力矩分配法
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（2）放松结点 — 不平衡力矩反号后，进行 分配和传递（需要计算各 杆分配系数）
分配系数
1K
S1K S1K
分配弯矩 = 不平衡力矩反号 x 分配系数
传递弯矩 = 分配弯矩 x 传递系数
（3）计算杆端最后弯矩 近端弯矩 = 固端弯矩 + 分配弯矩 远端弯矩 = 固端弯矩 + 传递弯矩
例 2. 求解图示连续梁并作M图。
上的不平衡力矩。 （5）宜从不平衡力矩较大的结点开始分配。
思考: 求解图示结构 C 支座的反力。
B
C
看
Baidu Nhomakorabea
谁
a
做
l
EI = 常数
得
快!
A
D
l
解法一：力法（略）
Z1
解法二：位移法1
B
典型方程：
r11Z1 R1 0
6i
r11 7i R1 l a A
6a
Z1 7l
支座反力：
R2
69ia 7l 2
-0.7 0.3 0.4
92.6 -92.6
-14.7 -7.3 2.2 -1.5 -0.7
41.3 -41.3
据此可作出结构的弯矩图（略）。
能否用力
矩分配法
B
C
求解？
l
EI = 常数
A
D
l
不能
结论：
力矩分配法 （1）基于位移法； （2）是一种渐近法； （3）适合于连续梁和无结点线位移的刚架； （4）其基本原理是逐渐放松结点，消除结点
远端
= 4i
( 1 ) 转动刚度 SAB（Rotation Stiffness）
杆件的一端转动单位角度时所需施加的弯 矩，称为该杆端的转动刚度。
它表示杆端抵抗转动能力的大小，与杆 件的线刚度和远端支承情况有关。
( 2 ) 传递系数 CAB （ Carry-Over Factor ）
杆件的近端转动单位角度时，远端弯矩 与近端弯矩的比值，称为由近端向远端的传 递系数（只与远端支承情况有关）。
令：l = a = i = 1
R2
C
a
D
Z1 0.86
R2
9.86
解法三：位移法2
Z1
典型方程： B
rr1211ZZ11
r12 r22
a a
0 R2
A
C
R2
a
D
r11 7i
,
r12
r21
6i l
,
r22
15i l2
Z1
6a 7l
R2
69ia 7l 2
令：l = a = i = 1
Z1 0.86 R2 9.86
9-6
MAB= 4iZ Z
i
A
近端
l
MBA= 2iZ
B 远端 CAB = MBA / MAB =2i/4i =0.5
等截面直杆的转动刚度和传递系数
远端支承情况 固定
转动刚度S 4i
传递系数C 1/2
铰支
3i
0
滑动
i
-1
自由或轴向支杆
0
§9－2力矩分配法的基本原理 特例
3
由位移法：
M
r11Z1 R1P 0
解法四：力矩分配法
固端弯矩如图：
分配系数： BC
3, 7
18 2.57
7
-6.0B 0
C
3.43
1
-2.57
BA
4 7
-6.0 1.7A -4.3
-3.0 D
6.87 2.57
4.3 6.87
6.87
3.0 0.0
位移法解答:
3.0
3.0
R2 9.86
R2 9.87
3.0
作业： 9-1；9-4
第九章 力矩分配法
(Moment Distribution Method)
主要内容：
§9－1 基本概念 §9－2 力矩分配法的基本原理 §9－3 举例
已有基础： 1. 用力法求解超静定结构； 2. 用位移法求解超静定结构。
§9－1 基本概念
MAB= 4iZ Z
i
A
近端
l
MBA= 2iZ
B
SAB= MAB/ Z
100kN
20kN/m
A
EI=1
C
D
B EI=2
EI=1
6m 4m 4m 6m
解: 固定结点，求出各杆端固端弯矩，然 后进行分配传递。
例 2. 求解图示连续梁并作M图。
100kN
20kN/m
B
C
A EI=1
EI=2
EI=1 D
6m
4m 4m 6m
100
100
60 60
基
A
B
C
D
本 结
解: 固定结点，求出各杆端固端弯 构
例 1. 求解图示连续梁并作 M 图。
200kN
20kN/m
A EI
B
EI
C
3m
3m
6m
解: 固定结点，求出各杆端固端弯矩，然 后进行分配传递。
解: 取基本结构为:
200kN
20kN/m
A EI
B
EI
3m
3m
6m
150 A
150
M
f B
90
B
基
C本
结 构
C
MP图
分配系数
43
77
A
B
C
固端弯矩 -150 150 -90
矩，然后进行分配传递。
分配系数
A
0.4 0.6 0.667 0.333
B
C
D
固端弯矩 -60 60 -100
100
{I
放松 C 点
放松 B 点 14.7
-33.4 29.4 44.0
-66.7 -33.3 22.0
{II
放松 C 点
放松 B 点 1.5
-7.3 2.9 4.4
{III 放松 C 点 放松 B 点 0.2 杆端弯矩 -43.6
4
2
1
Z1
r11Z1 R1P
5
即： M1k S1k Z1
M k1 C1k M1k
2
2i12
r11 4i12 3i13 i14 4i15
R1P M
3
0
4i12
3i13
4
4i151 i14
i14
5 2i15
M
r11Z1 R1P
( 4i12 3i13 i14 4i15 )Z1 M
注
分配、传递弯矩 -17.2 -34.3 -25.7
意 要
最终弯矩 -167.2 115.7 -115.7 反
号
167.2 A
115.7 B
90 M图
C
158.2
力矩分配法的求解步骤：
（1）固定结点 — 求出各杆固端弯矩、 结点上的不平衡力矩
结点不平衡力矩 = 汇交于该结点的 各杆端固端弯矩的代数和
M Z1 S1k
又 M1k S1k Z1
M1k
S1k S1k
M 1k M
分配弯矩
分配系数
同一结点各杆分配系数满足：
1j 1
传递
弯矩 M k1 C1k M1k
P
A
B
P RBP
A
B
RBP
A
B
=+
q
C
一般 情况
q
RBP
M
F BA
M
F BC
C
不平衡力矩 （约束力矩） (附加反力矩）
C
§9－3 举例
分配系数
1K
S1K S1K
分配弯矩 = 不平衡力矩反号 x 分配系数
传递弯矩 = 分配弯矩 x 传递系数
（3）计算杆端最后弯矩 近端弯矩 = 固端弯矩 + 分配弯矩 远端弯矩 = 固端弯矩 + 传递弯矩
例 2. 求解图示连续梁并作M图。
上的不平衡力矩。 （5）宜从不平衡力矩较大的结点开始分配。
思考: 求解图示结构 C 支座的反力。
B
C
看
Baidu Nhomakorabea
谁
a
做
l
EI = 常数
得
快!
A
D
l
解法一：力法（略）
Z1
解法二：位移法1
B
典型方程：
r11Z1 R1 0
6i
r11 7i R1 l a A
6a
Z1 7l
支座反力：
R2
69ia 7l 2
-0.7 0.3 0.4
92.6 -92.6
-14.7 -7.3 2.2 -1.5 -0.7
41.3 -41.3
据此可作出结构的弯矩图（略）。
能否用力
矩分配法
B
C
求解？
l
EI = 常数
A
D
l
不能
结论：
力矩分配法 （1）基于位移法； （2）是一种渐近法； （3）适合于连续梁和无结点线位移的刚架； （4）其基本原理是逐渐放松结点，消除结点
远端
= 4i
( 1 ) 转动刚度 SAB（Rotation Stiffness）
杆件的一端转动单位角度时所需施加的弯 矩，称为该杆端的转动刚度。
它表示杆端抵抗转动能力的大小，与杆 件的线刚度和远端支承情况有关。
( 2 ) 传递系数 CAB （ Carry-Over Factor ）
杆件的近端转动单位角度时，远端弯矩 与近端弯矩的比值，称为由近端向远端的传 递系数（只与远端支承情况有关）。
令：l = a = i = 1
R2
C
a
D
Z1 0.86
R2
9.86
解法三：位移法2
Z1
典型方程： B
rr1211ZZ11
r12 r22
a a
0 R2
A
C
R2
a
D
r11 7i
,
r12
r21
6i l
,
r22
15i l2
Z1
6a 7l
R2
69ia 7l 2
令：l = a = i = 1
Z1 0.86 R2 9.86
9-6
MAB= 4iZ Z
i
A
近端
l
MBA= 2iZ
B 远端 CAB = MBA / MAB =2i/4i =0.5
等截面直杆的转动刚度和传递系数
远端支承情况 固定
转动刚度S 4i
传递系数C 1/2
铰支
3i
0
滑动
i
-1
自由或轴向支杆
0
§9－2力矩分配法的基本原理 特例
3
由位移法：
M
r11Z1 R1P 0
解法四：力矩分配法
固端弯矩如图：
分配系数： BC
3, 7
18 2.57
7
-6.0B 0
C
3.43
1
-2.57
BA
4 7
-6.0 1.7A -4.3
-3.0 D
6.87 2.57
4.3 6.87
6.87
3.0 0.0
位移法解答:
3.0
3.0
R2 9.86
R2 9.87
3.0
作业： 9-1；9-4
第九章 力矩分配法
(Moment Distribution Method)
主要内容：
§9－1 基本概念 §9－2 力矩分配法的基本原理 §9－3 举例
已有基础： 1. 用力法求解超静定结构； 2. 用位移法求解超静定结构。
§9－1 基本概念
MAB= 4iZ Z
i
A
近端
l
MBA= 2iZ
B
SAB= MAB/ Z
100kN
20kN/m
A
EI=1
C
D
B EI=2
EI=1
6m 4m 4m 6m
解: 固定结点，求出各杆端固端弯矩，然 后进行分配传递。
例 2. 求解图示连续梁并作M图。
100kN
20kN/m
B
C
A EI=1
EI=2
EI=1 D
6m
4m 4m 6m
100
100
60 60
基
A
B
C
D
本 结
解: 固定结点，求出各杆端固端弯 构
例 1. 求解图示连续梁并作 M 图。
200kN
20kN/m
A EI
B
EI
C
3m
3m
6m
解: 固定结点，求出各杆端固端弯矩，然 后进行分配传递。
解: 取基本结构为:
200kN
20kN/m
A EI
B
EI
3m
3m
6m
150 A
150
M
f B
90
B
基
C本
结 构
C
MP图
分配系数
43
77
A
B
C
固端弯矩 -150 150 -90
矩，然后进行分配传递。
分配系数
A
0.4 0.6 0.667 0.333
B
C
D
固端弯矩 -60 60 -100
100
{I
放松 C 点
放松 B 点 14.7
-33.4 29.4 44.0
-66.7 -33.3 22.0
{II
放松 C 点
放松 B 点 1.5
-7.3 2.9 4.4
{III 放松 C 点 放松 B 点 0.2 杆端弯矩 -43.6
4
2
1
Z1
r11Z1 R1P
5
即： M1k S1k Z1
M k1 C1k M1k
2
2i12
r11 4i12 3i13 i14 4i15
R1P M
3
0
4i12
3i13
4
4i151 i14
i14
5 2i15
M
r11Z1 R1P
( 4i12 3i13 i14 4i15 )Z1 M
注
分配、传递弯矩 -17.2 -34.3 -25.7
意 要
最终弯矩 -167.2 115.7 -115.7 反
号
167.2 A
115.7 B
90 M图
C
158.2
力矩分配法的求解步骤：
（1）固定结点 — 求出各杆固端弯矩、 结点上的不平衡力矩
结点不平衡力矩 = 汇交于该结点的 各杆端固端弯矩的代数和
M Z1 S1k
又 M1k S1k Z1
M1k
S1k S1k
M 1k M
分配弯矩
分配系数
同一结点各杆分配系数满足：
1j 1
传递
弯矩 M k1 C1k M1k
P
A
B
P RBP
A
B
RBP
A
B
=+
q
C
一般 情况
q
RBP
M
F BA
M
F BC
C
不平衡力矩 （约束力矩） (附加反力矩）
C
§9－3 举例