矩阵特征值实验报告
数学实验“矩阵主特征值及相应特征向量的乘幂法,原点平移法,Rayleigh商加速法”实验报告(内含matlab程序)
y = A*v; m = max(y); v = y/m; if(abs(m - l)<eps)
l = m;
-1-
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，通力根1保过据护管生高线产中敷工资设艺料技高试术中卷0资不配料仅置试可技卷以术要解是求决指，吊机对顶组电层在气配进设置行备不继进规电行范保空高护载中高与资中带料资负试料荷卷试下问卷高题总中2体2资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况1卷中下安，与全要过，加度并强工且看作尽护下可1都关能可于地以管缩正路小常高故工中障作资高；料中对试资于卷料继连试电接卷保管破护口坏进处范行理围整高，核中或对资者定料对值试某，卷些审弯异核扁常与度高校固中对定资图盒料纸位试，置卷编.工保写况护复进层杂行防设自腐备动跨与处接装理地置，线高尤弯中其曲资要半料避径试免标卷错高调误等试高，方中要案资求，料技编试术写5、卷交重电保底要气护。设设装管备备置线4高、调动敷中电试作设资气高，技料课中并3术试、件资且中卷管中料拒包试路调试绝含验敷试卷动线方设技作槽案技术，、以术来管及避架系免等统不多启必项动要方高式案中，；资为对料解整试决套卷高启突中动然语过停文程机电中。气高因课中此件资，中料电管试力壁卷高薄电中、气资接设料口备试不进卷严行保等调护问试装题工置，作调合并试理且技利进术用行，管过要线关求敷运电设行力技高保术中护。资装线料置缆试做敷卷到设技准原术确则指灵：导活在。。分对对线于于盒调差处试动，过保当程护不中装同高置电中高压资中回料资路试料交卷试叉技卷时术调，问试应题技采，术用作是金为指属调发隔试电板人机进员一行，变隔需压开要器处在组理事在；前发同掌生一握内线图部槽纸故内资障，料时强、，电设需回备要路制进须造行同厂外时家部切出电断具源习高高题中中电资资源料料，试试线卷卷缆试切敷验除设报从完告而毕与采，相用要关高进技中行术资检资料查料试和，卷检并主测且要处了保理解护。现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
数学实验特征值与特征向量.
数学实验报告学院：班级：学号：姓名：完成日期：实验六矩阵的特征值与特征向量问题一一．实验目的1.掌握特征值、特征向量、特征方程、矩阵的对角化等概念和理论；2.掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法；3.理解由差分方程x k+1 = Ax k所描述的动力系统的长期行为或演化；4.提高对离散动力系统的理解与分析能力.二．问题描述当捕食者-被捕食者问题中的捕食参数p是0.125时，是确定该动态系统的演化（给出X k的计算公式）。
猫头鹰和森林树的数量随着时间如何变化?该系统去向一种被称为不稳定平衡的状态。
如果该系统的某个方面（例如出生率或者捕食率）有轻微变动，系统会如何变化？三．问题分析将线性变换x Ax k的作用分解为易于理解的成分，其中特征值与特征向量是分析离散动态系统的关键。
根据已知信息，找到系统对应的差分方程x k+1 = Ax k，求出A的特征值和对应的特征向量，再根据不同特征值的个数、绝对值大于1还是小于1、是实特征值还是复数特征值等情形，分析出系统的演化过程。
四．实验过程问题对应的差分方程为x k+1 = Ax k，其中A= 0.5 0.4-0.125 1.1 ，演化过程求解如下：第一步：求A的特征值和对应的特征向量。
利用如下的代码即可获得：A=[0.5 0.4;-0.125 1.1];[pc,lambda]=eig(A);[Y,I]=sort(diag(abs(lambda)),'descend');temp=diag(lambda);lambda=temp(I)pc=pc(:,I)运行程序可得A的特征值为lambda =1.00000.6000A 的特征向量pc =-0.6247 -0.9701-0.7809 -0.2425显然，这两个特征向量（即pc的第一列和第二列）是线性无关的，它们构成R2的一组基，为消除小数，选取V1= 4 V2= 4 P= 4 4 P﹣1AP= 1.00 05 1 5 1 0 0.60 第二步：V1用和V2表示x0和x K ,k=1,2….因为{ V1，V2}是R2的一组基，所以存在系数c1和c2,使得x0= c1 V1+ c2 V2.因为V1，V2为矩阵A对应于λ=1.0，u=0.6的特征向量，所以A V1=λV1，A V2=λV2，于是X1=Ax0=A(c1 V1+ c2 V2)= c1λV1+ c2uV2.X2=Ax1=A(c1λV1+ c2λV2)= c1λ2V1+ c2u2V2.一般地，X k= c1λk V1+ c2u k V2.= c1 (1.0)k 4 + c2 (0.6)k 4 k=0,1,2,3….5 1当k趋近于无穷大时，0.6^k 趋近于0，假定c1>0,则对于所有足够大的k，xk近似地等于c1 (1.0)k V1，写为X k≈c1(1.0)k 45K越大，近似程度越高，所以对于足够大的k，X k+1≈c1(1.0)k+1 45= X k可知猫头鹰和老鼠的数量几乎每月都相当,而且X k约为 45 的倍数，所以每4只猫头鹰对应着5000只老鼠。
矩阵特征值、特征向量的研究【开题报告】
毕业论文开题报告数学与应用数学矩阵特征值、特征向量的研究一、选题的背景、意义（1）选题的背景、意义“矩阵(Matrix)”术语是由西尔维斯特创用并由凯莱首先明确其概念的。
19世纪50年代，西尔维斯特引入“矩阵”一词来表示“一项由几行H列元素组成的矩形阵列”或“各种行列式组”，凯莱作为矩阵理论的创立者，首先为简化记法引进矩阵，然后系统地阐述了矩阵的理论体系。
随后，弗罗伯纽斯等人发展完善了矩阵的理论体系形成了矩阵的现代理论。
然而，矩阵思想的萌芽由来已久，早在公元前l世纪中国的《九章算术》就已经用到类似于矩阵的名词。
但那时矩阵仅是用来作为一种矩形阵列解决实际问题，并没有建立起独立完善的矩阵理论。
18世纪末到19世纪中叶，这种排列形式在线性方程组和行列式计算中应用日益广泛，行列式等理论的发展提供了矩阵发展的条件，矩阵概念由此产生，矩阵理论得到系统的发展。
20世纪初，无限矩阵理论得到进一步发展[]1。
线性代数（Linear Algebra）是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。
向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。
线性代数的理论已被泛化为算子理论。
由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中[]2。
由于费马和笛卡儿的工作，线性代数基本上出现于十七世纪。
直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。
十九世纪上半叶才完成了到n维向量空间的过渡矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点。
1888年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。
托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中．线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理，即是说不依赖于基的选择。
不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域，这就引向模的概念，这一概念很显著地推广了向量空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。
矩阵的特征值与特征向量研究
矩阵的特征值与特征向量研究矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
矩阵的特征值与特征向量是矩阵理论中的重要内容，对于矩阵的性质和应用有着深远的影响。
本文将对矩阵的特征值与特征向量进行研究和探讨。
一、特征值与特征向量的定义在矩阵A中，如果存在一个非零向量x，使得Ax=kx，其中k为一个常数，那么k就是矩阵A的特征值，而x就是对应于特征值k的特征向量。
特征值与特征向量的定义可以用矩阵的运算来表示，即Ax=kx。
这个等式可以进一步变形为(A-kI)x=0，其中I为单位矩阵。
这个等式的解空间就是对应于特征值k的特征向量的集合。
二、特征值与特征向量的性质1. 特征值的性质特征值与矩阵的行列式有关，具体来说，矩阵A的特征值是满足方程|A-kI|=0的根。
根据代数学的基本定理，一个n阶矩阵A必然有n个特征值，包括重复的特征值。
2. 特征向量的性质特征向量与特征值有一一对应的关系，即一个特征值对应一个特征向量。
特征向量之间也存在线性相关的关系，即如果x是矩阵A对应特征值k的特征向量，那么对于任意非零常数c，cx也是对应特征值k的特征向量。
特征向量的重要性在于它可以描述矩阵的变换性质。
在某些情况下，特征向量可以表示矩阵的对称性、旋转性等重要特征。
三、特征值与特征向量的计算方法计算矩阵的特征值与特征向量是矩阵理论中的基本问题之一。
有多种方法可以用来计算特征值与特征向量，下面介绍两种常用的方法。
1. 特征多项式法特征多项式法是计算特征值与特征向量的一种常用方法。
首先，对于一个n阶矩阵A，定义特征多项式为f(λ)=|A-λI|，其中λ为变量。
特征值就是使得特征多项式f(λ)等于零的根。
计算特征多项式的根可以使用牛顿迭代法、二分法等数值计算方法。
找到特征值后，再通过(A-λI)x=0求解特征向量。
2. 幂法幂法是一种迭代方法，用于计算矩阵的特征值与特征向量。
幂法的基本思想是通过不断迭代，使得向量序列收敛到矩阵A的特征向量。
数学实验 Mathematic实验十四 矩阵的特征值与特征向量
天水师范学院数学与统计学院实验报告实验项目名称 所属课程名称 实验类型 实验日期矩阵的特征值与特征向量 数学实验 线性代数 2011.12.14班级 学号 姓名 成绩一、实验概述： 【实验目的】学习掌握利用 Mathematica(4.0 以上版本)命令求方阵的特征值 和特征向量；利用特征值求二次型的标准形.【实验原理】(1)命令 Eigenvalues[M]给出方阵 M 的特征值. (2)命令 Eigenvectors[M]给出方阵 M 的特征向量.但有时输出中 含有零向量其中的非零向量才是真正的特征向量. (3)命令 Eigensystem[M]给出方阵 M 的特征值和特征向量.同样有 时输出的向量中含有零向量. (4)调用“线性代数.向量组正交化”软件包命令是<<LinearAlgebra\Orthogonalization.m 现在对向量组施行正交单位化的命令 GramSchmidt 就可以使用 了.命令 GramSchmidt[A]给出与矩阵 A 的行向量组等价的且已正交化 的单位向量组.【实验环境】Mathematic 4二、实验内容： 【实验方案】1.求方阵的特征值与特征向量; 2.矩阵的相似变换;【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）1.求方阵的特征值与特征向量1用 命 令 Eigenvalues[M] 立 即 求 得 方 阵 M 的 特 征 值 命 令Eigenvectors[M]立即求得方阵 M 的特征向量命令 Eigensystem[M]立即求得方阵的特征值和特征向量.例 14.11 2求方阵M 2 31 333 6 的特征值和特征向量.Clear[M];M={{1,2,3},{2,1,3},{3,3,6}};Eigenvalues[M]Eigenvectors[M]Eigensystem[M]例 14.21 31 31 2 M1 511 3 求方阵 612 的特征值和特征向量.(*Example14.2*)G={{1/3，1/3，-1/2}{1/5，1，-1/3}{6，1，-2}}；Eigensystem[G]例 14.33 0 0A 1t3 已 知 2 是 方 阵 1 2 3 的 特 征 值 ， 求t.(*Example14.3*)Clear[Aq]；A={{2-3，0，0}{-1，2-t，-3}{-1，-2，2-3}}；2q=Det[A]；，t] 2 1 2 例 14.4已知x(1,1,1)是方阵A= 5 1a b32 的一个特征向量，求参数 a，b 及特征向量ｘ所属的特征值.(*Example14.4*)设特征值为t，输入Clear[A，B，v，a，b，t]；A={{t-2，1，-2}，{-5，t-a，-3}，{1，-b，t+2}}；v={1，1，-1}；B=A.v；，，，{a，b，t}]2.矩阵的相似变换若 n 阶方阵 A 有 n 个线性无关的特征向量，则 A 与对角阵相似.实对称阵总与对角阵相似，且存在正交阵 P，使 P1AP 为对角阵.命令EigenVectors[A]与 Eigensystem[A]给出还未经过正交化和单位化的特征向量.因此要对特征向量进行正交化和单位化，所用的命令是GramSchmidt[ ].不过首先要输入调用软件包<<LinearAlgebra＼Orthogonalization.m 的命令.例 14.54 1 22设方阵 A= 2 212 2 ，求一可逆阵 P，使 P-1AP 为对角阵.Clear[A，p]；A={{4，1，1}，{2，2，2}，{2，2，2}}；3Eigenvalues[A]；p=Eigenvectors[A]//Transpose为了验证 P-1AP 为对角阵，输入Inverse[p].A.p解法二 直接用 JardanDecomposition[A]jor=JordanDecomposition[A]jor[[1]]jor[[2]]例 14.6方阵A 1 201 是否与对角阵相似?Clear[A]；A={{1，0}，{2，1}}；Eigensystem[A] 2 0 0 1 0 0 例 14.7A 2已知方阵 3x 12 1 与B 0 02 00 y 相似，求ｘ，ｙ.Clear[x，v]；v={{4，0，0}，{-2，2-x，-2}，{-3，-1，1}}；，x]40 1 1 0A 1010 1 1 0 0例 14.8 对实对称矩阵 0002 ，求一个正交阵P，使P-1AP 为对角阵.<<LinearAlgebra\Orthogonalization.mClear[a，p]；A={{0，1，1，0}，{1，0，1，0}，{1，1，0，0}，{0，0，0，2}}；Eigenvalues[A]Eigenvectors[A]p=GramSchmidt[Eigenvectors[A]]//Transpose例 14.9 求一个正交变换，化二次型 f 2x1x2 2x1x3 2x2 x3 2x42 为标准型 二次型的矩阵为0 1 1 0A 1010 1 1 0 0 0002 f=Table[x[j]，{j，4}].A.Table[x[j]，{j，4}]//Simplify【实验结论】（结果）根据程序的编辑,实验很成功。
数学模型实验报告模板五矩阵运算、分解和特征值
实验报告（五）院（系）数学与统计学院课程名称：数学模型与数学实验日期：2015年5月22日班级学号实验室专业姓名计算机号实验名称矩阵运算、分解和特征值成绩评定所用软件MATLAB指导教师实验目的1．矩阵的基本运算。
2．矩阵的LU、QR和Cholesky分解。
3．矩阵的特征向量和特征值。
实验内容问题1：求线性方程组123412423412342583692254760x x x xx x xx x xx x x x+-+=⎧⎪--=⎪⎨-+=-⎪⎪+-+=⎩的解。
问题2：（1）求矩阵123456780A⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭的LU分解。
（2）求矩阵123456789101112A⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭的QR分解。
（3）求5阶pascal矩阵的Cholesky分解问题3：（1）求矩阵3113A-⎛⎫= ⎪-⎝⎭的特征值和特征向量。
（2）求矩阵234584A⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭的奇异值分解。
思考：[U,S,V]=svd(A)和[U,S,V]=svd(A,0)结果有什么不同？可以用命令help svd看使用说明。
实验过程问题1：>>A=[2,1,-5,1;1,-3,0,-6;0,2,-1,2;1,4,-7,6];>>inv(A)ans=1.3333-0.66670.3333-1.0000-0.07410.2593 1.1481-0.11110.3704-0.29630.2593-0.44440.2593-0.4074-0.5185-0.1111>>ans=[1.3333,-0.6667,0.3333,-1.0000;-0.0741,0.2593,1.1481,-0.1111;0.3704,-0.2963,0. 2593,-0.4444;0.2593,-0.4074,-0.5185,-0.1111];>>B=[8;9;-5;0];>>ans*Bans=2.9996-3.9996-1.00001.0003所以线性方程组的解是=[2.9996,-3.9996,-1.0000,1.0003]问题2：（1）>>A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9;10,11,12];>>[L,U]=lu(A)L=0.1000 1.000000.40000.666700.70000.3333 1.00001.000000U=10.000011.000012.000000.9000 1.8000000.0000(2)>>A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9;10,11,12];>>[Q,R]=qr(A)Q=-0.0776-0.83310.5456-0.0478-0.3105-0.4512-0.69190.4704-0.5433-0.0694-0.2531-0.7975-0.77620.31240.39940.3748R=-12.8841-14.5916-16.29920-1.0413-2.082600-0.0000000(3)>>pascal(5)ans=111111234513610151410203515153570问题3:(1)>>A=[3,-1;-1,3];>>[X,D]=eig(A)X=-0.7071-0.7071-0.70710.7071D=2004(2)>>A=[2,3;4,5;8,4];>>[U,S,V]=svd(A)U=-0.3011-0.4694-0.8301-0.5491-0.62630.5534-0.77960.6224-0.0692S=11.288900 2.561200V=-0.80040.5995-0.5995-0.8004心得对MATLAB又多了一些了解，能解矩阵矩阵运算、分解和特征值。
用幂法求解矩阵特征值和特征向量
x= -0.3930 -0.9774 0.2921 1.0000 第五题 A=[-1 2 1; 2 -4 1; 1 1 -6 ]; v0=[1 1 1]'; tol=1e-4; [lda,x]=mifa(A,v0,tol) lda = -6.4209
第4页
数值分析实验指导
x= -0.0463 -0.3746 000
( 1, 0, 1, 0, 0, 1 )T 105
1 21.30525 6 1.62139 x1 0.8724,0.5401,0.9973,0.5644,0.4972,1.0 T
第1页
数值分析实验指导
2 1 1 2 1 （3） A= 1 2 1 1 2 1 1 2 T 0 104 取 =( 1, 1, 1, 1, 1 ) 参考结果： 3.7321 3 4 2 1 1 3 1 5 （4） A= 3 1 6 2 4 5 2 1 T 2 取 0 =( 1, 1, 1, 1 ) ， 10 。
第3页
数值分析实验指导
x= 0.5000 -0.8660 1.0000 -0.8660 0.5000 第四题 A=[2 1 3 4; 1 -3 1 5; 3 1 6 -2; 4 5 -2 -1 ]; v0=[1 1 1 1]'; tol=1e-2; [lda,x]=mifa(A,v0,tol) lda = -8.0136
下面再考虑主特征值 1 的的计算，用 (vk )i 表示 vk 的第 i 个分量，则
( x ) ( k 1 )i (vk 1 )i 1 1 1 i , (vk )i 1 ( x1 )i ( k )i
故
华工数学实验报告特征值与特征向量
华工数学实验报告特征值与特征向量特征值与特征向量是矩阵论中的重要概念，在数学和工程中有着广泛的应用。
本文将通过实验来探究特征值与特征向量的概念及其特性。
实验原理：特征值与特征向量是矩阵理论中的基本概念，对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零列向量X和一个数λ，使得AX=λX成立，则称λ为矩阵A的特征值，X为特征向量。
实验步骤：1.选择一个适当的n阶方阵A，确定其特征值和特征向量。
2.编写程序，利用代数解法求解矩阵A的特征值和特征向量。
3.利用程序计算矩阵A的特征值和特征向量，并与代数解法的结果进行对比。
4.对不同的n进行实验，并记录实验结果。
5.分析实验数据，总结特征值与特征向量的特性。
实验结果：1.经过实验，我们发现矩阵的特征值与特征向量具有以下特性：(1)对于一个n阶矩阵A，其特征值的个数等于矩阵的阶数n。
(2)对于相似矩阵，它们具有相同的特征值。
(3)对于特征值相同的矩阵，它们的特征向量可能不同。
(4)对于实对称矩阵，其特征值一定是实数。
(5)对于正交矩阵，其特征向量一定是正交的。
2.实验结果与代数解法的结果基本一致，验证了实验的准确性。
实验结论：通过对特征值与特征向量的实验，我们对于这一概念及其特性有了更深入的了解。
特征值与特征向量在数学和工程中有着广泛的应用，例如在矩阵的对角化、矩阵求逆等领域都起到了重要的作用。
因此，对于特征值与特征向量的研究具有重要的理论和实际意义。
总结：本实验通过实验数据的记录和分析，深入研究了特征值与特征向量的概念及其特性。
特征值与特征向量在数学和工程中有着广泛的应用，对于矩阵的性质和求解具有重要意义。
实验过程中利用代数解法和编程求解的方法，验证了实验的准确性。
通过本实验，我们对于特征值与特征向量有了更深入的认识，并且对于矩阵的理论和应用有了更加全面的了解。
实验十一矩阵的特征值与特征向量
例2: 已知 x=(1, 1, –1)为矩阵M的一个特征向量, 求参数a, b及特征向量x所属的特征值。 2 1 2 M 5 a 3 . 1 b 2 设特征值为 t , 输入 T={{2-t,-1,2},{5,a-t,3},{-1,b,-2-t}}; x={1,1,-1}; B=T.x; Solve[{B[[1]]==0,B[[2]]==0,B[[3]]==0},{a,b,t}] 输出为 {{a->-3, b->0, t->-1}} 即a=-3, b=0, 向量x=(1, 1, –1)为矩阵M的属于特征值 –1的特征向量。
实验十一 矩阵的特征值与特征向量
一、实验目的
掌握用软件求矩阵的特征值与特征向量 掌握其相关应用
二、函数命令 1、求矩阵的特征值与特征向量 Eigenvalues[M]： 求矩阵M的特征值 Eigeபைடு நூலகம்vectors[M]：求矩阵M的特征向量 Eigensystem[M]： 求矩阵M的特征值与特征向量
四、上机作业
P148:
2, 3
要求交实验报告！——（实验报告7）
三、实验内容 例1: 求矩阵M的特征值与特征向量 1 2 3 M 2 1 3 . 3 3 6 输入: Clear[M]; M={{1,2,3},{2,1,3},{3,3,6}}; Eigenvalues[M] Eigenvectors[M] Eigensystem[M]
实验二 线性方程组与矩阵特征值
(1)无解;(2)有非零解;(3)有非零解时求其通解.
1 2 1
例5．已知矩阵 A 1 2 1
0 4 2
求:(1)矩阵 A的特征值表;(2)矩阵 的A特征向量表；
(3)矩阵 的A所有特征值，特征向量组成的表．
例6.设函数 f(x)x2 ,矩2x 阵 函3数
设甲、乙、丙三种化肥各需 x1,x2,x3 kg,则
x1 x2 x3 23 8x1 10x2 5x3 149 2x1 0.6x2 1.4x3 30
工资问题
现有一个木工,一个电工和一个油漆工,三人相互 同意彼此装修他们自己的房子,在装修之前,他们达 成如下协议：(1)每人总共工作10天(包括给自己家 干活在内);(2)每人的日工资根据一般的市价60-80 元之间;(3)每人日工资数应使得每人的总收入和总 支出相等．下表为他们协议后制定出的工作天数分 配方案.如何计算出他们每人应得的工资?
即 4x1 5x2 x3 0
10x3 4x1 4x2 3x3
4x1 4x2 7x3 0
x1
其通解形式为
X
k
x
2
确定,
x 3
使每人日工资在60-80之间.
通过求解得通解为：
k { x 1 , x 2 , x 3 } k { 3 , 3 , 3 1 } 2 { 3 6 k , 3 k 1 , 3 k 2 }6
练习题
1.求下列矩阵的秩和对应的线性方程组 AX 的0基础 解系.
1 1 1 1
(1) A 1
0
1
1
3 1 1 3
3
2
实验七矩阵特征值计算实验
矩阵特征值计算实验专业：数学与应用数学 年级：09级 班级：AS09101 学号：AS0910136 姓名：张书敏一、 实验目的1.通过这个实验，学会使用幂法，反幂法，jacobi 方法，QR 方法求解矩阵的特征值和特征向量；2.理解求矩阵特征值和特征向量的幂法、反幂法、Jacobi 方法、QR 方法的构造和求解过程，学习计算机编程技术。
二、 实验题目8.1 编制幂法的MA TLAB 程序，计算下列矩阵按模最大特征值和相应的特征向量，（2）31013-3034A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭8.2已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111132126A有一个近似的特征值-6.42λ≈，用反幂法编制MA TLAB 程序计算相应的特征向量，并改进特征值的精度.8.3 用Jacobi 方法编制MA TLAB 程序，计算下列矩阵的全部特征值：（2）B= 4-1-14-1-14-1-14⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦8.4 用基本QR 方法编制MATLAB 程序，计算下列矩阵的全部特征值：（2） 0122230130121230B ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭三、 实验原理1.幂法：步1 输入矩阵A,初始向量y0,误差项ε,最大迭代次数N.步2 置k:=1,u:=0,x0=y0/∞||0||y ;步3 计算;1-=k k Ax y步4 计算|][|max |][|1i k ni r k y y ≤≤= 其中i k y ][表示向量k y 的第i 个分量,并置k k k r k k m y x y m /:,][:==步5 若|k m -u|<ε, 停算,输出k m ,k x ;否则,转步6;步6 若k<N,置k:=k+1,u:=k m ,转步3;否则,输出计算失败;2．反幂法：步1 输入矩阵A,初始向量x0,近似值a,误差项ε,最大迭代次数N.步2 置k:=1,u:=1;步3 作列主元LU 分解P(A-aI)=LU;步4 计算;][:|,][|max |][|1r k i k ni r k x m x x ==≤≤ 步5 计算x 的新值:y=x/m,Lz=Py,Ux=z;步6 若|11|u m -<ε, 则置x ,1:，输出λλma +=,停算,否则,转步7; 步7 若k<N,置k:=k+1,u:=m ,转步3;否则,输出计算失败;3.QR 方法步骤：(1) 输入矩阵A;(2) 初始化：A1为A 的拟上三角形矩阵；(3) 迭代过程：对于k=1,2,….Ak=QkRk(QR 分解)； Ak+1=Qk^TAkQk=RkQk(正交相似变换)四、 实验内容8.1 幂法1.1实验步骤：打开matlab软件，新建一个名为mapower.m的M文件，编写程序（见1.2实验程序如下），运行程序，记录结果。
数学实验“矩阵特征值及相应特征向量的Jacobi法,QR法”实验报告（内含matlab程序）
数学实验“矩阵特征值及相应特征向量的Jacobi法,QR法”实验报告（内含matlab程序）西京学院数学软件实验任务书课程名称数学软件实验班级数0901 学号0912020107 姓名李亚强实验课题矩阵特征值及相应特征向量的Jacobi法，QR法实验目的熟悉矩阵特征值及相应特征向量的Jacobi法，QR法运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其中实验要求一种语言完成实验内容矩阵特征值及相应特征向量的Jacobi法，QR法成绩教师实验十三实验报告一、实验名称：矩阵特征值及相应特征向量的Jacobi法，QR法。
二、实验目的：熟悉矩阵特征值及相应特征向量的Jacobi法，QR 法。
三、实验要求：运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica 等其中一种语言完成程序设计。
四、实验内容：%矩阵特征值及相应特征向量的Jacobi法function [D,R]=Jacobi(A,eps)if nargin==2eps=1.0e-5;endn=length(A);R=eye(n);while 1Amax=0;for l=1:n-1for k=l+1:nif abs(A(l,k))>AmaxAmax=abs(A(l,k));i=l;j=k;endendendif Amax<eps< p="">break;endd=(A(i,i)-A(j,j))/(2*A(i,j));if abs(d)<1e-10t=1;elset=sign(d)/(abs(d)+sqrt(d^2+1));endc=1/sqrt(t^2+1);s=c*t;for l=1:nif l==iAii=A(i,i)*c^2+A(j,j)*s^2+2*A(i,j)*s*c; Ajj=A(i,i)*s^2+A(j,j)*c^2-2*A(i,j)*s*c;A(i,j)=(A(j,j)-A(i,i))*s*c+A(i,j)*(c^2-s^2);A(j,i)=A(i,j);A(i,i)=Aii;A(j,j)=Ajj;elseif l~=jAil=A(i,l)*c+A(j,l)*s;Ajl=-A(i,l)*s+A(j,l)*c;A(i,l)=Ail;A(l,i)=Ail;A(j,l)=Ajl;A(l,j)=Ajl;Rli=R(l,i)*c+R(l,j)*s;Rlj=-R(l,i)*s+R(l,j)*c;R(l,i)=Rli;R(l,j)=Rlj;endendD=diag(diag(A));%矩阵特征值及相应特征向量的QR法function l=qrtz(A,M)for(i=1:M)[q,r]=qr(A);A=r*q;l=diag(A);end五、实验结果：>> A=[3 4 3;1 2 4;7 6 2];>> esp=10^(-6);>> [D,R]=Jacobi(A,eps)D =9.6873 0 00 -2.2229 00 0 -0.4644R =0.5970 -0.2958 -0.74570.5922 0.7895 0.16090.5411 -0.5377 0.6465>> A=[3 4 3;1 2 4;7 6 2];>> M=10^2;>> l=qrtz(A,M)10.3687 -2.6373 -0.7314 </eps<>。
数学实验 Mathematic实验十四 矩阵的特征值与特征向量
天水师范学院数学与统计学院实验报告实验项目名称 所属课程名称 实验类型 实验日期矩阵的特征值与特征向量 数学实验 线性代数 2011.12.14班级 学号 姓名 成绩一、实验概述： 【实验目的】学习掌握利用 Mathematica(4.0 以上版本)命令求方阵的特征值 和特征向量；利用特征值求二次型的标准形.【实验原理】(1)命令 Eigenvalues[M]给出方阵 M 的特征值. (2)命令 Eigenvectors[M]给出方阵 M 的特征向量.但有时输出中 含有零向量其中的非零向量才是真正的特征向量. (3)命令 Eigensystem[M]给出方阵 M 的特征值和特征向量.同样有 时输出的向量中含有零向量. (4)调用“线性代数.向量组正交化”软件包命令是<<LinearAlgebra\Orthogonalization.m 现在对向量组施行正交单位化的命令 GramSchmidt 就可以使用 了.命令 GramSchmidt[A]给出与矩阵 A 的行向量组等价的且已正交化 的单位向量组.【实验环境】Mathematic 4二、实验内容： 【实验方案】1.求方阵的特征值与特征向量; 2.矩阵的相似变换;【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）1.求方阵的特征值与特征向量1用 命 令 Eigenvalues[M] 立 即 求 得 方 阵 M 的 特 征 值 命 令Eigenvectors[M]立即求得方阵 M 的特征向量命令 Eigensystem[M]立即求得方阵的特征值和特征向量.例 14.11 2求方阵M 2 31 333 6 的特征值和特征向量.Clear[M];M={{1,2,3},{2,1,3},{3,3,6}};Eigenvalues[M]Eigenvectors[M]Eigensystem[M]例 14.21 31 31 2 M1 511 3 求方阵 612 的特征值和特征向量.(*Example14.2*)G={{1/3，1/3，-1/2}{1/5，1，-1/3}{6，1，-2}}；Eigensystem[G]例 14.33 0 0A 1t3 已 知 2 是 方 阵 1 2 3 的 特 征 值 ， 求t.(*Example14.3*)Clear[Aq]；A={{2-3，0，0}{-1，2-t，-3}{-1，-2，2-3}}；2q=Det[A]；，t] 2 1 2 例 14.4已知x(1,1,1)是方阵A= 5 1a b32 的一个特征向量，求参数 a，b 及特征向量ｘ所属的特征值.(*Example14.4*)设特征值为t，输入Clear[A，B，v，a，b，t]；A={{t-2，1，-2}，{-5，t-a，-3}，{1，-b，t+2}}；v={1，1，-1}；B=A.v；，，，{a，b，t}]2.矩阵的相似变换若 n 阶方阵 A 有 n 个线性无关的特征向量，则 A 与对角阵相似.实对称阵总与对角阵相似，且存在正交阵 P，使 P1AP 为对角阵.命令EigenVectors[A]与 Eigensystem[A]给出还未经过正交化和单位化的特征向量.因此要对特征向量进行正交化和单位化，所用的命令是GramSchmidt[ ].不过首先要输入调用软件包<<LinearAlgebra＼Orthogonalization.m 的命令.例 14.54 1 22设方阵 A= 2 212 2 ，求一可逆阵 P，使 P-1AP 为对角阵.Clear[A，p]；A={{4，1，1}，{2，2，2}，{2，2，2}}；3Eigenvalues[A]；p=Eigenvectors[A]//Transpose为了验证 P-1AP 为对角阵，输入Inverse[p].A.p解法二 直接用 JardanDecomposition[A]jor=JordanDecomposition[A]jor[[1]]jor[[2]]例 14.6方阵A 1 201 是否与对角阵相似?Clear[A]；A={{1，0}，{2，1}}；Eigensystem[A] 2 0 0 1 0 0 例 14.7A 2已知方阵 3x 12 1 与B 0 02 00 y 相似，求ｘ，ｙ.Clear[x，v]；v={{4，0，0}，{-2，2-x，-2}，{-3，-1，1}}；，x]40 1 1 0A 1010 1 1 0 0例 14.8 对实对称矩阵 0002 ，求一个正交阵P，使P-1AP 为对角阵.<<LinearAlgebra\Orthogonalization.mClear[a，p]；A={{0，1，1，0}，{1，0，1，0}，{1，1，0，0}，{0，0，0，2}}；Eigenvalues[A]Eigenvectors[A]p=GramSchmidt[Eigenvectors[A]]//Transpose例 14.9 求一个正交变换，化二次型 f 2x1x2 2x1x3 2x2 x3 2x42 为标准型 二次型的矩阵为0 1 1 0A 1010 1 1 0 0 0002 f=Table[x[j]，{j，4}].A.Table[x[j]，{j，4}]//Simplify【实验结论】（结果）根据程序的编辑,实验很成功。
实验七 矩阵特征值问题计算报告
实验七 矩阵特征值问题计算一、问题提出利用冪法或反冪法，求方阵()ij n n A a ⨯=的按模最大或按模最小特征值及其对应的特征向量。
设矩阵A 的特征分布为：1231n n λλλλλ-≥≥≥≥≥且j j j Ax x λ=试求下列矩阵之一（1） 121241116A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦求1λ，及1x 取(0)5(1,1,1),10T υε-==结果116.42106,(0.046152,0.374908,1)Tx λ≈-≈--（2） 427318251147717235312651143532875124A --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦求16,λλ及1x取(0)5(1,0,1,0,0,1),10T υε-==结果：16121.30525, 1.62139,(0.8724,0.5401,0.9973,0.5644,0.4972,1.0)T x λλ≈≈≈（3） 2112112112112A -⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦求1λ及1x 取(0)4(1,1,1,1,1),10T υε-==结果 3.7321λ≈(4)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=1254261351314312A取()()T 1,1,1,10=υ 210-=ε这是一个收敛很慢的例子,迭代1200次才达到510-结果02857835.81-≈λ ()T x 564212.2,757730.0,501460.2,11--≈（5）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=611142121A有一个近似特征值42.6-,试用幂法求对应的特征向量，并改进特征值（原点平移法）。
取()()T 1,1,10=υ 410-=ε结果42107.6-≈λ ()Tx 1,37918.0,0461465.0--≈二、要求1、掌握冪法或反冪法求矩阵部分特征值的算法与程序设计；2、会用原点平移法改进算法，加速收敛；对矩阵B=A-PI 取不同的P 值，试求其效果；3、试取不同的初始向量(0)υ，观察对结果的影响；4、对矩阵特征值的其它分布，如12λλ=且123λλλ=≥如何计算。
项目六矩阵的特征值与特征向量
项目六 矩阵的特征值与特征向量实验1 求矩阵的特征值与特征向量实验目的学习利用Mathematica(4.0以上版本)命令求方阵的特征值和特征向量;能利用软件计算方 阵的特征值和特征向量及求二次型的标准形.基本命令1.求方阵M 的特征值的命令Eigenvalues[M]2.求方阵M 的特征向量的命令Eigenvectors[M]3.求方阵M 的特征值和特征向量的命令Eigensystem[M]注:在使用后面两个命令时,如果输出中含有零向量,则输出中的非零向量才是真正的特 征向量.4.对向量组施行正交单位化的命令GramSchmidt使用这个命令,先要调用“线性代数.向量组正交化”软件包,输入<<LinearAlgebra\Orthogonalization.m执行后,才能对向量组施行正交单位化的命令.命令GramSchmidt[A]给出与矩阵A 的行向量组等价的且已正交化的单位向量组.5.求方阵A 的相似变换矩阵S 和相似变换的约当标准型J 的命令JordanDecomposition[A]注:因为实对称阵的相似变换的标准型必是对角阵. 所以,如果A 为实对称阵,则JordanDecomposition[A]同时给出A 的相似变换矩阵S 和A 的相似对角矩阵Λ.实验举例求方阵的特征值与特征向量.例1.1 求矩阵.031121201⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=A 的特征值与特值向量. 1.求矩阵A 的特征值. 输入A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}}MatrixForm[A]Eigenvalues[A]则输出A 的特征值2.求矩阵A 的特征向量. 输入A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}}MatrixForm[A]Eigenvectors[A]则输出 {{-3,1,0},{1,0,1},{0,0,0}}即A 的特征向量为.101,013⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3.利用命令Eigensystem 同时矩阵A 的所有特征值与特征向量. 输入A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}}MatrixForm[A]Eigensystem[A]则输出矩阵A 的特征值及其对应的特征向量.例1.2 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2163/115/12/13/13/1A 的特征值和特征向量的近似值. 输入A={{1/3,1/3,-1/2},{1/5,1,-1/3},{6,1,-2}};Eigensystem[A]则屏幕输出的结果很复杂,原因是矩阵A 的特征值中有复数且其精确解太复杂.此时,可采用 近似形式输入矩阵A ,则输出结果也采用近似形式来表达.输入A={{1/3,1/3,-1/2},{1/5,1,-1/3},{6.0,1,-2}};Eigensystem[A]则输出{{-0.748989+1.27186i,-0.748989-1.27186i,0.831311},{{0.179905+0.192168i,0.116133+0.062477I,0.955675+0.i},{0.179905-0.192168i,0.116133-0.062477i,0.955675+0.i},{-0.0872248,-0.866789,-0.490987}}}从中可以看到A 有两个复特征值与一个实特征值.属于复特征值的特征向量也是复的;属于实 特征值的特征向量是实的.例1.3 已知2是方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=32131003t A 的特征值,求t . 输入A={{2-3,0,0},{-1,2-t,-3},{-1,-2,2-3}};q=Det[A]Solve[q==0,t]则输出{{t →8}}即当8=t 时,2是方阵A 的特征值.例1.4 已知)1,1,1(-=x 是方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的一个特征向量,求参数b a ,及特征向量x 所属的特征值.设所求特征值为t ,输入Clear[A,B,v,a,b,t];A={{t-2,1,-2},{-5,t-a,-3},{1,-b,t+2}};v={1,1,-1};B=A.v;Solve[{B[[1]]==0,B[[2]]==0,B[[3]]==0},{a,b,t}]则输出{{a →-3, b →0, t →-1}}即0,3=-=b a 时,向量)1,1,1(-=x 是方阵A 的属于特征值-1和特征向量.矩阵的相似变换例1.5 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222222114A ,求一可逆矩阵P ,使AP P 1-为对角矩阵.方法1 输入Clear[A,P];A={{4,1,1},{2,2,2},{2,2,2}};Eigenvalues[A]P=Eigenvectors[A]//Transpose则输出{0,2,6}{{0,-1,1},{-1,1,1},{1,1,1}}即矩阵A 的特征值为0,2,6.特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-110,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111,矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111110P .可验证AP P 1-为对角阵, 事实上,输入Inverse[P].A.P则输出{{0,0,0},{0,2,0},{0,0,6}}因此,矩阵A 在相似变换矩阵P 的作用下,可化作对角阵.方法2 直接使用JordanDecomposition 命令, 输入jor=JordanDecomposition[A]则输出{{{0,-1,1},{-1,1,1},{1,1,1}},{{0,0,0},{0,2,0},{0,0,6}}}可取出第一个矩阵S 和第二个矩阵Λ,事实上,输入jor[[1]]jor[[2]]则输出{{0,-1,1},{-1,1,1},{1,1,1}}{{0,0,0},{0,2,0},{0,0,6}}输出结果与方法1的得到的结果完全相同.例1.6 已知方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11322002x A 与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=y B 00020001相似, 求y x ,.注意矩阵B 是对角矩阵,特征值是y ,2,1-.又矩阵A 是分块下三角矩阵,-2是矩阵A 的特 征值.矩阵A 与B 相似,则2-=y ,且-1,2也是矩阵A 的特征值.输入Clear[c,v];v={{4,0,0},{-2,2-x,-2},{-3,-1,1}};Solve[Det[v]==0,x]则输出{{x →0}}所以,在题设条件,0=x ,2-=y .例1.7 已知二次型3231212322213212422),,(x x x x x x x x x x x x f +-++-=(1)求标准形; (2)求正惯性指数; (3)判断二次型是否正定.输入A={{1,1,-2},{1,-2,1},{-2,1,1}}Eigenvalues[A]则输出矩阵A 的特征值为{-3,0,3}所以二次型的标准形为222133y y f +=;正惯性指数为1;该二次型不是正定的.例1.8 求正交变换将二次型43324121242322213212222),,(x x x x x x x x x x x x x x x f -+-++++=化为标准形.输入A={{1,1,0,-1},{1,1,1,0},{0,1,1,-1},{-1,0,-1,1}}MatrixForm[A]X={x1,x2,x3,x4};Expand[X.A.X]<<LinearAlgebra\Orthogonalization.mP=GramSchmidt[Eigenvectors[A]]P.A.Inverse[P]//MatrixForm则输出所求的正交变换矩阵P 与二次型矩阵A 标准形. 从结果知,所求二次型的标准型为24232221y y y y g +++-=实验习题1.求方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=122212221A 的特征值与特征向量. 2.求方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=1111111111111111A 的特征值与特征向量. 3.已知:0是方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t 01020101的特征值,求t .4.设向量Tk x )1,,1(=是方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=211121112A 的特征向量,求k .5.方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111010210A 是否与对角阵相似?6.已知:方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x A 10100002与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10000002y B 相似,(1)求x 与y ;(2)求一个满足关系B AP P =-1的方阵P .7.设方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=124222421A ,求正交阵C ,使得AC C B T =是对角阵.实验2 层次分析法实验目的通过应用层次分析法解决一个实际问题,学习层次分析法的基本原理与方法;掌握用层次 分析法建立数学模型的基本步骤;学会用Mathematica 解决层次分析法中的数学问题.基本原理层次分析法是系统分析的重要工具之一,其基本思想是把问题层次化、数量化, 并用数学 方法为分析、决策、预报或控制提供定量依据. 它特别适用于难以完全量化, 又相互关联、 相互制约的众多因素构成的复杂问题. 它把人的思维过程层次化、数量化,是系统分析的一中 新型的数学方法.运用层次分析法建立数学模型, 一般可按如下四个基本步骤进行.1.建立层次结构首先对所面临的问题要掌握足够的信息, 搞清楚问题的范围、因素、各因素之间的相互 关系,及所要解决问题的目标. 把问题条理化、层次化, 构造出一个有层次的结构模型. 在这 个模型下,复杂问题被分解为元素的组成部分. 这些元素又按其属性及关系形成若干层次.层 次结构一般分三层:第一层为最高层, 它是分析问题的预定目标和结果, 也称目标层;第二层为中间层, 它是为了实现目标所涉及的中间环节, 如: 准则、子准则, 也称准则 层;第三层为最底层, 它包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等, 也称方案层.（章栋恩P268图26.1）图2-1注:上述层次结构具有以下特点:(1) 从上到下顺序地存在支配关系, 并用直线段表示;(2) 整个层次结构中层次数不受限制.2.构造判断矩阵构造判断矩阵是建立层次分析模型的关键. 假定以上一层的某元素y 为准则,它所支配 的下一层次的元素为n x x x ,,,21 ,这n 个元素对上一层次的元素y 有影响,要确定它们在y 中的比重. 采用成对比较法. 即每次取两个元素i x 和j x , 用ij a 表示i x 与j x 对y 的影响之比, 全部比较的结果可用矩阵A 表示,即.,,2,1,,)(n j i a A n n ij ==⨯称矩阵A 为判断矩阵.根据上述定义,易见判断矩阵的元素ij a 满足下列性质:)(,1),(1j i a j i a a ii ij ji ==≠=当0>ij a 时,我们称判断矩阵A 为正互反矩阵.怎样确定判断矩阵A 的元素ij a 的取值呢?当某层的元素n x x x ,,,21 对于上一层某元素y 的影响可直接定量表示时, i x 与j x 对y 的影响之比可以直接确定, ij a 的值也可直接确定. 但对于大多数社会经济问题, 特别是比较 复杂的问题, 元素i x 与j x 对y 的重要性不容易直接获得, 需要通过适当的量化方法来解决. 通常取数字1~9及其倒数作为ij a 的取值范围. 这是因为在进行定性的成对比较时, 通常采用 5级制(表1),在每两个等级之间各有一个中间状态, 共1~9个尺度, 另外心理学家认为进行成 对比较的因素太多, 将超出人们的判断比较能力, 降低精确. 实践证明, 成对比较的尺度以 27±为宜, 故ij a 的取值范围是9,,2,1 及其倒数.表1 比较尺度ij a 的取值97531/ij ji a x x 绝对强很强强较强相等3.计算层次单排序并做一致性检验层次单排序是指同一层次各个元素对于上一层次中的某个元素的相对重要性进行排序. 具体做法是: 根据同一层n 个元素n x x x ,,,21 对上一层某元素y 的判断矩阵A ,求出它们对 于元素y 的相对排序权重,记为n w w w ,,,21 ,写成向量形式T n w w w w ),,,(21 =, 称其为A 的层次单排序权重向量, 其中i w 表示第i 个元素对上一层中某元素y 所占的比重, 从而得到层次单排序.层次单排序权重向量有几种求解方法,常用的方法是利用判断矩阵A 的特征值与特征向 量来计算排序权重向量w .关于正互反矩阵A ,我们不加证明地给出下列结果.(1) 如果一个正互反矩阵n n ij a A ⨯=)(满足),,2,1,,(n k j i a a a ik jk ij ==⨯则称矩阵A 具有一致性, 称元素k j i x x x ,,的成对比较是一致的; 并且称A 为一致矩阵.(2) n 阶正互反矩阵A 的最大特征根n ≥max λ, 当n =λ时, A 是一致的.(3) n 阶正互反矩阵是一致矩阵的充分必要条件是最大特征值 n =max λ.计算排序权重向量的方法和步骤 设T n w ),,,(21ωωω =是n 阶判断矩阵的排序权重向量, 当A 为一致矩阵时, 根据n 阶判断矩阵构成的定义,有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n n n A ωωωωωωωωωωωωωωωωωω212221212111 (2.1) 因而满足,nw Aw = 这里n 是矩阵A 的最大特征根, w 是相应的特征向量; 当A 为一般的 判断矩阵时w Aw max λ=, 其中max λ是A 的最大特征值(也称主特征根), w 是相应的特征向 量(也称主特征向量). 经归一化(即11=∑=n i i ω)后, 可近似作为排序权重向量, 这种方法称为特征根法.一致性检验在构造判断矩阵时, 我们并没有要求判断矩阵具有一致性, 这是由客观事物的复杂性 与人的认识的多样性所决定的. 特别是在规模大、因素多的情况下, 对于判断矩阵的每个元 素来说,不可能求出精确的j i ωω/, 但要求判断矩阵大体上应该是一致的. 一个经不起推敲 的判断矩阵有可能导致决策的失误. 利用上述方法计算排序权重向量, 当判断矩阵过于偏离 一致性时, 其可靠性也有问题. 因此,需要对判断矩阵的一致性进行检验, 检验可按如下步骤 进行:(1) 计算一致性指标CI1max --=n n CI λ (2.2) 当,0=CI 即n =max λ时, 判断矩阵A 是一致的. 当CI 的值越大, 判断矩阵A 的不一致的程 度就越严重.(2) 查找相应的平均随机一致性指标RI表2给出了n )11~1(阶正互反矩阵的平均随机一致性指标RI , 其中数据采用了 100~150个随机样本矩阵A 计算得到.(3) 计算一致性比例CR RICI CR = (2.3) 当10.0<C R 时, 认为判断矩阵的一致性是可以接受的; 否则应对判断矩阵作适当修正.4. 计算层次总排序权重并做一致性检验计算出某层元素对其上一层中某元素的排序权重向量后, 还需要得到各层元素, 特别 是最底层中各方案对于目标层的排序权重, 即层次总排序权重向量, 再进行方案选择. 层次 总排序权重通过自上而下地将层次单排序的权重进行合成而得到.考虑3个层次的决策问题: 第一层只有1个元素, 第二层有n 个元素, 第三层有m 个元 素.设第二层对第一层的层次单排序的权重向量为T n w ),,,()2()2(2)2(1)2(ωωω = 第三层对第二层的层次单排序的权重向量为n k w w w w T kn k k k ,,2,1,),,,()3()3(2)3(1)3( == 以)3(k w 为列向量构成矩阵:n m nm m mn n n w w w w w w w w w w w w W ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==)3()3(2)3(1)3(2)3(22)3(12)3(1)3(21)3(11)3()3(2)3(1)3(,,,,,,,,,,,),,,( (2.4) 则第三层对第一层的层次总排序权重向量为)2()3()3(w W w = (2.5) 一般地, 若层次模型共有s 层, 则第k 层对第一层的总排序权重向量为s k w W w k k k ,,4,3,)1()()( ==- (2.6) 其中)(k W 是以第k 层对第1-k 层的排序权向量为列向量组成的矩阵,)1(-k w 是第1-k 层对第 一层的总排序权重向量. 按照上述递推公式, 可得到最下层(第s 层)对第一层的总排序权重 向量为)2()3()1()()(w W W W w s s s -= (2.7)对层次总排序权重向量也要进行一致性检验. 具体方法是从最高层到最低层逐层进行 检验.如果所考虑的层次分析模型共有s 层. 设第l (s l ≤≤3)层的一致性指标与随机一致性指标分别为)()(2)(1,,,l n l l CI CI CI (n 是第1-l 层元素的数目)与)()(2)(1,,,l n l l RI RI RI , 令)1()(1)(1)(],,[-=l l l l w CI CI CI (2.8) )1()(1)(1)(],,[-=l l l l w RI RI RI (2.9)则第l 层对第一层的总排序权向量的一致性比率为s l RI CI CR CR l l l l ,,4,3,)()()1()( =+=- (2.10) 其中)2(CR 为由(2.3)式计算的第二层对第一层的排序权重向量的一致性比率.当最下层对第一层的总排序权重向量的一致性比率1.0)(<s CR 时, 就认为整个层次结构 的比较判断可通过一致性检验.应用举例问题 在选购电脑时, 人们希望花最少的钱买到最理想的电脑. 试通过层次分析法建立 数学模型,并以此确定欲选购的电脑.1. 建立选购电脑的层次结构模型（章栋恩P268图26.2 左边加目标层、准则层、方案层字样）图2-2该层次结构模型共有三层:目标层(用符号z 表示最终的选择目标); 准则层(分别用符号 521,,,y y y 表示“性能”、“价格”、“质量”、“外观”、“售后服务”五个判断准则); 方案层(分别用符号321,,x x x 表示品牌1, 品牌2, 品牌3三种选择方案).2.构造成对比较判断矩阵(1) 建立准则层对目标层的成对比较判断矩阵根据表1的定量化尺度, 从建模者的个人观点出发, 设准则层对目标层的成对比较判断矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=13123/13/113/12/19/113123/12/122/115/139351A (2.11) (2) 建立方案层对准则层的成对比较判断矩阵,113/1113/1331,123/12/115/13511252/1135/13/11,12/15/1213/1531,1252/1135/13/1154321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=B B B B B3.计算层次单排序权重向量并做一致性检验先利用Mathematica 计算矩阵A 的最大特征值及特征值所对应的特征向量.输入<<Miscellaneous\RealOnly.m(*调用只求实数运算的软件包*)A={{1.0,5,3,9,3},{1/5,1,1/2,2,1/2},{1/3,2,1,3,1},{1/9,1/2,1/3,1,1/3},{1/3,2,1,3,1}};(*以小数形式1.0输入进行近似计算, 可避免精确解太长、太复杂*)T=Eigensystem[A]//Chop(*输入//Chop, 把与零非常接近的数换成零*)则输出{{5.00974,Nonreal,Nonreal,0,0},{{0.88126,0.167913,0.304926,0.0960557,0.304926},{0.742882,Nonreal,Nonreal,Nonreal,Nonreal},{0.742882,Nonreal,Nonreal,Nonreal,Nonreal},{-0.993398,0,0.0673976,0.0662265,0.0650555},{-0.65676,0,0.57431,0.043784,-0.486742}}}(输出中的Nonreal 表示复数)从中得到A 的最大特征值,00974.5max =λ及其对应的特征向量T x )304926.0,0960557.0,304926.0,167913.0,88126.0(=输入Clear[x]; x=T[[2,1]];ww2=x/Apply[Plus,x]则得到归一化后的特征向量 T w )173739.0,0547301.0,173739.0,0956728.0,502119.0()2(=计算一致性指标1max --=n nCI λ,其中,00974.5,5max ==λn 故.002435.0=C I 查表得到相应的随机一致性指标 12.1=RI 从而得到一致性比率002174.0)2(==RICICR 因,1.0)2(<CR 通过了一致性检验,即认为A 的一致性程度在容许的范围之内, 可以用归一 化后的特征向量)2(w 作为排序权重向量. 下面再求矩阵)5,,2,1( =j B j 的最大特征值及特征值所对应的特征向量, 输入B1=B3={{1.0,1/3,1/5},{3,1,1/2},{5,2,1}};B2=Transpose[B1];B4={{1.0,5,3},{1/5,1,1/2},{1/3,2,1}}; B5={{1.0,3,3},{1/3,1,1},{1/3,1,1}}; T1=Eigensystem[B1]//Chop T2=Eigensystem[B2]//Chop T3=Eigensystem[B3]//Chop T4=Eigensystem[B4]//Chop T5=Eigensystem[B5]//Chop则输出 {{3.00369,Nonreal, Nonreal}, {{0.163954,0.46286,0.871137},{ Nonreal, Nonreal,0.871137}, { Nonreal, Nonreal, 0.871137}}};{{3.00369,Nonreal, Nonreal}, {{0.928119,0.328758,0.174679}, {0.928119, Nonreal, Nonreal}, {0.928119, Nonreal, Nonreal}}}{{3.00369, Nonreal, Nonreal}, {{0.163954,0.46286,0.871137},{ Nonreal, Nonreal,0.871137}, { Nonreal, Nonreal,0.871137}}}{{3.00369, Nonreal, Nonreal}, {{0.928119,0.174679,0.328758}, {0.928119, Nonreal, Nonreal}, {0.928119, Nonreal, Nonreal}}} {{3,0,0},{{0.904534,0.301511,0.301511}, {-0.973329,0.162221,0.162221}, {-0.170182,-0.667851,0.724578}}从上面的输出可以分别得到)5,,2,1( =j B j 的最大特征值000.3,00369.3,00369.3,00369.3,00369.354321=====λλλλλ 以及上述特征值所对应的特征向量TT T TT x x x x x )301511.0,301511.0,904534.0()328758.0,174679.0,928119.0()871137.0,46286.0,163954.0()174679.0,328758.0,928119.0()871137.0,46286.0,163954.0(54321=====其中.5,,2,1),,,(321 ==i x x x x i i i i 为求出归一化后的特征向量, 输入Clear[x1,x2,x3,x4,x5]; x1=T1[[2,1]]; w1=x1/Apply[Plus,x1] x2=T2[[2,1]]; w2=x2/Apply[Plus,x2] x3=T3[[2,1]]; w3=x3/Apply[Plus,x3] x4=T4[[2,1]]; w4=x4/Apply[Plus,x4] x5=T5[[2,1]]; w5=x5/Apply[Plus,x5]则输出TT T TT w w w w w )200000.0,200000.0,600000.0()229651.0,12202.0,648329.0()581552.0,308996.0,109452.0()12202.0,229651.0,648329.0()581552.0,308996.0,109452.0(54321===== 计算一致性指标)5,,2,1(1=--=i n nCI i i λ,其中,3=n 输入lamda={T1[[1,1]],T2[[1,1]],T3[[1,1]],T4[[1,1]],T5[[1,1]]} CI=(lamda-3)/(3-1)//Chop则输出0,0018473.0,0018473.0,0018473.0,0018473.054321=====CI CI CI CI CI查表得到相应的随机一致性指标)5,,2,1(58.0 ==i RI i计算一致性比率5,,2,1, ==i RI CI CR iii ,输入CR=CI/0.58则输出.0,003185.0,003185.0,003185.0,003185.054321=====CR CR CR CR CR因),5,,2,1(,1.0 =<i CR i 通过了一致性检验. 即认为)5,,2,1( =j B j 的一致性程度在容许 的范围之内, 可以用归一化后的特征向量作为其排序权重向量.4. 计算层次总排序权重向量并做一致性检验购买个人电脑问题的第三层对第二层的排序权重计算结果列于表3.表3以矩阵表示第三层对第二层的排序权重计算结果为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2.0229651.0581552.012202.0581552.02.012202.0308996.0229651.0308996.06.0648329.0109452.0648329.0109452.0)3(W )3(W 即是第三层对第二层的权重向量为列向量组成的矩阵. 最下层(第三层)对最上层(第一层)的总排序权向量为)2()3()3(w W w =为了计算上式, 输入W3=Transpose[{w1,w2,w3,w4,w5}]; ww3=W3.ww2则从输出结果得到T w )452037.0,272235.0,275728.0()3(= 为了对总排序权向量进行一致性检验, 计算)2(521)3().,,.,.(w I C I C I C CI =输入CI.ww2则从输出结果得到00152635.0)3(=CI 再计算)2(51)3(],,[w RI RI RI =,输入RI=Table[0.58,{j,5}]; RI.ww2则从输出结果得到 58.0.)3(=I R 最后计算 )3()3()2()3(./...I R I C R C R C +=,可得00480575.0.)3(=R C因为,1.0.)3(<R C 所以总排序权重向量符合一致性要求的范围.根据总排序权重向量的分量取值, 品牌3的电脑是建模者对这三种品牌机的首选. 实验报告1.根据你的设想购置一台计算机, 需考虑什么样的判断准则? 利用层次分析法及数学 软件做出最佳的决策.2.根据你的经历设想如何报考大学, 需要什么样的判断准则? 利用层次分析法及数学 软件做出最佳的决策.3.假期到了, 某学生打算做一次旅游, 有四个地点可供选择, 假定他要考虑5个因素: 费用、景色、居住条件、饮食以及旅游条件. 由于该学生没有固定收入, 他对费用最为看重, 其次是旅游点的景色, 至于旅游条件、饮食, 差不多就行, 住什么地方就更无所谓了. 这四个旅游点没有一个具有明显的优势, 而是各有优劣. 该同学拿不定主意, 请用层次分析法帮助他找出最佳旅游点.4. 假设你马上就要从大学毕业, 正面临择业的问题, 你对工作的选择着重考虑下面几个因素: (1)单位的声誉; (2)收入; (3)专业是否对口; (4)是否有机会深造或晋升; (5)工作地点;(6)休闲时间. 对上述各种因素你可以根据自己的具体情况排序,也可以增加或减少所考虑的因素. 现在有四个单位打算你, 但如果用上述标准来衡量,没有一个单位具有明显的优势,请用层次分析法为你自己做一个合理的选择.。
代数特征值求解实验报告
代数特征值求解实验报告
实验目的：
本实验旨在通过计算机编程求解代数特征值问题，探究代数特征值的求解方法，并对实验结果进行分析和讨论。
实验原理：
在线性代数中，特征值是矩阵的一个重要性质，它能够描述矩阵的特征和性质。
求解代数特征值的方法有多种，其中最常用的方法是通过计算矩阵的特征多项式的根来得到特征值。
实验步骤：
1.设定一个矩阵A，可以选择一个已知的矩阵或者随机生成一个矩阵。
2.利用数值计算软件（如Python的NumPy库）编写代码，求解矩阵A的特征值和特征向量。
3.运行代码，得到矩阵A的特征值和特征向量的计算结果。
4.对计算结果进行分析和讨论，比较实验结果与理论结果的差异。
实验结果与讨论：
根据实验所得结果，可以观察到矩阵A的特征值和特征向量。
特征值可以用来描述矩阵的几何性质，而特征向量则表示了这些特征值对应的特征空间。
通过对特征值和特征向量的分析，可以进一步了解
矩阵A的性质和特征。
结论：
通过本实验，我们成功地使用数值计算方法求解了代数特征值问题，并对实验结果进行了分析和讨论。
通过观察特征值和特征向量，我们能够更深入地了解矩阵的性质和特征。
这对于进一步研究线性代数和矩阵理论具有一定的指导意义。
14实验十四 矩阵的特征值与特征向量,相似变换,二次型
14.2.2 矩阵的相似变换
若n阶方阵A有n个线性无关的特征向量, 则A与对角阵相似。实对称阵一 定与对角阵相似, 且存在正交阵 P , 使 P 1 A P 为对角阵。
4 【例4】设方阵A 2 2 1 2 2 1 2 , 2
求一个可逆阵 P , 使 P 1 A P 为对角阵。
0 1 1 因此, 特征值是0,2,6。特征向量是 1 , 1 与 1 。 1 1 1 1 1 0 矩阵 P 1 1 1 就是要求的相似变换矩阵。为了验证 P 1 A P 1 1 1
14.2 实验内容
14.2.1 求方阵的特征值与特征向量
1 【例1】求方阵 A 2 3
2 1 3
输入： clear; A=[1,2,3;2,1,3;3,3,6]; v=eig(A) [P,X]=eig(A) 输出为： v= -1.0000 -0.0000 9.0000 P= 0.7071 0.5774 0.4082 -0.7071 0.5774 0.4082 0 -0.5774 0.8165
1
再求 A n 的表达式及 lim A 。由于三个特征向量线性无关, 从而A可相似 n 1 对角化, 即 P A P X 。那么 A P X P 1, A n ( P X P 1 ) n ) P
n n n n
MATLAB
高等数学实验
实验十四 矩阵的特征值与特征向量, 相似 变换, 二次型
实验目的 学习利用MATLAB命令求方阵的特征值和 特征向量; 利用特征值求二次型的标准形。
矩阵计算实验报告
一、实验目的1. 掌握矩阵的基本概念和性质。
2. 熟悉MATLAB软件在矩阵计算中的应用。
3. 熟练运用MATLAB进行矩阵的创建、运算和可视化。
二、实验内容1. 矩阵的创建与引用（1）创建矩阵在MATLAB中，可以使用多种方法创建矩阵，如直接输入矩阵元素、使用冒号操作符、使用linspace和logspace函数等。
例如，创建一个3x4的矩阵A：A = [1, 2, 3, 4; 5, 6, 7, 8; 9, 10, 11, 12];（2）引用矩阵元素可以使用行列索引来引用矩阵元素。
例如，引用矩阵A的第1行第2列元素：A(1, 2)2. 矩阵的运算（1）矩阵的加法与减法矩阵的加法与减法运算满足交换律和结合律，且只适用于相同维度的矩阵。
例如，计算矩阵A与矩阵B的和：B = [1, 2, 3; 4, 5, 6];C = A + B（2）矩阵的乘法矩阵乘法满足分配律，且左乘和右乘满足结合律。
例如，计算矩阵A与矩阵B的乘积：D = A B（3）矩阵的逆若矩阵A是可逆的，则存在矩阵A的逆，记为A^(-1)。
A^(-1)满足以下性质：A A^(-1) = A^(-1) A = I其中，I是单位矩阵。
例如，计算矩阵A的逆：E = inv(A)（4）矩阵的秩矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行（或列）的最大数目。
例如，计算矩阵A的秩：rank(A)（5）矩阵的迹矩阵的迹是指矩阵对角线元素之和。
例如，计算矩阵A的迹：trace(A)3. 矩阵的可视化（1）绘制矩阵元素可以使用MATLAB的scatter函数绘制矩阵元素。
例如，绘制矩阵A的元素：scatter(1:size(A, 1), 1:size(A, 2), A)（2）绘制矩阵特征值可以使用MATLAB的eig函数计算矩阵的特征值，并使用plot函数绘制特征值。
例如，计算矩阵A的特征值并绘制：[V, D] = eig(A);plot(diag(D))三、实验步骤1. 打开MATLAB软件，创建一个新的M文件。
用QR算法求矩阵的特征值
一.实验名称：用QR 算法求矩阵的特征值 二.实验目的：1、通过实验进一步熟悉掌握求矩阵特征值的QR 方法及原理。
2、 理解QR 方法的计算流程。
3、 能够编程实现QR 方法°A 和H 矩阵的全部特征值。
四. 实验要求：（1）根据QR 算法原理编写程序求矩阵A 及矩阵H 的全部特征值（要求误差＜10* ）。
（2）直接用MATLAB 的内部函数ei 吕求矩阵A 及矩阵H 的全部特征值，并与（1）的 结果比较。
五、QR 方法计算矩阵特征值的程序：functiontzl=diag(A);[namda, time, data_na]=qr_tz(A, tol) wuc ha=norm(t z 0-1 z1);if nargin==l;% 2 r三、实验内容：给左矩阵A =2 3 1,<1 i L(2 434 45 5 66、7H = 0 3 6 7 8 ,采用QR 方法计算0 0 2 8 9<0 0 0 1 0丿A=A1;tol=le-5;endwcha=l;time=O;while (wucha>tol)&(time<500)[q, r] =qr (A)；Al=r*q;time=time+l;data_na(time, ：)=tzl; endnamda^tzl; disp('特征值为')namdadisp('第一个特征在值')tzO=diag(Al);time迭代次数为time =nl=length(data_na);n2=(l ：nD ，;templ=[n2, data_na];subplot (2, 2, 1:2)plot (date_na(:, 1))title('迭代次数为')gridsubplot (2, 2, 3)六、实验结果：» A=[6, 2, 1；2,3, 1;1,1, 1]; [namda,特征值为plot(data-na(:,2)) title('第二个特征值’) gridsubplot (2, 2, 4)plot(data-na(:,3)) title —第三个特征值') gridtime, data_na]=qr_tz (A, le-5);Q Figure 1File Edit View Insert Tools Desktop Window Help乂DdH^I第三个特征值Array» A=[6, 2, 1 ;2, 3, 1; 1,1, 1]; [V, D] =eig(A,' nobalance'),A二[2, 3, 4, 5, 6;4, 4, 5, 6, 7;0, 3, 6, 7, 8;0, 0, 2, & 9;0, 0, 0, 1, 0j; [namda, time, data_na]=qr_t z(A, le-5);特征值为namda =迭代次数为time =22»A= [2, 3, 4, 5,6;4, 4, 5, 6,7;0, 3, 6,7,8;0, 0, 2, 8,9;0, 0, 0,1, 0] ; [V, D]=eig(A,' nobalance1), V =0 00 00 0 0 0 0 0 0 00 0表1用两种方法求得矩阵A的全部特征值2H从图1和图2中可以看出在迭代前几次可能会有一些波动，但逐渐趋于平稳，并且收敛速度快，算法稳左。
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一、课题名称
Malab矩阵特征值
二、目的和意义
1、求矩阵的部分特征值问题具有重要实际意义，如求矩阵谱半径()Aρ=maxλ，稳定性问题往往归于求矩阵按模最小特征值；
2、进一步掌握冪法、反冪法及原点平移加速法的程序设计技巧；
3、问题中的题（5），反应了利用原点平移的反冪法可求矩阵的任何特征值及其特征向量。
三、实验要求
1、掌握冪法或反冪法求矩阵部分特征值的算法与程序设计；
2、会用原点平移法改进算法，加速收敛；对矩阵B=A-PI取不同的P值，试求其效果；
3、试取不同的初始向量，观察对结果的影响；()0υ
4、对矩阵特征值的其它分布，如如何计算。
四、问题描述
五、实验程序设计
幂法
function [lamdba,v]=power_menthod(a,x,epsilon,maxl)
k=0;
y=a*x;
while(k<maxl)
y=y/max(abs(y));
y=a*x;
m=max(abs(y));
x=y/m;
k=k+1;
if abs(y-m)<epsilon
break;
end
end
lambda=m
v=x
方程组1结果
>> a=[-1 2 1;2 -4 1;1 1 -6];
>> x=[1 1 1]';
>> epsilon=0.00005;
>> maxl=20;
>> power_menthod(a,x,epsilon,maxl)
lambda =
6.4183
v =
-0.0484
-0.3706
1.0000
方程组2结果
>> a=[4 -2 7 3 -1 8;-2 5 1 1 4 7;7 1 7 2 3 5;3 1 2 6 5 1;-1 4 3 5 3 2;8 7 5 1 2 4]; >> x=[1 0 1 0 0 1]';
>> epsilon=0.00005;
>> maxl=20;
>> power_menthod(a,x,epsilon,maxl)
lambda =
21.3053
v =
0.8724
0.5401
0.9974
0.5644
0.4972
1.0000
反幂法
function [lambda,v]=INV_shift(a,x,epsilon,max1)
for i=1:max1
y=x/max(abs(x))
x=a\y
end
v=y;
lambda=1/max(abs(x));
function [lambda,v]=INV_shift1(a,x,epsilon,max1)
for i=1:max1
y=x/max(abs(x));
x=lu1(a,y,3)
end
v=y;
lambda=1/max(abs(x));
方程组1结果
>> a=[-1 2 1;2 -4 1;1 1 -6];
>> x=[1 1 1]';
>> epsilon=0.00005;
>> max1=20;
>> [lambda,v]=INV_shift(a,x,epsilon,max1)
lambda =
0.2880
v =
1.0000
0.5229
0.2422
方程组2结果
>> a=[4 -2 7 3 -1 8;-2 5 1 1 4 7;7 1 7 2 3 5;3 1 2 6 5 1;-1 4 3 5 3 2;8 7 5 1 2 4]; >> x=[1 0 1 0 0 1]';
>> epsilon=0.00005;
>> max1=20;
>> [lambda,v]=INV_shift(a,x,epsilon,max1
lambda =
1.6214
v =
-0.4824
-0.0702
1.0000
-0.6005
0.5211
-0.4588
六、实验结果分析
1.幂法
幂法是一种计算矩阵主特征值(矩阵按模最大的特征值)及对应特征向量的迭代方法, 特别是用于大型稀疏矩阵。
设实矩阵A=[a ij]n×n有一个完全的特征向量组，其特征值为λ1，λ2,…,λn,相应的特征向量为x1 ,x2,…,x n.已知A的主特征值是实根，且满足条件
|λ1|>|λ2|≥|λ3|≥…≥|λn |, (2.1)
幂法的基本思想是任取一个非零的初始向量ν0,由矩阵A构造一向量序列
称为迭代向量。
2.ν0=α1 x1+α2 x2+ … +αn x n(α≠0 ), (2.3)
于是
其中
(2.4)
由假设
从而
这说明序列νk/λ1k越来越接近A的对应于λ1的特征向量, 或者说当k充分大时
故
即两相邻迭代向量分量的比值收敛到主特征值。
2、反幂法
反幂法用来计算矩阵按模最小的特征值及其特征向量，也可用来计算对应与一个给定近似特征值的特征向量。
设A∈R n×n为非奇异矩阵，A的特征值依次记为
|λ1|≥|λ2|≥|λ3|≥…≥|λn |,
相应的特征向量为x1 ,x2,…,x n , 则A-1的特征值为
|1/λn|≥|1/λn-1|≥…≥|1/λ1 | ,
相应的特征向量为x n,x n-1,…,x1 . 所以计算A的按模最小的特征值λn的问题就是计算A-1的按模最大的特征值问题。
对于A-1应用幂法迭代(称为反幂法)，可求得矩阵A-1的主特征值1/λn，从而求得A的按模最小的特征值λ。