辽宁2013年高考文科数学试题带答案和解释
2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学试题 (文科) word解析版
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供文科考生使用）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1． 已知集合{}{}1,2,3,4,|2,A B x x A B ==<=则（A ）{}0 （B ）{}0,1 （C ）{}0,2 （D ）{}0,1,2答案 B解析 B ＝{x ||x |＜2}＝{x |－2＜x ＜2}，∴A ∩B ＝{0,1}．2．复数z ＝1i －1的模为( ) A.12 B.22C. 2 D ．2 答案 B解析 z ＝1i －1＝－1－i 2，∴|z |＝ ⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫－122＝22.3．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量A B →同方向的单位向量为( )A.⎝⎛⎭⎫35，－45B.⎝⎛⎭⎫45，－35C.⎝⎛⎭⎫－35，45D.⎝⎛⎭⎫－45，35 答案 A解析 A B →＝O B →－O A →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，∴与A B →同方向的单位向量为A B →|A B →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45.4．下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列． 其中的真命题为( )A ．p 1，p 2B ．p 3，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4答案 D解析 a n ＝a 1＋(n －1)d ，d ＞0，∴a n －a n －1＝d ＞0，命题p 1正确．na n ＝na 1＋n (n －1)d ，∴na n －(n －1)a n －1＝a 1＋2(n －1)d 与0的大小和a 1的取值情况有关． 故数列{na n }不一定递增，命题p 2不正确．对于p 3：a n n ＝a 1n ＋n －1n d ，∴a n n －a n －1n －1＝－a 1＋d n (n －1)， 当d －a 1＞0，即d ＞a 1时，数列{a n n}递增， 但d ＞a 1不一定成立，则p 3不正确．对于p 4：设b n ＝a n ＋3nd ，则b n ＋1－b n ＝a n ＋1－a n ＋3d ＝4d ＞0.∴数列{a n ＋3nd }是递增数列，p 4正确．综上，正确的命题为p 1，p 4.5．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．60答案 B解析 由频率分布直方图，低于60分的频率为(0.01＋0.005)×20＝0.3.∴该班学生人数n ＝150.3＝50.6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则∠B 等于( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 A解析 由条件得a b sin B cos C ＋c b sin B cos A ＝12， 依正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝12， ∴sin(A ＋C )＝12，从而sin B ＝12， 又a ＞b ，且B ∈(0，π)，因此B ＝π6.7．已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋f ⎝⎛⎭⎫lg 12等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2答案 D解析 设g (x )＝lg(1＋9x 2－3x )＝f (x )－1，g (－x )＝lg(1＋9x 2＋3x )＝lg 11＋9x 2－3x＝－g (x )． ∴g (x )是奇函数，∴f (lg 2)－1＋f ⎝⎛⎭⎫lg 12－1＝g (lg 2)＋g ⎝⎛⎭⎫lg 12＝0， 因此f (lg 2)＋f ⎝⎛⎭⎫lg 12＝2.8．执行如图所示的程序框图，若输入n ＝8，则输出S 等于( )A .49 B.67 C.89 D.1011答案 A解析 执行第一次循环后，S ＝13，i ＝4； 执行第二次循环后，S ＝25，i ＝6；执行第三次循环后，S ＝37，i ＝8；执行第四次循环后，S ＝49，i ＝10； 此时i ＝10＞8，输出S ＝49.9．已知点O (0,0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( )A ．b ＝a 3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)⎝⎛⎭⎫b －a 3－1a ＝0D ．|b －a 3|＋⎪⎪⎪⎪b －a 3－1a ＝0 答案 C解析 易知A B →＝O B →－O A →＝(a ，a 3－b )，且b ≠0，a ≠0，若A 为直角，OA →·AB →＝(0，b )·(a ，a 3－b )＝b (a 3－b )＝0，∴b －a 3＝0，若B 为直角，O B →·A B →＝(a ，a 3)·(a ，a 3－b )＝0，∴a 2＋a 3(a 3－b )＝0，则b －a 3－1a＝0， 故(b －a 3)·⎝⎛⎭⎫b －a 3－1a ＝0，选C.10．已知直三棱柱ABCA 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( ) A.3 172 B ．2 10 C.132D ．3 10 答案 C解析 ∵AB ⊥AC ，且AA 1⊥底面ABC ，将直三棱柱补成内接于球的长方体，则长方体的对角线l ＝32＋42＋122＝2R ，R ＝132.11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( ) A.35 B.57 C.45 D.67答案 B解析 在△ABF 中，由余弦定理得|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB |·|BF |cos ∠ABF ，∴|AF |2＝100＋64－128＝36，∴|AF |＝6，从而|AB |2＝|AF |2＋|BF |2，则AF ⊥BF .∴c ＝|OF |＝12|AB |＝5， 利用椭圆的对称性，设F ′为右焦点，则|BF ′|＝|AF |＝6，∴2a ＝|BF |＋|BF ′|＝14，a ＝7.因此椭圆的离心率e ＝c a ＝57.12．已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设H 1(x )＝max{f (x )，g (x )}，H 2(x )＝min{f (x )，g (x )}(max{p ，q }表示p ，q 中的较大值，min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A －B 等于( )A ．a 2－2a －16B ．a 2＋2a －16C ．－16D ．16答案 C解析 f (x )＝[x －(a ＋2)]2－4－4a ，g (x )＝－[x －(a －2)]2＋12－4a ，在同一坐标系内作f (x )与g (x )的图象(如图)．依题意知，函数H 1(x )的图象(实线部分)，函数H 2(x )的图象(虚线部分)．∴H 1(x )的最小值A ＝f (a ＋2)＝－4－4a ，H 2(x )的最大值B ＝g (a －2)＝12－4a ，因此A －B ＝(－4－4a )－(12－4a )＝－16.第Ⅱ卷二、填空题13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．答案 16π－16解析 由三视图知，该几何体是由一个底面半径r ＝2的圆柱内挖去了一个底面边长为2的正四棱柱，又该几何体的高h ＝4，∴V ＝(π×22－22)×4＝16π－16.14．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________.答案 63解析 ∵a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两根，且q ＞1，∴a 1＝1，a 3＝4，则公比q ＝2，因此S 6＝1×(1－26)1－2＝63.15．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．答案 44解析 由双曲线C 的方程，知a ＝3，b ＝4，c ＝5，∴点A (5,0)是双曲线C 的右焦点，且|PQ |＝|QA |＋|P A |＝4b ＝16，由双曲线定义，|PF |－|P A |＝6，|QF |－|QA |＝6.∴|PF |＋|QF |＝12＋|P A |＋|QA |＝28，因此△PQF 的周长为|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44.16．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．答案 10解析 把5个班中参加该小组的人数从小到大排列，记为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，(x i ∈N ，且x 1，x 2，x 3，x 4，x 5各不相同)，由题意(x 1－7)2＋(x 2－7)2＋(x 3－7)2＋(x 4－7)2＋(x 5－7)2＝20.∵x 1，x 2，x 3，x 4，x 5∈N ，且各不相同． 若使x 5－7最大，只需(x 1－7)2＋(x 2－7)2＋(x 3－7)2＋(x 4－7)2最小，显然(x 1－7)2＋(x 2－7)2＋(x 3－7)2＋(x 4－7)2最小值为0＋1＋1＋4＝6.∴(x 5－7)2≤14，因此(x 5－7)2≤9，则x 5≤10，x 5∈N ，经验证x 5＝10时，x 1＝4，x 2＝6，x 3＝7，x 4＝8满足，所以样本数据中的最大值为10.三、解答题17．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．解 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2 x ，|b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2 x ＝1.又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6. (2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12， 当x ＝π3∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6取最大值1. 所以f (x )的最大值为32.18. 如图，AB 是圆O 的直径，P A 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点．(1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)设Q 为P A 的中点，G 为△AOC 的重心，求证：QG ∥平面PBC .证明 (1)由AB 是圆O 的直径，得AC ⊥BC ，由P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得P A ⊥BC .又P A ∩AC ＝A ，P A ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ，所以BC ⊥平面P AC .(2)连OG 并延长交AC 于M ，连接QM ，QO ，由G 为△AOC的重心，得M 为AC 中点．由Q 为P A 中点，得QM ∥PC ，又O 为AB 中点，得OM ∥BC .因为QM ∩MO ＝M ，QM ⊂平面QMO ，MO ⊂平面QMO ，BC ∩PC ＝C ，BC ⊂平面PBC ，PC ⊂平面PBC .所以平面QMO ∥平面PBC .因为QG ⊂平面QMO ，所以QG ∥平面PBC .19．现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：(1)所取的2道题都是甲类题的概率；(2)所取的2道题不是同一类题的概率．解 (1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“都是甲类题”这一事件，则A 包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P(A)＝615＝25. (2)基本事件同(1)，用B 表示“不是同一类题”这一事件，则B 包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P (B )＝815.20. 如图，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p ＞0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B (M 为原点O 时，A ，B 重合于O )．当x 0＝1－2时，切线MA 的斜率为－12. (1)求p 的值；(2)当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为O )．解 (1)因为抛物线C 1：x 2＝4y 上任意一点(x ，y )的切线斜率为y ′＝x 2，且切线MA 的斜率为－12，所以A 点坐标为⎝⎛⎭⎫－1，14，故切线MA 的方程为y ＝－12(x ＋1)＋14. 因为点M (1－2，y 0)在切线MA 及抛物线C 2上，于是y 0＝－12(2－2)＋14＝－3－224，① y 0＝－(1－2)22p ＝－3－222p.② 由①②得p ＝2.(2)设N (x ，y )，A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 214，B (x 2，x 224)，x 1≠x 2， 由N 为线段AB 中点知x ＝x 1＋x 22，③ y ＝x 21＋x 228.④ 切线MA 、MB 的方程为y ＝x 12(x －x 1)＋x 214.⑤ y ＝x 22(x －x 2)＋x 224.⑥ 由⑤⑥得MA ，MB 的交点M (x 0，y 0)的坐标为x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 1x 24. 因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即x 20＝－4y 0，所以x 1x 2＝－x 21＋x 226.⑦ 由③④⑦得x 2＝43y ，x ≠0. 当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ，AB 中点N 为O ，坐标满足x 2＝43y . 因此AB 中点N 的轨迹方程为x 2＝43y . 21．(1)证明：当x ∈[0,1]时，22x ≤sin x≤x ； (2)若不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4对x ∈[0,1]恒成立，求实数a 的取值范围．(1)证明 记F (x )＝sin x －22x ， 则F ′(x )＝cos x －22. 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时，F ′(x )＞0，F (x )在⎣⎡⎦⎤0，π4上是增函数； 当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，1时，F ′(x )＜0，F (x )在⎣⎡⎦⎤π4，1上是减函数． 又F (0)＝0，F (1)＞0，所以当x ∈[0,1]时，F (x )≥0，即sin x ≥22x . 记H (x )＝sin x －x ，则当x ∈(0,1)时，H ′(x )＝cos x －1＜0，所以，H (x )在[0,1]上是减函数，则H (x )≤H (0)＝0，即sin x ≤x . 综上，22x ≤sin x ≤x ，x ∈[0,1]． (2)解 方法一 因为当x ∈[0,1]时， ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x －4＝(a ＋2)x ＋x 2＋x 32－4(x ＋2)sin 2x 2≤(a ＋2)x ＋x 2＋x 32－4(x ＋2)⎝⎛⎭⎫24x 2＝(a ＋2)x . 所以，当a ≤－2时， 不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4对x ∈[0,1]恒成立． 下面证明，当a ＞－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4对x ∈[0,1]不恒成立． 因为当x ∈[0,1]时，ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x －4 ＝(a ＋2)x ＋x 2＋x 32－4(x ＋2)sin 2x 2 ≥(a ＋2)x ＋x 2＋x 32－4(x ＋2)⎝⎛⎭⎫x 22 ＝(a ＋2)x －x 2－x 32≥(a ＋2)x －32x 2＝－32x ⎣⎡⎦⎤x －23(a ＋2). 所以存在x 0∈(0,1)⎝⎛⎭⎫例如x 0取a ＋23和12中的较小值满足 ax 0＋x 20＋x 302＋2(x 0＋2)cos x 0－4＞0. 即当a ＞－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x －4≤4对x ∈[0,1]不恒成立． 综上，实数a 的取值范围是(－∞，－2]．方法二 记f (x )＝ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x －4，则 f ′(x )＝a ＋2x ＋3x 22＋2cos x －2(x ＋2)sin x . 记G (x )＝f ′(x )，则G ′(x )＝2＋3x －4sin x －2(x ＋2)cos x .当x ∈(0,1)时，cos x ＞12，因此 G ′(x )＜2＋3x －4×22x －(x ＋2)＝(2－22)x ＜0.于是F ′(x )在[0,1]上是减函数，因此，当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜f ′(0)＝a ＋2.故当a ≤－2时，f ′(x )＜0，从而f (x )在[0,1]上是减函数，所以f (x )≤f (0)＝0. 即当a ≤－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4，对x ∈[0,1]恒成立． 下面证明：当a ＞－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋ 2(x ＋2)cos x ≤4，对x ∈[0,1]不恒成立．由于f ′(x )在[0,1]上是减函数，且f ′(0)＝a ＋2＞0，f ′(1)＝a ＋72＋2cos 1－6sin 1. 当a ≥6sin 1－2cos 1－72时，f ′(1)≥0，所以当x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0. 因此f (x )在[0,1]上是增函数，故f (1)＞f (0)＝0；当－2＜a ＜6sin 1－2cos 1－72时，f ′(1)＜0. 又f ′(0)＞0.故存在x 0∈(0,1)，使f ′(x 0)＝0，则当0＜x ＜x 0时，f ′(x )＞f ′(x 0)＝0，所以f (x )在[0，x 0]上是增函数，所以当x ∈(0，x 0)时，f (x )＞f (0)＝0. 所以，当a ＞－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4对x ∈[0,1]不恒成立． 综上，实数a 的取值范围是(－∞，－2]．22. 选修4－1：几何证明选讲如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连接AE ，BE .证明：(1)∠FEB ＝∠CEB ；(2)EF 2＝AD ·BC .证明 (1)由直线CD 与⊙O 相切，得∠CEB ＝∠EAB .由AB 为⊙O 的直径，得AE ⊥EB ，从而∠EAB ＋∠EBF ＝π2； 又EF ⊥AB ，得∠FEB ＋∠EBF ＝π2， 从而∠FEB ＝∠EAB .故∠FEB ＝∠CEB .(2)由BC ⊥CE ，EF ⊥AB ，∠FEB ＝∠CEB ，BE 是公共边，得Rt △BCE ≌Rt △BFE ，所以BC ＝BF .同理可证，得AD ＝AF .又在Rt △AEB 中，EF ⊥AB ，故EF 2＝AF ·BF ，所以EF 2＝AD ·BC .23．选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2 2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值． 解 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2，y 2＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，⎝⎛⎭⎫22，π4， 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab 2＋1， 所以⎩⎨⎧b 2＝1，－ab 2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2.24．选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x －a |，其中a ＞1.(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2＜x ＜4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5；所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}．(2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12. 又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.。
2013年高考真题——文科数学 (辽宁卷) 解析版
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供文科考生使用）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{}{}1,2,3,4,|2,A B x x A B ==<= 则（A ）{}0 （B ）{}0,1 （C ）{}0,2 （D ）{}0,1,2 （2）复数的11Z i =-模为（A ）12（B ）2 （C （D ）2（3）已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为（A ）3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-（C ）3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， （D ）4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， （4）下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列； {}2:n p na 数列是递增数列；3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列；其中的真命题为（A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p（5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图， 数据的分组一次为[)[)[)[)20,40,40,60,60,80,820,100.若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（A ）45 （B ）50 （C ）55 （D ）60（6）在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=,a b B >∠=且则A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π（7）已知函数())()1ln31,.lg 2lg 2f x x f f ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭则A ．1-B ．0C ．1D ．2（8）执行如图所示的程序框图，若输入8,n S ==则输出的A ．49 B ．67 C ．89 D ．1011（9）已知点()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有A ．3b a =B ．31b a a=+C ．()3310b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a -+--=（10）已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为A B ． C ．132D ． （11）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点，4,.10,8,cos ABF ,5AF BF AB B F C ==∠=连接若则的离心率为（A ）35 （B ）57 （C ）45 （D ）67（12）已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -=（A ）2216a a -- （B ）2216a a +- （C ）16- （D ）16第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
辽宁2013年高考文科数学试题(带答案和解释)
辽宁2013年高考文科数学试题（带答案和解释）文绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用）第I卷一、：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合（A）（B）（C）（D）（2）复数的模为（A）（B）（C）（D）（3）已知点（A）（B）（C）（D）（4）下面是关于公差的等差数列的四个命题：其中的真命题为（A）（B）（C）（D）（5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（A）（B）（C）（D）（6）在，内角所对的边长分别为A． B． C． D．（7）已知函数A． B． C． D．（8）执行如图所示的程序框图，若输入A． B． C． D．（9）已知点A． B．C． D．（10）已知三棱柱A． B． C． D．（11）已知椭圆的左焦点为F（A）（B）（C）（D）（12）已知函数设表示中的较大值，表示中的较小值，记得最小值为得最小值为 ,则（A）（B）（C）（D）第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题-第22题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22题-第24题为选考题，考生根据要求作答。
二、题：本大题共4小题，每小题5分.（13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .（14）已知等比数列.（15）已知为双曲线.（16）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）设向量（I）若（II）设函数18．（本小题满分12分）如图，（I）求证：（II）设19．（本小题满分12分）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取3道题解答.试求：（I）所取的2道题都是甲类题的概率；（II）所取的2道题不是同一类题的概率.20．（本小题满分12分）如图，抛物线（I）；（II）21．（本小题满分12分）（I）证明：当（II）若不等式取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。
高考文科数学试题包含答案辽宁卷(文)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（文科）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}1,2,3,4,|2,A B x x A B ==<=则（A ）{}0 （B ）{}0,1 （C ）{}0,2 （D ）{}0,1,22．复数的11Z i =-模为（A ）12 （B ）2（C （D ）2 3．已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为（A ）3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （C ）3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， （D ）4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， 4．下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列； 其中的真命题为（A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p5．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[)[)20,40,40,60，[)[)60,80,820,100，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（A ）45 （B ）50 （C ）55 （D ）606．在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=,a b B >∠=且则 A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π7．已知函数())()1ln 31,.lg 2lg 2f x x f f ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭则 A ．1- B ．0 C ．1 D ．28．执行如图所示的程序框图，若输入8,n S ==则输出的A ．49B ．67C ．89D ．10119．已知点()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有 A ．3b a = B ．31b a a=+ C ．()3310b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a -+--= 10．已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若34AB AC ==，，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为A ．B ．C ．132D ．11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点，连接了,AF BF ，若410,8,cos ABF 5AB B F ==∠=，则C 的离心率为 （A ）35 （B ）57 （C ）45 （D ）6712．已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -=（A ）2216a a -- （B ）2216a a +- （C ）16- （D ）16 第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2013学年高考文科数学年辽宁卷答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)
文科数学答案解析
第Ⅰ卷
当0a ＞时，y ax ＝与()y f x ＝恒有公共点，所以排除()
若0x ≤，则以y ax ＝与22||y x x ＝－＋相切为界限，
由2
,2,
y ax y x x =⎧⎨=-⎩得22()0x a x －＋＝． ∵22()0a ∆＝＋＝，∴2a ＝－． ∴,0[]2a ∈－；故选D ．
第Ⅱ卷
0=b c ，a 1112⨯⨯＝a b 1(0[]t ＝＋－＝b c a b b ，即1()t t ＋－a b b 2
【解析】画出可行域如图所示。
画出直线20x y －＝，并平移，当直线经过点15.【答案】9π2
【解析】如图，
设球O 的半径为R ，则AH ＝又∵2π·πEH ＝，∴1EH ＝．
123n +
+
-
从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有
710的叶集中在茎叶集中在茎0，1上，由此可看出A 药的疗效更好． 19.【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）3
【解析】（Ⅰ）证明：取AB 的中点
因为CA CB ＝，所以OC AB ⊥．
由于1AB AA ＝，160BAA ∠︒＝，故
由弦切角定理得，ABE BCE ∠∠＝又因为DB BE ⊥，所以DE 为直径，
所以原不等式的解集是|0
{x＜
（Ⅱ）当
1
,
22
x
a
⎡⎫
-⎪
⎢⎣⎭
∈时，(f x。
2013年高考文科数学辽宁卷(含详细答案)
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（文科）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合=0,1,{}2,3,4A ，{||=2|<}B x x ，则=A B ( )A .{0}B .{0,1}C .{0,2}D .{0,1,2} 2.复数1=i 1z -的模为( )A .12BCD .23.已知点(1,3)A ，1(4,)B -，则与向量AB 同方向的单位向量为( )A .34(,)55-B .43(,)55-C .34(,)55-D .43(,)55-4.下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题： 1p ：数列{}n a 是递增数列； 2p ：数列{}n na 是递增数列； 3p ：数列{}n an是递增数列； 4p ：数列{3}n a nd +是递增数列. 其中的真命题为( )A .12p p ,B .34p p ,C .23p p ,D .14p p ,5.某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是 ()A .45B .50C .55D .606.在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若s i n c o s s i n c o s =12a cb B C BA+，且a b >，则B ∠=( )A .π6B .π3C .2π3D .5π67.)3)1(x f x ＝+，则1(lg2)(lg )2f f +=( )A .1-B .0C .1D .28.执行如图所示的程序框图，若输入8n =，则输出S = ( )A .49 B .67 C .89 D .10119.已知点(0,0)O ，()0,A b ，3(),B a a .若OAB △为直角三角形，则必有 ( )A .3=b aB .31b a a=+C .331()()0b a b a a---=D .331||||0b a b a a-+--=10.已知直三棱柱111ABC A B C －的6个顶点都在球O 的球面上.若=3AB ，=4AC ，AB AC ⊥，112=AA ，则球O 的半径为( )AB.C .132D.11.已知椭圆2222=1(0)x y a C ba b :+>>的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若||=10AB ，||=8BF ，os =45c ABF ∠，则C 的离心率为 ( )A .35B .57C .45D .6712.已知函数22(()22)f x x a x a +-=+，22((2))28g x x a x a =---++.设1()H x =max ()(){}f x g x ,，2mi (){)(n (,)}H x f x g x =（{},max p q 表示p ，q 中的较大值，min{},p q 表示p ，q 中的较小值）.记1()H x 的最小值为A ，2()H x 的最大值为B ，则A B -=( )A .2216a a --B .2216a a +-C .16-D .16--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 . 14.已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和.若1a ，3a 是方程2540x x +=-的两个根，则6S = .15.已知F 为双曲线22=1916x y C :-的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点(5,0)A 在线段PQ 上，则PQF △的周长为 .16.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为 . 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）设向量a )=,sin x x ，b (,=cos s )in x x ，2[]π0,x ∈.（Ⅰ）若|a |=|b |，求x 的值；（Ⅱ）设函数()f x =a ·b ，求()f x 的最大值.18.（本小题满分12分）如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点. （Ⅰ）求证：BC ⊥平面PAC ；（Ⅱ）设Q 为PA 的中点，G 为AOC △的重心， 求证：QG ∥平面PBC .19.（本小题满分12分）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答.试求： （Ⅰ）所取的2道题都是甲类题的概率； （Ⅱ）所取的2道题不是同一类题的概率.20.（本小题满分12分）如图，抛物线214C x y :=，222()0C x py p :-=>.点00(,)M x y 在抛物线2C 上，过M 作1C 的切线，切点为A ，B （M 为原点O 时，A ，B 重合于O ）.当0=1x MA 的斜率为12-.（Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）当M 在2C 上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程（A ，B 重合于O 时，中点为O ）.21.（本小题满分12分） （Ⅰ）证明：当[0,1]x ∈si n x x ≤≤； （Ⅱ）若不等式23()222cos 4ax x x x x ≤++++对[0,1]x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB 为O 直径，直线CD 与O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连接AE ，BE .证明： （Ⅰ）=FEB CEB ∠∠； （Ⅱ）2=EF AD BC .23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为=4sin ρθ，πcos(4ρθ- （Ⅰ）求1C 与2C 交点的极坐标；（Ⅱ）设P 为1C 的圆心，Q 为1C 与2C 交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为33,1,2x t a b y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t R ∈为参数），求a ，b 的值.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数|(|)f x x a =-，其中1a ＞.（Ⅰ）当2a =时，求不等式()4||4f x x ≥--的解集；（Ⅱ）已知关于x 的不等式|()22()|2f x a f x ≤-+的解集为2|}1{x x ≤≤，求a 的值.{01}A B =，【解析】1i 1z ==-【提示】利用2i =-【试题解析】(3AB =-，，则与其同方向的单位向量3,5ABe AB ⎛== ⎝【提示】同方向的单位向量求法，向量除以模长即可【解析】根据等差数列的性质判定.d n 是假命题.a又sin a 32a b a -=-【解析】根据球的内接三棱柱的性质求解.直三棱柱中∠AB BF ABFcos，点数学试卷 第16页（共33页）【解析】a ）又x ）3sin =a b）AB PA 又PAAC A =，连接OG 并延长交，G Q PA 中点，∴又O QM MO M =BC PC C =，平面PBC QG ⊂平面QMO ）抛物线点N点又F）解法一：当数学试卷第22页（共33页）)又）直线AB又EF）BC又在AF BF，∴EF AD BC. （步骤【提示】根据圆中直线的垂直等角关系证明；根据圆中三角形的全等和线段间的关系求解【考点】弦切角及圆的有关性质，三角形全等，直角三角形性质数学试卷第28页（共33页）又（11 / 11。
2013年辽宁省高考数学试卷(文科)
2013年辽宁省高考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x||x|＜2}，则A∩B=（）A．{0}B．{0，1}C．{0，2}D．{0，1，2}2．（5分）复数的模长为（）A．B．C．D．23．（5分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）A．B．C．D．4．（5分）下列关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：p1：数列{a n}是递增数列；p2：数列{na n}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{a n+3nd}是递增数列；其中真命题是（）A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p45．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．606．（5分）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则∠B=（）A．B．C． D．7．（5分）已知函数f（x）=ln（﹣3x）+1，则f（lg2）+f（lg）=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．28．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n=8，则输出S=（）A．B．C．D．9．（5分）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若△OAB为直角三角形，则必有（）A．b=a3B．C．D．10．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（）A．B．C．D．11．（5分）已知椭圆C：的左焦点F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连结AF，BF，若|AB|=10，|AF|=6，，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）满足f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a ﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}（max（p，q）表示p，q中的较大值，min（p，q）表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（）A．a2﹣2a﹣16 B．a2+2a﹣16 C．﹣16 D．16二、填空题13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．14．（5分）已知等比数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6=．15．（5分）已知F为双曲线C：的左焦点，P，Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5，0）在线段PQ上，则△PQF的周长为．16．（5分）为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为．三、解答题17．（12分）设向量，，．（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值．18．（12分）如图，AB是圆O的直径，PA⊥圆O所在的平面，C是圆O上的点．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）若Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC．19．（12分）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．（1）所取的2道题都是甲类题的概率；（2）所取的2道题不是同一类题的概率．20．（12分）如图，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=﹣2py（p＞0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x0=1﹣时，切线MA的斜率为﹣．（Ⅰ）求P的值；（Ⅱ）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．21．（12分）（1）证明：当x∈[0，1]时，；（2）若不等式对x∈[0，1]恒成立，求实数a的取值范围．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
2013年高考真题——文科数学(辽宁卷) Word版含答案
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供文科考生使用）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{}{}1,2,3,4,|2,A B x x AB ==<=则（A ）{}0 （B ）{}0,1 （C ）{}0,2 （D ）{}0,1,2 （2）复数的11Z i =-模为（A ）12 （B ）2（C （D ）2 （3）已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为（A ）3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-（B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （C ）3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， （D ）4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， （4）下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列；{}4:3n p a nd +数列是递增数列； 其中的真命题为（A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p（5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[)[)[)[)20,40,40,60,60,80,820,100.若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（A ）45 （B ）50 （C ）55 （D ）60（6）在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=,a b B >∠=且则 A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π（7）已知函数())()1ln31,.lg 2lg 2f x x f f ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭则A ．1-B ．0C ．1D ．2（8）执行如图所示的程序框图，若输入8,n S ==则输出的A ．49 B ．67 C ．89 D ．1011（9）已知点()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有A ．3b a =B ．31b a a=+C ．()3310b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a -+--=（10）已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，， ,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为A ．2B ．C ．132D ．（11）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为F ,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点，4,.10,8,cos ABF ,5AF BF AB B F C ==∠=连接若则的离心率为 （A ）35 （B ）57 （C ）45 （D ）67（12）已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -=（A ）2216a a -- （B ）2216a a +- （C ）16- （D ）16第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
da2013年高考数学试卷答案 辽宁文
【参考答案】 【选择题】 【1】．B 【2】．B 【3】．A 【4】．D 【5】．B 【6】．A 【7】．D 【8】．A 【9】．C 【10】．C 【11】．B 【12】．C 【填空题】 【13】．1616-π 【14】．63 【15】．44 【16】．10 【解答题】【17】．解：（I ）由2222)(sin )4sin x x x =+=a，222(cos )(sin )1x x =+=b ， 及,=a b 得24sin 1x =.又[0,],2x ∈π从而1sin 2x =，所以6x π=.（II ）2()cos sin f x x x x =⋅=⋅+a b1112cos 2sin(2)2262x x x π-+=-+.当[0,]32x =∈ππ时，sin 2-6x π（）取最大值1.所以()f x 的最大值为3.2【18】．证明：（I ）由AB 是圆O 的直径，得AC ⊥BC . 由PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得PA ⊥BC , 又PA ∩AC =A ,PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC , 所以BC ⊥平面PAC .（II ）连接OG 并延长交AC 于M ，链接QM ，QO . 由G 为∆AOC 的重心，得M 为AC 中点， 由G 为PA 中点，得QM //PC . 又O 为AB 中点，得OM //BC . 因为QM ∩MO =M ,QM ⊂平面QMO .所以QG //平面PBC .【19】．解：（I ）将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5，6，任取2道题，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的.用A 表示“都是甲类题”这一事件，则A 包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P （A ）=62.155= （II ）基本事件同（I ），用B 表示“不是同一类题”这一事件，则B 包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P (B )=815. 【20】．解：（I)因为抛物线214C xy =：上任意一点(,)x y 的切线斜率为2xy '=，且切线MA 的斜率为12-，所以A 点坐标为（-1，14）。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供文科考生使用)
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{}{}1,2,3,4,|2,A B x x A B ==<= 则（A ）{}0 （B ）{}0,1 （C ）{}0,2 （D ）{}0,1,2（2）复数的11Z i =-模为（A ）12 （B （C （D ）2 （3）已知点()()1,3,4,1,A B AB - 则与向量同方向的单位向量为 （A ）3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （C ）3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， （D ）4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，（4）下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列； {}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列； 其中的真命题为（A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p（5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[)[)[)[)20,40,40,60,60,80,820,100.若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（A ）45 （B ）50（C ）55 （D ）60（6）在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab += ,a b B >∠=且则A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π（7）已知函数())()1ln 31,.lg 2lg 2f x x f f ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭则 A ．1- B ．0 C ．1 D ．2（8）执行如图所示的程序框图，若输入8,n S ==则输出的A ．49B ．67C ．89D ．1011（9）已知点()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有A ．3b a =B ．31b a a=+ C ．()3310b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a -+--= （10）已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，， ,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为A ．2B ．C ．132D ． （11）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为F ,F C 与过原点的直线相交于 ,A B 两点，4,.10,8,cos ABF ,5AF BF AB B F C ==∠=连接若则的离心率为 （A ）35 （B ）57 （C ）45 （D ）67（12）已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -=（A ）2216a a -- （B ）2216a a +-（C ）16- （D ）16 第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2013年高考全国Ⅱ文科数学试题及答案(word解析版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国II ）数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2013年全国Ⅱ，文1，5分】已知集合{|31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---，则M N = （ ）（A ）{2,1,0,1}-- （B ）{3,2,1,0}--- （C ）{2,1,0}-- （D ）{3,2,1}--- 【答案】C【解析】因为{31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---，所以M N {2,1,0}=--，故选C ． （2）【2013年全国Ⅱ，文2，5分】21i=+（ ） （A） （B ）2 （C（D ）1 【答案】C【解析】22(1i)2(1i)1i 1i (1i)(1i)2--===-+-+，所以21i=+C ． （3）【2013年全国Ⅱ，文3，5分】设,x y 满足约束条件10103x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是（ ）（A ）7- （B ）6- （C ）5- （D ）3- 【答案】B【解析】由23z x y =-得32y x z =-，即233z y x =-．作出可行域如图，平移直线233zy x =-，由图象可知当直线233z y x =-经过点B 时，直线233zy x =-的截距最大，此时z 取得最小值，由103x y x -+=⎧⎨=⎩得34x y =⎧⎨=⎩，即(3,4)B ，代入直线23z x y =-得32346z =⨯-⨯=-，故选B ．（4）【2013年全国Ⅱ，文4，5分】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则ABC ∆的面积为（ ）（A）2 （B1 （C）2 （D1【答案】B【解析】因为,64B C ππ==，所以712A π=．由正弦定理得sin sin 64b c =，解得c =．所以三角形的面积为117sin 22212bc A π=⨯⨯．因为7231s i n s i n (()1232222πππ=++，所以13s i n ()312b c A =++，故选B ． （5）【2013年全国Ⅱ，文5，5分】设椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=，则C 的离心率为（ ）（A（B ）13（C ）12 （D【答案】D【解析】因为21212,30PF F F PF F ⊥∠=，所以212tan 30,PF c PF ===．又122PF PF a +==，所以c a ==，故选D ．（6）【2013年全国Ⅱ，文6，5分】已知2sin 23α=，则2cos ()4πα+=（ ）（A ）16 （B ）13（C ）12 （D ）23【答案】A【解析】因为21cos2()1cos(2)1sin 242cos ()4222ππααπαα++++-+===，所以2211sin 213cos ()4226παα--+===，故选A ．（7）【2013年全国Ⅱ，文7，5分】执行右面的程序框图，如果输入的4N =，那么输出的S =（ ）（A ）1111234+++ （B ）1111232432+++⨯⨯⨯ （C ）111112345++++ （D ）111112324325432++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【答案】B【解析】第一次循环，1,1,2T S k ===；第二次循环，11,1,322T S k ==+=；第三次循环，111,1,423223T S k ==++=⨯⨯，第四次循环，1111,1,5234223234T S k ==+++=⨯⨯⨯⨯⨯，此时满足条件输出1111223234S =+++⨯⨯⨯，故选B ． （8）【2013年全国Ⅱ，文8，5分】设3log 2a =，5log 2b =，2log 3c =，则（ ）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 【答案】D【解析】因为321lo g 21lo g 3=<，521log 21log 5=<，又2log 31>，所以c 最大．又221log 3log 5<<，所以2211log 3log 5>，即a b >，所以c a b >>，故选D ． （9）【2013年全国Ⅱ，文9，5分】一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是()1,0,1，()1,1,0，()0,1,1，()0,0,0，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【答案】A【解析】在空间直角坐标系中，先画出四面体O ABC -的直观图，以zOx 平面为投影面，则得到正视图(坐标系中红色部分)，故选A ．（10）【2013年全国Ⅱ，文10，5分】设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若||3||AF BF =，则l 的方程为（ ） （A ）1y x =-或1y x =-+ （B）1)y x =-或1)y x =- （C）1)y x -或1)y x =- （D）1)y x =-或1)y x =-【答案】C【解析】抛物线24y x =的焦点坐标为10（,），准线方程为1x =-，设11A x y （，），22B x y （，），则因为3AF BF =，所以12131x x +=+（），所以1232x x =+，因为123y y =，129x x =，所以13x =，213x =，当13x =时，2112y =，所以此时1y ==±，若1y =1(,3A B ，此时AB k =线方程为1)y x -．若1y =-，则1(3,),()3A B -，此时AB k =，此时直线方程为1)y x =-．所以l 的方程是1)y x -或1)y x =-，故选C ．（11）【2013年全国Ⅱ，文11，5分】已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ）（A ）0x R ∃∈，0()0f x = （B ）函数()y f x =的图象是中心对称图形 （C ）若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减（D ）若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x = 【答案】C【解析】若0c =则有(0)0f =，所以A 正确．由32()f x x ax bx c =+++得32()f x c x ax bx -=++，因为函数32y x ax bx =++的对称中心为0,0（），所以32()f x x ax bx c =+++的对称中心为(0,)c ，所以B 正确．由三次函数的图象可知，若0x 是()f x 的极小值点，则极大值点在0x 的左侧，所以函数在区间0,x -∞（）单调递减是错误的，D 正确，故选C ．（12）【2013年全国Ⅱ，文12，5分】若存在正数x 使2()1x x a -<成立，则a 的取值范围是（ ） （A ）(,)-∞+∞ （B ）(2,)-+∞ （C ）(0,)+∞ （D ）(1,)-+∞【答案】D【解析】解法一：因为20x >，所以由2()1x x a -<得122x x x a --<=，在坐标系中，作出函数 (),()2xf x x ag x -=-=的图象，当0x >时，()21x g x -=<，所以如果存在0x >，使2()1x x a -<，则有1a -<，即1a >-，故选D ．解法二：由题意可得，()102xa x x ⎛⎫>-> ⎪⎝⎭．令()12xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，该函数在(0)∞，＋上为增函数，可知()f x 的值域为()1∞－，＋，故1a >-时，存在正数x 使原不等式成立，故选D ．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上 （13）【2013年全国Ⅱ，文13，5分】从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是______．【答案】15【解析】从5个正整中任意取出两个不同的数，有2510C =种，若取出的两数之和等于5，则有(1,4),(2,3)，共有2个，所以取出的两数之和等于5的概率为21105=．（14）【2013年全国Ⅱ，文14，5分】已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=__ ____． 【答案】2【解析】在正方形中，12AE AD DC =+ ，BD BA AD AD DC =+=-，所以2222111()()222222AE BD AD DC AD DC AD DC ⋅=+⋅-=-=-⨯= ．（15）【2013年全国Ⅱ，文15，5分】已知正四棱锥O ABCD -则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为_______．【答案】24π【解析】设正四棱锥的高为h ，则213h ⨯=，解得高h =．所以OA =2424ππ=． （16）【2013年全国Ⅱ，文16，5分】函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=+的图象重合，则ϕ=_______．【答案】56π【解析】函数cos(2)y x ϕ=+，向右平移2π个单位，得到sin(2)3y x π=+，即sin(2)3y x π=+向左平移2π个单位得到函数cos(2)y x ϕ=+，sin(2)3y x π=+向左平移2π个单位，得sin[2()]sin(2)233y x x ππππ=++=++sin(2)cos(2)323x x πππ=-+=++5cos(2)6x π=+，即56πϕ=． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）【2013年全国Ⅱ，文17，12分】已知等差数列{}n a 的公差不为零，125a =，且11113,,a a a 成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式； （2）求14732+n a a a a -++⋅⋅⋅+．解：（1）设{}n a 的公差为d ．由题意，211113a a a =，即2111()1012()a d a a d ＋＝＋．于是1225(0)d a d ＋＝．又125a ＝，所以0d ＝ (舍去)，2d =-．故227n a n =-+．（2）令14732n n S a a a a -=+++⋯+．由（1）知32631n a n -=-+，故32{}n a -是首项为25，公差为6-的等差数列．从而()()2132656328n n S a a n n n -=+=-+=-+．（18）【2013年全国Ⅱ，文18，12分】如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点．（1）证明：1//BC 平面11A CD ；（2）设12AA AC CB ===，AB =1C A DE -的体积．解：（1）连结1AC 交1A C 于点F ，则F 为1AC 中点．又D 是AB 中点，连结DF ，则1//BC DF ．因为DF ⊂平面1A CD ，1BC ⊄平面1A CD ，所以1//BC 平面1A CD ．（2）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AA CD ⊥．由已知AC CB =，D 为AB 的中点，所以CD AB ⊥．又1AA AB A = ，于是CD ⊥平面11ABB A ．由12AA AC CB ===，AB =得90ACB ∠=︒，CD1A D =DE =13A E =，故22211A D DE A E +=，即1D E A D ⊥．所以111132C A DE V -⨯=．（19）【2013年全国Ⅱ，文19，12分】经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X (单位：t ，100150X ≤≤)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润 （1）将T 表示为X 的函数；（2）根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率．1解：（1）当[)100,130X ∈时，()50030013080039000T X X X =--=-，当[]130,150X ∈时，50013065000T =⨯=． 所以80039000,10013065000,130150X X T X -≤<⎧=⎨≤≤⎩．（2）由（1）知利润T 不少于57000元当且仅当120150X ≤≤．由直方图知需求量[]120,150X ∈的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.7．（20）【2013年全国Ⅱ，文20，12分】在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x轴上截得线段长为在y 轴上截得线段长为．（1）求圆心P 的轨迹方程；（2）若P 点到直线y x =P 的方程． 解：（1）设()P x y ，，圆P 的半径为r ．由题设222y r +=，223x r +=．从而2223y x +=+．故P 点的轨迹方程为221y x -=． （2）设00()P x y ，=．又P 点在双曲线221y x -=上，从而得002210||11x y y x -=⎧⎨-=⎩ 由00220011x y y x -=⎧⎨-=⎩得0001x y =⎧⎨=-⎩，此时，圆P 的半径r =3．由00220011x y y x -=-⎧⎨-=⎩得001x y =⎧⎨=⎩，此时，圆P的半径r =．故圆P 的方程为()2213x y +-=或()2213x y ++=．（21）【2013年全国Ⅱ，文21，12分】已知函数2()x f x x e -=．（1）求()f x 的极小值和极大值；（2）当曲线()y f x =的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围．解：（1）()f x 的定义域为()-∞+∞，，()()2x f x e x x -'=--．① 当)0(x ∈-∞，或2()x ∈+∞，时，()0f x '＜； 当)2(0x ∈,时，()0f x '＞．所以()f x 在()0-∞,，(2)+∞，单调递减，在(0)2,单调递增．故当0x =时，()f x取得极小值，极小值为()00f =；当2x =时，()f x 取得极大值，极大值为()224f e -=．（2）设切点为()()t f t ，，则l 的方程为()()()y f t x t f t ='-+．所以l 在x 轴上的截距为()()223'()22f t t t t t f t t m t t -=+=-++--=．由已知和①得()02()t ∈-∞+∞ ，，．令()()20h x x x x+=≠， 则当0()x ∈+∞，时，()h x的取值范围为⎡⎤+∞⎣⎦；当2()x ∈-∞-，时，()h x 的取值范围是()3-∞-，． 所以当()02()t ∈-∞+∞ ，，时，()m t的取值范围是0()3,⎡⎤-+∞⎦∞⎣ ，． 综上，l 在x轴上的截距的取值范围是0()3,⎡⎤-+∞⎦∞⎣ ，．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请写清题号． （22）【2013年全国Ⅱ，文22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，CD 为ABC ∆外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且··BC AE DC AF =，B ， E ，F ，C 四点共圆．（1）证明：CA 是ABC ∆外接圆的直径；（2）若DB BE EA ==，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值．解：（1）因为CD 为ABC ∆外接圆的切线，所以DCB A ∠=∠，由题设知BC DCFA EA=，故CDB AEF ∆∆∽， 所以DBC EFA ∠=∠．因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以CFE DBC ∠=∠，故90EFA CFE ∠=∠=︒． 所以90CBA ∠=︒，因此CA 是ABC ∆外接圆的直径．（2）连结CE ，因为90CBE ∠=︒，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由D B B E =，有CE DC =又22·2BC DB BA DB ==，所以222246CA DB BC DB =+=．而22·3DC DB DA DB ==，故过B ，E ，F ， C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值为12．（23）【2013年全国Ⅱ，文23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）已知动点P Q 、都在曲线2cos :2sin x tC y t=⎧⎨=⎩（t 为参数）上，对应参数分别为=t α与=2t α（02απ<<），M 为PQ 的中点． （1）求M 的轨迹的参数方程；（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．解：（1）依题意有2cos (n )2si P αα，，2cos2(2)2sin Q αα，，因此cos cos ()2sin sin2M αααα++，． M 的轨迹的参数方程为cos cos 2sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩(α为参数，02απ<<)．（2）M 点到坐标原点的距离)02d απ<<．当απ=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点．（24）【2013年全国Ⅱ，文24，10分】（选修4-5：不等式选讲）设a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，证明：（1）13ab bc ac ++≤；（2）2221a b cb c a ++≥．解：（1）由222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ca +≥，得222a b c ab bc ca ++≥++．由题设得()21a b c ++=，即2222221a b c a b b c c a +++++=．()31ab bc ca ∴++≤，即13a b b c c a ++≤．（2）因为22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥，故()222(2)a b ca abc c a b c b +≥++++++，即222a b c a b c b c a ≥++++．所以2221a b cb c a++≥．。
2013年普通高等学校招生全国统一考试 辽宁卷(文科)
（第5题）（第13题）（第8题）2013年普通高等学校招生全国统一考试辽宁卷（文科数学）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1、已知集合{0,1,2,3,4}A x =，{2}B x x =<，则A B = （ ）A 、{0}B 、{0,1}C 、{0,2}D 、{0,1,2}2、复数11z i =-的模为（ ）A 、12BC D 、23、已知点(1,3)A ，(4,1)B -，则与向量AB同方向的单位向量为（ ）A 、34(,)55-B 、43(,)55-C 、34(,)55-D 、43(,)55-4、下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题：1p ：数列{}n a 是递增数列； 2p ：数列{}n na 是递增数列；3p ：数列{}n an是递增数列； 4p ：数列{3}n a nd +是递增数列；其中的真命题为（ ）A 、1p ，2pB 、3p ，4pC 、2p ，3pD 、1p ，4p 5、某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布 直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]. 若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是（ ）A 、45B 、50C 、55D 、60 6、在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若1sin cos sin cos 2a B C c B Ab +=，且a b >，则B ∠=（ ）A 、6πB 、3πC 、23πD 、56π7、已知函数()3)1f x x =+，则1(lg 2)(lg )2f f +=（ ）A 、1-B 、0C 、1D 、2 8、执行如图所示的程序框图，若输入8n =，则输出S =（ ）A 、49B 、67C 、89D 、10119、已知点(0,0)O ，(0,)A b ，3(,)B a a . 若OAB ∆为直角三角 形，则必有（ ）A 、3b a =B 、31b a a=+C 、331()()0b a b a a---= D 、3310b a b a a -+--=10、已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上. 若3AB =，4AC =，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为（ ） AB 、C 、132D 、 11、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于,A B 两点，连接,AF BF . 若10AB =，8BF =，4cos 5ABF ∠=，则C 的离心率为（ ） A 、35 B 、57 C 、45 D 、6712、已知函数22()2(2)f x x a x a =-++，22()2(2)8g x x a x a =-+--+. 设1()H x =max{(),()}f x g x ，2()min{(),()}H x f x g x =（max{,}p q 表示,p q 中的较大值，min{,}p q 表示,p q 中的较小值）. 记1()H x 的最小值为A ，2()H x 的最大值为B ，则A B -=（ ） A 、2216a a -- B 、2216a a +- C 、16- D 、16第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分， 把答案填在题中横线上）13、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积 是______；14、已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和. 若13,a a 是方程2540x x -+=的两个根，则6S =______；15、已知F 为双曲线C ：221916x y -=的左焦点，,P Q 为C 上的点. 若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点(5,0)A 在线段PQ 上，则PQF ∆的周长为______；16、为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全班随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据. 已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为______.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17、（本小题满分12分）设向量,sin )a x x = ，(cos ,sin )b x x = ，[0,]2x π∈.（1）若a b =，求x 的值；（2）设函数()f x a b =⋅，求()f x 的最大值.18、（本小题满分12分）如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点.（1）求证：BC ⊥平面PAC ；（2）设Q 为PA 的中点，G 为AOC ∆的重心， 求证：QG ∥平面PBC .19、（本小题满分12分）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答.（1）所取的2道题都是甲类题的概率； （2）所取的2道题不是同一类题的概率.20、（本小题满分12分）如图，抛物线1C ：24x y =，2C ：22(0)x py p =->. 点00(,)M x y 在抛物线2C 上，过M 作1C 的切线，切点为,A B （M 为原点O 时，,A B 重合于O ）.当01x =时，切线MA 的斜率为12-（1）求p 的值；（2）当M 在2C 上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程（,A B 重合于O 时，中点为O ）.21、（本小题满分12分）（1）证明：当[0,1]x ∈sin x x x ≤≤； （2）若不等式322(2)cos 42x ax x x x ++++≤对[0,1]x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分.22、（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB 为O 的直径，直线CD 与O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连接AE ，BE .证明：（1）FEB CEB ∠=∠； （2）2EF AD BC =⋅.23、（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. 圆1C ，直线2C 的极坐标分别为4sin ρθ=，cos()4πρθ-=.（1）求1C 与2C 交点的极坐标；（2）设P 为1C 的圆心，Q 为1C 与2C 交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为3312x t a b y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t R ∈为参数），求,a b 的值.24、（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()f x x a =-，其中1a >.（1）当2a =时，求不等式()44f x x ≥--的解集；（2）已知关于x 的不等式(2)2()2f x a f x +-≤的解集为{12}x x ≤≤，求a 的值.（第22题）（第20题）（第18题）。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学试题 (文科) word解析版
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供文科考生使用）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1． 已知集合{}{}1,2,3,4,|2,A B x x A B ==<=I 则（A ）{}0 （B ）{}0,1 （C ）{}0,2 （D ）{}0,1,2 答案 B解析 B ＝{x ||x |＜2}＝{x |－2＜x ＜2}，∴A ∩B ＝{0,1}．2．复数z ＝1i －1的模为( ) A.12 B.22 C. 2 D ．2 答案 B解析 z ＝1i －1＝－1－i 2，∴|z |＝ ⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫－122＝22.3．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量A B →同方向的单位向量为( )A.⎝⎛⎭⎫35，－45B.⎝⎛⎭⎫45，－35C.⎝⎛⎭⎫－35，45D.⎝⎛⎭⎫－45，35 答案 A 解析 A B →＝O B →－O A →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)， ∴与A B →同方向的单位向量为A B→|A B →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45.4．下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题： p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为( )A ．p 1，p 2B ．p 3，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4 答案 D解析 a n ＝a 1＋(n －1)d ，d ＞0， ∴a n －a n －1＝d ＞0，命题p 1正确．na n ＝na 1＋n (n －1)d ，∴na n －(n －1)a n －1＝a 1＋2(n －1)d 与0的大小和a 1的取值情况有关． 故数列{na n }不一定递增，命题p 2不正确．对于p 3：a n n ＝a 1n ＋n －1n d ，∴a n n －a n －1n －1＝－a 1＋dn (n －1)，当d －a 1＞0，即d ＞a 1时，数列{a nn}递增，但d ＞a 1不一定成立，则p 3不正确． 对于p 4：设b n ＝a n ＋3nd ，则b n ＋1－b n ＝a n ＋1－a n ＋3d ＝4d ＞0.∴数列{a n ＋3nd }是递增数列，p 4正确． 综上，正确的命题为p 1，p 4.5．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( ) A ．45 B ．50 C ．55 D ．60 答案 B解析 由频率分布直方图，低于60分的频率为 (0.01＋0.005)×20＝0.3.∴该班学生人数n ＝150.3＝50.6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则∠B 等于( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案 A解析 由条件得a b sin B cos C ＋c b sin B cos A ＝12，依正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，∴sin(A ＋C )＝12，从而sin B ＝12，又a ＞b ，且B ∈(0，π)，因此B ＝π6.7．已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋f ⎝⎛⎭⎫lg 12等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 D解析 设g (x )＝lg(1＋9x 2－3x )＝f (x )－1，g (－x )＝lg(1＋9x 2＋3x )＝lg 11＋9x 2－3x＝－g (x )．∴g (x )是奇函数，∴f (lg 2)－1＋f ⎝⎛⎭⎫lg 12－1＝g (lg 2)＋g ⎝⎛⎭⎫lg 12＝0， 因此f (lg 2)＋f ⎝⎛⎭⎫lg 12＝2.8．执行如图所示的程序框图，若输入n ＝8，则输出S 等于( )A .49 B.67 C.89 D.1011 答案 A解析 执行第一次循环后，S ＝13，i ＝4；执行第二次循环后，S ＝25，i ＝6；执行第三次循环后，S ＝37，i ＝8；执行第四次循环后，S ＝49，i ＝10；此时i ＝10＞8，输出S ＝49.9．已知点O (0,0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( )A ．b ＝a 3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)⎝⎛⎭⎫b －a 3－1a ＝0D ．|b －a 3|＋⎪⎪⎪⎪b －a 3－1a ＝0 答案 C 解析 易知A B →＝O B →－O A →＝(a ，a 3－b )， 且b ≠0，a ≠0，若A 为直角， OA →·AB →＝(0，b )·(a ，a 3－b )＝b (a 3－b )＝0， ∴b －a 3＝0，若B 为直角，O B →·A B →＝(a ，a 3)·(a ，a 3－b )＝0，∴a 2＋a 3(a 3－b )＝0，则b －a 3－1a＝0，故(b －a 3)·⎝⎛⎭⎫b －a 3－1a ＝0，选C.10．已知直三棱柱ABCA 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( ) A.3 172 B ．2 10 C.132 D ．3 10答案 C解析 ∵AB ⊥AC ，且AA 1⊥底面ABC ，将直三棱柱补成内接于球的长方体，则长方体的对角线l ＝32＋42＋122＝2R ，R ＝132.11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )A.35B.57C.45D.67 答案 B解析 在△ABF 中，由余弦定理得 |AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB |·|BF |cos ∠ABF ， ∴|AF |2＝100＋64－128＝36，∴|AF |＝6， 从而|AB |2＝|AF |2＋|BF |2，则AF ⊥BF .∴c ＝|OF |＝12|AB |＝5，利用椭圆的对称性，设F ′为右焦点， 则|BF ′|＝|AF |＝6，∴2a ＝|BF |＋|BF ′|＝14，a ＝7.因此椭圆的离心率e ＝c a ＝57.12．已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设H 1(x )＝max{f (x )，g (x )}，H 2(x )＝min{f (x )，g (x )}(max{p ，q }表示p ，q 中的较大值，min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A －B 等于( )A ．a 2－2a －16B ．a 2＋2a －16C ．－16D ．16 答案 C解析 f (x )＝[x －(a ＋2)]2－4－4a ，g (x )＝－[x －(a －2)]2＋12－4a ，在同一坐标系内作f (x )与g (x )的图象(如图)．依题意知，函数H 1(x )的图象(实线部分)，函数H 2(x )的图象(虚线部分)．∴H 1(x )的最小值A ＝f (a ＋2)＝－4－4a ，H 2(x )的最大值B ＝g (a －2)＝12－4a ，因此A －B ＝(－4－4a )－(12－4a )＝－16.第Ⅱ卷二、填空题13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．答案 16π－16解析 由三视图知，该几何体是由一个底面半径r ＝2的圆柱内挖去了一个底面边长为2的正四棱柱，又该几何体的高h ＝4，∴V ＝(π×22－22)×4＝16π－16.14．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________. 答案 63解析 ∵a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两根，且q ＞1， ∴a 1＝1，a 3＝4，则公比q ＝2，因此S 6＝1×(1－26)1－2＝63.15．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________． 答案 44解析 由双曲线C 的方程，知a ＝3，b ＝4，c ＝5， ∴点A (5,0)是双曲线C 的右焦点， 且|PQ |＝|QA |＋|P A |＝4b ＝16，由双曲线定义，|PF |－|P A |＝6，|QF |－|QA |＝6. ∴|PF |＋|QF |＝12＋|P A |＋|QA |＝28， 因此△PQF 的周长为|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44.16．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________． 答案 10解析 把5个班中参加该小组的人数从小到大排列，记为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，(x i ∈N ，且x 1，x 2，x 3，x 4，x 5各不相同)，由题意(x 1－7)2＋(x 2－7)2＋(x 3－7)2＋(x 4－7)2＋(x 5－7)2＝20.∵x 1，x 2，x 3，x 4，x 5∈N ，且各不相同． 若使x 5－7最大，只需(x 1－7)2＋(x 2－7)2＋(x 3－7)2＋(x 4－7)2最小，显然(x 1－7)2＋(x 2－7)2＋(x 3－7)2＋(x 4－7)2最小值为0＋1＋1＋4＝6.∴(x 5－7)2≤14，因此(x 5－7)2≤9，则x 5≤10，x 5∈N ，经验证x 5＝10时，x 1＝4，x 2＝6，x 3＝7，x 4＝8满足，所以样本数据中的最大值为10.三、解答题17．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．解 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2 x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1， 及|a |＝|b |，得4sin 2 x ＝1.又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6. (2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12， 当x ＝π3∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6取最大值1. 所以f (x )的最大值为32.18. 如图，AB 是圆O 的直径，P A 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点． (1)求证：BC ⊥平面P AC ； (2)设Q 为P A 的中点，G 为△AOC 的重心，求证：QG ∥平面PBC . 证明 (1)由AB 是圆O 的直径，得AC ⊥BC ， 由P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得P A ⊥BC . 又P A ∩AC ＝A ，P A ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ， 所以BC ⊥平面P AC .(2)连OG 并延长交AC 于M ，连接QM ，QO ，由G 为△AOC 的重心，得M 为AC 中点．由Q 为P A 中点，得QM ∥PC ，又O 为AB 中点，得OM ∥BC .因为QM ∩MO ＝M ，QM ⊂平面QMO ， MO ⊂平面QMO ，BC ∩PC ＝C ， BC ⊂平面PBC ，PC ⊂平面PBC . 所以平面QMO ∥平面PBC .因为QG ⊂平面QMO ，所以QG ∥平面PBC .19．现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：(1)所取的2道题都是甲类题的概率； (2)所取的2道题不是同一类题的概率． 解 (1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的． 用A 表示“都是甲类题”这一事件，则A 包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P (A )＝615＝25.(2)基本事件同(1)，用B 表示“不是同一类题”这一事件，则B 包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P (B )＝815.20. 如图，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p ＞0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B (M 为原点O 时，A ，B 重合于O )．当x 0＝1－2时，切线MA 的斜率为－12.(1)求p 的值；(2)当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为O )．解 (1)因为抛物线C 1：x 2＝4y 上任意一点(x ，y )的切线斜率为y ′＝x2，且切线MA 的斜率为－12，所以A 点坐标为⎝⎛⎭⎫－1，14，故切线MA 的方程为y ＝－12(x ＋1)＋14.因为点M (1－2，y 0)在切线MA 及抛物线C 2上，于是y 0＝－12(2－2)＋14＝－3－224，①y 0＝－(1－2)22p ＝－3－222p.②由①②得p ＝2.(2)设N (x ，y )，A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 214，B (x 2，x 224)，x 1≠x 2，由N 为线段AB 中点知 x ＝x 1＋x 22，③y ＝x 21＋x 228.④切线MA 、MB 的方程为 y ＝x 12(x －x 1)＋x 214.⑤y ＝x 22(x －x 2)＋x 224.⑥由⑤⑥得MA ，MB 的交点M (x 0，y 0)的坐标为x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 1x 24.因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即x 20＝－4y 0，所以x 1x 2＝－x 21＋x 226.⑦由③④⑦得x 2＝43y ，x ≠0.当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ，AB 中点N 为O ，坐标满足x 2＝43y .因此AB 中点N 的轨迹方程为x 2＝43y .21．(1)证明：当x ∈[0,1]时，22x ≤sin x ≤x ；(2)若不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4对x ∈[0,1]恒成立，求实数a 的取值范围．(1)证明 记F (x )＝sin x －22x ， 则F ′(x )＝cos x －22. 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时，F ′(x )＞0，F (x )在⎣⎡⎦⎤0，π4上是增函数； 当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，1时，F ′(x )＜0，F (x )在⎣⎡⎦⎤π4，1上是减函数． 又F (0)＝0，F (1)＞0，所以当x ∈[0,1]时，F (x )≥0，即 sin x ≥22x .记H (x )＝sin x －x ，则当x ∈(0,1)时，H ′(x )＝cos x －1＜0，所以，H (x )在[0,1]上是减函数，则H (x )≤H (0)＝0，即sin x ≤x .综上，22x ≤sin x ≤x ，x ∈[0,1]．(2)解 方法一 因为当x ∈[0,1]时，ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x －4＝(a ＋2)x ＋x 2＋x 32－4(x ＋2)sin 2x 2≤(a ＋2)x ＋x 2＋x 32－4(x ＋2)⎝⎛⎭⎫24x 2＝(a ＋2)x .所以，当a ≤－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4对x ∈[0,1]恒成立．下面证明，当a ＞－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4对x ∈[0,1]不恒成立．因为当x ∈[0,1]时，ax ＋x 2＋x32＋2(x ＋2)cos x －4＝(a ＋2)x ＋x 2＋x 32－4(x ＋2)sin 2x 2≥(a ＋2)x ＋x 2＋x32－4(x ＋2)⎝⎛⎭⎫x 22 ＝(a ＋2)x －x 2－x 32≥(a ＋2)x －32x 2＝－32x ⎣⎡⎦⎤x －23(a ＋2). 所以存在x 0∈(0,1)⎝⎛⎭⎫例如x 0取a ＋23和12中的较小值满足ax 0＋x 20＋x 302＋2(x 0＋2)cos x 0－4＞0. 即当a ＞－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x －4≤4对x ∈[0,1]不恒成立． 综上，实数a 的取值范围是(－∞，－2]．方法二 记f (x )＝ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x －4，则f ′(x )＝a ＋2x ＋3x22＋2cos x －2(x ＋2)sin x .记G (x )＝f ′(x )，则G ′(x )＝2＋3x －4sin x －2(x ＋2)cos x .当x ∈(0,1)时，cos x ＞12，因此G ′(x )＜2＋3x －4×22x －(x ＋2)＝(2－22)x ＜0.于是F ′(x )在[0,1]上是减函数，因此，当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜f ′(0)＝a ＋2.故当a ≤－2时，f ′(x )＜0，从而f (x )在[0,1]上是减函数，所以f (x )≤f (0)＝0.即当a ≤－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4，对x ∈[0,1]恒成立．下面证明：当a ＞－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4，对x ∈[0,1]不恒成立． 由于f ′(x )在[0,1]上是减函数，且f ′(0)＝a ＋2＞0，f ′(1)＝a ＋72＋2cos 1－6sin 1.当a ≥6sin 1－2cos 1－72时，f ′(1)≥0，所以当x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0.因此f (x )在[0,1]上是增函数，故f (1)＞f (0)＝0；当－2＜a ＜6sin 1－2cos 1－72时，f ′(1)＜0.又f ′(0)＞0.故存在x 0∈(0,1)，使f ′(x 0)＝0，则当0＜x ＜x 0时，f ′(x )＞f ′(x 0)＝0，所以f (x )在[0，x 0]上是增函数，所以当x ∈(0，x 0)时，f (x )＞f (0)＝0.所以，当a ＞－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4对x ∈[0,1]不恒成立． 综上，实数a 的取值范围是(－∞，－2]．22. 选修4－1：几何证明选讲如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连接AE ，BE .证明： (1)∠FEB ＝∠CEB ；(2)EF 2＝AD ·BC .证明 (1)由直线CD 与⊙O 相切，得∠CEB ＝∠EAB .由AB 为⊙O 的直径，得AE ⊥EB ，从而∠EAB ＋∠EBF ＝π2；又EF ⊥AB ，得∠FEB ＋∠EBF ＝π2， 从而∠FEB ＝∠EAB . 故∠FEB ＝∠CEB .(2)由BC ⊥CE ，EF ⊥AB ，∠FEB ＝∠CEB ，BE 是公共边，得Rt △BCE ≌Rt △BFE ，所以BC ＝BF . 同理可证，得AD ＝AF .又在Rt △AEB 中，EF ⊥AB ， 故EF 2＝AF ·BF ，所以EF 2＝AD ·BC .23．选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2 2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．解 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，⎝⎛⎭⎫22，π4， 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)． 故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1，所以⎩⎨⎧b2＝1，－ab2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2.24．选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x －a |，其中a ＞1.(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值．解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2＜x ＜4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5； 所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}． (2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )， 则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.。
2013年辽宁省高考数学试卷(文科)答案与解析
2013年辽宁省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）2．（5分）（2013•辽宁）复数的模长为（）B解：复数==3．（5分）（2013•辽宁）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为B=，|再根据与向量=，|=5则与向量，4．（5分）（2013•辽宁）下列关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：p1：数列{a n}是递增数列；p2：数列{na n}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{a n+3nd}是递增数列；对于数列=，不一定是正实数，5．（5分）（2013•辽宁）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）则该班的学生人数是=506．（5分）（2013•辽宁）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则∠B=（）BsinAsinBcosC+sinCsinBcosA=，B=7．（5分）（2013•辽宁）已知函数f（x）=ln﹣3x）+1，则f（lg2）+f=是奇函数以及对数值，解：函数++1++8．（5分）（2013•辽宁）执行如图所示的程序框图，若输入n=8，则输出S=（）BS=0+，S=+，S=+，S=+，S=．9．（5分）（2013•辽宁）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若△OAB为直角三角=，①②③=，=，则，则，则．为直角三角形，则必有10．（5分）（2013•辽宁）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，B，所以球的半径为：11．（5分）（2013•辽宁）已知椭圆C：的左焦点F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连结AF，BF，若|AB|=10，|AF|=6，，则C的离心率B12．（5分）（2013•辽宁）已知函数f（x）满足f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}（max （p，q）表示p，q中的较大值，min（p，q）表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值或二、填空题13．（5分）（2013•辽宁）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是16π﹣16．14．（5分）（2013•辽宁）已知等比数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6=63．，则15．（5分）（2013•辽宁）已知F为双曲线C：的左焦点，P，Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5，0）在线段PQ上，则△PQF的周长为44．的左焦点16．（5分）（2013•辽宁）为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为10．三、解答题17．（12分）（2013•辽宁）设向量，，．（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值．）由条件求得，的值，再根据以及）．结合=+sin，，可得．]sinx=，即．（sin2x+﹣]∈，]﹣=）取得最大值为=．18．（12分）（2013•辽宁）如图，AB是圆O的直径，PA⊥圆O所在的平面，C是圆O上的点．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）若Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC．19．（12分）（2013•辽宁）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．（1）所取的2道题都是甲类题的概率；（2）所取的2道题不是同一类题的概率．=15=6．20．（12分）（2013•辽宁）如图，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=﹣2py（p＞0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x0=1﹣时，切线MA的斜率为﹣．（Ⅰ）求P的值；（Ⅱ）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．，且切线的斜率为﹣，﹣（，（）=﹣﹣﹣），y=（（yy21．（12分）（2013•辽宁）（1）证明：当x∈[0，1]时，；（2）若不等式对x∈[0，1]恒成立，求实数a的取值范围．x﹣，）与（≥+x．）时，，（[，x+2﹣﹣+2﹣﹣xx[x（和中的较小值）满足+请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
(2021年整理)2013年辽宁省高考文科数学试卷含答案
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绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供文科考生使用)第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{}{}1,2,3,4,|2,A B x x A B ==<=则（A ）{}0 （B ）{}0,1 （C ）{}0,2 （D ）{}0,1,2 (2）复数的11Z i =-模为（A ）12（B)2 (C （D ）2(3）已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为（A ）3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，- (B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-（C)3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， （D)4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，（4）下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列；其中的真命题为(A ）12,p p （B ）34,p p （C)23,p p （D ）14,p p(5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图， 数据的分组一次为[)[)[)[)20,40,40,60,60,80,820,100. 若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（A ）45 （B)50 （C ）55 (D ）60(6）在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B A b +=,a b B >∠=且则A ．6πB ．3πC ．23π D ．56π （7）已知函数()()()21ln1931,.lg 2lg 2f x x x f f ⎛⎫=+-++= ⎪⎝⎭则A ．1-B ．0C ．1D ．2（8)执行如图所示的程序框图,若输入8,n S ==则输出的A ．49B ．67C ．89D ．1011（9)已知点()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有A ．3b a =B ．31b a a=+C ．()3310b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭D ．3310b a b a a-+--=(10）已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为A ．3172 B ．210 C ．132D ．310 (11）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点，4,.10,8,cos ABF ,5AF BF AB B F C ==∠=连接若则的离心率为(A ）35 (B)57 (C ）45 (D ）67（12）已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值,{}min ,p q 表示,p q 中的较小值,记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ，则 A B -=(A ）2216a a -- （B ）2216a a +- （C ）16- （D ）16第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2013年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含答案及解析)
2013年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x=n2，n∈A}，则A∩B=（）A．{1，4}B．{2，3}C．{9，16}D．{1，2}2．（5分）=（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i3．（5分）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=5．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q 6．（5分）设首项为1，公比为的等比数列{a n}的前n项和为S n，则（）A．S n=2a n﹣1B．S n=3a n﹣2C．S n=4﹣3a n D．S n=3﹣2a n 7．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5] 8．（5分）O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（）A．2B．2C．2D．49．（5分）函数f（x）=（1﹣cosx）sinx在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（）A．10B．9C．8D．511．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π12．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0]二．填空题：本大题共四小题，每小题5分．13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．15．（5分）已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为．16．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和S n满足S3=0，S5=﹣5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．18．（12分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.93.0 3.1 2.3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5（Ⅰ）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？（Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．20．（12分）已知函数f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．21．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。
2013年辽宁卷(文科数学)
2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（辽宁卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,2,3,4A =，{}|2B x x =<，则A B =IA.{}0B.{}0,1C.{}0,2D.{}0,1,2 2.复数的11z i =-模为 A.12B.2D.23.已知点(1,3)A ，(4,1)B -，则与向量AB uu u r同方向的单位向量为A.34(,)55-B.43(,)55-C.34()55-，D.43()55-，4.下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题：1p ：数列{}n a 是递增数列 2p ：数列{}n na 是递增数列3p ：数列{}n an 是递增数列 4p ：数列{3}n a nd +是递增数列其中的真命题为A.1p ，2pB.3p ，4pC.2p ，3pD.1p ，4p 5.某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100)，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是A.45B.50C.55D.606.在ABC ∆，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .sin cos sin cos a B C c B A +12b =，且a b >，则B ∠= A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π7.已知函数()3)1f x x =+，则1(lg 2)(lg )2f f +=A ．1-B ．0C ．1D ．2 8.执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出S =A ．511B ．1011C ．3655D ．72559.已知点(0,0)O ，(0,)A b ，3(,)B a a ，若ABC ∆为直角三角形则必有 A ．3b a = B ．31b a a=+C ．331()()0b a b a a---= D ．3310b a b a a -+--=10.已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若3AB =，4AC =，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为 AB．．132D．11.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交,A B 两点，连接,AF BF ，若10AB =，6AF =，4cos 5ABF ∠=，则椭圆C 的离心率e =A.35 （B ）57 （C ）45 （D ）6712.已知函数22()2(2)f x x a x a =-++，22()2(2)8g x x a x a =-+--+，设1()max{(),()}H x f x g x =，2()min{(),()}H x f x g x =，max{,}p q 表示p ，q 中的较大值，min{,}p q 表示p ，q 中的较小值，记1()H x 得最小值为,A 2()H x 得最大值为B ，则A B -=A.2216a a --B.2216a a +-C.16-D.16 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积 .14.已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前项的和，若1a ，3a 是254x x -+0=的两个根，则6S = .15.已知F 为双曲线C ：221916x y -=的左焦点，P ，Q 为C 上的点，若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点(5,0)A 在线段PQ 上，则PQF ∆的周长为 . 16.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第1721:题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22，23，24题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 17.（本小题满分12分）设向量,sin )a x x =r ，(cos ,sin )b x x =r ，[0,]2x π∈.（Ⅰ）若a b =r r，求x 的值；（Ⅱ）设函数()f x a b =⋅r r，求()f x 的最大值. 18．（本小题满分12分）如图，如图，AB 是圆的直径，PA 垂直圆O 所在的平面，C 是圆上的点. （Ⅰ）求证：BC ⊥平面PAC ；（Ⅱ）设Q 为的中点，G 为的AOC ∆重心，求证：平面∥平面PCB .19．（本小题满分12分）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答.试求： （Ⅰ）所取的2道题都是甲类题的概率； （Ⅱ）所取的2道题不是同一类题的概率. 20．（本小题满分12分）如图，抛物线1C ：24x y =，2C ：22x py =-（0p >）点00(,)M x y 在抛物线2C 上， 过M 作1C 的切线，切点为A ，B （M 为原点O 时，A ，B 重合于O ）,当01x =时，切线的MA 斜率为12-.（Ⅰ）求P 的值；（Ⅱ）当M 在2C 上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为O ).21．（本小题满分12分）B（Ⅰ）证明：当[0,1]x ∈时，sin 2x x x ≤≤； （Ⅱ）若不等式()3222cosx 42x ax x x ++++≤对[0,1]x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23，24题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题计分.22．（本小题满分10分）选修41-：几何证明选讲如图，AB 为的O e 直径，直线CD 与O e 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连接AE ，BE ，证明： （Ⅰ）FEB CEB ∠=∠； （Ⅱ）2EF AD BC =⋅.23．（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为4sin ,ρθ=cos()4πρθ-=（Ⅰ）求1C 与2C 交点的极坐标；（Ⅱ）设P 为1C 的圆心，Q 为1C 与2C 交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为3312x t a b y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t R ∈为参数）求a ，b 的值. 24．（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲 已知函数()f x x a =-，其中1a >.（Ⅰ）当=2a 时，求不等式()44f x x ≥--的解集；（Ⅱ）已知关于x 的不等式(2)2()2f x a f x +-≤的解集为{}12x x ≤≤，求a 的值.C。
2013高考数学(文)真题专业解析(辽宁卷)汇总
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（文科）（辽宁卷）解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的•1.已知集合A={0, 1 , 2, 3, 4} , B= {x|| x|<2}，则A n B=( )A. {0}B. {0, 1}C. {0, 2}D {0, 1, 2}答案：B思路分析：考点解剖：本题主要考查集合的交集运算，绝对值不等式的求解解题思路：先求集合B,再求交集.解答过程：由于B={x|| x|<2} = {x| —2<x<2}，则A n B= {0 , 1}.规律总结：绝对值不等式的求解容易出错•2 .复数z= 1的模为（）i -1B.D. 2【同理1】答案：B思路分析：考点解剖：本题主要考查复数的模、运算解题思路：先化简复数z，再求模•_1 _i = 土J =— 1 — 1 i ，故 |z | =(i -1)(-1 -i) 2223.已知点A (1, 3) , B (4,— 1),则与向量AB 同方向的单位向量为()B .(43)55C . (— 3，4 )5 5D . (— 4，3 )55【同理3】答案：A 思路分析:考点解剖：本题主要考查向量的基本概念、单位向量解答过程：由于AB =( 4，- 1)—( 1 , 3) = ( 3,— 4),则与AB 同方向的单位向规律总结：与向量a 同方向的单位向量为4.解答过程：由于z = 1i —1 规律总结：复数z = a bi 的模长公式为■. a 2 b 2 .3 5Z/IXA\174 - 5解题思路：先求出向量 AB 的坐标及模，然后运用AB求解即可.量为：―1=ABF面是关于公差d>0的等差数列｛a n｝的四个命题:P l ：数列｛a n ｝是递增数列 P 2：数列｛na n ｝是递增数列.A. p i , P 2B. P 3, P 4C. P 2, P 3D. P i , P 4答案：D 思路分析：考点解剖：本题主要考查数列的单调性 解题思路：判断与的大小关系a n 半 a n解答过程：由于数列｛a n ｝中d >0，则数列｛a n ｝是递增数列，即p i 是真命题.而(n + 1) a n+1- nan = (n +1)(an + d )- nan =(n + 1)d + an ，不能明确其值为正数，则5是假命题.合n 1假命题.a n +1+ 3 (n + 1) d -( a n + 3nd )= a n + d + 3 ( n + 1) d -( a n + 3nd )= 4d >0，则数列 ｛a n + 3nd ｝是递增数列，即P 4是真命题•规律总结：结合通项公式，通过作差比较法来比较，注意除了参数 d 为正数外，其他条件都是未知的5.某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为： [20 , 40), [40 , 60), [60, 80), [80 , 100].若低于60分的人数是15,则该班的学生 人数是(P 3：数列｛ a ｝是递增数列a nn其中的真命题为( )P 4 :数列｛a n + 3nd ｝是递增数列a n — a n d a n — n(a * d) -(n 1冋nn 1nn(n T)nd -a n n(n 1)，不能明确其值为正数，则P 3是A. 45B. 50C. 55D. 60【同理5】答案：B思路分析：考点解剖：本题主要考查频率分布直方图的应用、频数解题思路：先求低于60分的频率，再利用频数除以对应的频率得到该班的学生人数•解答过程：由频率分布直方图知低于60分的频率为：(0.005 + 0.010 )X 20= 0.3，则该班的学生人数是：15-0.3 = 50人.规律总结：在利用频率分布直方图时，注意表格中的对应的数字是频率的值，不疋频组距率，要加以正确区分，否则容易出错6.在厶ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c,若a sin B cos C+ c sin B cos A= 1b,2且a>b,则/ B=( )A. 二6B 二3C- 23D5 二6答案：A思路分析：考点解剖：本题主要考查解三角形的应用解题思路：运用正弦定理求解，运用正余弦定理结合三角形恒等公式对条件进行适当的变换•解答过程：由a sin B cos C+ c sin B bos A=〔b,结合正弦定理有sin A sin B bos C+2sin C sin B cos A=〔sin B,显然sin B*0,则有sin A cos C+ sin Cs os A=〔，即sin (A+ C =2 21，则有A+ C= 5_.或一.(此时B为钝角，与条件a>b矛盾，舍去)，故B= 一. •2 6 6 6规律总结：利用公式得到sin (A+ C的值时，注意分类讨论并结合题目条件加以分析，容易出现遗漏而导致错误•7.已知函数f (x)= ln (占+9x2 —3x) + 1，则f (lg2 ) + f (Ig i )=( )2A. —1B. 0C. 1D. 2答案：D思路分析：考点解剖：本题主要考查函数的性质、对数函数的求值.解题思路：利用为定值求解.—3x ) + 1 + ln ( 1f (X)+ f (-X)2解答过程：由f (x) = ln ( 1 . 9X2—3x ) + 1 知f (x) + f (—x) = ln ( 〔 . 9*+ 3x ) ] + 2= In1 9x2+ 3x) + 1= ln[ (1 9X2— 3x) (1 9X2+ 2 = 2，故f (Ig2 ) + f (lg 1) = f (lg2 ) + f (—lg2 ) = 2.规律总注意对等式f (X)+ f (-x)的变形和应用，也是切入点，也是易错点&11答案：A思路分析:解答过程：由于输入n= 8, S= 0, i = 2,此时满足条件i w 8.接下来有S= 0十〔22-1分步求解s,i的值，只到j>8时，输出的s值即为所求•A.B.C.D.10考点解剖:本题主要考查算法的应用解题思路: )执行如1 , i =2 + 2 = 4,此时满足条件i < 8.接下来有S= i + i = 2 , i = 4 + 2= 6,此时满3 3 42-1 5足条件i w 8.接下来有S= 2 + 1 = 3 , i = 6+ 2= 8,此时满足条件i w 8.接下来有S5 62 _1 7=3 + i = 4 , i = 8+ 2 = 10,此时不满足条件i w 8,输出7 82-1 9规律总结：循环的终止是解决算法的程序框图问题的关键，注意循环条件，否则易错•9.已知点0( 0, 0), A (0, b), B( a, a3),若厶OAB为直角三角形，则必有( )A. b= a3B. b= a3+ ia3 3C. (b- a ) (b- a -〔) = 0a. 3 . 3D. | b- a| + | b-a -〔| = 0a【同理9】答案：C思路分析：考点解剖：本题主要考查直角三角形的性质、坐标运算解题思路：运用特殊值法判断•解答过程：对于点0(0, 0), A(0 , b) , B(a , a3),取特殊值b= 1, a= 1,此时△OAB 为直角三角形，代入各选项可排除选项 B D.又取特殊值b= 2 , a= 1,此时△ OAB为直角三角形，代入各选项可排除选项 A.规律总结：结合题目条件进行求解会由于计算量偏大，分类过多而导致错误10.已知直三棱柱ABC- ABC的6个顶点都在球O的球面上，若AB= 3 , AC= 4 , ABL ACAA= 12 ,则球O的半径为( )3一172D 310【同理10】答案：c思路分析：考点解剖：本题主要考查球的半径、体积，直三棱柱的性质等解题思路：先找出球心，再求出半径•解答过程：由AB= 3, AC= 4, AB丄AC得BC= 5,则知△ ABC所在的球的截面圆的圆心在BC的中点M上；同理，△ ABC所在的球的截面圆的圆心在BC的中点N上，则球心O为MN 规律总结：本题对球心O位置的确定是最容易出错的地方，要引起重视11.已知椭圆C：2 + 2 = 1 (a>b>0)的左焦点为F, C与过原点的直线相交于A, B两x ya b点，连接AF, BF.若| AB = 10, | BF = 8, cos/ ABF= 4，则C的离心率为( )5A. 35B 57C. 45D 67【同理15】答案：B思路分析：考点解剖：本题主要考查椭圆的定义、性质，余弦定理等解题思路：先根据余弦定理求得|AF ;然后利用椭圆的定义求得实半轴长，半焦距等•c. 132的中点，故球的半径为R=12 2 13 -2解答过程：设椭圆的右焦点为F1,由余弦定理得|AF2=|AB2+ |BF2—2| AB|| BF|cos / AB& 36,则有| AF| = 6，故/ AFB= 90o,由椭圆的对称性知四边形FAM为矩形，则有| BF + | BM = 8 + 6= 14 = 2a,即a = 7, |FM = | AE| = 10= 2c,即c= 5，贝U C的离心率为e= c = 5 .a 7规律总结：对于椭圆中的有关弦长，线段长问题，首先可以考虑用椭圆的定义求解•12.已知函数f (x)= x2— 2 (a+ 2) x + a2, g (x)=—x2+ 2 (a-2) x—a2+ 8.设H (x)=max{f (x), g (x) } , H2 (x)= min{f (x), g (x) } (max{p, q}表示p, q 中的较大值，min{p, q}表示p, q中的较小值).记H (x)的最小值为A, H2 (x)的最大值为B,则A—B =( )2A. a —2a—16B. a2+ 2a—16C. —16D. 16答案：C思路分析：考点解剖：本题主要考查函数的最值，数形结合的数学思想解题思路：运用特殊值法，作出图象，数形结合求解解答过程：不失一般性，取特殊值a= 2,则f (x) = x2—8x+ 4=(x —4) 2—12, g( x) =—x2+ 4,作出两函数的图象，结合题目创新定义知A=—12, B= 4,则有A- B=—16,综合各选项答案知只有选项B是正确的.规律总结：无从下手而随便选择导致错误•特殊值选择不当而出现多个满足条件的而导致错误等.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是13.【同理13】 答案：16n — 16 思路分析：考点解剖：本题主要考查几何体的三视图，圆柱、正四棱柱的体积 解题思路：先将三视图还原为直观图，然后根据体积公式求解 解答过程：由三视图知该几何体是一个底面半径为r = 2,高为h = 4的圆柱，中间挖去一个底面边长为 a = 2的正四棱柱，则其体积是 V = n r 2h — a 2h = 16 n — 16.规律总结：有关三视图的体积问题，一般先将三视图还原为直观图 ；然后结合各几何体的体积公式求解•14.已知等比数列｛a n ｝是递增数列，$是｛a n ｝的前n 项和.若a, a s 是方程x 2— 5x + 4= 0的 两个根，贝U S= __________ .【同理14】 答案：63 思路分析：考点解剖：本题主要考查等比数列的前n 项和，一元二次方程的求解.解题思路：先根据方程的根与系数的关系求得，得到公比，进而利用等比数列的a 1 , a 3前n 项和公式求解.不满足递增数列的条件，舍去），则a 1= 1，q = 2 （负值不满足递增数列的条件，舍去） ，故1 -q规律总结：等比数列的前n 项和公式要牢记;另外，要会判断数列的单调性以及根据单解答过a 「as =5，解得（此S 6 =a(1 -q 6)=63.调性来确定数列项之间的大小15.已知F为双曲线C: x2 —y2 = 1的左焦点，P, Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长x y9 16的2倍，点A( 5，0)在线段PQ上,则厶PQF的周长为___________ .答案：44思路分析：考点解剖：本题主要考查双曲线的定义解题思路：利用双曲线的定义求解•解答过程：由题得a= 3, b= 4, a= 5,则点A (5, 0)是双曲线的右焦点，贝U PQ过双曲线的右焦点，根据双曲线的定义有| PF —I PA = 2a= 6QF —I QA = 2a=6,则| PF +1 QF =12 + I PA + I QA = 12+ I PQ = 12 + 4b = 28,故厶PQF勺周长为：| PF + | QF + I PQ = 28 + 4b= 44.规律总结：利用双曲线的定义加以转化过程中，容易遗失相关的边长而导致错误16.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据•已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为___________________ •【同理16】答案：10思路分析：考点解剖：本题主要考查样本平均数，样本方差解题思路：根据平均数，方差的定义列等式求解解答过程：由于抽取5个班级的样本平均数X = 7,样本方差S2= 4,而样本数据互不相同，设对应样本数据从小到大依次为X1, X2, X3, X4, X5 (互不相等)，则有X1+ X2 + X3+ X42 2 2 2 2 2+ X5= 7X 5= 35, s = 1 [ (X1—7) +(X2—7) +( X3 —7) +( X4 —7) +( X5 —7) ] = 4,52 2 2 2 2 ___________________________________________________________________________________________即(X1—7) +( X2—7) +( X3—7) +( X4 —7) +( X5 —7) = 20,又X1, X2, X3, X4, X5互不相等，根据五个平方数之和为20的特点，可以分别为20= 32+ 32+ 12+ 12+ 02，即这五个数从小到大依次为：4, 6, 7, 8, 10,故最大值为10.规律总结：分析五个数当时缺乏考虑它们互不相等的条件而导致无从下手或作出错误的规律总结：有关三角函数与平面向量的综合问题， 一般是将平面向量转化为三角恒等式,结合二倍角公式，和角公式等进行转化，进而求解相关的性质：单调性、周期、最值等18. (本小题满分12分)如图：AB 是圆O 的直径，PA 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点.(I)求证：BCL 平面PA C.判定.三、解答题:17.(本小题满分12分)设向量 a =(爲sin x , sin x ), b =( cos x , sin x ), x € [0，乂 ].2(I)若 | a | = |b |，求 x 的值.(n)设函数f (x )= a • b ,求f (x )的最大值.【同理17】 思路分析：考点解剖：本题主要考查三角恒等变换、向量的数量积、三角函数的最值等 解题思路：(I)根据| a | = | b |，变换求解sin x 的值；(n)根据数量积的定义求出 (x )，再化为Asin .*门小的形式.解答过程:解：(I)由 | a | 2=( 3SS x ) 2+( sin x ) 2= 4si n 2x , | b | 2=( cos x ) 2+( si n x ) 1,及 | a | = | b |，得 4sin 2x = 1，又 x € [0 , -•]，从而 sin x =〔，所以2x=二.(n) f (x ) = a • b = 3 sin x cos x + sin 2x =3 si n2 x - 21 cos2x + 21 = sin (2x - 2当 x = -. € [0 ,二],sin (2x —二)取最大值 1,所以 f (x )的最大值为3 .2(n)设Q为PA的中点，AOC勺重心，求证：QG/平面PBD.思路分析：考点解剖：本题主要考查线面垂直、线面平行的证明，以及空间想象的能力解题思路：（I）证ACL BC PAL BC即可；（H）连接0G并延长AC与点M 则由重心的性质可得M为AC的中点.利用三角形的中位线性质，证明OM BC QM PC可得平面OQM //平面PBC 从而证明QG/平面PBC解答过程：解：（I）由AB是圆0的直径，得AC L BC,由PAL平面ABC BC平面ABC得PAL BC又PA? AC=代PA平面PAC AC平面PAC所以BCL平面PA C.（n）连OG并延长交AC于M连接QM QO由AOC的重心，得M为AC中点,由Q为PA中点，得QM PC又O为AB中点，得OM BC因为Ql\? MO^ M QM平面QMO MO平面QMOB8 PC= C, BC 平面PBC PC 平面PBC所以平面QMO平面PBC因为QG平面QMO所以QG平面PBD.v规律总结：立体几何解答题一般分为两类，一类是空间线面关系的判定和证明：主要是证明垂直（线面垂直，面面垂直，线线垂直）与平行（线面平行，面面平行，线线平行）；另一类是空间几何体的体积，异面直线所成的夹角等的计算•对于体积问题，一般要熟练掌握常见的基本形体的体积公式；对于异面直线所成的夹角的问题，一般先通过平移，然后运用勾股定理或者正余弦定理求解平面角•19. （本小题满分12分）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答.试求：（I）所取的2道题都是甲类题的概率•（n）所取的2道题不是同一类题的概率•思路分析：考点解剖：本题主要考查古典概型•解题思路：（I）先求任取的2道题的种数，再求“都是甲类题”这一事件包含的基本事件数，作除法即可；（n）求出“不是同一类题”这一事件包含的基本事件数，除以任取的2道题的种数即可•解答过程：解：（I）将4道甲类题依次编号为1, 2, 3, 4.2道乙类题依次编号为5, 6,任取 2 道题，基本事件为：{1 , 2} , {1 , 3} , {1 , 4}, {1 , 5} , {1 , 6}, {2 , 3}, {2, 4}, {2 , 5}, {2 , 6}, {3 , 4}, {3, 5}, {3, 6}, {4, 5}, {4, 6}, {5, 6},共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的，用A表示“都是甲类题”这一事件，贝U A包含的基本事件有{1 , 2} , {1 , 3}, {1 , 4},{2, 3}, {2 , 4}, {3, 4},共6 个，所以P （A）= 6 = 2 •15 5（n）基本事件同（I）,用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1 , 5}, {1 , 6}, {2 , 5}, {2 , 6}, {3, 5} , {3, 6}, {4, 5}, {4, 6},共8 个，所以P （A）= 8•15规律总结：高考中，概率解答题一般有两大方向的考查• 一、以频率分布直方图为载体，考查统计学中常见的数据特征：如平均数，中位数，频数，频率等；二、以应用题为载体，考查古典概型，几何概型•20. (本小题满分12分)如图，抛物线C：x2= 4y, C2: x2= —2py (p>0).点M(X o, y o)在抛物线C2上，过M 作C的切线，切点为A, B( M为原点O时，A, B重合于O .当x o= 1—. 2时，切线MA的斜率为—1 .2(I)求p的值.(H)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A, B重合于O时，中点为O .【同理20】思路分析：考点解剖：本题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，曲线的轨迹方程, 以及运算求解的能力.解题思路：(I)运用导数的几何意义求解；(H)运用相关点法求解.解答过程：解：(I)因为抛物线C：x2= 4y上任意一点(x, y)的切线斜率为y' = x2 且切线MA的斜率为一1，所以A点坐标为(一1, 1),2 4故切线MA的方程为y=—1 (x + 1) + 1 ,2 4因为点M( 1 —2, y o)在切线MA及抛物线C2上,2 2 于是 y o =— i (2—2 ) + i =24由③④⑦得x 2 = 4 y , X M 0.3当x i = X 2时，A , B 重合于原点 O, AB 中点N 为O,坐标满足x 2= 4 y .3因此AB 中点N 的轨迹方程为x 2= 4 y .3规律总结：椭圆是高考考纲要求理解的内容，重点考查椭圆的基本特征,何性质等.;另外，抛物线对于理科来说， 也是高考考纲要求理解的内容， 同时也是文理科在圆锥曲线这章要求的区别精华所在;来年，考查抛物线解答题的可能性也较大 •希望学生们要y0=—(i-2)22p3-2、2， 2p由①②得p = 2.(n)设 N (x, y ), A (X i ,2 Xi),B (X 2,),4X i M X 2,由N 为线段AB 中点知 x =X iy =22 , ④x 1 + x 28切线MA MB 的方程为X i 2(x — X i ) y = x 2 (x — X 2)+X 22, 4由⑤⑥得MA MB 的交点M （x 。
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辽宁2013年高考文科数学试题（带答案和解释）文
绝密★启用前
2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
数学（供文科考生使用）
第I卷
一、：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知集合
（A）（B）（C）（D）
（2）复数的模为
（A）（B）（C）（D）
（3）已知点
（A）（B）
（C）（D）
（4）下面是关于公差的等差数列的四个命题：
其中的真命题为
（A）（B）（C）（D）
（5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布
直方图如图，
数据的分组一次为
若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（A）（B）
（C）（D）
（6）在，内角所对的边长分别为
A． B． C． D．
（7）已知函数
A． B． C． D．
（8）执行如图所示的程序框图，若输入
A． B． C． D．
（9）已知点
A． B．
C． D．
（10）已知三棱柱
A． B． C． D．
（11）已知椭圆的左焦点为F
（A）（B）（C）（D）
（12）已知函数设表示中的较大值，表示中的较小值，记得最小值为得最小值为 ,则
（A）（B）
（C）（D）
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题-第22题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22题-第24题为选考题，考生根据要求作答。
二、题：本大题共4小题，每小题5分.
（13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .
（14）已知等比数列
.
（15）已知为双曲线
.
（16）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
设向量
（I）若
（II）设函数
18．（本小题满分12分）
如图，
（I）求证：
（II）设
19．（本小题满分12分）
现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取3道题解答.试求：
（I）所取的2道题都是甲类题的概率；
（II）所取的2道题不是同一类题的概率.
20．（本小题满分12分）
如图，抛物线
（I）；
（II）
21．（本小题满分12分）
（I）证明：当
（II）若不等式取值范围.
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。
作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，
（I）
（II）
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中以为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系.圆，直线的极坐标方程分别为 .
（I）
（II）
22．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数
（I）
（II）
2013高考数学辽宁卷（文科）解析
大连市红旗高级中学王金泽
一．
1. [答案]B
[解析] 由已知，所以，选B。
2. [答案]B
[解析]由已知所以
3 [答案]A
[解析] ，所以，这样同方向的单位向量是
4 [答案]D
[解析]设，所以正确；如果则满足已知，但并非递增所以错；如果若，则满足已知，但，是递减数列，所以错；，所以是递增数列，正确
5 [答案]B
[解析]第一、第二小组的频率分别是、，所以低于60分的频率是0.3，设班级人数为，则，。
6 [答案]A
[解析]边换角后约去，得，所以，但B非最大角，所以。
7 [答案]D
[解析] 所以，因为，为相反数，所以所求值为2.
8 [答案]A
[解析] 的意义在于是对求和。
因为，同时注意，所以所求和为 =
9 [答案]C
[解析]若A为直角，则根据A、B纵坐标相等，所以；若B 为直角，则利用得，所以选C
10 [答案]C
[解析]由球心作面ABC的垂线，则垂足为BC中点。
计算A= ，由垂径定理，O=6，所以半径R=
11 [答案]B
[解析]由余弦定理，AF=6，所以，又，所以
12 [答案]C
[解析] 顶点坐标为，顶点坐标，并且与的顶点都在对方的图象上，图象如图， A、B分别为两个二次函数顶点的纵坐标，所以A-B=
[方法技巧]（1）本题能找到顶点的特征就为解题找到了突破口。
（2）并不是A，B在同一个自变量取得。
二．题
13 [答案]
[解析]直观图是圆柱中去除正四棱柱。
14 [答案]63
[解析] 由递增，，所以，代入等比求和公式得
15 [答案]44
[解析] 两式相加，所以并利用双曲线的定义得，所以周长为
16 [答案]10
[解析]设五个班级的数据分别为。
由平均数方差的公式得，，显然各个括号为整数。
设分别为，，则。
设 = = ，由已知，由判别式得，所以，所以。
三．解答题
17[解题思路]（Ⅰ）（1）一般给出模的关系就可以考虑把模平方，进而可以把向量问题转化为三角函数问题求出（2）因为，根据象限符号知求出，所以。
（Ⅱ）通过降幂公式和二倍角公式可化简，最后解得最大值为。
18. [解题思路]（Ⅰ）由AB为直径条件推出，再结合面ABC即可证面PAC。
（Ⅱ）由重心想到中点是关键，由面面平行推出线面平行是重要方法。
19[解题思路]（Ⅰ）基本事件空间中有15个基本事件，都是甲类的有6个，所以可求得概率（Ⅱ）不是同一类的有8个基本事件，所以所求的概率是。
20[解题思路]（Ⅰ）（1）切线的斜率可通过求导求解。
（2）用点斜式建立切线方程（3）用方程的思想解决求值问题。
（Ⅱ）列A和B两个切线方程，利用解方程的方法求得坐标再代入C2最后可得所求的轨迹方程
21[解题思路]（Ⅰ）（1）不等式中间式子分别减左，减右的式子记为，，（2）求导研究单调性（3）根据单调性分析
在区间上的那个自变量能得到为零的最值。
然后与这个最值比较即可证出不等式。
（Ⅱ）解法一，利用上面证明的不等式代入化简，在进行分析;解法二：利用二阶导数研究单调性，进而求出范围。
22[解题思路]（Ⅰ）(1)弦切角等于弦所对的圆周角(2)直径所对是圆周角是直角得到互余关系从而找到角的相等关系（Ⅱ）利用全等相似导乘积式。
23[解题思路]（Ⅰ）由已知极坐标化成直角坐标方程再解出直角坐标，然后再化极坐标（Ⅱ）参数方程化成普通方程，列PQ两种形式的直角坐标方程，再用待定系数法求解。
24[解题思路]（Ⅰ）将已知不等式转化为，再分类讨论。
（Ⅱ）构造辅助函数用两种方法列出的解集，然后进行比较即可得到答案。
文。