平面解析几何-高考复习知识点

平面解析几何 高考复习知识点

一、直线的倾斜角、斜率

１、直线的倾斜角:

（1）定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α,那么α就叫做直线的倾斜角。当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0； (2)倾斜角的范围[)π,0。 ２、直线的斜率 （1）定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ,即k ＝α（α≠９0°)；倾斜角为９０°的直线没有斜率；

（2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212

12

1x x x x y y k ≠--=;

(3)直线的方向向量(1,)a k =,直线的方向向量与直线的斜率有何关系? (4)应用:证明三点共线： AB BC k k =。

例题：

例1．已知直线的倾斜角的变化范围为,求该直线斜率的变化范围；

思路点拨:已知角的范围,通过正切函数的图像，可以求得斜率的范围，反之,已知斜率的

范围,通过正切函数的图像,可以求得角的范围ﻫ 解析: ∵, ∴

.ﻫ 总结升华：

在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围，或知道倾斜角的取值范围求斜率的取值范

围时，可利用在和上是增函数分别求解.当时，;

当时，;当时,;当不存在时，．反之,亦成立.

类型二：斜率定义

例2．已知△为正三角形，顶点A 在ｘ轴上,A 在边的右侧,∠的平分线在x 轴上，求边与所在直线的斜率． 思路点拨：

本题关键点是求出边与所在直线的倾斜角，利用斜率的定义求出斜率． 解析：ﻫ 如右图,由题意知∠∠3０°ﻫ ∴直线的倾斜角为180°-30°=1５

０°,直线的倾斜角为30°，ﻫ ∴15０°= 30°=ﻫ 总结升华:

在做题的过程中，要清楚倾斜角的定义中含有的三个条件①直线向上方向②轴正向③小

于

的角,只有这样才能正确的求出倾斜角.

类型三：斜率公式的应用 例3．求经过点

,

直线的斜率并判断倾斜角为锐

角还是钝角．

思路点拨: 已知两点坐标求斜率,直接利用斜率公式即可. 解析:ﻫ

且

，

经过两点的直线的斜率

,即．ﻫ 即当时，为锐角，

当

时,

为钝角.

例4、过两点，

的直线的倾斜角为，求的值．ﻫ

【答案】

由题意得：直线的斜率

，

故由斜率公式

,ﻫ 解得或． 经检验

不适合，舍去． 故

．

例5．已知三点Ａ(a ，２)、B(3,7)、C(-2，－9a)在一条直线上，求实数a 的值.

ﻫ 思

路点拨:ﻫ 如果过点，的斜率相等，那么Ａ,B ，Ｃ三点共线.

解析：ﻫ

∵A 、B 、C 三点在一条直线上，ﻫ ∴.即

二、直线方程的几种形式

１、点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。

2、斜截式:已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ,则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线。

3、两点式:已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点，则直线方程为

1

21

121x x x x y y y y --=

--，它不包括垂直于坐标轴的直线。 ４、截距式:已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为1=+b

y

a x ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。

5、一般式:任何直线均可写成0Ax By C ++=(不同时为０)的形式。

提醒:（１)直线方程的各种形式都有局限性．（如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距式呢?)；(２）直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为０.直线两截距相等⇔直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数⇔直线的斜率为１或直线过原点；直线两截距绝对值相等⇔直线的斜率为1±或直线过原点。如过点(1,4)A ，且纵横截距的绝对值相等的直线共有条（答：３）

注:设直线方程的一些常用技巧:

（1）知直线纵截距b ,常设其方程为y kx b =+；

（2）知直线横截距0x ,常设其方程为0x my x =+(它不适用于斜率为0的直线）; （3）知直线过点00(,)x y ，当斜率k 存在时,常设其方程为00()y k x x y =-+,当斜率k 不存在时,则其方程为0x x =；

（4）与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=； （5）与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=.

提醒:求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。

三、两直线之间的位置关系

1、距离公式 （1）平面上的两点

间的距离

。特

别地,原点O （0，0）与任意一点的P （)的距离

（2）点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离002

2

Ax By C d A B

++=

+；

(3)两平行线1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=间的距离为122

2

C C d A B

-=

+。

2、直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=的位置关系: (１）平行⇔12210A B A B -=（斜率)且12210B C B C -≠（在y 轴上截距）; （２）相交⇔12210A B A B -≠;

（３）重合⇔12210A B A B -=且12210B C B C -=； (4)垂直⇔12120A A B B += 提醒： （1)

111222A B C A B C =≠、1122A B A B ≠、111222

A B C

A B C ==仅是两直线平行、相交、重合的充分

不必要条件！为什么?

(２）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合,而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；

3、两直线夹角公式

（1)1l 到2l 的角是指直线1l 绕着交点按逆时针方向转到和直线2l 重合所转的角

θ,θ()π,0∈且θ

2

11

21k k k k +-（121k k ≠-）；

(2）1l 与2l 的夹角是指不大于直角的角,(0,

]2

π

θθ∈且θ︱

2

11

21k k k k +-︱（121k k ≠-)。

提醒:解析几何中角的问题常用到角公式或向量知识求解。如已知点M 是直线240x y --=与x 轴的交点,把直线l 绕点M 逆时针方向旋转45°,得到的直线方程是