高一数学 必修一 第二章《一元二次函数、方程和不等式》训练题 (2)-200708(解析版)
新人教A版高中数学必修一 第二章一元二次函数、方程和不等式 拔高检测题 (2)
新人教A 版高中数学必修一 第二章一元二次函数、方程和不等式 拔高检测题 (2)一、单选题1．已知m ，n 是正实数，且1m n +=，则12m n+的最小值是（ ）. A．3 B．3+C ．92D ．52．已知正数a,b 满足ab ＝10,则a ＋b 的最小值是( ) A ．10B ．25C ．5D．3．设x ，y 均为负数，且1x y +=-，那么1xy xy+有（ ）. A ．最大值174-B ．最小值174-C ．最大值174D ．最小值1744．已知0a >，0b >，2a b A +=，B =2abC a b=+，则A ，B ，C 的大小关系为（ ）. A ．A B C ≤≤B ．AC B ≤≤C ．B C A ≤≤D ．C B A ≤≤5．若不等式a 2+b 2+2＞λ（a+b ）对任意正数a ，b 恒成立，实数λ的取值范围是（ ） A ．B ．（﹣∞，1）C ．（﹣∞，2）D ．（﹣∞，3）6．若,,a b c 为实数，则下列命题错误的是( ) A ．若22ac bc >，则a b > B ．若0a b <<，则22a b < C ．若0a b >>，则11a b< D ．若0a b <<,0c d >>，则ac bd <7．已知a b c >>，下列不等关系一定成立的是（ ） A ．2ac b ab bc +>+ B ．2ab bc b ac +>+ C ．2ac bc c ab +>+ D ．22a bc b ab +>+8．已知,αβ满足11123αβαβ-≤+≤⎧⎨≤+≤⎩，，则3αβ+的取值范围是( )A ．137αβ≤+≤B ．313αβ+-5≤≤C ．37αβ+-5≤≤D ．1313αβ+≤≤ 9．若0x y <<，则下列不等式不成立的是（ ） A ．2211x y -<- B ．()22*nn xy n <∈NC ．()2121*n n xyn ++<∈ND ．11y x x>- 10．已知“1a >且1b >”，则与此判断等价的是（ ） A ．2a b +>且1ab > B ．2a >且0b > C ．0a >且0b >D ．10a ->且10b ->11．若不等式212x mx x m ++>+对满足2m <的所有实数m 恒成立，则实数x 的取值范围是（） A ．22x -<< B ．3x ≥C ．1x ≤D ．1x ≤-或3x ≥12．若关于x 的不等式23ax -＜的解集为5133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a =（ ） A ．2- B ．2 C ．3D ．3-二、填空题13．如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面的射击线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小（仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角）．若15,25,30AB m AC m BCM ==∠=︒，则tan θ的最大值为_______．14．在等比数列{a n }和等差数列{b n }中，a 1＝b 1>0，a 3＝b 3>0，a 1≠a 3，则a 5与b 5的大小关系为________． 15．已知-13a b <+<，且24a b <-<，那么23a b +的取值范围是_________. 16．有下列四个命题：①若“1xy=,则,x y 互为倒数的逆命题；②面积相等的三角形全等的否命题；③“若m 1≥,则2x 2x m 0-+=有实数解”的逆否命题；④“若A B A =,则A B ⊆”的逆否命题.其中真命题为_____17．设,a b 为正实数，则下列结论：①若221a b -=，则1a b -<；②若111b a-=，则1a b -<；1=，则1a b -<；④若1,1a b ≤≤，则1a b ab -<-.其中正确的有______．18．设直线l ：a 2x ＋4y －a ＝0(a ＞0)，当此直线在x ，y 轴上的截距之和最小时，直线l 的方程为________．三、解答题19．设矩形ABCD （其中AB BC >）的周长为24，如图所示，把它沿对角线AC 对折后，AB 交DC 于点P .设AB x =，求ADP △的最大面积.20．设桌面上有一个由铁丝围成的封闭曲线，周长是2L .回答下面的问题：（1）当封闭曲线为平行四边形时，用直径为L 的圆形纸片是否能完全覆盖这个平行四边形？请说明理由.（2）求证：当封闭曲线是四边形时，正方形的面积最大. 21．关于x 的方程2(1)430m x x m -+--=. (1)求证:方程总有实根.(2)若方程的解集中只含有正整数,求整数m 的值.22．已知函数2*()2,(,)f x ax x c a c N =++∈满足①(1)5f =；②6(2)11f <<．(1)求函数()f x 的解析表达式；（2）若对任意[]1,2x ∈，都有()21f x mx -≥成立，求实数m 的取值范围．23．在一个限速40km /h 的弯道上，甲.乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m .又知甲，乙两种车型的刹车距离s m 与车速x km /h 之间分别有如下关系：20.10.01s x x =+甲，20.050.005s x x =+乙.问超速行驶谁应负主要责任?24．为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．某大学毕业生按照相关政策投资销售一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量y （单位：件）与销售单价x （单位：元）之间的关系近似满足一次函数：10500y x =-+．（1）设他每月获得的利润为w （单位：元），写出他每月获得的利润w 与销售单价x 的函数关系． （2）相关部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果他想要每月获得的利润不少于3000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少？25．已知命题p ：{}12x x x ∀∈<≤≤，2210x ax -+>恒成立；命题q ：x ∃∈R ，()2110x a x +-+<.（1）若p 是真命题，求a 的取值范围； （2）若p 、q 一真一假，求a 的取值范围. 26．关于x 的方程x 2－2x ＋a ＝0，求a 为何值时： (1)方程一根大于1，一根小于1；(2)方程一个根在(－1,1)内，另一个根在(2,3)内； (3)方程的两个根都大于零？参考答案1．B 【解析】 【分析】由题意将所给的代数式进行恒等变形，然后结合均值不等式的结论即可求得最小值. 【详解】 由题意可得：()12122333n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭当且仅当12m n n m mn +=⎧⎪⎨=⎪⎩时等号成立.据此可得12m n+的最小值是3+故选：B . 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值的方法，“1”的灵活巧妙应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2．D 【解析】 【分析】根据基本不等式求最值，即得结果. 【详解】a b +≥=a b ==D .【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题. 3．D 【解析】 【分析】设a x =-，b y =-，由题意结合均值不等式可得ab 的取值范围，然后结合函数1y x x=+的图像即可确定1xy xy+的性质与最值.【详解】设a x =-，b y =-，则0a >，0b >.由1a b +=≥14ab ≤. 由函数1y x x =+的图像得，当104ab <≤时，1ab ab +在14ab =处取得最小值， 11117444xy ab xy ab ∴+=++=≥，当且仅当12x y ==-时取等号成立. 综上可得，1xy xy +有最小值174. 故选：D .【点睛】本题主要考查对勾函数的应用，基本不等式求最值的方法，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4．D 【解析】 【分析】由题意结合均值不等式可比较AB 的大小，然后结合不等式的性质比较BC 的大小即可. 【详解】由于0a >，0b >，故a b +≥，则2a b+≥，即A B ≥，结合02a b +<≤2a b≥+，两边乘以ab 2ab a b ≥+，即B C ≥.据此可得：C B A ≤≤. 故选：D . 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。
最新人教版高中数学必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》测试卷(有答案解析)(2)
一、选择题1．现有以下结论： ①函数1y x x=+的最小值是2； ②若a 、b R ∈且0ab >，则2b aa b+≥；③y =2；④函数()4230y x x x=-->的最小值为2-. 其中，正确的有（ ）个A ．0B ．1C ．2D ．32．设实数x 满足0x >，函数4231y x x =+++的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．1D ．63．已知关于x 的不等式210mx mx ++>恒成立，则m 的取值范围为（ ）．A ．()0,4B ．[)0,4C ．[]0,4D ．(](),04,-∞⋃+∞4．小明从甲地到乙地前后半程的速度分别为a 和()b a b <，其全程的平均速度为v ，则下列不正确的是（ ）A ．a v <<B ．v <C 2a bv +<<D ．2abv a b=+ 5．已知不等式20ax bx c ++>的解集是{}41x x -<<，则不等式2(1)(3)0b x a x c -+++>的解集为（ ）A ．{}14x x -<< B ．413x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ．413x x x⎧⎫⎨⎬⎩⎭或 D ．{}21x x x -或6．设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ） A ．0B ．3C ．94D ．17．已知m ＞0，xy ＞0，当x +y ＝2时，不等式4m x y +≥92恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．1,)2⎡+∞⎢⎣B ．[1,)+∞C ．](01，D ．1(02⎤⎥⎦，8．若不等式2210ax ax ++>对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)0,1B ．[)0,+∞C ．(](),01,-∞+∞ D ．()0,19．不等式28610x x -+<的解集为（ ） A ．11(,)42B ．11(,)(,)42-∞+∞ C ．11(,)34--D ．11(,)(,)34-∞--+∞ 10．下列命题正确的是（ ） A ．若a bc c>，则a b > B ．若22a b >，则a b >C ．若2211a b>，则a b < D <a b <11．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，90ACB ∠=︒，D 为AB 边上的一点，30ACD ∠=︒，且2CD =，则a 的最小值为（ ）A ．4B ．4+C ．8D ．8+12．若直线20(,1)ax by a b +-=>始终把圆222220x y x y +---=的周长分为1:2．则11a b+的最大值为（ ）A ．4-B ．2-C 1D二、填空题13．若对(,1]x ∈-∞-时，不等式21()2()12xxm m --<恒成立，则实数m 的取值范围是____________..14．对于实数m ，若两函数()f x ，()g x 满足：①[,)x m ∀∈+∞，()0f x <或()0<g x ；②(,]x m ∃∈-∞，()()0f x g x <，则称函数()f x 和()g x 互为“m 相异”函数.若2()1f x ax ax =+-和()1g x x =-互为“1相异”函数，则实数a 的取值范围是___________.15．已知a ，b 为正实数，且39ab a b ++=，则3a b +的最小值为_________.16．已知a 、b 、c 为正实数，则代数式938432a b cb c c a a b +++++的最小值是_________. 17．设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(4)(2)x y xy++的最小值为_________.18．设x ，y 为正实数，若2241x y xy ++=，则266x yxy++的最大值是______.19．如图：已知树顶A 离地面212米，树上另一点B 离地面112米，某人在离地面32米的C 处看此树，则该人离此树_________米时，看A 、B 的视角最大．20．已知a ，b 均为正实数，且1a b +=，则231a ab+的最小值为__________，此时a 的值为__________.三、解答题21．设函数2()(1)()f x x m x m m R =-++∈. （1）求不等式()0f x <的解集；（2）若当[0,4]x ∈时，不等式()40f x +>恒成立，求m 的取值范围.22．已知不等式2320mx x +->的解集为{2}xn x <<∣ （1）求,m n 的值；（2）解关于x 的不等式2()0( , 1)ax n a x m a R a -+->∈<23．设0,0,0a b c >>>，证明： （1）114a b a b+≥+； （2）111111222a b c a b b c a c++≥+++++.24．已知二次函数2()f x ax bx c =++，满足(1)(1)f x f x +=-且不等式()2f x x ≤的解集为[1,3].（1）求函数()f x 的解析式；（2）方程()2f x x k =+在(0,3]上有解，求实数k 的取值范围.25．解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.26．若关于x 的不等式（1－a ）x 2－4x ＋6<0的解集是x| x<－3或x> 1}． （1）求实数a 的值；（2）解关于x 的不等式2x 2＋（2－a ）x －a>0．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】取0x <，可判断①的正误；利用基本不等式可判断②③④的正误. 【详解】对于①，当0x <时，10y x x=+<，①错误；对于②，若a ，b R ∈且0ab >，说明0b a >，0a b >，则2b a a b +≥=，当且仅当22a b =时取等号，显然成立，②正确；对于③，2y =≥=，=231x +=，显然这样的x 不存在，所以结论不正确，③错误；对于④，因为0x >，所以43x x+≥函数()4230y x x x=-->的最大值为2-，所以结论不正确，④错误. 故选：B. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.2．A解析：A 【分析】将函数变形为()43111y x x =++-+，再根据基本不等式求解即可得答案. 【详解】解：由题意0x >，所以10x +>， 所以()4423231311y x x x x =++=++-+++()4311111x x =++-≥=+，当且仅当()4311x x +=+，即10x =->时等号成立，所以函数4231y x x =+++的最小值为1. 故选：A ． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方3．B解析：B 【分析】分0m =和0m ≠两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】因为关于x 的不等式210mx mx ++>恒成立，分以下两种情况讨论： （1）当0m =时，可得10>，合乎题意； （2）当0m ≠时，则有240m m m >⎧⎨∆=-<⎩，解得04m <<. 综上所述，实数m 的取值范围是[)0,4. 故选：B. 【点睛】结论点睛：利用二次不等式在实数集上恒成立，可以利用以下结论来求解： 设()()20f x ax bx c a =++≠①()0f x >在R 上恒成立，则00a >⎧⎨∆<⎩；②()0f x <在R 上恒成立，则00a <⎧⎨∆<⎩；③()0f x ≥在R 上恒成立，则00a >⎧⎨∆≤⎩； ④()0f x ≤在R 上恒成立，则00a <⎧⎨∆≤⎩.4．C解析：C 【分析】根据题意，求得v ，结合基本不等式即可比较大小. 【详解】设甲、乙两地之间的距离为2s ，则全程所需的时间为s sa b+， 22s abv s s a b a b∴==++，故D 正确；0b a >>2a b+<，2ab v a b ∴=<=+C 错误；又22222a b ab a b v a b a b +⎛⎫⋅ ⎪+⎝⎭=<=<++B 正确； 22220ab ab a a a v a a a b a b a b---=-=>=+++，v a ∴>，则a v <<A 正确.故选：C 【点睛】关键点点睛：由基本不等式可得22ab a b a b +≤≤≤+等式比较大小，属中档题.5．B解析：B 【分析】根据不等式的解集与对应的方程根的关系的关系求得3,4b a c a ==-且0a <，化简不等式为2340x x +-<，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由题意，不等式20ax bx c ++>的解集是{}41x x -<<， 可得4x =-和1x =是方程20ax bx c ++=的两根，且0a <，所以4141b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，可得3,4b a c a ==-，所以不等式2(1)(3)0b x a x c -+++>可化为23(1)(3)40a x a x a -++->， 因为0a <，所以不等式等价于23(1)(3)40x x -++-<， 即234(1)(34)0x x x x +-=-+<，解得413x -<<， 即不等式2(1)(3)0b x a x c -+++>的解集为413x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. 故选：B. 【点睛】解答中注意解一元二次不等式的步骤：（1）变：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式； （2）判：计算对应方程的判别式；（3）求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根； （4）利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.6．D解析：D 【分析】利用22340x xy y z -+-=可得143xy x y z y x =+-，根据基本不等式最值成立的条件可得22,2x y z y ==，代入212x y z++可得关于y 的二次函数，利用单调性求最值即可.【详解】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，2234z x xy y ∴=-+．∴2211434432?xy xy x y zx xy y x y y x===-++-， 当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =．∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号， 即212x y z+-的最大值是1． 故选：D 【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题.7．B解析：B 【分析】根据“乘1法”，可得()4142m m x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后，利用基本不等式可推出其最小值，则可得不等式(19422m ++≥，解不等式即可. 【详解】 解：xy ＞0，且x +y ＝2，0,0x y ∴>>，()(41414114442222m m y mx x y m m m x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫∴+=++=+++≥++=++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝当且仅当4y mxx y =2y =时，等号成立， 不等式4m x y +≥92恒成立， (19422m ∴++≥，化简得50m +≥ 解得m 1≥.∴m 的取值范围是[1,)+∞故选：B ． 【点睛】本题考查利用基本不等式解决最值问题，熟练掌握“乘1法”是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题8．A解析：A 【分析】设函数()221f x ax ax =++，把不等式2210ax ax ++>在x ∈R 上恒成立，转化为()0f x >对于x R ∀∈恒成立，结合函数的性质，即可求解.【详解】解：设函数()221f x ax ax =++，则不等式2210ax ax ++>在x ∈R 上恒成立，即()0f x >对于x R ∀∈恒成立， 当0a =时，()10f x =>，显然成立； 当0a ≠时，要使()0f x >在x ∈R 上恒成立，需函数()221f x ax ax =++开口向上，且与x 轴没有交点，即20(2)410a a a >⎧⎨∆=-⨯⨯<⎩，解得01a <<， 综上知，实数a 的取值范围为[0,1).故选：A. 【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答中把不等式的恒成立问题转化为利用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与计算能力.9．A解析：A 【分析】运用因式分解法，化为一元一次不等式组，解不等式，求并集即可得到所求解集． 【详解】解：28610x x -+<即为(21)(41)0x x --<， 即有210410x x ->⎧⎨-<⎩或210410x x -<⎧⎨->⎩，可得x ∈∅或1142x <<， 即解集为1(4，1)2，故选A ． 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，考查运算能力，属于基础题．10．D解析：D 【分析】A 项中，需要看分母的正负；B 项和C 项中，已知两个数平方的大小只能比较出两个数绝对值的大小. 【详解】A 项中，若0c <，则有a b <，故A 项错误；B 项中，若22a b >，则a b >，故B 项错误；C 项中，若2211a b>则22a b <即a b <，故C 项错误；D <定有a b <，故D 项正确.故选：D 【点睛】本题主要考查不等关系与不等式，属于基础题.11．B解析：B 【分析】设,0,2A παα⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，在ACD △中，利用正弦定理得()2sin 150sin b αα=︒-，化简得到1tan b α=ABC 中，有tan a b α=⋅，然后将a +转化为4a α=+利用基本不等式求解. 【详解】设,0,2A παα⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，在ACD △中，由正弦定理得：()2sin 150sin b αα=︒-，所以()2sin 150cos 1sin sin tan b αααααα︒-+===+，在直角ABC 中，tan a b α=⋅，所以(1tan tan 4tan a b αααα⎛⋅==+⎝+=44≥+=+当且仅当an tan αα=，即4πα=时取等号，故选：B【点睛】本题主要考查正弦定理和基本不等式的解三角形中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12．B解析：B 【分析】由圆的方程得圆心和半径，根据圆的周长被分为1:2，可推出圆心到直线的距离为1，即2221a b a b +-=+，化简整理后，再结合基本不等式的性质可得ab 的最小值，再求出11a b+的最大值．【详解】把圆222220x y x y +---=化成标准形式为22(1)(1)4x y -+-=，其中圆心为(1,1)，半径为2．设直线与圆交于A 、B 两点，圆心为C ， 因为直线把圆的周长分为1:2，所以13601203ACB ∠=⨯︒=︒， 所以圆心(1,1)C 到直线20ax by +-=的距离为12221a b a b+-=+，因为a ，1b >，所以202()a ab b -++=，由基本不等式的性质可知，22()4ab a b ab +=+， 当且仅当a b =时，等号成立，此时有2(22)ab +，所以21(2)1111122222(22)ab a b a b ab ab ab+++===++=+． 所以11a b +的最大值为22- 故选：B ． 【点评】本题主要考查直线与圆的综合问题，除圆的标准方程、点到直线的距离公式等基础知识外，还涉及利用基本不等式的性质求最值，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．二、填空题13．【分析】运用换元法参变分离法来求解不等式恒成立问题【详解】不等式转化为化简为令又则即恒成立令又当时取最小值所以恒成立化简得解不等式得故答案为：【点睛】方法点晴：本题考查了不等式恒成立问题在求解过程中解析：()2,3-【分析】运用换元法,参变分离法来求解不等式恒成立问题. 【详解】不等式()21212xxm m ⎛⎫--< ⎪⎝⎭转化为2214x xm m +-<,化简为2211()22x x m m -<+， 令12x t =,又(],1x ∈-∞-,则[)2,t ∈+∞, 即22m m t t -<+恒成立，令2()f t t t =+，又[)2,t ∈+∞， 当2t =时，()f t 取最小值min ()(2)6f t f ==，所以，26m m -<恒成立,化简得260m m --<，解不等式得23m -<<. 故答案为：()2,3- 【点睛】方法点晴：本题考查了不等式恒成立问题,在求解过程中运用了参变分离法,注意题目中变量的取值范围.14．【分析】根据两个函数互为相异函数可得有恒成立且在上有解利用参变分离先讨论前者再结合二次函数的图象和性质可得所求的取值范围【详解】因为当时当时当时结合互为相异函数故有恒成立且在上有解先考虑有恒成立则在 解析：(),4-∞-【分析】根据两个函数互为“1相异”函数可得[1,)x ∀∈+∞，有()0f x <恒成立，且()0f x >在(),1-∞上有解，利用参变分离先讨论前者，再结合二次函数的图象和性质可得所求的取值范围. 【详解】因为当1x >时，()0g x >，当1x =时，()0g x =，当1x <时，()0g x <， 结合()(),f x g x 互为“1相异”函数，故[1,)x ∀∈+∞，有()0f x <恒成立，且()0f x >在(),1-∞上有解. 先考虑[1,)x ∀∈+∞，有()0f x <恒成立，则210ax ax 在[1,)+∞上恒成立，故2+1a x x<在[1,)+∞上恒成立， 因为22+x x ≥，故2+1102x x <≤，故0a ≤. 再考虑()0f x >在(),1-∞上有解，若0a =，则()10f x =-<，故()0f x >在(),1-∞上无解，若0a <，()f x 的对称轴为12x =-，且开口向下，由()0f x >在(),1-∞上有解可得240a a ∆=+>， 故4a或0a >（舍）.故实数a 的取值范围是(),4-∞-， 故答案为：(),4-∞-. 【点睛】方法点睛：对于新定义背景下的函数性质的讨论，一般是先根据定义得到含参数的函数的性质，对于不等式的恒成立或有解问题，可优先考虑参变分离的方法，也可以结合函数图象的性质处理.15．6【分析】利用基本不等式得出的不等式解之可得的最小值【详解】∵∴∴当且仅当即时等号成立故答案为：6【点睛】方法点睛：本题考查用基本不等式求最小值解题方法是用基本不等式得出关于的不等式然后通过解不等式解析：6 【分析】利用基本不等式得出3a b +的不等式，解之可得3a b +的最小值． 【详解】∵0,0a b >>，∴211933(3)(3)(3)312ab a b a b a b a b a b =++=⋅++≤+++． (318)(36)0a b a b +++-≥，∴36a b +≥，当且仅当3a b =，即3,1a b ==时等号成立， 故答案为：6． 【点睛】方法点睛：本题考查用基本不等式求最小值，解题方法是用基本不等式得出关于3a b +的不等式，然后通过解不等式得出结论．不是直接由基本不等式得最小值，解题时也要注意基本不等式成立的条件．即最小值能否取到．16．【分析】先由题意令得到代入所求式子化简整理根据基本不等式即可求出结果【详解】因为abc 为正实数不妨令则所以当且仅当即即时等号成立故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三 解析：4748【分析】先由题意，令38432b c x c a y a b z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，得到111386131216411161612a x y z b x y z c x y z ⎧=-++⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+-⎪⎩，代入所求式子，化简整理，根据基本不等式，即可求出结果. 【详解】因为a 、b 、c 为正实数，不妨令38432b c x c a y a b z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，则111386131216411161612a x y z b x y z c x y z ⎧=-++⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+-⎪⎩， 所以11113139393862164216438432x y z x y z x y za b c b c c a a b x y z-++-++-++=+++++ 1339338621642164y z x z x y x x y y z z =-+++-+++-6139488262164y x z x y z x y x z z y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭61474848≥-+=， 当且仅当823629164yx x y z xx zy z z y ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，即::1:2:3x y z =，即::10:21:1a b c =时，等号成立. 故答案为：4748. 【点睛】 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.17．9【分析】将分式展开利用基本不等式求解即可【详解】又x ＋2y ＝4即当且仅当等号成立故原式故填9【点睛】本题考查基本不等式求最值考查等价变换思想与求解能力注意等号成立条件解析：9 【分析】将分式展开，利用基本不等式求解即可 【详解】(4)(2)82416161x y xy x y xy xy xy xy xy++++++===+又x ＋2y ＝4≥即2xy ≤，当且仅当2,1x y ==等号成立，故原式9≥ 故填9 【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查等价变换思想与求解能力，注意等号成立条件18．【分析】先得到当且仅当时接着得到当且仅当时从而化简得到再求取最小值最后求出的最大值【详解】解：∵即∵当且仅当即时取等号∴当且仅当时取等号∵即∴当且仅当时取等号令则∴∵当时取最小值此时最大为：故答案为解析：18【分析】先得到当且仅当2x y =时15xy ≤，接着得到当且仅当2x y =时2x y +=≤266x y xy ++得到142m m+，再求42m m +取最小值，最后求出266x yxy++的最大值.【详解】解：∵2241x y xy ++=，即2241x y xy =-+∵22414xy x x y y ≥=-=+，当且仅当224x y =即2x y =时，取等号， ∴15xy ≤，当且仅当2x y =时，取等号， ∵2241x y xy ++=，即2(2)31x y xy +-=∴2x y +=≤2x y =时，取等号，令2x y m +==≤231xy m =-， ∴221466242x y m xy m m m+==+++，∵当m =42m m +266x y xy ++故答案为：10 18.【点睛】本题考查基本不等式求最值，是基础题.19．6【分析】过点作设根据已知中树顶距地面米树上另一点距地面米人眼离地面米我们易求出即的表达式进而根据基本不等式求出的范围及取最大值时的值进而得到答案【详解】如图过点作则设由图可知：当且仅当时等号成立即解析：6【分析】过点C作CD AB⊥，设CD x=，根据已知中树顶A距地面212米，树上另一点B距地面112米，人眼C离地面32米．我们易求出tan ACB∠，即tan()ACD BCD∠-∠的表达式，进而根据基本不等式，求出tan ACB∠的范围及tan ACB∠取最大值时x的值，进而得到答案．【详解】如图，过点C作CD AB⊥，则213922AD=-=，113422BD=-=，设CD x=，由图可知：94tan tan555 tan tan()94361tan?tan26121?ACD BCD x xACB ACD BCDACD BCD xx x x-∠-∠∠=∠-∠====+∠∠⨯++，当且仅当6x=时，等号成立．即6x=时，tan ACB∠有最大值，此时ACB∠最大.故答案为： 6【点睛】本题考查的知识点是三角函数的实际应用，两角差的正切公式，及基本不等式，其中构造适当的三角形，将问题转化为一个三角函数问题是解答本题的关键．20．6【分析】首先由条件变形为化简后利用基本不等式求最小值【详解】所以当时等号成立即解得：所以即的最小值为6此时故答案为：6；【点睛】本题考查基本不等式求最值重点考查转化思想计算能力属于基础题型本题的关解析：6 13【分析】首先由条件变形为()222331a a b a ab ab+++=，化简后利用基本不等式求最小值. 【详解】1a b +=，()21a b ∴+=所以()222223314242a a b a a b ab a b ab ab ab b a+++++===++，44a b b a +≥=， 当4a b b a =时，等号成立，即120,0a b b a a b +=⎧⎪=⎨⎪>>⎩，解得：12,33a b ==， 所以231426a ab+≥+=，即231a ab+的最小值为6，此时13a =.故答案为：6；13【点睛】本题考查基本不等式求最值，重点考查转化思想，计算能力，属于基础题型，本题的关键是利用()21a b =+变形，化简.三、解答题 21．无 22．无 23．无 24．无 25．无26．无。
人教版高中数学必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试卷
人教版高中数学必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试卷一、单选题 1．不等式(x ＋3)2＜1的解集是（ ） 2．A ．{x |x ＞－2} B ．{x |x ＜－4} C ．{x |－4＜x ＜－2}D ．{x |－4≤x ≤－2}2．已知2t a b =+，21s a b =++ ，则t 和s 的大小关系为（ ） A ．t s > B ．t s ≥ C ．t s <D ．t s ≤3．不等式220ax bx ++>的解集为{}12x x -<<，则a b +=（ ） A ．0B ．1-C ．1D ．2-4．若不等式组2142x ax a ⎧->⎨-<⎩的解集非空，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,3-B ．(,1)(3,)-∞-+∞C ．()3,1-D ．(,3)(1,)-∞-⋃+∞5．对x R ∀∈，不等式()()222240a x a x -+--<恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．22a -<≤B ．22a -≤≤C ．2a <-或2a ≥D ．2a ≤-或2a ≥6．已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥对任意实数x 、y 恒成立，则实数a 的最小值为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．27．已知1230m m m >>>，则使得()()211123i m x i -<=，，都成立的x 取值范围是（ ）A ．110m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．120m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．310m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．320m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，8．如图，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x （x∈N ）为二次函数关系，若使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运（ ）A ．3年B ．4年C ．5年D ．6年9．若12a <<，13b -<<，则-a b 的值可能是（ ） A ．4B ．2C ．2-D ．4-10．若0a <b <，则下列结论中不恒成立的是（） A ．a b > B ．11a b> C ．222a b ab +> D ．a b +>-11．已知函数11y x x=++（0x <），则该函数的（ ）． A ．最小值为3 B ．最大值为3 C ．没有最小值 D ．最大值为1-二、多选题 12．已知,a b R +∈且1a b +=，那么下列不等式中，恒成立的有（ ）． 13．A ．14abB ．1174ab ab +C 2bD ．11222a b+ 三、填空题 13．若关于x 的不等式2260tx x t -+<的解集为{|x x a <或1}x >，则=a _____，t =_____． 14．对于实数x ，当且仅当n ≤x <n ＋1(n ∈N *)时，[x ]＝n ，则关于x 的不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0的解集为________．15．当122x ≤≤时，函数2,()y x bx c b c R =++∈与21x x y x++'=在同一点取得相同的最小值，那么当122x ≤≤时，2y x bx c =++的最大值是______． 16．已知04x <<，则414x x+-的最小值为______．四、解答题 17．已知函数22y x x c =++的图象经过原点．求解不等式220x x c ++<．18．当,p q 都为正数且1p q +=时，试比较代数式2()px qy +与22+px qy 的大小.19．已知不等式组22430680x x x x ⎧-+<⎨-+<⎩的解集M 是不等式2290x x a -+<解集的子集，求实数a 的取值范围.20．()1已知3x >，求43y x x =+-的最小值，并求取到最小值时x 的值； ()2已知0x >，0y >，223x y +=，求xy 的最大值，并求取到最大值时x 、y 的值．21．已知a,b,c 均为正实数,且a+b+c=1,求证：(1a -1)(1b -1)(1c-1)≥8．22．已知0,0x y >>且191x y+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围．参考答案：1．C 【解析】原不等式可化为x 2＋6x ＋8＜0，解得－4＜x ＜－2.选C. 2．D 【解析】利用作差法，令s t -，结果配方，判断符号后得出结论． 【详解】2221(2)21(1)0s t a b a b b b b -=++-+=-+=-≥，故有s t ≥， 故选：D ． 【点睛】本题考查用比较法证明不等式的方法，作差﹣﹣变形﹣﹣判断符号﹣﹣得出结论涉及完全平方公式的应用．属于基础题. 3．A 【解析】由不等式220ax bx ++>的解集为{}12x x -<<，得到1,2-是方程220ax bx ++=的两个根，由根与系数的关系求出,a b ，即可得到答案． 【详解】由题意，可得不等式220ax bx ++>的解集为{}12x x -<<， 所以1,2-是方程220ax bx ++=的两个根， 所以可得12ba-+=-，212a -⨯=，解得1a =-，1b =，所以0a b +=， 故选：A ． 4．A 【解析】分别解出两个不等式的解，再根据集合交集的概念求解． 【详解】由题意124x a x a ⎧>+⎨<+⎩，∈2124a a +<+，即2230a a --<，解得13a -<<．故选：A ． 【点睛】本题考查不等式组的解，考查集合的交集运算，属于基础题． 5．A 【解析】对a 讨论，结合二次函数的图象与性质，解不等式即可得到a 的取值范围. 【详解】不等式()()222240a x a x -+--<对一切x ∈R 恒成立，当20a -=，即2a =时，40-<恒成立，满足题意； 当20a -≠时，要使不等式恒成立，需200a -<⎧⎨∆<⎩，即有()()22421620a a a <⎧⎪⎨-+-<⎪⎩， 解得22a -<<.综上可得，a 的取值范围为(]2,2-. 故选：A. 6．C 【解析】由题意可知，()min 19a x y x y ⎡⎤⎛⎫++≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，将代数式()1a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开后利用基本不等式求出该代数式的最小值，可得出关于a 的不等式，解出即可. 【详解】()11a ax yx y a x y y x ⎛⎫++=+++⎪⎝⎭. 若0xy <，则0yx<，从而1ax y a y x +++无最小值，不合乎题意；若0xy >，则0yx>，0x y >.∈当0a <时，1ax ya y x+++无最小值，不合乎题意；………内∈当0a =时，111ax y y a y x x +++=+>，则()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥不恒成立； ∈当0a >时，())211111a ax y x y a a a x y y x ⎛⎫++=+++≥+=+= ⎪⎝⎭，当且仅当=y 时，等号成立. 所以，)219≥，解得4a ≥，因此，实数a 的最小值为4.故选：C. 【点睛】本题考查基本不等式恒成立问题，一般转化为与最值相关的不等式求解，考查运算求解能力，属于中等题. 7．B 【解析】先解出不等式()()211123i m x i -<=，，的解集，得到当123i =，，时，不等式的解集，最后求出它们的交集即可. 【详解】因为1230m m m >>>，所以()()()22111230123i im x i x i m -<=⇒<<=，，，，， 因为1230m m m >>>，所以123222m m m <<，要想使得()()211123i m x i -<=，，都成立，所以x 取值范围是120m ⎛⎫⎪⎝⎭，，故本题选B.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了不等式的性质应用，考查了数学运算能力. 8．C 【解析】可设y=a(x －6)2+11，又曲线过(4，7)，∈7=a(4－6)2+11 ∈a=－1． 即y=－x 2+12x －25，∈=12－(x+)≤12－2=2，当且仅当x=5时取等号. 故选C ．9．B 【解析】运用不等式的性质求出-a b 的范围即可.【详解】因为12a <<，13b -<<，所以31b -<< 所以23a b -<-< 故选：B 【点睛】本题考查的是不等式的性质，较简单. 10．D 【解析】将0a <b <，转化为0->->a b ，利用不等式的基本性质判断A ，B 的正误，利用重要不等式判断C 的正误，利用特殊值判断D 的正误. 【详解】因为0a <b <，所以0->->a b 所以a b >，11a b -<-即11a b>，故A ，B 正确. 因为()20a b -≥，所以222a b ab +≥，所以222a b ab +>故C 正确. 当 2,1a b =-=-时， +<-a b D 错误. 故选：D 【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，基本不等式，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 11．D 【解析】先由基本不等式得到12x x--≥，再转化得到111y x x =++≤-（0x <），最后判断选项即可. 【详解】解：因为0x <，所以0x ->，10x->， 由基本不等式：1()()2x x -+-≥=，当且仅当1x x-=-即1x =-时，取等号.所以12x x--≥，即12x x +≤-，所以111y x x =++≤-（0x <），当且仅当1x x-=-即1x =-时，取等号.故该函数的最大值为：1- 故选：D 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，是基础题. 12．ABC 【解析】利用基本不等式，逐个进行验证，即可得到结论． 【详解】,,1a b R a b +∈+=，2124a b ab +⎛⎫∴= ⎪⎝⎭(当且仅当12a b ==时取得等号)．所以选项A 正确 由选项A 有14ab ≤，设1y x x =+，则1y x x =+在104⎛⎤⎥⎝⎦，上单调递减. 所以1117444ab ab +≥+=，所以选项B 正确 2(2a b a b ab a b a b +=+++++=(当且仅当12a b ==时取得等号)， 2b ．所以选项C 正确.113332222222a b a b b a b a b a b a b a +++=+=+++=+222a b =时等号成立），所以选项D 不正确． 故A ，B ，C 正确 故选：ABC 【点睛】本题考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 13． 3- 3- 【解析】由不等式的解集可确定对应二次函数图像的开口和对应二次方程的两根，由根与系数关系即可求得a 和t 的值. 【详解】由不等式2260tx x t -+<的解集为{xx a <∣或1}x >， 可知不等式对应二次函数图像开口向下即0t <，且1，a 是方程2260tx x t -+=的两根，由根与系数的关系可得61,,a t a t ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得2,2a t =⎧⎨=⎩或3,3.a t =-⎧⎨=-⎩ 0t <，3,3a t ∴=-=-， 故答案为：-3，-3 【点睛】本题考查一元二次不等式与二次函数图像，二次方程之间关系的应用，属于基础题. 14．{x |2≤x <8} 【解析】求解不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0，得出32<[x ]<152，根据题意，进而得出x 的范围.【详解】由4[x ]2－36[x ]＋45<0，得32<[x ]<152，又当且仅当n ≤x <n ＋1(n ∈N *)时，[x ]＝n ，所以[x ]＝2，3，4，5，6，7，所以所求不等式的解集为{x |2≤x <8}． 故答案为：{x |2≤x <8} 【点睛】本题考查了二次不等式求解问题，考查了阅读能力、逻辑推理能力和数学运算能力，属于一般题目. 15．4． 【解析】先利用基本不等式求得21x x y x ++'=图象的最低点坐标，根据二次函数的性质求得b 和c ，最后根据x 的范围求得2y x bx c =++的最大值．【详解】21113x x y x x x '++==++≥(当且仅当1x =时取等号)所以当1x =时，y '取得最小值3，所以函数2,()y x bx c b c R =++∈在122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，当1x =时有最小值3. 所以二次函数2y x bx c =++的顶点坐标为()1,3 2(1)3y x ∴=-+．∴当2x =时，max 4y =．故答案为：4 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，基本不等式的应用．考查了学生对二次函数图象的理解和灵活运用，属于中档题. 16．94．【解析】用“1”的代换法配凑出定值，然后用基本不等式得最小值． 【详解】4144114(4)95444444x x x x x x x x x x +--⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=++ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当4(4)4x x x x -=-，解得1288,3x x ==，又因为04x <<，所以83x =时等号成立．故答案为：94．【点睛】本题考查用基本不等式求最值，解题关键是要配凑出定值，“1”的代换是常用方法．用基本不等式求最值时一定要注意等号成立的条件是否能满足． 17．{}20x x -<<. 【解析】待定系数法求c ，再解一元二次不等式即可. 【详解】 解：22y x x c =++的图象经过原点，0c ∴=．即求解220x x +<，解得20x -<<，即不等式的解集为{}20x x -<<．【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，是基础题. 18．222()px qy px qy +≤+ 【解析】用作差的方法，因式分解，利用1p q +=，化简可得2)0(pq x y --≤，进而得出结果.【详解】22222()(1)(1)2()px qy px qy p p x q q y pqxy +-+=-+-+因为1p q +=，所以1,1p q q p -=--=-因此222222()()(2)()+-+=-+-=--px qy px qy pq x y xy py x y 因为,p q 为正数，所以2)0(pq x y --≤因此222()()+≤+px qy px qy ，当且仅当x y =时等号成立 【点睛】本题考查了用作差的方法比较大小，考查了运算求解能力，属于中档题目. 19．(,9]-∞ 【解析】首先解一元二次不等式求出解集M ，由M 是2290x x a -+<解集的子集知，2290x x a -+<在{}|23x x <<上恒成立. 令229y x x a =-+，则函数在()2,3上的最大值不超过0，即可求出参数的取值范围； 【详解】解：{}22(1)(3)013430|23(2)(4)024680x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧--<<<-+<⎧⎪⇒⇒⇒∈<<⎨⎨⎨--<<<-+<⎩⎪⎩⎩. 所以{}|23M x x =<<，由M 是2290x x a -+<解集的子集知，2290x x a -+<在{}|23x x <<上恒成立. 令229y x x a =-+，只需该函数在{}|23x x <<上的最大值不超过0即可. 因该函数的对称轴为94x =，所以max 9y a =-+，所以90a -+≤，解得9a ≤. 故实数a 的取值范围是(,9]-∞. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，不等式恒成立问题，属于中档题.20．()1当5x =时，y 的最小值为7．()2 2x =，3y =时，xy 的最大值为6． 【解析】()1直接利用基本不等式的关系式的变换求出结果．()2直接利用基本不等式的关系式的变换求出结果． 【详解】 ()1已知3x >， 则：30x ->， 故：44333733y x x x x =+=-++≥=--， 当且仅当：433x x -=-， 解得：5x =， 即：当5x =时，y 的最小值为7． ()2已知0x >，0y >，223x y +=， 则：23x y +≥ 解得：6xy ≤， 即：123x y ==， 解得：2x =，3y =时，xy 的最大值为6． 【点睛】 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 21．证明见解析 【解析】 主要考查不等关系与基本不等式． 证明：因为a, b, c (0,),∈+∞且a+b+c=1，所以111(1)(1)(1)()()()8.a b c a a b c b a b c c a b c a b c b c a c b a a a b b c c ++-++-++----=⋅⋅=+++≥⨯=． 22．16m . 【解析】要使不等式x y m +≥恒成立，只需求x y +的最小值，将19()x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭展开利用基本不等式可求解. 【详解】 由191x y +=，则19()x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭910x y y x =++910216y +=． 当且仅当169x y x y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩即412x y =⎧⎨=⎩时取到最小值16． 若x y m +恒成立，则16m ． 【点睛】 本题考查不等式恒成立问题，考查利用基本不等式求最值问题，属于基础题.。
高中数学必修一第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元测试(含答案)
高中数学必修一第二章一、单选题1．已知a>b>0,c>d，下列不等式中必成立的一个是（ ）A．a c>bdB．ad<bc C．a+c>b+d D．a―c>b―d2．已知x，y均为正实数，且1x+2+4y+3=12，则x+y的最小值为( )A．10B．11C．12D．133．若两个正实数x,y满足2x+1y=1,且x+2y>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A．(―∞,―2)∪[4,+∞)B．(―∞,―4)∪[2,+∞)C．(―2,4)D．(―4,2)4．若x，y∈R+，且x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（ ）A．5B．245C．235D．1955．小明从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（a＜b），其全程的平均时速为v，则（ ）A．a＜v＜ab B．v＝ab C．ab＜v＜a+b2D．v＝a+b26．已知a＞0，b＞0，若不等式m3a+b ―3a―1b≤0恒成立，则m的最大值为（ ）A．4B．16C．9D．37．已知x，y∈（―2，2），且xy＝1，则22―x2+44―y2的最小值是（ ）A．207B．127C．16+427D．16―4278．已知函数f(x)=2x|2x―a|，若0≤x≤1时f(x)≤1，则实数a的取值范围为（ ）A．[74，2]B．[53，2]C．[32，2]D．[32，53]二、多选题9．已知a>b>c>0，则（ ）A．a+c>b+c B．ac>bc C．aa+c>bb+cD．a x<b c10．已知a>0，b>0，且a+b=ab，则（ ）A．(a―1)(b―1)=1B．ab的最大值为4C．a+4b的最小值为9D．1a2+2b2的最小值为2311．已知a，b∈R∗，a+2b=1，则b2a +12b+12ab的值可能为（ ）A．6B．315C．132D．5212． 现有图形如图所示，C 为线段AB 上的点，且AC ＝a ，BC ＝b ，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆.过点.C 作AB 的垂线交半圆于点D ，连结OD ，AD ，BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E.则该图形可以完成的无字证明有（ ）A ．a +b 2≥ab (a >0,b >0)B ．a 2+b 2≥2ab (a >0,b >0)C ．a 2+b 22≥a +b2(a ≥0,b >0)D ．ab ≥21a+1b(a >0,b >0)三、填空题13．已知不等式|x ―1|+|x +2|≥5的解集为 ．14． 已知实数x ，y 满足―1≤x +y ≤4且2≤x ―y ≤3，则x +3y 的取值范围是 .15．若关于x 的不等式x 2+mx ―2<0在区间[1，2]上有解，则实数m 的取值范围为 .16．设正实数x ，y ，z 满足x 2―3xy +4y 2―z =0，则当xyZ 取得最大值时，2x+1y ―2z的最大值为 .四、解答题17．U =R ，非空集合 A ={x |x 2―5x +6<0} ，集合 B ={x |(x ―a )(x ―a 2―2)<0} ．（1）a =12时，求 (∁ U B )∩A ；（2）若 x ∈B 是 x ∈A 的必要条件，求实数 a 的取值范围．18．已知 p :|1―x ―13|≤2 ， q :x 2―2x +1―m 2≤0(m >0) ，若 ¬p 是 ¬q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围.19.求解不等式x 2―a ≥|x ―1|―120.已知a ，b ，c 都为正实数，满足abc （a ＋b ＋c ）＝1（1）求S ＝（a ＋c ）（b ＋c ）的最小值（2）当S 取最小值时，求c 的最大值.21.某项研究表明；在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内经过测量点的车辆数，单位；辆∕时）与车流速度v （假设车辆以相同速度v 行驶，单位米∕秒）、平均车长l （单位:米）的值有关，其公式为F =76000νv 2+18v +20l（1）如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为多少.（2）如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加多少.22．已知a ，b ，c 为实数且a +2b +5c =10.（1）若a ，b ，c 均为正数，当2ab +5ac +10bc =10时，求a +b +c 的值；（2）证明：(2b +5c )2+(a +b +5c )2+(a +2b +4c )2≥4903.答案解析部分1．C已知a>b>0,c>d,由不等式的同向相加的性质得到a+c>b+d正确；当a=2,b=1,c=-1,d=-2时，a c<bd, ，a―c=b―d A，D不正确；c=2，d=1时，ad=bc,B不正确. 2．D解：因为x,y>0，且1x+2+4y+3=12，则x+y=(x+2)+(y+3)―5=2(1x+2+4y+3)[(x+2)+(y+3)]―5=2(5+y+3x+2+4(x+2)y+3)―5≥2(5+2y+3x+2⋅4(x+2)y+3―5=13，当且仅当y+3x+2=4(x+2)y+3，即x=4,y=9时等号成立，则x+y的最小值为13.3．D由基本不等式得x+2y=(x+2y)(2x +1y)=4yx+xy+4≥24yx⋅xy+4=8，当且仅当4yx=xy，由于x>0，y>0，即当x=2y时，等号成立，所以，x+2y的最小值为8，由题意可得m2+2m<8，即m2+2m―8<0，解得―4<m<2，因此，实数m的取值范围是(―4,2)，4．A从题设可得15y+35x=1，则3x+4y=15(3x+4y)(1y+3x)=15(3x y+12yx+13)≥15(12+13)=5，5．A6．B7．C8．C不等式f(x)≤1可化为|2x―a|≤2―x，有―2―x≤a―2x≤2―x，有2x―2―x≤a≤2x+2―x，当0≤x≤1时，2x+2―x≥22x×2―x=2（当且仅当x=0时取等号），2x―2―x≤2―12=32，故有32≤a≤2。
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式经典大题例题(带答案)
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式经典大题例题单选题1、实数a,b满足a>b，则下列不等式成立的是（）A．a+b<ab B．a2>b2C．a3>b3D．√a2+b2<a+b答案：C分析：利用不等式的性质逐一判断即可.A，若a=1,b=0，则a+b>ab，故A错误；B，若a=1,b=−2，则a2<b2，故B错误；C，若a>b，则a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)=(a−b)[(a+b2)2+3b24]>0，所以a3>b3，故C正确；D，若a=1,b=−2，则√a2+b2>a+b，故D错误.故选：C2、将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a（元/个）的取值范围应是（）A．90<a<100B．90<a<110C．100<a<110D．80<a<100答案：A分析：首先设每个涨价x元，涨价后的利润与原利润之差为y元，结合条件列式，根据y>0，求x的取值范围，即可得到a的取值范围.设每个涨价x元，涨价后的利润与原利润之差为y元，则a=x+90,y=(10+x)⋅(400−20x)−10×400=−20x2+200x.要使商家利润有所增加，则必须使y>0，即x2−10x<0，得0<x<10,∴90<x+90<100，所以a的取值为90<a<100.故选：A3、已知y=(x−m)(x−n)+2022(n>m)，且α,β(α<β)是方程y=0的两实数根，则α，β，m，n的大小关系是（）A．α<m<n<βB．m<α<n<βC．m<α<β<n D．α<m<β<n答案：C分析：根据二次函数图像特点，结合图像平移变换即可得到答案.∵α，β为方程y=0的两实数根，∴α，β为函数y=(x−m)(x−n)+2022的图像与x轴交点的横坐标，令y1=(x−m)(x−n)，∴m，n为函数y1=(x−m)(x−n)的图像与x轴交点的横坐标，易知函数y= (x−m)(x−n)+2022的图像可由y1=(x−m)(x−n)的图像向上平移2022个单位长度得到，所以m<α<β<n.故选:C.4、关于x的不等式ax2−|x|+2a≥0的解集是(−∞,+∞)，则实数a的取值范围为（）A．[√24,+∞)B．(−∞,√24]C．[−√24,√24]D．(−∞,−√24]∪[√24,+∞)答案：A分析：不等式ax2−|x|+2a≥0的解集是(−∞,+∞)，即对于∀x∈R，ax2−|x|+2a≥0恒成立，即a≥|x|x2+2，分x=0和a≠0两种情况讨论，结合基本不等式即可得出答案.解：不等式ax2−|x|+2a≥0的解集是(−∞,+∞)，即对于∀x∈R，ax2−|x|+2a≥0恒成立，即a≥|x|x2+2，当x=0时，a≥0，当a≠0时，a≥|x|x2+2=1|x|+2|x|，因为1|x|+2|x|≤2√|x|⋅2|x|=√24，所以a≥√24，综上所述a∈[√24,+∞). 故选：A.5、不等式1+5x −6x 2>0的解集为（ ）A ．{x|x >1或x <−16}B ．{x |−16<x <1 }C ．{x|x >1或x <−3}D ．{x |−3<x <2 } 答案：B分析：解一元二次不等式，首先确保二次项系数为正，两边同时乘−1，再利用十字相乘法，可得答案， 法一：原不等式即为6x 2−5x −1<0，即(6x +1)(x −1)<0，解得−16<x <1，故原不等式的解集为{x |−16<x <1 }．法二：当x =2时，不等式不成立，排除A ，C ；当x =1时，不等式不成立，排除D ． 故选：B ．6、已知正实数a ，b 满足a +1b=2，则2ab +1a的最小值是（ ）A ．52B ．3C ．92D ．2√2+1 答案：A分析：由已知得， a =2−1b 代入得2ab +1a =2(2b −1)+b2b−1，令2b −1=t ，根据基本不等式可求得答案. 解：因为a +1b=2，所以a =2−1b>0，所以0<b <2 ，所以2ab +1a =2(2−1b )b +b 2b−1=2(2b −1)+b2b−1， 令2b −1=t ，则b =t +12，且−1<t <3 ，所以2ab +1a =2t +t +12t=2t +12t +12≥2√2t ⋅12t +12=52，当且仅当2t =12t ，即t =12，b =34,a =23时，取等号，所以2ab +1a 的最小值是52. 故选：A.7、已知−1≤x +y ≤1,1≤x −y ≤5，则3x −2y 的取值范围是（ ） A ．[2,13]B ．[3,13]C ．[2,10]D ．[5,10] 答案：A分析：设3x −2y =m (x +y )−n (x −y )=(m −n )x +(m +n )y ，求出m,n 的值，根据x +y,x −y 的范围，即可求出答案.设3x −2y =m (x +y )−n (x −y )=(m −n )x +(m +n )y ，所以{m −n =3m +n =−2，解得：{m =12n =−52,3x −2y =12(x +y )+52(x −y ), ， 因为−1≤x +y ≤1,1≤x −y ≤5，所以3x −2y =12(x +y )+52(x −y )∈[2,13]， 故选：A.8、已知a >b >0，下列不等式中正确的是（ ） A ．ca >cb B ．ab <b 2C ．a −b +1a−b ≥2D ．1a−1<1b−1 答案：C分析：由a >b >0，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论. 解：对于选项A ，因为a >b >0,0<1a<1b，而c 的正负不确定，故A 错误；对于选项B ，因为a >b >0，所以ab >b 2，故B 错误；对于选项C ，依题意a >b >0，所以a −b >0,1a−b >0，所以a −b +1a−b ≥2√(a −b )×1a−b =2，故C 正确； 对于选项D ，因为a >b >0,a −1>b −1>−1,1a−1与1b−1正负不确定，故大小不确定，故D 错误；故选：C. 多选题9、已知函数y =ax 2+bx -3，则下列结论正确的是（ ） A ．关于x 的不等式ax 2+bx -3<0的解集可以是{x |x >3 } B ．关于x 的不等式ax 2+bx -3>0的解集可以是∅C ．函数y =ax 2+bx -3的图象与x 轴正半轴可以有两个交点D ．“关于x 的方程ax 2+bx -3=0有一个正根和一个负根”的充要条件是“a >0” 答案：BCD分析：根据不等式的解集求出a 、b ，再解不等式ax 2+bx -3<0可判断A ；取a =-1，b =0，解不等式-x 2-3>0可判断B ；取a =-1，b =4可判断C ；根据根的分布、充要条件的定义可判断D ． 若不等式ax 2+bx -3<0的解集是{x |x >3}，则a =0且3b -3=0，得b =1，而当a =0，b =1时，不等式ax 2+bx -3<0，即x -3<0，得x <3，与x >3矛盾，故A 错误； 取a =-1，b =0，此时不等式-x 2-3>0的解集为∅，故B 正确；函数y =ax 2+bx -3的图象与x 轴正半轴可以有两个交点,即ax 2+bx -3=0可以有2个正根，取a =-1，b =4，则由y =-x 2+4x -3=0，得x =1或3，故C 正确；若关于x 的方程ax 2+bx -3=0有一个正根和一个负根，则{a ≠0,−3a<0,得a >0，若a >0，则Δ=b 2+12a >0，故关于x 的方程ax 2+bx -3=0有两个不等的实根x 1,x 2， 且x 1x 2=-3a <0，即关于x 的方程ax 2+bx -3=0有一个正根和一个负根．因此“关于x 的方程ax 2+bx -3=0有一个正根和一个负根”的充要条件是“a >0”，故D 正确． 故选：BCD ．10、已知x ，y 是正实数，则下列选项正确的是（ ） A ．若x +y =2，则1x+1y 有最小值2B ．若x +y =3，则x(y +1)有最大值5C ．若4x +y =1，则2√x +√y 有最大值√2D ．x4+y 2x+1y有最小值94答案：AC分析：将已知转化，再利用基本不等式可判断ABC 选项；利用特值法判断选项D 。
人教版高一数学必修一第二单元《一元二次函数、方程和不等式》单元练习题(含答案)
人教版高一数学必修一第二单元《一元二次函数、方程和不等式》单元练习题（含答案）一、单选题 1．已知1x >,则91x x +-的最小值为( ) A ．4B ．6C ．7D ．102．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（=新工件的体积材料利用率原工件的体积）（ ）A ．89πB ．169πC ．321)πD ．321)π3．已知正项等比数列{}n a 满足：7652a a a =+，若存在两项,m n a a ，使得2116m n a a a =，则14m n +的最小值为（ ） A ． 43B ．9C ．32D ．不存在4．对任意0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦任意()0,y ∈+∞，不等式292cos sin 4y x a x y -≥-恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．(],3-∞B ．22,3⎡⎤-⎣⎦C ．22,22-⎡⎣D ．[]3,3-5．下列函数中，y 的最小值为2的是（ ）A ．1y xx=+B ．2y =C ．x x y e e -=+D ．1sin 0sin 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭6．关于x 的不等式22280(0)x ax a a --<>的解集为12(,)x x ，且：2115x x -=，则a =（ ） A ．52B ．72C ．154D ．1527．若,a b 为正实数，且1a b +=，则122a b+的最小值为 A ．5 B ．4C ．92D ．38．不等式102xx -≥+的解集为（ ）. A ．[]2,1- B ．(]2,1-C ．[)2,1-D ．(][),21,-∞-+∞9．如果不等式ax 2+bx+c<0 （a≠0）的解集是空集,那么 （ ） A ．a<0，且b 2-4ac>0 B ．a<0且b 2-4ac≤0 C ．a>0且b 2-4ac≤0 D ．a>0且b 2-4ac>010．若直线1(00)x ya b a b+=>>，过点()1,2，则2a b +的最小值为（ ）A ．6B ．4+C ．8D ．911．已知0a b <<，则（ ） A ．11a b< B ．2a ab <C ．22a b <D ．11a b a<- 12．若0x >，则1x x -+的最小值为（ ）A ．12B ．1CD ．2第II 卷（非选择题）二、填空题13．若13a b -<+<，24a b <-<，则b 的取值范围___________.14．已知等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式2120dx a x +≥的解集为[]0,9，则使数列{}n a 的前n 项和n S 取最大值的正整数n 的值是______．15．设0,0a b >>.若2是2a 与2b 的等比中项，则11a b+的最小值为 ． 16．已知p ：2230x x --<，若1a x a -<-<是p 的一个必要不充分条件，则实数a 的取值范围是_________.三、解答题17．解不等式2024x x <--<18．不等式2260(0)kx x k k -+->≠(1)若不等式的解集为{|3x x <-或}2x >-,求k 的值 (2)若不等式的解集为R ,求k 的取值范围19．已知对于正数a 、b ，存在一些特殊的形式，如：22a b a b ++、222a b +、2a b +等. （1）判断上述三者的大小关系，并证明；（2）定义：间距22221||2a b a b a b ++∆=-+，间距222||22a b a b++∆=-，判断两者的大小关系，并证明.20．已知a,b,c 为互不相等的非负数,求证：a 2+b 2+c 2＞(++).21．已知函数()222y ax a x =-++，a R ∈（1）32y x <-恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当0a >时，求不等式0y ≥的解集；（3）若存在0m >使关于x 的方程()21221ax a x m m-++=++有四个不同的实根，求实数a 的取值.22．如图所示，设矩形()ABCD AB BC >的周长为24，把它沿AC 翻折，翻折AB '后交DC 于点P ，设AB x =．（1）用x 表示DP ，并求出x 的取值范围； （2）求ADP △面积的最大值及此时x 的值．23．证明下列不等式：（167225； （2）如果0a >，0b >，则lg lg lg 22a b a b++≥24．某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点）进行纳税，计划可收购a 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税降低x （0x >）个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点. （1）写出税收y （万元）与x 的函数关系式；（2）要使此项税收在税率调整后不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围25．在一个限速40km /h 的弯道上，甲.乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m .又知甲，乙两种车型的刹车距离s m 与车速x km /h 之间分别有如下关系：20.10.01s x x =+甲，20.050.005s x x =+乙.问超速行驶谁应负主要责任?参考答案1．C2．A3．C4．A5．C6．A7．C8．B9．C10．C11．D12．D 13．51,22⎛⎫- ⎪⎝⎭14．5 15．4 16．2a >17．{x|21x -<<-或23}x <<18．（1）25k =-；（2）,⎛-∞ ⎝⎭19．（1）222a b a ba b++≥≥+；证明见解析；（2）12∆≥∆，证明见解析. 20．见解析21．（1）(4,0]-；（2）当02a <<时，不等式的解集为 {|1x x ≤或2}x a≥；当2a =时，不等式的解集为R ；当2a >时，不等式的解集为 2{|x x a≤或1}x ≥；（3）(,4-∞--22．（1）()7212612DP x x=-<<；（2）当x =108-． 23．（1）见解析；（2）见解析 24．（1）1(50)?(10)(010)25y a x x x =+-<<；（2）{|02}.x x <≤. 25．乙应负主要责任.。
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式专项训练(带答案)
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式专项训练单选题1、若a>0，b>0，则下面结论正确的有（）A．2(a2+b2)≤(a+b)2B．若1a +4b=2，则a+b≥92C．若ab+b2=2，则a+b≥4D．若a+b=1，则ab有最大值12答案：B分析：对于选项ABD利用基本不等式化简整理求解即可判断，对于选项C取特值即可判断即可. 对于选项A：若a>0，b>0，由基本不等式得a2+b2≥2ab，即2(a2+b2)≥(a+b)2，当且仅当a=b时取等号；所以选项A不正确；对于选项B：若a>0，b>0，1 2×(1a+4b)=1，a+b=12×(1a+4b)(a+b)=12(5+ba+4ab)≥12(5+2√ba⋅4ab)=92，当且仅当1a +4b=2且ba=4ab，即a=32,b=3时取等号，所以选项B正确；对于选项C：由a>0，b>0，ab+b2=b(a+b)=2，即a+b=2b，如b=2时，a+b=22=1<4，所以选项C不正确；对于选项D：ab≤(a+b2)2=14，当且仅当a=b=12时取等则ab有最大值14，所以选项D不正确；故选：B2、若不等式2x2+2mx+m4x2+6x+3<1对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是（）A ．(1,3)B ．(−∞,1)C ．(−∞,1)∪(3,+∞)D ．(3,+∞) 答案：A分析：因为4x 2+6x +3=4(x +34)2+34>0恒成立，则2x 2+2mx+m 4x 2+6x+3<1恒成立可转化为2x 2+(6−2m )x +(3−m )>0恒成立，则Δ<0，即可解得m 的取值范围 因为4x 2+6x +3=4(x +34)2+34>0恒成立 所以2x 2+2mx+m 4x 2+6x+3<1恒成立⇔2x 2+2mx +m <4x 2+6x +3恒成立 ⇔2x 2+(6−2m )x +(3−m )>0恒成立 故Δ=(6−2m )2−4×2×(3−m )<0 解之得：1<m <3 故选：A3、若不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13}，则ax +b >0的解集为（ ）A ．(−∞,−16)B ．(−∞,16)C ．(−16,+∞)D ．(16,+∞)答案：A分析：利用根于系数的关系先求出a,b ，再解不等式即可. 不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13} 则根据对应方程的韦达定理得到：{(−12)+13=−ba(−12)⋅13=2a ， 解得{a =−12b =−2，则−12x −2>0的解集为(−∞,−16) 故选：A4、不等式|5x −x 2|<6的解集为（ ）A ．{x|x <2,或x >3}B ．{x|−1<x <2,或3<x <6}C ．{x|−1<x <6}D ．{x|2<x <3}答案：B分析：按照绝对值不等式和一元二次不等式求解即可. 解：∵|5x−x2|<6，∴−6<5x−x2<6∴{x 2−5x−6<0x2−5x+6>0⇒{−1<x<6x<2或x>3⇒−1<x<2或3<x<6则不等式的解集为：{x|−1<x<2或3<x<6}故选：B.5、已知x>0，y>0，且x+y=2，则下列结论中正确的是（）A．2x +2y有最小值4B．xy有最小值1C．2x+2y有最大值4D．√x+√y有最小值4答案：A分析：利用基本不等式和不等式的性质逐个分析判断即可解：x>0，y>0，且x+y=2，对于A，2x +2y=12(x+y)(2x+2y)=2+xy+yx≥2+2√xy⋅yx=4，当且仅当x=y=1时取等号，所以A正确，对于B，因为2=x+y≥2√xy，所以xy≤1，当且仅当x=y=1时取等号，即xy有最大值1，所以B错误，对于C，因为2x+2y≥2√2x⋅2y=2√2x+y=4，当且仅当x=y=1时取等号，即2x+2y有最小值4，所以C错误，对于D，因为(√x+√y)2=x+y+2√xy≤2(x+y)=4，当且仅当x=y=1时取等号，即√x+√y有最大值4，所以D错误，故选：A6、已知集合M={x|−4<x<2}，N={x|x2−x−6<0}，则M∩N=A．{x|−4<x<3}B．{x|−4<x<−2}C．{x|−2<x<2}D．{x|2<x<3}答案：C分析：本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．由题意得，M={x|−4<x<2},N={x|−2<x<3}，则M∩N={x|−2<x<2}．故选C．小提示：不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．7、关于x的方程x2+(m−2)x+2m−1=0恰有一根在区间(0,1)内，则实数m的取值范围是（）A．[12,32]B．(12,23]C．[12,2)D．(12,23]∪{6−2√7}答案：D分析：把方程的根转化为二次函数的零点问题，恰有一个零点属于(0,1)，分为三种情况，即可得解. 方程x2+(m-2)x+2m-1=0对应的二次函数设为：f(x)=x2+(m-2)x+2m-1因为方程x2+(m-2)x+2m-1=0恰有一根属于(0,1)，则需要满足：①f(0)⋅f(1)<0，(2m-1)(3m-2)<0，解得：12<m<23；②函数f(x)刚好经过点(0,0)或者(1,0)，另一个零点属于(0,1)，把点(0,0)代入f(x)=x2+(m-2)x+2m-1，解得：m=12，此时方程为x2-32x=0，两根为0，32，而32⋅(0,1)，不合题意，舍去把点(1,0)代入f(x)=x2+(m-2)x+2m-1，解得：m=23，此时方程为3x2-4x+1=0，两根为1，13，而13⋅(0,1)，故符合题意；③函数与x轴只有一个交点，Δ=(m-2)2-8m+4=0，解得m=6±2√7，经检验，当m=6-2√7时满足方程恰有一根在区间 (0,1) 内;综上：实数m的取值范围为(12,23]⋅{6-2√7}故选：D8、已知1a <1b<0，则下列结论正确的是（）A．a<b B．a+b<ab C．|a|>|b|D．ab>b2答案：B分析：结合不等式的性质、差比较法对选项进行分析，从而确定正确选项.因为1a <1b<0，所以b<a<0，故A错误；因为b<a<0，所以a+b<0,ab>0，所以a+b<ab，故B正确；因为b<a<0，所以|a|>|b|不成立，故C错误；ab−b2=b(a−b)，因为b<a<0，所以a−b>0，即ab−b2=b(a−b)<0，所以ab<b2成立，故D错误.故选：B多选题9、若a，b，c∈R，则下列命题正确的是（）A．若ab≠0且a<b，则1a >1bB．若0<a<1，则a2<aC．若a>b>0且c>0，则b+ca+c >baD．a2+b2+1≥2(a−2b−2)答案：BCD分析：由不等式的性质逐一判断即可.解：对于A，当a<0<b时，结论不成立，故A错误；对于B，a2<a等价于a(a−1)<0，又0<a<1，故成立，故B正确；对于C，因为a>b>0且c>0，所以b+ca+c >ba等价于ab+ac>ab+bc，即(a−b)c>0，成立，故C正确；对于D，a2+b2+1≥2(a−2b−2)等价于(a−1)2+(b+2)2≥0，成立，故D正确. 故选：BCD.10、已知正实数a，b满足a+b=ab，则（）A．a+b≥4B．ab≥6C．a+2b≥3+2√2D．ab2+ba2≥1答案：ACD分析：根据特殊值判断B，利用ab⩽(a+b)24判断A，利用换“1”法判断C，变形后利用基本不等式判断D. 对于B，当a=b=2时，满足a+b=ab，此时ab<6，B错误；对于A，ab⩽(a+b)24，则(a+b)24⩾a+b，变形可得a+b⩾4，当且仅当a=b=2时等号成立，A正确；对于C ，a +b =ab ，变形可得1a +1b =1，则有a +2b =(a +2b)(1a +1b )=3+2b a+ab ⩾3+2√2，当且仅当a =2b 时等号成立，C 正确； 对于D ，ab 2+ba 2=a 3+b 3a 2b 2=(a+b)(a 2+b 2−ab)a 2b 2=b a +ab −1⩾2−1=1，当且仅当a =b =2时等号成立，D 正确；故选：ACD11、对任意两个实数a,b ，定义min{a ，b}={a,a ≤b,b,a >b,若f (x )=2−x 2，g (x )=x 2，下列关于函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的说法正确的是（ ） A ．函数F (x )是偶函数 B ．方程F (x )=0有三个解C ．函数F (x )在区间[−1,1]上单调递增D ．函数F (x )有4个单调区间 答案：ABD分析：结合题意作出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，进而数形结合求解即可.解：根据函数f (x )=2−x 2与g (x )=x 2，，画出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，如图． 由图象可知，函数F (x )=min {f (x ),g (x )}关于y 轴对称，所以A 项正确； 函数F (x )的图象与x 轴有三个交点，所以方程F (x )=0有三个解，所以B 项正确；函数F (x )在(−∞,−1]上单调递增，在[−1,0]上单调递减，在[0,1]上单调递增，在[1,+∞)上单调递减，所以C 项错误，D 项正确． 故选：ABD填空题12、若不等式kx2+2kx+2<0的解集为空集，则实数k的取值范围是_____．答案：{k|0≤k≤2}分析：分k=0和k>0两种情况讨论，当k>0时需满足Δ≤0，即可得到不等式，解得即可；解：当k=0时，2<0不等式无解，满足题意；当k>0时，Δ=4k2−8k≤0，解得0<k≤2；综上，实数k的取值范围是{k|0≤k≤2}．所以答案是：{k|0≤k≤2}13、已知a,b,a+m均为大于0的实数,给出下列五个论断:①a>b,②a<b,③m>0,④m<0,⑤b+ma+m >ba.以其中的两个论断为条件,余下的论断中选择一个为结论,请你写出一个正确的命题___________. 答案：①③推出⑤(答案不唯一还可以①⑤推出③等)解析：选择两个条件根据不等式性质推出第三个条件即可，答案不唯一.已知a,b,a+m均为大于0的实数,选择①③推出⑤.①a>b，③m>0，则b+ma+m −ba=ab+am−ab−bma(a+m)=am−bma(a+m)=(a−b)ma(a+m)>0，所以b+ma+m >ba.所以答案是：①③推出⑤小提示：此题考查根据不等式的性质比较大小，在已知条件中选择两个条件推出第三个条件，属于开放性试题，对思维能力要求比较高.14、已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,4)，则不等式cx2+bx+a<0的解集为___________.答案：{x|x>12或x<14}分析：先由不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,4)，判断出b=-6a,c=8a,把cx2+bx+a<0化为8x2−6x+ 1>0，即可解得.因为不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,4)，所以a<0且2和4是ax2+bx+c=0的两根.所以{2+4=−ba2×4=ca可得：{b=−6ac=8a，所以cx2+bx+a<0可化为：8ax2−6ax+a<0，因为a<0，所以8ax2−6ax+a<0可化为8x2−6x+1>0，即(2x−1)(4x−1)>0，解得：x>12或x<14，所以不等式cx2+bx+a<0的解集为{x|x>12或x<14}.所以答案是：{x|x>12或x<14}.解答题15、回答下列问题：(1)若a>b，且c>d，能否判断a−c与b−d的大小？举例说明．(2)若a>b，且c<d，能否判断a+c与b+d的大小？举例说明．(3)若a>b，且c>d，能否判断ac与bd的大小？举例说明．(4)若a>b，c<d，且c≠0，d≠0，能否判断ac 与bd的大小？举例说明．答案：(1)不能判断，举例见解析(2)不能判断，举例见解析(3)不能判断，举例见解析(4)不能判断，举例见解析分析：因为a,b,c,d的正负不确定，因此可举例说明每个小题中的两式的大小关系不定. （1）不能判断a−c与b−d的大小，举例：取a=5,b=3,c=1,d=0，满足条件a>b，且c>d，此时a−c>b−d；取a=5,b=4,c=3,d=0，满足条件a>b，且c>d，此时a−c<b−d；取a=5,b=4,c=3,d=2，满足条件a>b，且c>d，此时a−c=b−d；（2）不能判断a+c与b+d的大小，举例：取a=5,b=3,c=0,d=1，满足条件a>b，且c<d，此时a+c>b+d；取a=5,b=3,c=2,d=6，满足条件a>b，且c<d，此时a+c<b+d.取a=5,b=3,c=4,d=6，满足条件a>b，且c<d，此时a+c=b+d；（3）不能判断ac与bd的大小，举例：取a=5,b=3,c=1,d=0，满足条件a>b，且c>d，此时ac>bd；取a=5,b=3,c=−3,d=−5，满足条件a>b，且c>d，此时ac=bd；取a=5,b=−3,c=1,d=−2，满足条件a>b，且c>d，此时ac<bd；（4）不能判断ac 与bd的大小举例：取a=6,b=3,c=1,d=2，满足条件a>b，且c<d，此时ac >bd；取a=2,b=1,c=−1,d=2，满足条件a>b，且c<d，此时ac <bd；取a=6,b=3,c=−2,d=−1，满足条件a>b，且c<d，此时ac =bd；。
人教版高中数学必修第一册第2章 一元二次函数、方程和不等式综合检测基础卷(含详细解析)
第2章一元二次函数、方程和不等式（原卷版）本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．下列命题是真命题的是A ．若ac bc >．则a b >B ．若22a b >，则a b>C ．若a b >，则11a b<D ．若c d >，a c b d ->-，则a b>2．已知242,65,M x x N x x R =+-=-∈，下列关系正确的是A ．M N ≤B ．M N <C ．M N=D ．M N>3．已知正数a，b ，满足2a b +=A ．最小值1BC D ．最大值14．已知关于x 的不等式220ax ax -+>在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是A ．()(),08,-∞+∞B ．(][),08,-∞+∞C ．[)0,8D ．()0,85．已知0a >，0b >，且228a b ab ++=，则2+a b 的最小值为A ．2B ．C ．4D ．66．不等式()4421m m >-，则实数m 的取值范围是A ．(),1-∞B ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭7．已知0x >，0y >且141x y+=，若不等式246x y m m +≥-对任意正数x ，y 恒成立，则实数m 的取值集合为A ．{|28}m m -≤≤B ．{|82}m m -≤≤C ．{|8m m ≤-或2}m ≥D ．{|2m m ≤-或8}m ≥8．若关于x 的不等式22840x x a --->在[1,4]内有解，则实数a 的取值范围是A ．(4,)-+∞B ．(,4)-∞-C ．(12,)-+∞D ．(,12)-∞-二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知23x <<，23y <<，则下列说法正确的是A ．2x y +的取值范围为(6,9)B ．2x y -的取值范围为(2,3)C ．x y的取值范围为23(,)32D ．xy 的取值范围为(4,9)10．不等式20ax bx c ++≥的解集是122x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭，对于系数a ，b ，c ，下列结论正确的是A ．0a b c -+>B ．0b >C ．0c >D ．0a b c ++>11．现有以下结论①函数1y x x=+的最小值是2②若,a b ∈R 且0ab >，则2b a a b+≥③y =2④函数423(0)y x x x =-->的最小值为2-其中，不正确的是A ．①B ．②C ．③D ．④12．关于x 的一元二次不等式x 2-6x +a ≤0(a ∈Z)的解集中有且仅有3个整数，则a 的取值可以是A ．6B ．7C ．8D ．9三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若方程()200ax bx c a ++=>有唯一的实数根－2，则不等式20ax bx c ++>的解集为________．14．已知正实数a ，b 满足196a b+=，则()()19a b ++的最小值是________．15．若关于x 的不等式223x x a -≥-+无解，则实数a 的取值范围是________．16．已知λ∈R ，函数24,()43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式()0f x <的解集是________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）试比较()()15x x ++与()23x +的大小；（2）已知a b >，11a b<，求证：0ab >．18．（12分）已知二次函数2()3f x ax bx =++，且1,3-是函数()f x 的零点．（1）求()f x 的解析式；（2）解不等式()3f x ≤．19．（12分）求解下列各题：（1）求()23402x x y x x ++=<的最大值；（2）求()2811x y x x +=>-的最小值．20．（12分）今年10月份，学校从某厂家购进了A 、B 型电脑共250台，A 、B 两种型号电脑的单价分别为7000元、9000元，其中购进A 型、B 型电脑的总金额和为205万元．（1）求学校10月份购进A 、B 型电脑各多少台？（2）为推进学校设备更新进程，学校决定11月份在同一厂家再次购进A 、B 两种型号的电脑，在此次采购中，比起10月份进购的同类型电脑，A 型电脑的单价下降了a %，A 型电脑数量增加了4%5a ，B 型电脑的单价上升了503a 元，B 型电脑数量下降了4%5a ，这次采购A 、B 两种型号电脑的总金额为205万元，求a 的值．21．（12分）已知实数0,0x y >>，且()()222,,R xy x y a x y b a b =++++∈．（1）当0,0a b ==时，求4x y +的最小值，并指出取最小值时x ，y 的值：（2）当0,3a b ==时，求x y +的最小值，并指出取最小值时x ，y 的值（3）当1,02a b ==时，求x y +的最小值，并指出取最小值时x ，y 的值．22．（12分）若()0,a b ∈+∞，则2223a b a b a b +≤++．（1）若存在常数M ，使得不等式2222a b a bM a b a b a b a b+++≤≤+++对任意正数a ，b 恒成立，试求常数M 的值，并证明不等式：22a bM a b a b++≤+；（2）证明不等式：32232332a b a ba b a b a b a b≤++++++．第2章一元二次函数、方程和不等式（解析版）本卷满分150分，考试时间120分钟。
高一数学必修第一册《一元二次函数、方程和不等式》检测卷与答案
高一数学必修第一册《一元二次函数、方程和不等式》检测卷考试时间：120分钟；满分：150分一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）若实数a，b满足>，则下列不等式成立的是（）A．>B．+>+C．2>2D．B2>B22．已知条件G>1，条件G−2−2+3≤0，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知1≤+≤4，−1≤−≤2，则4−2的取值范围是（）A．−4<<10B．−3<<6C．−2<<14D．−2≤≤104．若正实数、满足+=2，则1B的最小值为（）A．0B．1C．2D．35．（5分）若关于的不等式2+B+>0的解集为(−∞,−1)∪(2,+∞)，则不等式2+B−8r>0的解集为（）A．(−4,1)∪(2,+∞)B．(−2,1)∪(4,+∞)C．(−∞,−2)∪(1,4)D．(−∞,−4)∪(1,2)6．（5分）甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，如果甲、乙各加同一种汽油两次，两人第一次与第二次加油的油价分别相同，但第一次与第二次加油的油价不同，乙每次加满油箱，需加入的油量都相同，就加油两次来说，甲、乙谁更合算（）A．甲更合算B．乙更合算C．甲乙同样合算D．无法判断谁更合算7．（5分）若关于的不等式2−+2+2<0的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（）A．−2,−1∪5,6B．−2,−1∪3,6C．−3,−1∪3,6D．−1∪4,68．（5分）已知正数、满足−1−2=2，不等式3+2>恒成立．则实数的取值范围是（）A．−∞,4+62B．6+42,+∞C．−∞,7+43D．8+43,+∞二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）已知−1<<6,3<<8，则下列结果正确的有（）A．−13<<2B．2<+<14C．−4<−<−2D．−3<B<4810．（5分）∀∈，关于的不等式2−B+>0恒成立，则实数的值可以是（）A．0B．1C．2D．311．（5分）下列结论中，正确的结论有（）A．函数=+1的最小值是2B．如果>0，>0，+3+B=9，那么B的最大值为3 C．函数op=的最小值为52D．如果>0，>0，且1r1+11+=1，那么+的最小值为2 12．（5分）已知关于x的不等式B2+B+≤0的解集是U≤−2或≥6（）A．<0B．不等式B2−B+<0的解集是U−16<<C．++>0D．不等式B+>0的解集是U<−3三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）比较大小：2+（请从“<”“>”“=”中选择合适的符号填空）14．（5分）若>0,>0，且+=6，则4+1的最小值为．15．（5分）已知二次方程B2+B+=0(>0)的两根分别为2和4，则不等式B2+B+<0的解集为．16．（5分）设>0，>1，若+=2，且不等式4+1K1>2+8恒成立，则的取值范围是.四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）解关于的不等式.(1)2+−6<0;(2)−22−≤−6(3)(−p(−2)>0.18．（12分）比较下列各题中两个代数式值的大小. (1)2+12与4+2+1；(2)2−22+2与>>0.19．（12分）证明下列不等式：(1)已知>>>，求证：1K<1K；(2)已知>>0,<<0,<0，求证：K>K.20．（12分）已知>0，>0，+=1，求下列代数式的最小值(1)1r2+1r2；(2)1(+1).21．（12分）甲、乙两地相距1000km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100（km/h），若货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度km h的平方的34倍，固定成本为元.(1)将全程运输成本（元）表示为速度km h的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶?22．（12分）已知函数op=2−B+.(1)若不等式op>0的解集为(−∞,1)∪(3,+∞)，求实数s的值；(2)当−1=0时，（i）解关于x的不等式>0；（i）若存在∈[1,2]，使得≤0，求实数a的取值范围.高一数学必修第一册《一元二次函数、方程和不等式》检测卷答案一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）若实数a，b满足>，则下列不等式成立的是（）A．>B．+>+C．2>2D．B2>B2【解题思路】利用不等式的性质即可判断.【解答过程】由=1，=−2，=0<，故A错；2<2，故C错；B2=B2，故D错；由不等式的性质易知B正确.故选：B.2．已知条件G>1，条件G−2−2+3≤0，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解题思路】解一元二次不等式结合充分不必要条件的定义即可得解.【解答过程】由题意条件G>1，条件G−2−2+3≤0⇔≤−3或≥1，所以是的充分不必要条件.故选：A.3．已知1≤+≤4，−1≤−≤2，则4−2的取值范围是（）A．−4<<10B．−3<<6C．−2<<14D．−2≤≤10【解题思路】利用+和−范围求出0≤2≤6，然后利用不等式的性质求解即可【解答过程】由−1≤−≤2，1≤+≤4，得0≤−++≤6，即0≤2≤6，−2≤2−≤4，所以−2≤2−+2≤10，即−2≤4−2≤10，故选：D.4．若正实数、满足+=2，则1B的最小值为（）A．0B．1C．2D．3【解题思路】利用基本不等式可求得1B的最小值.【解答过程】因为正实数、满足+=2，则1B≥12=1，当且仅当=+=2时，即当==1时，等号成立，故1B的最小值为1.故选：B.5．（5分）若关于的不等式2+B+>0的解集为(−∞,−1)∪(2,+∞)，则不等式2+B−8r>0的解集为（）A．(−4,1)∪(2,+∞)B．(−2,1)∪(4,+∞)C．(−∞,−2)∪(1,4)D．(−∞,−4)∪(1,2)【解题思路】根据关于x的不等式B+<0的解集是U−1<<2，利用韦达定理可得=−1,=−2>0，进而求解.【解答过程】因为关于的不等式2+B+>0的解集为(−∞,−1)∪(2,+∞)，所以2+B+=02，由韦达定理可得：=−1,=−2，所以2+B−8r>0>0，解得−2<<1或>4.所以原不等式的解集为(−2,1)∪(4,+∞)，故选：B.6．（5分）甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，如果甲、乙各加同一种汽油两次，两人第一次与第二次加油的油价分别相同，但第一次与第二次加油的油价不同，乙每次加满油箱，需加入的油量都相同，就加油两次来说，甲、乙谁更合算（）A．甲更合算B．乙更合算C．甲乙同样合算D．无法判断谁更合算【解题思路】根据题意列出甲乙两次加油的平均单价，进而根据不等式即可求解.【解答过程】设两次的单价分别是s≠元/升，甲加两次油的平均单价为600300+300=21+1，单位：元/升，乙每次加油升，加两次油的平均单价为B+B2=r2，单位：元/升，因为>0，>0，≠，+=2++>2+=4，即21+1<r 2，即甲的平均单价低，甲更合算.故选：A.7．（5分）若关于的不等式2−+2+2<0的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（）A ．−2,−1∪5,6B ．−2,−1∪3,6C ．−3,−1∪3,6D ．−1∪4,6【解题思路】含参解一元二次不等式，分类讨论的范围确定整数解即可.【解答过程】由2−+2+2<0，得−−2<0，当=2时，不等式的解集为∅，不符合题意，舍去；当<2时，不等式的解集为<<2，此时若有3个整数解，此时，解集中的三个整数分别为1、0、−1，则需−2≤<−1；当>2时，不等式的解集为2<<，此时若有3个整数解，此时，解集中的三个整数分别为3、4、5，则需5<≤6综上：所以−2≤<−1或5<≤6，故选：A ．8．（5分）已知正数、满足−1−2=2，不等式3+2>恒成立．则实数的取值范围是（）A ．−∞,4+62B ．6+42,+∞C ．−∞,7+43D ．8+43,+∞【解题思路】由不等式3+2>恒成立，故只需3+2min>，由基本不等式的乘“1”法，结合已知求出3+2的最小值即可.【解答过程】因为−1−2=2,>0,>0，所以B =2+，即1+2=1，所以由基本不等式可得3+2=3+27+2+6≥7+=7+43，等号成立当且仅当2=6>0,>0−1−2=2即=1+233=2+3综上所述，3+2的最小值为7+43；因为不等式3+2>恒成立，所以实数的取值范围是−∞,7+43.故选：C.二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）已知−1<<6,3<<8，则下列结果正确的有（）A．−13<<2B．2<+<14C．−4<−<−2D．−3<B<48【解题思路】根据题意，利用不等式的基本性质，逐项判定，即可求解.【解答过程】对于A中，由3<<8，可得18<1<13，由不等式的性质，可得−13<<2，所以A正确；对于B中，由−1<<6,3<<8，根据不等式的性质，可得2<+<14，所以B正确；对于C中，由3<<8，可得−8<−<−3，所以−9<−<3，所以C错误；对于D中，由−1<<6,3<<8，可得−8<B<48，所以D错误.故选：AB.10．（5分）∀∈，关于的不等式2−B+>0恒成立，则实数的值可以是（）A．0B．1C．2D．3【解题思路】结合一元二次不等式恒成立有Δ<0，即可求范围.【解答过程】∀∈，关于的不等式2−B+>0恒成立，所以Δ=2−4<0，解得0<<4，对照选项知实数的值可以是1,2,3.故选：BCD.11．（5分）下列结论中，正确的结论有（）A．函数=+1的最小值是2B．如果>0，>0，+3+B=9，那么B的最大值为3C．函数op=的最小值为52D．如果>0，>0，且1r1+11+=1，那么+的最小值为2【解题思路】利用基本不等式对选项逐个判断即可得.【解答过程】对A：当J−1时，=−1−1=−2，所以最小值不是2，故A错误；对B：由已知可得9−B=+3≥23B，解得0<B≤3，所以0<B≤3，当且仅当=3时成立，此时B的最大值为3，故B正确；=2+4+，设2+4=，≥2，对C：函数op==+1在2,+∞上单调递增，所以=2时，取最大值52，故C正确；对D ：+=+1++1−2=[(+1)+(+1)](1r1+1r1)−2=1+1−2+r1r1+r1r1≥=2,当且仅当=时取得最小值为2，故D 正确．故选：BCD ．12．（5分）已知关于x 的不等式B 2+B +≤0的解集是U ≤−2或≥6（）A ．<0B ．不等式B 2−B +<0的解集是U −16<<C ．++>0D ．不等式B +>0的解集是U <−3【解题思路】根据一元二次不等式的解集性质进行逐一判断即可.【解答过程】因为关于x 的不等式B 2+B +≤0的解集是U ≤−2或≥6，所以有<0−2+6=−−2×6=⇒<0=−4=−12，因此选项A 正确；B 2−B +<0⇒−12B 2+4B +<0⇒122−4−1<0⇒−16<<12，因此选项B 正确；++=−4−12=−15>0，因此选项C 正确；B +>0⇒−4B−12>0⇒+3>0⇒>−3，因此选项D 不正确，故选：ABC.三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）比较大小：2+（请从“<”“>”“=”中选择合适的符号填空）【解题思路】将两数都平方，然后作差法比较大小即可.【解答过程】由(2+6)2=8+43，则(2+6)2−42=4(3−2)<0，所以(2+6)2<42⇒2+6<4.故答案为：<.14．（5分）若>0,>0，且+=6，则4+1的最小值为32．【解题思路】根据基本不等式的乘“1”法即可求解.【解答过程】由于>0,>0，所以4+1=+=+4+≥+=32，当且仅当4=，即=4,=2时等号成立，故答案为：.15．（5分）已知二次方程B2+B+=0(>0)的两根分别为2和4，则不等式B2+B+<0的解【解题思路】根据二次方程的两根可得、与的关系，可化简B2+B+<0为2−6+8<0，再解不等式可得答案.【解答过程】二次方程B2+B+=0(>0)的两根分别为2和4，可得2+4=−2×4=，即=−6=8，由B2+B+<0>0可得2−6+8<0，解得2<<4，所以不等式2−6+8<0的解集为U2<<4.故答案为：U2<<4.16．（5分）设>0，>1，若+=2，且不等式4+1K1>2+8的取值范围是−9,1【解题思路】首先根据已知条件得到+−1=1⋅+−1即可求得最小值，再解关于的一元二次不等式即可求得的取值范围.【解答过程】因为>0，>1，+=2，所以+−1=1，则4+1⋅+−1=5++K1≥5+=9，=K1时，即=23,=43时取等号，所以9>2+8，解得−9<<1.故答案为：−9,1.四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）解关于的不等式.(1)2+−6<0;(2)−22−≤−6(3)(−p(−2)>0.【解题思路】由公式解不含参数的一元二次不等式，分类讨论解含参数的一元二次不等式.【解答过程】（1）不等式2+−6<0，即+3−2<0，解得−3<<2，所以不等式的解集为U−3<<2；（2）不等式−2，所以不等式的解集为{U≤−2或≥32}；（3）不等式−−2>0，当>2时，解集为<2或>，当<2时，解集为<或>2，当=2时，解集为{U≠2}.18．（12分）比较下列各题中两个代数式值的大小.(1)2+12与4+2+1；(2)2−22+2与>>0.【解题思路】（1）（2）利用作差法，化简后和0比较，即可判断大小关系.【解答过程】（1）2+12−4+2+1=4+22+1−4+2+1=2≥0，∴2+12≥4+（2）2−22+2−K r==∵>>0，∴>0,+>0,2+2>0，>0，∴2−22+2>K r.19．（12分）证明下列不等式：(1)已知>>>，求证：1K<1K；(2)已知>>0,<<0,<0，求证：K>K.【解题思路】（1）依题意可得−>−>0，再根据不等式的性质证明；（2）利用作差法证明即可.【解答过程】（1）∵>>>，即>s−>−，∴−>−>0，则1K<1K.（2）∵>>0,<<0,<0，∴−>−>0，∴−>则−===>0，∴−>−.20．（12分）已知>0，>0，+=1，求下列代数式的最小值(1)1r2+1r2；(2)1(+1).【解题思路】（1）运用配凑和常值代换法将其转化，利用基本不等式即可求得；（2）展开变形成2+1B，再将1换成+2展开，即可利用基本不等式求解．.【解答过程】（1）因>0，>0，+=1，则(+2)+(+2)=5，于是得1r2+1r2=15[(+2)+(+2)](1r2+1r2)=15(2+r2r2+r2r2)≥15(2+=45，当且仅当r2r2=r2r2，即==12时取“=”，所以，当==12时，1r2+1r2的最小值是45；（2）因>0，>0，+=1，则1(+1)=2+1B=2+(rp2B=2+2B+22B=+2+2≥2=22+2，当且仅当=2，即=2−2，=2−1时取“=”，所以当=2−2，=2−1时，1(+1)的最小值是22+2．21．（12分）甲、乙两地相距1000km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100（km/h），若货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度km h的平方的34倍，固定成本为元.(1)将全程运输成本（元）表示为速度km h的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶?【解题思路】（12元，固定成本为a元，求和后乘以时间即可；（2）由（1）的结论，利用基本不等式求最小值作答.【解答过程】（12元，固定成本为a元，所用时间为1000，则=10002+=1000(0, 100]．（2）由（1）得=1000≥1000×=10003，当且仅当34=，即=易知函数=34+在+∞上单调递增.又0<≤100，所以当0<≤7500时，货车以=的速度行驶，全程运输成本最小；当>7500时，货车以100km/h的速度行驶，全程运输成本最小．22．（12分）已知函数op=2−B+.(1)若不等式op>0的解集为(−∞,1)∪(3,+∞)，求实数s的值；(2)当−1=0时，（i）解关于x的不等式>0；（i）若存在∈[1,2]，使得≤0，求实数a的取值范围.【解题思路】（1）根据题意，转化为得到1和3是方程2−B+=0的两个实数根据，列出方程组，即可求解；（2）（i）由−1=0，求得=−(+1)，把不等式>0，转化为(+1)[−(+1)]>0，分类讨论，即可求得不等式的解集；（i i）由（i）中不等式的解集，结合存在∈[1,2]，使得≤0，分类讨论，即可求解.【解答过程】（1）解：由函数op=2−B+，因为不等式op>0的解集为(−∞,1)∪(3,+∞)，可得1和3是方程2−B+=0的两个实数根据，则1+3=1×3=，解得=4,=3.（2）解：（i）由函数op=2−B+，因为−1=0，可得o−1)=1++=0，即=−(+1)，所以op=2−B−(+1)，由不等式>0，即2−B−(+1)=(+1)[−(+1)]>0，当+1>−1时，即>−2时，解得<−1或>+1；当+1=−1时，即=−2时，即为(+1)2>0解得≠−1；当+1<−1时，即<−2时，解得<+1或>1，综上可得，当>−2时，不等式解集为(−∞,−1)∪(+1,+∞)；当=−2时，不等式的解集为(−∞,−1)∪(−1,+∞)；当<−2时，不等式的解集为(−∞,+1)∪(−1,+∞).（i i）由（i）知，当>−2时，不等式>0解集为(−∞,−1)∪(+1,+∞)，若存在∈[1,2]，使得≤0，则满足+1≥1，解得≥0；当=−2时，不等式>0的解集为(−∞,−1)∪(−1,+∞)，此时不存在∈[1,2]，使得≤0；当<−2时，不等式>0的解集为(−∞,+1)∪(−1,+∞)，此时不存在∈[1,2]，使得≤0，综上可得，实数的取值范围为[0,+∞).。
人教版高一数学必修一第二单元《一元二次函数、方程和不等式》单元练习题(含答案)
人教版高一数学必修一第二单元《一元二次函数、方程和不等式》单元练习题（含答案）1．已知不等式210ax bx --≥的解集是1123x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭，则不等式20x bx a --<的解集是（ ） A ．{}23x x << B ．{2x x <或}3x > C ．1132xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．13x x ⎧<⎨⎩或12x ⎫>⎬⎭2．已知0a >，0b >，且3为3a 与3b 的等比中项，则49aba b+的最大值为（ ）A ．124B ．125C ．126 D ．1273．函数2()(0)f x x x x=+>的最小值是（ ）． A ．2B ．2C ．22D ．34．若正数x ，y 满足x 2+3xy ﹣1=0，则x+y 的最小值是（ ） A ．23B ．223C ．33D ．2335．如果不等式2()0f x ax x c =-->的解集为{|21}x x -<<，那么函数()y f x =的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．6．若0a b <<,则下列不等式恒成立的是 A ．11a b> B ．a b -> C ．22a b > D ．33a b <7．不等式()()0x b x c a x++≤-的解集为[)[)1,23,-+∞，则b c +=（ ）A ．5-B ．2-C ．1D ．38．如图在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是（ ）A ．如果0a b >>,a b >B ．如果0a b >>,那么22a b >C ．对任意正实数a 和b ，有222a b ab +≥， 当且仅当a b =时等号成立D ．对任意正实数a 和b ，有2a b ab +≥,当且仅当a b =时等号成立9．设()121p a a -=++，21q a a =-+，则（ ）．A ．p q >B ．p q <C ．p q ≥D ．p q ≤10．已知实数0a >，0b >，2a b +=，则12aa b+的最小值为（ ） A ．32B ．322C ．2D ．5211．设0a >，0b >55a 与5b 的等比中项，则11a b+的最小值为（ ） A ．8 B ．4 C ．1D ．1412．已知命题p ：R x ∃∈，使2254x x ++≤；命题q ：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()4sin sin f x x x=+的最小值为4.下列命题是真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝第II 卷（非选择题）二、填空题13．若0x >时，函数21ax y x+=的最小值为5，则正实数a =____________.14．如图，等腰梯形ABCD 中，//AB CD 且2AB =，1AD =，2DC x =（(0,1)x ∈）．以,A B 为焦点，且过点D 的双曲线的离心率为1e ；以,C D 为焦点，且过点A 的椭圆的离心率为2e ，则12e e +的取值范围为_________15．若1x >，则函数()21f x x x =+-的最小值为___________. 16．设a 、b 是实数，且3a b +=，则22a b +的最小值是__________．三、解答题17．已知:(1)(2)0,:p x x q +-≥关于x 的不等式2260x mx m +-+>恒成立 (1)当x ∈R 时q 成立，求实数m 的取值范围;(2)若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.18．已知,,2παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，求,,ααβαββ+-的取值范围.19．设数列{a n }满足a 1＝t ，a 2＝t 2，且t ≠0，前n 项和为S n ，且S n +2﹣（t +1）S n +1+tS n ＝0（n ∈N *）． （1）证明数列{a n }为等比数列，并求{a n }的通项公式； （2）当t ＜2时，比较2n +2﹣n 与t n +t ﹣n 的大小；（3）若t ＜2，b n ，求证：2n．20．已知0,0a b >>，2224a b c ++=．（1）当1c =时，求证：()()339a b a b ++≥；（2）求2224411a b c +++的最小值．21．当[]13x ∈，时，一元二次不等式2280x x a -+-≤恒成立，求实数a 的取值范围.22．已知关于x 的不等式2520,ax x a R -+<∈. （1）当2a =时，解此不等式；（2）若此不等式的解集为{|2x x <-或1}3x >，求实数a 的值.23．你能从“盐水加盐变得更咸了”这一生活常识中提炼出一个不等式吗？若能，请写出这个不等式并证明；若不能，此题你将没有分.24．已知集合{}211600A x x x =--≤,{}133B x m x m =-≤≤+,若()AB A ⊆,求实数m 的取值范围.25．命题p :x ∀∈R ,2230x m +->成立；命题q :x ∃∈R ,2220x mx m -++<成立. (1)若命题p 为真命题,求实数m 的取值范围； (2)若命题q 为真命题,求实数m 的取值范围；(3)若命题p ､q 至少有一个为真命题,求实数m 的取值范围.参考答案1．A2．B3．C4．B5．D6．D7．B8．C9．D10．D11．B12．D 13．25414．)+∞15．1+16．17．(1) ()3,2m ∈- （2）10733m <<- 18．12,,2222aπππαβπαββ<+<-<-<<< 19．（1）证明见解析，a n ＝t n （2）t n +t ﹣n ＜2n +2﹣n （3）见解析 20．（1）详见解析；（2）9． 21．5a ≤ 22．（1）1|22x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；（2）3-. 23．x x a y y a+<+，0x y <<，0a >，证明见解析. 24．4m ≤25．（1）32m m ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；（2）{1m m <-或}2m >；（3）{1m m <-或32m ⎫>⎬⎭。
2高中数学必修第一册《第二章 一元二次函数、方程和不等式》单元检测试题
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是对式子 进行合理的变形和拼凑，使之能使用基本不等式求最值.
3．C
【分析】
由题意可得 恒成立，令 ，可得 ，求出 可得答案.
【详解】
解：由题意当 时， 恒成立，
令 ，可得 ，
由 ，可得 ，所以 ，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查函数恒成立的问题及求二次函数的最值，考查学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题.
4．D
【分析】
根据条件分别利用特殊值以及反证法进行判断即可.
【详解】
①当a=b=1时，满足a＋b=2，但此时推不出结论 ， 中至少有一个大于1；
②由反证法知，若 ，b≤1，则a＋b≤2，与a＋b> 2，矛盾，即a＋b>2，可以推出 ， 中至少有一个大于1；
③当 时，满足条件a+b>-2，但不能推出 ， 中至少有一个大于1；
当 时，由题得 且 ，
解之得 .
综上所述， .
故选：C
【点睛】
本题主要考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6．A
【分析】
由已知得出 ，将代数式 与 相乘，展开后利用基本不等式可求得 的最小值，即可得出实数 的最大值.
【详解】
已知正数 、 满足 ，可得 ，
所以， ，
当且仅当 时，等号成立，所以， 的最小值为 ， .
（1）写出年利润 (万元)关于年产量 (万件)的函数解析式；
（2）当年产量为多少时，该扶贫车间的年利润最大？并求出最大年利润.
19．（2020·福建高一期中）已知函数 ．
（1）若对任意的 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）若对任意的 恒成立，求实数 的取值范围．
高一数学必修一第二章测试题及答案
人教版高中数学必修一第二章 《一元二次函数、方程和不等式》测试题及答案解析(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式x 2≥2x 的解集是( ) A ．{x |x ≥2} B ．{x |x ≤2} C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |x ≤0或x ≥2}解析：选D 由x 2≥2x 得x (x －2)≥0，解得x ≤0或x ≥2，故选D. 2．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <B 或A >BD ．A >B解析：选B ∵A－B ＝a 2＋3ab －(4ab －b 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＋34b 2≥0，∴A ≥B.3．不等式组⎩⎨⎧x 2－1<0，x 2－3x <0的解集为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |0<x <3}C ．{x |0<x <1}D ．{x |－1<x <3}解析：选C 由⎩⎨⎧x2－1<0，x2－3x<0，得⎩⎨⎧－1<x<1，0<x<3，所以0<x<1，即不等式组的解集为{x|0<x<1}，故选C.4．已知2a ＋1<0，则关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2>0的解集是( ) A ．{x |x <5a 或x >－a } B ．{x |x >5a 或x <－a } C ．{x |－a <x <5a }D ．{x |5a <x <－a }解析：选A 方程x 2－4ax －5a 2＝0的两根为－a ，5a.因为2a ＋1<0，所以a<－12，所以－a>5a.结合二次函数y ＝x 2－4ax －5a 2的图象，得原不等式的解集为{x|x<5a 或x>－a}，故选A.5．已知a ，b ，c ∈R ，则下列说法中错误的是( ) A ．a >b ⇒ac 2≥bc 2 B.a c >b c，c <0⇒a <b C ．a 3>b 3，ab >0⇒1a <1bD ．a 2>b 2，ab >0⇒1a <1b解析：选D 对于A ，c 2≥0，则由a>b 可得ac 2≥bc 2，故A 中说法正确； 对于B ，由a c >b c ，得a c －b c ＝a －bc >0，当c<0时，有a －b<0，则a<b ，故B 中说法正确；对于C ，∵a 3>b 3，ab>0，∴a 3>b 3两边同乘1a3b3，得到1b3>1a3，∴1a <1b，故C 中说法正确；对于D ，∵a 2>b 2，ab>0，∴a 2>b 2两边同乘1a2b2， 得到1b2>1a2，不一定有1a <1b，故D 中说法错误．故选D.6．若关于x 的一元二次不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≤－2或m ≥2B ．－2≤m ≤2C ．m <－2或m >2D ．－2<m <2解析：选B 因为不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，所以Δ＝m 2－4≤0，解得－2≤m≤2.7．某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－300x ＋80 000，为使平均处理成本最低，该厂每月处理量应为( )A ．300吨B ．400吨C ．500吨D ．600吨解析：选B 由题意，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)的函数关系为y＝12x 2－300x ＋80 000，所以平均处理成本为s ＝y x ＝12x2－300x ＋80 000x ＝x 2＋80 000x －300，其中300≤x≤600，又x 2＋80 000x－300≥2x 2·80 000x－300＝400－300＝100，当且仅当x 2＝80 000x 时等号成立，所以x ＝400时，平均处理成本最低．故选B.8．设正数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y－2z的最大值是( ) A ．0 B ．1 C.94D ．3解析：选B 由题意得xy z ＝xy x2－3xy ＋4y2＝1x y ＋4y x －3≤14－3＝1，当且仅当x＝2y 时，等号成立，此时z ＝2y 2.故2x ＋1y －2z ＝－1y2＋2y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1，当且仅当y ＝1时，等号成立，故所求的最大值为1.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <2，则下列结论正确的是( )A ．a >0B ．b >0C ．c >0D ．a ＋b ＋c >0解析：选BCD 因为不等式ax 2＋bx ＋c>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x<2，故相应的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，所以a<0，故A 错误；易知2和－12是关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则有c a ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1<0，－b a ＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝32>0，又a<0，故b>0，c>0，故B 、C 正确；因为ca ＝－1，所以a ＋c ＝0，又b>0，所以a ＋b ＋c>0，故D 正确．故选B 、C 、D.10．下列结论中正确的有( )A ．若a ，b 为正实数，a ≠b ，则a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2B ．若a ，b ，m 为正实数，a <b ，则a ＋m b ＋m <a bC ．若a c 2>bc2，则a >bD ．当x >0时，x ＋2x的最小值为2 2解析：选ACD 对于A ，∵a ，b 为正实数，a ≠b ，∴a 3＋b 3－(a 2b ＋ab 2)＝(a －b)2(a ＋b)>0，∴a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2，故A 正确；对于B ，若a ，b ，m 为正实数，a<b ，则a ＋m b ＋m －a b ＝m （b －a ）b （b ＋m ）>0，则a ＋m b ＋m >ab，故B 错误；对于C ，若a c2>bc2，则a>b ，故C 正确； 对于D ，当x>0时，x ＋2x 的最小值为22，当且仅当x ＝2时取等号，故D正确．故选A 、C 、D.11．下列各式中，最大值是12的是( )A ．y ＝x 2＋116x 2B ．y ＝x 1－x 2(0≤x ≤1)C ．y ＝x 2x 4＋1D ．y ＝x ＋4x ＋2(x >－2) 解析：选BCA中，y ＝x 2＋116x2≥2x2·116x2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝±12时取等号，因此式子无最大值；B 中，y 2＝x 2(1－x2)≤⎝⎛⎭⎪⎫x2＋1－x222＝14，y ≥0， ∴0≤y ≤12，当且仅当x ＝22时y 取到最大值12； C 中，当x ＝0时，y ＝0，当x≠0时，y ＝1x2＋1x2≤12x2·1x2＝12，当且仅当x ＝±1时y 取到最大值12；D 中，y ＝x ＋4x ＋2＝x ＋2＋4x ＋2－2≥2（x ＋2）·4x ＋2－2＝2(x>－2)(当且仅当x ＝0时取等号)，无最大值，故选B 、C.12．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400)的销售收入，则这批台灯的售价x (元)的取值可以是( )A ．10B ．15C ．16D ．20解析：选BC 设这批台灯的售价定为x 元，x ≥15，则[30－(x －15)×2]·x>400，即x 2－30x ＋200<0，因为方程 x 2－30x ＋200＝0的两根分别为x 1＝10，x 2＝20，所以x 2－30x ＋200<0的解集为{x|10<x<20}，又因为x≥15，所以15≤x<20.故选B 、C.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知a >b ，a －1a >b －1b同时成立，则ab 应满足的条件是________．解析：因为a －1a >b －1b ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b －1b ＝（a －b ）（ab ＋1）ab >0.又a>b ，即a －b>0，所以ab ＋1ab>0，从而ab(ab ＋1)>0，所以ab<－1或ab>0.答案：ab<－1或ab>014．一个大于50小于60的两位数，其个位数字b 比十位数字a 大2.则这个两位数为________．解析：由题意知⎩⎨⎧50<10a ＋b<60，b －a ＝2，0<a ≤9，0≤b ≤9，解得4411<a<5311. 又a∈N*，∴a ＝5.∴b ＝7，∴所求的两位数为57. 答案：5715．一元二次不等式x 2＋ax ＋b >0的解集为{x |x <－3或x >1}，则a ＋b ＝________，一元一次不等式ax ＋b <0的解集为________．解析：由题意知，－3和1是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根， 所以⎩⎨⎧－3＋1＝－a ，－3×1＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－3， 故a ＋b ＝－1.不等式ax ＋b<0即为2x －3<0， 所以x<32.答案：－1⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x<32 16．已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝2，则x ＋8yxy的最小值为________． 解析：因为x ，y 为正数，且x ＋2y ＝2，所以x 2＋y ＝1，所以x ＋8yxy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋8x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y ＝x 2y ＋8yx ＋5≥2x 2y ·8y x ＋5＝9，当且仅当x ＝4y ＝43时，等号成立，所以x ＋8yxy的最小值为9. 答案：9四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)解下列不等式： (1)2＋3x －2x 2>0； (2)x (3－x )≤x (x ＋2)－1.解：(1)原不等式可化为2x 2－3x －2<0，所以(2x ＋1)(x －2)<0，故原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x<2. (2)原不等式可化为2x 2－x －1≥0. 所以(2x ＋1)(x －1)≥0，故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x≤－12或x≥1.18．(本小题满分12分)当p ，q 都为正数且p ＋q ＝1时，试比较代数式(px ＋qy )2与px 2＋qy 2的大小．解：(px ＋qy)2－(px 2＋qy 2)＝p(p －1)x 2＋q(q －1)y 2＋2pqxy. 因为p ＋q ＝1，所以p －1＝－q ，q －1＝－p ，所以(px ＋qy)2－(px 2＋qy 2)＝－pq(x 2＋y 2－2xy)＝－pq(x －y)2. 因为p ，q 都为正数，所以－pq(x －y)2≤0，因此(px ＋qy)2≤px 2＋qy 2，当且仅当x ＝y 时等号成立．19．(本小题满分12分)已知关于x 的方程x 2－2x ＋a ＝0.当a 为何值时， (1)方程的一个根大于1，另一个根小于1?(2)方程的一个根大于－1且小于1，另一个根大于2且小于3?解：(1)已知方程的一个根大于1，另一个根小于1，结合二次函数y ＝x 2－2x ＋a 的图象(如图所示)知，当x ＝1时，函数值小于0，即12－2＋a<0，所以a<1.因此a 的取值范围是{a|a<1}．(2)由方程的一个根大于－1且小于1，另一个根大于2且小于3，结合二次函数y ＝x 2－2x ＋a 的图象(如图所示)知，x 取－1，3时函数值为正，x 取1，2时函数值为负，即⎩⎨⎧1＋2＋a>0，1－2＋a<0，4－4＋a<0，9－6＋a>0，解得－3<a<0.因此a 的取值范围是{a|－3<a<0}．20．(本小题满分12分)已知a >0，b >0且1a ＋2b＝1.(1)求ab 的最小值； (2)求a ＋b 的最小值．解：(1)因为a>0，b>0且1a ＋2b ＝1，所以1a ＋2b≥21a ·2b＝22ab，则22ab≤1， 即ab≥8，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋2b ＝1，1a ＝2b ，即⎩⎨⎧a ＝2，b ＝4时取等号，所以ab 的最小值是8. (2)因为a>0，b>0且1a ＋2b ＝1，所以a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (a ＋b)＝3＋b a ＋2ab≥3＋2b a ·2ab＝3＋22， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋2b ＝1，b a ＝2a b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1＋2，b ＝2＋2时取等号，所以a ＋b 的最小值是3＋2 2.21．(本小题满分12分)设y ＝ax 2＋(1－a )x ＋a －2.(1)若不等式y ≥－2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)解关于x 的不等式ax 2＋(1－a )x ＋a －2<a －1(a ∈R)．解：(1)ax 2＋(1－a)x ＋a －2≥－2对于一切实数x 恒成立等价于ax 2＋(1－a)x ＋a≥0对于一切实数x 恒成立．当a ＝0时，不等式可化为x≥0，不满足题意； 当a≠0时，由题意得⎩⎨⎧a>0，（1－a ）2－4a2≤0，解得a≥13.所以实数a的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ≥13.(2)不等式ax 2＋(1－a)x ＋a －2<a －1等价于ax 2＋(1－a)x －1<0. 当a ＝0时，不等式可化为x<1，所以不等式的解集为{x|x<1}； 当a>0时，不等式可化为(ax ＋1)(x －1)<0，此时－1a<1，所以不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1a <x<1； 当a<0时，不等式可化为(ax ＋1)(x －1)<0，①当a ＝－1时，－1a＝1，不等式的解集为{x|x≠1}；②当－1<a<0时，－1a >1，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x<1或x>－1a ；③当a<－1时，－1a <1，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x<－1a 或x>1. 综上所述，当a<－1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x<－1a 或x>1；当a ＝－1时，不等式的解集为{x|x≠1}；当－1<a<0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x<1或x>－1a ；当a ＝0时，不等式的解集为{x|x<1}；当a>0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1a <x<1. 22．(本小题满分12分)某企业准备投入适当的广告费对某产品进行促销，在一年内预计销售量Q (万件)与广告费x (万元)之间的关系式为Q ＝3x ＋1x ＋1(x ≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，若该企业产能足够，生产的产品均能售出，且每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试写出年利润W (万元)与年广告费x (万元)的关系式；(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大年利润为多少？ 解：(1)由题意可得，每年产品的生产成本为(32Q ＋3)万元，每万件销售价为⎝⎛⎭⎪⎫32Q ＋3Q ×150%＋x Q ×50%万元， ∴年销售收入为⎝⎛⎭⎪⎫32Q ＋3Q ×150%＋x Q ×50%·Q ＝32(32Q ＋3)＋12x ， ∴W ＝32(32Q ＋3)＋12x －(32Q ＋3)－x＝12(32Q ＋3)－12x ＝12(32Q ＋3－x) ＝－x2＋98x ＋352（x ＋1）(x≥0)．(2)由(1)得，W ＝－x2＋98x ＋352（x ＋1）＝－（x ＋1）2＋100（x ＋1）－642（x ＋1）＝－x ＋12－32x ＋1＋50.∵x ＋1≥1，∴x ＋12＋32x ＋1≥2x ＋12·32x ＋1＝8， ∴W ≤42，当且仅当x ＋12＝32x ＋1，即x ＝7时，W 有最大值42，即当年广告费投入7万元时，企业年利润最大，最大年利润为42万元．。
高中数学必修一第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元测试(含答案)
高中数学必修一第二章一、单选题1．已知集合A ={x‖x ―2|<1}， B ={x |x 2―2x ―3<0}.则A ∩B =A ．{x |1<x <3}B ．{x |―1<x <3}C ．{x |―1<x <2}D ．{x |x >3}2．下列结论成立的是（ ）A ．若ac ＞bc ，则a ＞bB ．若a ＞b ，则a 2＞b 2C ．若a ＞b ，c ＜d ，则a+c ＞b+dD ．若a ＞b ，c ＞d ，则a ﹣d ＞b ﹣c3．已知关于 x 的不等式 a x 2―2x +3a <0 在 (0,2] 上有解，则实数 a 的取值范围是（ ）A ．(―∞,33)B ．(―∞,47)C ．(33,+∞)D ．(47,+∞)4．当x ＞3时，不等式x+1x ―1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，3]B ．[3，+∞）C ．[ 72，+∞）D ．（﹣∞， 72]5．下列不等式恒成立的是（ ）A ．a 2+b 2≤2abB ．a +b ≥―2|ab |C ．a 2+b 2≥―2abD ．a +b ≤2|ab |6．已知 x >2 ，函数 y =4x ―2+x 的最小值是（ ） A ．5B ．4C ．8D ．67．设正实数x ，y ，z 满足x 2―3xy +4y 2―z =0，则当xy z取得最大值时，2x +1y ―2z 的最大值是（ ）A ．0B ．1C ．94D ．38．已知正数x ，y 满足x+y ＝1，且 x 2y +1+y 2x +1≥m ，则m 的最大值为（ ） A ．163B ．13C ．2D ．4二、多选题9．设正实数a ，b 满足a +b =1，则（ ）A ．a 2b +b 2a ≥14B ．1a +2b +12a +b ≥43C ．a 2+b 2≥12D ．a 3+b 3≥1410．若a ，b ∈(0，+∞)，a +b =1，则下列说法正确的有（ ）A ．(a +1a)(b +1b )的最小值为4B ．1+a +1+b 的最大值为6C．1a +2b的最小值为3+22D．2aa2+b+ba+b2的最大值是3+23311．已知a，b是正实数，若2a+b=2，则（ ）A．ab的最大值是12B．12a+1b的最小值是2C．a2+b2的最小值是54D．14a+b+2a+b的最小值是3212．已知a，b，c为实数，则下列命题中正确的是（ ）A．若a c2<bc2，则a<b B．若ac>bc，则a>bC．若a>b，c>d，则a+c>b+d D．若a<b<0，则1a >1 b三、填空题13．不等式﹣2x（x﹣3）（3x+1）＞0的解集为 ．14．已知正实数x，y满足xy―x―2y=0，则x+y的最小值是 . 15．已知a，b均为正数，且ab―a―2b=0，则a24+b2的最小值为 ．16．以max A表示数集A中最大的数．已知a>0，b>0，c>0，则M=max{1c +ba,1ac+b,ab+c}的最小值为 四、解答题17．已知U=R且A={x∣x2―5x―6<0}，B={x∣―4≤x≤4}，求：（1）A∪B；（2）(C U A)∩(C U B)．18．解下列关于x的不等式:（1）x2―2x―3≤0;（2）―x2+4x―5>0;（3）x2―ax+a―1≤019．已知关于x的不等式2x2+x>2ax+a(a∈R)．（1）若a=1，求不等式的解集;（2）解关于x的不等式．20．某县一中计划把一块边长为20米的等边三角形ABC的边角地辟为植物新品种实验基地，图中DE 需把基地分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．（1）设AD=x（x≥10），ED=y，试用x表示y的函数关系式；（2）如果DE是灌溉输水管道的位置，为了节约，则希望它最短，DE的位置应该在哪里？如果DE 是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应该在哪里？说明理由．答案解析部分1．【答案】A2．【答案】D3．【答案】A4．【答案】D5．【答案】C6．【答案】D7．【答案】B8．【答案】B9．【答案】B,C,D10．【答案】B,C,D11．【答案】A,B12．【答案】A,C,D13．【答案】（﹣∞，﹣1）∪（0，3）314．【答案】3+2215．【答案】816．【答案】217．【答案】（1）解：因为A={x∣x2―5x―6<0}=(―1，6)，且B={x∣―4≤x≤4}=[―4，4]，则A ∪B=[―4，6)．（2）解：由（1）可知，A=(―1，6)，B=[―4，4]，则C U A=(―∞，―1]∪[6，+∞)，C U B=(―∞，―4)∪(4，+∞)，所以(C U A)∩(C U B)=(―∞，―4)∪[6，+∞)．18．【答案】（1）解：x2―2x―3≤0,(x―3)(x+1)≤0⇒x≤―1或x≥3,故解集为: (―∞,―1]∪[3,+∞).（2）解：―x2+4x―5>0,∴x2―4x+5<0⇒(x―2)2+1<0⇒x无解,故解集为: ∅（3）解：x2―ax+a―1≤0,∴[x―(a―1)](x―1)≤0,当a―1<1,即a<2时,解集为[a―1,1],当a―1=1,即a=2时,解集为x=1,当 a ―1>1 ,即 a >2 时,解集为 [1,a ―1] .所以:当 a <2 时,解集为 [a ―1,1] ,当 a =2 时,解集为 x =1 ,当 a >2 时,解集为 [1,a ―1] .19．【答案】（1）解：2x 2+x >2ax +a ，∴x (2x +1)>a (2x +1)，∴(x ―a )(2x +1)>0，当a =1时，可得解集为{x |x >1或x <―12}.（2）对应方程的两个根为a ，―12，当a =―12时，原不等式的解集为{x |x ≠―12}，当a >―12时，原不等式的解集为{x |x >a 或x <―12}，当a <―12时，原不等式的解集为{x |x <a 或x >―12}.20．【答案】（1）解：∵△ABC 的边长是20米，D 在AB 上，则10≤x≤20，S △ADE = 12S △ABC ，∴12 x•AEsin60°= 12 • 34 •（20）2，故AE= 200x，在三角形ADE 中，由余弦定理得：y= x 2+4⋅104x 2―200 ，（10≤x≤20）；（2）解：若DE 作为输水管道，则需求y 的最小值， ∴y= x 2+4⋅104x 2―200 ≥ 400―200 =10 2 ，当且仅当x 2= 4⋅104x 2即x=10 2 时“=”成立．。
数学必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试
第二章过关检测试卷姓名： 班别： 分数：一、单项选择题（本大题共8小题每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知a,b,c 均为实数，下列说法正确的（ ）A.若a>b,则ac>bcB.若a>b,则ac 2>bc 2C.若ac 2>bc 2,则a>bD.若cb >c a ,则a>b 2.不等式0652≤+-x x 的解集是（ ） A.{}23≤≥x x x 或 B.{}32≤≤x x C.{}32-≤-≥x x x 或 D.{}23-≤≤-x x3.已知()011>-+=x x xy ,则y 有（ ） A.最大值-1 B.最小值-1 C. 最大值1 D. 最小值14.若m=a 2+b 2+4，n=2b+3，则m ，n 的大小关系是（ ）A.m>nB.m<nC.m=nD.m ，n 的大小与a ，b 有关5.“0<x ”是“02<-x x ”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.若不等式022<++bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>2131x x x 或，则a b a -的值为（ ） A.61 B.-61 C.65 D.-65 7.已知实数的最小值为，则yx y x y x 140,+++>（ ） A.42 B.6 C.210 D.368. 若命题“()()04222,2≥--+-∈∃x a x a R x ”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A. -2<a <2B.-2<a ≤2C.-2≤a ≤2D.-2≤a <2二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的4个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分）9.下列命题是真命题的是（ ） A.21,22≥+∈∀xx R x B.012,2≤+-∈∃x x R x C.c b c a b a R c b a +>+>∈∀则若,,,, D.若b a >，一定有22bc ac ≥10.已知不等式02>++c bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-221x x ，则下列结论正确的是（ ） A.a>0 B.b>0 C.c>0 D.a+b++c>011.设正实数a,b 满足a+b=1,则（ ） A.b 1a 1+有最小值4 B.21ab 有最大值 C.2b a 有最大值+ C.21b a 22有最小值+ 12.给定实数a ，则关于x 的不等式012≥-+ax x 的解集不可能为A.∅B.RC.⎭⎬⎫⎩⎨⎧-2aD.⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++-≥+--≤242422a a x a a x x 或 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
【新教材精创】第2章 一元二次函数、方程和不等式 练习(2)-人教A版高中数学必修第一册 Word版含解析
第二章 一元二次函数、方程和不等式总分：120分时间：120分钟一、单选题（总分48分，每题4分) 1．不等式(1)(2)0x x +-≤的解集为A ．{|12}x x ≤≤－B ．{|12}x x <<－C ．{|2x x ≥或1}x ≤－D ．{|2x x >或1}x －< 【答案】A【解析】根据二次函数()()12y x x =+-的图象可知，不等式的解是12x ≤≤－，故选A. 2．已知正数,a b 满足10ab =，则2+a b 的最小值是 ( ) A ．35 B ．310C ．45D ．210【答案】C【解析】因为10ab =，所以222245ab ab +≥=⋅=a b 2，当且仅当55a =2,b =时，等号成立，所以2+a b 的最小值为45. 故答案为：C.3．若,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式成立的是( ) A ．22a b > B ．11a b< C ．a c b c >D ．2211a bc c >++ 【答案】D【解析】选项A: 0,1a b ==-，符合a b >，但不等式22a b >不成立，故本选项是错误的； 选项B:当0,1a b ==-符合已知条件，但零没有倒数，故11a b<不成立 ，故本选项是错误的； 选项C:当0c =时，a c b c >不成立，故本选项是错误的； 选项D:因为210c +>，所以根据不等式的性质，由a b >能推出2211a bc c >++，故本选项是正确的，因此本题选D. 4．不等式的解集是（ ）． A ．B ．C ．，或D ．，或【答案】B【解析】由题意，∴即，解得：，∴该不等式的解集是，故选．5．设,x y R +∈,且191x y+=,则x y +的最小值为（ ） A ．6 B ．12C ．14D ．16【答案】D【解析】因为199()()1916x yx y x y x y y x+=+⋅+=+++≥， 等号成立当且仅当4,12x y ==，所以x y +的最小值为16.选D. 6．下列结论正确的是 A ．当2x ≥时，1x x+的最小值为2 B ．当0x >2x x≥ C ．当102x x x<≤-时，无最大值 D ．当0x >且1x ≠时，2x x≥ 【答案】B【解析】对于A ，x+1x 在[2，+∞）上单调增，所以x=2时，1x x +的最小值为52，故A 错误； 对于B ，当x ＞02x x≥，当且仅当x=1时，等号成立，故B 成立； 对于C ，1x x -在（0，2]上单调增，所以x=2时，1x x-取得最大值，故C 不成立； 对于D ，当0＜x ＜1时，lgx ＜0，1lg x＜0，结论不成立； 故选B7．已知实数01a <<，则（ )A ．21a a a a>>>- B ．21a a a a>>>- C ．21 a a a a>>>- D ．21a a a a>>>-【答案】C【解析】01a <<Q ，201a ∴<<，11a>，10a -<<， 由于01a <<，在不等式上同时乘以a 得20a a <<，因此，21a a a a>>>-，故选：A. 8．已知1x >，则41x x +-的最小值为 A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】由题意，因为1x >，则10x ->，所以44111511x x x x +=-++≥=--， 当且仅当411x x -=-时，即3x =时取等号，所以41x x +-的最小值为5，故选C ． 9．某市原来居民用电价为0.52元/kw h ⋅，换装分时电表后，峰时段(早上八点到晚上九点)的电价0.55元/kw h ⋅，谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为0.35元/kw h ⋅．对于一个平均每月用电量为200kw h⋅的家庭，换装分时电表后，每月节省的电费不少于原来电费的10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为 ( ) A ．110kw h ⋅ B ．114kw h ⋅C ．118kw h ⋅D ．120kw h ⋅【答案】C【解析】设每月峰时段的平均用电量为xkw h ⋅，则谷时段的用电量为()200x kw h -⋅； 根据题意，得：()()()0.520.550.520.352002000.5210%x x -+--≥⨯⨯， 解得118x ≤．所以这个家庭每月峰时段的平均用电量至多为118kw h ⋅， 故选C ．10．已知正数,x y 满足1=+y x ，则141x y++的最小值为（ ）A ．5B ．314 C ．92D ．2【答案】C【解析∵正数,x y 满足1x y +=，∴12x y ++=，∴()14114114915121212y xx y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++=+++=++≥ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭当且仅当141y x x y +=+即23x =，13y =时，等号成立，即141x y ++的最小值为92，故选C.11．已知命题11:4p a >，命题:q x R ∀∈，210ax ax ++>，则p 成立是q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】求解不等式114a >可得04a <<， 对于命题q ，当0a =时，命题明显成立； 当0a ≠时，有：240a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得：04a <<， 即命题q 为真时04a ≤<， 故p 成立是q 成立的充分不必要条件. 故选：A.12．已知二次函数()f x 的二次项系数为a ，且不等式()2f x x >-的解集为()1,3，若方程()60f x a +=，有两个相等的根，则实数a =（ ） A ．－15B ．1C ．1或－15D ．1-或－15【答案】A【解析】由于不等式()2f x x >-的解集为()1,3，即关于x 的二次不等式()220ax b x c +++>的解集为()1,3，则0a <.由题意可知，1、3为关于x 的二次方程()220ax b x c +++=的两根，由韦达定理得2134b a +-=+=，133ca=⨯=，42b a ∴=--，3c a =，()()2423f x ax a x a ∴=-++，由题意知，关于x 的二次方程()60f x a +=有两相等的根， 即关于x 的二次方程()24290ax a x a -++=有两相等的根，则()()()224236102220a a a a ∆=+-=+-=，0a <Q ，解得15a =-，故选：A. 二、填空题（总分16分，每题4分)13．已知a 、b 是正实数，且满足ab ＝a ＋b ＋3，则a ＋b 的取值范围是________． 【答案】a ＋b≥6【解析】∵a、b 是正实数且ab ＝a ＋b ＋3，故a 、b 可视为一元二次方程x 2－mx ＋m ＋3＝0的两个根，其中a ＋b ＝m ，ab ＝m ＋3，要使方程有两个正根，应有20{30 4120m m m m >+>∆=--≥,得m≥6， 即a ＋b≥6，故a ＋b 的取值范围是a ＋b≥6．14．已知实数a 、b ，满足02a b <<<，则-a b 的取值范围是_____________. 【答案】【解析】由题意得出02a <<，02b <<，且0a b -<，20b ∴-<-<. 由不等式的可加性可得出22a b -<-<，0a b -<Q ，20a b ∴-<-<， 因此，-a b 的取值范围是.15．不等式220ax ax -+≥对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围是_________． 【答案】08a ≤≤【解析】当a=0时，不等式等价于20≥，恒成立，所以a=0符合条件. 当0a ≠时，不等式等价于00a >⎧⎨∆≤⎩，即2080a a a >⎧⎨-≤⎩，解得：08a <≤， 所以a 的范围为08a ≤≤. 故答案为： 08a ≤≤.16．有一个体积为2的长方体，它的长、宽、高依次为a ，b ，1，现将它的长增加1，宽增加2，且体积不变，则所得长方体高的最大值为________；【答案】14； 【解析】依题意2ab =，设新长方体高为h ， 则(1)(2)2a b h ++=， ∴222(1)(2)2242h a b ab a b a b ===+++++++2214224422ab ≤==+⨯+，当且仅当2a b =时等号成立． ∴h 的最大值为14． 故答案为14． 三、解答题（总分56分，17、18、19每题8分，20、21题10分，22每题12分.) 17．（1）已知0a b >>，0c d <<，0e <，比较e a c -与e b d-的大小； （2）已知0x >，0y >，21x y +=，，求11x y+的取值范围． 【答案】（1）e ea cb d>--（2）【解析】（1）()()()()()()()()e e e b d e a c b a c d e a c b d a c b d a c b d ----+--==------． ∵0a b >>，0c d <<，，∴0a c ->，0b d ->，0b a -<，0c d -<． 又0e <，∴0e e a c b d ->--．∴e ea cb d>--． （2）∵21x y +=，0x >，0y >，∴11112(2)3322x yx y x y x y y x⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭， 当且仅当21,2,0,0,x y x yy x x y ⎧+=⎪⎪=⎨⎪⎪>>⎩即当21,221x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩时等号成立． 故11x y+的取值范围是．18．已知关于x 的不等式012<-+-a x ax . （1）当2a =时，解关于x 的不等式； （2）当a R ∈时，解关于x 的不等式.【答案】（1）1|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；（2）详见解析 【解析】（1）当2a =时，不等式2210x x --<可化为：()()2110x x +-<∴不等式的解集为1|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭（2）不等式012<-+-a x ax 可化为：()()110x ax a -+-<， （i ）当0a =时，10x -+<，解得：1x > ∴不等式解集为{}1x x > （ii ）当0a >时，()1110x x a ⎛⎫-+-< ⎪⎝⎭， ()1110x x a ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭的根为：11x =，211x a=- ①当102a <<时，111a <- ∴不等式解集为1|11x x a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭ ②当12a =时，111a=-，不等式解集为∅ ③当12a >时，111a >- ∴不等式解集为1|11x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭（iii ）当0a <时：()1110x x a ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭此时1101a-<< ∴不等式解集为{1|1x x a <-或}1x >19．已知关于x 的不等式23208kx kx +-<．（1）若不等式的解集为，求实数k 的值；（2）若不等式的解集为R ，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）18k =（2）【解析】（1）若关于x 的不等式23208kx kx +-<的解集为，则32-和1是23208kx kx +-=的两个实数根，由韦达定理可得338122k--⨯=， 求得18k =．（2）若关于x 的不等式23208kx kx +-<解集为R ，则0k =，或22030k k k <⎧⎨∆=+<⎩， 求得0k =或30k -<<， 故实数k 的取值范围为．20．设2()(1)2f x ax a x a =+-+-．（1）若不等式()2f x ≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围； （2）解关于x 的不等式()1f x a <-（a ∈R ）． 【答案】（1）13a ≥（2）见解析 【解析】（1）由题意，不等式()2f x ≥-对于一切实数x 恒成立，等价于2(1)0ax a x a +-+≥对于一切实数x 恒成立．当0a =时，不等式可化为0x ≥，不满足题意；当0a ≠时，满足00a >⎧⎨∆≤⎩，即()220140a a a >⎧⎪⎨--≤⎪⎩，解得13a ≥． （2）不等式()1f x a <-等价于2(1)10ax a x +--<．当0a =时，不等式可化为1x <，所以不等式的解集为{|1}<x x ； 当0a >时，不等式可化为(1)(1)0ax x +-<，此时11a-<， 所以不等式的解集为1{|1}x x a-<<； 当0a <时，不等式可化为(1)(1)0ax x +-<， ①当1a =-时，11a-=，不等式的解集为{|1}x x ≠； ②当10a -<<时，11a ->，不等式的解集为11x x x a ⎧⎫>-<⎨⎬⎩⎭或；③当1a <-时，11a -<，不等式的解集为11x x x a ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭或．21．已知函数2()(2)2()f x x a x a a R =-++∈. （1）求不等式()0f x <的解集；（2）若当x ∈R 时，()4f x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)见解析；(2)【解析】（1）不等式()0f x <可化为：(2)()0x x a --<， ①当2a =时，不等()0f x <无解；②当2a >时，不等式()0f x <的解集为{}2x x a <<； ③当2a <时，不等式()0f x <的解集为{}2x a x <<. （2）由()4f x ≥-可化为：2(2)240x a x a -+++≥， 必有：2(2)4(24)0a a ∆=+-+≤，化为24120a a --≤， 解得：.22．十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划．2018年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产x （百辆），需另投入成本()C x 万元，且210100,040()100005014500,40x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．（1）求出2018年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（=-利润销售额成本） （2）2018年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．【答案】（1）2104002500,040(){100002000(),40x x x L x x x x-+-<<=-+≥；（2）当100x =时，即2018年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1800万元.【解析】()1当040x <<时，()22600102002500104002500L x x x x x x =---=-+-，当40x ≥时，()1000010000600601450025002000.L x x x x x x ⎛⎫=--+-=-+ ⎪⎝⎭()2104002500,040100002000,40x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪∴=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩． ()2当040x <<时，()210(20)1500L x x =--+，∴当20x =时，()L x 取得最大值1500；当40x ≥时，()10000200020001800L x x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭， 当且仅当10000x x=即100x =时取等号． ∴当100x =时，()L x 取得最大值1800．即2019年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为1800万元．。
(常考题)人教版高中数学必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》检测卷(含答案解析)(2)
一、选择题1．若正数x ，y 满足2440x xy +-=，则x y +的最小值是（ ）A ．3B ．455C ．2D ．622．设实数x 满足0x >，函数4231y x x =+++的最小值为（ ） A ．431-B ．432+C ．421+D ．63．若正数x ，y 满足40x y xy +-=，则3x y+的最大值为（ ） A ．1B ．38C ．37D ．134．若正数a ，b 满足21a b +=，则下列说法正确的是（ ） A ．ab 有最大值12B ．224a b +有最小值12C ．ab 有最小值18 D ．224a b +有最大值145．当4x >时，不等式44x m x +≥-恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．8m ≤B ．8m <C ．8m ≥D ．8m >6．若不等式()()2||20x a b x x ---≤对任意实数x 恒成立，则a b +=（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．27．若对于任意的x ＞0，不等式231xa x x ≤++恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥15B ．a ＞15 C ．a ＜15 D ．a ≤158．若过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB ⋅的最大值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．89．已知a≥0,b≥0,且a+b=2,则 ( ) A ．ab≤ B ．ab≥ C ．a 2+b 2≥2D ．a 2+b 2≤310．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则a 的取值范围是（ ） A ．23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．23,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()1,+∞D ．23,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦11．若a ＞b ，则下列不等式一定成立的是（ ）. A ．11a b< B ．55a b > C ．22ac bc >D ．a b >12．集合{}2230A x x x =--≤，{}1B x x =>，则A B =（ ）.A ．()1,3B ．(]1,3C ．[)1,-+∞D ．()1,+∞二、填空题13．若x y a x y +≤+对任意0,0x y >>恒成立，则a 的最小值是_______．14．若0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式中恒成立的是_______.①112ab >；②228a b +≥；③2ab ≥；④111a b+≥. 15．若关于x 的不等式2410x x m -+->的区间[]1,4内有解，则实数m 的取值范围为______．16．若0x >，则函数()164f x x x=+的最小值是______. 17．已知实数0a >，0b >，2是8a 与2b 的等比中项，则62a b+的最小值是_________. 18．已知实数x ，y ，z 满足：222336x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，则x y z ++的最大值为_________. 19．已知不等式250ax x c ++>的解集为(2,3)，则a c +=________.20．如图：已知树顶A 离地面212米，树上另一点B 离地面112米，某人在离地面32米的C 处看此树，则该人离此树_________米时，看A 、B 的视角最大．三、解答题21．设0,0,0a b c >>>，证明： （1）114a b a b+≥+； （2）111111222a b c a b b c a c++≥+++++.22．设函数()()()2230f x ax b x a =+-+≠.（1）若(1)4f =，且,a b 均为正实数，求14a b+的最小值，并确定此时实数,a b 的值； （2）若b R ∀∈满足()222(1)32b f x a x a ab >--+-+在x ∈R 上恒成立，求实数a 的取值范围.23．设全集U =R ，集合2A={x|x -4x-12<0}，B={x|(x-a)(x-2a)<0}． （1）当a=1时，求集合UA B ⋂；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围．24．已知关于x 的不等式()22600kx x k k -+<≠.（1）若不等式的解集是{3x x <-或}2x >-，求k 的值； （2）若不等式的解集是R ，求k 的取值范围； （3）若不等式的解集为∅，求k 的取值范围．25．已知二次函数2()f x ax bx c =++，满足(1)(1)f x f x +=-且不等式()2f x x ≤的解集为[1,3].（1）求函数()f x 的解析式；（2）方程()2f x x k =+在(0,3]上有解，求实数k 的取值范围.26．当a 为何值时，不等式22(1)(1)10a x a x ----<的解集是全体实数？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】首先条件变形为2404x y x-=>，代入x y +后利用基本不等式求最小值.【详解】0,0x y >>，22444004x x xy y x-+-=⇒=>，解得：02x <<243144x x x y x x x -∴+=+=+≥=，当314x x =，即x =即x y + 故选：A 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方2．A解析：A 【分析】将函数变形为()43111y x x =++-+，再根据基本不等式求解即可得答案. 【详解】解：由题意0x >，所以10x +>， 所以()4423231311y x x x x =++=++-+++()4311111x x =++-≥=+，当且仅当()4311x x +=+，即10x =->时等号成立，所以函数4231y x x =+++的最小值为1. 故选：A ． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方3．D解析：D 【分析】 已知等式变形为411x y+=，然后用“1”的代换求出x y +的最小值即可得． 【详解】∵x ，y 均为正数，40x y xy +-=，∴411x y+=，∴414()559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当4y x x y =，即6,3x y ==时等号成立，∴33193x y ≤=+，所求最大值为13． 故选：D ． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方4．B解析：B 【分析】利用基本不等式分析22,4ab a b +的最值，注意取等条件的分析，由此得到结果.【详解】因为21a b +=，所以12a b =+≥18ab ≤，取等号时11,24a b ==， 所以ab 有最大值18，所以A ，C 错误； 又因为()22211241414824a b ab b a ab =+-=-≥-⨯=+，取等号时11,24a b ==， 所以224a b +有最小值12，所以B 正确，D 错误， 故选：B. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.5．A解析：A 【分析】 由题可得444444x x x x +=-++--，且40x ->，利用基本不等式解答即可． 【详解】解：∵4x >，∴40x ->，∴44444844x x x x +=-++≥=-- 当且仅当444x x -=-，即6x =时取等号， ∵当4x >时，不等式44x m x +≥-恒成立， ∴只需min484m x x ⎛⎫≤+= ⎪-⎝⎭． ∴m 的取值范围为：(8],-∞． 故选A ． 【点睛】本题主要考查基本不等式，解题的关键是得出444444x x x x +=-++--，属于一般题．6．D解析：D 【分析】可采用分类讨论法，分别讨论22x x -与x a b --的正负，确定,a b 之间的关系即可求解. 【详解】当220x x -≥时，即[]02x ,∈时，||0x a b --≤恒成立，所以b a x b a -+≤≤+恒成立，所以2a b +≥且a b ≤； 当220x x -≤时，即(][),02,x ∈-∞+∞时，||0x a b --≥恒成立所以x a b ≥+或x a b ≤-恒成立，所以2a b +≤且a b ≥，综上，2a b += 故选：D 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，由含参数绝对值不等式求参数关系，分类讨论的数学思想，属于中档题7．A解析：A 【分析】由于x ＞0，对不等式左侧分子分母同时除以x ，再求出左侧最大值即可求解. 【详解】由题：对于任意的x ＞0，不等式231xa x x ≤++恒成立， 即对于任意的x ＞0，不等式113ax x≤++恒成立，根据基本不等式：10,335x x x >++≥+=，当且仅当1x =时，取得等号， 所以113x x++的最大值为15， 所以15a ≥. 故选：A【点睛】此题考查不等式恒成立求参数范围，通过转化成求解函数的最值问题，结合已学过的函数模型进行求解，平常学习中积累常见函数处理办法可以事半功倍.8．B解析：B 【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A 和B ，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA PB ⊥；再利用基本不等式放缩即可得出||||PA PB 的最大值． 【详解】解：由题意可知，动直线0x my +=经过定点(0,0)A ，动直线30mx y m --+=即(1)30m x y --+=，经过点定点()1,3B ，注意到动直线0x my +=和动直线30mx y m --+=始终垂直，P 又是两条直线的交点，则有PA PB ⊥，222||||||10PA PB AB ∴+==． 故22||||||||52PA PB PA PB +=（当且仅当||||PA PB ==时取“=” ) 故选：B ． 【点睛】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有22||||PA PB +是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．9．C解析：C 【解析】 选C.由≥得ab≤=1,当且仅当a=b=1时,等号成立.又a 2+b 2≥2ab ⇒2(a 2+b 2)≥(a+b)2⇒a 2+b 2≥2,当且仅当a=b=1时,等号成立.10．A解析：A 【分析】利用分离常数法得出不等式2a x x >-在[]15x ∈，上成立，根据函数()2f x x x=-在[]15x ∈，上的单调性，求出a 的取值范围【详解】关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解22ax x ∴>-在[]15x ∈，上有解 即2a x x>-在[]15x ∈，上成立，设函数数()2f x x x=-，[]15x ∈，()2210f x x∴'=--<恒成立 ()f x ∴在[]15x ∈，上是单调减函数且()f x 的值域为2315⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 要2a x x >-在[]15x ∈，上有解，则235a >- 即a 的取值范围是23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭故选A 【点睛】本题是一道关于一元二次不等式的题目，解题的关键是掌握一元二次不等式的解法，分离含参量，然后求出结果，属于基础题．11．B解析：B【分析】利用函数的单调性、不等式的基本性质即可判断出结论． 【详解】 a ＞b ，则1a 与1b的大小关系不确定；由函数y =x 5在R 上单调递增，∴a 5＞b 5； c =0时，ac 2=bc 2；取a =-1，b =-2，|a |＞|b |不成立．因此只有B 成立． 故选B ． 【点睛】本题考查了函数的单调性、不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．B解析：B 【分析】求得集合{}|13A x x =-≤≤，结合集合交集的概念及运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{}{}2230|13A x x x x x =--≤=-≤≤，{}1B x x =>，根据集合交集的概念及运算，可得{}(]|131,3A B x x =<≤=.故选：B. 【点睛】本题主要考查了集合交集的概念及运算，其中解答中正确求解集合A ，结合集合交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题13．【分析】不等式变形为然后利用基本不等式求得的最大值可得的最小值【详解】原不等式可化为因为所以即时等号成立又所以时等号成立所以的最大值是即的最小值是故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要【分析】不等式变形为a ≥的最大值，可得a 的最小值． 【详解】原不等式可化为a ≥，因为222m n mn +≥，所以222222()2()m n m mn n m n +≥++=+，即m n +≤，m n =时等号成立．又0,0x y >>≤=x y =时等号成立．a ≥a【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．14．②④【分析】利用基本不等式和题设得到答案即可【详解】解：且即当且仅当时取等号故选项①错误；当且仅当时取等号选项②正确；即选项③错误；当且仅当时取等号选项④正确故答案为：②④【点睛】利用基本不等式求最解析：②④ 【分析】利用基本不等式和题设得到答案即可． 【详解】 解：0a >，0b >，且4a b +=，42a b ab ∴+=，即4ab ，当且仅当2a b ==时取等号，∴114ab，故选项①错误； 222()82a b a b++=，当且仅当2a b ==时取等号，∴选项②正确；42a b ab +=，即2，∴选项③错误；1111111()()(2)(221444b a a b a b a b a b +=++=+++=，当且仅当2a b ==时取等号，∴选项④正确， 故答案为：②④． 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方15．【分析】不等式在区间内有解等价于然后求出的值域即可【详解】不等式在区间内有解等价于因为函数在上单调递减在单调递增所以的值域为所以故答案为：【点睛】本题考查的是不等式存在性问题考查了学生对基本方法的掌 解析：(],1-∞【分析】不等式2410x x m -+->在区间[]1,4内有解等价于()2max 4+1x x m ≤-，然后求出()24+1f x x x =-的值域即可.【详解】不等式2410x x m -+->在区间[]1,4内有解等价于()2max 4+1x x m ≤-，因为函数()24+1f x x x =-在()1,2上单调递减，在()2,4单调递增，()()()12,23,41f f f =-=-=，所以()f x 的值域为[]31-，，所以1m ≤， 故答案为：(],1-∞.【点睛】本题考查的是不等式存在性问题，考查了学生对基本方法的掌握情况，属于中档题. 16．16【分析】本题先判断再求函数的最小值即可【详解】解：∵∴∴当且仅当即时取等号∴函数的最小值是16故答案为：16【点睛】本题考查基本不等式求最值是基础题解析：16【分析】本题先判断40x >，160x >，再求函数()164f x x x =+的最小值即可. 【详解】解：∵ 0x >，∴ 40x >，160x >，∴ ()16416f x x x =+≥=， 当且仅当164x x=即2x =时，取等号， ∴ 函数()164f x x x=+的最小值是16. 故答案为：16.【点睛】本题考查基本不等式求最值，是基础题.17．32【分析】由是与的等比中项求得化简结合基本不等式即可求解【详解】由题意实数是与的等比中项可得解得所以当且仅当时即时等号成立所以的最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值以及等比 解析：32【分析】8a 与2b 的等比中项，求得31a b +=，化简626266()(3)20b a a b a b a b a b+=++=++，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，实数0a >，0b >8a 与2b 的等比中项，可得23228a b a b +=⨯=，解得31a b +=，所以626266()(3)202032b a a b a b a b a b +=++=++≥+=， 当且仅当66b a a b +时，即14a b ==时，等号成立， 所以62a b+的最小值是32. 故答案为：32.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，以及等比中项公式的应用，其中解答中熟记等比中项公式，合理利用“1”的代换，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.18．【分析】按的正负分类讨论由得至少有一个正数然后分全正一负二负然后利用基本不等式可得结论【详解】首先至少有一个正数（1）如果则由得不成立；（2）若中只有一个负数不妨设则又∴即当且仅当时等号成立；（3）解析：1+【分析】按,,x y z 的正负分类讨论，由3x y z ++=得,,x y z 至少有一个正数，然后分全正，一负，二负，然后利用基本不等式可得结论．【详解】首先,,x y z 至少有一个正数，（1）如果0,0,0x y z ≥≥≥，则由3x y z ++=得,,[0,3]x y z ∈，2222736x y z ++<<，不成立；（2）若,,x y z 中只有一个负数，不妨设0,0,0x y z ≥≥<，则3z x y -=+-，22()6()9z x y x y =+-++，又2222()36()362x y z x y +=-+≤-，∴2()6()9x y x y +-++2()362x y +≤-，即2()4()180x y x y +-+-≤，2x y +≤2231x y z x y z x y ++=+-=+-≤+1x y ==1z =时等号成立；（3）若,,x y z 中有两个负数，不妨设0,0,0x y z ≥<<，则3y z x --=-，2222()362y z y z x ++=-≥， ∴22(3)362x x --≥，整理得22210x x --≤，01x ≤≤+231x y z x y z x ++=--=-≤+1x =+1y z ==-时等号成立； 综上所述，x y z ++的最大值是1+故答案为：1+【点睛】 本题考查用基本不等式求最值，解题关键是根据绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号，然后利用基本不等式．19．-7【分析】结合一元二次不等式和一元二次方程的性质列出方程组求得的值即可得到答案【详解】由不等式的解集为可得解得所以故答案为：【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法以及一元二次方程的性质其中解答 解析：-7【分析】结合一元二次不等式和一元二次方程的性质，列出方程组，求得,a c 的值，即可得到答案.【详解】由不等式250ax x c ++>的解集为(2,3)，可得052323a a c a ⎧⎪<⎪⎪+=-⎨⎪⎪⨯=⎪⎩，解得1,6a c =-=-， 所以167a c +=--=-.故答案为：7-.【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及一元二次方程的性质，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.20．6【分析】过点作设根据已知中树顶距地面米树上另一点距地面米人眼离地面米我们易求出即的表达式进而根据基本不等式求出的范围及取最大值时的值进而得到答案【详解】如图过点作则设由图可知：当且仅当时等号成立即 解析：6【分析】过点C 作CD AB ⊥，设CD x =，根据已知中树顶A 距地面212米，树上另一点B 距地面112米，人眼C 离地面32米．我们易求出tan ACB ∠，即tan()ACD BCD ∠-∠的表达式，进而根据基本不等式，求出tan ACB ∠的范围及tan ACB ∠取最大值时x 的值，进而得到答案．【详解】 如图， 过点C 作CD AB ⊥，则213922AD =-=，113422BD =-=， 设CD x =，由图可知：94tan tan 555tan tan()94361tan ?tan 26121?ACD BCD x x ACB ACD BCD ACD BCD x x x x-∠-∠∠=∠-∠====+∠∠⨯++，当且仅当6x =时，等号成立．即6x =时，tan ACB ∠有最大值，此时ACB ∠最大.故答案为： 6【点睛】 本题考查的知识点是三角函数的实际应用，两角差的正切公式，及基本不等式，其中构造适当的三角形，将问题转化为一个三角函数问题是解答本题的关键．三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无。
湘教版高中数学必修第一册课后习题 第2章 一元二次函数、方程和不等式 等式与不等式 (2)
第2章一元二次函数、方程和不等式2.1 相等关系与不等关系2.1.1 等式与不等式必备知识基础练1.(广东中山高一期末)已知0<=<NB.M>NC.M=ND.M与N的大小关系不确定2.(北京顺义高一期末)已知实数a,b在数轴上对应的点如图所示,则下列式子正确的是( )A.1b >1aB.a2>b2C.b-a>0D.|b|a<|a|b3.设实数a=√5−√3,b=√3-1,c=√7−√5,则( )A.b>a>cB.c>b>aC.a>b>cD.c>a>b4.(吉林辽源高一期末)已知实数a,b,c满足c<b<a,ac<0,那么下列选项正确的是( )A.ab>acB.ac>bcC.ab 2>cb 2D.ca 2>ac 25.(河北唐山高二期中)已知=x 2x+2y,N=4(x -y )5,则M 和N 的大小关系为( )A.M>NB.M<NC.M=ND.以上都有可能6.若bc-ad≥0,bd>0,求证:a+b b≤c+d d.关键能力提升练7.(安徽宣城高一期末)下列结论正确的是( ) A.若ac>bc,则a>b B.若a>b,c>d,则a+c>b+d C.若a<b,则1a>1bD.若a>b,c<d,则a c>bd8.(多选题)已知a,b,c 为非零实数,且a-b≥0,则下列结论正确的有( ) A.a+c≥b+c B.-a≤-b C.a 2≥b 2D.1a≤1b10.已知0<a<b,且a+b=1,试比较:(1)a2+b2与b的大小;(2)2ab与12的大小.答案：1.B M-N=xy-x-y+1=x(y-1)-(y-1)=(x-1)(y-1).∵0<>N.故选B.2.A 由实数a,b在数轴上对应的点可知b<a<0,因此1b >1a,故A正确;由b<a<0可知a2<b2,故B错误;由b<a,可得b-a<0,故C错误;由b<a<0,可得|b|a=|a|b,故D错误.故选A.3.A √5−√3=√5+√3,√3-1=√3+1√7−√5=√7+√5,∵√3+1<√3+√5<√5+√7,∴√3+1>√5+√3>√7+√5,即b>a>c.4.A ∵c<b<a,且ac<0,∴c<0,a>0,b-a<0.∴ab>ac,故A正确;因为a>b,c<0,所以ac<bc,故B错误;当b=0时,ab2=cb2,故C错误;因为a>c,ac<0,所以ca2<ac2,故D错误.故选A.5.A ∵M-N=x 2x+2y−4(x -y )5=x 2+8y 2-4xy 5(x+2y )=x 2+4y 2-4xy+4y 25(x+2y )=(x -2y )2+4y 25(x+2y )>0,∴M>N.故选A.6.证明因为bc-ad≥0,所以ad≤bc.因为bd>0, 所以ab≤cd,所以ab+1≤cd+1,所以a+b b≤c+d d.7.B 若ac>bc,c<0,则a<b,A 错误; 若a>b,c>d,则a+c>b+d,B 正确; 若a<b,a<0,b>0,则1a <1b ,C 错误;若a>b,c<d,c=0,则ac不存在,D 错误.故选B.8.AB 因为a-b≥0,则a≥b,根据不等式性质可知A,B 正确;因为a,b 符号不确定,所以C,D 选项无法确定,故不正确.故选AB. 10.解(1)因为0<a<b,且a+b=1,所以0<a<12<b,则a 2+b 2-b=a 2+b(b-1)=a 2-ab=a(a-b)<0, 所以a 2+b 2<b.(2)因为2ab-12=2a(1-a)-12=-2a 2+2a-12=-2a 2-a+14=-2(a -12)2<0,所以2ab<12.。
(常考题)人教版高中数学必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》测试题(包含答案解析)(2)
一、选择题1．已知0x >，0y >，且1x y xy +=-，则（ ）A ．xy 的最大值为322+B ．xy 的最大值为6C ．2x y +的最小值为332+D ．2x y +的最小值为72．已知0a >，0b >，2ab =，则42a b +的最小值为（ ） A ．22B ．4C ．42D ．83．若正数x ，y 满足2440x xy +-=，则x y +的最小值是（ ）A ．3B ．45C ．2D ．6 4．设实数x 满足0x >，函数4231y x x =+++的最小值为（ ） A ．431-B ．432+C ．421+D ．65．若正数a ，b 满足1a >，1b >，且3a b +=，则1411a b +--的最小值为（ ） A ．4B ．6C ．9D ．166．对于实数x ，规定[]x 表示不大于x 的最大整数，那么不等式[][]2463450x x -+<成立的x 的取值范围是（ ） A ．[)1,15B ．[]2,8C ．[)2,8D ．[)2,15 7．若不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a b -=（ ） A ．4-B ．14C ．10-D ．108．如图，在ABC 中，23BD BC =，E 为线段AD 上的动点，且CE xCA yCB =+，则13x y+的最小值为（ ）A ．16B ．15C ．12D ．109．已知a ＜b ＜0，c ＞d ＞0，则下列结论正确的是（ ） A ．ac ＞bdB ．a +d ＞b +cC ．a d ＜b cD ．a 2＜b 210．已知不等式20ax bx c ++>的解集是{}|x x αβ<<,0α>,则不等式20cx bx a ++>的解集是( )A ．11,βα⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,,βα⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．(),αβD ．(](),,αβ-∞+∞11．若任意取[]1,1x ∈-，关于x 的不等式()2220x mx m ++-≤成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．1515,22⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦B ．1515,22⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦C ．1515,22⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ D ．1515,22⎡⎤---+⎢⎥⎣⎦12．已知,a b R +∈，2229ab b a b +++=，则+a b 的最小值（ ） A ．1B ．2C ．52D ．3二、填空题13．定义,,a a ba b b a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，若,0x y >，则222241616xy y x xy x y μ⎛⎫⎛⎫++=⊗ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值____________.14．已知实数0a >，0b >，2是2a 与2b 的等比中项，则13a b+的最小值是______. 15．已知函数121()22x x f x +-+=+，如果对任意t ∈R ，f （3t 2+2t ）+f （k 2﹣2t 2）＜0恒成立，则满足条件的k 的取值范围是_____．16．设A .B 分别为双曲线22221x y a b-=（a >0，b >0）的左.右顶点，P 是双曲线上不同于A .B的一点，直线AP .BP 的斜率分别为m .n ，则当31b a mn+取最小值时，双曲线的离心率为__________.17．有一批材料可以建成360m 长的图墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为______2(m 围墙厚度不计)．18．若关于x 的方程的两根都大于2，则m 的取值范围是________19．已知函数()21f x ax a =+-的图象恒过定A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0m n ⋅>，则12m n+的最小值为____ 20．正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________.三、解答题21．已知函数()()223f x x bx b R =-+∈.（1）若()f x 在区间[22]-，上单调递减，求实数b 的取值范围； （2）若()f x 在区间[22]-，上的最大值为9，求实数b 的值.22．已知二次函数22()2(,)f x ax bx b a a b R =++-∈，当(1,3)x ∈-时，()0f x >；当(,1)(3,)x ∈-∞-⋃+∞，()0f x <．（1）求a ，b 的值；（2）解关于x 的不等式：2()20()ax b c x c c R +-+>∈；（3）若不等式()50f x mx +-<在[1,3]x ∈上恒成立，求m 的取值范围．23．已知0,0x y >>，且2223x y +=．（1）求xy 的最大值；（2）求24．选修4-5：不等式选讲已知函数()121f x x x =--+的最大值为k . （1）求k 的值；（2）若,,a b c ∈R ， 2222a cb k ++=，求()b ac +的最大值.25．解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.26．设2()(1)1f x m x mx m =+-+-.（1）当1m =时，解关于x 的不等式()0f x >；（2）若关于x 的不等式()0f x m ->的解集为()1,2，求m 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用公式x y +≥，将等式转化为不等式，求xy 的范围；由条件转化为11x y x +=-，代入2x y +后，利用基本不等式求最小值. 【详解】0,0x y >>，x y +≥1xy ∴-≥210-≥，10x y xy +=->1>1t =>，即2210t t --≥，解得：1t ≥或1t ≤1≥，(213xy ≥=+，所以xy 的最小值是3+AB 不正确；10,0,1011x x y x y xy y x x +>>+=-⇒=>⇒>- ()11222222121111x x x y x x x x x x +-++=+=+=-+++---()2213371x x =-++≥=-，当()2211x x -=-时，即2x =时等号成立，所以2x y +的最小值是7，故D 正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查根据条件等式，利用基本不等式求最值，条件等式除了基本变形，同时也需注意变量的范围，比如本题中的1,1xy x >>等条件.2．D解析：D 【分析】由于0a >，0b >且2ab =，则利用基本不等式可得428a b +=≥=≥，从而可得答案【详解】因为0a >，0b >且2ab =，所以428a b +=≥==≥，当且仅当2a b =时，即1a =，2b =时取等号.故选：D. 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关利用基本不等式求最值的问题，正确解题的关键是要明确等号成立的条件.3．A解析：A 【分析】首先条件变形为2404x y x-=>，代入x y +后利用基本不等式求最小值.【详解】0,0x y >>，22444004x x xy y x-+-=⇒=>，解得：02x <<243144x x x y x x x -∴+=+=+≥=，当314x x =，即3x =时等号成立，即x y + 故选：A 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方4．A解析：A 【分析】将函数变形为()43111y x x =++-+，再根据基本不等式求解即可得答案. 【详解】解：由题意0x >，所以10x +>， 所以()4423231311y x x x x =++=++-+++()4311111x x =++-≥=+，当且仅当()4311x x +=+，即10x =->时等号成立，所以函数4231y x x =+++的最小值为1. 故选：A ．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方5．C解析：C 【分析】由等式3a b +=可以得到111a b -+-=，由1411a b +--乘以111a b -+-=所求得式子和基本不等式进行求解即可. 【详解】由3a b +=，可得111a b -+-=，10,10a b ->->，所以()141414(1)511111111a b a a b b a b a b --⎛⎫+=+=++ ⎪------⎝⎭-+-59≥+= 当且仅当12(1)b a -=-，即54,33b a ==时等号成立. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题注意观察待求式的分母，1,1a b --，结合已知条件，可变形为关于分母的式子111a b -+-=，这样就转化为“1”的常规技巧的应用.6．A解析：A 【分析】先由不等式[][]2463450x x -+<得出[]x 的取值范围，再由[]x 的定义得出x 的取值范围. 【详解】不等式[][]2463450x x -+<即为[]()[]()43150x x --<，解得[]3154x <<， 则[]{}1,2,3,,14x ∈，因此，115x ≤<，故选A.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，同时也考查了取整函数的定义，解题的关键要结合不等式得出[]x 的取值，考查计算能力，属于中等题.7．C解析：C 【分析】由题意可知方程220ax bx ++=的根为11,23-，结合根与系数的关系得出12,2a b =-=-，从而得出-a b 的值.【详解】由题意可知方程220ax bx ++=的根为11,23- 由根与系数的关系可知，11112,2323b a a-+=--⨯=解得12,2a b =-=-即12210a b -=-+=- 故选：C 【点睛】本题主要考查了根据一元二次不等式的解集求参数的值，属于中档题.8．A解析：A 【分析】由已知可得A ，D ，E 三点共线，结合平面向量基本定理可得31x y +=，0x >，0y >，再利用基本不等式即可求解. 【详解】 解：∵23BD BC =， ∴3CB CD =，3CE xCA yCB xCA yCD =+=+，因为A ，D ，E 共线，所以31x y +=，则()3313333101016x y x y y x x y x y x y +++=+=++≥+. 当且仅当33y x x y =且31x y +=即14x y ==时取等号， 故选：A. 【点睛】本题主要考查三点共线的向量表示，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．C解析：C【分析】取特殊值判断ABD ，根据不等式的性质判断C. 【详解】对A 项，当2,1,2,1a b c d =-=-==时，41ac bd -=<=-，则A 错误； 对B 项，当2,1,2,1a b c d =-=-==时，1a d b c +=+=-，则B 错误； 对C 项，0c d >>，11d c ∴>，又0a b <<，0a b ∴->->，则11a b d c-⋅>-⋅，即a d ＜bc，则C 正确； 对D 项，当2,1a b =-=-时，2241a b =>=，则D 错误； 故选：C 【点睛】本题主要考查了由已知条件判断所给不等式是否正确，属于中档题.10．A解析：A 【分析】根据不等式20ax bx c ++>的解集,判断出,,a b c 的符号,利用韦达定理表示出αβ+和αβ⋅与,,a b c 的关系. 设不等式20cx bx a ++>的解集为(),m n ,利用韦达定理建立,αβ与,m n 的关系,进而用,αβ表示出,m n ,即可得不等式20cx bx a ++>的解集. 【详解】不等式20ax bx c ++>的解集是{}|x x αβ<< 所以20ax bx c ++=的两个根分别为12,x x αβ== 因为0α>,所以0β>,所以0a < 由韦达定理可知120b x x a αβ+=+=->,120cx x aαβ⋅=⋅=> 由0a <,可知0,0b c ><因为0c <,所以可设20cx bx a ++>的解集为(),m n .由于m n <,所以11n m< 则,b a m n m n c c+=-⋅= 因为b c αβαβ+=-⋅,caαβ⋅=所以111m n m n m n αβαβαβαβ+⎧+==+⎪⋅⎪⎪⋅=⎨⋅⎪⎪<⎪⎩解方程组可得11m n βα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以不等式20cx bx a ++>的解集为11,βα⎛⎫⎪⎝⎭故选:A 【点睛】本题考查了不等式与方程的关系,韦达定理在解方程中的应用,属于中档题.11．A解析：A 【分析】由已知结合二次函数的性质及特殊点所对应的函数值的正负即可求解 【详解】解：令()22()2,[1,1]f x x mx m x =++-∈-，由题意得22(1)120(1)120f m m f m m ⎧-=-+-≤⎪⎨=++-≤⎪⎩，m ≤≤故选：A 【点睛】此题考查了二次不等式在闭区间上恒成立问题的求解，二次函数性质的应用，属于中档题12．C解析：C 【分析】令z a b =+，得a z b =-，代入2229ab b a b +++=，化简后利用判别式列不等式，解不等式求得+a b 的最小值. 【详解】令z a b =+，得a z b =-，代入2229ab b a b +++=并化简得()212290b z b z +--+=，关于b 的一元二次方程有正解，所以首先()()2124290z z ∆=---+≥， 即()()27250z z +-≥，由于,a b 是正实数，所以250z -≥，即52z ≥，也即+a b 的最小值为52. 此时对称轴1221120222z z z ---==-≥>，所以关于b 的一元二次方程()212290b z b z +--+=有正解，符合题意.故选：C 【点睛】本小题主要考查判别式法求最值，考查一元二次不等式的解法，属于中档题.二、填空题13．【分析】换元判定单调性利用基本不等式求解【详解】令则在为增函数在在为减函数从而当且仅当时取等号故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三相等一正就解析：94【分析】换元判定单调性，利用基本不等式求解 【详解】令y t x =，则 22244xy y t t x+=+在()0,∞+为增函数， 22216111616x xy y t t+=+在在()0,∞+为减函数，从而22111942164t t t t μ⎛⎫≥+++≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当12t =时取等号. 故答案为：94【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方14．【分析】由是与的等比中项求得化简结合基本不等式即可求解【详解】由题意实数是与的等比中项可得得所以当且仅当时即时等号成立所以的最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值以及等比中项公解析：4+【分析】2a 与2b 的等比中项，求得1a b +=，化简13133()()4b a a b a b a b a b+=++=++，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，实数0a >，0b >2a 与2b的等比中项，可得2222a b a b +=⨯=，得1a b +=，所以13133()()44b a a b a b a b a b +=++=++≥+= 当且仅当3b a a b =时，即a b == 所以13a b+的最小值是4+.故答案为：4+【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，以及等比中项公式的应用，其中解答中熟记等比中项公式，合理利用“1”的代换，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档题.15．k<-1或k>1【分析】利用定义先求出函数为单调减函数与奇函数然后化简得到然后利用不等式得恒成立条件求出答案【详解】对于函数定义域为且所以为奇函数且对求导可得则在时为减函数可得利用为奇函数化简得利用 解析：k <-1或k >1.【分析】利用定义，先求出函数()f x 为单调减函数与奇函数，然后化简()()2223220f t t f k t ++-<得到222t t k --<，然后利用不等式得恒成立条件求出答案【详解】对于函数()f x ，定义域为R ，且()12122x x f x ---+-=+1122222xx x x +-+=+()12122x x f x +-==-+，所以，()f x 为奇函数，且对()f x 求导可得()'0f x <，则()f x 在x ∈R 时为减函数， ()()2223220f t t f k t ++-<，可得()()222322f t t f k t +<--，利用()f x 为奇函数化简得()()222322f t t f t k +-<，利用()f x 在x ∈R 时为减函数，得222322t t t k +->，化简得222t t k --<恒成立，令()22g t t t =--，则有()2max g t k <，而()()max 11g t g =-=，所以21k <，得到1k >或1k <-答案：1k >或1k <-【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性以及不等式的恒成立问题，属于中档题16．【分析】先根据点的关系确定mn 再根据基本不等式确定最小值最后根据最小值取法确定双曲线的离心率【详解】设则因此当且仅当时取等号所以离心率是故答案为：【点睛】本题考查双曲线离心率和基本不等式求最值的简单【分析】先根据点的关系确定mn ，再根据基本不等式确定最小值，最后根据最小值取法确定双曲线的离心率.【详解】设11(,)P x y ，则 22111222111y y y b mn x a x a x a a=⋅==+--，因此3b a+3b a a b =+≥= 当且仅当3a b 时取等号,所以离心率是3c e a ===.【点睛】本题考查双曲线离心率和基本不等式求最值的简单综合问题，属于基础题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式c e a=求解；2.公式法：c e a === 3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.17．8100【分析】设小矩形的高为把面积用表示出来再根据二次函数的性质求得最大值【详解】解：设每个小矩形的高为am 则长为记面积为则当时所围矩形面积的最大值为故答案为8100【点睛】本题考查函数的应用解题解析：8100【分析】设小矩形的高为acm ，把面积用a 表示出来，再根据二次函数的性质求得最大值．【详解】解：设每个小矩形的高为am ，则长为()136043b a m =-，记面积为2Sm 则()2336044360(090)S ab a a a a a ==⋅-=-+<<∴当45a =时，()28100max S m =∴所围矩形面积的最大值为28100m故答案为8100．【点睛】本题考查函数的应用，解题关键是寻找一个变量，把面积表示为此变量的函数，再根据函数的知识求得最值．本题属于基础题． 18．；【详解】令由条件可得：解得：解析：(5,4]--；【详解】令2()(2)5f x x m x m =+-+-， 由条件可得：22(2)042(2)5022222(2)4(5)040f m m b m a m m b ac >+-+->⎧⎧⎪⎪-⎪⎪->⇒->⎨⎨⎪⎪---≥-≥⎪⎪⎩⎩解得：(5,4]--19．【分析】先求得函数的图象恒过定点代入直线的方程得到再结合基本不等式即可求解【详解】由题意函数可得函数的图象恒过定点又由点在直线上可得则又因为则所以当且仅当时等号成立因此的最小值为故答案为：【点睛】本 解析：8【分析】先求得函数()y f x =的图象恒过定点(2,1)A --，代入直线的方程，得到21m n +=，再结合基本不等式，即可求解.【详解】由题意，函数()21(2)1f x ax a a x =+-=+-，可得函数()y f x =的图象恒过定点(2,1)A --，又由点(2,1)A --在直线10mx ny ++=上，可得210m n --+=，则21m n +=， 又因为0m n ⋅>，则0m n>，所以12124()(2)448n m m n m n m n m n +=++=++≥=， 当且仅当122n m ==时，等号成立， 因此，12m n+的最小值为8. 故答案为：8.【点睛】本题主要利用基本不等式求最值问题，同时考查函数的图象过定点问题的应用，其中解答中熟记基本不等式的“一正、二定、三相等”，准确运算时解答的关键，着重考查推理与运算能力.20．【分析】由题得ab ＝a ＋b ＋3≥2＋3解不等式即得解【详解】∵ab 是正数∴ab ＝a ＋b ＋3≥2＋3(当且仅当a ＝b ＝3时等号成立)所以所以所以或所以ab≥9故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式的解析：[)9,+∞【分析】由题得ab ＝a ＋b ＋3，解不等式30ab -≥即得解.【详解】∵a ，b 是正数，∴ab ＝a ＋b ＋＋3(当且仅当a ＝b ＝3时等号成立)，所以30ab -≥，所以0≥，3≥1≤-，所以ab ≥9.故答案为：[9,)+∞【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无。
最新人教版高中数学必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》测试卷(包含答案解析)(2)
一、选择题1．已知函数22(0)y ax bx c a =+->的图象与x 轴交于()2,0A 、()6,0B 两点，则不等式220cx bx a +-< 的解集为（ ） A ．(6,2)-- B ．11,,62⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11,26--⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,,26⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2．已知0a >，0b >，且1a b +=，则14a b+的最小值为（ ） A ．9B ．8C ．7D ．63．已知a ，b 均为正数，且20a b ab +-=，则22124b a a b -+-的最大值为（ ）A ．9-B ．8-C ．7-D ．6-4．若正数a ，b 满足21a b +=，则下列说法正确的是（ ） A ．ab 有最大值12B ．224a b +有最小值12C ．ab 有最小值18 D ．224a b +有最大值145．已知不等式20ax bx c ++>的解集是{}41x x -<<，则不等式2(1)(3)0b x a x c -+++>的解集为（ ）A ．{}14x x -<<B ．413x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ．413x x x⎧⎫⎨⎬⎩⎭或 D ．{}21x x x -或6．已知m ＞0，xy ＞0，当x +y ＝2时，不等式4m x y +≥92恒成立，则m 的取值范围是（ ）A ．1,)2⎡+∞⎢⎣B ．[1,)+∞C ．](01，D ．1(02⎤⎥⎦， 7．若正实数,x y 满足x y 1+=，则41x 1y++的最小值为( ) A ．447B ．275 C ．143D ．928．如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线与AB ，AD 所在直线分别交于点M ，N ，若AB ＝m AM ，AN ＝n AD （m ＞0，n ＞0），则mn的最大值为（ ）A ．22B ．1C ．22D ．29．若直线10ax by --=，（a ，0b >）过点()2,1-，则11a b+的最小值为（ ） A ．322-B ．8C ．42D ．322+10．已知a≥0,b≥0,且a+b=2,则 ( ) A ．ab≤ B ．ab≥ C ．a 2+b 2≥2D ．a 2+b 2≤311．已知正实数a ，b 满足21a b +=，则12a b+的最小值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．1112．已知01a <<，1b >，则下列不等式中成立的是（ ） A ．4aba b a b+<+ B 2abab a b<+ C 22222a b ab +<D ．2222a b a b ++二、填空题13．已知0,0,4a b a b >>+=，则411a b ++的最小值为__________. 14．设m ，a R ∈，()()211f x x a x =+-+，2()24m g x mx ax =++，若“对于一切实数x ，()0f x >”是“对于一切实数x ，()0g x >”的充分条件，则实数m 的取值范围是___________.15．若对(,1]x ∈-∞-时，不等式21()2()12xxm m --<恒成立，则实数m 的取值范围是____________..16．若a ，b 为实数，且12,12a b ≤≤≤≤，则21a b ab+的最小值是________． 17．已知实数0a >，0b >2是2a 与2b 的等比中项，则13a b+的最小值是______. 18．设x ，y 为正实数，若2241x y xy ++=，则266x yxy++的最大值是______.19．已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4a +9b ，则a +b +c 的最小值为_____．20．已知,a b 为正实数，直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切，则23a b+的最小值为__________.三、解答题21．已知函数()24ax ax b f x =-+．（1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为()1,b ，求a ，b 的值； （2）当3b a =时，求关于x 的不等式()0f x <的解集．22．已知函数21()(2)()2f x x m x m R =+-∈ （1）若关于x 的不等式()4f x <的解集为(2,4)-，求m 的值；（2）若对任意[0x ∈，4]，()20f x +恒成立，求m 的取值范围.23．解下列不等式： （1）2340x x -->； （2）122x x -≤+．24．已知关于x 的不等式()22600kx x k k -+<≠. （1）若不等式的解集是{3x x <-或}2x >-，求k 的值； （2）若不等式的解集是R ，求k 的取值范围； （3）若不等式的解集为∅，求k 的取值范围．25．已知函数()22f x x ax =-，x ∈R ，a R ∈.()1当1a =时，求满足()0f x <的x 的取值范围； ()2解关于x 的不等式()23f x a <；()3若对于任意的()2,x ∈+∞，()1f x >均成立，求a 的取值范围．26．若不等式2520ax x +->的解集是122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，求不等式22510ax x a -+->的解集．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用函数图象与x 的交点，可知()2200ax bx c a +-=>的两个根分别为12x =或26x =，再利用根与系数的关系，转化为4b a =-，12c a =-，最后代入不等式220cx bx a +-<，求解集.【详解】由条件可知()2200ax bx c a +-=>的两个根分别为12x =或26x =，则226b a +=-，26ca⨯=-，得4b a =-，12c a =-， 22201280cx bx a ax ax a ∴+-<⇔---<，整理为：()()21281021610x x x x ++>⇔++>， 解得：16x >-或12x <-， 所以不等式的解集是11,,26⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：D 【点睛】思路点睛：本题的关键是利用根与系数的关系表示4b a =-，12c a =-，再代入不等式220cx bx a +-<化简后就容易求解.2．A解析：A 【分析】利用“1”的代换，转化()1414a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，结合基本不等式即可得解. 【详解】1a b +=，0a >，0b >()1414455549b a a b a b a b a b ⎛⎫+++=++≥+=+= ⎪⎝⎭∴=， 当且仅当4b a a b =，即13a =，23b =时，等号成立. 14a b ∴+的最小值为9 故选：A.易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.3．C解析：C 【分析】先利用条件化简222212144b b a a a b +⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，巧用“1”的代换证明42b a +≥，再证明222242b a b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥+，即得到2214b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭+的取值范围，根据等号条件成立得到最值.【详解】依题意，0,0a b >>，20a b ab +-=可知121a b+=，则222212144b b a a a b +⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，122224222b b b a a a a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当22b a a b=时，即2ba =时等号成立.22242b ba a ab ≥⋅⋅=+，当且仅当2b a =时，等号成立，则左右同时加上224b a +得，则222222442b b b a a ab a ⎛⎫≥+=⎛⎫+++ ⎪⎝⎝⎭⎭ ⎪， 即222242b a b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥+，当且仅当2b a =时等号成立， 故2222428422b a b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥≥=+，当且仅当2b a =时，即2,4a b ==时等号成立， 故2222121744b b a a a b ⎛⎫-+-=-≤- ⎪⎝⎭+当且仅当2b a =时，即2,4a b ==时等号成立. 即22124b a a b -+-的最大值为7-.【点睛】 关键点点睛：本题解题关键在于利用基本不等式证明的常用方法证明42b a +≥和222242b a b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥+，进而突破难点，取最值时要保证取等号条件成立.4．B解析：B 【分析】利用基本不等式分析22,4ab a b +的最值，注意取等条件的分析，由此得到结果. 【详解】因为21a b +=，所以12a b =+≥18ab ≤，取等号时11,24a b ==， 所以ab 有最大值18，所以A ，C 错误； 又因为()22211241414824a b ab b a ab =+-=-≥-⨯=+，取等号时11,24a b ==， 所以224a b +有最小值12，所以B 正确，D 错误， 故选：B. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.5．B解析：B 【分析】根据不等式的解集与对应的方程根的关系的关系求得3,4b a c a ==-且0a <，化简不等式为2340x x +-<，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由题意，不等式20ax bx c ++>的解集是{}41x x -<<， 可得4x =-和1x =是方程20ax bx c ++=的两根，且0a <，所以4141b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，可得3,4b a c a ==-，所以不等式2(1)(3)0b x a x c -+++>可化为23(1)(3)40a x a x a -++->， 因为0a <，所以不等式等价于23(1)(3)40x x -++-<， 即234(1)(34)0x x x x +-=-+<，解得413x -<<， 即不等式2(1)(3)0b x a x c -+++>的解集为413x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. 故选：B. 【点睛】解答中注意解一元二次不等式的步骤：（1）变：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式； （2）判：计算对应方程的判别式；（3）求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根； （4）利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.6．B解析：B 【分析】根据“乘1法”，可得()4142m m x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后，利用基本不等式可推出其最小值，则可得不等式(19422m ++≥，解不等式即可. 【详解】 解：xy ＞0，且x +y ＝2，0,0x y ∴>>，()(41414114442222m m y mx x y m m m x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫∴+=++=+++≥++=++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝当且仅当4y mxx y=2y =时，等号成立， 不等式4m x y +≥92恒成立，(19422m ∴++≥，化简得50m +≥ 解得m 1≥.∴m 的取值范围是[1,)+∞【点睛】本题考查利用基本不等式解决最值问题，熟练掌握“乘1法”是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题7．D解析：D 【分析】将1x y +=变成12x y ++=，可得41141121x y x y x y ⎛⎫+++=⋅+ ⎪++⎝⎭，展开后利用基本不等式求解即可． 【详解】0x ，0y >，1x y +=，12x y ∴++=，(41141141191451212122x y y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++++=⋅+=+++≥+= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭(当且仅当13x =，23y =取等号)，故选D ． 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.8．B解析：B 【分析】根据向量共线的推论，结合向量的线性运算求得12m n+=，再用基本不等式即可求得结果. 【详解】 因为1122AO AB AD =+，又AB ＝m AM ，AN ＝n AD ， 故可得 122m AO AM AN n=+，又,,O M N 三点共线， 故可得1122m n +=，即12m n+=. 故211114m m m n n n ⎛⎫=⨯≤+= ⎪⎝⎭，当且仅当1m n ==时取得最大值. 故选：B .本题考查平面向量共线定理的推论以及基本不等式的应用，属综合中档题.9．D解析：D 【分析】先得到21a b +=，再整理11a b +为23b aab ++求最小值，最后判断等号成立即可. 【详解】解：∵直线10ax by --=，过点()2,1-， ∴ 21a b +=， ∵0a >，0b > ∴20a b>，0ba >∴1111222323322b a b a a b a b a b a b a b+=++=++≥⋅+=+()()， 当且仅当2b aa b=时，等号成立. 故选：D.【点睛】本题考查基本不等式“1”的妙用求最值，是基础题.10．C解析：C 【解析】 选C.由≥得ab≤=1,当且仅当a=b=1时,等号成立.又a 2+b 2≥2ab ⇒2(a 2+b 2)≥(a+b)2⇒a 2+b 2≥2,当且仅当a=b=1时,等号成立.11．B解析：B 【分析】 由题意，得到121222()(2)5b aa b a b a b a b+=++=++，结合基本不等式，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，正实数a ，b 满足21a b +=， 则12122222()(2)55549b a b aa b a b a b a b a b+=++=++≥+⋅=+=， 当且仅当22b a a b =，即13a b ==等号成立，所以12a b +的最小值为9. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值问题，其中解答中熟记基本不等式的使用条件，合理构造是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能，属于据此话题.12．D解析：D 【分析】本题先根据完全平方公式与基本不等式得到()22224a b a ab b ab +=++>，所以排除选项A2211aba b a b>=++，所以排除选项B ；接着根据基本>=，所以排除选项C ；最后根据基本不等式得到选项D 正确. 【详解】解：对于选项A ：因为01a <<，1b >，所以()22224a b a ab b ab +=++>，故选项A 错误；对于选项B 2211aba b a b>=++，故选项B 错误；对于选项C>=C 错误；对于选项D ：()22222222a b a ab b a b +>++=+， 所以a b +<，故选项D 正确. 故选：D . 【点评】本题考查基本不等式的应用、学生的运算能力和转换能力，是基础题.二、填空题13．【分析】由可得则展开后利用基本不等式求解即可【详解】当且仅当即时等号成立故的最小值为故答案为：【点睛】方法点睛：在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正（即条件要求中字母解析：95【分析】由4a b +=，可得(1)5a b ++= ，则()411111154a b a b a b ⎛⎫+=+++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭，展开后利用基本不等式求解即可.【详解】 4,(1)5a b a b +=∴++=，414114(1)14(19[(1)]5251151555b a b a b a b a b a b a ⎡⎤++⎛⎫⎡⎤+=+++⋅=++⋅⋅=⎢⎥ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎣⎦⎣⎦，当且仅当4(1)1b a a b +=+，即102,33a b ==时等号成立， 故411a b ++的最小值为95. 故答案为：95. 【点睛】方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.14．【分析】先求出和恒成立时的范围然后根据充分条件的定义求解【详解】在上恒成立则解得在上恒成立首先都不可能恒成立因此解得∵对于一切实数x 是对于一切实数x 的充分条件∴解得故答案为：【点睛】思路点睛：本题考 解析：[6,)+∞【分析】先求出()0f x >和()0>g x 恒成立时a 的范围，然后根据充分条件的定义求解．【详解】()0f x >在R 上恒成立，则2(1)40a ∆=--<，解得13a -<<， ()0>g x 在R 上恒成立，首先0m ≤都不可能恒成立，因此22040m a m >⎧⎨∆=-<⎩，解得22m m a -<<， ∵“对于一切实数x ，()0f x >”是“对于一切实数x ，()0g x >”的充分条件，∴12320m m m ⎧-≤-⎪⎪⎪≥⎨⎪>⎪⎪⎩，解得6m ≥．故答案为：[6,)+∞．【点睛】思路点睛：本题考查一元二次不等式恒成立问题，考查由充分条件求参数范围，一元二次不等式恒成立问题，注意讨论最高次项系数（若最高次项系数为0，则不等式不是二次不等式），充分条件与必要条件问题可以利用集合的包含关系进行求解．15．【分析】运用换元法参变分离法来求解不等式恒成立问题【详解】不等式转化为化简为令又则即恒成立令又当时取最小值所以恒成立化简得解不等式得故答案为：【点睛】方法点晴：本题考查了不等式恒成立问题在求解过程中 解析：()2,3-【分析】运用换元法,参变分离法来求解不等式恒成立问题.【详解】不等式()21212x xm m ⎛⎫--< ⎪⎝⎭转化为2214x x m m +-<,化简为2211()22x x m m -<+， 令12xt =,又(],1x ∈-∞-,则[)2,t ∈+∞, 即22m m t t -<+恒成立，令2()f t t t =+，又[)2,t ∈+∞， 当2t =时，()f t 取最小值min ()(2)6f t f ==，所以，26m m -<恒成立,化简得260m m --<，解不等式得23m -<<.故答案为：()2,3-【点睛】方法点晴：本题考查了不等式恒成立问题,在求解过程中运用了参变分离法,注意题目中变量的取值范围.16．【分析】利用基本不等式得到通过求出进而求解【详解】由得又因为所以当时此时成立可得时满足条件所以的最小值是；故答案为：【点睛】关键点睛：解题的关键在于基本不等式后得到的求最值得到进而求解【分析】利用基本不等式，得到21a b ab +≥=，通过求出min⎡=⎢⎣求解【详解】由12,12a b ≤≤≤≤得，21a b ab +≥=，又因为12b ≤≤，所以，当2b =时，min ⎡=⎢⎣21a b ab=成立，可得，2a b =，a =2b =时，满足条件，所以，21a b ab +的最小值是2；故答案为：2【点睛】关键点睛：解题的关键在于基本不等式后得到的min2⎡=⎢⎣，进而求解17．【分析】由是与的等比中项求得化简结合基本不等式即可求解【详解】由题意实数是与的等比中项可得得所以当且仅当时即时等号成立所以的最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值以及等比中项公解析：4+【分析】2a 与2b 的等比中项，求得1a b +=，化简13133()()4b a a b a b a b a b+=++=++，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，实数0a >，0b >2a 与2b的等比中项，可得2222a b a b +=⨯=，得1a b +=，所以13133()()44b a a b a b a b a b +=++=++≥+= 当且仅当3b a a b =时，即a b == 所以13a b+的最小值是4+.故答案为：4+【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，以及等比中项公式的应用，其中解答中熟记等比中项公式，合理利用“1”的代换，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档题.18．【分析】先得到当且仅当时接着得到当且仅当时从而化简得到再求取最小值最后求出的最大值【详解】解：∵即∵当且仅当即时取等号∴当且仅当时取等号∵即∴当且仅当时取等号令则∴∵当时取最小值此时最大为：故答案为解析：18【分析】先得到当且仅当2x y =时15xy ≤，接着得到当且仅当2x y =时2x y +=≤266x y xy ++得到142m m+，再求42m m +取最小值，最后求出266x y xy++的最大值. 【详解】解：∵2241x y xy ++=，即2241x y xy =-+∵22414xy x x y y ≥=-=+，当且仅当224x y =即2x y =时，取等号， ∴15xy ≤，当且仅当2x y =时，取等号， ∵2241x y xy ++=，即2(2)31x y xy +-=∴2x y +=≤2x y =时，取等号，令2x y m +==≤231xy m =-， ∴221466242x y m xy m m m+==+++， ∵当m =42m m +266x y xy ++【点睛】本题考查基本不等式求最值，是基础题.19．10【分析】由得出利用基本不等式即可得出答案【详解】（当且仅当时取等号）故答案为：10【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用属于中档题 解析：10【分析】由49abc a b =+得出94c a b=+，利用基本不等式即可得出答案. 【详解】 49abc a b =+4994a b c ab a b+∴==+9410a b c a b a b ++=+++≥=（当且仅当3,2a b ==时，取等号） 故答案为：10【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，属于中档题.20．【分析】函数求导由切线方程可得再利用基本不等式求得最值【详解】的导数为由切线的方程可得切线的斜率为1可得切点的横坐标为切点为代入得为正实数则当且仅当即时取得最小值故答案为：【点睛】本题考查导数的运算解析：5+【分析】函数求导，由切线方程y x a =-可得1a b +=，再利用基本不等式求得最值.【详解】ln()y x b =+的导数为1y x b'=+， 由切线的方程y x a =-可得切线的斜率为1，可得切点的横坐标为1b -，切点为(1,0)b -，代入y x a =-，得1a b +=，,a b 为正实数，则2323233()()2355b a a a b a b a b a b b+=++=+++≥+=+当且仅当3a b =，即2,3a b ==5+.故答案为：5+【点睛】 本题考查导数的运算、导数的几何意义及基本不等式求最值，属于基础题.三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无。
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高一数学必修一第二章《一元二次函数、方程和不等式》训练题 (2)一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.使不等式23x−1−2>0成立的x的取值范围是()A. (32,+∞) B. (23,+∞) C. (13,+∞) D. (−13,+∞)．2.设集合A={x||3x+1|≤4}，B={x|log2x≤3}，则A∪B=()A. [0,1]B. (0,1]C. [−53,8] D. [−53,8)3.若函数f(x)=12cos2x+3a(sinx−cosx)+(4a−1)x在[−π2,0]上单调递增，则实数a的取值范围为A. [17,1] B. [−1,17]C. (−∞,−17]∪[1,+∞) D. [1,+∞)4.已知函数f(x)=12ax2+cosx−1(a∈R)，若函数f(x)有唯一零点，则a的取值范围为A. (−∞,0)B. (−∞,0]∪[1,+∞)C. (−∞,−1]∪[1,+∞)D. (−∞,0)∪[1，+∞)5.已知函数f(x)={2x+4x−5,x>0,−x2−3x−3,x≤0．若函数f(x)=−x+m恰有两个不同的零点，则实数m的取值范围是()A. (0,+∞)B. (−∞,4√3−5)C. (−∞,−2)∪(4√3−5,+∞)D. [−3,−2)∪(4√3−5,+∞)6.已知集合A={x|x2−x−2>0},B={x|0<x<3}，则A∩B=()A. (−1,3)B. (0,3)C. (1,3)D. (2,3)7.命题“∀x∈[−2,3]，x2−4x−a≥0”为真命题的一个必要不充分条件是A. a≤−4B. a<0C. −3≤a≤12D. a<−108.已知函数f(x)=ax2−2x+lnx有两个不同的极值点x1，x2，若不等式λ>f(x1)+f(x2)恒成立，则实数λ的取值范围是( )A. [−3,+∞)B. (3,+∞)C. [−e,+∞)D. (e,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）9.函数f(x)=x2+2(a−1)x+2在区间(−∞,4］上递减，则a的取值范围是__________10.已知a，b，c分别是▵ABC三内角A，B，C所对的边，5sin2B−8sinBsinC+5sin2C−5sin2A=0，且a=√2，则▵ABC面积的最大值为________．11.若直线xa +yb=1(a>0,b>0)过点(1,2)，则a+2b的最小值为.．12.设a+2b=4，b>0，则12|a|+|a|b的最小值为___________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）13.已知函数f(x)=sin2xcosφ+cos2xsinφ(|φ|<π2)，且函数y=f(2x+π4)的图象关于直线x=7π24对称．(1)求φ的值；(2)若π3<α<5π12，且f(α)=45，求cos4α的值；(3)若0<θ<π8时，不等式f(θ)+f(θ+π4)<|m−4|恒成立，试求实数m的取值范围．14.已知函数f(x)=lnx−a2x2+ax，a∈R且a≠0．(1)若函数f(x)在区间[1, +∞)上是减函数，求实数a的取值范围；(2)设函数g(x)=(3a+1)x−(a2+a)x2，当x>1时，f(x)<g(x)恒成立，求a的取值范围．15.已知不等式ax2−4x+3<0的解集为{x|1<x<b}．(1)求a，b的值；(2)求不等式ax−21−bx≥0的解集．16.已知函数f(x)=|x+a|(x+1)+|x−1|(x+a)．(1)若a=0，求不等式f(x)≥0的解集；(2)当x<0时，f(x)<0，求实数a的取值范围．17.已知f(x)=|x+a|−|x−2a|(a∈R)．(1)当a=1时，解关于x的不等式f(x)≥2；(2)若对任意x，任意m∈R，不等式f(x)≤|m−1|+|m−4|恒成立，求实数a的取值范围．18.已知ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB=(2c−b)cosA．(1)求角A的大小；(2)若a=6，求ΔABC面积的最大值．19.已知ΔABC的内角A,B,C的对边为a,b,c，且cosB=b．2(acosC+ccosA)(1)求B；(2)若a+c=1，求b的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查的知识点是指数不等式的解法，指数不等式的解答中第一步是要将不等号两边的式子化为同底，第二步是要利用指数函数的单调性将不等式转化成一个整式不等式．将不等式23x−1−2>0化为23x−1>2后，我们可以根据指数函数的单调性，将其转化为整式不等式3x−1>1，进而求出使不等式23x−1−2>0成立的x的取值范围．【解答】解：不等式23x−1−2>0可化为23x−1>2∵函数y=2x在R上为增函数，故原不等式等价于3x−1>1解得x>23．故不等式23x−1−2>0成立的x的取值范围是(23,+∞)故选：B．2.答案：C解析：【分析】本题考查了并集及其运算，考查了绝对值不等式和对数不等式的解法，是基础题．分别求解绝对值的不等式和对数不等式化简集合A，B，然后直接利用并集运算得答案．【解答】解：由|3x+1|≤4得，−53≤x≤1，则集合A=[−53,1]，解log2x≤3得0<x≤8，则B=(0,8]．所以A∪B=[−53,8]，故选：C．3.答案：D解析：【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性，不等式的恒成立问题，考查化归与转化思想，属于中档题先求导，由题意得在[−π2,0]上恒成立，再利用换元法令，将问题转化为−t2+3at+4a≥0在[−1,1]上恒成立，再利用二次函数可得结论．【解答】解：，由题意可得在[−π2,0]上恒成立，令，则，又，∵−π2≤x ≤0， ∴−π4≤x +π4≤π4，故，得−1≤t ≤1，所以问题转化为不等式−t 2+3at +4a ≥0在[−1,1]上恒成立， 即不等式t 2−3at −4a ≤0在[−1,1]上恒成立， 令函数ℎ(t)=t 2−3at −4a,t ∈[−1,1]， 则{ℎ(−1)≤0ℎ(1)≤0则{a ⩾17a ⩾1，解得a ≥1． 故选D ． 4.答案：D解析：【分析】本题考查函数的奇偶性，函数的零点与方程根的关系，利用导数研究函数的单调性，分类讨论思想，不等式的恒成立问题，属于综合题．先由函数奇偶性判断函数f(x)有唯一零点只能在原点取得，当x >0或x <0时，函数f(x)都没有零点，再研究当x >0时，f(x)=12ax 2+cos x −1=0无解， 按a <0，a =0，a >0讨论，结合导数可得结论． 【解答】 解：函数，f(x)是偶函数，若函数f(x)有唯一零点，∵f(0)=0，∴当x >0或x <0时，函数f(x)都没有零点， 只要研究当x >0时，f(x)=12ax 2+cos x −1=0无解，①若a <0时，∵cosx ⩽1，∴f(x)=12ax 2+cos x −1<0，符合题意， ②若a =0时，cosx =1显然有解，不合题意，③若a >0时，f(x)=12ax 2+cos x −1=0无解，等价于cosx =1−12ax 2无解，必须在上cosx >1−12ax 2恒成立，即f(x)=12ax 2+cos x −1>0在上恒成立，∵f′(x)=ax −sinx ，，令g(x)=f′(x)=ax −sinx ，，则g′(x)=a −cosx ，，g′(x)单调递增，(▵)当a ⩾1时，g′(x)⩾0，g(x)单调递增，即f′(x)>f′(0)=0，此时，f(x)单调递增，f(x)>f(0)=0，符合题意，(▵)当0<a<1时，存在，使得g′(x0)=0，当x∈(0,x0)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，即f′(x)单调递减，f′(x)<f′(0)=0，则当x∈(0,x0)时，f(x)单调递减，f(x)<f(0)=0与f(x)=12ax2+cos x−1>0在上恒成立矛盾，综上，a的取值范围为为(−∞,0)∪[1，+∞)．故选D．5.答案：D解析：【分析】本题主要考查了函数的与方程，函数零点个数的判断，基本不等式，属于较难题.写出函数g(x)的解析式，画出图像，函数g(x)的图像与直线y=m有两个不同的交点，结合图像求解即可．【解答】解：设g(x)=f(x)+x，由题意g(x)={3x+4x−5,x>0−x2−2x−3,x≤0,画出g(x)的图像如图，函数数f(x)=−x+m恰有两个不同的零点，即函数g(x)的图像与直线y=m有两个不同的交点，因为x>0时，3x+4x−5≥4√3−5，当且仅当3x=4x 即x=2√33时等号成立，x≤0时−x2−2x−3=−(x+1)2−2≤−2，x=−1时等号成立，又g(0)=−3，所以m>4√3−5或−3≤m<−2，故选D．6.答案：D解析：【分析】本题考查了集合的交集，解题的关键是审清题意，解析出集合中的元素．求出集合A，然后根据数轴求出A⋂B．【解答】解：因为x2−x−2>0，所以x>2或x<−1，故集合A={x>2或x<−1}，又因为集合B={x|0<x<3}，所以A∩B=(2,3)，故选D．7.答案：B解析：【分析】本题主要考查了充分不必要条件的判断以及恒成立问题转化为最值的相关问题，属基础题．根据题意求出a的范围即可得到结果．【解答】解：，x2−4x−a⩾0，因此a≤x2−4x恒成立，设f(x)=x2−4x，对称轴为x=2，开口向上，最小值为f(2)=−4，所以a≤−4．命题“∀x∈[−2,3]，x2−4x−a≥0”为真命题的一个必要不充分条件是a<0，故选B．8.答案：A解析：【分析】本题考查函数的极值和最值，结合函数f(x)存在两个不同的极值点，根据韦达定理得到a的范围，构造新函数g(a)，计算最值，得到λ的取值范围．【解答】解：f′(x)=2ax−2+1x =2ax2−2x+1x，结合x>0，令ℎ(x)=2ax2−2x+1，则ℎ(x)=0有两正根，x1+x2=22a >0,x1x2=12a>0，且Δ=4−8a>0，解得0<a<12，=a(x1+x2)2−2ax1x2−2(x1+x2)−lnx1x2=−1a+ln2a−1，令g(a)=−1a+ln2a−1，g′(a)=1+aa2，又0<a<12，所以g(a)在(0,12)上单调递增，所以g(a)>g(12)=−2+0−1=−3，故λ≥−3．故选A．9.答案：(−∞,−3]解析：【分析】本题考查函数的单调性及二次函数的性质，属于基础题．根据题意可得(−∞,4]⊆(−∞，1−a]，即4≤1−a，进而即可求得结果．【解答】解：函数f(x)=x2+2(a−1)x+2的单调减区间为(−∞,1−a]，又f(x)在区间(−∞,4]上是减函数，所以有(−∞,4]⊆(−∞，1−a]，所以4≤1−a，解得a≤−3，即实数a的取值范围为(−∞,−3]，故答案为(−∞,−3]．10.答案：32解析：【分析】本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，考查了计算能力，属于中档题．根据题意，得出cos A，再求出sinA，进行求解即可．【解答】解：∵5sin2B−8sinBsinC+5sin2C−5sin2A=0，a=√2，∴5b2−8bc+5c2−5a2=0，整理得b2+c2−a2=85bc，∴cosA=b2+c2−a22bc =85bc2bc=45，∵A∈(0,π)，∴sinA=35，∴由余弦定理可得：2=a2=b2+c2−2bccosA=b2+c2−85bc≥2bc−85bc，则bc≤5，当且仅当b=c时等号成立，∴S△ABC=12bcsinA≤12×5×35=32，当且仅当b=c时等号成立，则△ABC面积的最大值为32，故答案为32.11.答案：9解析：【分析】本题主要考查了基本不等式，考查分析与计算能力，属于基础题．利用点(1,2)在直线上得出1a +2b=1，从而利用基本不等式求出最值．【解答】解：∵直线xa +yb=1(a>0,b>0)过点(1,2)，∴1a +2b=1，∴a+2b=(a+2b)(1a +2b)=1+2ab+2ba+4≥5+2√2ab·2ba=9，当且仅当2ab =2ba，即a=b=3时，取等号，∴a+2b的最小值为9．故答案为9．12.答案：解析：【分析】本题主要考查了基本不等式在求解最值的应用，属中档题．由已知可得，，利用基本不等式即可求解【解答】解：由a+2b=4，得.当时，代入．当时，代入．故最小值为．故答案为．13.答案：解：(1)函数f(x)=sin2xcosφ+cos2xsinφ=sin(2x+φ)，则y=f(2x+π4)=sin(4x+π2+φ)=cos(4x+φ)，由于函数y=f(2x+π4)=cos(4x+φ)图象关于直线x=7π24对称，6解得：φ=kπ−7π6，由于|φ|<π2，所以：当k=1时，φ=−π6；(2)由(1)得：函数的解析式为：f(x)=sin(2x−π6)，由于：π3<α<5π12，π2<2α−π6<2π3，且f(α)=45，所以：sin(2α−π6)=45，cos(2α−π6)=−35，则：cos2α=cos(2α−π6+π6)=cos(2α−π6)cosπ6−sin(2α−π6)sinπ6=−3√3−410，所以：cos4α=2cos22α−1=24√3−750；(3)f(θ)+f(θ+π4 )=sin(2θ−π6)+sin(2θ+π3)=√2sin(2θ+π12)，当0<θ<π8时，12123所以：[√2sin(2θ+π12)]max =√62， 不等式f(θ)+f(θ+π4)<|m −4|恒成立，只需满足|m −4|≥√62即可． 所以：m ≥4+√62或m ≤4−√62， 即实数m 的取值范围是(−∞,4−√62]∪[4+√62,+∞)．解析：本题考查的三角函数的性质、三角恒等变换和恒成立问题，考查推理能力和计算能力，属于一般题．(1)首先对函数的关系式进行恒等变换，进一步利用函数的对称轴求出函数的φ的值；(2)利用(1)的结论，进一步求出函数的解析式，再利用已知的条件求出函数的值；(3)利用恒成立问题，进一步求出参数的取值范围．14.答案：解：(1)∵函数f (x )在区间[1,+∞)上是减函数，∴f′(x )=1x −2a 2x +a =−2a 2x 2+ax+1x =−(2ax+1)(ax−1)x ≤0，即F(x)=2a 2x 2−ax −1=(2ax +1)(ax −1)≥0在[1,+∞)上恒成立，当a ≠0时，令F (x )=0，得x =−12a 或x =1a ，若函数f(x)在区间[1,+∞)上是减函数，①若a >0，则1a ≤1，解得a ≥1；②若a <0，则−12a ≤1，解得a≤−12，∴综上，实数a的取值范围是(−∞,12]∪[1,+∞);(2)令ℎ(x)=f(x)−g(x)，则ℎ(x)=ax2−(2a+1)x+lnx，根据题意，当x∈(1,+∞)时，ℎ(x)<0恒成立，∴ℎ′(x)=2ax−(2a+1)+1x =(x−1)(2ax−1)x．①当0<a<12时，x∈(12a,+∞)时，ℎ′(x)>0恒成立，∴ℎ(x)在(12a ,+∞)上是增函数，且ℎ(x)∈(ℎ(12a),+∞)，所以不符题意．②当a≥12时，x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)>0恒成立，∴ℎ(x)在(1,+∞)上是增函数，且ℎ(x)∈(ℎ(1),+∞)，所以不符题意．③当a<0时，x∈(1,+∞)时，恒有ℎ′(x)<0，∴ℎ(x)在(1,+∞)上是减函数，于是“ℎ(x)<0对任意x∈(1,+∞)都成立”的充要条件是ℎ(1)≤0，即a−(2a+1)≤0，∴解得a≥−1，∴−1≤a<0，∴综上，实数a的取值范围是[−1,0)．解析：本题考查了利用导数求函数的单调性，极值，以及不等式恒成立问题．(1)函数f ( x )在区间 [ 1 ，+∞ ) 上是减函数，则知f′(x )=1x −2a 2x +a ≤0，即F(x)=2a 2x 2−ax −1=(2ax +1)(ax −1)≥0在[1,+∞)上恒成立，再分情况讨论，得到a 的范围在(−∞,12]∪[1,+∞);(2) f( x) < g( x) ，故令ℎ(x )=f (x )−g (x )，则通过求导，并结合分类讨论，得到“ ℎ( x) < 0 对任意 x ∈( 1 ，+∞) 都成立”的充要条件是 ℎ( 1) ≤ 0 ，从而得到−1≤a <0.得到结果．15.答案：解：(1)∵不等式ax 2−4x +3<0的解集为{x|1<x <b }，∴1,b 是方程ax 2−4x +3=0的两根且a >0，∴{−−4a =1+b 3a =1×b ，解得：{a =1b =3； (2)由(1)知不等式ax−21−bx ⩾0即为x−21−3x ⩾0，∴{(x −2)(1−3x )⩾01−3x ≠0, 解得：13<x ⩽2，∴不等式ax−21−bx ⩾0的解集为{x|13<x ⩽2}．解析：本题考查一元二次不等式和分式不等式的解法，属中档题．(1)由题意知1，b 为关于x 的方程ax 2−4x +3=0的两根，由韦达定理可得方程组，解出即可；(2)由(1)知不等式等价于{(x −2)(1−3x )⩾01−3x ≠0，解出解集即可． 16.答案：解：(1)当a =0时，f(x)=|x|(x +1)+|x −1|x ，不等式f(x)≥0的解集是以下三个不等式组解集的并集：{x ≥1,2x 2≥0.或{0≤x <1,2x ≥0.或{x <0,−2x 2≥0.解得不等式f(x)≥0的解集为{x|x ≥0}．(2)由(1)可知当a =0时，当x <0时，f(x)<0，不等式恒成立，当a >0时，若−a <x <0，f(x)=(x +a)(x +1)−(x −1)(x +a)=(x +a)>0，不等式不恒成立，当a <0时，若x <0，f(x)=−(x +a)(x +1)−(x −1)(x +a)=−2x(x +a)<0，不等式恒成立，综上，当x <0时，f(x)<0，则实数a 的取值范围为(−∞,0]．解析：本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想，考查化简运算能力和推理能力．(1)当a =0时，f(x)=|x|(x +1)+|x −1|x ，则不等式f(x)⩾0，去绝对值，转化为三个不等式组解集，取并集即可；(2)当x<0时，通过讨论a=0时，a>0时，a<0时的情况，分别研究f(x)<0是否恒成立，从而可求出a的取值范围．17.答案：解：(1)当a=1时，即不等式|x+1|−|x−2|≥2．当x≤1时，可得−(x+1)−[−(x−2)]=−3≥2，该不等式不成立，无解；当−1<x≤2时，可得(x+1)−[−(x−2)]=2x−1≥2，解得32≤x≤2；当x>2时，可得(x+1)−(x−2)=3≥2，恒成立，故x>2．综上可得不等式的解集为[32,+∞)．(2)设g(m)=|m−1|+|m−4|，则g(m)≥|(m−1)−(m−4)|=3，故可得g(m)min=3，f(x)=|x+a|−|x−2a|≤|(x+a)−(x−2a)|=3|a|，即f(x)max=3|a|，对任意x，任意m∈R，不等式f(x)≤|m−1|+|m−4|恒成立，等价于f(x)max≤g(m)min，即3|a|≤3，解得−1≤a≤1，即实数a的取值范围为[−1,1]．解析：本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式的应用，属于中档题．(1)由a=1，分情况得不等式组求解；(2)由题意和绝对值三角不等式分别可得f(x)的最大值和|m−1|+|m−4|的最小值，由恒成立可得关于a的不等式，解不等式即可求最值得a的范围．18.答案：解：(1)在△ABC中，已知等式acosB=(2c−b)cosA，利用正弦定理化简得：sinAcosB−(2sinC−sinB)cosA=0，整理得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosA，即sin(A+B)=sinC=2sinCcosA，∵sinC≠0，∴cosA=12，∵A为三角形的内角，∴A=π3；(2)∵a=6，A=π3，∴由余弦定理得：36=b2+c2−bc≥2bc−bc=bc，即bc≤36，当且仅当b=c时取等号，∴S△ABC=12bcsinA=√34bc≤9√3，当且仅当b=c时取等号，则△ABC面积的最大值为9√3．解析：本题考查了正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，以及两角和与差的三角函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．(1)已知等式利用正弦定理化简，整理后求出cos A的值，即可确定出角A的大小；(2)由a，cos A的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出bc的最大值，即可确定出三角形ABC 面积的最大值．19.答案：解：(1)2cosB(sinAcosC +sinCcosA)=sinB ，即2cosBsin(A +C)=sinB ，∴2cosBsinB =sinB ， 在ΔABC 中，可得cosB =12,又，所以B =π3.(2)∵a +c =1，即c =1−a ，cosB =12，∴由余弦定理得：b 2=a 2+c 2−2ac ⋅cosB ，即b 2=a 2+c 2−ac =(a +c)2−3ac =1−3a(1−a)=3(a −12)2+14, ∵0<a <1，∴14≤b 2<1,则12≤b <1.解析：本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，涉及两角和的正弦公式及二次函数，属于中档题．(1)由2cosB(acosC +ccosA)=b 利用正弦定理得2cosB(sinAcosC +sinCcosA)=sinB ，再利用两角差和的正弦公式化简可得cosB =12,所以B =π3；(2)由余弦定理结合条件a +c =1，可得b 2=3(a −12)2+14，利用二次函数的性质可得结果．。