多元统计分析第8章作业题选讲

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M 12
^
0.19 0.30 0.37 0.21 0.08 0.27 0.35 0.20 0.07 0.24 0.37 0.18 0.19 0.21 0.29 0.16 0.23 0.32 0.36 0.27
试对职业满意度与职业特性进行典型相关分析。
注：以下8.8题利用SPSS软件计算，试写出上机操作 步骤、输出结果以及结果解释与分析。
1.00 0.49 0.53 0.49 0.51 1.00 0.57 1.00 0.46 0.48 1.00 0.53 0.57 0.57 1.00
^
M 11
^
M 22
1.00 0.43 0.27 0.24 0.34 0.37 0.40
b1r b2 r bqr
a12 a1r a22 a2 r a p 2 a pr
多元统计分析
cov(xi , u j ) cov(xi , a1 j x1 a2 j x2 a pj x p )
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X4
70 70 64 62 62 62 56 54 55 63 49 62 59 57 57 59 54
X5
81 68 73 56 45 44 37 40 45 62 64 47 44 81 64 37 68
36
46 42 23 41
59
56 60 55 63
51
57 54 59 49
45
49 49 53 46
(2) (1) (2) (2) 在 D U 2 D(a X ) D V2 D(b X ) 1
cov U1,U2 cov V1,V2 0 的条件下使得
达到最大。 （3）如此继续下去，直到两组变量之间的相关性被提取完毕 为止。
2 2
U V = (a(2)X(1) , b(2)X(2) )
在 D(a(1)X(1) ) D(b(1)X(2) ) 1 的条件下，使得
(a(1)X(1) , b(1)X(2) )
多元统计分析
(2) (1) (2) (1) U2 a1(2) X1(1) a2 X2 aP XP a(2) X(1)
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(2) (2) (2) (2) V2 b1(2) X1(2) b2 X2 bq Xq b(2) X(2)
多元统计分析
8.2 什么是典型变量？它具有哪些性质？
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答：在典型相关分析中，在一定条件下选取原始两组变量的系 列线性组合配对以反映两组变量之间的线性关系，被选出的线 性组合配对称为典型变量。具体来说，
(1) (1) (2) (2) X (1) ( X1(1) , X 2 ,, X p ) 、 X (2) ( X1(2) , X 2 ,, X q )
Ui a X
(i ) 1
(1) 1
a X
(i ) 2
(1) 2
a X
(i ) P
(1) P
a X(1)
(i )
(i ) (2) (i ) (2) Vi b1(i ) X1(2) b2 X2 bq Xq b(i) X(2)
在
D(a(1)X(1) ) D(b(1)X(2) ) 1
多元统计分析
第8章作业题
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8.1 什么是典型相关分析？简述其基本思想。 8.2 什么是典型变量？它具有哪些性质？ 8.3 试分析一组变量的典型变量与其主成分的联系与区别。 8.4 简述典型相关分析中载荷分析的内容及作用。 8.5 简述典型相关分析中冗余分析的内容及作用。 8.6 对140名学生进行了阅读速度 、阅读能力 、运算速度 和运算能力 的四种测验，所得成绩的相关系数阵为：
D(Uk ) 1, D(Vk ) 1
(k 1, 2,, r)
Cov(Ui ,U j ) 0,
性质2
Cov(Vi ,V j ) 0 (i j)
不同组变量的典型变量之间的相关性
i 0 Cov(U i ,V j ) 0 0 (i j , i 1, 2, , r ) (i j ) ( j r)
是两组相互关联的随机变量，分别在两组变量中选取若干有代 表性的综合变量Ui、Vi是原变量的线性组合。
多元统计分析
(i ) (i ) (1) (i ) (1) Ui a1 X1(1) a2 X2 aP XP a(i ) X(1)
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(i ) (2) (i ) (2) Vi b1(i ) X1(2) b2 X2 bq Xq b(i) X(2)
8.8 某年级学生的期末考试中，有的课程闭卷考试，有的课 程开卷考试。44名学生的成绩如下表：
多元统计分析
闭卷 开卷 闭卷 开卷
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力学
物理
代数
分析
统计
力学
物理
代数
分析
统计
X1
77 75 63 51 62 52 50 31 44 62 44 12 54 44 46 30 40
X2
82 73 63 67 60 64 50 55 69 46 61 58 49 56 52 69 27
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答： 典型相关分析是研究两组变量之间相关关系的一种多元 统计方法。用于揭示两组变量之间的内在联系。典型相关分 析的目的是识别并量化两组变量之间的联系。将两组变量相 关关系的分析转化为一组变量的线性组合与另一组变量线性 组合之间的相关关系。 基本思想： （1）在每组变量中找出变量的线性组合，使得两组的线性组 合之间具有最大的相关系数。即： (1) (2) (2) ) 、 X(2) ( X1(2) , X 2 ,, X q ) 若设 X(1) ( X1(1) , X 2(1) ,, X p
nv ( v2 , y v2 , y v2 , y ) / q
多元统计分析
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8.3 试分析一组变量的典型变量与其主成分的联系与区别。
多元统计分析
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8.4 简述典型相关分析中载荷分析的内容及作用。
答：作用：进行典型载荷分析有助于更好解释分析已提取的
p 对典型变量。所谓的典型载荷分析是指原始变量与典
1.00 0.33 1.00 0.26 0.25 1.00 0.54 0.46 0.28 0.32 0.29 0.58 0.45 0.30 0.27
1.00 0.35 1.00 0.59 0.31 1.00
多元统计分析
0.33 0.30 ^ M 21 0.31 0.24 0.38 0.32 0.20 0.21 0.16 0.23 0.14 0.22 0.12 0.32 0.17
51
32 33 44 34
56
45 40 48 46
40
42 63 48 52
56
55 53 49 53
54
56 54 51 41
5
40 25 37 40
多元统计分析
试对闭卷 X1，X 2 和开卷 相关分析。
3 4 5
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X ，X ，X 两组变量进行典型
多元统计分析
8.1 什么是典型相关分析？简述其基本思想。
型变量之间相关性分析。主要内容如下： 令
a (1) (2) a * A ( p) a
X3
67 71 65 65 58 60 64 60 53 61 52 61 56 55 65 50 54
X4
67 66 70 65 62 63 55 57 53 57 62 63 47 61 50 52 61
X5
81 81 63 68 70 54 63 76 53 45 45 67 53 36 35 45 61
多元统计分析
原始变量相关系数矩阵 X典型变量系数矩阵
R11 R R21 R12 R22
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a11 a 21 A a1 a 2 ar pr a p1 Y典型变量系数矩阵 b11 b12 b b22 21 B b1 b 2 br qr b b q1 q 2
cov(xi , a1 j x1 ) cov(xi , a2 j x2 ) cov(xi , a pj x p )

k 1

p
akj x , x
i
k
( xi , u j ) akj x , x / x x
k 1
i k
p
i i
cov(xi , v j ) cov(xi , b1 j y1 b2 j y2 bpj yq ) cov(xi , b1 j y1 ) cov(xi , b2 j y2 ) cov(xi , bpj y p )
0.03 0.24 0.59 1 0.03 1 0.06 0.07 R＝ 0.24 0.06 1 0.24 0.59 0.07 0.24 1
试对阅读本领与运算本领之间进行典型相关分析。
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8.7 邓讷姆（Dunham）在研究职业满意度与职业特性的相关 程度时，对从一大型零售公司各分公司挑出的784位行政人 员测量了5个职业特性变量：用户反馈、任务重要性、任务 多样性、任务特性及自主性，7个职业满意度变量：主管满 意度、事业前景满意度、财政满意度、工作强度满意度、公 司地位满意度、工种满意度及总体满意度。两组变量的样本 相关矩阵为：

k 1

q
bkj x , y
i
k
( xi , v j ) bkj x , y / x x
k 1
i k
q
i i
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cov( yi , u j ) cov( yi , a1 j x1 a2 j x2 a pj x p )
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cov( yi , a1 j x1 ) cov( yi , a2 j x2 ) cov( yi , a pj x p )
(1) (1) (1) (2) ( a X , b X ) 的条件下，使得
达到最大，则称 a(1)X(1) 、b(1) X(2) 是
X (1) 、 X(2)
的第一对典型相关变量。
多元统计分析
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典型相关量化了两组变量之间的联系，反映了两组变量 的相关程度，具有下列性质： 性质1 典型变量的方差为1，且同一组变量的典型变量之间 互不相关。即

( yi , u j ) akj y , x / y y
k 1
i k
k 1 p

p
akj y , x
i
k
i i
cov( yi , v j ) cov( yi , b1 j y1 b2 j y2 bpj yq ) cov(xi , b1 j y1 ) cov(xi , b2 j y2 ) cov(xi , bpj y p ) q bkj y , y
X1
63 55 53 59 64 55 65 60 42 31 49 49 54 18 32 46 31
X2
78 72 61 70 72 67 63 64 69 49 41 53 53 44 45 49 42
X3
80 63 72 68 60 59 58 56 61 62 61 49 46 50 49 53 48
mv ( v2 , x v2 , x v2 , x ) / p
i i 1 i 2 i p
y组原始变量被ui解释的方差比例
nu ( u2 , y u2 , y u2 , y ) / q
i i 1 i 2 i qቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y组原始变量被vi解释的方差比例
i i 1 i 2 i q
( yi , v j ) bkj y , y / y y
k 1
i k
k 1
q
i
k
i i
多元统计分析
X组原始变量被ui解释的方差比例
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mu ( u2 , x u2 , x u2 , x ) / p
i i 1 i 2 i p
X组原始变量被vi解释的方差比例