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培优平行线的判定与性质

课题：相交线、垂线、三线八角一、邻补角与对顶角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：注意点：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。

⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。

二、垂线⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

符号语言记作：如图所示：AB ⊥CD ，垂足为O ⑵垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

简称：垂线段最短。

三、垂线的画法：⑴过直线上一点画已知直线的垂线；⑵过直线外一点画已知直线的垂线。

注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。

四、点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

如图，PO ⊥AB ，同P 到直线AB 的距离是PO 的长。

PO 是垂线段。

PO 是点P 到直线AB 所有线段中最短的一条。

现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。

五、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念 ⑴垂线与垂线段区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度。

联系：具有垂直于已知直线的共同特征。

(垂直的性质) ⑵两点间距离与点到直线的距离区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间。

联系：都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离。

平行线的性质和判定培优讲义

平行线的性质和判定培优讲义Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT平行线的性质与判定培优讲义教师寄语：. 努力向上吧，星星就躲藏在你的灵魂深处；做一个悠远的梦吧，每个梦想都会超越你的目标。

——佚名【知识精要】:1.平面上两条不重合的直线，位置关系只有两种：相交和平行。

2.两条不同的直线，若它们只有一个公共点，就说它们相交。

即，两条直线相交有且只有一个交点。

3.垂直是相交的特殊情况。

有关两直线垂直，有两个重要的结论：（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2）直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。

4．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线______.推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么_____________________. 5．平行线的判定：⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：_______________________.⑵两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：___________________________.⑶两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：_______________________.6．在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线_______ .7．平行线的性质：⑴两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.⑵两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：__________⑶两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：__________________。

.【例题精析】:例1．如图(1)，直线a与b平行，∠1＝(3x+70)°,∠2=(5x+22)°,例2．已知：如图(2)， AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D=192°，∠B-∠D=24°，求∠GEF的度数。

平行线的判定和性质讲义

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．角是平面几何图形中最活跃的元素，前面我们已学习过特殊角、数量关系角等角的知识．当两条直线相交或分别与第三条直线相交，就产生对顶角、同位角、内错角、同旁内角等位置关系角，进一步丰富了角的知识，它们在角的计算与证明中有广泛的应用．与平行线相关的问题一般都是平行线的判定与性质的综合运用，主要体现在如下两个方面：1．由角定角已知角的关系→（判定）两直线平行→（性质）确定其他角的关系．2．由线定线已知两直线平行→（性质）角的关系行→（判定）确定其他两直线平行．.平行线判定方法：（1）同位角相等，两直线平行。

.（2）内错角相等，两直线平行。

（3）同旁内角互补，两直线平行。

（4）垂直于同一直线的两直线平行（5）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。

平行线的性质：（1）两直线平行，同位角相等。

（2）两直线平行，内错角相等。

（3）两直线平行，同旁内角互补。

【基础训练】1.下列命题正确的有 (填序号 )（1）两条直线被第三条直线所截，一定有同位角，所以这两条直线一定平行.（2）两直线不平行，同旁内角不互补.（3）如图，若1l ∥2l ，则∠1+∠2=180°.（4）如图，AD ∥BC ，则∠B +∠C =180°.（5）平行线的同位角的平分线互相平行.2.下列说法正确的是( )A .经过一点有一条直线与已知直线平行B .经过一点有无数条直线与已知直线平行C .经过一点有且只有一条直线与已知直线平行D .经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行3.下列说法正确的有( )①不相交的两条直线是平行线;②在同一平面内,两条直线的位置关系有两种; ③若线段AB 与CD 没有交点,则AB ∥CD ;④若a ∥b ,b ∥c ,则a 与c 不相交.⑤两条射线或线段互相垂直是指它们所在的直线互相垂直.A .1个B .2个C .3个D .4个N FE D C B A N M A CD B EB DC A 4.已知：如图，∠BAE +∠AED =180°，∠1=∠2.求证：∠M =∠N .证明：∵∠BAE +∠AED =180°( )，∴ ∥ ( ).∴∠BAE = .又∵∠1=∠2(已知 )，∴∠BAE -∠1= - ( ).即∠MAE = .∴ ∥ ( ).∴∠M =∠N ( ).5如图，一张长方形纸条ABCD 沿MN 折叠后形成的图形，∠DMN =80°，求∠BNC 的度数.6.已知:如图AB //CD ,BCD DAB ∠=∠,AE 、BE 分别平分DAB ∠、ABC ∠.请求出E ∠的度数.7.如下图，已知AD ⊥BC ，NE ⊥BC ，∠E ＝∠EFA ，求证：AD 平分∠BAC .8.如图，已知︒=∠+∠18021， B ∠=∠3.试判断AED ∠与C ∠的关系,并予以说明.G EB D 321FCA9.如图，︒=∠25B ,︒=∠45BCD ,︒=∠30CDE ,︒=∠10E .求证： AB ∥EF .【例1】如图，AB ∥CD ，AC ⊥BC ，图中与∠CAB互余的角有个． (安徽省中考题)思路点拨充分运用对顶角、平行线性质等与角相关的知识，借助互余的概念判断．注：平面几何的研究除了运用计算方法外，更多的要依靠时图形的观察(直觉能力)，运用演绎推理的方法去完成，往往需要通过观察、实验操作进而猜想蛄论(性质)，或由预设结论去猜想条件，再运用演绎推理方法加以证明．在学习完相交线、平行线内容后，平面几何的学习就由实验几何阶段进入论证几何阶段，顺利跨越推理论证阶段，需注意以下几点：(1)过好语言关；(2)学会识图；(3)善于分析．【例2】如图，平行直线AB 、CD 与相交直线EF 、GH 相交，图中的同旁内角共有( ) ．A ．4对B ．8对C ．12对D ．16对( “希望杯”邀请赛试题)思路点拨每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角，从对原图形进行分解人手．【例3】如图，已知∠B ＝25°，∠BCD ＝45°，∠CDE=30°，∠E ＝10°求征：AB ∥EF ．思路点拨解本例的困难在于图形中没有“三线八角”，考虑创造条件，在图中添置“三线八角”或作出与AB 或CD 平行的直线．【例4】如图，在ΔABC 中，CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，AC ∥ED ，CE 是∠ACB 的平分线．求证：∠EDF ＝∠BDF ．(天津市竞赛题)EC DF A MN思路点拨综合运用角平分线、垂直的定义、平行线的判定与性质等知识，因图形复杂，故需恰当分解图形．【例5】探究：(1)如图a，若AB∥CD，则∠B+∠D＝∠E，你能说明为什么吗?(2)反之，若∠B+∠D＝∠E，直线AB与CD有什么位置关系?请证明；(3)若将点E移至图b所示位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系?请证明；(4)若将E点移至图c所示位置，情况又如何?(5)在图d中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系?(6)在图e中，若AB∥CD，又得到什么结论?思路点拨已知AB∥CD，连结AB、CD的折线内折或外折，或改变E点位置、或增加折线的条数，通过适当地改变其中的一个条件，就能得出新的结论，给我们创造性的思考留下了极大的空间，解题的关键是过E点作AB(或CD)的平行线，把复杂的图形化归为基本图形．注：分析主要从以下两个方面进行：(1)由因导果(综合法)，即从已知条件出发推出相应结论．(2)执果溯因(分析法)，即要得到结论需具备什么条件．解题时，我们既要抓住条件，又要盯住目标，努力促使已知与来知的转化与沟通．探索性问题一般具有以下特点：(1)给出了条件，但没有明确的结论；(2)给出了结论，但没有给出或没有全部给出应具备的条件，(3)先提出特殊情况进行研究，再要求归纳、猜测和确定一般结论；(4)先对某一给定条件和结论的问题进行研究，再探讨改变条件时其结论相应发生的变化，或改变结论时其条件相应发生的变化；(5)解题方法需要独立创新．“解题千万道，解后抛九霄”是难以达到提高解题能力，发展思维的目的的．善于作解题后小结，回顾解题过程，总结解题经验和体会，再进而作一题多解，一题多问，一题多变的思考，挖掘题目的深度和广度，扩大题目的辐射面，这对解题能力的提高是十分有益的．学力训练1．如图，已知AE∥CD，EF交AB于M，MN⊥EF于M，NN交CD于N，若∠BME=110°，则∠MND= ．(湖北成宁市中者题)2．如图，若直线a，b分别与直线c，d相交，且∠1+∠3=90°，∠2一∠3=90°，∠4=115°，那么∠3= ．3．如图，已知AB∥CD，∠1=100°，∠2=120°，则∠α= ．(内蒙古中考题)4．已知两个角的两边分别平行，其中一个角为40°，那么另一角是度．5．如图，下列条件中，不能判断直线l1∥l2的是( )．A．∠l=∠3 B．∠2=∠3 C．∠4=∠5 D．∠2+∠4=180°(南通市中考题)6．．已知线段AB的长为10cm，点A、B到直线L的距离分别为6cm和4cm，符合条件l 的条数为( )．A．1 B．2 C．3 D．4(安徽省中考题)7．如图，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：(1)∠l=∠2；(2)∠3＝∠6；(3)∠4+∠7＝180°；(4)∠5+∠8＝180°，其中能判断a∥b的是( )．A．(1)、(3) B．(2)、(4) C．(1)、(3)、(4) D．(1)、(2)、(3)、(4)(江苏盐城市中考题)8．如图，AB∥EF∥DC，EG∥DB，则图中与∠1相等的角(∠1除外)共有( )．A．6个D．5个C．4个D．3个(湖北省荆门市中考题)9．如图，已知∠l+∠2＝180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并对结论进行证明．10．如图，已知∠1十∠2=180°，∠A＝∠C，AD平分∠BDF．求证：BC平分∠DBE．15．如图，D、G是ΔABC中AB边上的任意两点，DE∥BC，GH∥DC，则图中相等的角共有( )．A，4对B．5对 C ．6对D．7对16．如图，若AB∥CD，则( )．A．∠1＝∠2+∠3 B．∠1＝∠3一∠2C．∠1+∠2+∠3＝180°∠l一∠2十∠3＝180°17．如图，AB∥CD∥EF，EH⊥CD于H，则∠BAC+∠ACE+∠CEH等于( )．A．180°B．270°C．360°D．450°18．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是( )．A．β=α+γB．α+β+γ＝180°C．α+β－γ＝180°D．β+γ－α＝180°19．如图，已知AB∥CD，P为HD上任意一点，过P点的直线交HF于O点，试问：∠HOP、∠AGF、∠HPO有怎样的关系?用式子表示并证明．20．如图，已知AB∥CD，α=∠A+∠E，β=∠B+∠C+∠D，证明：β=2α．22．如图，已知射线CB∥OA，∠C＝∠OAB=100°，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．(1)求∠EOB的度数．(2)若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化?若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值．(3)在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA?若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．。

平行线的性质与判定

判定方法：如果两条直线被第三条直线所截，且同位角相等，则这两条直线
平行
证明：根据同位角的性质，如果同位角相等，则两条
直线平行
应用：在几何证明和实际问题中，常常需要利用同位角相等来判断两
条直线是否平行
注意事项：同位角相等是判定两条直线平行的充分
条件，但不是必要条件
内错角相等则两直线平行
判定方法：内错角相等，则两直线平行
平行线的性质与判定
汇报人：XX
目录
Contents
01 添加目录项标题 02 平行线的性质 03 平行线的判定 04 平行线的应用
01
添加章节标题
02
平行线的性质
平行线的同位角相等
定义：同位角相等，两直线平行
性质：同位角相等，两直线平行
判定：两直线平行，同位角相等
证明过程：利用同位角性质，证明两直线
平行
应用举例：在几何问题中，常用来判断两
条直线是否平行
注意事项：内错角相等是判定两直线平行的充分条
证明过程：利用同旁内角的性质，通过角度计算证明两直线平行
应用场景：在几何证明题中，常用于证明两条直线平行
判定方法：同旁内角互补，则两直线平行
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平行线在日常生活中的应用
建筑学：在建筑设计时，利用平行线的性质确定建筑物的位置和方向，保证
建筑物的稳定性。
交通工具：汽车、火车等交通工具的轨道线都是平行的，这样可以保证车辆
安全、稳定地行驶。
电子设备：电视、电脑等显示器的屏幕线都是平行的，这样可以保证图像的

平行线的性质和判定方法

平行线的性质和判定方法在几何学中，平行线是指在同一平面中不相交且永不相交的两条直线。

平行线的研究是几何学的基础之一，它具有一系列独特的性质和判定方法。

本文将重点介绍平行线的性质和判定方法，帮助读者更好地理解和应用平行线的概念。

一、平行线的性质1. 等倾性：如果一条直线与一对平行线相交，那么它把这对平行线分成两个等倾的交错三角形。

2. 备注角性质：当两条平行线被一条截线相交时，对于截线与平行线所夹角的任一对应角，它们的对应角相等，即对应角相等是平行线的必要且充分条件。

3. 内错角性质：当两条平行线被一条截线相交时，对于截线与平行线所夹角的内错角，它们的内错角之和为180°。

4. 外错角性质：当两条平行线被一条截线相交时，对于截线与平行线所夹角的外错角，它们的外错角之和也为180°。

5. 直角性质：如果一条直线与两条平行线相交，那么它与这两条平行线所形成的内错角相等，也与这两条平行线所形成的外错角相等。

以上是平行线的一些典型性质，它们对于解决几何学中的相关问题具有重要的作用，需要熟练掌握。

二、平行线的判定方法1. 通过角度判定：如果两条直线的夹角等于180°，则它们是平行线。

这是最简单且直观的判断方法，适用于已知夹角度数的情况。

2. 通过斜率判定：两条直线平行的概念也可以通过斜率来判定。

如果两条直线的斜率相等且截距不同，那么它们是平行线。

3. 通过向量判定：设直线L1的一个向量为a，直线L2的一个向量为b，如果向量a与向量b共线，则直线L1与直线L2是平行线。

4. 通过等距判定：如果两条直线上的任意两点之间的距离相等，则这两条直线是平行线。

这种判定方法适用于已知直线上的坐标点的情况。

需要注意的是，以上的判定方法有时并不是充分条件，例如斜率相等只能说明两条直线可能平行，还需要结合其它条件来综合判断是否为平行线。

综上所述，平行线具有一系列独特的性质和判定方法，适用于解决不同类型的几何问题。

平行线的判定和性质

a bc 12武汉龙文教育学科辅导教案学生教师学科时间星期时间段【知识点复习讲解】一、平行线的判定公理:同位角相等,两直线平行.∵∠1=∠2, ∴a∥b.判定定理1:内错角相等,两直线平行.∵∠1=∠2, ∴a∥b.判定定理2:同旁内角互补,两直线平行.∵∠1+∠2=180 , ∴a∥b.二、平行线的性质公理:两直线平行,同位角相等.∵a∥b, ∴∠1=∠2.性质定理1:两直线平行,内错角相等.∵a∥b, ∴∠1=∠2.性质定理2:两直线平行,同旁内角互补.∵a∥b, ∴∠1+∠2=1800a bc21 abc12一、平行线的判定例1．如图１，若∠A=∠3，则 ∥ ；若∠2=∠E ，则 ∥ ；若∠ +∠ = 180°，则 ∥ ．练习：1.若a⊥c，b⊥c，则a b ．2．如图２，写出一个能判定直线l 1∥l 2的条件：．3.如图３，若∠1 +∠2 = 180°，则 ∥ 。

4．在四边形ABCD 中，∠A +∠B = 180°，则 ∥ （）．5．如图４，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中，同位角有；内错角有；同旁内角有．A CB 4 1 2 3 5 图４ a b c d 1 2 3 图３ A BC ED 1 2 3 图１图２ 4 3 2 1 5 a b例2．如图５，填空并在括号中填理由：（1）由∠ABD =∠CDB 得 ∥ （）；（2）由∠CAD =∠ACB 得 ∥ （）；（3）由∠CBA +∠BAD = 180°得 ∥ （）练习：1．如图６，尽可能多地写出直线l 1∥l 2的条件：．2．如图７，尽可能地写出能判定AB∥CD 的条件来：． 3．如图８，推理填空：（1）∵∠A =∠ （已知）， ∴AC∥ED（）；（2）∵∠2 =∠ （已知）， ∴AC∥ED（）；（3）∵∠A +∠ = 180°（已知）， ∴AB∥FD（）；（4）∵∠2 +∠ = 180°（已知）， ∴AC∥ED（）；例3.如图９，∠D =∠A，∠B =∠FCB，求证：ED∥CF．练习：1.如图10，∠1∶∠2∶∠3 = 2∶3∶4， ∠AFE = 60°，∠BDE =120°，写出图中平行的直线，并说明理由．2．如图11，直线AB 、CD 被EF 所截，∠1 =∠2，∠CNF =∠BME。

补习稿4(平行线的判定及性质)

8765c b a3412平行线的判定1、平行线的判定方法1：同位角相等，两直线平行应用格式： ∵∠1＝∠2（已知） ∴AB ∥CD （同位角相等，两直线平行）2、平行线的判定方法2：内错角相等，两直线平行应用格式： ∵∠1＝∠AGE （已知）∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）3、平行线的判定方法3：同旁内角互补，两直线平行应用格式： ∵∠1+∠BGE=180°（已知）∴AB ∥CD （同旁内角互补，两直线平行）4、直线平行的条件：（1）同位角相等，两直线平行（2）内错角相等，两直线平行（3）同旁内角互补，两直线平行（4）平行于同一条直线的两直线互相平行（5）垂直于同一条直线的两直线互相平行 ……..5、平行线的性质1：两直线平行，同位角相等应用格式： ∵AB ∥CD （已知）∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等） 6、平行线的性质2：两直线平行，内错角相等应用格式： ∵AB ∥CD （已知）∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等） 7、平行线的性质3：两直线平行，同旁内角互补应用格式： ∵AB ∥CD （已知）∴∠1+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）练习1.如图1所示,下列条件中,能判断AB ∥CD 的是( )A 、∠BAD=∠BCDB 、∠1=∠2C 、∠3=∠4D 、∠BAC=∠ACD34DCBA21FE D CBA 876543219654321DCB A(1) (2) (3) （4） 2.如图2所示,如果∠D=∠EFC,那么( )A 、AD ∥BCB 、EF ∥BC C 、AB ∥DCD 、AD ∥EF 3.下列说法错误的是( )A.同位角不一定相等B.内错角都相等C.同旁内角可能相等D.同旁内角互补,两直线平行4.如图3,如果∠3=∠7,或 __,那么______,理由是_____ ________;如果∠5=∠3,或 _____,那么________, 理由是____ __________; 如果∠2+ ∠5= ____ 或者 ___,那么a ∥b,理由是_____ _____.5.如图4,若∠2=∠6,则______∥_______,如果∠3+∠4+∠5+∠6=180°, 那么____∥_______,如果∠9=_____,那么AD ∥BC;如果∠9=_____,那么AB ∥CD. 6.(2000.江苏)如图5,直线a,b 被直线c 所截,现给出下列四个条件: ①∠1=∠5;②∠1=∠7;③∠2+∠3=180°;④∠4=∠7.其中能说明a ∥b 的条件序号为( ) A.①② B.①③ C.①④ D.③④7.在同一平面内,若直线a,b,c 满足a ⊥b,a ⊥c,则b 与c 的位置关系是______.8.如图所示,BE 是AB 的延长线,量得∠CBE=∠A=∠C. (1)由∠CBE=∠A 可以判断______∥______,根据是_________.(2)由∠ CBE=∠ C 可以判断______∥______,根据是_________.9.已知直线a 、b 被直线c 所截,且∠1+∠2=180°,试判断直线a 、b 的位置关系,并说明理由.10.如图，已知DGN AEM ∠=∠，21∠=∠，试问EF 是否平行GH ，并说明理由。

教案平行线的性质与判定

经典教案平行线的性质与判定一、教学目标1. 让学生理解平行线的概念，掌握平行线的性质和判定方法。

2. 培养学生运用平行线的性质和判定方法解决实际问题的能力。

3. 提高学生对几何图形的认识和空间想象力。

二、教学内容1. 平行线的概念及特征2. 平行线的性质3. 平行线的判定方法4. 平行线在实际问题中的应用5. 练习与拓展三、教学重点与难点1. 教学重点：平行线的性质和判定方法，以及其在实际问题中的应用。

2. 教学难点：平行线的判定方法，以及如何在实际问题中灵活运用平行线的性质。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究平行线的性质和判定方法。

2. 利用几何画板软件，直观展示平行线的性质和判定过程。

3. 结合实际例子，让学生学会用平行线的性质和判定方法解决问题。

4. 采用小组讨论法，培养学生的合作意识和团队精神。

五、教学步骤1. 导入新课：通过复习相关知识点，引入平行线的概念。

2. 探究平行线的性质：引导学生利用几何画板软件，自主探究平行线的性质。

3. 讲解平行线的判定方法：引导学生通过观察、分析、归纳，掌握平行线的判定方法。

4. 应用练习：结合实际例子，让学生运用平行线的性质和判定方法解决问题。

5. 课堂小结：回顾本节课所学内容，总结平行线的性质和判定方法。

6. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。

7. 课后反思：对本节课的教学进行总结，查找不足，改进教学方法。

六、教学拓展1. 引导学生思考：平行线在现实生活中有哪些应用？2. 举例说明：平行线在建筑设计、道路规划、印刷排版等方面的应用。

3. 引导学生探讨：如何利用平行线的性质解决实际问题？七、课堂互动1. 提问环节：请学生回答平行线的性质和判定方法。

2. 小组讨论：让学生分组讨论如何运用平行线的性质解决实际问题。

3. 分享环节：每组选一名代表分享讨论成果。

八、课后作业1. 完成练习册相关习题。

2. 结合生活实际，寻找平行线的应用实例，下节课分享。

七年级数学培优-平行线四大模型2

平行线四大模型平行线的判定与性质l、平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．判定方法l：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：假设∠1=∠2，那么AB∥CD〔同位角相等，两直线平行〕；假设∠1=∠3，那么AB∥CD〔内错角相等，两直线平行〕；假设∠1+ ∠4= 180°，那么AB∥CD〔同旁内角互补，两直线平行〕．另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．2、平行线的性质利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补本讲进阶平行线四大模型模型一“铅笔〞模型点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔〞模型结论1：假设AB∥CD，那么∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；结论2：假设∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，那么AB∥CD.模型二“猪蹄〞模型〔M模型〕点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄〞模型结论1：假设AB∥CD，那么∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：假设∠P=∠AEP+∠CFP，那么AB∥CD.模型三“臭脚〞模型点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚〞模型结论1：假设AB∥CD，那么∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：假设∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，那么AB∥CD.模型四“骨折〞模型·点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折〞模型结论1：假设AB∥CD，那么∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；结论2：假设∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，那么AB∥CD.稳固练习平行线四大模型证明（1）AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°.（2）∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．〔3〕AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.（4）∠P= ∠CFP -∠AEP,求证AE //CF.模块一平行线四大模型应用例1（1）如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3= ．(2)如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，那么∠E的度数是．(3)如图，AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，那么∠BCD= .(4) 如图，射线AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，那么∠P= ．练(1)如下图，AB∥CD，∠E=37°，∠C= 20°，那么∠EAB的度数为．(2) 如图，AB∥CD，∠B=30°，∠O=∠C．那么∠C= .例2如图，AB ∥DE ，BF 、 DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、 ∠F 的关系.练如图，AB ∥DE ，∠FBC =n 1∠ABF ，∠FDC =n1∠FDE . (1)假设n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系； (2)假设n =3，试探宄∠C 、∠F 的关系；(3)直接写出∠C 、∠F 的关系〔用含n 的等式表示〕.例3如图，AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ．求证：∠E = 2 (∠A +∠C ) .练如图，己知AB ∥DE ，BF 、DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、∠F 的关系.例4如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D= 180°．练〔武昌七校2021 -2021 七下期中〕如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F那么∠F的度数为〔〕．A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°模块二平行线四大模型构造例5如图，直线AB∥CD，∠EF A= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，那么∠GHM= .练如图，直线AB∥CD，∠EFG =100°，∠FGH =140°，那么∠AEF+ ∠CHG= .例6 ∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．练AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.(1)如图(l)，MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n，∠B1、∠B2…∠B n-1之间的关系．(2)如图(2)，己知MA1∥NA4，探索∠A1、∠A2、∠A3、∠A4，∠B1、∠B2之间的关系．(3)如图(3)，MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n之间的关系．如下图，两直线AB∥CD平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．。

平行线的性质与判定

平行线的性质与判定平行线是几何学中重要的概念之一，在实际生活和数学推理中都有广泛应用。

理解平行线的性质和判定方法对于几何学的学习和问题解决都具有重要意义。

本文将介绍平行线的性质以及常用的判定方法，帮助读者深入了解这一概念。

一、平行线的性质平行线是指在同一个平面上从未相交的两条直线。

根据平行线的性质，我们可以得出以下几点规律：1. 平行线的斜率相等斜率是直线的一个重要特征，决定了直线的倾斜程度。

对于两条平行线来说，它们的斜率是相等的。

这也是判定两条直线平行的常用方法之一，即根据它们的斜率进行比较。

2. 平行线的内角和相等当一条直线与两条平行线相交时，由这两条平行线与交线所夹的内角和是相等的。

这个性质被广泛应用于三角形的内角和问题以及平行四边形的性质推导中。

3. 平行线的对应角相等当两条平行线被一条直线截断时，所形成的对应角是相等的。

这一性质常用于解决平行线与交叉线的问题，例如用于证明两个三角形相似的场景中。

二、平行线的判定方法在几何学中，我们经常需要根据给定条件判断两条直线是否平行。

以下是常用的平行线判定方法：1. 直线斜率判定法通过计算两条直线的斜率，如果它们的斜率相等，那么这两条直线是平行的。

这是一种简便快捷的判定方法。

例如，对于直线y = 2x + 3和直线y = 2x + 6来说，它们的斜率都为2，因此这两条直线是平行的。

2. 等夹法如果两条直线与一条直线相交，并且形成对应角相等，那么这两条直线是平行的。

这需要通过观察和证明来得到结论，常用于解决平行四边形和三角形的性质问题。

3. 平行线定理平行线定理是一种基于三角形内角和的判定方法。

当一条直线与两条平行线相交时，这两条平行线所夹的内角分别与另外两条直线的对应角相等。

三、应用举例平行线的性质和判定方法在几何学问题中有着广泛应用。

以下是一些例子，展示了平行线在实际场景中的使用：1. 城市规划在城市规划中，经常需要将街道设置为平行线。

通过确保街道之间的直线保持平行关系，可以提高交通的效率和规划的美观性。

平行线的判定与性质(含答案)-

22.平行线的判定与性质知识纵横在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线(parallel lines).角是平面几何图形中最活跃的元素,前面我们已学习过特殊角、•数量关系角等角的知识。

当两条直线相交或分别与第三条直线相交，就产生对顶角、同位角、内错角、同旁内角等位置关系角，进一步丰富了角的知识，它们在角的计算与证明中有广泛的应用。

与平行线相关的问题一般都是平行线的判定与性质的综合运用，主要体现在如下两个方面：1.由角定角已知角的关系−−−→判定两直线平行−−−→性质确定其他角的关系.2.由线定线已知两直线平行−−−→性质角的关系−−−→判定确定其他两直线平行.例题求解【例1】如图,AB ∥CD,AC ⊥BC,图中与∠CAB 互余的角有_______个.(2003年安徽省中考题)思路点拨充分运用对顶角、平行线性质等与角相关的知识，借助互余的概念判断。

解：3个提示:分别为∠BCD,∠ABC,∠EBF. 【例2】如图,平行直线AB 、CD 与相交直线EF 、GH 相交,图中的同旁内角共有( • ).A.4对B.8对C.12对D.16对 (第11届“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角，从对原图形进行分解入手。

解：选D 提示:原图形可分解出如下8个基本图形.BFDG E C AB FHD GECA【例3】如图,已知∠B=25°,∠BCD=45°,∠CDE=30°,∠E=10°,求证:AB∥EF思路点拨解本例的困难在于图形中没有“三线八角”，考虑创造条件，在图中添置“三线八角”或作出与AB或CD平行的直线。

解：过C点作CG∥AB,过点D作DH∥AB,可证得∠HDE=10°=∠DEF,故HD∥EF,•又HD∥AB,所以AB∥EF.【例4】如图,在△ABC中,CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,AC∥ED,CE是∠ACB的平分线.•求证:∠EDF=∠BDF.思路点拨综合运用角平分线、垂直(vertical)的定义、平行线的判定与性质等知识,因图形复杂,故需恰当分解图形.解:提示:由DF∥CE得,∠BDF=∠BCE,∠FDE=∠DEC,由AC∥DE得,∠DEC=∠ECA【例5】探究:(1)如图a,若AB∥CD,则∠B+∠D=∠E,你能说明为什么吗?(2)反之,若∠B+∠D=∠E,直线AB与CD有什么位置关系?请证明;(3)若将点E移至图b所示位置,此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系?请证明;(4)若将E点移至图c所示位置,情况又如何?(5)在图d中,AB∥CD,∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系?(6)在图e中,若AB∥CD,又得到什么结论?B F DE CAB FDECAB (a)DE CA B (b)DEC A(c)B D EC A B (d)F DG E C A F 2E nE 2F n-1F 1B(e)DE 1CA思路点拨:已知AB ∥CD,连结AB 、CD 的折线内折或外折；或改变E 点位置、•或增加折线的条数，通过适当地改变其中的一个条件，就能得出新的结论，给我们创造性的思考留下了极大的空间。

（完整版）平行线的判定与性质（培优提高）

（完整版）平⾏线的判定与性质（培优提⾼）平⾏线的判定与性质（⼆）（拓展训练）⼀、【基础知识精讲】⼀、与平⾏线相关的问题⼀般都是平⾏线的判定与性质的综合应⽤，主要体现在以下两个⽅⾯：1. 由⾓定⾓已知⾓的关系两直线平⾏确定其它⾓的关系2. 由线定线已知两直线平⾏⾓的关系确定其它两直线平⾏⼆、探索⼏何问题的解决⽅法，主要从以下两个⽅⾯去分析：1. 由因导果（综合法）：即——从已知条件出发，推出相应的结论。

2. 执果溯因（分析法）：即——要得到结论需要具备什么条件。

所以：解题时，我们即要抓住条件，⼜要盯住⽬标，努⼒促使已知与未知的转化与沟通。

三、简单的⾯积问题：1. 计算图形⾯积的常⽤⽅法：①和差法②运动法③等积变形法2. 求图形⾯积的常⽤技巧：寻找共⾼或共底的三⾓形。

⼆、【例题精讲】例1 已知O为平⾯上⼀点，过O在这个平⾯上引2005条不同的直线l1、l2、l3、…l2005，则可形成对以O为顶点的对顶⾓。

（⼭东省竞赛题）变式训练：1.若平⾯上4条直线两两相交，且⽆三线共点，则⼀共有对同旁内⾓。

（第17届江苏省竞赛题）2. 在同⼀平⾯内有2002条直线a1、a2、…a2002，如果a1⊥a2, a2∥a3、a3⊥a4、a4∥a5，…，那么a1与a2002的位置关系是。

例2 如图，某⼈从A点出发，每前进10⽶，就向右转18°，再前进10⽶，⼜向右转18°，这样下去，他第⼀次回到A A1A218o18o出发地A 点时，⼀共⾛了________⽶．变式训练：1. 如图，⼀条公路修到湖边时，需拐弯绕湖⽽过，如果第⼀次拐的⾓∠A 是120°，第⼆次拐的⾓∠B 是150°，第三次拐的⾓是∠C ，这时恰好和第⼀次拐弯之前的道路平⾏，则∠C = ．2．⼀学员在⼴场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，⾏驶的⽅向与原来的⽅向相同，这两次拐弯的⾓度可能是（）．（A ）第⼀次向左拐30°，第⼆次向右拐30° （B ）第⼀次向右拐50°，第⼆次向左拐130° （C ）第⼀次向右拐50°，第⼆次向右拐130° （D ）第⼀次向左拐50°，第⼆次向左拐130°例3 如图，将纸⽚△ABC 沿DE 折叠，点A 落在点A ′处，已知∠1+∠2=100°，求∠A 的度数．变式训练：1.如图, 已知：∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6. 求证: AD ∥BC.2．如图2—95，已知CD ⊥AB 于D ，EF ⊥AB 于F ，∠DGC=105°，∠BCG=75°，求∠1+∠2的度数．例4 如图，将长⽅形ABCD 纸⽚沿BD 折叠，使点C 落在C '处， BC '交AD 于点E ，若∠DBC =22.5°，则在不添加任何辅助线的ADB C 12 A 'E A BCD E F 2 3 145 6 BEA情况下，图中45°的⾓有（）．（虚线也视为⾓的边）（A ）6个（B ）5个（C ）4个（D ）3个变式训练：如图①，已知长⽅形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF 折叠成图案②，再沿BF 折叠成图案③，则③中的∠CFE 的度数是__________。

平行线的判定及性质

平行线的判定及性质 Prepared on 22 November 2020平行线的判定及性质（一）【知识要点】一.余角和补角:1、如果两个角的和是直角，称这两个角互余. ∵αβ+= 90o ∴αβ与互为余2、如果两个角的和是平角，称这两个角互补. ∵αβ+= 180o ∴αβ与互为补角二.余角和补角的性质: 同角或等角的余角相等同角或等角的补角相等. 三.对顶角的性质: 对角相等.四.“三线八角” ：1、同位角 2、内错角 3、同旁内角五.平行线的判定: 1、同位角相等, 两直线平行.2、内错角相等, 两直线平行.3、同旁内角互补, 两直线平行.4、同平行于一条条直线平行.5、同垂直一条直线的两条直线平行. 六.平行线的性质：1. 两直线平行,同位角相等；2. 两直线平行, 内错角相等；3. 两直线平行, 同旁内角互补.【典型例题】一、余角和补角例1. 如图所示，互余角有_________________________________；互补角有_________________________________；变式训练：1. 一个角的余角比它的的13还少20o ，则这个角为_____________。

2. 如图所示，已知∠AOB 与∠COB 为补角，OD是∠AOB 的角平分线，OE 在∠BOC 内，∠BO=12∠EOC, ∠DOE=72o, 求∠EOC 的度数。

二、“三线八角”例2 （1）如图，哪些是同位角内错角同旁内角（2）如图，下列说法错误的是（）A. ∠1和∠3是同位角B. ∠1∠5是同角C. ∠1和∠2是内角D. ∠5和∠6是内错角（3）如图，⊿ABC 中，DE 分别交B 、A 于D 和E,则图中共有ED CB A O AB C DE F1 2 3 4 567 8 2 3 4 5 6 11 23同位角对，内错角对，同旁内角。

三、平行线的判定例3如右图 ① ∵ ∠1＝∠2∴ _____∥_____，（） ② ∵ ∠2＝_____∴ ____∥____， (同位角相等，两直线平行) ③ ∵∠3＋∠4＝180o∴ ____∥_____，（） ∴ AC ∥FG ，（）变式训练：1.如图, ∵ ∠1=∠B∴ ∥_____，（） ∵ ∠1/∠2∴ _____∥_____， ( ) ∵ ∠B ＋_____＝180o ，∴ AB ∥EF ( )例4. 如图，已知AE 、CE 分别平分∠BAC 和∠ACD, ∠1和∠2互余，求AB ∥CD ,变式训练：如图，已知直线a 、b 、e ，且∠1=∠2，∠3+∠4=180o, 则a ∥c 平行吗五、平行线的性质例5 如图所示，AB ∥EF ，若∠ABE=32°，∠ECD=160°，求 ∠BEC 的度数。

平行线的判定及性质

授课主题平行线教学目的1.理解平行线的概念,掌握平行公理及其推论；2.掌握平行线的判定方法及性质,并能进行简单的推理3.掌握命题的定义,知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分组成,对于给定的命题,能找出它的题设和结论；教学重点平行线的判定及性质教学内容知识梳理要点一、平行线1．定义：在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,如果直线a与b平行,记作a∥b．要点诠释：1平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交,三者缺一不可；2有时说两条射线平行或线段平行,实际是指它们所在的直线平行,两条线段不相交并不意味着它们就平行．3在同一平面内,两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地,重合的直线视为一条直线,不属于上述任何一种位置关系．2．平行公理：经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行．3．推论：如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行．要点诠释：1平行公理特别强调“经过直线外一点”,而非直线上的点,要区别于垂线的第一性质．2公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．3“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.要点二、直线平行的判定判定方法1：同位角相等,两直线平行.如上图,几何语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD同位角相等,两直线平行判定方法2：内错角相等,两直线平行.如上图,几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD内错角相等,两直线平行判定方法3：同旁内角互补,两直线平行.如上图,几何语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD同旁内角互补,两直线平行要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补,得出平行,即由数推形.要点三、平行线的性质性质1：两直线平行,同位角相等；性质2：两直线平行,内错角相等；性质3：两直线平行,同旁内角互补.要点诠释：1“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容,切不可忽视前提“两直线平行”．2从角的关系得到两直线平行,是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系,是平行线的性质．要点四、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线,并且夹在这两条平行线间的线段的长度,叫做这两条平行线的距离．要点诠释：1求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点,向另一条直线作垂线,垂线段的长度就是两条平行线的距离．2两条平行线的位置确定后,它们的距离就是个定值,不随垂线段的位置的改变而改变,即平行线间的距离处处相等．要点五、命题、定理、证明1.命题：判断一件事情的语句,叫做命题．要点诠释：1命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.2命题的表达形式：“如果……,那么…….”,也可写成：“若……,则…….”3真命题与假命题：真命题：题设成立结论一定成立的命题,叫做真命题.假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题,叫做假命题.2.定理：定理是从真命题公理或其他已被证明的定理出发,经过推理证实得到的另一个真命题,定理也可以作为继续推理的依据.3.证明：在很多情况下,一个命题的正确性需要经过推理,才能作出判断,这个推理过程叫做证明.要点诠释：1证明中的每一步推理都要有根据,不能“想当然”,这些根据可以是已知条件,学过的定义、基本事实、定理等.2判断一个命题是正确的,必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题,只需列举一个反例即可．要点六、平移1.定义：在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,图形的这种移动叫做平移．要点诠释：1图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离．2图形的平移不改变图形的形状与大小,只改变图形的位置.2.性质：图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离,平移不改变线段、角的大小,具体来说：1平移后,对应线段平行且相等；2平移后,对应角相等；3平移后,对应点所连线段平行且相等；4平移后,新图形与原图形是一对全等图形.典型例题类型一、平行线例1．下列说法正确的是A．不相交的两条线段是平行线.B．不相交的两条直线是平行线.C．不相交的两条射线是平行线.D．在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.答案D例2．在同一平面内,下列说法：1过两点有且只有一条直线；2两条直线有且只有一个公共点；3过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；4过一点有且只有一条直线与已知直线平行;其中正确的个数为：A．1个B．2个C．3个D．4个答案B解析正确的是：13.变式1下列说法正确的个数是1直线a、b、c、d,如果a∥b、c∥b、c∥d,则a∥d.2两条直线被第三条直线所截,同旁内角的平分线互相垂直.3两条直线被第三条直线所截,同位角相等.4在同一平面内,如果两直线都垂直于同一条直线,那么这两直线平行．A．1个个C．3个D．4个答案B类型二、两直线平行的判定例3.如图,给出下列四个条件：1AC＝BD；2∠DAC＝∠BCA；3∠ABD＝∠CDB；4∠ADB＝∠CBD,其中能使AD∥BC的条件有.A．12B．34C．24D．134答案C变式2一个学员在广场上驾驶汽车,两次拐弯后,行驶的方向与原来的方向相同,这两次拐弯的角度可能是A．第一次向左拐30°,第二次向右拐30°B．第一次向右拐50°,第二次向左拐130°C．第一次向右拐50°,第二次向右拐130°D．第一次向左拐50°,第二次向左拐130°例4.如图所示,已知∠B＝25°,∠BCD＝45°,∠CDE＝30°,∠E＝10°．试说明AB∥EF的理由．解法1：如图所示,在∠BCD的内部作∠BCM＝25°,在∠CDE的内部作∠EDN＝10°．∵∠B＝25°,∠E＝10°已知,∴∠B＝∠BCM,∠E＝∠EDN等量代换．∴AB∥CM,EF∥DN内错角相等,两直线平行．又∵∠BCD＝45°,∠CDE＝30°已知,∴∠DCM＝20°,∠CDN＝20°等式性质．∴∠DCM＝∠CDN等量代换．∴CM∥DN内错角相等,两直线平行．∵AB∥CM,EF∥DN已证,∴AB∥EF平行线的传递性．解法2：如图所示,分别向两方延长线段CD交EF于M点、交AB于N点．∵∠BCD＝45°,∴∠NCB＝135°．∵∠B＝25°,∴∠CNB ＝180°-∠NCB-∠B ＝20°三角形的内角和等于180°．又∵∠CDE ＝30°,∴∠EDM ＝150°．又∵∠E ＝10°,∴∠EMD ＝180°-∠EDM-∠E ＝20°三角形的内角和等于180°．∴∠CNB ＝∠EMD 等量代换．所以AB ∥EF 内错角相等,两直线平行．变式3已知,如图,BE 平分ABD,DE 平分CDB,且1与2互余,试判断直线AB 、CD 的位置关系,请说明理由．解：AB ∥CD,理由如下：∵BE 平分∠ABD,DE 平分∠CDB,∴∠ABD ＝2∠1,∠CDB ＝2∠2．又∵∠1+∠2＝90°,∴∠ABD+∠CDB ＝180°．∴AB ∥CD 同旁内角互补,两直线平行．变式4已知,如图,ABBD 于B,CDBD 于D,1+2=180°,求证：CD 1234//,//l l l l 答案48°,132°,48°变式6如图所示,直线l 1∥l 2,点A 、B 在直线l 2上,点C 、D 在直线l 1上,若△ABC 的面积为S 1,△ABD 的面积为S 2,则A ．S 1＞S 2B ．S 1＝S 2C ．S 1＜S 2D ．不确定答案B 类型四、命题例6．判断下列语句是不是命题,如果是命题,是正确的还是错误的①画直线AB ；②两条直线相交,有几个交点；③若a ∥b,b ∥c,则a ∥c ；④直角都相等；⑤相等的角都是直角；⑥如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角．答案①②不是命题；③④⑤⑥是命题；③④⑥是正确的命题；⑤是错误的命题．变式8把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式．1两直线平行,同位角相等；2对顶角相等；3同角的余角相等.答案解：1如果两直线平行,那么同位角相等.2如果两个角是对顶角,那么这两个角相等.3如果有两个角是同一个角的余角,那么它们相等.类型四、平移例7．湖南益阳如图所示,将△ABC 沿直线AB 向右平移后到达△BDE 的位置,若∠CAB ＝50°,∠ABC ＝100°,则∠CBE 的度数为________．答案30°变式9上海静安区一模如图所示,三角形FDE 经过怎样的平移可以得到三角形ABCA ．沿EC 的方向移动DB 长B ．沿BD 的方向移动BD 长C ．沿EC 的方向移动CD 长D ．沿BD 的方向移动DC 长答案A类型五、平行的性质与判定综合应用例8、如图所示,AB∥EF,那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝A．180°B．270°C．360°D．540°答案C解析过点C作CD∥AB,∵CD∥AB,∴∠BAC+∠ACD=180°两直线平行,同旁内角互补又∵EF∥AB∴EF∥CD．∴∠DCE+∠CEF=180°两直线平行,同旁内角互补又∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE∴∠BAC+∠ACE+∠CEF＝∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°+180°=360°课后作业一、选择题1.下列说法中正确的有①一条直线的平行线只有一条．②过一点与已知直线平行的直线只有一条．③因为a∥b,c∥d,所以a∥d．④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．A．1个B．2个C．3个D．4个2．如果两个角的一边在同一直线上,另一边互相平行,则这两个角A．相等B．互补C．互余D．相等或互补3．如图,能够判定DE∥BC的条件是A．∠DCE+∠DEC＝180°B．∠EDC＝∠DCBC．∠BGF＝∠DCBD．CD⊥AB,GF⊥AB4．一辆汽车在广阔的草原上行驶,两次拐弯后,行驶的方向与原来的方向相同,那么这两次拐弯的角度可能是．A．第一次向右拐40°,第二次向右拐140°．B．第一次向右拐40°,第二次向左拐40°．C．第一次向左拐40°,第二次向右拐140°．D．第一次向右拐140°,第二次向左拐40°．5．如图所示,下列条件中,不能推出AB∥CE成立的条件是A．∠A＝∠ACEB．∠B＝∠ACEC．∠B＝∠ECDD．∠B+∠BCE＝180°6.绍兴学习了平行线后,小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法,她是通过折一张半透明的纸得到的如图,1—4:从图中可知,小敏画平行线的依据有①两直线平行,同位角相等．②两直线平行,内错角相等．③同位角相等,两直线平行．④内错角相等,两直线平行．A.①②B.②③C.③④D.④①二、填空题7.在同一平面内的三条直线,它们的交点个数可能是________．8．如图,DF平分∠CDE,∠CDF＝55°,∠C＝70°,则________∥________．9．规律探究：同一平面内有直线a1,a2,a3…,a100,若a1⊥a2,a2∥a3,a3⊥a4…,按此规律,a1和a100的位置是________．10．已知两个角的两边分别平行,其中一个角为40°,则另一个角的度数是11．直线l同侧有三点A、B、C,如果A、B两点确定的直线l'与B、C两点确定的直线l''都与l平行,则A、B、C 三点,其依据是12.如图,AB⊥EF于点G,CD⊥EF于点H,GP平分∠EGB,HQ平分∠CHF,则图中互相平行的直线有．三、解答题13.如图,∠1＝60°,∠2＝60°,∠3＝100°,要使AB∥EF,∠4应为多少度说明理由．14．小敏有一块小画板如图所示,她想知道它的上下边缘是否平行,而小敏身边只有一个量角器,你能帮助她解决这一问题吗15．如图,把一张长芳形纸条ABCD沿AF折叠,已知∠ADB＝20°,那么∠BAF为多少度时,才能使AB′∥BD16．如图所示,由∠1＝∠2,BD平分∠ABC,可推出哪两条线段平行,写出推理过程,如果推出另两条线段平行,则应将以上两条件之一作如何改变答案与解析一、选择题1.答案A解析只有④正确,其它均错．2.答案D3.答案B解析内错角相等,两直线平行．4.答案B5.答案B解析∠B和∠ACE不是两条直线被第三条直线所截所得到的角．6.答案C解析解决本题关键是理解折叠的过程,图中的虚线与已知的直线垂直,过点P的折痕与虚线垂直．二、填空题7.答案0或1或2或3个；8.答案BC,DE；解析∠CFD＝180°－70°－55°＝55°,而∠FDE＝∠CDF＝55°,所以∠CFD＝∠FDE．9.答案a1∥a100；解析为了方便,我们可以记为a1⊥a2∥a3⊥a4∥a5⊥a6∥a7⊥a8∥a9⊥a10…∥a97⊥a98∥a99⊥a100,因为a1⊥a2∥a3,所以a1⊥a3,而a3⊥a4,所以a1∥a4∥a5．同理得a5∥a8∥a9,a9∥a12∥a13,…,接着这样的规律可以得a1∥a97∥a100,所以a1∥a100．10.答案40°或140°11.答案共线,平行公理；解析此题考查是平行公理,它是论证推理的基础,应熟练应用．12.答案AB∥CD,GP∥HQ；。

平行线的性质和判定培优讲义

平行线的性质和判定培优讲义Revised as of 23 November 2020平行线的性质与判定培优讲义教师寄语：. 努力向上吧，星星就躲藏在你的灵魂深处；做一个悠远的梦吧，每个梦想都会超越你的目标。

——佚名【知识精要】:1.平面上两条不重合的直线，位置关系只有两种：相交和平行。

2.两条不同的直线，若它们只有一个公共点，就说它们相交。

即，两条直线相交有且只有一个交点。

3.垂直是相交的特殊情况。

有关两直线垂直，有两个重要的结论：（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2）直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。

平行线的判定和性质

直线平行条件知识精点通过本节学习，要了解两条直线被第三条直线所截形成同位角、内错角、同旁内角定义，掌握平行线识别方法，理解由角关系得到两条直线平行关系．本节主要概念：1．同位角、内错角、同旁内角概念——两条直线被第三条直线所截，构成八个角，俗称“三线八角”．其中分别在两条直线同一侧，并且在第三条直线同旁一对角叫同位角；在两条直线之间．但分别在第三条直线两旁一对角叫内错角．在两条直线之间，并且在第三条直线同旁一对角，叫同旁内角．2．平行线判定方法：方法1：同位角相等，两直线平行；方法2：内错角相等，两直线平行．方法3：同旁内角互补，两直线平行．重、难、疑点：重点：同位角、内错角、同旁内角定义及平行线判定方法．难点：1．同位角、内错角、同旁内角正确识别； 2．平行线判定方法运用．疑点：1．在不同图形中，识别同位角、内错角、同旁内角容易出现混淆； 2．平行线判定及性质在运用过程中易出现错误．典例精讲例1 根据右图，回答下列问题：（1）由∠C=∠1，可以判断哪两条直线平行？说明理由？（2）由∠1=∠2，可以判断哪两条直线平行？说明理由？（3）由∠D+∠C=180°，可以判断哪两条直线平行？说明理由？举一反三（贵阳市中考题）如图，已知同一平面内直线1l 、2l 、3l ，如果3221,l l l l ⊥⊥，那么1l 及3l 位置关系是（） A ．平行 B ．相交 C ．垂直 D ．以上全不对例2 如图，写出所有能够推得直线AB ∥CD 条件．举一反三如图，直线c 及a 、b 相交，形成∠1、∠2、…、∠8，请你填上适合一个条件：____________，使得a ∥b ．例3 （黄冈市中考题）如图，已知∠1=∠2，问：再添加什么条件可使AB ∥CD ？举一反三如图，已知∠C=100°，若增加一个条件，使得AB ∥CD ，试写出所有符合要求条件．例4 如图，已知点O在直线AB上，OF平分∠BOC，OE平分∠AOC，CF⊥OF于点F，求证：FC∥OE．举一反三如图，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠2，求证：DF∥AE．例5 一个裁缝师傅随意地剪了一块六边形布料，如图所示，经测量他发现∠ABC、∠BCD、∠CDE三角之和等于360°，他然后就说布料两个边AB和ED是平行．你知道为什么吗？举一反三如图，已知∠B+∠E+∠D=360°，求证：AB∥CD．知识网络学法点津1．识别同位角、内错角、同旁内角是本节重点之一，掌握这项技能，首先要牢记“三线八角”基本特征，抓住同位角、内错角、同旁内角特征，找出哪条直线是截线，哪两条直线是被截直线，再得出正确判断．同时，要善于用比较法来理解三种角特征，培养自己在较复杂图形中识别三种角能力．2．在学习平行线三种判定方法时，要结合实际条件，观察图形，通过同学间合作、交流，将方法1、2、3融合贯通，培养自己会根据实际情况灵活选用判定方法能力．强化练习1．具有下列关系两角中，一定有公共顶点是（）．A．互为余角B．同位角C．邻补角D．内错角2．已知a，b，c是同一平面内三条直线，下列说法不正确是（）．A．若a⊥b，b⊥c，则a⊥cB．若a⊥b，b∥c，则a⊥cC．若a∥b，b∥c，则a∥cD．若a⊥b，b⊥c，则a∥c3．如图5-2-11，由A测B方向是（）．A．南偏东30°B．南偏东60°C．北偏西30°D．北偏西60°4．一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍按原来方向行驶，那么两次拐弯角度可能是（）．A．先右转50°，再右转40°B．先左转50°，再左转40°C．先右转50°，再左转130°D．先右转50°，再左转50°5．如图5-2-12，直线l截直线a，b，得到8个角，其中（1）对顶角有__________对，它们是___________；（2）邻补角有______________对，它们是_____________；（3）同位角有______________对，它们是_____________；（4）内错角有______________对，它们是______________；（5）同旁内角有______________对，它们是_____________．6．在同一平面内，及已知直线a平行直线有___________条，而经过直线a外一点P，及已知直线a平行直线有且只有_____________条．7．如图5-2-13所示，长方体ABCD—A′B′C′D′中及棱AB平行棱有____________条，它们是___________．8．如图5-2-14，若∠1=∠2，则_________∥____________；若∠3=∠4，则________∥_________；若∠5=∠6，则__________∥____________；若∠7=∠8，则___________∥_____________；若∠BAD+∠ABC=180°，则___________∥__________；若∠ABC+∠BCD=180°，则_________∥___________．9．如图5-2-15，因为∠1=∠3，∠2=∠3（已知），所以∠1=∠2（），所以AB∥__________（）．10．如图5-2-16，（1）如果∠B=∠1，那么根据______________，可得AD∥BC；（2）如果∠D=∠1，那么根据____________，可得AB∥CD．11．图5-2-17所示6个角中，有多少对同位角？写出每对这样角．有多少对内错角？写出每对这样角．有多少对同旁内角？写出每对这样角．12．如图5-2-18，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1=35°，∠2=35°．AC及BD平行吗？AE及BF平行吗？为什么？13．读下列语句，并在图5-2-19上画出图形．（1）过△ABC 顶点C ，画MN ∥AB ；（2）过△ABC 边AB 中点D ，画平行于AC 直线，交BC 于点E ．14．如图5-2-20，（1）要判定AB ∥CD ，只需知道什么条件？（2）要判定AD ∥BC ，只需知道什么条件？（3）要判定AE ∥CF ，只需知道什么条件？15．如图5-2-21，已知∠1=∠2，∠3=∠4，说明AB ∥EF ．16．图5-2-22所示为一条街道两个拐角∠ABC 和∠BCD ，若已知∠ABC=150°，要使街道AB 及CD 平行，∠BCD 应为多少度？为什么？17．如图5-2-23，已知∠BED=∠B+∠D ．试问：AB 及CD 平行吗？若平行，请说明理由．探索直线平行性质一、学习目标1．掌握平行线三个性质，并能解决一些问题． 2．理解平行线判定及性质区别及应用二、学习重点会用“两直线平行，同位角相等”、“ 两直线平行，内错角相等”和“两直线平行，同旁内角互补”来解决问题.三、学习难点探索平行线性质和平行线性质运用四、学习过程交流合作、探索发现合作交流一：如图，猜一猜∠1和∠2相等吗？为什么？图中还有其它同位角吗？它们大小有什么关系？是不是任意一条直线去截平行线a 、b 所得同位角都相等呢？ [结论] 两条平行线被第三条直线所截，___________________. 简单说成：_____________________.11 3 2abc 1234d符号语言:_________________________. 合作交流二：如图：已知a//b,那么∠2及∠ 3相等吗？为什么？[结论]两条平行线被第三条直线所截，____________________. 简单说成：________________________. 符号语言:_______________________________. 合作交流三：如图,已知a//b ，那么 ∠2及∠4有什么关系呢？[结论]两条平行线被第三条直线所截，______________________. 简单说成：_________________________________. 符号语言：______________________________. 五、例题讲解例1.如图1,已知直线a ∥b,∠1 = 500,求∠2度数. 变式1.已知条件不变，求∠3，∠4度数？变式2.如图2，已知∠3 =∠4， ∠1=47°，求∠2度数？例2如图3，AD ∥BC ，∠A ＝∠C.试说明AB ∥CD.例3.如图4，在四边形ABCD 中，已知AB ∥CD ，∠B = 600。

平行线的性质与判定

知识点一：平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等性质2：两直线平行，内错角相等性质3：两直线平行，同旁内角互补∵∠1=∠5∴AB//CD （同位角相等，两直线平行）∵AB//CD∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等。

）∵AB//CD ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等）由位置关系推出数量关系5.31．如图，直线a ∥b ，直线c 分别交a 、b 于点A 、C ，∠BAC 的平分线交直线b 于点D ，若∠2＝50°，则∠1的度数是（）A ．50°B ．60°C ．80°D ．100°2．如图，有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如果∠1＝34°，那么∠2的度数是（）∵a//b∴∠3=∠2∵∠2＝50°∴∠3=50°∵AD 是∠BAC 的平分线∴∠3=∠4=50°∴∠1=80°平行线的判定：平行是结论判定方法1：同位角相等，两直线平行判定方法2：内错角相等，两直线平行判定方法3：同旁内角互补，两直线平行推论：平行于同一直线的两直线平行。

平行线的性质：平行是已知性质1：两直线平行，同位角相等性质2：两直线平行，内错角相等性质3：两直线平行，同旁内角互补A ．14°B ．16°C ．34°D ．26°3．如图，直线a ，b 被直线c ，d 所截，若∠1＝80°，∠2＝100°，∠3＝85°，则∠4度数是（）A ．80°B ．85°C ．95°D ．100°拓展拔高平行线偶遇角平分线直线的位置关系：平行、垂直∵∠1＝80°，∠2＝100°∴∠1+∠2=180°∴a//b （）∵∠3＝85°∴∠4＝85°1．如图，直线AB 和CD 被直线MN 所截．（1）如图①，EG 平分∠BEF ，FH 平分∠DFE （平分的是一对同旁内角），则∠1与∠2满两平行线被第三条直线所截同位角角平分线内错角角平分线同旁内角角平分线已知：AB//CD,GH,IJ 分别是角平分线求证：GH//IJ∵AB ∥CD （已知）∴（）∵GH 、IJ 分别是角平分线（已知）∴（）∴∴（）已知：AB//CD,GH,IJ 分别是角平分线求证：GH//IJ∵AB ∥CD （已知）∴（）∵GH 、IJ 分别是角平分线（已知）∴（）∴∴GH//IJ（）足时，AB∥CD．（2）如图②，EG平分∠MEB，FH平分∠DFE（平分的是一对同位角），则∠1与∠2满足什么条件时，AB∥CD．（3）如图③，EG平分∠AEF，FH平分∠DFE（平分的是一对内错角），则∠1与∠2满足什么条件时，AB∥CD．为什么？2．完成下面的证明：如图，AB∥CD∥GH，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD，求证：∠EGF＝90°．证明：∵AB∥GH（已知），∴∠1＝∠3（），又∵CD∥GH（已知），∴（两直线平行，内错角相等）∵AB∥CD（已知），∴∠BEF+＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵EG平分∠BEF（已知），∴∠1＝（角平分线定义），又∵FG平分∠EFD（已知），∴∠2＝∠EFD（），∴∠1+∠2＝（+∠EFD）∴∠1+∠2＝90°，∴∠3+∠4＝90°（等量代换），即∠EGF＝90°．∠A+∠P+∠C=360°∠A+∠C=∠P∠A+∠P=∠C 过点作∥∵∥（已知）∴∥（）。

平行线的判定与性质

平行线的判定与性质
第2节平行线的判定与性质
知识点聚焦
1.三线八角
（1）同位角：两条直线被第三条直线所截，截
E
线的同旁，被截两直线的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角. 如图1和5，2和6
3和7，4和8. Ｄ
（2）内错角：两条平行直线被第三条直线所截，
两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线 F
之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角.如图3和5，4和6
（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫
做同旁内角.如图4和5，3和 6.
2.平行线的判定方法
（1）平行线的定义：在同一平面内不相交的两直线平行.
（2）平行公理的推论:如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.（3）同位角相等，两直线平行.
（4）内错角相等，两直线平行.
（5）同旁内角互补，两直线平行.
（6）垂直于同一条直线的两直线平行.
3.平行线的性质
（1）两直线平行，同位角相等.
（2）两直线平行，内错角相等.
（3）两直线平行，同旁内角互补.典型例题。

平行线的判定与性质(一)

平行线的判定与性质（一）知识要点一、两直线平行的判定方法1．平行线的判定公理：同位角相等，两直线平行 2．平行线的判定定理1：内错角相等、两直线平行 3．平行线的判定定理2：同旁内角互补、两直线平行 4．平行公理的推论：平行于同一直线的两条直线平行 5．垂直于同一直线的两条直线平行二、平行线的性质：1．两直线平行，同位角相等 2．两直线平行，内错角相等 3．两直线平行，同旁内角互补4．垂直于两平行线之一的直线，必垂直于另一直线【经典例题】例1 如图，AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，EG 平分BEF ∠，若︒=∠721，则=∠2 度。

例2 已知：如图直线MN 的同侧有三个点A 、B 、C ，且AB ∥BC MN ,∥MN ，求证：A 、B 、C 三点在同一直线上。

12 3 AB C DEF G1 2 3 4 A C B MNE例3 已知：如图AB ∥CD ，求证：︒=∠+∠+∠360B E D例4 如图，AB ∥CD ，若=∠︒=∠︒=∠BEC DCE ABE 则,35,120 。

【经典练习】一、判断题（每题1分，共4分）1．两直线被第三直线所截，则内错角相等。

（） 2．若︒=∠+∠180βα，则、α∠β∠是两条平行线被第三条直线所截而成的同旁内角。

（）3．若直线a ∥b ，a 与c 相交，则b 、c 必相交。

（） 4．如图所示，若︒=∠+∠180B A ，则︒=∠+∠180D C （）二、据图填空题（每空1分，共27分） 1．（1）∵AB ∥CD （已知）（如图1所示）∴=∠D （） =∠D C E （） +∠D C B =︒180（）（2）∵31∠=∠（已知）（如图2所示）∴ ∥ （）（3）∵+∠3 =︒180（已知）（如图2所示）∴DE ∥BC （）C D E BA︒35︒120 21AB EFCDABCDA BEDC图1（4）∵BC ∥ （已知）（如图2所示）∴3∠= （）（5）∵AB ∥ （已知）（如图2所示）∴B ∠= （）（6）∵+∠B =︒180（已知）（如图2所示）∴DE ∥ （）2．∵AB ∥DE （已知）（如图所示）∴∠=∠1 （） ∵AE ∥DC （已知）∴∠=∠2 （） ∴21∠=∠ （）3．如图所示，AB ∥BF EC ,∥CD ，则（1）相等的同位角有；（2）相等的内错角有；（3）互补的同旁内角有。

第6课平行线的性质与判定

第6课平行线的判定与性质知识点1 两直线平行的判定方法1．平行线的判定公理：同位角相等，两直线平行 2．平行线的判定定理1：内错角相等、两直线平行 3．平行线的判定定理2：同旁内角互补、两直线平行 4．平行公理的推论：平行于同一直线的两条直线平行 5．垂直于同一直线的两条直线平行知识点2 平行线的性质1．两直线平行，同位角相等 2．两直线平行，内错角相等 3．两直线平行，同旁内角互补4．垂直于两平行线之一的直线，必垂直于另一直线例1：如图所示，AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，EG 平分BEF ∠，若0721=∠，则=∠2 度。

例2：如图所示，已知直线MN 的同侧有三个点A 、B 、C ，且AB ∥MN ，BC ∥MN ，求证：A 、B 、C 三点在同一直线上。

例3：如图所示，已知AB ∥CD ，求证：0360=∠+∠+∠B E D .1 2 3 ABC DEFG1 23 4 AC BM NE C D E BA例4：如图所示，AB ∥CD ，若0120=∠ABE ，035=∠DCE ，则=∠B E C 。

例5：如图所示，∠1＝50°，∠2=130°，求证：AB ∥CD 。

例6：如图所示，∠ABC ＝∠ADC ，BF 、DE 是∠ABC 、∠ADC 的角平分线，∠1＝ ∠2，求证：DC ∥AB 。

例7：如图所示，已知AB ∥EF ，求证：∠BCF ＝∠B ＋∠F 。

︒35︒1202 1 ABEFCDA BC D EF 1 2 A B C E F1 23 45例8：已知∠ABC 和∠C B A '''的两边AB 、B A ''，BC 、C B ''满足条件，AB ∥B A ''，BC ∥C B ''，求证：∠ABC ＝∠C B A '''或∠ABC ＋∠C B A '''＝0180例9：如图，已知AB ∥CD ，∠B ＝140°，∠D ＝150°，求∠E 的度数。

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第6课 平行线的性质与判定

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