平行线的性质及平移

第二讲平行线的性质及平移教学目标:1.根据平行线的性质判断角度关系（重点）2.平行线中添加辅助线和动点问题3.平行线的性质和实际运用教学过程：请同学们回顾下平行的判定方法！判定方法:(1) 同角相等,两直线平行;(2)内错角相等,两直线平行;(3)同旁内角互补,两直线平行;(4)在同一平面内,垂直于同一直线的两直线平行.性质: (1)两直线平行,同位角相等;(2)两直线平行,内错角相等;(3)两直线平行,同旁内角互补.1.将直角三角板和直尺如图放置．若∠1＝20°，则∠2的度数为( )A．60° B．50° C．40° D．30°第1题图第2题图2．如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，AC是∠BAD的平分线，则与∠1相等的角(∠1除外)有( ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个3．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯的角∠A＝120°，第二次拐弯的角∠B＝150°，第三次拐弯的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯前的道路平行，则∠C的度数为( )A．120°B．130°C．140°D．150°填空题4．如图，要使AD∥BC，需添加一个条件，这个条件可以是 ________．(只需写出一种情况)第4题图第5题图5.如图，直线AB，CD被直线AE所截．若AB∥CD，∠A＝110°，则∠1＝________°.6．用两个相同的三角板按照如图所示方式作平行线，理由是________________________．第6题图第7题图7.如图，已知l1∥l2，直线l与l1，l2分别相交于C，D两点，把一块含30°角的三角尺按如图位置摆放．若∠1＝130°，则∠2＝________°.8.如图是一台起重机的工作简图，前后两次吊杆位置OP1，OP2与绳线的夹角分别是30°和70°，则夹角∠P1OP2＝________°.第8题图第9题图9.如图是一小区大门的栏杆示意图，当栏杆抬起时，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝________度．1.C2．C 解析：∠DCA，∠ACB，∠EAO，∠EOA，∠BAO都和∠1相等．3．D 解析：过点B作直线MN∥AE即可．4．∠1＝∠4(答案不唯一) 5.706．内错角相等，两直线平行7.208．40 解析：如图，过O作OA∥P2C，则∠AOP2＝∠P2＝70°.由题意，得P1B∥P2C，∴OA∥P1B，∴∠AOP1＝∠P1＝30°，∴∠P1OP2＝∠AOP2－∠AOP1＝70°－30°＝40°.9．270平行线中添加辅助线问题：◆类型一含一个拐点的平行线问题1．如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放．若∠1＝58°，则∠2的度数为( ) A．30° B．32° C．42° D．58°第1题图第2题图2．如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则∠α与∠β满足( )A．∠α＋∠β＝180° B．∠β－∠α＝90°C．∠β＝3∠α D．∠α＋∠β＝90°3．阅读下列解题过程，然后解答后面的问题．如图①，已知AB∥CD，∠B＝35°，∠D＝32°，求∠BED的度数．解：过E作EF∥AB.∵AB∥CD，∴CD∥EF.∵AB∥EF，∴∠1＝∠B＝35°.又∵CD∥EF，∴∠2＝∠D ＝32°，∴∠BED＝∠1＋∠2＝35°＋32°＝67°.如图②、图③，是明明设计的智力拼图玩具的一部分，现在明明遇到两个问题，请你帮他解决．(1)如图②，已知∠D＝30°，∠ACD＝65°，为了保证AB∥DE，∠A应多大？(2)如图③，要使GP∥HQ，则∠G，∠GFH，∠H之间有什么关系？◆类型二含多个拐点的平行线问题4．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，则∠BCD的大小为( )A．20° B．30° C．40° D．70°第4题图第5题图5．如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2的度数为________．6．如图，给出下列三个论断：①∠B＋∠D＝180°；②AB∥CD；③BC∥DE.请你以其中两个论断作为已知条件，填入“已知”栏中，以剩余一个论断作为结论，填入“结论”栏中，使之成为一道由已知可得到结论的题目，并解答该题．已知：______________，结论：______________．解：7．如图①，AB∥CD，EOF是直线AB，CD间的一条折线．(1)试说明：∠EOF＝∠BEO＋∠DFO；(2)如果将折一次改为折两次，如图②，则∠BEO，∠EOP，∠OPF，∠PFC之间会满足怎样的数量关系？并说明理由．参考答案与解析1．B 2.B3．解：(1)∠A＝∠ACD－∠D＝35°.(2)过点F向右作FM∥PG.∵GP∥HQ，∴FM∥HQ，∴∠G＋∠MFG＝180°，∠H＋∠MFH＝180°，∴∠G＋∠GFH＋∠H＝360°.4．B 解析：如图，过C向右作CM∥AB.∵AB∥DE，∴DE∥CM.∵∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，∴∠BCM＝70°，∠DCM＝180°－140°＝40°，∴∠BCD＝∠BCM－∠DCM＝70°－40°＝30°.5．140°解析：如图，延长AE交l2于点B.∵l1∥l2，∴∠3＝∠1＝40°.∵∠α＝∠β，∴AB∥CD，∴∠2＋∠3＝180°，∴∠2＝180°－∠3＝180°－40°＝140°.6．解：①②③∵AB∥CD，∴∠B＝∠C.又∵∠B＋∠D＝180°，∴∠C＋∠D＝180°，∴BC∥DE(答案不唯一)．7．解：(1)如图①，过O向左作OM∥AB，∴∠1＝∠BEO.∵AB∥CD，∴OM∥CD，∴∠2＝∠DFO，∴∠1＋∠2＝∠BEO＋∠DFO，即∠EOF＝∠BEO＋∠DFO.(2)∠EOP＋∠PFC＝∠BEO＋∠OPF.理由如下：如图②，过O向左作OQ∥AB，过P向右作PN∥CD.∵AB∥CD，∴OQ∥PN∥AB∥CD，∴∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠PFC，∴∠1＋∠2＋∠PFC＝∠BEO＋∠3＋∠4，∴∠EOP＋∠PFC＝∠BEO＋∠OPF.平行线间的动点问题：1.如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°(1)求证：AB∥CD；(2)如图2，由三角形内角和可知∠E=90°，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD，当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD否存在确定的数量关系？并证明；(3)如图3，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，①当点Q在射线CD上运动时(点C除外)∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？猜想结论并说明理由．②当点Q在射线CD的反向延长线上运动时(点C除外)∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？猜想结论，不需说明理由．证明：（1）∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∴∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE，∵∠EAC+∠ACE=90°，∴∠BAC+∠ACD=180，∴AB∥CD；（2）∠BAE+∠MCD=90°；过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥∥AB∥CD，∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，∵∠E=90°，∴∠BAE+∠ECD=90°，∵∠MCE=∠ECD，∴∠BAE+∠MCD=90°；（3）如图3：∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°，∵∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°，∴∠BAC=∠PQC+∠QPC；如图4：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACQ∵∠PQC+∠PCQ+∠ACQ=180°，∴∠PQC+∠QPC+∠BAC=180°．解析：（1）根据角平分线的性质可得∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE，再由∠EAC+∠ACE=90°可得∠BAC+∠ACD=180，进而得到AB∥CD；（2）过E作EF∥AB，证明EF∥∥AB∥CD，可得∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，再由∠E=90°，可得∠BAE+∠ECD=90°，进而得到∠BAE+∠MCD=90°；（3）根据平行线的性质结合三角形内角和定理可得∠CPQ+∠CQP与∠BAC数量关系举一反三：2.如图，已知直线AB∥CD，∠A=∠C=100°，E、F在CD上，且满足∠DBF=∠ABD，BE平分∠CBF．(1)直线AD与BC有何位置关系？请说明理由．(2)求∠DBE的度数．(3)若平行移动AD，在平行移动AD的过程中，是否存在某种情况，使∠BEC=∠ADB？若存在，求出其度数；若不存在，请说明理由．（1）AD∥BC．证明：∵AB∥CD，∴∠A+∠ADC=180°，又∵∠A=∠C∴∠ADC+∠C=180°，∴AD∥BC；（2）解：∵AB∥CD，∴∠ABC=180°-∠C=80°，∵∠DBF=∠ABD，BE平分∠CBF，∴∠DBE=∠ABF+∠CBF=∠ABC=40°；（3）存在．解：设∠ABD=∠DBF=∠BDC=x°．∵AB∥CD，∴∠BEC=∠ABE=x°+40°；∵AB∥CD，∴∠ADC=180°-∠A=80°，∴∠ADB=80°-x°．若∠BEC=∠ADB，则x°+40°=80°-x°，得x°=20°．∴存在∠BEC=∠ADB=60°．解析：（1）根据平行线的性质，以及等量代换证明∠ADC+∠C=180°，即可证得AD∥BC；（2）由直线AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠ABC的度数，又由∠DBE=∠ABC，即可求得∠DBE的度数．（3）首先设∠ABD=∠DBF=∠BDC=x°，由直线AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等，可求得∠BEC与∠ADB的度数，又由∠BEC=∠ADB，即可得方程：x°+40°=80°-x°，解此方程即可求得答案．课后提升1.如图，把一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠后，D ，C 分别在D ′，C ′的位置上，ED ′与BC 的交点为G .若∠EFG ＝55°，求∠1与∠2的度数．解：∵AD ∥BC ，∴∠DEF ＝∠EFG ＝55°.(2分)由折叠可知∠GEF ＝∠DEF ＝55°，∴∠1＝180°－2×55°＝70°.(6分)∵AD ∥BC ，∴∠2＝180°－∠1＝110°.(8分)2.如图，已知∠ABC 与∠ECB 互补，∠1＝∠2，则∠P 与∠Q 一定相等吗？为什么？解：∠P ＝∠Q .(2分)理由如下：∵∠ABC ＋∠ECB ＝180°，∴AB ∥ED ，∴∠ABC ＝∠BCD .(5分)∵∠1＝∠2，∴∠ABC －∠1＝∠BCD －∠2，即∠PBC ＝∠BCQ ，∴PB ∥CQ ，(8分)∴∠P ＝∠Q .(10分)3.如图，已知∠MBA ＋∠BAC ＋∠NCA ＝360°. (1)试说明：MD ∥NE ；(2)若∠ABD ＝70°，∠ACE ＝36°，BP ，CP 分别平分∠ABD ，∠ACE ，求∠BPC 的度数．解：(1)如图，过A 向左作AF ∥MD .(1分)∴∠MBA ＋∠BAF ＝180°.(3分)∵∠MBA ＋∠BAC ＋∠NCA ＝360°，∴∠FAC ＋∠NCA ＝180°，∴AF ∥NE .(4分)∵AF ∥MD ，∴MD ∥NE .(5分)(2)如图，过P 向左作PQ ∥MD ，由(1)知MD ∥NE ，∴PQ ∥NE .(6分)∵BP 平分∠ABD ，∴∠DBP ＝12∠ABD ＝35°.同理可得∠PCE ＝12∠ACE ＝18°.(8分)∵PQ ∥MD ，PQ ∥NE ，∴∠BPQ ＝∠DBP ＝35°，∠CPQ＝∠PCE ＝18°，∴∠BPC ＝∠BPQ ＋∠CPQ ＝53°.(10分)4.AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ABC，∠ADC的平分线交于点E(不与B，D点重合)．∠ABC=n°，∠ADC=80°．(1)若点B在点A的左侧，求∠BED的度数(用含n的代数式表示)；(2)将(1)中的线段BC沿DC方向平移，当点B移动到点A右侧时，请画出图形并判断∠BED的度数是否改变．若改变，请求出∠BED的度数(用含n的代数式表示)；若不变，请说明理由．解：（1）过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=n°，∠ADC=80°，∴∠ABE=∠ABC=n°，∠CDE=∠ADC=40°，∴∠BED=∠BEF+∠DEF=n°+40°；（2）∠BED的度数改变，过点E作EF∥AB，如图，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=n°，∠ADC=80°，∴∠ABE=∠ABC=n°，∠CDE=∠ADC=40°，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠BEF=180°-∠ABE=180°-n°，∠CDE=∠DEF=40°，∴<BED=<BEF+<DEF=180°-n°+40°=220°-n°．解析：（1）过点E作EF∥AB，根据平行线性质推出∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，根据角平分线定义得出∠ABE=∠ABC=n°，∠CDE=∠ADC=40°，代入∠BED=∠BEF+∠DEF求出即可；（2）过点E作EF∥AB，根据角平分线定义得出∠ABE=∠ABC=n°，∠CDE=∠ADC=40°，根据平行线性质得出∠BEF=180°-∠ABE=180°-n°，∠CDE=∠DEF=40°，代入∠BED=∠BEF+∠DEF求出即可．。