数列的极限-高中数学知识点讲解

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高中数学数列与数列极限的性质及定理总结

高中数学数列与数列极限的性质及定理总结数列是高中数学中的重要概念之一，它是由一系列按照一定规律排列的数所组成的。

数列的研究对于理解数学的发展和应用具有重要意义。

本文将总结数列的性质及定理，并通过具体题目的分析，说明其考点和解题技巧，以帮助高中学生和家长更好地理解和应用数列。

一、数列的性质1. 有界性：数列可以是有界的，也可以是无界的。

有界数列是指其所有项都在某个范围内，无界数列则相反。

例如，数列{1, 2, 3, ...}是无界的，而数列{(-1)^n}是有界的，其项的取值范围在-1和1之间。

2. 单调性：数列可以是单调递增的，也可以是单调递减的。

单调递增数列是指其后一项大于或等于前一项，单调递减数列则相反。

例如，数列{1, 2, 3, ...}是单调递增的，而数列{3, 2, 1, ...}是单调递减的。

3. 有界单调性：数列既有界又单调，即既满足有界性，又满足单调性。

例如，数列{(-1)^n/n}既是有界的，其项的取值范围在-1和1之间，又是单调递减的。

二、数列极限的性质及定理1. 数列极限的定义：数列{a_n}的极限是指当n趋向于无穷大时，数列的项a_n趋向于某个常数L。

用数学符号表示为lim(a_n) = L。

例如，数列{1/n}的极限是0，即lim(1/n) = 0。

2. 数列极限的唯一性：如果数列{a_n}的极限存在，那么它是唯一的。

即数列的极限不依赖于数列的前几项，只与数列的性质有关。

例如，数列{(-1)^n/n}的极限是0，无论数列的前几项是多少。

3. 夹逼定理：夹逼定理是数列极限的重要定理之一，它用于求解一些复杂的极限问题。

夹逼定理的核心思想是通过夹逼数列来确定数列的极限。

例如，对于数列{1/n^2}，我们可以通过夹逼定理得出其极限为0。

4. 递推数列的极限：递推数列是指通过前一项或前几项来确定后一项的数列。

递推数列的极限可以通过求解递推关系式来确定。

例如，对于数列{a_n = a_(n-1) +1/n}，我们可以通过求解递推关系式得出其极限为无穷大。

高中数学选修一第4章4.3~4.4数列,极限,归纳法-知识点

1高中数学选修一第4章4.3~4.4数列/极限/归纳法-知识点 1、对于以a 为首项，q 为公比的无穷等比数列{a n }.①若{a n }是绝对值递减的数列，∞→n lim n a = 0 ，各项和∞→n lim n S =q 1a - 。

②若q=1，{a n }是常数列，∞→n lim n a = a ，各项和∞→n lim n S 不存在。

③若q=-1，{a n }是摆动数列，∞→n lim n a 不存在，各项和∞→n lim n S 不存在。

{a n }是绝对值增大的数列，∞→n lim n a = 不存在，各项和∞→n lim n S 不存在。

2、题型：在公式S=q 1a 1-中，已知其中任意两个量，求第三个量的值或范围。

典例：设数列{a n }是公比0＜q ＜1的等比数列，其各项和是4，求首项a 1的取值范围。

想：∵S=q 1a 1-，所以a 1=4(1-q)∈(0,4)∪(4,8)。

3、对于数列{a n }，如果a n+1≥a n 恒成立，则是增数列，如果a n+1＞a n 恒成立，则是严格增数列；如果a n+1≤a n 恒成立，则是减数列，如果a n+1＜a n 恒成立，则是严格减数列。

增数列和减数列统称为单调数列。

数列的单调性的判断：①作差法，判断 a n+1-a n 的符号；②对于正数数列，判断与 1 的大小关系。

4、在数列{a n }中，若a n 最大，则a n ≥ a n-1 且a n ≥ a n+1 ；若a n 最小，则a n ≤ a n-1 且a n ≤ a n+1 （n ≥2）.5、数列{a n }中，前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n =⎩⎨⎧≥-=2n 1n 1-n n 1，，S S S .6、由递推公式求通项公式的常用方法.①累加法，适用于类等差数列，有a n+1-a n =f(n)条件的数列。

例.a 1=0，a n+1=a n +(2n-1). ②累乘法，适用于类等比数列，有a n+1/a n =f(n)条件的数列。

高中数学第三册第二章第二节数列的极限1

1q
3.常用数列的极限: ① lim C C n 1 ② lim 0 n n
1 ③若 0,则lim α 0 n n ｜ q｜ 1 0 不存在｜q｜ 1 n ④ 则lim q n q1 1 不存在 q 1
二、常规训练题
1 1 答案 : lim Tn n q 0q1 q 1
③已知数列 {a n }的各项均为正数 , 前n项的和为S n , t an 且存在正数 t , 使对n N都有 tS n 成立. 2 ①求数列 {a n }的通项公式 ; Sn ②求 lim . n an 提示 : 利用 n 2时 , S n S n 1 a n , 得出a n与 a n 1的关系, 再求a n .
n
lim a n lim b n ② lim ( a nb n ) n n n
lim a n an ③ lim n ( lim b n 0) n bn无穷数列各项的和？如果一个无穷数列前 n项和的极限 lim S n 存在, n 就称这个极限为无穷数列各项的和. ②无穷等比数列各项的和公式怎样？已知无穷等比数列 {a n }的首项为a 1 , 公比为q , a1 , 若｜ q｜ 1, 则lim S n n 1q a1 . 即无穷等比数列各项的和公式为 S
1.选择题 : ① (93高考) lim n
5n 2 1 的值为(D ) 2 2n n 5 1 5 1 5 A. B. C. D. 5 2 5 2 1 1 1 ② ( 91全国) lim[n(1 )(1 )...(1 )]的值为(C ) n 3 4 n2 A .0 B.1 C.2 D.3 ③ (95全国){a n }、 {b n }为等差数列 ,它们的前n项和分 Sn an 2n 别为S n 、Tn , 且 ,则lim 等于( C ) n Tn 3n 1 bn 6 A .1 B . 3 2 C. 3 4 D. 9

高三数学数列、函数的极限及函数的连续性知识精讲

高三数学数列、函数的极限及函数的连续性【本讲主要内容】数列、函数的极限及函数的连续性数列与函数的极限定义、极限的四则运算、函数的连续性【知识掌握】【知识点精析】（一）数列极限 1. 概念考察以下三个数列当n 无限增大时，项a n 的变化趋势：.,101,,101,101,10132 n ① .,1,,43,32,21 n n ② .,)1(,,31,21,1 nn ③（1）随着n 的增大，从数值变化趋势上看，a n 有三种变化方式：数列①是递减的,② 是递增的，③是正负交替地无限趋近于a.（2）随着n 的增大，从数轴上观察项a n 表示的点的变化趋势，也有三种变化方式:① 是从点a 右侧，②是从点a 左侧，③是从点a 两侧交替地无限趋近于a ．（3）随着n 的增大，从差式∣a n －a ∣的变化趋势上看，它们都是无限地接近于0，即a n 无限趋近于a ．这三个数列的共同特性是：不论这些变化趋势如何，“随着项数n 的无限增大，数列项a n 无限地趋近于常数a （即∣a n －a ∣无限地接近于0）”．定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列 n a 的项n a 无限地趋近于某个常数a 时，（即a a n 无限地接近于0），那么就说数列 n a 以a 为极限，或者说a 是数列 n a 的极限。

表示为a a lin n n2. 数列极限的表示方法：① a a n nlim ②当 n 时，a a n .3. 几个常用极限：①C C nlim （C 为常数）②),(01lim是常数k N k n kn③对于任意实常数，当1|| a 时，0limnn a当1 a 时，若a ＝1，则1limn n a ；若1 a ，则nn n n a )1(lim lim不存在当1 a 时，nn alim 不存在（二）函数极限研究函数的极限，首先考虑自变量x 的变化方式有哪些． 1. x →∞时，函数)(x f 的极限考察函数f(x)＝1，当x →＋∞和x →－∞时，函数的变化趋势（1）当x →＋∞时，从图象和表格上看，函数y ＝x的值无限趋近于0．就是说函数y ＝x 1上的极限为0，记作01lim xx（2）当 x 时，类似地可得函数xy 1的值无限趋近于0，就是说，当 x 时，函数xy 1的极限为0，记作01lim x x（3）还可以从差式│y －0│上看，随着x →＋∞ (或x →－∞),差式无限趋近于0，即函数y ＝x1无限趋近于0，这说明01lim x x (或01lim x x )函数f(x)的变化趋势与极限的关系见下表：几种特殊函数的极限：（1）常数函数f(x)＝C (C 为常数,x ∈R),有C x f x)(lim（2）函数xx f 1)(（x ≠0）,有01lim x x .2. x →x 0时，函数)(x f 的极限例1. 考察函数y ＝x 2，当χ无限趋近于2时，函数的变化趋势．①从表一上看：自变量x<2趋近于2(x 2)时，y 4．从表二上看：自变量x>2趋近于2(x 2)时，y 4．②从图象上看：图象见教科书第79页，自变量x 从左侧趋近于2(即x 2)和从右侧趋近于2(即x 2)时，y 都趋近于4．③从差式|y －4|看：差式的值变得任意小(无限接近于0)．从任何一方面看，当x 无限趋近于2时，函数y ＝x 2的极限是4．记作： 2lim x x 2＝4注意：x 2，包括分别从左、右两侧趋近于2．例2. 考察函数112 x x y (x ≠1),当x 1时的变化趋势.分析：此例虽然在x ＝1处没有定义，但仍有极限．即：2)1(lim 11lim121 x x x x x 定义：一般地，当自变量x 无限趋近于常数0x （但不等于0x ）时，如果函数)(x f 无限趋近于一个常数a ，就是说当x 趋近于0x 时，函数)(x f 的极限为a ．记作a x f x x )(lim 0或当0x x 时，a x f )(.注：当0x x 时，)(x f 是否存在极限与)(x f 在0x 处是否有定义无关，因为0x x 并不要求0x x ．（当然，)(x f 在0x 处是否有定义也与)(x f 在0x 处是否存在极限无关．故函数)(x f 在0x 有定义是)(lim 0x f x x 存在的既不充分又不必要条件．）如1111)(x x x x x P 在1 x 处无定义，但)(lim 1x P x 存在，因为在1 x 处左右极限均等于零．3. 函数)(x f 的左、右极限例3 考察函数f(x)＝x x 01).0(),0(),0(时当时当时当 x x x 当x 0 时，或x 0 时函数的变化趋势．分析：此例与上两例不同，x 从原点某一侧无限趋近于0，f(x)也会无限趋近于一个确定的常数．但从不同一侧趋近于0，f(x)趋近的值不同，这时f(x)在x 0处无极限．定义：如果x 从x ＝x 0的单侧无限趋近于x 0时，f(x)无限趋近于一个常数a ，那么a 叫做f(x)单侧的极限．当x x0时，f(x)的极限a 1叫做左极限，记作1x x a )x (f lim 0；当x x0时，f(x)的极限a 2叫右极限，记作2x x a )x (f lim 0．只有a 1＝a 2时，a x f x x )(lim 0才存在。

高中数学数列极限的性质与计算方法详解

高中数学数列极限的性质与计算方法详解数列是高中数学中的重要概念，而数列的极限更是数学分析的基础。

在高中数学中，数列极限的性质和计算方法是一个重要的考点。

本文将详细解析数列极限的性质和计算方法，并通过具体题目进行举例，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和掌握这一知识点。

一、数列极限的性质1. 有界性：如果数列{an}存在有界的上界和下界，那么该数列必定收敛。

例如，考虑数列{an} = (-1)^n，该数列的值在-1和1之间，因此数列{an}是有界的，且极限为0。

2. 单调性：如果数列{an}单调递增且有上界，或者单调递减且有下界，那么该数列必定收敛。

例如，考虑数列{an} = 1/n，该数列单调递减且有下界0，因此数列{an}是收敛的，且极限为0。

3. 夹逼定理：如果数列{an}满足an≤bn≤cn，并且lim an = lim cn = L，那么数列{bn}也收敛，并且极限为L。

例如，考虑数列{an} = 1/n，{bn} = (1 + 1/n)^n，{cn}= (1 + 1/n)^(n+1)，显然有an≤bn≤cn，并且lim an = lim cn = 0，因此数列{bn}也收敛，且极限为0。

二、数列极限的计算方法1. 基本四则运算法则：如果数列{an}和{bn}的极限分别为A和B，那么数列{an + bn}的极限为A + B，数列{an - bn}的极限为A - B，数列{an * bn}的极限为A * B，数列{an / bn}的极限为A / B（其中B ≠ 0）。

2. 极限的乘法法则：如果数列{an}的极限为A，数列{bn}的极限为B，那么数列{an * bn}的极限为A * B。

例如，考虑数列{an} = 1/n，{bn} = n，显然lim an = 0，lim bn = ∞，但是lim (an * bn) = 1。

3. 极限的倒数法则：如果数列{an}的极限为A（A ≠ 0），那么数列{1/an}的极限为1/A。

数列极限的知识点总结

数列极限的知识点总结一、数列极限的定义1.1 数列首先要了解数列的概念。

数列是由一系列按照一定顺序排列的数所组成的有序集合。

数列通常用符号{an}表示，其中an代表数列的第n个元素。

数列是数学中一种基本的数学概念，它在许多数学问题中都起着重要的作用。

1.2 数列极限接着要了解数列的极限。

数列{an}的极限是指当n趋向于无穷大时，数列中的元素an的值趋近于一个常数L，即lim(an) = L。

如果这样一个数L存在，那么我们就说数列{an}收敛，并且把L称为数列的极限，记作lim(an) = L。

如果这样一个数L不存在，那么我们就说数列{an}发散。

1.3 数列极限的形式化定义对于给定的数ε，如果存在一个正整数N，使得当n大于N时，|an - L| < ε恒成立，那么称L是数列{an}的极限。

这样的N存在的话，就称这N是数L和ε的函数。

1.4 无穷大数列如果数列{an}中的元素an当n趋向于无穷大时，它的绝对值|an|趋向于无穷大，那么就称数列{an}是无穷大的。

对于无穷大数列，我们通常用符号lim(an) = ±∞来表示。

1.5 注意事项在讨论数列极限的问题时，需要注意以下几点：1) 数列的极限可能是一个有限的常数，也可能是无穷大。

2) 一般来说，数列的极限不一定存在，也可能有多个极限（一般在不同n的取值范围内）。

3) 要特别注意当n趋于无穷大时，数列中的元素an的绝对值的行为，关系到数列是否是无穷大数列。

以上是数列极限的基本概念和定义，下面我们将介绍数列极限的相关性质。

二、数列极限的相关性质2.1 唯一性如果数列{an}收敛，那么它的极限是唯一的。

换句话说，如果lim(an) = L1和lim(an) = L2，那么L1 = L2。

2.2 有界性如果数列{an}收敛，那么它一定是有界的，即存在一个正实数M，使得|an| < M（n∈N）。

2.3 保号性如果数列{an}收敛到一个有限的极限L，那么当n充分大时，数列{an}的元素和L有相同的正负号。

高中数学数列的极限与等比数列

高中数学数列的极限与等比数列数列是数学中非常重要的概念之一，它在高中数学中占据着重要的地位。

其中，极限和等比数列是数列的两个重要概念。

本文将详细讨论高中数学中数列的极限与等比数列，以帮助读者更好地理解和掌握这些内容。

一、数列的极限数列的极限是指随着项数的增加，数列中的项趋于某个确定的值。

我们以一个简单的数列为例进行说明，假设有数列{1, 2, 3, 4, ...}，即从1开始，每项比前一项增加1。

显然，这个数列随着项数的增加，数列中的值也在增加，但它并没有一个确定的极限值，所以我们说这个数列的极限不存在。

在数学中，对于数列的极限，有以下两个重要的概念：数列的有界性和数列的单调性。

1. 数列的有界性一个数列如果存在一个上界和下界，即所有的项都小于等于某个数M和大于等于某个数m，那么我们说这个数列是有界的。

根据数列的有界性，可以将数列分为上半有界数列和下半有界数列。

当数列的极限存在时，一定是有界的，但有界的数列不一定存在极限。

2. 数列的单调性如果数列的项随着项数的增加严格递增或者严格递减，那么我们说这个数列是单调的。

根据数列的单调性，可以将数列分为递增数列和递减数列。

当数列的极限存在时，数列一定是单调的，但单调的数列不一定存在极限。

例如，等差数列{1, 3, 5, 7, ...}就是一个递增数列，但它不存在极限。

二、等比数列等比数列是指一个数列中的每一项都与前一项成相同的比例关系。

具体可以表示为：{a, ar, ar^2, ar^3, ...}，其中a为首项，r为公比。

等比数列是一种特殊的数列，它具有一些独特的性质。

1. 等比数列的通项公式等比数列的通项公式为：an = a * r^(n-1)，其中an表示等比数列的第n项，a为首项，r为公比。

通过这个公式，我们可以求解等比数列中的任意项。

2. 等比数列的性质等比数列有许多重要的性质。

其中，最重要的性质之一是比值性质。

对于等比数列的相邻两项，它们的比值是相同的，即an/an-1 = r。

高中数学中的数列极限与函数极限

高中数学中的数列极限与函数极限数列极限和函数极限是高中数学中的重要概念，在数学分析中有着广泛的应用。

本文将介绍数列极限和函数极限的定义和性质，并通过示例和推导来加深理解。

一、数列极限的定义与性质数列是按照一定规律排列的数的序列，而数列极限则是指数列随着索引（通常是正整数）趋于无穷大时的极限值。

我们用符号来表示数列极限，记为lim⁡(aa)=a，其中aa表示数列的第a项。

在数列极限的定义中，有两个重要的要素：趋于无穷大和极限值。

当数列的值越来越接近于某个常数a时，我们说数列的极限为a。

具体而言，对于任意给定的正实数a（ε），存在正整数a（N）使得当a>N 时，aa与a之间的差值小于a，即|aa−a|<a。

这种形式的定义表明数列极限的存在性和唯一性。

对于数列极限的性质，我们有以下结论：1. 常数数列的极限等于该常数本身：lim⁡(a)=a，其中a为任意常数。

2. 收敛数列（即存在极限的数列）的极限唯一。

3. 若数列收敛，则数列必有界，即存在一个正数a（M），使得对于任意的a，都有|aa|≤a。

这个结论可以通过使用极限的定义及三角不等式来证明。

二、函数极限的定义与性质与数列极限类似，函数极限描述的是函数随着自变量趋于某个值时，函数值的变化趋势。

我们用lim⁡(a→a)a(a)=a来表示函数极限，其中a(a)表示函数的表达式，a为自变量趋向的值，a为极限值。

函数极限的定义可以类比于数列极限的定义。

对于任意给定的正实数a（ε），存在正实数a（δ）使得当0＜|a−a|<a时，有|a(a)−a|<a。

这个定义表明函数极限的存在性。

与数列极限类似，函数极限也具有唯一性、局部有界性等性质。

此外，我们还有以下性质：1. 若lim⁡(a→a)a(a)=a_1，lim⁡(a→a)a(a)=a_2，则lim⁡(a→a)(a(a)±a(a))=a_1±a_2。

2. 若lim⁡(a→a)a(a)=a，则lim⁡(a→a)aa(a)=aa，其中a为任意常数。

高中数学极限知识点

极限一、数列的极限：对于数列{}n x ，如果当n 无限增大时，数列的相应项n x 无限趋近一个确定的常数A ，则称当n 趋于无穷时，数列{}n x 以A 为极限，记为)(lim ∞→→=∞→n A x A x n n n 或式子中“→”读作“趋于”，这时也称数列{}n x 是收敛的，若数列{}n x 没有极限，则称数列{}n x 是发散的二、函数的极限1.当∞→x 时函数的极限2.当+∞→x 或-∞→x 时函数的极限得到一个充要条件是：A x f x =∞→)(lim 的充要条件是A x f x f x x ==-∞→+∞→)(lim )(lim 3.当0x x →时函数的极限4.当+→0x x 或-→0x x 时函数的极限得到一个充要条件是：A x f x x =→)(lim 0的充要条件是A x f x f x x x x ==-+→→)(lim )(lim 00 三、极限的运算法则（1）极限的唯一性如果极限)(lim 0x f x x →存在，则它只有一个极限，即若A x f x x =→)(lim 0，B x f x x =→)(lim 0,则A=B（2）极限的运算法则设B x v A x u ==)(lim ,)(lim 则有（1）[]B A x v x u x v x u ±=±=±)(lim )(lim )()(lim（2）[]B A x v x u x v x u ∙=∙=∙)(lim )(lim )()(lim（3）当0)(lim ≠=B x v 时，BA x v x u x v x u ==)(lim )(lim )()(lim推论1 如果)(lim 0x u x x →存在，c 为常数，则)(lim ))((lim 00x u c x cu x x x x →→= 推论2 如果)(lim 0x u x x →存在，N n ∈,则nx x n x x x u x u )](lim [)]([lim 00→→= 四、函数的间断点间断点的分类：1）第一类间断点（1）可去间断点：左右极限相等，但不等于该点的函数值（2）跳跃间断点：左右极限存在，但不想等2）第二类间断点左右极限至少有一个不存在Welcome To Download !!!欢迎您的下载，资料仅供参考！。

数列极限知识点总结

数列极限知识点总结一、数列的极限定义数列是一系列按照一定次序排列的数的集合，通常表示为{an}，其中an表示数列的第n 个元素。

数列的极限是数列中的元素随着n的增大而逐渐接近某个值L，当n趋于无穷大时，数列的所有元素都逼近于L。

我们用极限符号lim(n→∞)an=L来表示数列{an}的极限为L。

对于一个给定的数列{an}，如果它的极限存在且为L，我们称{an}收敛于L，记作lim(n→∞)an=L。

如果数列的极限不存在，我们称数列发散。

二、数列极限的性质1. 唯一性：数列的极限值是唯一的，即如果数列{an}收敛于L1和L2，那么L1=L2。

2. 有界性：收敛数列是有界的，即存在一个实数M，使得对于所有的n，有|an|<M。

3. 保号性：如果数列{an}收敛于L>0，那么存在一个正整数N，使得当n>N时，an>0；如果数列{an}收敛于L<0，那么存在一个正整数N，使得当n>N时，an<0。

三、数列极限的收敛定理1. 夹逼定理：设{an}、{bn}、{cn}是三个数列，如果存在一个正整数N，使得当n>N时，有an≤bn≤cn，并且lim(n→∞)an=lim(n→∞)cn=L，那么数列{bn}也收敛于L。

2. 复合函数极限定理：设{an}是一个数列，f(x)是一个定义在R上的函数，如果lim(n→∞)an=a存在，f(x)在x=a周围有定义，并且lim(x→a)f(x)=L存在，那么lim(n→∞)f(an)=L。

3. 唯一性定理：如果一个数列存在极限，那么它的极限是唯一的。

四、数列极限的经典例题1. 例题一：计算数列lim(n→∞)(1+1/n)n。

解析：利用自然对数的极限定义可得lim(n→∞)(1+1/n)n=e。

2. 例题二：利用夹逼定理证明数列lim(n→∞)(1/n)=0。

解析：由于-1/n≤1/n≤1/n，且lim(n→∞)(-1/n)=lim(n→∞)(1/n)=0，根据夹逼定理可得lim(n→∞)(1/n)=0。

数列极限知识点

数列极限知识点数列极限是高等数学中的重要概念。

在微积分、数学分析等各个领域都有着广泛的应用。

本文将对数列极限的相关概念、性质及其在实际问题中的应用进行详细阐述。

一、数列极限的定义首先，了解数列极限的定义是非常关键的。

一个数列的极限是指当数列中的项数趋于无穷大时，数列中每一项都趋于某个常数L，这个常数L就是这个数列的极限。

具体的数学表达式如下：lim an = L (n → ∞)其中，an为数列中的第n项，L为这个数列的极限。

二、数列极限的性质了解数列极限的性质，可以更好地理解它在实际问题中的应用。

下面，介绍数列极限的一些性质：1.极限的唯一性当数列极限存在时，它在数轴上的值是唯一的。

也就是说，在数列的所有子数列中，都只存在一个极限值。

2.局部有界性如果一个数列有有限的极限，那么它在数轴上一定是有界的，也就是说，存在一个范围，可以将这个范围内的所有数列项都包含在内。

3.保号性如果一个数列的极限是正数，那么数列中所有的项都是正数。

如果极限是负数，那么数列中所有的项都是负数。

4.夹逼定理对于任意一个数列，如果它的所有项都被夹在两个趋向于同一个极限值的数列之间，那么这个数列的极限也趋向于这个极限值。

5.单调有界定理如果一个数列是单调递增（或递减）且有界的，那么它的极限就存在。

三、数列极限的应用数列极限在实际问题中有着广泛的应用。

其中一些典型应用包括：1.距离、速度、加速度等模型在物理学、工程学等领域，常常需要通过数学模型来描述距离、速度、加速度等概念。

这些数学模型往往可以表示为数列的形式，以此来描述运动、变化等现象。

2.统计学中的统计量在统计学中，常常需要对一组数据进行分析，计算各种统计量（如平均数、标准差等）。

这些统计量也往往可以表示为数列的形式，以此来描述数据的分布情况。

3.经验分布函数经验分布函数是一种描述随机变量分布的函数形式，它的计算也经常涉及到数列极限的概念。

四、结语数列极限是高等数学中的重要概念，掌握了数列极限的相关概念和性质，以及应用范围，可以更好地理解和应用它。

高中数学知识点精讲——极限和导数

14．Lagrange中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，则存在ξ∈(a,b)，使
[证明] 令F(x)=f(x)- ,则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且F(a)=F(b)，所以由13知存在ξ∈(a,b)使 =0，即
15．曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I内具有二阶导数，（1）如果对任意x∈I, ,则曲线y=f(x)在I内是下凸的；（2）如果对任意x∈I, ,则y=f(x)在I内是上凸的。通常称上凸函数为凸函数，下凸函数为凹函数。
12．极值的第二充分条件：设f(x)在x0的某领域(x0-δ,x0+δ)内一阶可导，在x=x0处二阶可导，且。（1）若，则f(x)在x0处取得极小值；（2）若，则f(x)在x0处取得极大值。
13．罗尔中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a,b)，使
9.导数与函数的性质：（1）若f(x)在区间I上可导，则f(x)在I上连续；（2）若对一切x∈(a,b)有，则f(x)在(a,b)单调递增；（3）若对一切x∈(a,b)有，则f(x)在(a,b)单调递减。
10．极值的必要条件：若函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，则
11.极值的第一充分条件：设f(x)在x0处连续，在x0邻域(x0-δ,x0+δ)内可导，（1）若当x∈(x-δ,x0)时，当x∈(x0,x0+δ)时，则f(x)在x0处取得极小值；（2）若当x∈(x0-δ，x0)时，当x∈(x0,x0+δ)时，则f(x)在x0处取得极大值。
⑥ 已知数列的首项，其前项的和为，且，则 =.
2、函数极限：
（1）公式：（C为常数）；（p>0）；

数列的极限-高中数学知识点讲解(含答案)

数列的极限（北京习题集）（教师版）一．选择题（共3小题）1．（2006•海淀区一模）等差数列{}n a 中，11a =，3514a a +=，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则221lim n nn S →∞-等于() A ．2B ．12C ．1D ．不存在2．（2005•海淀区二模）已知数列{}11,,2n n a a S =中为数列的前n 项和，且n S 与1n a 的一个等比中项为()n n N ∈，则lim nn S →∞的值为( ) A ．34B ．32C ．23D ．13．（2003•北京）若数列{}n a 的通项公式是3(1)3,1,2,2n n nn a n --+-==⋯，则12lim()n n a a a →∞++⋯+等于( )A ．124B ．18C ．16D ．12二．填空题（共6小题）4．（2008春•宣武区校级月考）已知n S 是公差为0d ≠的等差数列{}n a 的前n 项和，{}n b 是公比为1d -的等比数列，若11b a =，212b a a =，323b a a =，则2limnn nS a →∞= ． 5．（2008春•宣武区校级月考）已知数列{}n a 的前n 项和11(1)n n nS ba b =-+-+，其中b 是与n 无关的常数，且01b <<，若lim n n S →∞存在，则lim n n S →∞= ．6．（2005秋•崇文区期末）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11(1)4n n S a n =+，则n a = ，123lim()n n a a a a →∞+++⋯+的值是．7．（2006•石景山区一模）已知数列{}n a 是由正整数组成的数列，14a =，且满足1n n lga lga lgb -=+，其中3b >，2n ，且*n N ∈，则n a = ，113lim 3n nn n na a --→∞-=+ ． 8．（2006•崇文区一模）若7(12)x +展开式的第三项为168，则2111lim()n n x x x→∞++⋯+= ．9．（2006•丰台区一模）等比数列{}:1n b ，2，4，⋯，其前n 项和为n S ，1n =，2，3，⋯，则lim nn nb S →∞= ．三．解答题（共5小题）10．（2005•北京）设数列{}n a 的首项114a ≠，且11214nn n a n a a n +⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩是偶是奇，记2114n n b a -=-，1n =，2，3⋯（Ⅰ）求2a ，3a ；（Ⅱ）判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论；（Ⅲ）求12lim()n n b b b →∞++⋯+11．（2005•西城区校级一模）已知数列{}n a 中，156a =，1*111()()32n n n a a n N ++=+∈，数列{}n b 对任何*n N ∈都有112n n n b a a +=-（1）求证{}n b 为等比数列；（2）求{}n b 的通项公式；（3）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求lim n n S →∞．12．（2003•崇文区一模）给定直线:l y x =和点1(5,1)P ．作点1P 关于l 的对称点1Q ，过1Q 作平行于x 轴的直线交l 于点1M ，取一点22(P x ，2)y ，使1M 为线段12Q P 的内分点，且1112:2:1Q M M P =，再作2P 关于l 的对称点2Q ，过2Q 作平行于x 轴的直线交l 于点2M ，取一点33(P x ，3)y ，使2M 为线段23Q P 的内分点，且2223:2:1Q M M P =．如此继续，得到点列1P 、2P 、3P 、n P ⋯．设(n n P x ，)n y ，1n n n a x x +=-．（Ⅰ）求1a ；（Ⅱ）证明：数列{}n a 是等比数列并求其通项；（Ⅲ）求n P 点的坐标，并求lim n n x →∞及limn n y →∞的值．13．（2003•朝阳区一模）已知函数()1)(0)f x x x =+．（Ⅰ）求()f x 的反函数，并指出其定义域；（Ⅱ）设数列{}(0)n n a a >的前n 项和为()n S n N ∈，若对于所有大于1的自然数n 都有1()n n S f S -=，且12a =，求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）令()()()21121,:2n n lim n n n n n a a b n N b b b a a +→∞+-=∈++⋯+求．14．（2009•宣武区一模）设{}a 是正数数列，其前n 项和n S 满足1(1)(3)4n n n S a a =-+．（1）求1a 的值；求数列{}n a 的通项公式；（2）对于数列{}n b ，令1n nb s =，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求lim n n T →∞．数列的极限（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．（2006•海淀区一模）等差数列{}n a 中，11a =，3514a a +=，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则221lim n nn S →∞-等于() A ．2B ．12C ．1D ．不存在【分析】求出等差数列的前n 项和，然后利用极限的运算法则求解即可．【解答】解：因为等差数列{}n a 中，11a =，3514a a +=，所以12614a d +=，2d =，所以2(1)222n n n S n n n +=+⨯=+．所以2222122121lim lim lim 2221n n n nn n n S n n n→∞→∞→∞+--===++．故选：A ．【点评】本题考查等差数列求和，数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力．2．（2005•海淀区二模）已知数列{}11,,2n n a a S =中为数列的前n 项和，且n S 与1n a 的一个等比中项为()n n N ∈，则lim nn S →∞的值为( ) A ．34B ．32C ．23D ．1【分析】由题意可得2nnS n a =即2n n S n a =①，则211(1)n n S n a --=-②(2)n ，两式相减可得递推式，利用累乘法可求得n a ，用裂项相消法可求得n S ，然后取极限即可求得答案．【解答】解：因为n S 与1na 的一个等比中项为n ，所以2nnS n a =即2n n S n a =①，则211(1)n n S n a --=-②(2)n ， ①-②得，221(1)n n n a n a n a -=--，整理得，11(2)1n n a n n a n --=+，所以321121112321111(2)23451(1)1n n n a a a n n a a n a a a n n n n n n ---=⨯⨯⨯⋯⨯=⨯⨯⨯⨯⋯⨯⨯==-+++，当1n =时112a =适合上式，所以111n a n n =-+，所以121111111122311n n S a a a n n n =++⋯+=-+-+⋯+-=-++，所以1lim lim(1)11n n n S n →∞→∞=-=+，故选：D ．【点评】本题考查等比数列的中项性质、累乘法求数列通项及裂项相消法对数列求和，综合性较强，熟练相关问题的基本方法是解决问题的根本．3．（2003•北京）若数列{}n a 的通项公式是3(1)3,1,2,2n n nn a n --+-==⋯，则12lim()n n a a a →∞++⋯+等于( )A ．124B ．18C ．16D ．12【分析】先利用分组求和求出12n a a a ++⋯+，然后再求极限即可．【解答】解：112212111(33)(33)[3(1)3]222n n n n a a a ------++⋯+=-+++⋯++-121211(333)[33(1)]22n n ------=++⋯++-+-⋯+- 11113[1()][1()]13(13)1133311224811()33n n nn------------=⨯+⨯=+---，所以121[1()]1313lim()lim{}488n nn n n a a a -→∞→∞----++⋯+=+=，故选：B ．【点评】本题考查数列求和及数列求极限，属中档题．二．填空题（共6小题）4．（2008春•宣武区校级月考）已知n S 是公差为0d ≠的等差数列{}n a 的前n 项和，{}n b 是公比为1d -的等比数列，若11b a =，212b a a =，323b a a =，则2limn n nS a →∞=13 ．【分析】利用等差数列的定义和性质，以及等比数列的定义和性质，求出d 和1a 的值，求得n a 和n S 的值，利用数列极限的运算法则求出2limnn nS a →∞ 的值．【解答】解：由等比数列的定义可得32121b b d b b ==-，即3211a a d a ==-，11a d d ∴+=-，112a d ∴=-，23231a d d =-+，2(1)(12d d ∴-=- 2)(231)d d +-+，32d ∴=，12a =-， 3372(1)222n a n n ∴=-+-=-，22942494n n n a -+=，21(1)31124n n n d n nS na --=+=， ∴2222113311301limlim lim 42499424990039n n n n n S n n na n n n n →∞→∞→∞---====-+-+-+，答案为13．【点评】本题考查等差数列的定义和性质，通项公式，等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，求出d 和1a 的值，求得n a 和n S 的值，利用数列极限的运算法则求出2limnn nS a →∞ 的值． 5．（2008春•宣武区校级月考）已知数列{}n a 的前n 项和11(1)n n nS ba b =-+-+，其中b 是与n 无关的常数，且01b <<，若lim n n S →∞存在，则lim n n S →∞= 1 ．【分析】对等式11(1)n n nS ba b =-+-+两边求极限，因01b <<，所以1lim 0(1)n n b →∞=+，又1n n n a S S -=-，从而求出所求．【解答】解：由11(1)n n nS ba b =-+-+，及lim n n S →∞存在得1lim lim 1lim(1)n n nn n n S b a b →∞→∞→∞=-+-+，因01b <<，所以1lim0(1)nn b →∞=+，又1n n n a S S -=-故上式可变为1lim (lim lim )1n n n n n n S b S S -→∞→∞→∞=--+，1lim lim n n n n S S -→∞→∞=，因此 lim 1n n S →∞=故答案为：1【点评】本题主要考查数列的极限，解题的关键是对整个等式求极限，有一定的难度，属于中档题．6．（2005秋•崇文区期末）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11(1)4n n S a n =+，则n a = 141()33n -- ，123lim()n n a a a a →∞+++⋯+的值是．【分析】在11(1)4n n S a n =+①中，令1n =可得1a ．当2n 时，11114n n S a --=+②，用①减去②，化简可得113n n a a -=-，可得数列为等比数列，公比为13-，由此求得n a ．再根据等比数列的求和公式求得n S ，可得123lim()lim n n n n a a a a S →∞→∞+++⋯+= 的值．【解答】解：由于数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11(1)4n n S a n =+①，令1n =可得143a =．当2n 时，11114n n S a --=+②，用①减去②，化简可得113n n a a -=-，故数列为等比数列，公比为13-，141()33n n a -∴=-．41[1()]1331()1313n n n S --∴==--+，∴1231lim()lim lim[1()]13n n nn n n a a a a S →∞→∞→∞+++⋯+==--=，故答案为141()33n --、1．【点评】本题主要考查数列的前n 项和与第n 项之间的关系，等比数列的求和公式，数列极限的运算法则的应用，属于中档题．7．（2006•石景山区一模）已知数列{}n a 是由正整数组成的数列，14a =，且满足1n n lga lga lgb -=+，其中3b >，2n ，且*n N ∈，则n a = 14n b- ，113lim 3n nn n na a --→∞-=+ ．【分析】由1n n lga lga lgb -=+得1(2)n n a ba n -=，可判断{}n a 是公比为b 的等比数列，可求得n a ，而111111113()4334limlimlim 3334()4n n n n n n n n n n n n na bb a b b-------→∞→∞→∞----==+++，可得答案．【解答】解：1n n lga lga lgb -=+，即1n n lga lgba -=，则1(2)n n a ba n -=，{}n a 是由正整数组成的数列，所以{}n a 是公比为b 的等比数列，又14a =，所以14n n a b -=，由于3b >，所以301b<<，所以111111113()4334limlimlim 13334()4n n n n n n n n n n n n na bb a b b-------→∞→∞→∞----===-+++，故答案为：14n b -；1-．【点评】本题考查由数列递推式求数列通项及数列极限的求法，属中档题．8．（2006•崇文区一模）若7(12)x +展开式的第三项为168，则2111lim()n n x x x→∞++⋯+= 2 ．【分析】由题意，可先由二项式通项公式得到272C 2168x=，解得32x =，代入22111222lim()lim[()()]333n n n n x x x →∞→∞++⋯+=++⋯+，再由等比数列的求和公式求和，即可求得极限值得到答案【解答】解：由题意，272C 2168x=，解得32x =∴2222(1())111222233lim()lim[()()]lim lim 2(1())22333313n n n n n n n n x x x →∞→∞→∞→∞⨯-++⋯+=++⋯+==⨯-=-故答案为2【点评】本题考查数列的极限，考查了二项式的通项，等比数列的前n 项和公式，其中由二项式的通项建立方程解出x 的值是解题的关键，本题考查了方程的思想，考查了计算能力9．（2006•丰台区一模）等比数列{}:1n b ，2，4，⋯，其前n 项和为n S ，1n =，2，3，⋯，则limn n nb S →∞=12 ．【分析】直接求出等比数列的前n 项和，以及通项公式，即可利用数列极限的运算法则求出所求极限．【解答】解：因为等比数列{}:1n b ，2，4，⋯，其前n 项和为1(12)2112n n n S -==--．11122n n n b --==．所以121lim lim 212n n nn n n b S -→∞→∞==-．故答案为：12．【点评】本题是基础题，考查等比数列前n 项和，以及通项公式，数列极限的求法，考查计算能力．三．解答题（共5小题）10．（2005•北京）设数列{}n a 的首项114a ≠，且11214nn n a n a a n +⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩是偶是奇，记2114n n b a -=-，1n =，2，3⋯（Ⅰ）求2a ，3a ；（Ⅱ）判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论；（Ⅲ）求12lim()n n b b b →∞++⋯+【分析】()I 根据题设条件，分别令1n =，2，能够求出2a 和3a ． ()II 由43113428a a a =+=+，知541132416a a a ==+，所以111144b a a =-=-，23111()424b a a =-=-，35111()444b a a =-=-，猜想：{}n b 是公比为12的等比数列．再用题设条件进行证明． 11121(1)2()lim()lim lim111122n n n n n b b III b b b →∞→∞→∞-++⋯+==--，由此能求出其结果．【解答】解：2111()44I a a a =+=+，32111228a a a ==+； 43113()428II a a a =+=+，所以541132416a a a ==+，所以111144b a a =-=-，23111()424b a a =-=-，35111()444b a a =-=-，猜想：{}n b 是公比为12的等比数列证明如下：因为121221111111()424242n n n n n b a a a b ++-=-=-=-=，(*)n N ∈ 所以{}n b 是首项为14a -，公比为12的等比数列． 11121(1)12()lim()lim lim2()1141122n n n n n b b III b b b a →∞→∞→∞-++⋯+===---．【点评】本题考查数列的极限和运用，解题时要认真审题，注意公式的合理运用． 11．（2005•西城区校级一模）已知数列{}n a 中，156a =，1*111()()32n n n a a n N ++=+∈，数列{}n b 对任何*n N ∈都有112n n n b a a +=-（1）求证{}n b 为等比数列；（2）求{}n b 的通项公式；（3）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求lim n n S →∞．【分析】（1）求证{}n b 为等比数列，可由等比数列的定义进行证明，由题设条件112n n n b a a +=-，结合156a =，1*111()()32n n n a a n N ++=+∈，研究{}n b 相邻两项的关系，再由定义得出结论．（2）由（1），求出{}n b 的首项，写出等比数列的通项公式；（3）先由112n n n b a a +=-，得到数列{}n a 的递推关系，结合1*111()()32n n n a a n N ++=+∈，求出数列{}n a 的通项公式，再求出前n 项和，求极限即可．【解答】证明：（1）2112111111111111()[()]()232232323n n n n n n n n n n b a a a a a a b +++++++=-=+-+=-=若0n b =，则112n n a a +=，可得出1111()232n n n a a +=+，解得13()2n n a =⨯132a ∴=，不满足条件，故113n n b b +=，即数列{}n b 是等比数列；（2）21211111111()23229b a a a a =-=+-=，∴11()3n n b +=（3）1111()23n n n n a a b ++-==，又1111()32n n n a a ++=+∴111111()()3223n n n n a a +++-=，113()2()23n n n a ∴=⨯-⨯ 1111111113[()][()]2482239273n n n S =+++⋯+-+++⋯+1111[1()][1()]332232111123n n ⨯-⨯-=⨯-⨯-- 11()3()232n n =-⨯+ ∴lim 2n n S →∞=【点评】本题考查求数列的极限，是数列中综合性强难度较大的题，解此类题的关键是充分理解并运用题设中的条件及数列的相关的性质，求出数列的通项，数列的n 项和，的表达式，再根据极限的运算法则，求出数列的极限，本题考查了推理判断的能力及构造变形的能力，运算较繁琐，易出错．12．（2003•崇文区一模）给定直线:l y x =和点1(5,1)P ．作点1P 关于l 的对称点1Q ，过1Q 作平行于x 轴的直线交l 于点1M ，取一点22(P x ，2)y ，使1M 为线段12Q P 的内分点，且1112:2:1Q M M P =，再作2P 关于l 的对称点2Q ，过2Q 作平行于x 轴的直线交l 于点2M ，取一点33(P x ，3)y ，使2M 为线段23Q P 的内分点，且2223:2:1Q M M P =．如此继续，得到点列1P 、2P 、3P 、n P ⋯．设(n n P x ，)n y ，1n n n a x x +=-．（Ⅰ）求1a ；（Ⅱ）证明：数列{}n a 是等比数列并求其通项；（Ⅲ）求n P 点的坐标，并求lim n n x →∞及lim n n y →∞的值．【分析】（Ⅰ）通过点的坐标利用1112:2:1Q M M P =，即可求1a ；（Ⅱ）利用题设条件，11122n n n n Q M M P λ++++==转化为2111()2n n n n x x x x +++-=-，即可证明：数列{}n a 是等比数列并求其通项；（Ⅲ）利用累加法直接求n P 点的坐标，然后利用极限的运算法则直接求lim n n x →∞及lim n n y →∞的值．【解答】本小题满分（16分）．解：()I 由条件知：1(1,5)Q ，1(5,5)M ，22(P x ，5)，11122Q M M P λ==， ∴212512x +=+，27x ∴=，又15x =， 121752a x x ∴=-=-=．⋯（2分）()II 证明：设11(n n P x ++，1)n y +，则11(n n Q y ++，1)n x +，11(n n M x ++，1)n x +．11122n n n n Q M M P λ++++==，⋯（4分）设22(n n P x ++，2)n y +，∴1212(*)3n n n y x x ++++=⋯（6分）点1n P +的纵坐标1n y +与点n Q 、n M 的纵坐标相同，故1n n y x +=代入(*)化简，得21230n n n x x x ++-+=， ()21112n n n n x x x x +++-=-即． ∴数列{}n a 是以2为首项，12为公比的等比数列． ∴112()()2n n a n N -=∈．⋯（9分）()III 解：1112()()2n n n n a x x n N -+=-=∈，0211:2()2x x -=⋅因此有，13212()2x x -=⋯2112()2n n n x x ---=将以上1n -个等式相加，得10121111()111122[()()()]244()1222212n n n n x x -----=++⋯+==--．⋯（12分）∴341119(),9()22n n n n n x y x ---=-==-． ∴3411(9(),9())22n n n P ----．⋯（14分）31lim lim[9()]92n n n n X -→∞→∞=-=， 41lim lim[9()]9162n n n n y -→∞→∞=-=⋯分．【点评】本题考查数列的综合应用，数列是等比数列的判断，通项公式的求法，数列的极限的求法，考查分析问题解决问题的能力．13．（2003•朝阳区一模）已知函数()1)(0)f x x x =+．（Ⅰ）求()f x 的反函数，并指出其定义域；（Ⅱ）设数列{}(0)n n a a >的前n 项和为()n S n N ∈，若对于所有大于1的自然数n 都有1()n n S f S -=，且12a =，求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）令()()()21121,:2n n lim n n n n n a a b n N b b b a a +→∞+-=∈++⋯+求．【分析】（Ⅰ）设()y f x =，通过解方程可求得x ，然后交换变量字母，注意反函数定义域的求解；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得2n S =，易知0n S >，从而得=，可判断,数列是等差数列n S ，再根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-⎩，可求得n a ；（Ⅲ）代入n a 可得112121n b n n =--+，利用裂项相消法可求得12n b b b ++⋯+，然后求极限即可；【解答】解：()()()222,,0I y f x y x ==+=设．0x ，2y ∴．∴=．∴2x =．∴()()()12,2f x f x x -=的反函数为．2()(,(0)n n II SS a =>，∴n S>==．所以,数列是等差数列∴1)n =-．()22n S n n N =∈即．2212,22(1)42n n n n a S S n n n -=-=--=-当时，当1n =时，12a =，满足42n a n =-， 42()n a n n N ∴=-∈．2211()(4242)211()22(42)(42)(21)(21)2121n n n n n a a n n III b a a n n n n n n ++-+-+====--+-+-+，∴12111111(1)()()1335212121n b b b n n n ++⋯+=-+-+⋯+-=--++． ∴121lim()lim(1)121n n n b b b n →∞→∞++⋯+=-=+．【点评】本题考查反函数的求法、由递推式求数列通项及数列极限，考查学生的运算求解能力． 14．（2009•宣武区一模）设{}a 是正数数列，其前n 项和n S 满足1(1)(3)4n n n S a a =-+．（1）求1a 的值；求数列{}n a 的通项公式；（2）对于数列{}n b ，令1n nb s =，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求lim n n T →∞．【分析】（1）由题设条件得13a =，22111()2()4n n n n n a a a a a --=-+-，由此能求出数列{}n a 的通项公式．（2）由（1）知(2)n S n n =+，所以1111()22n n b S n n ==-+，再用裂项求和法求出数列{}n b 的前n 项和n T ，由此能求出lim n n T →∞．【解答】解：（1）由11111(1)(3)4a S a a ==-+，及0n a >，得13a =由1(1)(3)4n n n S a a =-+得1111(1)(3)4n n n S a a ---=-+．∴当2n 时，22111()2()4n n n n n a a a a a --=-+- 111112()()()02n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a -----∴+=+-+>∴-=，{}n a ∴是以3为首项，2为公差的等差数列，21n a n ∴=+（2）由（1）知1111(2)()22n n n S n n b S n n =+∴==-+， 12n n T b b b =++⋯+11111111(1)2324112n n n n =-+-++-+--++ 1323323[]22(1)(2)42(1)(2)n n n n n n ++=-=-++++ ∴()()()3233\lim lim \lim lim 1342124n n n n mathop its T mathop its n n →∞→∞⎡⎤+=-=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦分由02n n a b +<，得1111()()02n a b a +-< 得112n a ba +<-，得1112nb a a -<-∴1121log a bn a -<因而n 满足1121log a b n a -<的最小整数（14分）【点评】本题考查数列的极限和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意裂项求和的灵活运用．。

高数极限的知识点笔记总结

高数极限的知识点笔记总结一、数列极限的概念1.1、数列的概念1.1.1、若给定一个从自然数集合N到实数集合R的函数an=f(n),则称序列{an}为数列。

1.1.2、数列是数学中的一个重要概念，它是指有序的一串数的集合。

比如，1,2,3,4,5,6,... 就是一个数列，其中每一个数都有一个位置，称之为该数在数列中的项。

这个位置通常用自然数n表示，称为项数。

1.2、数列极限的概念1.2.1、若数列{an}的项在某一项之后，无论距离这一项多近，都能无限地接近某一个确定的常数A，则称常数A为数列{an}的极限。

极限通过记号lim(an)=A来表示。

1.2.2、数列极限的概念是指当n趋于无穷大时，数列中的项an的极限值。

1.2.3、形式化定义：对于数列{an}，若对于任意给定的正数ε>0，存在正整数N，使得当n>N时，|an-A|<ε，则称A是数列{an}的极限。

1.3、无穷大数列1.3.1、若数列{an}满足：对于任何实数M，存在正整数N，使得当n>N时，有|an|>M，则称数列{an}为无穷大数列。

1.3.2、无穷大数列的极限是无穷大。

1.4、数列极限的性质1.4.1、唯一性：数列的极限若存在，则唯一。

1.4.2、有界性：如果数列有极限，则这个数列一定是有界的。

1.4.3、保号性：如果数列{an}有极限A, 且A>0（或A<0），则存在正整数N1，当n>N1时，有an>0（或an<0）。

二、函数极限的概念2.1、函数极限的概念2.1.1、在自然数集N上定义的函数f(n)，若当n趋于无穷大时，f(n)的极限存在，则称函数f(n)在n趋于无穷大时有极限。

2.1.2、形式化定义：对于函数f(x)，若对于任意给定的正数ε>0，存在正数δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-A|<ε，则称A是f(x)当x趋于a时的极限。

名师手拉手高三一轮复习---数列的极限讲义

高三第一轮复习数学---数列的极限一、教学目标：理解数列极限的概念，会判断一些简单数列的极限，掌握极限的四则运算法则，会求某些数列的极限。

二、教学重点：1、按定义直观地感受一个数列是否有极限以及极限常数是什么，这是本节重点之一。

2、掌握三个常用极限是本节重点之二。

3、利用定义证明一个数列的极限，需要写成ε—N 语言的形式，这是本节难点。

三、教学过程：（一）主要知识： 1、数列极限定义（1）定义：设{a n }是一个无穷数列，a 是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数ε，总存在正整数N ，使得只要正整数n>N ，就有|a n -a|<ε，那么就称数列{a n }以a 为极限，记作lim∞→n a n =a 。

对前任何有限项情况无关。

*（2）几何解释：设ε>0，我们把区间(a-ε，a+ε)叫做数轴上点a 的ε邻域；极限定义中的不等式|a n -a|<ε也可以写成a-ε<a n <a+ε，即a n ∈(a-ε，a+ε)；因此，借助数轴可以直观地理解数列极限定义：不论a 点的ε邻域怎么小，数列{a n }从某一项以后的所有项都要进入这个邻域中，也可以说点a 的任意小的ε邻域(a-ε，a+ε)中含有无穷数列{a n }的几乎所有的项，而在这个邻域之外至多存在有限个项，由此可以想像无穷数列{a n }的项是多么稠密地分布在点a 的附近。

2、应该牢固掌握的常用极限①lim ∞→n C=C （常数列的极限就是这个常数） ②设a>0，则特别地 01lim=∞→nn ③设q ∈(-1，1)，则lim∞→n q n =0；;1lim ,1==∞→nn q q ,1-=q 或nn q q ∞→>lim ,1不存在。

若无穷等比数列1,,,,11<-q aq aq a n 叫无穷递缩等比数列，其所有项的和（各项的和）为：qa s s n n -==∞→1lim 13、数列极限的运算法则如果lim ∞→n a n =A ，lim ∞→n b n =B ，那么(1)lim ∞→n (a n ±b n )=A ±B (2)lim ∞→n (a n ·b n )=A ·B(3)lim∞→n n n b a =BA(B ≠0) 极限不存在的情况是1、±∞=∞→n n a lim ；2、极限值不唯一，跳跃，如1，-1，1，-1….4、一个重要的极限：ennn=⎪⎭⎫⎝⎛++∞→11lim思维方法：直接从常用的重要极限出发，运用数列极限的运算法则解题。

高中数学中的数列极限

高中数学中的数列极限数列是高中数学中的重要概念之一，而数列的极限也是数学教学中的重要内容。

数列极限是数列中的一个重要属性，它描述了数列随着项数无限增加时所趋近的值。

本文将介绍数列的概念，解释数列极限的定义并探讨数列极限的性质和计算方法。

一、数列的概念数列是由一系列实数按照一定规律排列而成的序列。

数列可以用公式或递归关系式表示，其中公式表示数列的通项公式，递归关系式表示每一项与前一项之间的关系。

二、数列极限的定义数列极限是指当数列的项数趋近无穷大时，数列中的数值趋近的一个值。

设数列{an}表示一个数列，当对于任意给定的正数ε（epsilon），存在一个正整数N，当n>N时，对应的数列项an满足|an - A|< ε，其中A为数列的极限。

三、数列极限的性质1. 数列极限的唯一性：若数列{an}的极限存在，那么它的极限是唯一的。

2. 有界性：如果数列{an}是有界的，那么它一定存在极限。

3. 数列极限的保号性：如果数列{an}的极限为A，且A>0（或A<0），那么从某一项开始，数列的项都大于0（或小于0）。

4. 数列极限的四则运算法则：设{an}和{bn}分别是两个数列，且它们的极限分别为A和B，那么以下四个极限成立：- {an + bn}的极限为A + B；- {an - bn}的极限为A - B；- {an * bn}的极限为A * B；- {an / bn}的极限为A / B（当B≠0时）。

四、数列极限的计算方法1. 常见数列的极限：- 等差数列的极限为首项与末项的平均值；- 等比数列（公比小于1）的极限为0；- 等比数列（公比大于1）的极限为正无穷大或负无穷大。

2. 利用数列极限的性质进行计算：- 利用极限的保号性可以确定极限的正负性；- 利用数列极限的四则运算法则进行极限的计算。

3. 利用数列的局部性质进行计算：- 极限运算与局部性质：如果数列的部分项与极限的差异可以忽略不计，那么这两个数值可以互相替代。