数列的极限-高中数学知识点讲解

数列的极限

1．数列的极限

【知识点的知识】

1、数列极限的定义：

一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n}的项a n 无限趋近于某个常数a（即|a n﹣a|无限地接近于 0），

那么就说数列{a n}以a 为极限，记作푙푖푚a n＝a．（注：a 不一定是{a n}中的项）

푛→∞

2、几个重要极限：

3、数列极限的运算法则：

4、无穷等比数列的各项和：

（1）公比的绝对值小于 1 的无穷等比数列前n 项的和，当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做S =푙푖푚S n．

푛→∞

（2）

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【典型例题分析】

典例 1：已知数列{a n}的各项均为正数，满足：对于所有n∈N*，有4푆푛=(푎푛+1)2，其中S n 表示数列{a n}的前n 项푛

和．则푙푖푚

푎

푛

=（）

푛→∞

1

A．0 B．1 C．

2D．2

解：∵4S1＝4a1＝（a1+1）2，

∴a1＝1．当n≥2 时，4a n＝4S n﹣4S n﹣1＝（a n+1）2﹣（a n﹣1+1）2，

∴2（a n+a n﹣1）＝a n2﹣a n﹣12，又{a n}各项均为正数，

∴a n﹣a n﹣1＝2．数列{a n}是等差数列，

∴a n＝2n﹣1．

푛푛1∴푙푖푚2푛―1=

푙푖푚2―1

푎

푛

=푙푖푚

푛→∞푛→∞푛→∞

푛=

1

2

．

故选：C．

典例 2：已知点P n（a n，b n）在直线l：y＝2x+1 上，P1 为直线l 与y 轴的交点，等差数列{a n}的公差为 1（n∈N*）．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；

（2）设 c n =

1

푛|푃1푃푛|(푛≥2)，求푙푖푚(푐2+푐3+⋯+

푐

푛

)的值；

푛→∞

（3）若d n＝2d n﹣1+a n﹣1（n≥2），且d1＝1，求证：数列{d n+n}为等比数列，并求{d n}的通项公式．解：（1）∵点P n（a n，b n）在直线l：y＝2x+1 上，P1 为直线l 与y 轴的交点，

∴b n＝2a n+1，a1＝0，

∵等差数列{a n}的公差为 1（n∈N*），

∴a n＝0+（n﹣1）＝n﹣1．

b n＝2（n﹣1）+1＝2n﹣1．

（2）解：由（1）可得a n﹣a1＝n﹣1，b n﹣b1＝2n﹣1﹣1＝2n﹣2，

∴|P1P n| =(푎푛―푎1)2+(푏푛―푏1)2=(푛―1)2+4(푛―1)2=5(푛―1)（n≥2）．

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∴c n =

1

푛|푃1푃푛|=

1

5푛⋅(푛―1)

=

1

1

5(푛―

1―

1

푛)，

∴c2+c3+…+c n =1

5[(1―

11

2)+(2―

11

3)+⋯+(푛―

1―

1

푛)]=

1

5(1―

1

푛)，

∴푙푖푚(푐2+푐3+⋯+푐푛)=푙푖푚

푛→∞

푛→∞1

5(1―

1

푛)=

5

；

5

（3）证明：n≥2，d n＝2d n﹣1+a n﹣1，＝2d n﹣1+n﹣2，

∴d n+n＝2（d n﹣1+n﹣1），

∴数列{d n+n}为等比数列，

首项为d1+1＝2，公比为 2，

∴푑

푛

+푛=2푛，

∴푑

푛

=2푛―푛．

【解题方法点拨】

（1）只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限．

（2）运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件．（参与运算的数列都有极限，运算法则适应有限个数列情形）

1

（3）求数列极限最后往往转化为푛푚（m∈N）或q

n（|q|＜1）型的极限．

（4）求极限的常用方法：

①分子、分母同时除以n m 或a n．

②求和（或积）的极限一般先求和（或积）再求极限．

③利用已知数列极限（如等）．

④含参数问题应对参数进行分类讨论求极限．

∞

⑤∞﹣∞，

∞，0﹣0，等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限．

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