2015高考数学(文)二轮专题复习课件：专题八_第二讲数形结合思想

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高考数学二轮复习讲义数形结合

高考数学二轮复习讲义数形结合一、课前导读⑴数形结合是根据数量与图形之间的关系，认识研究对象的数学特征，寻找解决问题的方法的一种数学思想。

⑵数形结合的本质是：几何图形的性质反映了数量关系数量关系决定了几何图形的性质⑶数形结合作为一种数学思想方法大致分为： ①借助数的精确性来阐明形的某些属性②借助于形的几何直观性来阐明数之间的某种关系 ⑷数形结合作为手段主要用于：①平面几何、立体几何的一些算法（与解三角形有关的计算） ②解析几何中点与坐标、曲线与方程、区域(区间)与不等式的对应 ③函数与它的图象以及有关几何变换④三角函数的概念、向量及其运算的几何意义 ⑤集合的图示 ⑥导数的几何背景二、典型例题 ★221log log ab <<、若0,则（）()1A a b <<<0()1B b a <<<0()1C a b >>()1D b a >>★22cos sin x y x x π≤=+、若，则的最小值为_______4★343()7()17()1()1x x a a A a B a C a D a --<><<>≥、不等式+有实数解，则的取值范围是（）★2242)y x y x y x-、若实数,满足(+=3，则的最大值为_______★25402x y x y x y x y ++=-2、若，满足-2，则的最大值为_____★2643x x x m m -+=、关于的方程有四个不等实根，则的取值范围为___________ ★7{{}A x y y B x y y x a A B a ==+⋂≠∅、（，），（，）=，若，则的取值范围为_____________★18()log ()0()x a f x f x f x +=>∞、已知在区间(-1,0)上有，则在(-,-1)上是____函数(填增或减)★★229[1,1]()442()13()13()12()12[1,1]()442a f x x a x a xA xB x xC xD x x x f x x a x a a∈-=-+-<<<><<<>∈-=-+-、对于任何，函数+()的值总大于零，则的取值范围是（）或或变题：对于任何，函数+()的值总大于零，则的取值范围是_____________★★10()(0)(0,)()1,(1)0y f x x x f x x f x =≠∈+∞=--<、若奇函数在时，则的解集为_________★★211(0,1)x x a x ax a a a +>≠、关于的方程=-+2的解的个数为_____★★212AB y x M ABM y 、定长为3的线段的两个端点在抛物线=2上移动,为线段的中点,求点到轴的最短距离★★213()3[2,2]()f x x ax x f x a a =+∈-≥、已知函数+,当时,恒成立,求的取值范围★★14[0,2]sin x a x x a π∈+=、已知，为实数，讨论的解的个数★★15sin 0021a a θθπαβαβ++=+在(，)上有相异二解、（）求的取值范围（2）求的值★★★1635320x y R x y -+--=222、若圆()+()=上有且仅有两点到直线4的距离为1，R 则的范围为____________★★★172,2OB OA OA OB αα→→→→、向量=(2,0)，=()，则,的夹角的范围是________★★★18S ABC αα、正三棱锥-，其相邻两侧面所成的角为，则的取值范围为________★★★19x R y ∈=、，则★★★220()log ()log 10()log (205),()()a a af x a xg x x f x g x a =-+=-<、设函数，若不等式的整数解只有1，求的取值范围★★★222221cos sin cos sin ,1cos cos 0,020222a b c a b c b a a b ac ααββαβ+=+=+=≠≠++=、已知，且()，求证：三、巩固练习★1523()()()()x x A B C D <<-<、命题甲：0；命题乙：，则甲是乙的（）充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分又不必要条件★2()[37]5()[73]()()()()f x f x A B C D --、如果奇函数在区间，上是增函数，且最小值是，那么在区间，上是（）增函数且最小值是-5 增函数且最大值是-5 减函数且最小值是-5 减函数且最大值是-5★2321()()()()x x A B C D =+、方程的实根的个数是（）1 2 3 4★4log2log 20log 2log 2()()()()dc b a a b cd A a b c d B a b d c C b a c d D b a d c<<<<>>>>>><<<<<<、若，则、、、的大小关系为（）★53634()()()2()A B C D π1、球面上有个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这个点的小圆的周长为，则这个球的半径为（）★62,3(3,2(0,2)A B P P l AB -、已知点（-）、）、，过点的直线与线段有公共点， l k 则直线的斜率的取值范围为____________★73102360_______kx y k x y k -++=+-=、设直线与直线的交点在第一象限，则的取值范围是★8_____、三边的长都是整数，且最大边长为9的三角形的个数是★2291916,x y -、设圆过双曲线=的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上则圆心到双曲线中心的距离是_______★★100sin tan 2παααα<<<<、已知,求证：★★21112()(1)(3)()(2)(3)()(2)(3)(4)()(3)x y x x y y x A B C D -=-=、设函数，则下列命题中正确的是（）（1）图象上一定存在两点，这两点的连线平行于轴（2）图象上任意两点的连线都不平行于轴（3）图象关于直线对称（4）图象关于原点中心对称和和和和★★12101____x x <<>+、“若-”，这一命题的否命题的真值为★★138040()()()()P P A B C D αβαβ︒︒、已知平面、成角，为空间的一定点，则过点且与平面、所成的角都等于的直线至多有（） 1条 2条 3条 4条★★14、10个相同的小球放入1、2、3号盒中，要求每个盒子的球数不小于它的编号数，则不同的放入种数为_______★★2115log 0(0,2mx x m -<、方程不等式在)时成立，则的取值范围是_______★★222160(0)2ax bx a ab a b b +=>∅-、已知方程+的解集是，则+的取值范围是_____________★★★171(2)__________x k x a a k a --+、若方程=，对任意实数都有解，则实数的取值范围是★★★18,(2,2)(),()()OA OB A a b B b a a b OP R OA OBλ→→→→→≠=-∈、已知点（），若，P 则点的轨迹方程是____________★★★221212112222191,259((4,0)x y F F PF PF PF PF PF B F MF MB MF MB +--+、设椭圆=上一点、为焦点,=4,求变题:(1)若去掉条件=4，求的最大值(2)若、,求的最大值 (3)在(2)中求的最大值★★★2200,2,244;442,2x x ax b a b b a b b αβαβαβ+=<<<+<<+<<<、已知关于的实系数二次方程+有两个实根。

2015高考数学(新课标)大二轮复习配套课件：专题2 再谈数形结合的应用第2讲

第2讲常考的数列综合问题
(2)求数列{an}的通项公式．
破题切入点由已知可得n≥2时，2Sn－1＝an－2n＋1，两式相减．
解 ∵2Sn＝an＋1－2n＋1＋1， ∴当n≥2时，有2Sn－1＝an－2n＋1，两式相减得 an＋1－3an＝2n，则a2n＋n 1－32·2an－n 1＝1，
第四页，编辑于星期五：十五点十一分。
构建答题模板第一步：利用条件求数列{bn}的通项公式；第二步：写出Tn＝b1＋b2＋…＋bn的表达式；第三步：分析表达式的结构特征、确定求和方法.例如：公式法、
裂项法，本题用错位相减法；
第四步：明确规范表述结论；
第五步：反思回顾.查看关键点，易错点及解题规范.如本题中
在求an时，易忽视对n＝1，n≥2时的讨论.
破题切入点
利用错位相减法求和．
解设 bn＝9－2n2an＝2nn－1，
Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1＋22＋232＋…＋n2－n－12 ＋2nn－1，
所以 Tn＝2Tn－Tn＝2＋1＋12＋…＋2n1－2－2nn－1 ＝4－2n1－2－2nn－1＝4－n2＋n－12.
第十二页，编辑于星期五：十五点十一分。
第八页，编辑于星期五：十五点十一分。
∴an＋23(－1)n＝2an－1＋23－1n－1(n≥2)．故数列an＋32－1n是以 a1－23＝13为首项，公比为 2 的等比数列．
所以 an＋23(－1)n＝13×2n－1， ∴an＝13×2n－1－23×(－1)n.
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第十页，编辑于星期五：十五点十一分。
第2讲常考的数列综合问题
故k2＝16，因此k＝4，
从而 an＝Sn－Sn－1＝92－n(n≥2)．又 a1＝S1＝72，所以 an＝92－n.

高三数学二轮复习第二篇数学思想 2.2 数形结合思想

பைடு நூலகம்
A. 3 B．－ 3 C． 3 D．－ 3
3
3
3
【解析】选B.由于y= 1 x2 ,即x2+y2=1(y≥0),直线l 与x2+y2=1(y≥0)交于A,B两点,如图所示
S△AOB= 1·sin∠AOB≤ 1 ,且当∠AOB=90°时,S△AOB取得
2
2
最大值,此时AB= 2 ,点O到直线l的距离为 2 ,则
[1
与y=ax在区间
,1)，
3
[
1，3] 3
内有
作函数f(x)= 图象如图,
ln x, 2ln
x ［1,3］,
x,
x
[
1
与y=ax在区间
,1)，
3
[ 1，3] 3
内的
结合图象可知,
当直线y=ax与f(x)=lnx相切时, ln x 1 ,
xx
解得,x=e;此时a= 1 ;
e
(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键, 数形结合应以快和准为原则,不要刻意去用数形结合.
【变式训练】(2016·洛阳一模)已知函数f(x)满足
f(x)=2f ( 1 ),当x∈[1,3]时,f(x)=lnx,若在区间 [1，3]
x
3
内,函数g(x)=f(x)-ax与x轴有三个不同的交点,则实数
第二讲数形结合思想
【思想解读】数形结合思想就是通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.其应用包括以下两个方面: (1)“以形助数”,把某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维. (2)“以数定形”,把直观图形数量化,使形更加精确.
热点1 利用数形结合思想研究零点、方程的根

【名师伴你行】2015届高考数学二轮复习第2讲数形结合思想课件文

[试题调研] [例2] (2014· 哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学
log21－x＋1，－1≤x<k，高三联考)已知函数f(x)＝ 3 x －3x＋2，k≤x≤a，
若存在k使得函数f(x)的值域是[0,2]，则实数a的取值范围是 ( ) A．[ 3，＋∞) C．(0， 3]
b ∴a≥ 3，即c2＝a2＋b2≥4a2，∴e≥2.
(2)(2014· 兰州、张掖高三联合诊断)已知x，y满足约束条件 x≥0， 3x＋4y≥4， y≥0，
16 答案：25
则x2＋y2的最小值是________．
解析：画出不等式组表示的平面区域如图所示，
x2＋y2表示平面区域内的点到坐标原点的距离的平方．
在解含有参数的不等式时，由于涉及到参数，往往需要讨论，导致演算过程繁琐冗长．如果题设与几何图形有联系，那么利用数形结合的方法，问题将会简练地得到解决．
(1)解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷地解答． (2)函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常联系函数图象的对称性；最值(值域)经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标．
解析：由定义可知，
2x－1x，x≤0， f(x)＝－x－1x，x>0.
作出函数f(x)的图象，如图所示．由图象可知， 1 当0<m< 4 时，f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根 x1，x2，x3. 不妨设x1<x2<x3， 1 易知x2>0，且x2＋x3＝2× ＝1， 2
[回访名题] 对于实数a和b，定义运算“*”：a*b＝

高三数学二轮专题复习精讲课件：8-2转化与化归思想、数形结合思想

(4)参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化．
(5)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．
(6)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题，是转化方法的一个重要途径．
(7)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化途径．
(8)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题．
(1)抽象问题向具体问题化归； (2)一般问题向特殊问题化归； (3)正向思维向逆向思维化归； (4)命题向等价命题化归．
3．转化与化归的常见方法 (1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题． (2)换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题． (3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．
[答案] B
[分析] 由奇函数图象的对称性可画出f(x)的图象，不等
式f(x)·cosx<0可等价转化为
fx>0
cosx<0
或
fx<0
cosx>0
，结合图形可
得出解集．
[解析] 不等式f(x)cosx<0等价于
fx>0， cosx<0，
或fx<0， cosx>0.
画出f(x)在(－3,3)上的图象，cosx的图象又熟知，运用数
核心整合
知识方法整合一、转化与化归思想转化与化归的基本内涵是：人们在解决数学问题时，常常将待解决的问题A，通过某种转化手段，归结为另一问题 B，而问题B是相对较容易解决的或已经有固定解决模式的问题，且通过问题B的解决可以得到原问题A的解．用框图可直观地表示为：

【高考解码】(新课标)2015届高考数学二轮复习攻略一函数与方程思想,数形结合思想

【高考解码】（新课标）2015届高考数学二轮复习攻略一函数与方程思想，数形结合思想一、函数与方程思想函数与方程思想是中学数学的基本思想，是历年高考的重点和热点，主要依据题意，构造恰当的函数，或建立相应的方程来解决问题，它涉及三大题型．高、中、低档试题都有出现．近几年来代数压轴题多为考查应用函数思想解题的能力．函数与方程思想的应用主要体现在以下几方面：(1)函数与不等式的相互转化，对函数y ＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)解析几何中的许多问题．需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切．1．运用函数与方程思想解决函数、方程、不等式问题此类问题是多元问题中的常见题型，通常有两种处理思路：一是分离变量构造函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将问题转化为二次方程，进而构造函数加以解决．【例1】 (2014·福建高考)已知函数f(x)＝e x－ax(a 为常数)的图象与y 轴交于点A ，曲线y ＝f(x)在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x ＞0时，x 2＜e x；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x.【解】 (1)由f(x)＝e x －ax ，得f′(x)＝e x－a. 又f′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2.所以f(x)＝e x －2x ，f′(x)＝e x－2. 令f′(x)＝0，得x ＝ln 2.当x ＜ln 2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x ＞ln 2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．所以当x ＝ln 2时，f(x)有极小值，且极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－ln 4， f(x)无极大值．(2)令g(x)＝e x －x 2，则g′(x)＝e x－2x.由(1)得，g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)＝2－ln 4＞0，即g′(x)＞0.所以g(x)在R 上单调递增，又g (0)＝1＞0，所以当x ＞0时，g (x )＞g (0)＞0，即x 2＜e x.(3)对任意给定的正数c ，取x 0＝1c，由(2)知，当x ＞0时，x 2＜e x.所以当x ＞x 0时，e x ＞x 2＞1cx ，即x ＜c e x.因此，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x.2．运用函数与方程思想解决数列问题数列问题函数(方程)化法与形式结构函数(方程)化法类似，但要注意数列问题中n 的取值范围为正整数，涉及的函数具有离散性特点，其一般解题步骤是：第一步：分析数列式子的结构特征．第二步：根据结构特征构造“特征”函数(方程)，转化问题形式．第三步：研究函数性质，结合解决问题的需要研究函数(方程)的相关性质，主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究．第四步：回归问题．结合对函数(方程)相关性质的研究，回归问题．【例2】已知S n ＝1＋12＋13＋…＋14(n ∈N *)，设f (n )＝S 2n ＋1－S n ＋1，试确定实数m 的取值范围，使得对于一切大于1的正整数n ，不等式f (n )>[log m (m －1)]2－1120·[log (m －1)m ]2恒成立．【解】由f (n )＝S 2n ＋1－S n ＋1，得f (n )＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋1，∴f (n ＋1)＝1n ＋3＋1n ＋4＋…＋12n ＋3.∴f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋2－12n ＋4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋3－12n ＋4>0. ∴f (n )>f (n －1)>…>f (3)>f (2)(n ∈N *，n ≥2)．∴f (n )min ＝f (2)＝12＋2＋12＋3＝920.要使对于一切大于1的正整数n ，原不等式恒成立，只需不等式920>[log m (m －1)]2－1120[log (m－1)m ]2成立．设y ＝[log m (m －1)]2，则y >0.于是⎩⎪⎨⎪⎧920>y －1120y ，y >0，解得0<y <1.从而⎩⎪⎨⎪⎧0<[log mm －2<1，m >0，m ≠1，m －1≠1，m －1>0，解得m >1＋52且m ≠2.∴实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1＋52，2∪(2，＋∞)．3．运用函数与方程思想解决几何问题在立体几何和解析几何中有许多问题需要运用到方程或建立函数表达式的方法加以解决．特别是在解析几何中涉及到范围或最值问题时可用如下思路去完成：第一步：联立方程．第二步：求解判别式Δ.第三步：代换．利用题设条件和圆锥曲线的几何性质，得到所求目标参数和判别式不等式中的参数的一个等量关系，将其代换．第四步：下结论．将上述等量代换式代入Δ>0或Δ≥0中，即可求出目标参数的取值范围．第五步：回顾反思．在研究直线与圆锥曲线的位置关系问题时，无论题目中有没有涉及求参数的取值范围，都不能忽视了判别式对某些量的制约，这是求解这类问题的关键环节．【例3】 (2014·四川高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .(ⅰ)证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)；(ⅱ)当|TF ||PQ |最小时，求点T 的坐标．(Ⅰ)【解】由已知可得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2b ，2c ＝2a 2－b 2＝4，解得a 2＝6，b 2＝2，所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 22＝1.(Ⅱ)(ⅰ)【证明】由(Ⅰ)可得，F 的坐标是(－2,0)，设T 点的坐标为(－3，m )，则直线TF 的斜率k TF ＝m －0－3－－＝－m .当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1m，直线PQ 的方程是x ＝my －2.当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 26＋y22＝1，消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0，其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0.所以y 1＋y 2＝4m m 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12m 2＋3.所以PQ 的中点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 2＋3，2m m 2＋3，所以直线OM 的斜率k OM ＝－m3.又直线OT 的斜率k OT ＝－m3，所以点M 在直线OT 上，因此OT 平分线段PQ .(ⅱ)【解】由(ⅰ)可得，|TF |＝m 2＋1， |PQ |＝x 1－x 22＋y 1－y 22 ＝m 2＋y 1＋y 22－4y 1y 2]＝m 2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫4m m 2＋32－4·－2m 2＋3＝24m 2＋m 2＋3所以|TF ||PQ |＝124·m 2＋2m 2＋1＝124·⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋1＋4m 2＋1＋4≥124＋＝33.当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1，即m ＝±1时，等号成立，此时|TF ||PQ |取得最小值．所以当|TF ||PQ |最小时，T 点的坐标是(－3,1)或(－3，－1)．二、数形结合思想数形结合的思想在每年的高考中都有所体现，它常用来：研究方程根的情况，讨论函数的值域(最值)及求变量的取值范围等．对这类内容的选择题、填空题，数形结合特别有效．从今年的高考题来看，数形结合的重点是研究“以形助数”，但“以数定形”在今后的高考中将会有所加强，应引起重视，复习中应提高用数形结合思想解题的意识，画图不能太草，要善于用特殊数或特殊点来精确确定图形间的位置关系．1．应用数形结合的思想应注意以下数与形的转化 (1)集合的运算及韦恩图； (2)函数及其图象；(3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图象； (4)方程(多指二元方程)及方程的曲线；(5)对于研究距离、角或面积的问题，直接从几何图形入手进行求解即可；(6)对于研究函数、方程或不等式(最值)的问题，可通过函数的图象求解(函数的零点、顶点是关键点)，做好知识的迁移与综合运用．2．运用数形结合思想解决讨论方程内解或图象的交点问题用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角函数等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．【例4】 (2014·天津高考)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．【解】原问题等价于方程f (x )＝a |x －1|恰有4个互异的实数根解法一：分别画出函数y ＝f (x )与y ＝a |x －1|的图象(1)由x 2＋3x ＝a (x －1)得， x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，Δ＝(3－a )2－4a ，由Δ＝0得a ＝9或a ＝1(舍)，此时a >9，(2)由－x 2－3x ＝a (1－x )，得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，由Δ＝0得a ＝1或a ＝9(舍)，结合图象知0<a <1，由(1)(2)知0<a <1或a >9，∴a ∈(0,1)∪(9，＋∞)．解法二：分离参数法a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋3x x －1 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －＋4x －＋5，由平移和对称知画出函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1＋4x －1＋5的图象，由图知a ∈(0,1)∪(9，＋∞)．【答案】 (0,1)∪(9，＋∞)3．运用数形结合思想解决有关最后问题“形”可以使某些抽象问题具体化，而‘数”可以使思维精确化，应用数形结合在某些求最值问题中，可以收到意想不到的效果．(1)把代数式进行几何转化，转化为具有直观几何意义构图形，例如①y 2－y 1x 2－x 1看作直线的斜率，转化为平面直角坐标系内两点(x 1，y 1)和(x 2，y 2)的连线的斜率，特别适用于一个定点和一个动点(动点在一个区域内)的形式：②a －m 2＋b －n 2或(a －m )2＋(b －n )2：看作是两点(a ，b )和(m ，n )间的距离或距离的平方．(2)其他具有几何意义的概念都可以利用相关的几何图形直观进行分析判断，例如：①向量的问题，可以考虑用向量的图形大小与方向及向量运算的几何意义构造图形直观解题；②复数与复平面内的点的一一对应关系，可以把复数的有关运算转化为图形．【例5】 (1)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2≤4，x ≥0，①求函数z ＝y ＋3x ＋1的值域； ②求w ＝x ＋2＋y ＋2的最值．(2)用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】 (1)①由解析几何知识可知，所给的不等式组表示圆x 2＋y 2＝4的右半圆域(含边界)，z ＝y ＋3x ＋1可改写为y ＋3＝z (x ＋1)，把z 看作参数，则此方程表示过定点P (－1，－3)，斜率为z 的直线系．所求问题的几何意义是：求过半圆域x 2＋y 2≤4(x ≥0)内或边界上任一点与点P (－1，－3)的直线斜率的最大、最小值．由图显见，过点P 和点A (0,2)的直线斜率最大，z max ＝2－－0－－＝5.过点P 向半圆作切线，切线的斜率最小．设切点为B (a ，b )，则过B 点的切线方程为ax ＋by ＝4.又B 在半圆周上，P 在切线上，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝4，－a －3b ＝4.又a >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2＋365，b ＝－6－65，因此z min ＝26－33.综上可知函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤26－33，5.②所求问题的几何意义是：求半圆域x 2＋y 2≤4(x ≥0)内或边界上任一点到P (－1，－3)的距离的最大值与最小值，由数形结合可知w max ＝|PO |＋r ＝10＋2，w min ＝|PC |＝12＋－2＋2＝2，即最大值为10＋2，最小值为 2.(2)f (x )＝min{2x，x ＋2,10－x }(x ≥0)的图象如图．令x ＋2＝10－x ，解得x ＝4.当x ＝4时，f (x )取最大值，f (4)＝4＋2＝6.故选C.【答案】 C4．运用数形结合思想解决解析几何中的问题在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的．例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化．【例6】已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，求四边形PACB 面积的最小值．【解】根据题意，画出图形如下图，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或向右下方无穷远处运动时，Rt △PAC 的面积S Rt △PAC ＝12|PA |·|AC |＝12|PA |越来越大，从而S 四边形PACB 也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S 四边形PACB 变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP 垂直于直线3x ＋4y ＋8＝0时，S 四边形PACB 应有唯一的最小值，此时|PC |＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，从而|PA |＝|PC |2－|AC |2＝2 2.∴(S 四边形PACB )min ＝2×12×|PA |×|AC |＝2 2.。

2015高考数学(新课标)大二轮复习配套课件：专题2 再谈数形结合的应用

A.3
B.2 C.1 D.0
解析画出两个函数f(x)，g(x)的图象，
由图知f(x)，g(x)的图象的交点个数为2.
第二十页，编辑于星期五：十五点十二分。
精题狂练
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2.若f(x)是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，又f(－3)＝0，则x·f(x)<0的解集是( B) A.{x|－3<x<0或x>3} B.{x|x<－3或0<x<3} C.{x|x<－3或x>3} D.{x|－3<x<0或0<x<3}
)
A.5
B.6 C.7 D.8
破题切入点
把方程根的问题转化为两个函数y＝sin
πx和y＝
x 的图象的 4
交点问题，借助图象观察函数有几个交点，方程的根的个数
也就明确了.熟练掌握函数图象，并准确作图是应用数形结合
思想解决问题的关键.
第六页，编辑于星期五：十五点十二分。
题型一数形结合在方程根的个数中的应用
解从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x＋ 4y＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，
第十六页，编辑于星期五：十五点十二分。
题型四数形结合在解析几何中的应用
直角三角形 PAC 的面积 SRt△PAC＝12|PA|·|AC|＝12|PA|越来
越大，
从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，
解析画出可行域如图，
所求的x2＋y2－6x＋9＝(x－3)2＋y2是点Q(3,0)
到可行域上的点的距离的平方，
第二十四页，编辑于星期五：十五点十二分。

高三数学二轮复习第二篇数学思想2.2数形结合思想课件理新人教版

第二十九页，共29页。
由图知，两函数图象(tú xiànɡ)有2个交点，所以函数f(x)有2个零点.
第五页，共29页。
【规律方法】利用数形结合探究方程解的问题的关注点 (1)讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数, 使问题转化为讨论两曲线的交点(jiāodiǎn)问题,但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性,否则会得到错解.
第十八页，共29页。
2.若实数x,y满足等式(děngshì)x2+y2=1,y那么
x2
(
的最大值为 )
A. 1 B. 3 C. 3 D. 3
2
3
2
第十九页，共29页。
【解析(jiě xī)】选B.设y k= ,如图所示,
x2
kPB=tan∠OPB=1 ＝ 3k，PA=-tan∠OPA=- 3 ,
3
同的交点,
所以函数f(x)=
ln
x,
x
［与1,y3=］,ax在区间
三个不同的交点,2ln
x,
x
[1 3
,1)，
内有[ 1，3]
3
第九页，共29页。
作函数f(x)= 图象如图,
ln
x, x与［y1=,3a］x, 在区间(qū
jiān)
2ln
x,
x
[
1 3
,1)，
[ 1内，3]的 3
第十页，共29页。
第二十二页，共29页。
作出满足上述不等式组对应的点(a,b)所在的平面区域, 得到△ABC及其内部,即如图所示的阴影(yīnyǐng)部分(不含边界).
第二十三页，共29页。
其中A(-3,1),B(-2,0),C(-1,0),

2015届高考理科数学二轮复习专题课件 1-2 第2讲数形结合思想

A．(－6,0]
B．(－6,6)
专训
热
C．(4，＋∞)
点
盘
点
[答案] B
D．(－4,4)
[二轮备考讲义] 第一部分第2讲
第26页
第二十六页，编辑于星期五：十点二十四分。
名师伴你行 ·高考二轮复习 ·数学（理）
[解析] 如图：
思想方法
提
能
专
由题知，若f(x)＝4x与g(x)＝x3＋t的交点位于y＝x两侧，
想
方法
0，且不等式f(x)>－xf′(x)在(0，＋∞)上恒成立，则函数g(x)＝
提
xf(x)＋lg|x＋1|的零点的个数为( )
能专
训
A．4 B．3 C．2 D．1
热
点
盘点
[答案] B
[二轮备考讲义] 第一部分第2讲
第18页
第十八页，编辑于星期五：十点二十四分。
名师伴你行 ·高考二轮复习 ·数学（理）
避免繁琐的运算，获得简捷的解答．
[二轮备考讲义] 第一部分第2讲
第24页
第二十四页，编辑于星期五：十点二十四分。
名师伴你行 ·高考二轮复习 ·数学（理）
(2)函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常
思联系函数图象的对称性；最值(值域)经常联系函数图象的最高
想
方法
点、最低点的纵坐标．
提
(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同
能专
训
一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解
热点
的个数．
盘
点
[二轮备考讲义] 第一部分第2讲
第17页

2015届高考数学二轮复习专题讲解课件第二讲数形结合思想

若存在实数 a、b、c、d，满足 f(a)
＝f(b)＝f(c)＝f(d)，其中 d>c>b>a>0，则 abcd 的取值范围是
________．
高考专题辅导与测试·数学
第十二页，编辑于星期五：十点三分。
思维流程：
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解析：
(1)在同一坐标系中，分别作出 y＝log2(－x)，y＝x＋1 的图象，由图可知，x 的取值范围是(－1,0)．
高考专题辅导与测试·数学
第十一页，编辑于星期五：十点三分。
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角度二
利用数形结合解不等式或求参数
[例 2] (1)使 log2(－x)<x＋1 成立的 x 的取值范围是 ________．
(2)(2014· 南京模拟 ) 已知函数 f(x) ＝
|log3 x|，0<x<3， 13x2－130x＋8，x≥3，
高考专题辅导与测试·数学
第十六页，编辑于星期五：十点三分。
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2．若不等式|x－2a|≥12x＋a－1 对 x∈R 恒成立，则 a 的取值范围是________．
解析：作出 y＝|x－2a|和 y＝12x＋a－1 的简图，依题意知应有 2a≤2－2a，故 a≤12.
答案：－∞，12
(2)数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数形之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性
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第二页，编辑于星期五：十点三分。
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2015高考数学(文)二轮专题复习课件：专题八_第二讲 数形结合思想

高考数学二轮复习讲义 数形结合

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