2-平均故障间隔时间(MTBF)和故障率的关系推导
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平均故障间隔时间（MTBF）和故障率的关系推导
可靠性咨询顾问 苏铁军（sutiejun@gmail.com） MTBF 的含义是平均故障间隔时间（Mean Time Between Failure） ，就是产品每次故障之 间能正常运行的平均时间。 还有一个类似的概念是 MTTF， 是平均故障前时间 （Mean Time To Failure） 。对于完全修复的产品，修好了就跟新的一样，所以“一个产品故障多次之间的时 间”和“多个产品故障一次之前的时间”性质是一样的，此时 MTBF 也就等于 MTTF。习 惯上说 MTBF 的更多。 MTBF 说白了就是平均寿命，怎么算呢？ 先举个例子，假设有个离散型的随机变量 X，是 1 的概率是 0.3，是 2 的概率是 0.5，是 3 的概率是 0.2，那么 X 的平均值（也就是“数学期望” ）是多少？很简单，就是： 1*0.3+2*0.5+3*0.2=1.9
0
物理概念上可以理解为： 寿命为 t 的概率是 f(t)， 类似离散型那样相乘， 在所有的 t 上 （从 零到无穷大）积分起来就是平均寿命。 f(t)不好用，我们经常用的还是故障率 λ，那么如何把上式转化成用故障率 λ 表示的函数 呢？ 从前一篇《可靠度 R 和故障率之间关系式的数学溯源》中我们可以知道 R(t)可以用故障 率 λ 表示。所以，只要争取把平均寿命的公式转化成 R(t)表示的函数就可以了。 我们知道 f(t)=-R’(t)，代入上式：
引申开去，连续性的随机变量的数学期望（平均值）就是：
xf ( x)dx 。
用到可靠性上，随机变量是时间 t，在每个时间 t（之后的 Δt）故障的概率（故障密度， 即 Δt 内发生故障的产品除以产品总数）是 f(t)，反过来此时 t 其实也就是这些此时故障的产
品的寿命值，所以，平均寿命就是： tf (t )dt 。
'
两边积分，就得到平均寿命：
tf ( x)dt wenku.baidu.com R(t )dt [tR(t )] dt
' 0 0 0
而 tR(t ) |0 0 0 0 。 （因为 R(∞)=0）
大功告成，平均寿命 MTBF R(t )dt
0
上式的物理意义可以这么理解：
上式变成 MTBF
tf (t )dt tR (t )dt
' 0 0
还有一个讨厌的 t，怎么去掉？或者说，什么函数的导数有可能是上面这个东东？ 看看下面这个公式：
[tR(t )]' R(t ) tR ' (t ) R(t ) tf (t )
不懂上式？翻翻高数课本：
所以， tf ( x) R(t ) [tR(t )]
R(t )dt e t dt
0 0
e t |0 e e 0 0 1 1
即：指数分布下，MTBF（平均寿命）和故障率（λ）互为倒数关系。这也是个经典结论， 一定要记住。
这个关系的物理概念是： 某个产品平均 1 年坏 2 次 （λ=2） ， 所以平均寿命就是 需要注意的是，平均寿命对应的可靠度只有 38%。 理解上面积分过程需要知道下面两个导数知识： 1、复合函数的求导法则：
R(t ) Ndt
0
N
，
思路是从时间段的角度算产品个数，而不是从产品角度算寿命（原始公式的物理意义） 。 即考虑有多少产品数落在这个时间段，最后加起来。 例如(t+Δt)这个时间段范围内的产品数目是 R(t)*N，则 R(t)*N*Δt 也就是 dt 这个时间段 内的寿命和。注意不要再乘 t 了，因为计算下一个 dt 时间段时，R(t)里面（还没坏的产品） 和这个时间段有重复的产品数！即不算历史积累的 t，只算当前小区间 dt 里面有多少产品。 从 0 到无穷大把这些时间段（带着各自所附带的产品数，也就是所蕴含的寿命）全部加 起来（积分） ，得到所有产品的寿命之和，再除以产品总数 N，就得到平均寿命。分子分母 的 N 消掉。 当寿命分布服从指数分布时， R(t ) e 此时，
t
MTBF R(t )dt e t dt
0 0
e t |0 e e 0 0 1 1
综合起来就是：
MTBF tf (t )dt ( R(t )dt [tR(t )]' )dt（因为tR(t ) |0 0 0 0） 0 0
1 0.5 年。 2
2、以 e 为底的指数函数的导数还是它本身：
可靠性咨询顾问 苏铁军（sutiejun@gmail.com） MTBF 的含义是平均故障间隔时间（Mean Time Between Failure） ，就是产品每次故障之 间能正常运行的平均时间。 还有一个类似的概念是 MTTF， 是平均故障前时间 （Mean Time To Failure） 。对于完全修复的产品，修好了就跟新的一样，所以“一个产品故障多次之间的时 间”和“多个产品故障一次之前的时间”性质是一样的，此时 MTBF 也就等于 MTTF。习 惯上说 MTBF 的更多。 MTBF 说白了就是平均寿命，怎么算呢？ 先举个例子，假设有个离散型的随机变量 X，是 1 的概率是 0.3，是 2 的概率是 0.5，是 3 的概率是 0.2，那么 X 的平均值（也就是“数学期望” ）是多少？很简单，就是： 1*0.3+2*0.5+3*0.2=1.9
0
物理概念上可以理解为： 寿命为 t 的概率是 f(t)， 类似离散型那样相乘， 在所有的 t 上 （从 零到无穷大）积分起来就是平均寿命。 f(t)不好用，我们经常用的还是故障率 λ，那么如何把上式转化成用故障率 λ 表示的函数 呢？ 从前一篇《可靠度 R 和故障率之间关系式的数学溯源》中我们可以知道 R(t)可以用故障 率 λ 表示。所以，只要争取把平均寿命的公式转化成 R(t)表示的函数就可以了。 我们知道 f(t)=-R’(t)，代入上式：
引申开去，连续性的随机变量的数学期望（平均值）就是：
xf ( x)dx 。
用到可靠性上，随机变量是时间 t，在每个时间 t（之后的 Δt）故障的概率（故障密度， 即 Δt 内发生故障的产品除以产品总数）是 f(t)，反过来此时 t 其实也就是这些此时故障的产
品的寿命值，所以，平均寿命就是： tf (t )dt 。
'
两边积分，就得到平均寿命：
tf ( x)dt wenku.baidu.com R(t )dt [tR(t )] dt
' 0 0 0
而 tR(t ) |0 0 0 0 。 （因为 R(∞)=0）
大功告成，平均寿命 MTBF R(t )dt
0
上式的物理意义可以这么理解：
上式变成 MTBF
tf (t )dt tR (t )dt
' 0 0
还有一个讨厌的 t，怎么去掉？或者说，什么函数的导数有可能是上面这个东东？ 看看下面这个公式：
[tR(t )]' R(t ) tR ' (t ) R(t ) tf (t )
不懂上式？翻翻高数课本：
所以， tf ( x) R(t ) [tR(t )]
R(t )dt e t dt
0 0
e t |0 e e 0 0 1 1
即：指数分布下，MTBF（平均寿命）和故障率（λ）互为倒数关系。这也是个经典结论， 一定要记住。
这个关系的物理概念是： 某个产品平均 1 年坏 2 次 （λ=2） ， 所以平均寿命就是 需要注意的是，平均寿命对应的可靠度只有 38%。 理解上面积分过程需要知道下面两个导数知识： 1、复合函数的求导法则：
R(t ) Ndt
0
N
，
思路是从时间段的角度算产品个数，而不是从产品角度算寿命（原始公式的物理意义） 。 即考虑有多少产品数落在这个时间段，最后加起来。 例如(t+Δt)这个时间段范围内的产品数目是 R(t)*N，则 R(t)*N*Δt 也就是 dt 这个时间段 内的寿命和。注意不要再乘 t 了，因为计算下一个 dt 时间段时，R(t)里面（还没坏的产品） 和这个时间段有重复的产品数！即不算历史积累的 t，只算当前小区间 dt 里面有多少产品。 从 0 到无穷大把这些时间段（带着各自所附带的产品数，也就是所蕴含的寿命）全部加 起来（积分） ，得到所有产品的寿命之和，再除以产品总数 N，就得到平均寿命。分子分母 的 N 消掉。 当寿命分布服从指数分布时， R(t ) e 此时，
t
MTBF R(t )dt e t dt
0 0
e t |0 e e 0 0 1 1
综合起来就是：
MTBF tf (t )dt ( R(t )dt [tR(t )]' )dt（因为tR(t ) |0 0 0 0） 0 0
1 0.5 年。 2
2、以 e 为底的指数函数的导数还是它本身：