称的；定子各绕组电感系数作周期 性变化。
27/79
3.2 dq0坐标系的同步电机方程
1) 坐标变换和dq0系统—电枢磁势
同步电机稳态运行时，电枢磁势幅值不变，转 速恒定，对于转子相对静止。
双反应理论 电枢磁势对转子磁场的作用分
解为纵轴分量和横轴分量
0º 90º 180º 270º 360º
3同步发电机的基本方程
基础知识
R ：磁阻
：磁导
F ：磁势
λ 1 R
Fa ωaia
Φ ：气隙磁通 Φ λF
R
G
V I GV
：磁链 Ψ Φ Li
uL
dΨ dt
dΦ
dt
L di dt
第三章同步发电机的基本方程
电枢反应：三相同步电机有两个旋转磁通势，一个是励磁旋转 磁通势（转子旋转磁通势），是机械方式形成的；一个是定子 旋转磁通势（电枢旋转磁通势），是电气方式形成的。气隙总 磁通势是这两者合成的。电枢电流不同，电枢旋转磁通势便会 不同，合成磁通势也不同。因此电枢旋转磁通势对合成旋转磁 通势的影响称为电枢反应。
aq
Fa
I ia
ib
ia I
I cos cos( 120
)
ic I cos( 120 )
d
id I cos( )
iq
ic
id
ib
iq
I
sin(
)
b
定子电流通用向量
c
第三章同步发电机的基本方程
三角恒等式：
cos( ) 2 [cos cos cos( 120 )cos( 120 ) cos( 120 )cos( 120 )]
0
3 d 2 dt 0 0
0
d 0
0 0
q 0
0
0 0
0 d q
0
q
d
0 0 0
变压器电势：
•
d
•
q
发电机电势： d
q
•
vdq0 ( dq0 S ) rsidq0
d
•
d
q
rid
•
q q d riq
第3章 同步发电机的基本方程_2014
Park变换的另一种推导方法
同理可对定子电压和磁链作同样的变换。
✓ 不同频率abc三相对称电流的dq0分量
➢ dq0坐标系下的发电机电势方程
✓ “伪静止”等效绕组
➢ dq0系统的磁链方程和电感系数
➢ 同步电机常用标幺制
✓ 同步电机标幺值方程
➢ 基本方程的拉氏运算式
✓ 同步电机的电抗
➢ 同步电机对称稳态运行：根据同步电机Park方程式，得 到用相量表示的稳态电势方程式，等值电路，相量图； 空载电势Eq和等值隐极机电势EQ的定义；
➢ 基本前提
同步电机基本回路图（理想同步电机假设、假定正方向）
➢ 同步电机原始方程
✓ 电势方程
✓ 磁链方程
✓ 电感系数
Review：磁路欧姆定律
➢ dq0坐标系的同步电机方程
坐标变换和dq0系统 ✓ 采用通用相量表示定子三相电流
✓ 通用相量的dq轴分量
✓ 用dq轴分量表示iabc
✓ Park变换—idq0 ---iabc
设想：将静止的abc三相定子绕组等效为随转子旋转的dd 和qq绕组。等效绕组中的电流id和iq产生的磁势对转子相对 静止，磁通磁路磁阻不变，因此电感系数为常数。
➢ 本节主要结论
✓ 磁链方程式中，同步电机许多电感系数随转子位置角 发生周期性变化，是时变系数；
✓ 将磁链方程代入同步电机电势方程，将得到一组时变 系数微分方程，不便于求解；
✓ 磁链方程式出现变系数的原因：（1）转子的旋转使 定转子绕组间产生相对运动，致使定转子绕组间的互 感系数发生相应的周期性变化；（2）转子在磁路上 只是分别对d轴和q轴对称，而不是随意对称，由此导 致定子各绕组的自感和互感发生周期性变化；
定子绕组自感系数—以a相为例
同步发电机的基本方程
3.1 基本前提
转子各绕组电流 的正方向
转子旋转的正方 向：逆时针
各相绕组轴线的 正方向
各绕组轴线正方向就是该相绕组磁链的正方向。
对本绕组产生正向磁链的电流为该绕组的正电流，定子电流正方向为末进首 出各相感应电动势的正方向与电流相同。
3.1 基本前提
三、参考方向的选取
1.定子电量参考方向的选取
ia
绕组a的自感系数
绕组a与绕 组b之间的 互感系数
Ψa
Ψb
Laa Lba
Lab Lbb
Lac Laf Lbc Lbf
LaD LbD
LaQ LbQ
ia ib
Ψc
Lca Lcb Lcc Lcf LcD LcQ
ic
2
Ψ
f
Lfa
Lfb
Lfc Lff
LfD
LfQifFra bibliotekΨD 同步发电机的基本方程
第3章 同步发电机的基本方程
3.1 基本前提 3.2 同步发电机的原始方程 3.3 d、q、0坐标系的同步电机方程 3.6 同步电机的对称稳态运行
3.1 基本前提
符
合
一、理想同步电机
以
上
几点假设：
假
设
1.磁路：忽略饱和、磁滞、涡流等的影响，认为导 条
磁系数为常数。叠加原理。
件
wa wb w
定子a、b相间的互感系数为：
Lab
Lba
ba ia
w2[m
1 4
(ad
aq
)
1 2
(ad
aq ) cos2(
30 )]
[m0 m2cos（2 30）]
m0
w 2[m
第3章同步发电机的基本方程
a
f
f
x
ad
d a
a
ad
d
f a f x
maf wwf ad
f a f x d
ad
a d
(4)定子绕组和转子各绕组间的互感系数—abc--D
a
ad
a
D
D
x
aD wwD iD ad cos
L L m cos Da aD aD LbD LDb maD cos 120 L L m cos 120 Dc aD cD
绕组轴线正向示意图
3-3 dq0坐标系的同步电机方程
1. 坐标变换和 dq0坐标系 2. dq0坐标系下的电势方程
3. dq0坐标系下的磁链方程和电感系数
4. 同步电机标幺值基本方程
1. 坐标变换与dq0坐标系
（1）采用通用相量表示定子三相电流
F
a
I
定子三相对称电流可以用以同 步转速旋转的通用相量I表示；
if rf uf iD rD ec eD iQ rQ eQ rc ua ub uc ic ef ra ea eb rb ib ia
i
abc rS u abc ψ u ψ fDQ fDQ 0
0 i abc i rR fDQ
eQ
i
e
3-2 同步电机的原始方程式
1. 电势方程
ua u b uc u f 0 0 a r b 0 c 0 f D Q 0 0 r 0 0 r 0 rf 0 0 0 0 rD 0 ia ib ic 0 i f 0 iD rQ iQ
同步发电机的基本方程
二、假定正向的选取
3-2 同步发电机的原始方程
一、电势方程和磁链方程
a r ϕ va v ϕb 0 b ϕ c 0 vc − − = f 0 ϕ −vf ϕ 0 D 0 Q 0 0 ϕ
f
maf = ww f λad
3-3 d-q-0坐标系的同步电机方程
一、坐标变换和d-q-0系统
许多自感系数和互感系数是时间的周期函数：转子旋转导致自感磁 通和互感磁通的磁通路径发生周期性的变化 由于定子纵轴和横轴磁通路径对应的磁导是常数，因此在分析定子 磁势对转子绕组影响的时候，如果能将定子三相绕组的合成磁势分 解为纵轴分量和横轴分量（即d轴上的虚拟绕组dd和q轴上虚拟绕组 qq的磁势），则能避免出现周期性变化电感系数。 （1）定子abc绕组电流三相对称时
cosα cos(α - 1200 ) cos(α + 1200 ) i d i = 2 sinα sin(α - 1200 ) sin(α + 1200 ) q 3 12 12 12 i0
sinα 1 i d i a cosα o o i b = cos(α - 120 ) sin(α - 120 ) 1 i q ic cos(α + 120o ) sin(α + 120o ) 1 i 0
第三章 同步发电机的基本方程
3-1 基本前提 3-2 同步发电机的原始方程 3-3 d、q、0坐标系的同步电机方程 3-6 同步电机的对称稳态运行
3-1 基本前提
一、理想同步电机
忽略磁路饱和、磁滞、涡流等的影响，假设电机铁心部分的导磁系 数为常数； 电机转子在结构上对于纵轴和横轴分别对称； 定子a、b、c三相绕组的空间位置互差120电角度，在结构上完全相 同，它们均在气隙中产生正弦分布的磁动势； 电机空载，转子恒速旋转时，转子绕组的磁动势在定子绕组所感应 的空载电势是时间的正弦函数； 定子和转子的槽和通风沟不影响定子和转子的电感，即认为电机的 定子和转子具有光滑的表面； 定子：a、b、c三个绕组 转子q轴：阻尼绕组Q 转子d轴：励磁绕组f和阻尼绕组D
第3章 同步发电机的基本方程
场有了相对运动，就会在这个鼠笼里产生感应电流，形成附加磁 场（起阻尼作用）。
第三章 同步发电机的基本方程
简化前提
一、理想同步电机的简化假设
为了方便分析，常采用以下假设（理想同步机）：
1、忽略磁路饱和、磁滞、涡流等影响，假设电机铁心部分导磁系数为常数。 2、电机转子在结构上对于纵轴和横轴分别对称。 3、定子的abc三相绕组空间位置互差120度电角度，在结构上完全对称。 4、电机空载，转子恒速旋转时，转子绕组的词董事在定子绕组所感应的空 载电动势是时间的正弦函数。 5、定子和转子的槽和通风沟不影响转子和定子的电感，即认为定子和转子 有光滑的表面。
(3)机座和端盖等。 (1)转子铁心：
由整块铸（锻）钢制成。 2. 转子 (2)励磁绕组：
工作时施加直流励磁。 (3)阻尼绕组和转轴等。
阻尼绕组
5第.2 三三章相同同步步电机发的电基机本结的构基本方程
二、励磁方式
1. 直流励磁机励磁
励磁绕组由小型直流发电机供电。
2. 静止整流器励磁
交流励磁机→整流→直流电 电刷
第三章 同步发电机的基本方程
第三节 d、q、0坐标系的同步电机方程
一、坐标变换 定子a,b,c三相绕组对转子的影响可考虑为其对转子
d,q轴的影响之效应和，为此我们引入一种数学变换，即： 著名的派克变换。从数学角度考虑，派克变换是一种线性 变换；从物理意义上理解，它将观察者的角度从静止的定 子绕组转移到随转子一同旋转的转子上，从而使得定子绕 组自、互感，定、转子绕组间互感变成常数，大大简化了 同步电机的原始方程。
第三章 同步发电机的基本方程
磁学有关公式
B d
dA
F
Rm
F iw
同步发电机的基本方程
b
α＝240° 定子绕组的互感
三、电势方程和磁链方程（续8）
（2）定子绕组间的互感
Lab Lba m0 m2 cos 2 30 Lbc Lcb m0 m2 cos 2 90 L L m m cos 2 150 ac 0 2 ca
三、电势方程和磁链方程（续9）
（3）转子各绕组的自感系数和互感系数
由于定子的内缘呈圆柱形，转子绕组电流产生的磁通路 径的磁阻不变，因此其自感系数为常数，可分别记为Lf、 LD、LQ。 同理，转子各绕组间的互感系数也为常数。两纵轴绕组 间的互感系数LfD＝LDf＝常数。转子纵轴与直轴垂直，互感 系数为0，即 LfQ＝LQf＝LDQ＝LQD＝0。
二、dq0坐标系下的同步机基本方程（续1）
其中
m af 0 0 m aD 0 0 0 m aQ 0
3 2 m af 3 m aD 2 0 0 0 3 m aQ 2 0 0 0
PLSR
LRS P 1
PLSS P 1
M ab Lbb M cb M fb M Db M Qb M ac M bc Lcc M fc M Dc M Qc M af M bf M cf L ff M Df M Qf
M SR iabc i LRR fDQ
M aD M bD M cD M fD LDD M QD M aQ ia i M bQ b M cQ ic M fQ i f M DQ iD LQQ iQ
x
d
a ×
·
x
α＝0
α＝90
a
a
三、电势方程和磁链方程（续4）
同步电机方程
2）磁链方程
Ld
0
0
maf
maD
0
d q 0 f D Q
3
2 3
2
0 0 m fa mDa
Lq 0 0 0
0 L0 0 0
0 0 Lf LDf
0 0 L fD LD
maQ 0 0 0
id iq i0 i f iD iQ
3
第三章 同步发电机的基本方程
第三节 d、q、0坐标系的同步电机方程
一、坐标变换 定子a,b,c三相绕组对转子的影响可考虑为其对转子
d,q轴的影响之效应和，为此我们引入一种数学变换，即： 著名的派克变换。从数学角度考虑，派克变换是一种线性 变换；从物理意义上理解，它将观察者的角度从静止的定 子绕组转移到随转子一同旋转的转子上，从而使得定子绕 组自、互感，定、转子绕组间互感变成常数，大大简化了 同步电机的原始方程。
4）由于发电机一般带感性负载，规定 Vd，Id， Ed的实用 正向取为d轴反方向。
第三章 同步发电机的基本方程
q轴 Eq ,Vq , iq , iQ , q , Q
d轴
i f , iD , f , D , d
Ed ,Vd , id
各变量实用正向的选取
第三章 同步发电机的基本方程
采取实用正向时，同步电机电势方程和磁链方程：
0
2 mQa
0
0
0
LQ
第三章 同步发电机的基本方程
三、标么制下同步电机的磁链方程
由于定子三相合成磁势的幅值为一相磁势的3/2倍， 上述定子对转子的互感中出现了系数3/2，恰当选择标么 制系统的基值，磁链方程变为：
d
q
Ld
0
0 Lq
0 0
第3章 同步发电机的基本方程
从数学角度考虑，派克变换是一种线性变换；从物理意义上 理解，它将观察者的角度从静止的定子绕组转移到随转子一 同旋转的转子上，从而使得定子绕组自、互感，定、转子绕 组间互感变成常数，大大简化了同步电机的原始方程。 同步电机稳态对称运行时， 电枢磁势幅值不变，转速恒 定，对于转子相对静止。它 可以用一个以同步转速旋转 & 的矢量 Fa来表示。如果定子 电流用一个同步旋转的通用 & & 相量 I 表示,那么,相量 Fa与 & 相量 I 在任何时刻都同相位， 而且在数值上成比例，如图 所示。
式中：& = dψ / dt ψ
& v abc ψ abc rs v = − ψ − fDQ & fDQ 0 0 iabc rR i fDQ
ψ a ψ b ψ c L ψ f ψ D ψ Q
Laa = l 0 + l 2 cos 2α
Lbb = l 0 + l 2 cos 2(α − 120 0 ) Lcc = l 0 + l 2 cos 2(α + 120 0 )
由此可见，定子绕组的自感系数是转子位置角α的 周期函数，其变化周期为π。
2. 定子绕组间的互感 以a相与b相之间的互感系数Lab为例
i abc = P −1 i dq 0
由此可见，当三相电流不平衡时，每相电流中都含有相同的零 轴分量i0。由于定子三相绕组完全对称，在空间互相位移 120°电角度，三相零轴电流在气隙中的合成磁势为零，故不 产生与转子绕组相交链的磁通。它只产生与定子绕组交链的磁 通，其值与转子的位置无关。
二、d、q、0系统的电势方程
第三节
d、q、0坐标系的同步电机方程
第2章同步发电机的基本方程
0 0 0
0
于是得到d、q、0轴分量表示的电势方程式
v dq0 (ψdq0 S ) RS idq0
vd d q Rid
vq
q
d
Riq
v0 0 Ri0
3．d、q、0系统的磁链方程和电感系数
左乘以P
ψabc LSS iabc LSR i fDQ
ψfDQ LRS iabc LRR i fDQ
q
d
ad f
dd
fd
Xi dd
E q
X
d
i d
v X i
d
q
式中，Eq fd X ad i f
v d
d
q
Ri d
v q
q
d
Ri q
d
X i dd
Xi ad f
X ad iD
X i X i
Q X aqiq X QiQ
vd d q Rid
vq
q
d
Riq
v0 0 Ri0 v f f R f i f
0 D RDiD 0 Q RQiQ
d Ld id maf i f maDiD
q Lqiq maQiQ
0 L0i0
120 )
• 通过这种变换，将三相电流ia、ib、ic变换成了
等效的两相电流id和iq。
•可以设想：这两个电流是定子的两个等效绕组dd 和qq中的电流。这组等效的定子绕组dd和qq不像实 际的a、b、c三相绕组那样在空间静止不动，而是 随着转子一起旋转。等效绕组中的电流产生的磁势 对转子相对静止，它所遇到的磁路磁阻恒定不变， 相应的电感系数也就变为常数了。
iq
i0
2 3
cos
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M aD M Da maD cos M bD M cD
M aQ M Qa maQ sin M Db maD cos( 120 ) M bQ M Qb maQ sin( 120 ) M Dc maD cos( 120 ) M cQ M Qc maQ sin( 120 )
励磁绕组 d轴等效的阻 尼绕组
同步发电机简化为：定子3个绕组、转子3个绕组、 气隙、定子铁心、转子铁心组成的6绕组电磁系统。
2013年7月27日星期六
同步发电机的特 点:
转子是旋转的。
绕组是分散的。 存在磁饱和现象。
2013年7月27日星期六
2、同步发电机模型和基本方程式
模型假设： 忽略磁饱和现象； 绕组都是对称的，（实际制作中并不对 称）； 定子磁势在空间按正弦规律变化； 忽略高次谐波（忽略沟槽的作用）。
相应的电感系数也就变为常数了。
2013年7月27日星期六
• 当定子绕组内存在幅值恒定的三相对称电流时，
由式确定的id和iq都是常数。即：等效的dd、qq绕
组的电流是直流。
•如果定绕组中存在三相不对称的电流，只要是一
个平衡的三相系统，即满足
ia + ib+ ic=0
仍然可以用一个通用相量来代表三相电流，不过这 时通用相量的幅值和转速都不是恒定的，因而它在 d轴和q轴上的投影也是幅值变化的。
转子绕组的 自感
定转子绕组间的互感
转子绕组间的互感
Hale Waihona Puke 2013年7月27日星期六
电感系数
(1) 定子各相绕组的自感系数（以a相为例）
定子绕组的自感
2013年7月27日星期六
定子绕组的自感
2013年7月27日星期六
自感Laa的变化规律 由此可见，a相自感系数是α角的周期函数，其变化周期为π。
900 或 ＝2700 时，自感为最小值； ＝00 或 ＝ 0时，自感为最大值； 180
LfD=LDf=常数。由于转子的纵轴绕组和横轴绕组互
相垂直，它们之间的互感系数为零，即
LfQ=LQf=LDQ= LQD= 0。
转子各绕组的自感系数和互感系数均为常数
2013年7月27日星期六
(4) 定子绕组和转子绕组间的互感系数
定子绕组与励磁绕组间的互感
2013年7月27日星期六
定子绕组与励磁绕组间的互感
定子绕组间的互感
2013年7月27日星期六
定子绕组间的互感
2013年7月27日星期六
互感Mab的变化规律 由此可见，定子互感系数也是α角的周期函数，其周期为π 。
300 或 1500 时，互感为最小值；
＝600 或 ＝2400 时，互感为最大值； M ab M ba m0 m2 cos 2( 300 ) M bc M cb m0 m2 cos 2( 900 ) 0 M ca M ac m0 m2 cos 2( 150 )
2013年7月27日星期六
对磁链方程的分析：
定子绕组的 自感 定子绕组间的互感
a Laa b M ba c M ca f M fa M D Da Q M Qa
M ab Lbb M cb M fb M Db M Qb
2013年7月27日星期六
理想同步电机的原始方程：
电压方程 磁链方程 电压电流方程
2013年7月27日星期六
1. 磁链与电流、电压的参考正方向
正方向的规定：
(1) 绕组轴线的正方向作为磁链
的正方向. (2)定子绕组产生的磁链方向与
轴线方向相反时的电流为正值.
(3)转子绕组产生的磁链方向与 轴线方向相同时的电流为正值.
直流电流
派克变换
id iq i 0 5 cost 0 Im 5 s int 0 交流电流 6 1
M ac M bc Lcc M fc M Dc M Qc
M af M bf M cf L ff M Df M Qf
M aD M aD M cD M fD LDD M QD
M aQ ia M bQ ib M cQ ic M fQ i f M DQ iD LQQ iQ
id iq i 0
2013年7月27日星期六
cost 0 举例： ia ib I m cost 0 120 交流电流 i cost 120 0 c
2013年7月27日星期六
由此得到六个回路的电压方程
u a r ub uc u f 0 0 ia a i b b ic c i f f i D D rQ iQ Q
系统的变换，可写成矩阵形式
cos id 2 iq 3 sin 1 i 0 2 cos( 120 ) cos( 120 ) sin( 120 ) sin( 120 ) 1 1 2 2 ia i b ic
2013年7月27日星期六
2. 同步电机的电压方程、磁链方程
同步发电机各回路电路
2013年7月27日星期六
电压方程：
定子侧： 转子侧： 直轴阻尼绕组： 交轴阻尼绕组：
a ia r u a
u f rf i f f 0 rD i D D
0 rQ iQ Q
a、b 、 c
2013年7月27日星期六
• 通过这种变换，将三相电流 ia 、 ib 、 ic 变换成了
等效的两相电流id和iq。
•可以设想：这两个电流是定子的两个等效绕组dd
和qq中的电流。这组等效的定子绕组dd和qq不像实 际的a、b、c三相绕组那样在空间静止不动，而是 随着转子一起旋转。等效绕组中的电流产生的磁势 对转子相对静止，它所遇到的磁路磁阻恒定不变，
派克变换
id iq i 0
cos 0 0 I m s in 0 0 0
直流电流
2013年7月27日星期六
举例：
ia ib i c
1 I m 0.25 0.25
第四节 同步发电机 的基本方程
1.
同步发电机结构特点 同步发电机的数学模型及其基本方 程式
2.
2013年7月27日星期六
1、同步发电机结构特点
同步发电机简化等值图
气隙
转子
2013年7月27日星期六
定子
定子上3个等效绕组
B相绕组
A相绕组
C相绕组
2013年7月27日星期六
转子上3个等效绕组 q轴等效的阻 尼绕组
2013年7月27日星期六
M af M fa maf cos
M bf M fb maf cos( 120 ) M cf M fc maf cos( 120 )
互感Laf的变化规律
由此可见，定子绕组和转子绕组间的互感系数是α角的周期 函数，其周期为2π。
2013年7月27日星期六
当定子三相电流构成不平衡系统时，三相电流是
三个独立的变量，仅用两个新变量(d轴分量和q轴分
量)不足以代表原来的三个变量。为此，需要增选第
三个新变量i0，其值为
1 i0 (i a ib ic ) 3
i0为定子电流的零轴分量。
2013年7月27日星期六
从而构成了一个从a、b、c坐标系统到d、q、0坐标
Laa l 0 l 2 cos 2 Lbb l 0 l 2 cos 2( 1200 ) Lcc l 0 l 2 cos 2( 1200 )
凸极机时定子绕组自感系数随转子旋转以二倍频周期性变化
2013年7月27日星期六
隐极机时定子绕组自感系数不变。
(2) 定子绕组间的互感系数
凸极机时定子绕组互感系数随转子旋转以二倍频周期性变化 隐极机时定子绕组互感系数不变。
2013年7月27日星期六
(3) 转子上各绕组的自感系数和互感系数
•转子各绕组的自感系数Lff、LDD和LQQ都是常数，
分别改记为Lf、LD和LQ。
•转子各绕组间的互感系数亦应为常数。两个纵轴
绕组（励磁绕组f和阻尼绕组D）之间的互感系数
idq0=Piabc
2013年7月27日星期六
i abc P 1 i dq0
cos sin 1 ia i cos( 120 ) sin( 120 ) 1 b ic cos( 120 ) sin( 120 ) 1
M Db M Dc
电感系数为常数
变系数微分方程 分析困难
2013年7月27日星期六
Park变换的提出－旋转坐标变换
2013年7月27日星期六
Park 变换矩阵
变换由美国工程师派克在年首次提出（其后不久，苏联学者 戈列夫也独立地完成了大致相同的工作），一般称为派克变换。
Park变换就是将
的量经过下列变换，转换成另外三个量。 i i 例如对于电流，将 ia 、 ib 、 c 变换成另外三个电流，d、i q 、 0 i q 分别成为定子电流的 d 轴分量、 轴分量、零轴分量。
凸极机和隐极机时定子绕组与转子绕组互感系数随转 子旋转以同步频率周期性变化
M aQ M Qa maQ sin M Db maD cos( 120 ) M bQ M Qb maQ sin( 120 ) M Dc maD cos( 120 ) M cQ M Qc maQ sin( 120 )
励磁绕组 d轴等效的阻 尼绕组
同步发电机简化为：定子3个绕组、转子3个绕组、 气隙、定子铁心、转子铁心组成的6绕组电磁系统。
2013年7月27日星期六
同步发电机的特 点:
转子是旋转的。
绕组是分散的。 存在磁饱和现象。
2013年7月27日星期六
2、同步发电机模型和基本方程式
模型假设： 忽略磁饱和现象； 绕组都是对称的，（实际制作中并不对 称）； 定子磁势在空间按正弦规律变化； 忽略高次谐波（忽略沟槽的作用）。
相应的电感系数也就变为常数了。
2013年7月27日星期六
• 当定子绕组内存在幅值恒定的三相对称电流时，
由式确定的id和iq都是常数。即：等效的dd、qq绕
组的电流是直流。
•如果定绕组中存在三相不对称的电流，只要是一
个平衡的三相系统，即满足
ia + ib+ ic=0
仍然可以用一个通用相量来代表三相电流，不过这 时通用相量的幅值和转速都不是恒定的，因而它在 d轴和q轴上的投影也是幅值变化的。
转子绕组的 自感
定转子绕组间的互感
转子绕组间的互感
Hale Waihona Puke 2013年7月27日星期六
电感系数
(1) 定子各相绕组的自感系数（以a相为例）
定子绕组的自感
2013年7月27日星期六
定子绕组的自感
2013年7月27日星期六
自感Laa的变化规律 由此可见，a相自感系数是α角的周期函数，其变化周期为π。
900 或 ＝2700 时，自感为最小值； ＝00 或 ＝ 0时，自感为最大值； 180
LfD=LDf=常数。由于转子的纵轴绕组和横轴绕组互
相垂直，它们之间的互感系数为零，即
LfQ=LQf=LDQ= LQD= 0。
转子各绕组的自感系数和互感系数均为常数
2013年7月27日星期六
(4) 定子绕组和转子绕组间的互感系数
定子绕组与励磁绕组间的互感
2013年7月27日星期六
定子绕组与励磁绕组间的互感
定子绕组间的互感
2013年7月27日星期六
定子绕组间的互感
2013年7月27日星期六
互感Mab的变化规律 由此可见，定子互感系数也是α角的周期函数，其周期为π 。
300 或 1500 时，互感为最小值；
＝600 或 ＝2400 时，互感为最大值； M ab M ba m0 m2 cos 2( 300 ) M bc M cb m0 m2 cos 2( 900 ) 0 M ca M ac m0 m2 cos 2( 150 )
2013年7月27日星期六
对磁链方程的分析：
定子绕组的 自感 定子绕组间的互感
a Laa b M ba c M ca f M fa M D Da Q M Qa
M ab Lbb M cb M fb M Db M Qb
2013年7月27日星期六
理想同步电机的原始方程：
电压方程 磁链方程 电压电流方程
2013年7月27日星期六
1. 磁链与电流、电压的参考正方向
正方向的规定：
(1) 绕组轴线的正方向作为磁链
的正方向. (2)定子绕组产生的磁链方向与
轴线方向相反时的电流为正值.
(3)转子绕组产生的磁链方向与 轴线方向相同时的电流为正值.
直流电流
派克变换
id iq i 0 5 cost 0 Im 5 s int 0 交流电流 6 1
M ac M bc Lcc M fc M Dc M Qc
M af M bf M cf L ff M Df M Qf
M aD M aD M cD M fD LDD M QD
M aQ ia M bQ ib M cQ ic M fQ i f M DQ iD LQQ iQ
id iq i 0
2013年7月27日星期六
cost 0 举例： ia ib I m cost 0 120 交流电流 i cost 120 0 c
2013年7月27日星期六
由此得到六个回路的电压方程
u a r ub uc u f 0 0 ia a i b b ic c i f f i D D rQ iQ Q
系统的变换，可写成矩阵形式
cos id 2 iq 3 sin 1 i 0 2 cos( 120 ) cos( 120 ) sin( 120 ) sin( 120 ) 1 1 2 2 ia i b ic
2013年7月27日星期六
2. 同步电机的电压方程、磁链方程
同步发电机各回路电路
2013年7月27日星期六
电压方程：
定子侧： 转子侧： 直轴阻尼绕组： 交轴阻尼绕组：
a ia r u a
u f rf i f f 0 rD i D D
0 rQ iQ Q
a、b 、 c
2013年7月27日星期六
• 通过这种变换，将三相电流 ia 、 ib 、 ic 变换成了
等效的两相电流id和iq。
•可以设想：这两个电流是定子的两个等效绕组dd
和qq中的电流。这组等效的定子绕组dd和qq不像实 际的a、b、c三相绕组那样在空间静止不动，而是 随着转子一起旋转。等效绕组中的电流产生的磁势 对转子相对静止，它所遇到的磁路磁阻恒定不变，
派克变换
id iq i 0
cos 0 0 I m s in 0 0 0
直流电流
2013年7月27日星期六
举例：
ia ib i c
1 I m 0.25 0.25
第四节 同步发电机 的基本方程
1.
同步发电机结构特点 同步发电机的数学模型及其基本方 程式
2.
2013年7月27日星期六
1、同步发电机结构特点
同步发电机简化等值图
气隙
转子
2013年7月27日星期六
定子
定子上3个等效绕组
B相绕组
A相绕组
C相绕组
2013年7月27日星期六
转子上3个等效绕组 q轴等效的阻 尼绕组
2013年7月27日星期六
M af M fa maf cos
M bf M fb maf cos( 120 ) M cf M fc maf cos( 120 )
互感Laf的变化规律
由此可见，定子绕组和转子绕组间的互感系数是α角的周期 函数，其周期为2π。
2013年7月27日星期六
当定子三相电流构成不平衡系统时，三相电流是
三个独立的变量，仅用两个新变量(d轴分量和q轴分
量)不足以代表原来的三个变量。为此，需要增选第
三个新变量i0，其值为
1 i0 (i a ib ic ) 3
i0为定子电流的零轴分量。
2013年7月27日星期六
从而构成了一个从a、b、c坐标系统到d、q、0坐标
Laa l 0 l 2 cos 2 Lbb l 0 l 2 cos 2( 1200 ) Lcc l 0 l 2 cos 2( 1200 )
凸极机时定子绕组自感系数随转子旋转以二倍频周期性变化
2013年7月27日星期六
隐极机时定子绕组自感系数不变。
(2) 定子绕组间的互感系数
凸极机时定子绕组互感系数随转子旋转以二倍频周期性变化 隐极机时定子绕组互感系数不变。
2013年7月27日星期六
(3) 转子上各绕组的自感系数和互感系数
•转子各绕组的自感系数Lff、LDD和LQQ都是常数，
分别改记为Lf、LD和LQ。
•转子各绕组间的互感系数亦应为常数。两个纵轴
绕组（励磁绕组f和阻尼绕组D）之间的互感系数
idq0=Piabc
2013年7月27日星期六
i abc P 1 i dq0
cos sin 1 ia i cos( 120 ) sin( 120 ) 1 b ic cos( 120 ) sin( 120 ) 1
M Db M Dc
电感系数为常数
变系数微分方程 分析困难
2013年7月27日星期六
Park变换的提出－旋转坐标变换
2013年7月27日星期六
Park 变换矩阵
变换由美国工程师派克在年首次提出（其后不久，苏联学者 戈列夫也独立地完成了大致相同的工作），一般称为派克变换。
Park变换就是将
的量经过下列变换，转换成另外三个量。 i i 例如对于电流，将 ia 、 ib 、 c 变换成另外三个电流，d、i q 、 0 i q 分别成为定子电流的 d 轴分量、 轴分量、零轴分量。
凸极机和隐极机时定子绕组与转子绕组互感系数随转 子旋转以同步频率周期性变化