02-课件：5-5 机器人动力学建模(拉格朗日方程方法)
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第四章__机器人动力学ppt课件
pdii1npzii1opzji1apzk
pi 0i0j0k
§ 4.2 机械手动力学方程
n
Dij Tra(TcpepjIppiTpT) pmai,xj
n
mp piTkppjpdi•pdjprp(pdipjpdjpj)
pmai,xj
其中 kp
kkp2p2xxxy
kp2xz
kp2xy k2
pyy
力矩T1和T2的动力学表达式的一般形式和矩阵表达式为： T 1 D 1 1 1 D 1 2 D 1 1 1 2 1 D 1 2 2 2 2 D 1 1 1 2 2 D 1 2 2 1 1 D 1 （4.1-8) T 2 D 2 1 1 D 2 2 D 2 1 1 2 1 D 2 2 2 2 2 D 2 1 1 2 2 D 2 2 2 1 1 D 2 （4.1-9)
n
D i i m pp i 2 T x k p 2 x p i 2 x T y k p 2 y p i 2 y T z k p 2 zp d z i • p d i 2 p r p • ( p d i p i)
p m i ,jax
如果为旋转关节
n
D i i m p n 2 p T k p 2 x o x 2 p T k x p 2 y a y 2 p T k y p 2 z z p p • z p p 2 p r p • ( p p • n p ) i ( p p • o p ) j ( p p • a p ) k
惯量项和重力项在机器人的控制中特别重要，它们影响到系统的稳定性 和定位精度。向心力和哥氏力仅当机器人高速运动时才有意义。
§ 4.2 机械手动力学方程
4.2.2 动力学方程的简化
1 惯量项Dij的简化
理论力学-拉格朗日方程PPT
拉格朗日方程和牛顿方程是等价的，可以通过拉格朗日乘子法将其相互转化，从而更好地理解和解决力 学问题。
拉格朗日方程的推导
拉格朗日方程的推导基于哈密顿原则，通过对系统的运动原理进行最小作用 量的假设，推导出系统的运动方程。
拉格朗日方程的应用
拉格朗日方程在各个物理学和工程学领域都有广泛的应用，例如刚体动力学、 量子力学、控制理论等。
经典示例：单摆运动
单摆运动是拉格朗日方程应用的经典示例之一，通过建立摆角和摆长的关系，可以得到描述摆动的拉格 朗日方程。
拉格朗日方程的优点
相较于牛顿方程，拉格朗日方程具有独特பைடு நூலகம்优点，如坐标自由度更广、描述力学系统更简洁等。
拉格朗日方程在其他领域的应 用
除了物理学和工程学领域外，拉格朗日方程还在经济学、生物学等领域中有 着广泛的应用，为解决复杂问题提供了新的视角。
理论力学-拉格朗日方程 PPT
欢迎大家来到这个关于理论力学的PPT。本次内容将深入探讨拉格朗日方程的 定义、与牛顿方程的关系、推导方法、应用、经典示例和其他领域的应用。
拉格朗日方程的定义
拉格朗日方程是解决运动的一种优雅方法，通过定义拉格朗日函数和广义坐 标来描述系统的动力学行为。
拉格朗日方程与牛顿方程的关系
拉格朗日方程的推导
拉格朗日方程的推导基于哈密顿原则，通过对系统的运动原理进行最小作用 量的假设，推导出系统的运动方程。
拉格朗日方程的应用
拉格朗日方程在各个物理学和工程学领域都有广泛的应用，例如刚体动力学、 量子力学、控制理论等。
经典示例：单摆运动
单摆运动是拉格朗日方程应用的经典示例之一，通过建立摆角和摆长的关系，可以得到描述摆动的拉格 朗日方程。
拉格朗日方程的优点
相较于牛顿方程，拉格朗日方程具有独特பைடு நூலகம்优点，如坐标自由度更广、描述力学系统更简洁等。
拉格朗日方程在其他领域的应 用
除了物理学和工程学领域外，拉格朗日方程还在经济学、生物学等领域中有 着广泛的应用，为解决复杂问题提供了新的视角。
理论力学-拉格朗日方程 PPT
欢迎大家来到这个关于理论力学的PPT。本次内容将深入探讨拉格朗日方程的 定义、与牛顿方程的关系、推导方法、应用、经典示例和其他领域的应用。
拉格朗日方程的定义
拉格朗日方程是解决运动的一种优雅方法，通过定义拉格朗日函数和广义坐 标来描述系统的动力学行为。
拉格朗日方程与牛顿方程的关系
机器人动力学研究常用方法
机器人动力学研究常用方法机器人动力学研究是机器人学中的重要分支，主要研究机器人运动过程中的力学性质和动力学特性，旨在理解机器人运动的原理和控制策略。
在机器人动力学研究中，常用的方法主要包括基于拉格朗日动力学方程的建模方法和使用仿真工具进行分析。
一、基于拉格朗日动力学方程的建模方法拉格朗日动力学方程是机器人动力学中最常见的建模方法之一。
该方法利用拉格朗日力学原理，将机器人系统建立为运动学和物理学参数之间的方程。
基于拉格朗日动力学方程的建模方法通常分为两个步骤：建立拉格朗日函数和导出拉格朗日方程。
建立拉格朗日函数：首先，需要通过建立机器人的运动学模型来描述机器人的位姿。
然后，利用机器人的动力学特性，考虑机器人的质量、摩擦力、惯性力等因素，将机器人的动能和势能表达为拉格朗日函数。
该函数可以描述机器人系统的动力学特性。
导出拉格朗日方程：通过对拉格朗日函数求导，可以得到拉格朗日方程。
拉格朗日方程可以描述机器人系统的运动方程和力学特性。
在实际应用中，可以根据机器人的运动类型，如多关节机械手臂、移动机器人等，建立相应的拉格朗日方程。
二、使用仿真工具进行分析除了基于拉格朗日动力学方程的建模方法，使用仿真工具进行分析也是机器人动力学研究中的常用方法之一。
通过使用仿真工具，可以模拟机器人的运动过程，获取机器人的运动轨迹、力矩和速度等参数。
常用的机器人动力学仿真工具包括ADAMS（Automatic Dynamic Analysis of Mechanical Systems）、MATLAB/Simulink等。
这些仿真工具提供了可视化的界面和强大的仿真功能，可以帮助研究人员快速建立机器人模型，并对机器人系统进行动力学分析。
使用仿真工具进行分析的方法一般包括以下步骤：1. 建立机器人模型：根据机器人的结构和运动方式，利用仿真工具建立机器人的几何模型和运动学模型。
2. 设定初始条件：设置机器人的起始位置、速度和力矩等初始条件，并考虑外部环境的影响。
02-课件：5-5 机器人动力学建模(拉格朗日方程方法)
]+[ D]
动力学方程的典型形式
S状态空间方程
+ ( ) + ( ) 动力学方程也可以写成如下形式: T = M 0 & V 0,0
G (0)
：式中M(日)为操作臂的nxn质量矩阵危(€)的)是nxl的离心力和j :哥氏力矢量，
G(。)是nxl重力矢量，上式之所以被称为状态空: j间方程，是因为该式中的
T
式中：7是e l的关节驱动力矩矢量。
at oq oq
由于势能旦不显含。,因而动力学方程变为:
T=
d dEK dEK dEP d--t--d-1a-- dq dq
两连杆机械手示例
S二连杆机械手的动能与位能
先计算连杆1的动能旳和位能P1,已知: 12
— ^^1V1, V] — d101, P1 —甜]gh、, h、— — d
势能
连杆I具有势能为"=-m ° g0 Pct 式中，°g是3X1的重力加速度向量，Op。,是连杆i质心的位置矢量。
n
操作臂所具有的势能为各连杆势能之和：％ = £ EPi
Z=1
势能也为q的标量函数，记为Ep(q)。
势能
Q利用拉格朗日函数L,系统的动力学方程（称第二类拉格 朗日方程）为
d dL dL
二— — y2
1 d1 cos A]
d2 cos
— 颗 毎毎 (=O>1 +12)
H d； (A + A ) + 2 cos^
1+
)
— — (& ) m2gd1 cos&
m2gd2 cos
+ A2
动能与位能
*
这样，二连杆机械手系统的总动能和总位能
机器人学基础机器人动力学蔡自兴课件
机器人学基础机器人 动力学蔡自兴课件
contents
目录
• 机器人动力学概述 • 机器人动力学建模 • 机器人运动学与动力学关系 • 机器人动力学仿真与实验验证 • 机器人动力学在智能控制中应用 • 总结与展望
01
机器人动力学概述
机器人动力学定义 01 02
机器人动力学研究内容01源自动力学建模机器人运动学与动力学关系分析
运动学方程与动力学方程的关系
运动学方程描述了机器人的运动学特性，而动力学方程描述了机器人的动态特性，两者相互关联，共同决定了机 器人的运动行为。
运动学参数对动力学性能的影响
机器人的运动学参数，如连杆长度、关节角度范围等，对机器人的动力学性能有重要影响，如惯性、刚度等。
基于运动学的机器人动力学控制策略
仿真结果展示与分析
轨迹跟踪性能
01
动态响应特性
02
关节力矩变化
03
实验验证方案设计与实施
实验平台搭建 实验参数设置 数据采集与分析
05
机器人动力学在智能控制中应用
智能控制算法在机器人动力学中应用
模糊控制
01
神经网络控制
02
遗传算法优化
03
基于深度学习的机器人动力学控制策略
深度学习模型构建 数据驱动控制 自适应控制
基于运动学的轨迹规划
基于动力学的控制策略
04
机器人动力学仿真与实验验证
机器人动力学仿真方法介绍
动力学模型建立
根据拉格朗日方程或牛顿-欧拉方程，建立机器 人的动力学模型。
仿真软件选择
选择MATLAB/Simulink、ADAMS等仿真软件 进行动力学仿真。
参数设置与初始条件
设定机器人的物理参数、运动范围、初始状态等。
contents
目录
• 机器人动力学概述 • 机器人动力学建模 • 机器人运动学与动力学关系 • 机器人动力学仿真与实验验证 • 机器人动力学在智能控制中应用 • 总结与展望
01
机器人动力学概述
机器人动力学定义 01 02
机器人动力学研究内容01源自动力学建模机器人运动学与动力学关系分析
运动学方程与动力学方程的关系
运动学方程描述了机器人的运动学特性，而动力学方程描述了机器人的动态特性，两者相互关联，共同决定了机 器人的运动行为。
运动学参数对动力学性能的影响
机器人的运动学参数，如连杆长度、关节角度范围等，对机器人的动力学性能有重要影响，如惯性、刚度等。
基于运动学的机器人动力学控制策略
仿真结果展示与分析
轨迹跟踪性能
01
动态响应特性
02
关节力矩变化
03
实验验证方案设计与实施
实验平台搭建 实验参数设置 数据采集与分析
05
机器人动力学在智能控制中应用
智能控制算法在机器人动力学中应用
模糊控制
01
神经网络控制
02
遗传算法优化
03
基于深度学习的机器人动力学控制策略
深度学习模型构建 数据驱动控制 自适应控制
基于运动学的轨迹规划
基于动力学的控制策略
04
机器人动力学仿真与实验验证
机器人动力学仿真方法介绍
动力学模型建立
根据拉格朗日方程或牛顿-欧拉方程，建立机器 人的动力学模型。
仿真软件选择
选择MATLAB/Simulink、ADAMS等仿真软件 进行动力学仿真。
参数设置与初始条件
设定机器人的物理参数、运动范围、初始状态等。
第五章 机器人动力学
总动能为： 总动能为：
1 1 2 2 &2 2 Ek = (m1l1 + I yy1 + I yy 2 + m2 d 2 )θ1 + m2 d 2 2 2
(3)系统势能 (3)系统势能 因为： 因为：
g = [0 g 0]
则：
T
T
pc1 = [l1c1 l1s1
0]T
E p1 = m1 g pc1 = m1 gl1s1
i
q 和关节速
& q
的函数，因此，从上式可知， 的函数，因此，从上式可知，机器人
的动能是关节变量和关节速度的标量函数，记 的动能是关节变量和关节速度的标量函数， 为 Ek ( q, q ) ，可表示成： & 可表示成：
1 T & & & Ek ( q , q ) = q D ( q ) q 2
式中， nxn阶的机器人惯性矩阵 式中， D ( q ) 是nxn阶的机器人惯性矩阵
Байду номын сангаас
1 1 i Ti i T Eki = miν ciν ci + ω i I i ω i 2 2
系统的动能为n个连杆的动能之和，即： 系统的动能为n个连杆的动能之和，
Ek = ∑ Eki
i =1
n
1 T & & & Ek ( q , q ) = q D ( q ) q 2
由于 ν 度
ci
和 iω 是关节变量
5.1 机器人静力学
机器人静力学研究机器人静止或者缓慢运动时作用在手臂 上的力和力矩问题，特别是当手端与外界环境有接触力时， 上的力和力矩问题，特别是当手端与外界环境有接触力时，各 关节力矩与接触力的关系。 关节力矩与接触力的关系。 下图表示作用在机器人手臂杆件i上的力和力矩。 下图表示作用在机器人手臂杆件i上的力和力矩。其i-1fi 为杆件i 对杆i的作用力， ifi+1为杆i+1对杆 的作用力， 为杆i+1对杆i 为杆件i-1对杆i的作用力，-ifi+1为杆i+1对杆i的作用力，i1Ni为杆件 为杆件i 对杆i的作用力矩， iNi+1为杆i+1对杆 为杆i+1对杆i 1Ni为杆件i-1对杆i的作用力矩，-iNi+1为杆i+1对杆i的作用力 ci为杆 质心。 为杆i 矩，ci为杆i质心。
1 1 2 2 &2 2 Ek = (m1l1 + I yy1 + I yy 2 + m2 d 2 )θ1 + m2 d 2 2 2
(3)系统势能 (3)系统势能 因为： 因为：
g = [0 g 0]
则：
T
T
pc1 = [l1c1 l1s1
0]T
E p1 = m1 g pc1 = m1 gl1s1
i
q 和关节速
& q
的函数，因此，从上式可知， 的函数，因此，从上式可知，机器人
的动能是关节变量和关节速度的标量函数，记 的动能是关节变量和关节速度的标量函数， 为 Ek ( q, q ) ，可表示成： & 可表示成：
1 T & & & Ek ( q , q ) = q D ( q ) q 2
式中， nxn阶的机器人惯性矩阵 式中， D ( q ) 是nxn阶的机器人惯性矩阵
Байду номын сангаас
1 1 i Ti i T Eki = miν ciν ci + ω i I i ω i 2 2
系统的动能为n个连杆的动能之和，即： 系统的动能为n个连杆的动能之和，
Ek = ∑ Eki
i =1
n
1 T & & & Ek ( q , q ) = q D ( q ) q 2
由于 ν 度
ci
和 iω 是关节变量
5.1 机器人静力学
机器人静力学研究机器人静止或者缓慢运动时作用在手臂 上的力和力矩问题，特别是当手端与外界环境有接触力时， 上的力和力矩问题，特别是当手端与外界环境有接触力时，各 关节力矩与接触力的关系。 关节力矩与接触力的关系。 下图表示作用在机器人手臂杆件i上的力和力矩。 下图表示作用在机器人手臂杆件i上的力和力矩。其i-1fi 为杆件i 对杆i的作用力， ifi+1为杆i+1对杆 的作用力， 为杆i+1对杆i 为杆件i-1对杆i的作用力，-ifi+1为杆i+1对杆i的作用力，i1Ni为杆件 为杆件i 对杆i的作用力矩， iNi+1为杆i+1对杆 为杆i+1对杆i 1Ni为杆件i-1对杆i的作用力矩，-iNi+1为杆i+1对杆i的作用力 ci为杆 质心。 为杆i 矩，ci为杆i质心。
机器人运动学-拉格朗日方程 第9讲 动力学分析和力共15页文档
力矩
惯量
向心加速度系数 哥氏加速度系数
重力
T T 1 2 D D 1 21 1 D D 1 2 2 2 1 2 D D 1 21 1 D D 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 D D 1 21 1 D D 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 D D 1 2
Wittenburg）
研究动力学的目的
动力学正问题与机器人仿真有关； 动力学逆问题是为了实时控制的需要，利用动
力学模型，实现最优控制，以期达到良好的动 态性能和最优指标； 可利用动力学方程来考察不同惯量负载对机器 人的影响，以及根据期望的加速度来考察某些 负载的重要性。
拉格朗日函数
L(qi,q i)KP
ii
i
系统总动能为 n个连杆动能之和：
n
K Ki i 1
机器人系统势能
设连杆 i 的势能为 Pi ，连杆 i的质心在
0 坐标系中的位置矢量为Pci ，重力加速度 矢量在 0 坐标系中为g，则
Pi migTPci
机器人系统的势能为各连杆势能之和：
n
P Pi i 1
拉格朗日方程
d d tq L i q L i i (i1,2n,.)..,
哥氏加速度系数： D112D121m2d1d2sin2
D212D2210
重力项： D 1(m 1m 2)g1s di1 n m 2g2d sin 1(2) D 2m 2g2d sin 1(2)
作业
平面 RP机器人如图所示，用拉格朗日方法 求其动力学方程。
T T 1 2 D D 1 21 1 D D 1 2 2 2 1 2 D D 1 21 1 D D 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 D D 1 21 1 D D 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 D D 1 2
理论力学第十八章 拉格朗日方程 教学PPT
q t
h
h
j
h
（2）
ri ri (q1, q2 ,...qk ; t) 对任 qh求偏导，再对时间t求导得
d
dt
( ri ) qh
k j1 q j
(
ri qh
)qj
2 ri tqh
k 2r
i
j1 q q
q j
2r i
tq
j
h
h
（3）
式（3）右边与式（2）右边比较可得关系式
i 1
以上二式称为动力学普遍方程 或 达朗贝尔——拉格朗日方程。
n
Fi miai δ ri 0
i 1
n
Fix mi xi δ xi Fiy mi yi δ yi Fiz mizi δ zi 0
i 1
动力学普遍方程
但是，如果改用广义坐标，来描述系统的运动，将动力 学普遍方程表达成广义坐标的形式，就可得到与广义坐标 数目相同的一组独立的运动微分方程，这就是著名的拉格 朗日方程，用它求解较复杂的非自由质点系的动力学问题 常很方便。
拉格朗日方程的推导
设由 n 个质点组成的质点系，受到 s 个理想、完整约束，因此该系统 具有k= 3m- s个自由度，可用 k 个广义坐标 q1 , q2 , … , qk 来确定该系统的 位形。
动力学普遍方程－例题1
动力学普遍方程－例题1
δrB F*B B
m1g δrC
解： 球简化为质点，除主动力外，图上画出了
d
O α δ x
ω dα
δrA A F*A
m1g
飞球的惯性力F*A和F*B，两力大小相等，方 向相反。
h
h
j
h
（2）
ri ri (q1, q2 ,...qk ; t) 对任 qh求偏导，再对时间t求导得
d
dt
( ri ) qh
k j1 q j
(
ri qh
)qj
2 ri tqh
k 2r
i
j1 q q
q j
2r i
tq
j
h
h
（3）
式（3）右边与式（2）右边比较可得关系式
i 1
以上二式称为动力学普遍方程 或 达朗贝尔——拉格朗日方程。
n
Fi miai δ ri 0
i 1
n
Fix mi xi δ xi Fiy mi yi δ yi Fiz mizi δ zi 0
i 1
动力学普遍方程
但是，如果改用广义坐标，来描述系统的运动，将动力 学普遍方程表达成广义坐标的形式，就可得到与广义坐标 数目相同的一组独立的运动微分方程，这就是著名的拉格 朗日方程，用它求解较复杂的非自由质点系的动力学问题 常很方便。
拉格朗日方程的推导
设由 n 个质点组成的质点系，受到 s 个理想、完整约束，因此该系统 具有k= 3m- s个自由度，可用 k 个广义坐标 q1 , q2 , … , qk 来确定该系统的 位形。
动力学普遍方程－例题1
动力学普遍方程－例题1
δrB F*B B
m1g δrC
解： 球简化为质点，除主动力外，图上画出了
d
O α δ x
ω dα
δrA A F*A
m1g
飞球的惯性力F*A和F*B，两力大小相等，方 向相反。
第五章机器人动力学ppt课件
Eki
1 2
mi
T
ci
ci
1 2
i Ti i
Iiii
…1
Ek1
1 2
m1l1212
1 2
I
2
yy1 1
Ek 2
1 2
m2
(d
2 2
21
d
2 2
)
1 2
I
yy
2
21
总动能为：
Ek
1 2
(m1l12
I yy1
I yy2
m2d22 )12
1 2
m2
d
2 2
(3)系统势能 因为：
g [0 g 0]T
H (q, q) J T (q)U x (q, q) J T (q) 9q)ar (q, q)
G(q) J T (q)Gx (q)
3．关节力矩—操作运动方程 机器人动力学最终是研究其关节输入力矩与其输出的
操作运动之间的关系．由式(4)和(5)，得(6) ：
F M x (q)x U x (q, q) Gx (q) ……4
E p q
g(m1l1 m2d2 )c1
gm2 s1
(5)拉格朗日动力学方程 将偏导数代入拉格朗日方
程，得到平面RP机器人的动 力学方程的封闭形式：
d Ek Ek Ep
dt q q q
拉格朗日方程
1
2
(m1l12
I yy1
I yy2
m2
d
2 2
)1
2m2d21d2
m2d2 m2d212 m2 gs1
q)
1 2
qT
D(q)q
式中，D(q是) nxn阶的机器人惯性矩阵
第六章--机器人动力学-PPT
7/27/2024
49
首先介绍一下均匀杆（长度为2L，质量为m） 转动惯量的计算。
当均匀杆绕一端转动时，其转动惯量为：
J 2L l2dl 8 L3
0
3
由
m
2L
得
J 4 mL2 3
通常给出杆相对质心的转动惯量：
Jc
L l2dl 1 mL2
L
3
所以 J J c mL2
7/27/2024
考虑到小车只有水平方向（X）的运动，
故可列写小车运动方程
m0r G0u fx F0 r
7/27/2024
52
（2）摆体部分
Y
2L
c
m1 摆体质量 L 摆体质心c到支点距离 F1 摆体转动摩擦系数 J1c 摆体绕质心转动惯量
2 L f x
X
m1g L
r
J1 摆体绕支点的转动惯量
fx 小车对摆体作用力的水平分量
由已知条件可得
0 r 2m
m2 5kg
r 0
则有 m1r1 m2rg cos D1 10 1 5 2 9.8 1
196kg m2 / s2
N
r
M
m2
r1
m1
o
7/27/2024
25
则 (m1r12 m2r2 ) 2m2rr g cos m1r1 m2r
7/27/2024
6.1 机器人动力学研究概述
本章将在机器人运动学的基础上考虑到力对具有一定质 量或惯量的物体运动的影响，从而引入机器人动力学问 题； 机器人动力学研究机器人动态方程的建立，它是一组描 述机器人动态特性的数学方程； 目前主要采用两种理论来建立数学模型： （1）动力学基本理论，包括牛顿－欧拉方程 （2）拉格朗日力学，特别是二阶拉格朗日方程 如同运动学，动力学也有两个相反问题
机器人动力学牛顿欧拉方程教学课件
基于牛顿第二定律和欧拉方程，可以推导出 机器人动力学中的牛顿欧拉方程。
推导过程：首先根据机器人的连杆结构，将 机器人的运动分解为各个连杆的质心运动和 绕质心的转动；然后对每个连杆应用牛顿第 二定律和欧拉方程，得到每个连杆的力和力 矩平衡方程；最后将各个连杆的力和力矩平 衡方程联立起来，消去中间变量，得到机器 人整体的牛顿欧拉方程。
逆向动力学计算流程
介绍逆向动力学计算的基本步骤，包括期望轨迹规划、逆向求解关 节力、考虑约束条件等。
逆向动力学实例分析
以具体机器人为例，展示逆向动力学计算过程，包括数值计算和仿 真验证。
动力学仿真与验证
1 2
动力学仿真软件介绍
介绍常用的机器人动力学仿真软件，如 MATLAB/Simulink、ADAMS等。
实验结果分析
数据处理
将采集到的关节位置、速度和加速度数据进 行处理和分析，得到机器人的实际运动轨迹
。
轨迹对比
根据实验结果，评估机器人在运动过程中的 稳定性、精确性和动态性能。
性能评估
将实际运动轨迹与预设轨迹进行对比，分析 两者之间的差异及其原因。
教学反馈
将实验结果反馈给学生，帮助他们深入理解 机器人动力学的原理和实际应用。
机器人连杆质心与转动惯量计算
01
02
03
质心位置计算
通过积分方法或几何方法 计算连杆的质心位置。
转动惯量计算
根据连杆的质量分布和形 状，计算连杆相对于其质 心的转动惯量。
产品惯性矩阵计算
将所有连杆的转动惯量和 产品惯性矩阵组合起来， 得到整个机器人的产品惯 性矩阵。
机器人关节力与力矩计算
牛顿-欧拉方程
感谢您的观看
THANKS
机器人机构学基础课件第5章
• 牛顿-欧拉方法：以递归方式建立模型，由基于运动坐标系和 达朗贝尔原理来建立相应的动力学方程，没有多余信息，计算 效率高。
1
本章中包括的内容如下：
➢ 操作臂力雅可比与静力计算； ➢ 操作臂动力学-拉格朗日方法； ➢ 操作臂动力学-牛顿-欧拉方法； ➢ 操作臂动力学方程求解问题； ➢ 操作臂动力学参数辨识。
5.1 操作臂力雅可比与静力计算
为什么要进行机械臂静力计算：机械臂与外界环境之间的交互---力
和力矩。过程为：机械臂各关节的驱动装置提供关节力（或力矩），通过连 杆传递到末端执行器，克服外界作用力和力矩。
因此，各关节的驱动力（或力矩）与末端执行器施加的力（广义力，包括 力和力矩）之间的关系是机器人操作臂力控制的基础。
fi1,i fi,i1 mi g 0
ni1,i ni,i1 ri1,i ri,Ci fi1,i ri,Ci fi,i1 0
式中：ri1,i 为坐标系 i 的原点相对于坐标系i 1的位置矢量； ri,Ci 为质心相对于坐标系 i的位置矢量。
假设已知外界环境对操作臂末端执行器的作用力和力矩，那么可以由最后 一个连杆向零连杆（基座）依次递推，从而计算出每个连杆上的受力情况。
执行器（驱动器）输入的驱动动能总和给出：
n
Ek
Ekli Emi
i 1
我们采用微元的思想：在连杆i上取
一微元，其执行位置向量用 p*i 来表示， 微元体积为 dV ，当在整个连杆区域内
积分时，则微元可以表示整个连杆的运 行性能。
连杆i的动能分量可由下式给出：
1
E 2 kli
Vli
p*i T p*i dV
【例5-2】 下面以图5-4中所示的RP机械臂为例说明建立操作臂动力学方程的
1
本章中包括的内容如下：
➢ 操作臂力雅可比与静力计算； ➢ 操作臂动力学-拉格朗日方法； ➢ 操作臂动力学-牛顿-欧拉方法； ➢ 操作臂动力学方程求解问题； ➢ 操作臂动力学参数辨识。
5.1 操作臂力雅可比与静力计算
为什么要进行机械臂静力计算：机械臂与外界环境之间的交互---力
和力矩。过程为：机械臂各关节的驱动装置提供关节力（或力矩），通过连 杆传递到末端执行器，克服外界作用力和力矩。
因此，各关节的驱动力（或力矩）与末端执行器施加的力（广义力，包括 力和力矩）之间的关系是机器人操作臂力控制的基础。
fi1,i fi,i1 mi g 0
ni1,i ni,i1 ri1,i ri,Ci fi1,i ri,Ci fi,i1 0
式中：ri1,i 为坐标系 i 的原点相对于坐标系i 1的位置矢量； ri,Ci 为质心相对于坐标系 i的位置矢量。
假设已知外界环境对操作臂末端执行器的作用力和力矩，那么可以由最后 一个连杆向零连杆（基座）依次递推，从而计算出每个连杆上的受力情况。
执行器（驱动器）输入的驱动动能总和给出：
n
Ek
Ekli Emi
i 1
我们采用微元的思想：在连杆i上取
一微元，其执行位置向量用 p*i 来表示， 微元体积为 dV ，当在整个连杆区域内
积分时，则微元可以表示整个连杆的运 行性能。
连杆i的动能分量可由下式给出：
1
E 2 kli
Vli
p*i T p*i dV
【例5-2】 下面以图5-4中所示的RP机械臂为例说明建立操作臂动力学方程的
理论力学-拉格朗日方程省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
应用拉氏方程解题旳环节：
1. 鉴定质点系旳自由度k，选用合适旳广义坐标。必须注意： 不能漏掉独立旳坐标，也不能有多出旳（不独立）坐标。
2. 计算质点系旳动能T，表达为广义速度和广义坐标旳函数。
3. 计算广义力 Q j ( j1,2,,k )，计算公式为：
Qj
n
(X i
i 1
xi q j
Yi
yi q j
m2
l
2
2
m2
xl
cos
1 2
kx
2
m2
glcos
L x
(m1
m2
)
x
m2
l
cos
,
L x
kx
d dt
L x
(m1
m2
)
x
m2
lcos
m2l
2
sin
L
m2l
2
m2
xlcos
,
L
m2
xlsin
m2
glsin
d dt
(
L
)
m2
l
2
m2
xl
cos
m2
xl
sin
代入：
d dt
(
L q j
)
L q j
0
( j1,2,,k )
1
本章在达朗伯原理和虚位移原理旳基础上，进一步导 出动力学普遍方程和拉格朗日第二类方程（简称拉格朗日 方程）。动力学普遍方程和拉格朗日方程是研究动力学问 题旳有力手段，在处理非自由质点系旳动力学问题时，显 得十分简捷、规范。
2
第十七章 拉格朗日方程 §17–1 动力学普遍方程 §17–2 拉格朗日第二类方程 §17–3 拉格朗日第二类方程旳积分
第九讲(1) 机器人动力学 拉格朗日方程
qk I a p q p q j qk
2Ti TiT Trace Hi q q q p i p j 1 k 1 j k Ti mi g ri q p i p
n T
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
牛顿—欧拉方程实例
例2：如图所示为两杆平面机器人，为 了简单起见，我们假设每个杆件的质量集 中于杆件的前尾部，其大小为m1和m2。 解：每个杆件的质量中心 矢量为：
ˆ ˆ Pc1 l1 X1, Pc 2 l2 X 2
由于点质量假设， 每个杆件相对质心的惯 性张量为零，即：
I c1 0, I c 2 0
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
系统拉格朗日方程为：
d L L Qi dt qi qi
i 1, 2,...n
式中： n
qi q i ——第i个广义速度
——系统的广义坐标数 ——第i个广义坐标
4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
• 2、求系统动能
T i i T Ti 1 i Ek Eki Trace Hi q j qk 2 i 1 j 1 k 1 q j i 1 qk n n
Ti TiT 1 n i i Trace Hi q 2 i 1 j 1 k 1 qk j
4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介 作用在关节上的广义力为：
T j T j T Qi Trace Hj qk I ai qi q qi j i k 1 k
n j
2T j T j T Trace Hj qk qm q q qi j i k 1 m 1 k m
02-课件：5-6 拉格朗日法动力学建模(四连杆机械臂)
i
TiT qk
q
j
qk
1 2
6 i1
I
ai
q2 i
动能和位能的计算
位能的计算 ➢ 一个高度h处质量为m的物体，其位能为：
P mgh 连杆i上位置ir 处的质点dm，其位能为：
dPi dmg T0 r g T Ti i rdm
➢ 式中，gT [gx , g y , gz ,1]，Pi dPi gT Ti i rdm gT Ti i rdm
d ( 0r dt
p)
d dt
(T3
3
r p)
T3
3r p
对于连杆i上任一点的速度为：
v
dr dt
i j1
Ti q j
qj
ri
四连杆机械手
质点速度的计算
P点的加速度为:
0a p
d dt
(0vp )
d dt
(T3 3 rp )
d
dt
3 j 1
T3 qi
qi3
rp
3 T3 j 1 qi
ap p
n
2
i p
j
i 1
i k 1
Tr
ace
i q
2T I
jq k
i
i
TqkqTq j
k
动力学方程的推导
L
q p
1 2
ni i p j 1 k
i 1
Traceqi
2T I
jq
k
i
Ti T qk
qj qk
1 2
n i p
i i1
i k 1
Traceqi k2TqI
p
i
Tit qq q j j k
机器人动力学牛顿欧拉方程ppt课件
22
我们先研究质心的平 动，如图 4.1 所示，假设 刚体的质量为 ，质心在 m C 点，质心处的位置矢量 用 表示，则质心处的加 c 速度为 ；设刚体绕质心 c 转动的角速度用 表示， 绕质心的角加速度为 ， ω 根据牛顿方程可得作用在 ε 刚体质心C处的力为：
Y P r p z’ c z
y
y’ m
Mi-1,i—构件Li-1作用在构件Li上的力矩。 Fi —作用在第i个构件Li上的外力简化到 质心C处的合力，即外力的主矢。 Mi —作用在第i个构件Li上的外力矩简化 到质心C处的合力矩，即外力的主矩。
30
上述力和力矩包括了运动副中的约束 反力、驱动力、摩擦力等引起的作用力和 作用力矩。 作用在第i个构件上的所有力化简到 质心的总的合力为：
4.1、概述
4.2、机器人的牛顿-欧拉动力学方程
4.3、机器人拉格朗日动力学方程简介
12
为什么要研究机器人的动力学问题？ 1、为了运动杆件，我们必须加速或减速它 们，机器人的运动是作用于关节上的力矩与其 他力或力矩作用的结果。 2、力或力矩的作用将影响机器人的动态性 能。
13
机器人动力学研究内容： ›正问题：已知作用在机器人机构上的力和
构件受力图如图2所示将第i个构件l作为隔离体进行分析作用在其上的力和力矩有作用在i杆件上的外力和外力矩i1件作用在i杆件上的力和力矩以及i1i1i构件li1作用在构件li1i构件li1作用在构件li1i构件li1作用在构件li1i构件li1作用在构件l作用在第i个构件l上的外力简化到质心c处的合力即外力的主矢作用在第i个构件l上的外力矩简化到质心c处的合力矩即外力的主矩
I x mi ( yi2 zi2 ) ( y 2 z 2 )dm
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+ D111
D122
D222 _ D211 _
02
一 + D112
快
_
D212
「
就 D121
2+
肅 [^2 _
[
_ D221
(10.10)
拉格朗日动力学方程
S 一般形式和矩阵形式如下:
・.
・・
・/>
= ・/>+・・ +・・ T2 = + + + + + + + + + D211T1°1
••
••
•c
二— — y2
1 d1 cos A]
d2 cos
— 颗 毎毎 (=O>1 +12)
H d； (A + A ) + 2 cos^
1+
)
— — (& ) m2gd1 cos&
m2gd2 cos
+ A2
动能与位能
*
这样，二连杆机械手系统的总动能和总位能
分别为
K = K 1 + K 211 2 ・
]ห้องสมุดไป่ตู้
..
。 — =2（ mi + mQd：
I
拉格朗日动力学方程
有效惯量：关节i的加速度在关节i上产生
的惯 性力
毎 D21
D12
D22
+ D211
D122 D222
.2 I
+ D212 D221
就
.2
+ D2
肅
(10.10)
拉格朗日动力学方程
耦合惯量:关节i,j的加速度在关节j,i上产生的 惯性力
A D122
；
D222 _ _
房
D112 + D212
+：
m2d+
房 。 ）2 +m?d[d2 cos
2（； +
^1^2） （10.3）
— — — .= （m〔 + m2）gd 1 cos 01
乙 P = P1 +
m2gd2 cos（0] + 02）
拉格朗日动力学方程
S二连杆机械手系统的拉格朗日函数Z为:
L=K - P
渺 =2( mx + m 2 )d
]+[ D]
动力学方程的典型形式
S状态空间方程
+ ( ) + ( ) 动力学方程也可以写成如下形式: T = M 0 & V 0,0
G (0)
：式中M(日)为操作臂的nxn质量矩阵危(€)的)是nxl的离心力和j :哥氏力矢量，
G(。)是nxl重力矢量，上式之所以被称为状态空: j间方程，是因为该式中的
sin m2gd2
sin
) + 01 02
拉格朗日动力学方程
代入拉格朗日方程后,可求得力矩A和C的动力学方 程式：
d 8L 8L
dt 602 d02
(= m2 d； + m2 d]d2 cos 02)0
+
( +m2gd2 sin 0 + 02)
+ m2 d1d 2 sin
拉格朗日动力学方程
S式(10.6 )和(10.7 )的一般形式和矩阵形式如下：
势能
连杆I具有势能为"=-m ° g0 Pct 式中，°g是3X1的重力加速度向量，Op。,是连杆i质心的位置矢量。
n
操作臂所具有的势能为各连杆势能之和：％ = £ EPi
Z=1
势能也为q的标量函数，记为Ep(q)。
势能
Q利用拉格朗日函数L,系统的动力学方程（称第二类拉格 朗日方程）为
d dL dL
代入拉格朗日方程后,可求得力矩A和C的动力学方 程式：
竺 _ d_
9L
滴 dt [d01
毎
=[(m1 + m2) d 1 + m2d； + 2m2d 1 d2 cos 02
( ； ) ( +-m2md21dd2
sin
0+20m； 0+d(2mco1 +s
) 0m2 202
g-d21msi2nd
011d+2
则有、:cos
K] = _ 0 , m1d1 ； p — — m1 gd1 cos 01 ^2
二连杆机械手
动能与位能
□再求连杆2的动能及2和位能％。已知
1
2
K2 — & m2 V2，P2 — m2 S^2
动能与位能
S再求连杆2的动能灼和位能尸2。已知
二 式中
勇+ y2
二 x2
d1 sin A] + d2 sin (11 +A2)
----------------------------------------------------------------------------
1
= + \Ti
Di&
雄 + D110 + D1220 + Dm
+ D1200 + Di
(10.8):
1
I
:
-
& ^ ^ 0 ^ ^ ^ . : T2 = D2 + D22 2+D211 1+D222 +D212 2+D221 2 1+D2 (10 9)
矢量/(©,©)取决于位置和速度。 j
j M(0)和G(0)中的元素都是关于机械手所有关节位置。的复杂函j j数，而7(®的)
中的元素都是关于®和丽勺复杂函数。 :
~23
(10.10)
拉格朗日动力学方程
I
向心加速度系数:关节i,j的速度在关节j,i上产生的 向心力
T D11 D12
=
丄 D D111 122 丄 ..
丄 D112 ―丄
拉格朗日动力学方程
哥氏加速度系数:关节j,k的速度引起的在关节i上 产生的
哥氏力
[_
T2 ]
-Dii
_ D21
" D12
I
_ D22
； ：+m2 2d2 (Q + 2話2 + 房)
。 ++mm?2dg\dd^?
cos
cos(0
+
2
(&2 0)
+
0^2) +
(m^ +
m?)gd[ cos 0、
(X2J2)
拉格朗日动力学方程
S二连杆机械手系统的拉格朗日函数Z为:
代入拉格朗日方程
! _ F d dL dL, \ dt购,初
拉格朗日动力学方程
D21 °1
D101
D22 °2
D102
.少
••
••
D D D 110D122202
12D02212002 1100D22210201
D2
+ D12001
D1
重力项：关节i,j处的重力
』熾 Dii D12
Dili
D122 0
D112
D21 D22 _ 02 + D211 D222 _ _02 + D212 D
n
n个连杆的动能之和Ek = £Eki
:操作臂的动能是关节变量和关节速度的标量函数,记为兩史
操作臂的动能可以写为：Ek(q,q) = 1 qTD(q)q :_______________________________________2
!刀⑴是冰而介的操作臂惯愣巨阵。操作臂的动能五是其惯性矩!
1阵的二次型。由于动能鸟一为正，因而Q(q)是正定的矩阵。 :
T
式中：7是e l的关节驱动力矩矢量。
at oq oq
由于势能旦不显含。,因而动力学方程变为:
T=
d dEK dEK dEP d--t--d-1a-- dq dq
两连杆机械手示例
S二连杆机械手的动能与位能
先计算连杆1的动能旳和位能P1,已知: 12
— ^^1V1, V] — d101, P1 —甜]gh、, h、— — d
机器人动力学建模 （拉格朗日方程方法）
拉格朗日方程
S刚体动力学方程：拉格朗日动力学方程 拉格朗日函数L被定义为系统的动能K和位能P之差，即
L=K-P
/ \ 动能 位能
拉格朗日方程
式中，4表示坐标，q：为速度/ Fi为作用在第i个坐标 上的力
或力矩。
动能
□对于机器人操作臂或者多足机器人运动腿，其所具有的动能是