(完整word版)反比例函数知识点总结

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反比例函数知识点归纳

反比例函数知识点归纳反比例函数是指一个函数，其中一个变量的值与另一个变量的值成反比。

在数学中，反比例函数通常表示为y=k/x，其中x和y是函数的自变量和因变量，k是常数。

反比例函数也可以写为y=k/(x+a)，其中a是常数。

在本文中，我们将归纳一些关于反比例函数的重要知识点。

1.定义：反比例函数是一个特殊的函数类型，它的特点是当x增加时，y值减小，反之亦然。

在反比例函数中，变量x和y成反比关系，即x和y的乘积等于常数k。

反比例函数可以表示为y=k/x，其中k是常数。

当k大于0时，函数图像在y轴上方，当k小于0时，函数图像在y轴下方。

2.定义域和值域：在反比例函数中，除了x不能等于0之外，x可以取任何非零实数值。

这是因为当x等于0时，函数的定义不再成立，因为不能除以0。

而y的取值范围可以包括0，在y=k/x的函数中，y可以取任意非零实数值。

当k大于0时，y的范围为(0,+∞)，当k小于0时，y的范围为(-∞,0)，当k等于0时，y只能取0。

3.图像和性质：反比例函数的图像是一个超越坐标轴的曲线，它的形状为一条倒置的双曲线。

当k大于0时，曲线的开口朝下；当k小于0时，曲线的开口朝上。

反比例函数是一个奇函数，它具有对称性，即f(x)=-f(-x)。

此外，反比例函数的图像永远不会与x轴或y轴相交，因为x等于0时，函数的定义不成立。

4.等比例变换：反比例函数的图像可以通过等比例变换来得到其他的反比例函数图像。

当我们在函数中加入一个常数a，变成y = k/(x+a)，这会导致图像在x轴上方或下方平移a个单位。

当a大于0时，图像向左移动；当a小于0时，图像向右移动。

同样地，当我们在函数中加入一个倍数c，变成y =ck/x，这会导致图像的开口变窄或变宽。

当c大于1时，图像变窄，当0<c<1时，图像变宽。

5.利用反比例函数解决实际问题：反比例函数在实际问题中有着广泛的应用。

例如，当我们知道两个变量成反比时，可以使用反比例函数来描述这一关系，并解决相关问题。

八年级下册数学第六章反比例函数知识点

八年级下册数学第六章反比例函数知识点
八年级下册数学第六章主要学习反比例函数的知识。

以下是该章节的主要内容：
1. 反比例函数的定义：如果两个变量的乘积为定值，那么它们之间就存在反比例的关系，可以表示为y = k/x，其中k为常数。

2. 反比例函数的图像特点：反比例函数的图像是一个直角双曲线，对称于一、三象限的原点。

函数的图像与y轴和x轴都有渐近线。

3. 反比例函数的性质：反比例函数的定义域为除去x=0的所有实数，值域也为除去y=0的所有实数。

4. 反比例函数的性质：随着x的增大，y的值趋近于0；随着x的减小，y的值趋近于无穷大。

5. 反比例函数的应用：反比例函数常用于解决与速度、密度、浓度、比例等问题，如速度和时间、材料的用量和产品的质量等。

6. 反比例函数的图像变换：通过对反比例函数进行平移、伸缩和翻转等操作，可以得到新的反比例函数的图像。

以上是八年级下册数学第六章反比例函数的主要知识点。

希望对你有帮助！。

反比例函数知识点整理

反比例函数知识点整理反比例函数是数学中的一种特殊函数形式，它的表达式为y=k/x，其中k是常数，x和y分别表示自变量和因变量。

在学习反比例函数时，我们需要了解它的定义、图像特征、性质以及应用等方面的知识点。

一、反比例函数的定义反比例函数是一种具有特殊形式的函数，其定义如下：当x≠0时，y=k/x，其中k是常数，称为比例系数；当x=0时，函数无定义。

二、反比例函数的图像特征1. 反比例函数的图像呈现出一条直线和坐标轴的分离特点。

2. 当x趋近于正无穷大时，y趋近于0；当x趋近于负无穷大时，y也趋近于0；当x趋近于0时，y的绝对值趋近于正无穷大。

3. 反比例函数的图像关于y轴对称。

三、反比例函数的性质1. 定义域：反比例函数的定义域为除去x=0之外的所有实数。

2. 值域：反比例函数的值域为除去y=0之外的所有实数。

3. 单调性：当k>0时，反比例函数在定义域上单调递减；当k<0时，反比例函数在定义域上单调递增。

4. 零点：当x≠0时，反比例函数的零点为x=k。

5. 解方程：对于反比例函数的解方程问题，可以采用代数运算的方式解决。

例如，对于函数y=k/x，若求解y=0的解，则解为x=0；若求解k=0的解，则解为x的全体实数。

四、反比例函数的应用反比例函数在实际问题中有着广泛的应用，以下为一些常见的应用场景：1. 比例关系：反比例函数常用于描述两个变量之间的反比关系，例如电阻与电流的关系、速度与时间的关系等。

2. 等时工作问题：在某些需要保持总工作量不变的情况下，反比例函数可用于描述工作人员数量与工作时间的关系。

3. 比例缩放：反比例函数可用于描述物体大小与距离的关系，例如光的强度与距离的关系等。

4. 电磁场强度：反比例函数可用于描述电磁场强度与距离的关系，例如万有引力与质点间距离的关系等。

总结：通过对反比例函数的定义、图像特征、性质以及应用等方面的整理，我们可以更好地理解和应用反比例函数。

完整word版反比例函数知识点归纳重点

反比例函数知识点归纳和典型例题（一）知识结构（二）学习目标，k为常数，）理解并掌握反比例函数的概念，1．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式（能判断一个给定函数是否为反比例函数．．能描点画出反比例函数的图象，会用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即2列表法、解析式法和图象法的各自特点．）的函数关系和性质，能利用这些函（．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数k为常数， 3 数性质分析和解决一些简单的实际问题．的过程，体会函数”．对于实际问题，能4“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型．．进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法．5 （三）重点难点1．重点是反比例函数的概念的理解和掌握，反比例函数的图象及其性质的理解、掌握和运用．．难点是反比例函数及其图象的性质的理解和掌握． 2 二、基础知识（一）反比例函数的概念，在解决有关自变量指数问1．x）的形式，注意自变量（的指数为（）可以写成题时应特别注意系数这一限制条件；，从而得到反比例函2xy=k）也可以写成（．k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的 1数的解析式；y轴无交点．的自变量3．反比例函数，故函数图象与x轴、（二）反比例函数的图象在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0应对称取点（关于原点对称）．，且x （三）反比例函数及其图象的性质（）．函数解析式：1．自变量的取值范围： 2 3．图象：）图象的形状：双曲线．（1越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．y时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，当随x的增大而减小；随x的增大而增大．当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y）在双曲线的一支上，则（，a3（）对称性：图象关于原点对称，即若（，b）在双曲线的另一支上．）和（，）在双曲线的另一支上．ba对称，即若（，）在双曲线的一支上，则（图象关于直线，的几何意义．k4的面ByPBAxPA）是双曲线，（，设点如图1Pab上任意一点，作⊥轴于点，⊥轴于点，则矩形PBOA的面积都是）．PBOPAO积是（三角形和三角形Q如图P，由双曲线的对称性可知，2⊥QC作也在双曲线上，PA关于原点的对称点的延长线于的面积为PQCC，则有三角形．22 图图1．说明：5）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个1（分支分别讨论，不能一概而论．）直线与双曲线的关系：（2当两图象没有交点；且这两个交点关于原点成中心对称．当时，时，两图象必有两个交点，3）反比例函数与一次函数的联系．（（四）实际问题与反比例函数．求函数解析式的方法： 1 ）待定系数法；1（2）根据实际意义列函数解析式．（2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．（五）充分利用数形结合的思想解决问题．三、例题分析1．反比例函数的概念．是x的反比例函数的是（）y（1）下列函数中，By=3x A．．D．．C3xy=1）．x2（）下列函数中，y是的反比例函数的是（B A．．．C D．1（答案：））（；C2．A 3．图象和性质2）已知函数（1是反比例函数，①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．k=___________．②若y随x的增大而减小，那么y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．2（）已知一次函数）（3）若反比例函数经过点（，2，则一次函数的图象一定不经过第_____象限．）在反比例函数的图象上，P（a，b，点（4）已知a·b＜0）．则直线不经过的象限是（．第四象限A．第一象限B．第二象限C．第三象限D m，）是反比例函数图象上的两点，2）若P（2，）和Q（（5 ．的图象经过（则一次函数y=kx+m ）B．第一、二、四象限．第一、二、三象限 AD．第二、三、四象限C．第一、三、四象限）已知函数和（）．，它们在同一坐标系内的图象大致是（k≠0）6（．A．B．D C．．（C5）（3（1②；2）一、三；（）四；4C；（）；6）B1答案：（）①3．函数的增减性）（1在反比例函数的值为则（．），且，的图象上有两点，．负数．正数A B．非正数C D ．非负数 4、（2）在函数，则函数值、（a为常数）的图象上有三个点，，）的大小关系是（．．＜＜．＜B．＜C＜＜＜A．＜D．；②（3）下列四个函数中：①；③；④）．x y随的增大而减小的函数有（个D．3．个A．0个B．1 C2个时，这个反比例函数的函数y=2x（4）已知反比例函数的图象与直线和y=x+1的图象过同一点，则当＞0x ．””（填“增大或“减小）的增大而值y随xB）．；（1答案：（）A；2）D（3 注意，（3的增大而减小．y”随x）中只有②是符合题意的，而③是在“每一个象限内．解析式的确定4）若（1与．）的（是成反比例，与成正比例，则yz．不能确定C．一次函数D．反比例函数．正比例函数A B，它们与反比例函数）若正比例函数（2y=2x，，则）m2 的图象有一个交点为（，m=_____k=________ 的另一个交点为．________3（）已知反比例函数的值．的图象在第二、四象限，求的图象经过点，反比例函数x 0P ）的图象在第一象限内的交点为（y=x+m）已知一次函数4（与反比例函数（．3，）的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．x 0①求已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药“）为了预防5（非典，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．”5分钟燃毕，此yy （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，与x成反比例（如图所示），现测得药物8量时室内空气中每立方米的含药量为请根据题中所提供的信息解答下列问题：毫克．6y_______________的取值范围是；药物燃烧后的函数关系式为___________，自变量x y①药物燃烧时关于x _________________．关于x的函数关系式为_______至少需要经过当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，②研究表明，分钟后，学生才能回到教室；才能有效杀灭空气中的病菌，分钟时，毫克且持续时间不低于10 研究表明，③当空气中每立方米的含药量不低于3 那么此次消毒是否有效？为什么？答案：（1）B，（）；，（2）48，；，解得．）依题意，（3且）①依题意，解得4（．②一次函数解析式为，反比例函数解析式为（，；5）①，（分钟）30②；③消毒时间为，所以消毒有效．5．面积计算轴作垂线，过每一点所作的轴、yCBA（1）如图，在函数的图象上有三个点、、，过这三个点分别向x轴围成的矩形的面积分别为轴、两条垂线段与xy ，则（、、）．．C．． D ．A B）题图1第（第（）题图2 6，SBC//x轴，△ABC的面积的图象上关于原点（2）如图，A、B是函数O对称的任意两点，AC//y轴，则（．）2＞D．S＜S＜2C．S=2 A．S=1 B．1的值．S（3）如图，Rt △AOB的顶点A在双曲线上，且△AOB=3，求m4）题图第（第（3）题图yP2两点，过P1分别作x轴、P1（4）已知函数的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于和R ，垂足分别为Q 2，P2 Q 2R1轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，，过P2分别作x轴、y轴的垂线，P2 R 2 O Q 2P2 R 2的周长，并比较它们的大小．，求矩形2O Q1P1 R 1和，kBx轴于轴垂线交过A的图象相交于、＞0）和反比例函数C两点，A作x正比例函数（5）如图，y=kx（S=_________ABC连接BC，若△面积为S，则．第（6）题图）题图第（5且BxAB与直线AABORt6（）如图在△中，顶点是双曲线在第四象限的交点，⊥轴于△ABO=．S ①求这两个函数的解析式；A②求直线与双曲线的两个交点△的坐标和C、的面积．AOC 7y、C分别在x轴、为坐标原点，点（7）如图，已知正方形OABC的面积为9，点OA）的图象上任意一点，＞n，）是函数（k＞0，x0x轴上，点B在函数（k＞0，＞0）的图象上，点P （m F，设矩形OEPF在正方形．以外的部分的面积为SOABCy过P分别作x轴、轴的垂线，垂足为E、k的值；①求B点坐标和当时，求点P的坐标；②的函数关系式．关于m③写出S CD答案：（1）；（2）；（3）6；的周长为的周长为，矩形O Q 1P1 R 18，O Q 2P2 R 2，前者大．（4），1．（5）；，直线为（6）①双曲线为），1）和A，②直线与两轴的交点分别为（0，）和（0），且（1，C（，4面积为．因此；33B（7）①（，），；06E②时，（，），③．6．综合应用（）若函数（1y=k1xk1 （k2k10k2 （）和函数≠0≠）在同一坐标系内的图象没有公共点，则和．）．互为倒数A B．绝对值相等C ．符号相同D．符号相反8A的图象交于A、B2（两点：）如图，一次函数的图象与反比例数．）1，n（（，1），B ①求反比例函数和一次函数的解析式；根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．②B（3）如图所示，已知一次函数A、轴分别交于）的图象与x 轴、y（k≠0OA=OB=OD=1．D）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为，若0两点，且与反比例函数（m≠求点A、B、D的坐标；①求一次函数和反比例函数的解析式．②、（4）如图，一次函数C的图象与反比例函数的图象交于第一象限OD，（O是坐标原点）．BAD两点，坐标轴交于、两点，连结OC 的值；利用图中条件，求反比例函数的解析式和①m的坐标；若不存P的面积相等？若存在，给出证明并求出点△POC，使得双曲线上是否存在一点②P△和POD 在，说明理由．）不解方程，判断下列方程解的个数．5（①；②．9，一次函数为反比例函数为；（2）①或．②范围是A（3）①（0，）（1B），（0，），D1，0；②一次函数为，反比例函数为．（4，）①反比例函数为；②存在（．22，）（）①构造双曲线5和直线，它们无交点，说明原方程无实数解；②构造双曲线，它们有两个交点，说明原方程有两个实数解．和直线10。

(完整版)中考——反比例函数知识点【经典】总结

反比例函数一、基础知识1.定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数。

还可以写成xk y =k o k ≠x ky =kxy =1-2.反比例函数解析式的特征：⑴等号左边是函数，等号右边是一个分式。

分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分y k k 母中含有自变量，且指数为1.x ⑵比例系数0≠k ⑶自变量的取值为一切非零实数。

x ⑷函数的取值是一切非零实数。

y 3.反比例函数的图像⑴图像的画法：描点法①列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数）②描点（有小到大的顺序）③连线（从左到右光滑的曲线）⑵反比例函数的图像是双曲线，（为常数，）中自变量，函数值，所xky =k 0≠k 0≠x 0≠y 以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。

⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是或）。

x y =x y -=⑷反比例函数（）中比例系数的几何意义是：过双曲线（）上任意引x k y =0≠k k xky =0≠k 轴轴的垂线，所得矩形面积为。

x y k 4．反比例函数性质如下表：的取值k 图像所在象限函数的增减性ok >一、三象限在每个象限内，值随的增大而减小y xo k <二、四象限在每个象限内，值随的增大而增大y x 5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出）k 6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系。

xky =7. 反比例函数的应用题型总结：一．反比例函数的图象与性质【例1】对与反比例函数，下列说法不正确的是（）xy 2=A ．点（）在它的图像上 1,2--B ．它的图像在第一、三象限C ．当时，0>x 的增大而增大随x yD ．当时，0<x 的增大而减小随x y 【例2】已知反比例函数的图象经过点（1，-2），则这个函数的图象一定经过（ ()0ky k x=≠）A 、（2，1）B 、（2，-1）C 、（2，4）D 、（-1，-2）【例3】在同一直角坐标平面内，如果直线与双曲线没有交点，那么和的关系x k y 1=xk y 2=1k 2k 一定是（）A. +=0B. ·<0C. ·>0D.=1k 2k 1k 2k 1k 2k 1k 2k 【例4 】已知,且反比例函数的图象在每个象限内，随的增大而增大,如果点3=b xby +=1y x 在双曲线上，求a 是多少？()3,a xb y +=1【例5】两个反比例函数y=k x 和y=1x 在第一象限内的图像如图3所示，点P 在y=kx的图像上，PC⊥x 轴于点C ，交y=1x 的图像于点A ，PD⊥y 轴于点D ，交y=1x的图像于点B ，当点P 在y=kx的图像上运动时，以下结论： ①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形PAOB 的面积不会发生变化；③PA 与PB 始终相等④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是_______（把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）．二．反比例函数的判定l t y ABC【例1】若与成反比例，与成正比例，则是的（）y x x z y z A 、正比例函数 B 、反比例函数 C 、一次函数 D 、不能确定【例2】如果矩形的面积为6cm 2，那么它的长cm 与宽cm 之间的函数图象大致为（）y x 三．反比例函数的解析式特征（的指数，值与图像分布关系）：x k 【例1】如果函数的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？222-+=k k kxy 【例2】如果函数22(1)my m x -=-为反比例函数，则m 的值是（）A 、1-B 、0C 、21 D 、1四.比较反比例函数图象上点的横纵坐标大小关系：【例1】在反比例函数的图像上有三点，，，，，。

(word版)反比例函数知识点归纳(重点)

中考复习反比例函数根底知识〔一〕反比例函数的概念1．〔〕可以写成〔〕的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．〔〕也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．〔二〕反比例函数的图象在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点〔关于原点对称〕．〔三〕反比例函数及其图象的性质1．函数解析式：〔〕2．自变量的取值范围：3．图象：〔1〕图象的形状：双曲线．（越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．图像越远离坐标轴越小，图象的弯曲度越大．图像越靠近坐标轴2〕图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．〔3〕对称性：图象关于原点对称，即假设〔a，b〕在双曲线的一支上，那么〔，〕在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即假设〔a，b〕在双曲线的一支上，那么〔，〕和〔，〕在双曲线的另一支上．4．k的几何意义如图1，设点P〔a，b〕是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，那么矩形PBOA的面积是〔三角形PAO和三角形PBO的面积都是〕．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，那么有三角形PQC 的面积为．图1图25．说明：1〕双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．〔2〕直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．〔四〕实际问题与反比例函数1．求函数解析式的方法：〔1〕待定系数法；〔2〕根据实际意义列函数解析式．2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．〔五〕充分利用数形结合的思想解决问题．三、例题分析1．反比例函数的概念〔1〕以下函数中，y是x的反比例函数的是〔〕．A．y=3x B．C．3xy=1D．〔2〕以下函数中，y是x的反比例函数的是〔〕．A．B．C．D．2．图象和性质〔1〕函数是反比例函数，①假设它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．②假设y随x的增大而减小，那么k=___________．〔2〕一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，那么函数的图象位于第______象限．〔3〕假设反比例函数经过点〔，2〕，那么一次函数的图象一定不经过第_____象限．〔4〕a·b＜0，点P〔a，b〕在反比例函数的图象上，那么直线不经过的象限是〔〕．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限〔5〕假设P〔2，2〕和Q〔m，〕是反比例函数图象上的两点，那么一次函数y=kx+m的图象经过〔〕．A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限〔6〕函数和〔k≠0〕，它们在同一坐标系内的图象大致是〔〕．A．B．C．D．3．函数的增减性〔1〕在反比例函数的图象上有两点，，且，那么的值为〔〕．A．正数B．负数C．非正数D．非负数〔2〕在函数〔a为常数〕的图象上有三个点，，，那么函数值、、的大小关系是〔〕．A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜〔3〕以下四个函数中：①；②；③；④．y随A．0个x的增大而减小的函数有〔B．1个〕．C．2个D．3个〔4〕反比例函数时，这个反比例函数的函数值的图象与直线y随x的增大而y=2x和y=x+1的图象过同一点，那么当〔填“增大〞或“减小〞〕．x＞04．解析式确实定〔1〕假设与A．正比例函数成反比例，与成正比例，那么B．反比例函数y是z的〔〕．C．一次函数D．不能确定〔2〕假设正比例函数y=2x 与反比例函数的图象有一个交点为〔2，m〕，那么m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．〔3〕反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值．〔4〕一次函数y=x+m与反比例函数〔〕的图象在第一象限内的交点为P〔x，3〕．①求x的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．。

反比例知识点总结

反比例是数学中一种重要的函数关系，主要出现在初中数学的学习内容中。

以下是反比例函数的相关知识点总结：1. 定义：两种相关联的变量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么我们就称这两种量成反比例关系。

表达式为：y = k/x (k ≠0)，其中，k 是常数，x 是自变量，y 是因变量。

2. 图像特征：反比例函数的图像是一条双曲线，分布在第一、三象限或第二、四象限，具体分布取决于k的正负。

函数图像关于原点成中心对称。

3. 性质：在每个象限内，从左到右，y随x的增大而减小；反之，y随x 的减小而增大。

图像永远不会与坐标轴相交。

如果点（x1, y1）在反比例函数图像上，那么点(-x1, -y1)、(y1, x1)也在该图像上。

4. 应用：反比例关系广泛存在于现实生活中的各种问题，如物理学中的功率与时间的关系，化学中的反应速率与反应物浓度的关系，经济学中的价格与需求量的关系等。

5. 解题方法：遇到求反比例函数解析式的问题，通常可以通过找出满足函数关系的两个对应值，代入公式求解k值。

对于图像和性质的分析，可以根据上述性质进行判断和解答。

反比例函数在数学中的意义主要体现在它描述了一种特殊的变量关系，这种关系是两个变量之间乘积恒定的规律。

具体来说：1. 定义与形式：如果两个变量x和y之间的关系可以表示为y = k/x（其中k是不为零的常数），那么我们称y是x的反比例函数。

这里的k是比例系数，决定了曲线的形状和位置。

2. 关系特征：反比例函数反映的是两个变量成反向变化的关系，即一个变量增大时，另一个变量会按相同的比例减小，以保持它们乘积的不变性。

3. 几何意义：反比例函数在坐标平面上的图像是一条双曲线，分布在第一、三象限或第二、四象限，取决于系数k的正负。

双曲线具有对称性，并且永远不会与坐标轴相交。

4. 实际应用：反比例函数关系广泛存在于现实生活中的多个领域，如物理学中的力矩和力臂的关系、电流强度与电阻的关系（欧姆定律）、经济学中的价格和需求量的关系等。

反比例函数知识点归纳(重点)

反比例函数知识点归纳(重点)一、知识结构反比例函数的概念、图象及性质，函数的三种表示方法，函数模型的建立与实际问题的解决。

二、研究目标1.理解反比例函数的概念，能确定反比例函数的解析式，判断函数是否为反比例函数。

2.能描点画出反比例函数的图象，用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法。

3.能分析反比例函数的数学性质，解决一些简单实际问题。

4.能建立函数模型，解决实际问题，认识函数作为数学模型的重要性。

5.进一步理解常量与变量的关系，认识数形结合的思想方法。

三、重点难点重点是反比例函数的概念及图象的性质的理解和掌握，难点是反比例函数及其图象的性质的理解和掌握。

基础知识一、反比例函数的概念1.反比例函数可以写成 $y=k/x$ 的形式，其中 $k$ 为常数，$x\neq 0$。

2.反比例函数也可以写成 $xy=k$ 的形式，用它可以求出反比例函数解析式中的 $k$，从而得到反比例函数的解析式。

3.反比例函数的自变量不能为 $0$，函数图象与 $x$ 轴、$y$ 轴无交点。

二、反比例函数的图象1.函数解析式：$y=k/x$。

2.自变量的取值范围：$x\neq 0$。

3.图象：1) 图象的形状：双曲线。

$k$ 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直；$k$ 越小，图象的弯曲度越大。

2) 图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线。

当 $k>0$ 时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，$y$ 随 $x$ 的增大而减小。

当 $k<0$ 时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，$y$ 随 $x$ 的增大而增大。

当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$y$ 趋近于无穷大或无穷小。

3) 对称性：图象关于原点对称，即若 $(a,b)$ 在双曲线的一支上，则 $(\frac{k}{a},b)$ 在双曲线的另一支上。

三、反比例函数及其图象的性质1.反比例函数的解析式为 $y=k/x$，其中 $k$ 为常数，$x\neq 0$。

反比例函数知识点归纳

反比例函数知识点归纳定义：形如函数y=k/x(k为常数且k≠0)叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x 是自变量，y是自变量x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数。

函数y=k/x 称为反比例函数，其中k≠0，其中x是自变量，1.当k>0时，图象分别坐落于第一、三象限，同一个象限内，y随x的减小而增大;当k<0时，图象分别坐落于二、四象限，同一个象限内,y随x的减小而减小。

2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数;k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。

3.x的值域范围就是：x≠0;y的取值范围是：y≠0。

4..因为在y=k/x(k≠0)中，x无法为0，y也无法为0，所以反比例函数的图象不可能将与x轴平行，也不可能将与y轴平行。

但随着x无穷减小或是无穷增加，函数值无穷收敛于0，故图像无穷吻合于x轴5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=xy=-x(即第一三，二四象限角平分线)，对称中心是坐标原点。

(k为常数，k≠0)的形式，那么表示y就是x的反比例函数。

其中，x是自变量，y是函数。

由于x在分母上，故取x≠0的一切实数，看函数y的取值范围，因为k≠0，且x≠0，所以函数值y也不可能为0。

补足表明：1.反比例函数的解析式又可以译成： (k就是常数，k≠0).2.要求出反比例函数的解析式，利用待定系数法求出k即可.反比例函数解析式的特征⑴等号左边是函数，等号右边是一个分式。

分子是不为零的常数(也叫做比例系数)，分母中含有自变量，且指数为1。

⑵比例系数⑶自变量的取值为一切非零实数。

⑷函数的值域就是一切非零实数。

形如y=k/x(k为常数且k≠0)的函数，叫做反比例函数。

自变量x的值域范围就是不等同于0的一切实数。

反比例函数的图像为双曲线。

由于反比例函数属奇函数，存有f(-x)=-f(x)，图像关于原点等距。

反比例函数知识点归纳(重点)

中考复习反比例函数基础知识（一）反比例函数的概念1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．（二）反比例函数的图象在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（三）反比例函数及其图象的性质1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：（1）图象的形状：双曲线．越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．图像越远离坐标轴越小，图象的弯曲度越大．图像越靠近坐标轴（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．图 1 图2 5．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（四）实际问题与反比例函数1．求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．（五）充分利用数形结合的思想解决问题．三、例题分析1．反比例函数的概念（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．y=3x B．C．3xy=1 D．（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．B．C．D．2．图象和性质（1）已知函数是反比例函数，①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．②若y随x的增大而减小，那么k=___________．（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第______象限．（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_____象限．（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，则直线不经过的象限是（）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点，则一次函数y=kx+m的图象经过（）．A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限（6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（）．A．B．C．D．3．函数的增减性（1）在反比例函数的图象上有两点，，且，则的值为（）．A．正数B．负数C．非正数D．非负数（2）在函数（a为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（）．A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜（3）下列四个函数中：①；②；③；④．y随x的增大而减小的函数有（）．A．0个B．1个C．2个D．3个（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而（填“增大”或“减小”）．4．解析式的确定（1）若与成反比例，与成正比例，则y是z的（）．A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数D．不能确定（2）若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为（2，m），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．（3）已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值．（4）已知一次函数y=x+m与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为P （x，3）．①求x的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．。

九年级数学《反比例函数》反比例函数知识点总结

《反比例函数》知识点汇编一、反比例函数的定义一般地，形如xky =（k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数。

（1）x 是自变量，y 是x 的反比例函数；（2）自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠；（3）反比例函数有三种表达式：①xk y =（0k ≠），②1kx y -=（0k ≠）， ③k y x =⋅（0k ≠）；（4）函数xky =（0k ≠）与y k x =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时，x 也是y 的反比例函数。

二、反比例函数解析式的确定方法有两种： 1、等量关系法要用到常见的一些等量关系 2、待定系数法用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：①设所求的反比例函数为：xky =（0k ≠）； ②列出含k 的方程；③解出待定系数k 的值； ④把k 值代入函数关系式xky =中。

三、反比例函数的图像及画法1、反比例函数的图像是由两支曲线组成，称“双曲线”注：这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠，函数值0y ≠，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

2、反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。

3、在作反比例函数的图像时应注意以下几点：①列表时选取的数值宜对称选取；②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，画成折线；切忌将图像与坐标轴相交④画图像时，它的两个分支应全部画出，但实际问题除外。

四、反比例函数的性质：xky =)0k (≠的变形形式为k xy =（常数）所以： 1、其图象的位置是：当0k >时，x 、y 同号，图象在第一、三象限；当0k <时，x 、y 异号，图象在第二、四象限。

2、若点(m,n)在反比例函数xky =的图象上，则点（-m,-n ）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称。

初中反比例函数知识点总结大全

初中反比例函数知识点总结大全反比例函数知识点总结1、反比例函数的表达式X是自变量，Y是X的函数y=k/x=k·1/xxy=ky=k·x^(-1)(即：y等于x的负一次方，此处X必须为一次方)y=kx(k为常数且k≠0，x≠0)若y=k/nx此时比例系数为：k/n2、函数式中自变量取值的范围①k≠0;②在一般的情况下，自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数;③函数y的取值范围也是任意非零实数。

解析式y=k/x其中X是自变量，Y是X的函数，其定义域是不等于0的一切实数y=k/x=k·1/xxy=ky=k·x^(-1)y=kx(k为常数(k≠0)，x不等于0)3、反比例函数图象反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线(hyperbola)，反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交(K≠0)。

4、反比例函数中k的几何意义是什么?有哪些应用?过反比例函数y=k/x(k≠0)，图像上一点P(x，y)，作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积S=x的绝对值_y的绝对值=(x_y)的绝对值=|k|研究函数问题要透视函数的本质特征。

反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|。

所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。

从而有k的绝对值。

在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便。

数学反比例函数知识点归纳y=k/x(k≠0)的图象叫做双曲线.当k0时，双曲线在一、三象限(在每一象限内，从左向右降);当k0时，双曲线在二、四象限(在每一象限内，从左向右上升).因此，它的增减性与一次函数相反.以上对反比例函数知识点的讲解，相信同学们能很好的掌握了，希望同学们能很好的学习知识点。

反比例函数知识点梳理

反比例函数知识点梳理
y=k/x
其中，y表示一个变量的值，x表示另一个变量的值，k是比例常数。

反比例函数的特点是，一个变量的值增大，另一个变量的值就会减小；一
个变量的值减小，另一个变量的值就会增大。

1.定义域和值域：
2.变化趋势：
当x增大时，y就会减小；当x减小时，y就会增大。

两者是成反比
的关系。

3.特殊情况：
当y和x有一个为零时，反比例函数无定义。

这是因为在反比例函数中，不能除以零。

4.x和y的初始值：
当x=1时，y=k/1=k。

这意味着当x取1时，y的值就等于比例常数k。

5.比例常数k的取值：
比例常数k可以是任意非零实数，但取值不同会导致反比例函数的图
像形状不同。

比例常数k的正负性决定了反比例函数的图像是在y轴的上
方还是下方，而比例常数k的绝对值大小决定了函数图像的陡峭程度。

6.图像：
反比例函数的图像一般是一个平面上的曲线，碰触坐标轴上的点是
x=0和y=0，称为渐近线。

当比例常数k为正时，曲线在第一象限和第三象限之间开口；当比例常数k为负时，曲线在第二象限和第四象限之间开口。

曲线越靠近坐标轴，其图像就越陡峭。

7.标准方程：
8.反比例函数的应用：
总结起来，反比例函数是数学中一种特殊的函数形式，表示两个变量之间的关系满足y=k/x。

它具有一些特点和性质，包括定义域和值域、变化趋势、特殊情况、x和y的初始值、比例常数k的取值、图像特征等。

反比例函数在实际生活中有广泛的应用。

反比例函数总结

反比例函数总结反比例函数是数学中常见的一类函数，它们的特点是与直线y=kx 的图像相似，但是两者的关系却完全相反。

在这篇文章中，我们将会总结反比例函数的性质、应用以及一些相关的数学概念。

一、基本定义1. 反比例函数的定义反比例函数是指一种形如y=k/x的函数形式，其中k是一个常数。

x和y分别表示自变量和因变量，而k则是两者之间的比例系数。

2. 反比例函数的图像当k>0时，反比例函数的图像落在第一和第三象限之间，呈现出从左上到右下逐渐下降的趋势；当k<0时，图像则反转，从右上到左下逐渐下降。

特别地，当k=0时，函数成为一条特殊的直线y=0。

二、性质与图像1. 反比例函数的导数对于反比例函数y=k/x而言，其导函数为y'=-k/x²。

由此可见，在反比例函数的图像上，斜率随着自变量的增大而逐渐减小，反之亦然。

2. 反比例函数的渐近线当自变量x趋近于无穷大或无穷小时，反比例函数的图像接近于x轴和y轴。

即，它们都成为反比例函数的渐近线。

这一性质在实际问题中有着重要的应用，例如在求解极限和近似计算中。

三、应用与实例1. 物理学中的反比例关系许多物理学问题中存在着反比例的关系。

例如，牛顿第二定律中的力和加速度之间的关系就满足反比例函数。

根据公式F=ma，当质量m一定时，加速度a和作用力F成反比例关系。

2. 经济学中的反比例关系在经济学中，还可以找到许多反比例关系的例子。

例如，价格和需求之间的关系遵循着反比例的规律。

当价格上涨时，需求减少；当价格下降时，需求增加。

这种关系被称为“供需定律”。

3. 生活中的反比例关系反比例函数也在我们的日常生活中有着广泛的应用。

例如，在长途旅行中，行驶的速度和到达目的地所需的时间成反比例关系。

当速度增加时，所需时间减少；反之亦然。

四、相关概念1. 反比例关系与正比例关系的对比反比例关系与正比例关系是数学中重要的概念，两者在图像上呈现出截然不同的特点。

反比例函数讲义(知识点+典型例题)

变式1 如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（） A ．反比例函数 B ．正比例函数 C ．一次函数 D ．反比例或正比例函数变式2 若函数11-=m xy (m 是常数)是反比例函数，则m ＝________，解析式为________．题型二：反比例函数解析式例3 已知A （﹣1，m ）与B （2，m ﹣3）是反比例函数图象上的两个点．则m 的值．例4 已知y 与2x －3成反比例，且41=x 时，y ＝－2，求y 与x 的函数关系式．变式3已知y 与x 成反比例，当x ＝2时，y ＝3．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)当y ＝－23时，求x 的值．变式4 已知函数12y y y =-，其中1y 与x 成正比例, 2y 与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝1；x ＝3时，y ＝5．求：（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）当x ＝2时，y 的值．1、反比例函数的图像（1）形状与位置：反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。

（2）变化趋势：由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

2、反比例函数的性质（1）对称性：反比例函数的图像是关于原点对称的中心对称图形，同时也是轴对称图形，有两条对称轴，分别是一、三象限和二、四象限的角平分线，即直线y x =±。

（注：过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称）（2）双曲线的位置：当k>0时，双曲线位于一、三象限（x ，y 同号）；当k<0时，双曲线位于二、四象限（x ，y 同号异号），反之也成立。

（3）增减性：当k>0时，双曲线走下坡路，在同一象限内，y 随x 的增大而减小；当k<0时，双曲线走上坡路，在同一象限内，y 随x 的增大而增大。

(完整版)反比例函数知识点归纳总结与典型例题

反比例函数知识点归纳总结与典型例题(一)反比例函数的概念：知识要点：1、一般地，形如y = — ( k是常数,k = 0 )的函数叫做反比例函数。

x注意：(1)常数k称为比例系数，k是非零常数；(2)解析式有三种常见的表达形式：(A) y = k (k w 0) , (B) xy = k (k 丰 0) (C) y=kx-1 (kw0)x例题讲解：有关反比例函数的解析式1 1 1 x 1 (1)下列函数，① x(y 2) 1②.y ——③y /④.y ——⑤y —⑥y —；其中是y关x 1 x 2x 2 3x 于x的反比例函数的有：。

a2 2 ....... …(2)函数y (a 2)x 是反比例函数,则a的值是( )A.—1B. — 2C. 2D.2 或—21 .................(3)若函数y 七彳勤是常数)是反比例函数，则m=,解析式为 .xk(4)反比例函数y — (k 0)的图象经过(一2, 5)和(J2 , n),x求1) n的值；2)判断点B ( 4J2 , 短)是否在这个函数图象上，并说明理由(二)反比例函数的图象和性质：知识要点：1、形状：图象是双曲线。

2、位置：(1)当k>0时双曲线分另位于第象限内；(2)当k<0时，双曲线分另位于第象限I 3、增减性：(1)当k>0 时,,y 随x的增大而 ;(2)当k<0时,,y随x的增大而。

4、变化趋势：双曲线无限接近于x、y轴，但永远不会与坐标轴相交5、对称性：(1)对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点; (2)对于k取互为相反数的两个反比例函数(如：y = 6和丫= ―)来说，它们是关于x轴，y轴。

x x例题讲解：反比例函数的图象和性质：(1)写出一个反比例函数，使它的图象经过第二、四象限m2 2⑵若反比例函数v (2m 1)x的图象在第二、四象限，则m的值是( )A—1或1； B、小于-的任意实数；C、一1; D、不能确定2(3)下列函数中，当x 0时，y随x的增大而增大的是( )1 一一4 _ 1A y 3x 4B y - x 2 C. y - D. y ——.3 x 2x2 ____ ,. 一 . 一(4)已知反比例函数y ——的图象上有两点A ( x1，y1)，B ( x2, y2),且x1 x2,则y i y 的值是（）A.正数B.负数C.非正数D.不能确定2 .（5）右点（x i, y 1）、（X 2, y 2）和（X 3,y 3）分别在反比例函数 y —的图象上，且X iX 2 0 X 3,x则下列判断中正确的是（）A . y i y y 3B . y 3 y i y 2C . y 2 y 3 y iD . y 3 y y ik 1 ................... 一 ...（6）在反比例函数 y --- 的图象上有两点（x1，y 1）和（x 2, y 2）,右x 10 x 2时，y i y 2 ,则k 的x取值范围是.（7）老师给出一个函数，甲、乙、丙三位同学分别指出了这个函数的一个性质：甲：函数的图象经过第二象限；乙:函数的图象经过第四象限；丙:在每个象限内，y 随x 的增大而增大.请你根据他们的叙述构造满足上述性质的一个函数：.（三）反比例函数与面积结合题型。

反比例函数知识点大全

反比例函数知识点大全反比例函数的定义定义：形如函数y=k/x(k为常数且k≠0)叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x是自变量，y是自变量x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数。

反比例函数的性质函数y=k/x 称为反比例函数，其中k≠0，其中X是自变量，1.当k0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x 的增大而减小;当k0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y 随x的增大而增大。

2.k0时，函数在x0上同为减函数、在x0上同为减函数;k0时，函数在x0上为增函数、在x0上同为增函数。

3.x的取值范围是： x≠0;y的取值范围是：y≠0。

4..因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。

但随着x无限增大或是无限减少，函数值无限趋近于0，故图像无限接近于x轴5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x(即第一三，二四象限角平分线)，对称中心第1页共6页是坐标原点。

反比例函数的一般形式(k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。

其中，x是自变量，y是函数。

由于x在分母上，故取x≠0的一切实数，看函数y的取值范围，因为k≠0，且x≠0，所以函数值y 也不可能为0。

补充说明：1.反比例函数的解析式又可以写成： (k是常数，k ≠0).2.要求出反比例函数的解析式，利用待定系数法求出k即可.反比例函数解析式的特征⑴等号左边是函数，等号右边是一个分式。

分子是不为零的常数(也叫做比例系数)，分母中含有自变量，且指数为1。

⑵比例系数⑶自变量的取值为一切非零实数。

⑷函数的取值是一切非零实数。

反比例函数（高一数学）知识点形如y=k/x(k为常数且k≠0)的函数，叫做反比例函数。

自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

反比例函数图像性质：反比例函数的图像为双曲线。

由于反比例函数属于奇函数，有f(-x)=-f(x)，图像关于原点对称。

(完整word版)反比例函数知识点归纳(重点)

反比率函数知识点概括和典型例题（一）知识结构（二）学习目标1．理解并掌握反比率函数的看法，能依据实质问题中的条件确立反比率函数的分析式（k为常数，），能判断一个给定函数能否为反比率函数．2．能描点画出反比率函数的图象，会用代定系数法求反比率函数的分析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、分析式法和图象法的各自特色．3．能依据图象数形联合地剖析并掌握反比率函数（k为常数，）的函数关系和性质，能利用这些函数性质剖析和解决一些简单的实质问题．4．对于实质问题，能“找出常量和变量，成立并表示函数模型，议论函数模型，解决实质问题”的过程，领会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型．5．进一步理解常量与变量的辨证关系和反应在函数看法中的运动变化看法，进一步认识数形联合的思想方法．（三）要点难点1．要点是反比率函数的看法的理解和掌握，反比率函数的图象及其性质的理解、掌握和运用．2．难点是反比率函数及其图象的性质的理解和掌握．二、基础知识（一）反比率函数的看法1．（）能够写成（）的形式，注意自变量x 的指数为，在解决相关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也能够写成xy=k 的形式，用它能够快速地求出反比率函数分析式中的k，进而获得反比率函数的分析式；3．反比率函数的自变量，故函数图象与x 轴、 y 轴无交点．（二）反比率函数的图象在用描点法画反比率函数的图象时，应注意自变量x 的取值不可以为0，且 x 应付称取点（对于原点对称）．（三）反比率函数及其图象的性质1．函数分析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：（1 ）图象的形状：双曲线．越大，图象的曲折度越小，曲线越平直．越小，图象的曲折度越大．（2）图象的地点和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而增大．（3 ）对称性：图象对于原点对称，即若（ a ，b ）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象对于直线对称，即若（ a ，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4． k 的几何意义如图 1 ，设点 P（ a， b）是双曲线上随意一点，作PA ⊥ x 轴于 A 点， PB ⊥ y 轴于 B 点，则矩形PBOA 的面积是（三角形PAO 和三角形PBO 的面积都是）．如图 2 ，由双曲线的对称性可知，P 对于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA 的延伸线于C，则有三角形PQC 的面积为．图1图25．说明：（1 ）双曲线的两个分支是断开的，研究反比率函数的增减性时，要将两个分支分别议论，不可以混为一谈．（2 ）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点对于原点成中心对称．（3）反比率函数与一次函数的联系．（四）实质问题与反比率函数1．求函数分析式的方法：（1 ）待定系数法；（ 2 ）依据实质意义列函数分析式．2．注意学科间知识的综合，但要点放在对数学知识的研究上．（五）充足利用数形联合的思想解决问题．三、例题剖析1．反比率函数的看法（1 ）以下函数中，y 是 x 的反比率函数的是（）．A ． y=3x B． C ．3xy=1D．（2 ）以下函数中，y 是 x 的反比率函数的是（）．A．B．C．D．2．图象和性质（1 ）已知函数是反比率函数，①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．②若 y 随 x 的增大而减小，那么k=___________．（2 ）已知一次函数y=ax+b 的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．（3 ）若反比率函数经过点（，2），则一次函数的图象必定不经过第_____ 象限．（4 ）已知 a ·b＜ 0 ，点 P （a ， b ）在反比率函数的图象上，则直线不经过的象限是（）．A ．第一象限B ．第二象限C．第三象限D．第四象限（5 ）若 P （ 2 ，2 ）和 Q （m ，）是反比率函数图象上的两点，则一次函数y=kx+m 的图象经过（）．A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D．第二、三、四象限（6 ）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大概是（）．A．B．C．D．答案：（ 1）①② 1；（2）一、三；（3）四；（4）C；（5）C；（6）B．3．函数的增减性（ 1）在反比率函数的图象上有两点，，且，则的值为（）．A ．正数 B ．负数C．非正数D．非负数（ 2）在函数（a为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（）．A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜（3 ）以下四个函数中：①；②；③；④．y 随 x 的增大而减小的函数有（）．A．0个B．1个C．2个D．3个（ 4 ）已知反比率函数的图象与直线y=2x 和 y=x+1 的图象过同一点，则当x＞ 0时，这个反比率函数的函数值 y 随 x 的增大而（填“增大”或“减小”）．答案：（ 1） A；（2） D；（ 3） B ．注意，（ 3）中只有②是切合题意的，而③是在“每一个象限内”y随x的增大而减小．4．分析式确实定（1 ）若与成反比率，与成正比率，则y 是 z 的（）．A ．正比率函数B．反比率函数C．一次函数D．不可以确立（ 2 ）若正比率函数y=2x 与反比率函数的图象有一个交点为（2，m），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________ ．（3 ）已知反比率函数的图象经过点，反比率函数的图象在第二、四象限，求的值．（4 ）已知一次函数 y=x+m 与反比率函数（）的图象在第一象限内的交点为P （x 0 ， 3 ）．①求 x 0 的值；②求一次函数和反比率函数的分析式．量 y （毫克）与时间x （分钟）成正比率，药物焚烧完后，y 与 x 成反比率（如下图），现测得药物8 分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．请依据题中所供给的信息解答以下问题：①药物焚烧时y 对于 x 的函数关系式为___________，自变量x的取值范围是_______________；药物焚烧后y 对于 x 的函数关系式为_________________．②研究表示，当空气中每立方米的含药量低于 1.6 毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，起码需要经过_______分钟后，学生才能回到教室；③研究表示，当空气中每立方米的含药量不低于 3 毫克且连续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒能否有效？为何？答案：（1） B；（2）4，8，（，）；（3 ）依题意，且，解得．（4 ）①依题意，解得②一次函数分析式为，反比率函数分析式为．（5）①，，；② 30；③消毒时间为（分钟），所以消毒有效．5．面积计算（ 1 ）如图，在函数的图象上有三个点A、 B、 C，过这三个点分别向x 轴、 y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x 轴、 y 轴围成的矩形的面积分别为、、，则（）．A．B．C．D．第（ 1）题图第（2）题图（2 ）如图， A 、B 是函数的图象上对于原点O 对称的随意两点，AC//y 轴， BC//x 轴，△ ABC 的面积 S，则（）．A．S=1B．1＜S＜2C．S=2D．S＞2（3 ）如图， Rt △ AOB 的极点 A 在双曲线上，且S△ AOB=3，求m的值．第（ 3）题图第（4）题图（4 ）已知函数的图象和两条直线y=x ，y=2x 在第一象限内分别订交于P1 和 P2 两点，过 P1 分别作 x 轴、 y 轴的垂线 P1Q1 ， P1R1 ，垂足分别为Q1 ， R1 ，过 P2 分别作 x 轴、 y 轴的垂线P2 Q 2 ， P2 R 2 ，垂足分别为Q 2 ， R 2，求矩形O Q 1P1 R 1 和 O Q 2P2 R 2 的周长，并比较它们的大小．（ 5）如图，正比率函数y=kx（ k＞ 0）和反比率函数的图象订交于A、C 两点，过 A 作 x 轴垂线交 x 轴于 B，连结 BC ，若△ ABC 面积为 S，则 S=_________．第（ 5 ）题图第（6）题图（6 ）如图在Rt △ABO 中，极点 A 是双曲线与直线在第四象限的交点，AB ⊥ x 轴于 B 且S△ABO=．①求这两个函数的分析式；②求直线与双曲线的两个交点 A 、 C 的坐标和△ AOC 的面积．（ 7）如图，已知正方形OABC 的面积为 9 ，点 O 为坐标原点，点A、 C 分别在 x轴、 y轴上，点 B 在函数（k＞0，x＞0）的图象上，点P （ m， n）是函数（k＞0，x＞0）的图象上随意一点，过 P 分别作 x 轴、 y 轴的垂线，垂足为 E 、 F，设矩形OEPF 在正方形OABC 之外的部分的面积为S ．①求 B 点坐标和k 的值；②当时，求点P 的坐标；③写出 S 对于 m 的函数关系式．答案：（ 1） D ；（2）C；（3）6；（4），，矩形O Q 1P1 R 1的周长为8，O Q 2P2 R 2的周长为，前者大．（5）1．（6）①双曲线为，直线为；②直线与两轴的交点分别为（ 0，）和（，0），且 A（ 1，）和 C（， 1），所以面积为 4．（7）① B（ 3，3），；②时， E（6，0），；③．6．综合应用（1 ）若函数y=k1x （k1 ≠0）和函数（k2≠0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则k1 和 k2 （）．A ．互为倒数B．符号同样 C ．绝对值相等D．符号相反8（ 2 ）如图，一次函数的图象与反比率数的图象交于A、 B 两点： A （， 1），B （ 1 ，n）．① 求反比率函数和一次函数的分析式；②依据图象写出使一次函数的值大于反比率函数的值的x 的取值范围．（ 3 ）如下图，已知一次函数（k≠0）的图象与x 轴、y 轴分别交于A、 B两点，且与反比率函数（ m≠0 ）的图象在第一象限交于 C 点， CD 垂直于 x 轴，垂足为 D ，若 OA=OB=OD=1．①求点 A、 B、 D 的坐标；② 求一次函数和反比率函数的分析式．（ 4 ）如图，一次函数的图象与反比率函数的图象交于第一象限C、D 两点，坐标轴交于 A 、 B 两点，连结OC ， OD （O 是坐标原点）．①利用图中条件，求反比率函数的分析式和m 的值；②双曲线上能否存在一点P，使得△POC 和△ POD 的面积相等？若存在，给出证明并求出点P 的坐标；若不存在，说明原因．（5 ）不解方程，判断以下方程解的个数．①；②．（2 ）① 反比率函数为，一次函数为；②范围是或．（3）① A（ 0，），B（0，1），D（1，0）；②一次函数为，反比率函数为．（4 ）①反比率函数为，；②存在（ 2， 2）．（5 ）①结构双曲线和直线，它们无交点，说明原方程无实数解；②结构双曲线和直线，它们有两个交点，说明原方程有两个实数解．10。