专题11直角三角形的应用与解直角三角形(解析版)

专题11解直角三角形及其应用一、选择题1、下列计算错误的个数是（ ）①sin60°-sin30°=sin30°②sin 245°+cos 245°=1 ③（tan60°）2=13④tan30°=cos30sin 30oo A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个答案：C分析：根据特殊角三角函数值，可得答案．解答：A .sin60°-sin30°12≠sin30°，故A 错误； B .sin 245°+cos 245°=1，故B 正确；C .（tan60°）2=3，故C 错误；D .tan30°=3030sin cos ︒︒，故D 错误； 选C ．2、如图，ABC ∆的顶点都是正方形网格中的格点，则cos CBA ∠等于（ ）A. 45B. 35C. 34D. 答案：A分析：过点C 作CD ⊥AB ，根据勾股定理求出BC 长，在Rt △CDB 中cos =BD CBA BC∠，即可求解．解答：过点C 作CD ⊥AB ，∴5BC ==在Rt △CDB 中 ∴4cos =5BD CBA BC ∠= 选A3、如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB 的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离BC 为（ ）A. 3sin α米B. 3cos α米C. 3sin α米D. 3cos α米 答案：A 分析：直接利用锐角三角函数关系得出sin 3BC BC AB α==，进而得出答案． 解答：解：由题意可得：sin 3BC BC AB α==， 故()3sin BC m α=．选A4、如图，一艘船由A 港沿北偏东65°方向航行至B 港，然后再沿北偏西40°方向航行至C 港，C 港在A 港北偏东20°方向，则A ，C 两港之间的距离为（ ）km ．A. 30+B. 30+C. 10+D. 答案：B分析：根据题意作BD 垂直于AC 于点D ，根据计算可得45DAB ︒∠=，60BCD ︒∠=；根据直角三角形的性质求解即可．解答：解：根据题意作BD 垂直于AC 于点D .可得AB =652045DAB ︒︒︒∠=-=204060DCB ︒︒︒∠=+=所以可得cos 4530AD AB ︒===gsin 45302BD AB ︒===tan 60BD CD ︒===因此可得30AC AD CD =+=+选B ．5、如图，一艘轮船从位于灯塔C 的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile 的小岛A 出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C 的南偏东45°方向上的B 处，这时轮船B 与小岛A 的距离是（ ）A. B. 60nmile C. 120nmile D. (30+nmile 答案：D分析：过点C作CD⊥AB，则在Rt△ACD中易得AD的长，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的长．解答：过C作CD⊥AB于D点，∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60．在Rt△ACD中，cos∠ACD=CD AC，∴CD=AC•cos∠ACD=在Rt△DCB中，∵∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD，∴AB=AD+BD答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（nmile．选D．6、南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D 的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为（）A. a sin α+a sin βB. a cos α+a cos βC. a tan α+a tan βD. tan tan a a αβ+ 答案：C分析：在Rt △ABD 和Rt △ABC 中，由三角函数得出BC ＝a tan α，BD ＝a tan β，得出CD ＝BC +BD＝a tan α+a tan β即可．解答：在Rt △ABD 和Rt △ABC 中，AB ＝a ，tan α＝BC AB ，tan β＝BD AB， ∴BC ＝a tan α，BD ＝a tan β，∴CD ＝BC +BD ＝a tan α+a tan β，选C ．7、如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是（ ）A. 12B. 2C.D. 答案：A分析：连接AC ，根据勾股定理求出AC 、BC 、AB 的长，根据勾股定理的逆定理得到△ABC 是直角三角形，根据正切的定义计算即可．解答：连接AC ，由网格特点和勾股定理可知，AC AB BC ==AC 2+AB 2=10，BC 2=10，∴AC 2+AB 2=BC 2，∴△ABC 是直角三角形，∴tan ∠ABC =12AC AB ==． 8、如图，点(4,0)C ，(0,3)D ，(0,0)O ，在A e 上，BD 是A e 的一条弦，则sin OBD ∠=（ ）A. 12B. 34C. 45D. 35答案：D分析：连接CD ，可得出∠OBD =∠OCD ，根据点D （0，3），C （4，0），得OD =3，OC =4，由勾股定理得出CD =5，再在直角三角形OCD 中利用三角函数即可求出答案．解答：连接CD ，∵D （0，3），C （4，0），∴OD =3，OC =4，∵∠COD =90°，∴5CD ==，∵∠OBD =∠OCD ，∴sin∠OBD=sin∠OCD=35 ODDC，选D．9、如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的北偏东30°方向有一灯塔B. 轮船继续向北航行2小时后到达C处，发现灯塔B在它的北偏东60°方向．若轮船继续向北航行，那么当再过多长时间时轮船离灯塔最近？（）A. 1小时B.C. 2小时D.答案：A分析：本题考查了解直角三角形的应用．解答：如图：作BD⊥AC于D，如下图所示：易知：∠DAB=30°，∠DCB=60°，则∠CBD=∠CBA=30°．∴AC=BC，∵轮船以40海里/时的速度在海面上航行，∴AC=BC=2×40=80海里，∴CD=12BC=40海里．故该船需要继续航行的时间为40÷40=1小时．选A．10、已知B港口位于A观测点北偏东45°方向，且其到A观测点正北风向的距离BM的长为km ，一艘货轮从B 港口沿如图所示的BC 方向航行km 到达C 处，测得C 处位于A 观测点北偏东75°方向，则此时货轮与A 观测点之间的距离AC 的长为（ ）km ．A. B. C.D. 答案：A分析：本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题．解答：解：∵∠MAB =45°，BM ，∴AB km ，过点B 作BD ⊥AC ，交AC 的延长线于D ，在Rt △ADB 中，∠BAD =∠MAC -∠MAB =75°-45°=30°，tan ∠BAD =BD AD =3，∴AD ，BD 2+AD 2=AB 2，即BD 2+）2=202，∴BD =10，∴AD在Rt △BCD 中，BD 2+CD 2=BC 2，BC CD∴AC =AD -CD km ，答：此时货轮与A 观测点之间的距离AC 的长为．选A ．二、填空题11、在ABC △中，()1sin cos 902B C =︒-=，则A ∠的大小是______． 答案：120°分析：根据特殊角的三角函数值即可求出∠B 、∠C 的大小，然后根据三角形的内角和即可求出A ∠的大小．解答：()1sin cos 902B C Q =︒-=， 9060C ∴︒-=︒，30B ∠=︒，30C ∴∠=︒，A ∴∠的大小是：1803030120︒-︒-︒=︒．故答案为：120︒．12、某游乐园的摩天轮（如图1）有均匀分布在圆形转轮边缘的若干个座舱，人们坐在座舱中可以俯瞰美景，图2是摩天轮的示意图．摩天轮以固定的速度绕中心O 顺时针方向转动，转一圈为18分钟．从小刚由登舱点P 进入摩天轮开始计时，到第12分钟时，他乘坐的座舱到达图2中的点______处（填A ，B ，C 或D ），此点距地面的高度为______m ．答案：C 78分析：根据转一圈需要18分钟，到第12分钟时转了23圈，即可确定出座舱到达了哪个位置；再利用垂径定理和特殊角的锐角三角函数求点离地面的高度即可．解答：∵转一圈需要18分钟，到第12分钟时转了23圈 ∴乘坐的座舱到达图2中的点C 处如图，连接BC ，OC ，OB ，作OQ ⊥BC 于点E由图2可知圆的半径为44m ，120BOC ∠=︒即44OB OC OQ ===∵OQ ⊥BC ∴111206022EOC BOC ∠=∠=⨯︒=︒ ∴1cos6044222OE OC =︒=⨯=g ∴442222QE OQ OE =-=-= ∴点C 距地面的高度为1002278-=m故答案为C ，7813、我国魏晋时期的数学家刘徽（263年左右）首创“割圆术”，所谓“割圆术”就是利用圆内接正多边形无限逼近圆来确定圆周率，刘徽计算出圆周率 3.14π≈．刘徽从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，圆内接正二十四边形，…，割的越细，圆的内接正多边形就越接近圆．设圆的半径为R ，圆内接正六边形的周长66p R =，计算632p Rπ≈=；圆内接正十二边形的周长1224sin15p R ︒=，计算12 3.102p Rπ≈=；请写出圆内接正二十四边形的周长24p =______，计算π≈______．（参考数据：sin150.258︒≈，sin7.50.130︒≈）答案：48R sin7.5°3.12 分析：根据圆的内接正二十四边形的每条边所对应的圆心角是15°，可知：正二十四边形的周长为：2448sin 7.5p R ︒=，进而可求出π的近似值．解答：∵圆的内接正二十四边形的每条边所对应的圆心角是15°，∴正二十四边形的周长为：2448sin 7.5p R ︒=， ∴24480.130 3.1222p R R Rπ⨯≈==， 故答案是：48R sin7.5°，3.12．14、如果α是锐角，且sin α＝cos20°，那么α＝______度．答案：70分析：直接利用sin A ＝cos （90°-∠A ），进而得出答案．解答：解：∵sin α＝cos20°，∴α＝90°-20°＝70°．故答案为：70．15、如图，在直角坐标系中放入一个边长OC 为9的矩形纸片ABCO ．将纸片翻折后，点B 恰好落在x 轴上，记为B ′，折痕为CE ，已知tan ∠OB ′C =34．则点B ′点的坐标为______．答案：（12，0）分析：由四边形OABC 是矩形，边长OC 为9，tan ∠OB ′C =34，利用三角函数的知识即可求得OB ′的长，继而求得答案．解答：在Rt △OB ′C 中，tan ∠OB ′C =34， ∴3'4OC OB =，即9'OB =34， 解得，OB ′=12，则点B ′点的坐标为（12，0），故答案为（12，0）．16、如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM =4米，AB =8米，∠MAD =45°，∠MBC =30°，则警示牌的高CD 为______米（结果保留根号）．答案： 4分析：利用特殊三角函数值，解直角三角形，AM=MD ，再用正切函数，利用MB 求CM ，作差可求DC ．解答：因为∠MAD =45°，AM =4，所以MD =4，因为AB =8，所以MB =12，因为∠MBC =30°，所以CM=MB tan30°所以CD -4．17、在直角三角形ABC 中，若2AB AC =，则cos C =______．分析：对AC 分两种情况讨论，根据三角函数即可得到答案．解答：如图所示，分两种情况讨论，AC 可以是直角边，也可以是斜边．①当AC 是斜边，设AB ＝x ，则AC ＝2x ，由勾股定理可得：BC ，则cos 22BC C AC x ===②当AC 是直角边，设AB ＝x ，则AC ＝2x ，由勾股定理可得：BC ，则cos5AC C BC ====综上所述，cos C =． 18、如图，一块含有45︒角的直角三角板，外框的一条直角边长为10cm ，三角板的外框线，则图中阴影部分的面积为______2cm （结果保留根号）答案：14+分析：过顶点A 作AB ⊥大直角三角形底边，先求出CD ，然后得到小等腰直角三角形的底和高，再利用大直角三角形的面积减去小直角三角形面积即可．解答：如图：过顶点A 作AB ⊥大直角三角形底边，由题意：2cm EC AC ==∴(2CD = =2cm8=-∴大等腰直角三角形面积为10×10÷2=50cm 2cm 2∴2=5014S -=+阴影（． 19、如图，小明为了测量校园里旗杆AB 的高度，将测角仪CD 竖直放在距旗杆底部B 点6m的位置，在D 处测得旗杆顶端A 的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m ，则旗杆AB 的高度约为______m ．（精确到0.1m ．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）答案：9.5分析：根据三角函数和直角三角形的性质解答即可．解答：过D 作DE ⊥AB ，∵在D 处测得旗杆顶端A 的仰角为53°，∴∠ADE ＝53°，∵BC ＝DE ＝6m ，∴AE ＝DE •tan53°≈6×1.33≈7.98m ，∴AB ＝AE ＋BE ＝AE ＋CD ＝7.98＋1.5＝9.48m ≈9.5m ，故答案为9.5三、解答题20()10012sin 4523π-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭2．分析：代入特殊角的三角函数值，根据0指数幂、负整数指数幂及二次根式的化简计算即可得答案．解答：原式213=-2=．21、计算：2sin60°-()01π-+213-⎛⎫ ⎪⎝⎭+1-．答案：．分析：代入特殊角的三角函数值，根据0指数幂、负整数指数幂及绝对值的运算法则计算即可得答案．解答：原式＝-1，＝．22、先化简，再求值：2121()111x x x x --÷+-+，其中2sin 301x =+o ．答案：11x -，1 分析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x 的值化简代入计算可得． 解答：原式12[](1)(1)(1)(1)(1)--=-⋅++-+-x x x x x x x 1(1)(1)(1)x x x =⋅++-11x =-， 当12sin 301211122x =+=⨯+=+=o 时， 原式1=． 23、今年由于防控疫情，师生居家隔离线上学习，AB 和CD 是社区两栋邻楼的示意图，小华站在自家阳台的C 点，测得对面楼顶点A 的仰角为30°，地面点E 的俯角为45°．点E 在线段BD 上．测得B ，E 间距离为8.7米．楼AB 高米．求小华家阳台距地面高度CD的长（结果精确到1≈1.41≈1.73）答案：10米分析：作CH ⊥AB 于H ，得到BD =CH ，设CD =x 米，根据正切的定义和等腰直角三角形的性质分别用x 表示出HC 、ED ，然后列出方程，解方程即可．解答：解：作CH ⊥AB 于H ，则四边形HBDC 为矩形，∴BD =CH ，由题意得，∠ACH =30°，∠CED =45°，设CD =x 米，则AH =)x 米，在Rt△AHC中，HC=36 tanAHACH==∠则BD=CH=36-∴ED=368.7=27.3-在Rt△CDE中，CD=DE即=27.3x解得：10x≈答：立柱CD的高为10米．24、如图是小莉在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成37°角，线段AA1表示小红身高1.5米．当她从点A 跑动4米到达点B处时，风筝线与水平线构成60°角，此时风筝到达点E处，风筝的水平移动距离CF为8米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度C1D．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75．）答案：9.5米分析：在Rt△BEF、Rt△ACD中，找到相关联的量BE=AD，设AF=x，则可建立关于x的方程，解方程求得x，即可得出CD的长．解答：解：设AF=x，则BF=AB+AF=4+x，在Rt△BEF中，BE=482 cos cos60BF xxEBF+==+∠︒，∵CF =8，AC =AF +CF =8+x ，在Rt △ACD 中，AD =810 1.25cos cos37AC x x DAC +=≈+∠︒， 由题意可知：BE =AD∴82x +=10 1.25x + 解得：83x =， ∴CD =AC ·tan ∠CAD ≈（8+83）×0.75=8， 则C 1D =CD +C 1C =8+1.5=9.5答：风筝原来的高度C 1D 为9.5米．故答案为：9.5米．25、如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC =0.60米，底座BC 与支架AC 所成的角∠ACB =75°，支架AF 的长为2.50米米，篮板顶端F 点到篮框D 的距离FD =1.35米，篮板底部支架HF 与支架AF 所成的角∠FHE =60°，求篮框D 到地面的距离（精确到0.01米）．（参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732 1.732≈ 1.414≈）答案：3.05米．分析：延长FE 交CB 的延长线于M ，过A 作AG ⊥FM 于G ，解直角三角形即可得到结论．解答：延长FE 交CB 的延长线于M ，过A 作AG ⊥FM 于G ，在Rt △ABC 中，tan ∠ACB =AB BC， ∴AB =BC •tan75°=0.60×3.732=2.2392，∴GM =AB =2.2392，在Rt △AGF 中，∵∠F AG =∠FHD =60°，sin ∠F AG =FG AF，∴sin60°=2.52FG ， ∴FG =2.165，∴DM =FG +GM -DF ≈3.05米．答：篮框D 到地面的距离是3.05米．26、如图，在某一路段，规定汽车限速行驶，交通警察在此限速路段的道路上设置了监测区，其中点C 、D 为监测点，已知点C 、D 、B 在同一直线上，且AC ⊥BC ，CD ＝400米，tan ∠ADC ＝2，∠ABC ＝35°（1）求道路AB 段的长（结果精确到1米）（2）如果道路AB 的限速为60千米/时，一辆汽车通过AB 段的时间为90秒，请你判断该车是否是超速，并说明理由；参考数据：sin35°≈0.5736，cos35°≈0.8192，tan35°≈0.7002答案：（1）1395米；（2）超速，理由见解答；分析：（1）根据锐角三角函数的定义即可求出答案．（2）求出汽车的实际车速即可判断．解答：解：（1）在Rt△ACD中，AC＝CD•tan∠ADC＝400×2＝800，在Rt△ABC中，AB＝ACsin ABC＝8000.5736≈1395（米）；（2）车速为：139590≈15.5m/s＝55.8km/h＜60km/h，∴该汽车没有超速．27、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，BD⊥AC，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF=DC，连接AF、CF．（1）求证：∠BAC=2∠DAC；（2）若AF＝10，BC＝tan∠BAD的值．答案：（1）见解答；（2）tan∠BAD=11 2．分析：（1）根据等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB，根据圆心角、弧、弦的关系得到»AB=»AC，即可得到∠ABC＝∠ADB，根据三角形内角和定理得到∠ABC＝12（180°−∠BAC）＝90°−12∠BAC，∠ADB＝90°−∠CAD，从而得到12∠BAC＝∠CAD，即可证得结论；（2）易证得BC＝CF＝AC垂直平分BF，证得AB＝AF＝10，根据勾股定理求得AE、CE、BE，根据相交弦定理求得DE，即可求得BD，然后根据三角形面积公式求得DH，进而求得AH，解直角三角形求得tan∠BAD的值．解答：解：（1）∵AB＝AC，∴»AB=»AC，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ADB，∠ABC＝12（180°−∠BAC）＝90°−12∠BAC，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°−∠DAC，∴12∠BAC＝∠DAC，∴∠BAC＝2∠DAC；（2）∵DF=DC，∴∠BFC=12∠BDC=12∠BAC=∠FBC，∴CB=CF，又BD⊥AC，∴AC是线段BF的中垂线，AB=AF=10，AC=10．又BC＝设AE＝x，CE=10-x，AB2-AE2=BC2-CE2，100-x2=80-（10-x）2，x=6∴AE=6，BE=8，CE=4，∴DE=AE CEBE⋅=648⨯=3，∴BD＝BE＋DE＝3＋8＝11，作DH⊥AB，垂足为H，∵12AB•DH＝12BD•AE，∴DH ＝•11633105BD A AB E ⨯==，∴BH 445=， ∴AH ＝AB −BH ＝10−44655=， ∴tan ∠BAD =DH AH =336=112． 28、如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m 的标语牌，即3CD m =．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D 到地面的距离．测角仪支架高 1.2AE BF m ==，小明在E 处测得标语牌底部点D 的仰角为31︒，小红在F 处测得标语牌顶部点C 的仰角为45︒，5=AB m ，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点D 到地面的距离DH 的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点A ，B ，C ，D ，E ，F ，H 在同一平面内） （参考数据：tan310.60︒≈，sin310.52︒≈，cos310.86)︒≈答案：能，点D 到地面的距离DH 的长约为13.2m ．分析：延长EF 交CH 于N ，根据等腰直角三角形的性质得到CN NF =，根据正切的定义求出DN ，结合图形计算即可．解答：能，理由如下：延长EF 交CH 于N ，则90CNF ∠=︒，45CFN ∠=︒Q ，CN NF ∴=，设DN xm =，则(3)NF CN x m ==+， 5(3)8EN x x ∴=++=+，在Rt DEN ∆中，tan DNDEN EN ∠=，则tan DN EN DEN =∠g ，0.6(8)x x ∴≈+，解得，12x =，则12 1.213.2()DH DN NH m =+=+=， 答：点D 到地面的距离DH 的长约为13.2m ．。