02-课件：5-5 机器人动力学建模(拉格朗日方程方法)

]+[ D]
动力学方程的典型形式
S状态空间方程
+ ( ) + ( ) 动力学方程也可以写成如下形式: T = M 0 & V 0,0
G (0)
：式中M(日)为操作臂的nxn质量矩阵危(€)的)是nxl的离心力和j :哥氏力矢量，
G(。)是nxl重力矢量，上式之所以被称为状态空: j间方程，是因为该式中的
势能
连杆I具有势能为"=-m ° g0 Pct 式中，°g是3X1的重力加速度向量，Op。,是连杆i质心的位置矢量。
n
操作臂所具有的势能为各连杆势能之和：％ = £ EPi
Z=1
势能也为q的标量函数，记为Ep(q)。
势能
Q利用拉格朗日函数L,系统的动力学方程（称第二类拉格 朗日方程）为
d dL dL
则有、:cos
K] = _ 0 , m1d1 ； p — — m1 gd1 cos 01 ^2
二连杆机械手
动能与位能
□再求连杆2的动能及2和位能％。已知
1
2
K2 — & m2 V2，P2 — m2 S^2
动能与位能
S再求连杆2的动能灼和位能尸2。已知
二 式中
勇+ y2
二 x2
d1 sin A] + d2 sin (11 +A2)
n
n个连杆的动能之和Ek = £Eki
:操作臂的动能是关节变量和关节速度的标量函数,记为兩史
操作臂的动能可以写为：Ek(q,q) = 1 qTD(q)q :_______________________________________2
!刀⑴是冰而介的操作臂惯愣巨阵。操作臂的动能五是其惯性矩!
1阵的二次型。由于动能鸟一为正，因而Q(q)是正定的矩阵。 :
+：
m2d+
房 。 ）2 +m?d[d2 cos
2（； +
^1^2） （10.3）
— — — .= （m〔 + m2）gd 1 cos 01
乙 P = P1 +
m2gd2 cos（0] + 02）
拉格朗日动力学方程
S二连杆机械手系统的拉格朗日函数Z为:
L=K - P
渺 =2( mx + m 2 )d
I
拉格朗日动力学方程
有效惯量：关节i的加速度在关节i上产生
的惯 性力
毎 D21
D12
D22
+ D211
D122 D222
.2 I
+ D212 D221
就
.2
+ D2
肅
(10.10)
拉格朗日动力学方程
耦合惯量:关节i,j的加速度在关节j,i上产生的 惯性力
A D122
；
D222 _ _
房
D112 + D212
二— — y2
1 d1 cos A]
d2 cos
— 颗 毎毎 (=O>1 +12)
H d； (A + A ) + 2 cos^
1+
)
— — (& ) m2gd1 cos&
m2gd2 cos
+ A2
动能与位能
*
这样，二连杆机械手系统的总动能和总位能
分别为
K = K 1 + K 211 2 ・
]
..
。 — =2（ mi + mQd：
； ：+m2 2d2 (Q + 2話2 + 房)
。 ++mm?2dg\dd^?
cos
cos(0
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+
2
(&2 0)
+
0^2) +
(m^ +
m?)gd[ cos 0、
(X2J2)
拉格朗日动力学方程
S二连杆机械手系统的拉格朗日函数Z为:
代入拉格朗日方程
! _ F d dL dL, \ dt购,初
拉格朗日动力学方程
sin m2gd2
sin
) + 01 02
拉格朗日动力学方程
代入拉格朗日方程后,可求得力矩A和C的动力学方 程式：
d 8L 8L
dt 602 d02
(= m2 d； + m2 d]d2 cos 02)0
+
( +m2gd2 sin 0 + 02)
+ m2 d1d 2 sin
拉格朗日动力学方程
S式(10.6 )和(10.7 )的一般形式和矩阵形式如下：
机器人动力学建模 （拉格朗日方程方法）
拉格朗日方程
S刚体动力学方程：拉格朗日动力学方程 拉格朗日函数L被定义为系统的动能K和位能P之差，即
L=K-P
/ \ 动能 位能
拉格朗日方程
式中，4表示坐标，q：为速度/ Fi为作用在第i个坐标 上的力
或力矩。
动能
□对于机器人操作臂或者多足机器人运动腿，其所具有的动能是
----------------------------------------------------------------------------
1
= + \Ti
Di&
雄 + D110 + D1220 + Dm
+ D1200 + Di
(10.8):
1
I
:
-
& ^ ^ 0 ^ ^ ^ . : T2 = D2 + D22 2+D211 1+D222 +D212 2+D221 2 1+D2 (10 9)
(10.10)
拉格朗日动力学方程
I
向心加速度系数:关节i,j的速度在关节j,i上产生的 向心力
T D11 D12
=
丄 D D111 122 丄 ..
丄 D112 ―丄
拉格朗日动力学方程
哥氏加速度系数:关节j,k的速度引起的在关节i上 产生的
哥氏力
[_
T2 ]
-Dii
_ D21
" D12
I
_ D22
+ D111
D122
D222 _ D211 _
02
一 + D112
快
_
D212
「
就 D121
2+
肅 [^2 _
[
_ D221
(10.10)
拉格朗日动力学方程
S 一般形式和矩阵形式如下:
・.
・・
・/>
= ・/>+・・ +・・ T2 = + + + + + + + + + D211T1°1
••
••
•c
T
式中：7是e l的关节驱动力矩矢量。
at oq oq
由于势能旦不显含。,因而动力学方程变为:
T=
d dEK dEK dEP d--t--d-1a-- dq dq
两连杆机械手示例
S二连杆机械手的动能与位能
先计算连杆1的动能旳和位能P1,已知: 12
— ^^1V1, V] — d101, P1 —甜]gh、, h、— — d
D21 °1
D101
D22 °2
D102
.少
••
••
D D D 110D122202
12D02212002 1100D22210201
D2
+ D12001
D1
重力项：关节i,j处的重力
』熾 Dii D12
Dili
D122 0
D112
D21 D22 _ 02 + D211 D222 _ _02 + D212 D
代入拉格朗日方程后,可求得力矩A和C的动力学方 程式：
竺 _ d_
9L
滴 dt [d01
毎
=[(m1 + m2) d 1 + m2d； + 2m2d 1 d2 cos 02
( ； ) ( +-m2md21dd2
sin
0+20m； 0+d(2mco1 +s
) 0m2 202
g-d21msi2nd
011d+2
矢量/(©,©)取决于位置和速度。 j
j M(0)和G(0)中的元素都是关于机械手所有关节位置。的复杂函j j数，而7(®的)
中的元素都是关于®和丽勺复杂函数。 :
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