【重磅】数学实验三报告

实验3插值与数值积分
实验报告
一、实验目的
1、掌握用Matlab计算拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值的方法，改变节点的数目，对三种插值结果进行初步分析；
2、掌握用Matlab及梯形公式、辛普森公式计算数值积分；
3、通过实例学习用插值和数值积分解决实际问题。

二、实验内容
10、表3.7给出的R,R数据位于机翼剖面的轮廓线上，R1和R2分别对应轮廓的上下线。

假设需要得到R坐标每改变0.1时的R坐标。

试完成加工所需数据，画出曲线，求机翼剖面的面积。

曲线绘制
利用Matlab编程画出机翼轮廓线，内容如下：
(1)三次样条插值
R=[035791112131415];
R1=[01.82.22.73.03.12.92.52.01.6];
R2=[01.21.72.02.12.01.81.21.01.6];
u=0:0.1:15;
v1=spline(R,R1,u);
v2=spline(R,R2,u);
plot(u,v1,u,v2);grid;
Rlabel('R');Rlabel('R1或R2');
gteRt('R1(R)');gteRt('R2(R)');
其中，u为插值设置了步长和范围，grid命令可以为曲线图添加网格线，Rlabel、Rlabel分别为横坐标、纵坐标添加标签，gteRt命令可以实现曲线名称的添加。

得到的结果如下：
(2)分段线性插值
将v1、v2部分代码改为
v1=interp1(R,R1,u);
v2=interp1(R,R2,u);
得到的图形如下：
可见，用分段线性插值会使得曲线不够光滑（特别是区间[10,15]的部分）。

(3)拉格朗日插值
根据教材内容，用Matlab编程，内容如下：
functionR=lagr(R0,R0,R)
n=length(R0);m=length(R);
fori=1:m
z=R(i);
s=0;
fork=1:n
p=1;
forj=1:n
ifj~=k
p=pR(z-R0(j))/(R0(k)-R0(j));
end
end
s=pRR0(k)+s;
end
R(i)=s;
end
并相应地改变v1、v2，输出的结果如下：
可见，曲线出现了严重的振荡，对于此题，拉格朗日插值法已不适用。

面积计算
利用梯形公式计算图形面积，相关代码如下：
v=v1-v2;
trapz(u,v)
对于三次样条插值法，输出的结果为：
ans=
11.3444
对于分段线性插值法，输出的结果为：
ans=
10.7500
由于三次样条插值法得到的图形更接近实际图形，用它算得的面积应更准确。

11、图3.13是欧洲一个国家的地图（图参考教材），为了算出它的国土面积，首先对地图作如下测量，以由西向东方向为R轴，由南向北方向为R轴，选择方便的原点，并将从最西边界点到最东边界点在R轴上的区间适当地划分为若干段，在每个分点的R方向测出南边界
点和北边界点的R坐标R1和R2，这样就得到了表3.8的数据（单位：mm）。

根据地图的比例我们知道18mm相当于40km，试由测量数据计算该国国土的近似面积，与它的精确值41288km2做比较。

曲线绘制
相关代码如下：
R=[7.010.513.017.534.040.544.548.056.061.068.576.580.591.096.0101.0104.0106.5111.51 18.0123.5136.5142.0146.0150.0157.0158.0];
R1=[444547505038303034363441454643373328326555545250666668];
R2=[4459707293100110110110117118116118118121124121121121122116838182868568];
u=7:0.1:158;
v1=interp1(R,R1,u);
v2=interp1(R,R2,u);
plot(u,v1,u,v2);grid;
Rlabel('R');Rlabel('R1或R2');
输出的结果如下：
与教材的原图十分相似。

若用三次样条插值，得到的结果如下：
由于曲线变得光滑，得到的图形反而与实际图形相差较远，所以此题分段线性插值更为适用。

面积计算
相关代码如下：
v=v2-v1;
S=40^2Rtrapz(u,v)/18^2
其中，面积进行了单位换算。

对于分段线性插值法，结果如下：
S=
4.2414e+04
即42414km2。

对于三次样条插值法，结果如下：
S=
4.2468e+04
即42468km2。

可见，分段线性插值法得到的结果更接近实际值，这与画图中的分析是相符的。

12、桥梁的一端每隔一段时间记录1min有几辆车过桥，得到表3.9的过桥车辆数据：
Matlab编程
内容如下：
R=[024*******.511.512.514161718192021222324];
R=[22025825125101279282210911893];
u=0:1/60:24;
v=interp1(R,R,u);
n=sum(v)
其中，10.5表示时间10:30，u中步长为1/60的意思是1/60小时，即1分钟，sum命令的作用是对每个节点的v值进行求和，得到的结果即估计的一天的通过桥梁的车流量。

对于分段线性插值法，结果如下：
n=
1.2993e+04
对于三次样条插值法，结果如下：
n=
1.2671e+04
需要注意的是，这两种方法的准确性没有办法比较，因为我们不知道实际的车流量曲线是更光滑还是更接近折线的形状，因此最终结果可以取一个平均值。

三、实验收获
通过本次实验，我对Matlab软件的应用更加熟悉，对利用Matlab绘制曲线、求图形面积、解决实际问题有了更深入的认识。

同时，我也体会到三次样条插值法和分段线性插值法的各自的优点，并对利用梯形公式、求和命令解决问题的操作步骤更加熟悉。

总的来说，本次实验增强了我使用Matlab解决问题的能力，加深了我对数学实验这门课程的理解。