《弹性波动力学》质点振动、流体声场、声辐射习题讲稿 081018

质点振动部分

作业：1-1，1-5，1-6，1-7 1-5：什么是3dB 带宽？

答：在单自由度振动系统的速度振幅的频率特性曲线上（或在质点振动系统的速度振幅的频率特性曲线上），速度振幅比共振峰值处下降0.707倍所对应的两个频率f 1和f 2，则3dB 带宽定义为

12f f f -=∆。可以用

3dB 带宽的大小表示频率特性曲线的平坦程

度。

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

12345

6

789

10

B

z

z1

z2

评析：大部分同学的答案不完整，没有注明“在单自由度振动系统的振速振幅的频率特性曲线上”这个前提条件，仅简单的用21f f f ∆=-来定义3dB 带宽。

也出现了完全错误答案。a 、误认为当f ∆是固有频率0f 的3倍时，称为3dB 带宽。b 、将21z z -误认为3 dB 带宽（注意z 定义，21z z -为相对频率差，带宽是指一段频率范围）。c 、将21f f f ∆=-定义3dB 带宽的原因混淆，错误的认为21f f f ∆=-=3dB 带宽。 1-7：如何测量一个振动系统的频率响应曲线？

答：通过对振动系统施加包含不同频率成份的激励信号，测量其

响应，分析其频率响应能力。有两种测量方法：（1）、扫频法；（2）δ脉冲法。

(1)扫频法 将幅度相等但不同频率的简谐力加在振动系

统上，测量每个频率的速度振幅，用描点法作出频率特性曲线。

frequency

Force

振振振振

(2)δ脉冲法 将含有等幅值的各种频率成份的时域信号

(强迫力)加在振动系统上，测量系统的响应，即可得系统得频率特性曲线。

time

Force

振动系统

评析：个别同学将两种测量方法混淆。

流体中的声场

作业：2-2、2-3、2-4、2-5

2-2如果流体媒质中有体力分布，设作用在单位体积媒质上的体

力为(,,,)F x y z t

，试导出流体媒质中有体力分布时的声波波动方程。

解：假定媒质为理想流体，是连续和均匀的；声波传播时，媒质中稠密和稀疏的过程是绝热的；媒质中传播的是小振幅声波。

考虑一维的情况，如图所示，设x F 是体力(,,,)F x y z t

在

x 方向上的

分量，由牛顿第二定律得，于是在x 方向上

x dv p

Sdx

Sdx F Sdx dt x

ρ∂=-+∂ 则简化的一维运动方程为：

x dv p

F dt x

ρ

∂=-+∂

2

受力分析示意图

由一维情况简单地推广到三维情况，可得三维运动方程为：

v

gradp F t

ρ∂=-+∂

三维连续性方程和物态方程分别为：()

div v t

ρ

ρ∂-=∂ ，2'0p c ρ=

在小振幅情况下，以上三个方程为()

0'02'

0v

gradp F t div v t p c ρρρρ⎧∂=-+⎪∂⎪

⎪

∂-=⎨∂⎪=⎪⎪⎩

合并上述方程得声波方程为：222201p p divF c t ∂=∇-∂ 或22

221o p p F c t

∂=∇-∇⋅∂

评析：本题基本没有出现正确答案，绝大多同学没有认真审题及理解声波波动方程的概念。主要错误有：一是对建立声波波动方程三个基本步骤缺乏深刻的理解，误认为仅由牛顿第二定律即可推导出声波波动方程；二是出现在三维运动方程的推导过程，误

认为(,,,)F x y z t

为小体积元Sdx 上受到的作用力并且将其简单地理

解为一维的情况，另外，在运用牛顿第二定律，缺少受力分析示意图；三是错误地运用运算符号表达式，例如，不应该把梯度算符作用到矢量上。

2-3如果在水中与空气中具有同样大小的平面波质点振动速度幅值，问水中声强比空气中声强大多少倍？

解：由声强公式2001

2

a I c v ρ=，则有

水中声强为：

212f f f af I c v ρ=

空气中声强为：2

12

g g g ag I c v ρ=

由条件知af ag v v =，故有

61.48103566415

f

f f

g g g I c I c ρρ⨯=== 答：水中声强比空气中声强大3566倍。

评析：本题主要是混淆了声波传播速度与质点振动速度这两个概念，在声强公式中，a v 为质点振动速度的幅值。

2-4在温度为20℃的空气里，有一平面声波，已知其声压级为SPL=74分贝，试分别求其有效声压、平均声能量密度与声强。

解：由1020log 74e

ref

p SPL p ==dB ，5210ref p -=⨯Pa ，则有效声压

745

20

210100.1e p -=⨯⨯=(Pa)

由公式2

2

00

e p c ερ=，则平均声能量密度

28

22

000.017.0101.21344

e p c ερ-===⨯⨯(J /m 3) 再由公式0I c ε=，则声强8507.0110344 2.4110I c ε--==⨯⨯=⨯(W /m 2) 答：当声压级为SPL=74分贝时，其有效声压为0.1Pa ，平均声能量密度为87.010-⨯ J /m 3，声强为52.4110-⨯(W /m 2)。

评析：本题主要错误出在各物理量的单位上，绝大多数同学最后结果中不写单位或写错单位，例如平均声能量密度的单位。 2-5空气中某点的声压级为SPL=40dB ，（1）该点的声压值是声压参考值的多少倍？（2）该点的声压的有效值是多少？ 解：由10

20log 40e ref p SPL p ==(dB)，则100e ref p p =

，a e

ref ref

p p P == 于是该点的声压的有效值为3100210e ref p p -==⨯(Pa)

答：（1

）该点的声压值是声压参考值的倍。（2）该点的声

压的有效值是3210-⨯Pa 。

评析：本题绝大多数同学没有认真审题，错误的将e

r e f

p p 当成

a

r e f p p 。

作业：2-6、2-7、2-8、2-9、2-10、2-12、2-13、2-14、2-15 2-6、20℃时空气和水的特性阻抗分别为415及1.48×106瑞利，计算平面声波由空气中垂直入射于水面上时声压、声强的反射系数、透射系数，并计算平面声波由水中垂直入射于空气界面时声压、声强的反射系数、透射系数。