2018年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答
2018年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)
a 2018年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2018B1、设集合{}8,1,0,2=A ，集合{}A a a B ∈=|2，则集合B A 的所有元素之和是 ◆答案： 31★解析:易知{}16,2,0,4=B ，所以{}16,8,4,2,1,0=B A ，元素之和为31.2018B 2、已知圆锥的顶点为P ，底面半径长为2，高为1．在圆锥底面上取一点Q ，使得直线PQ 与底面所成角不大于045，则满足条件的点Q 所构成的区域的面积为 ◆答案： π3★解析:记圆锥的顶点P 在底面的投影为O ，则O 为底面中心，且1tan ≤=∠OQOPOQP ，即1≥OQ ，故所以区域的面积为πππ31222=⨯-⨯。
2018B 3、将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是奇数的概率为 ◆答案：101 ★解析：由def abc +为奇数时，abc ，def 一奇一偶，①若abc 为奇数，则c b a ,,为5,3,1的排列，进而f e d ,,为6,4,2的排列，这样共有3666=⨯种；②若abc 为偶数，由对称性得，也有3666=⨯种，从而def abc +为奇数的概率为101!672=。
2018B 4、在平面直角坐标系xOy 中，直线l 通过原点，)1,3(=n 是l 的一个法向量．已知数列{}n a 满足：对任意正整数n ，点),(1n n a a +均在l 上．若62=a ，则54321a a a a a 的值为 ◆答案： 32-★解析:易知直线l 的方程为x y 3-=，因此对任意正整数n ，有n n a a 311-=+，故{}n a 是以31-为a 公比的等比数列.于是23123-=-=a a ，由等比数列的性质知325354321-==a a a a a a2018B 5、设βα,满足3)3tan(-=+πα，5)6tan(=-πβ，则)tan(βα-的值为◆答案： 47-★解析:由两角差的正切公式可知7463tan =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+πβπα，即可得47)tan(-=-βα2018B 6、设抛物线x y C 2:2=的准线与x 轴交于点A ，过点)0,1(-B 作一直线l 与抛物线C 相切于点K ,过点A 作l 的平行线，与抛物线C 交于点N M ,，则KMN ∆的面积为为 ◆答案：21★解析:设直线l 与MN 的斜率为k ，:l 11-=y k x ，:MN 211-=y k x 分别联立抛物线方程得到：0222=+-y k y （*），和0122=+-y ky （**） 对（*）由0=∆得22±=k ；对（**）得2442=-=-k y y NM所以2121=-⋅⋅=-==∆∆∆∆N M KBAN BAM BMN KMN y y AB S S S S2018B 7、设)(x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]2,1上严格递减，且满足1)(=πf ，0)2(=πf ，则不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤1)(010x f x 的解集为◆答案：[]ππ--4,62★解析：由)(x f 为偶函数及在区间[]2,1上严格递减知，)(x f 在[]1,2--上递增，结合周期性知，)(x f 在[]1,0上递增，又1)()4(==-ππf f ，0)2()62(==-ππf f ，所以不等式等价于)4()()62(ππ-≤≤-f x f f ，又14620<-<-<ππ，即不等式的解集为a[]ππ--4,622018B 8、已知复数321,,z z z 满足1321===z z z ，r z z z =++321，其中r 是给定的实数，则133221z z z z z z ++的实部是 （用含有r 的式子表示） ◆答案： 232-r★解析:记133221z z z z z z w ++=，由复数的模的性质可知：111z z =，221z z =，331z z =，因此 133221z z z z z z w ++=。
2018年全国高中数学联合竞赛一试参考答案(A卷)
祝君金榜题名2018 年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、 11 小题 5 分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分．1. 设集合 A 1, 2, 3,, 99, B2x xA, Cx 2x A，则 BC 的元素个数为．答案：24 ．1399解：由条件知，B C，2, 4, 6, , 198,1, , 2, ,2, 4, 6, , 48222故 B C 的元素个数为 24 ．2. 设点 P 到平面 的距离为 3 ，点Q 在平面 上，使得直线 PQ 与 所成角不小于30且不大于60，则这样的点Q 所构成的区域的面积为．答案：8 ．OP3解：设点 P 在平面上的射影为O ．由条件知，tan OQP, 3 ， OQ3即OQ[1, 3]，故所求的区域面积为．318223. 将1, 2, 3, 4, 5, 6 随机排成一行，记为 a , b , c , d , e , f ，则 abc + def 是偶数的 概率为．答案：9 10．解：先考虑abc + def 为奇数的情况，此时abc , def 一奇一偶，若abc 为奇数，则a , b , c 为1, 3, 5的排列，进而d , e , f 为2, 4, 6的排列，这样有3!×3! = 36 种情况，由对称性可知，使abc + def 为奇数的情况数为36×2 = 72 种．从而abc + def 为偶 72 72 9 数的概率为1− = 1− = ． 6! 720 10xy22ab4. 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C :1(a b 0)的左、右焦点22分别是 F 、F ，椭圆C 的弦 ST 与UV 分别平行于 x 轴与 y 轴，且相交于点 P ．已12知线段 PU , PS , PV , PT 的长分别为1, 2, 3, 6 ，则 PF F的面积为 ．1 2答案： 15 ．解：由对称性，不妨设 P (x , y ) 在第一象限，则由条件知PP1 1x PT PS y PV PU，2,1PP221祝君金榜题名即 P (2,1)．进而由 1, 2xPU PS得U (2, 2), S (4, 1) ，代入椭圆C 的方程知 P1 1 1 14 4 161 2 20,25，解得 a b ．abab22221从而15SF Fyaby ．22PF F1 2PP21 25. 设 f (x ) 是定义在 R 上的以 2 为周期的偶函数，在区间[0, 1]上严格递减，1 x 2,且满足 f ()1, f (2) 2 ，则不等式组的解集为．1 f (x ) 2答案：[2, 82]．解：由 f (x ) 为偶函数及在[0, 1]上严格递减知， f (x ) 在[1, 0] 上严格递增， 再结合 f (x ) 以 2 为周期可知，[1, 2]是 f (x ) 的严格递增区间．注意到f f ff f ，(2) ( ) 1, (8 2 )( 2 ) (2 ) 2 所以1f (x ) 2 f (2) f (x ) f (82) ，而1282 2 ，故原不等式组成立当且仅当 x[2, 82]．6. 设复数 z 满足 z 1，使得关于 x 的方程 zxzx 有实根，则这样 22 2 0的复数 z 的和为．3答案：． 2解：设 z ab i (a , b R , a 2 b 21) ．将原方程改为(a b i)x 22(ab i)x 2 0，分离实部与虚部后等价于axax ，①22 2 0bxbx ． ②22 0若b 0，则 a，但当 a1时，①无实数解，从而 a 1，此时存在实21数 x1 3 满足①、②，故 z1满足条件．若b 0，则由②知 x{0, 2}，但显然 x 0 不满足①，故只能是 x 2 ，代 115 1 15i入①解得 ．a，进而b，相应有z4441 15i1 15i3 综上，满足条件的所有复数 z 之和为1．4427. 设O 为ABC 的外心，若 AO AB 2AC ，则sinBAC 的值为 ．故10 答案： ．4 解：不失一般性，设ABC 的外接圆半径 R 2 ．由条件知，2AC AOAB BO，①1AC BO ．122祝君金榜题名取 AC 的中点 M ，则OM AC ，结合①知OM BO ，且 B 与 A 位于直线MC1 OM 的同侧．于是cos BOC cos (90 MOC ) sin MOCOC4．在BOC 中，由余弦定理得BC OBOCOB OC BOC，222cos10BC10进而在ABC 中，由正弦定理得．sin BAC 2R48. 设整数数列 1, 2, , 10 10 3 1, 282 5 a a a 满足 a a a aa ，且aaa i，iii1 {1, 2 },1, 2, , 9则这样的数列的个数为．答案：80． 解：设baai ，则有 1{1, 2}( 1, 2, , 9)iii2aaabbb ，①1101129bbbaaaabbb ． ②2345285567用t 表示b 2, b 3, b 4 中值为 2 的项数．由②知，t 也是 5, 6, 7b b b 中值为 2 的项数，2, 3,, 70 2 1 2 2 2 3 2 3333取定 2, 3, ,78, 9b b b 后，任意指定b b 的值，有 22 4 种方式． 最后由①知，应取 1 {1,2} b 的取法是b使得bbb 为偶数，这样的1291唯一的，并且确定了整数 1, 2, , 9a 的值，进而数列b bb 唯一对应一个满足条件的 1数列 1, 2, ,10a a a ． 综上可知，满足条件的数列的个数为 204 80．二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤．9.（本题满分 16 分）已知定义在 R 上的函数 f (x ) 为log x 1 , 0 x9, f (x )34 x , x 9.设 a , b , c 是三个互不相同的实数，满足 f (a ) f (b ) f (c ) ，求 abc 的取值范围．解：不妨假设ab c ．由于 f (x ) 在(0, 3] 上严格递减，在[3, 9] 上严格递增，在[9,) 上严格递减，且 f (3) 0, f (9)1，故结合图像可知a，b (3, 9)，c (9,)，(0, 3)并且 f (a ) f (b ) f (c ) (0, 1) ． …………………4 分由 f (a ) f (b ) 得1log a log b1，33即 39log alog b 2，因此 ab．于是 abc 9c ． …………………8 分233又3祝君金榜题名0 f (c ) 4 c 1， …………………12 分故c (9, 16) ．进而 abc 9c (81, 144) ．所以， abc 的取值范围是(81, 144) ．…………………16 分r注：对任意的 r (81, 144) ，取c = ，则c ∈ ，从而 0 90 (9,16)f (c )∈(0,1)．过点(c , f (c ))作平行于 x 轴的直线l ，则l 与 f (x )的图像另有两个交点(a , f (a )) ，(b , f (b )) （其中a (0, 3), b (3, 9) ），满足 f (a ) f (b ) f (c ) ，并且ab 9 ，从 而abc = r ．10.（本题满分 20 分）已知实数列 1, 2,3,a a a满足：对任意正整数 n ，有 a S a ，其中 (2 ) 1 S 表示数列的前 n 项和．证明： n n n n(1) 对任意正整数 n ，有 2an ；n(2) 对任意正整数 n ，有a a．11n n证明：(1) 约定S．由条件知，对任意正整数 n ，有 1(2) ( )()，aSaSSSSSS22nnnnn 1nn 1nn 1从而22Sn Sn ，即 Sn （当 n 0 时亦成立）． …………………5 分nn显然，11 2aSSnnn ． …………………10 分nnn(2) 仅需考虑 a a 同号的情况．不失一般性，可设 a a 均为正（否则, ,nn 1nn 1将数列各项同时变为相反数，仍满足条件），则SSSn ，故必有n 1nn 1S n Sn ，,1nn 1此时an nan n ， 1,1nn 1从而a an n n nn n n n ．n n1(1)(1) (1)(1) 1…………………20 分11.（本题满分 20 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设 AB 是抛物线 y 24x 的过点 F (1, 0) 的弦，AOB 的外接圆交抛物线于点 P （不同于点O , A , B ）．若 PF 平分APB ，求 PF 的所有可能值．AyB y Py1 ,,2 ,,3,1, 2, 3yyy222解：设，由条件知 y y y 两两不等且非零．1234 4 4设直线 AB 的方程为 x ty 1，与抛物线方程联立可得 yty ，故24 4 0y y． ①1 24注意到AOB 的外接圆过点O ，可设该圆的方程为 xydx ey ，与 22yyd 24x 联立得，y y y y这四个不1yey 0 ．该四次方程有 1, 2,3, 0241644祝君金榜题名同的实根，故由韦达定理得y y y，从而1 2 3 0 0y yy．②3 ( 1 2 )…………………5 分PA FA y因PF平分APB，由角平分线定理知，PB FB y，结合①、②，有122y y2 23 1 2(y y)22 3 1 2 2 2y PA 4 42 (y y) y16(2y y)1 2 1 1 212 2 2y PB y y y y y y y2 2 2 2 2 2( ) 16(2 )2 3 2 2 1 2 2 2 1(y y)3 24 4(y8) 16(4y y16) y64y1922 2 2 2 4 22 1 2 2 1 ，………………10 分(y8) 16(4y y16) y64y1922 2 2 2 4 21 2 1 1 2即16 64 12 22192 12 2664 22 12192 22y y y y y y y y，故(y y)(y y y y192) 0 ．2 2 4 2 24 1 2 1 1 22当 2 2 3 0y y时，y y，故y，此时P与O重合，与条件不符．1 2 2 1当14 122224192 0y y y y时，注意到①，有(y y) 192(y y) 208．…………………15 分2 2 22 1 2 1 2因12 22 4 13 8 2 1 2 1 2 4 13 1, 2y y y y，故满足①以及y y的实数2 2y y存在，对应可得满足条件的点A, B．此时，结合①、②知PF．y3 1 (y1 y2 ) 4 y1 y2 4 208 4 13 12 2 2 24 4 4 4…………………20 分5。
2018年全国高中数学联赛一试A卷试题及参考答案评分标准
1,
3 2
,
2,,99 2 Nhomakorabea2,
4,
6,,
48
，
故 B C 的元素个数为 24 ． 2. 设点 P 到平面 的距离为 3 ，点 Q 在平面 上，使得直线 PQ 与 所成
角不小于 30 且不大于 60 ，则这样的点 Q 所构成的区域的面积为
．
答案：8 ．
解：设点 P 在平面 上的射影为 O ．由条件知，OP OQ
数 x 1 3 满足①、②，故 z 1满足条件．
若 b 0 ，则由②知 x {0, 2} ，但显然 x 0 不满足①，故只能是 x 2 ，代
入①解得 a 1 ，进而 b 15 ，相应有 z 1 15 i ．
4
4
4
综上，满足条件的所有复数 z 之和为1 1 15 i 1 15 i 3 ．
2
取 AC 的中点 M ，则 OM AC ，结合①知 OM BO ，且 B 与 A 位于直线 OM 的同侧．于是 cosBOC cos (90 MOC) sin MOC MC 1 ．
OC 4
在 BOC 中，由余弦定理得 BC OB2 OC2 2OBOC cosBOC 10 ，
．
答案： 15 ．
解：由对称性，不妨设 P(xP, yP ) 在第一象限，则由条件知
xP
1 PT
2
PS 2,
yP
1 PV
2
PU
1，
1
即 P(2, 1) ．进而由 xP PU 1, PS 2 得U (2, 2), S(4, 1) ，代入椭圆 C 的方程知
4
2018年全国高中数学联赛试题
-、 填空题 :本大题共 8小 题 ,每 小题 8分 ,满 分 “ 分。
1。 设集合 /=[,2,3,… ,991,B=仫 豸u∈ /l,c=伽 |2丌 ∈彳卜 贝刂B∩ C的 元
素个数为_⊥____·
不小2于.设30°点且`不到大平于面ωα°的,则距 离这为样雨的点,点口所g在构成平的面区α域上
。=.函 数尸撬圣甲IO,ll工 熟耨浒减,
⒍ 设复数z满 足|亻 F殉呷 关弑
纟'’;`i
⒎ 设o裨鲫 BC呼唾 锷 昶 舒 豇 2刃 ,酪应 硭 的值为___
亻 鞲 .解答应 写投文 字说明 、证明过
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∷ 篚R+上 的雾熬/←)为
嚣静 丬’ ⒎ ~{严 百 ∶ I需
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F∶f玉
设曰,D,ε 是三个互不相同的实数,满足/@)=/(D)=/(c),求 汕c的 取值范围。
切I囚 在 /B边 ˇL的 切点,σ 为 彳J与 BCJ的 交点,Ⅳ 在线段 EF~⒈ ,满 足 ⅣB⊥ 彳B。
证明:希 BⅣ 哀E″ ,则 DF⊥ JC.(笞 饿时泔将 国画在笛卷纸上 冫
m分 三 、(本 履满分
冫设″,七 ,胛 是 正整数’黻 虍n,L.″ ≤泖 《∶茔 二上‰
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设 刀是{l。 2,… 9阴 }f向 ″瓦子集。讠iΙ 明:
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证 明 : (包 +lX仇 +l)… 《饥+l) 《 ~B+l
(FJl+l)(rJ2+l)… 《rJ″ +l) 彳 +l
二 、(本预满分 +0分 冫如图,AHBC∶ 为锐角Ι角彤 ,/B《 彳(J,〃 为 B(Γ 边
高三数学-2018年全国高中数学联合竞赛一试试卷及答案(word版) 精品
2018年全国高中数学联合竞赛一试试卷（考试时间：上午8：00—9：40）一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A −PB −C 的平面角的余弦值为（ ） A. 71 B. 71- C. 21 D. 21- 2. 设实数a 使得不等式|2x −a |+|3x −2a |≥a 2对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是（ ） A. ]31,31[- B. ]21,21[- C. ]31,41[- D. [−3，3] 3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。
甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b 。
则使不等式a −2b +10>0成立的事件发生的概率等于（ ） A. 8152 B. 8159 C. 8160 D. 8161 4. 设函数f (x )=3sin x +2cos x +1。
若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x −c )=1对任意实数x 恒成立，则ac b cos 的值等于（ ） A. 21- B. 21 C. −1 D. 1 5. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是（ ）6. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集。
若n ∈A 时总有2n +2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为（ ）A. 62B. 66C. 68D. 74二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A (−3，0)，B (1，−1)，C (0，3)，D (−1，3)及一个动点P ，则|PA |+|PB |+|PC |+|PD |的最小值为__________。
8. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6，33=CA ，若2=⋅+⋅，则与的夹角的余弦值等于________。
2018 年全国高中数学联合竞赛A 卷试题及解析(含一试及加试)
而I＜π － 2 < 8-2r. < 2 ， 故原不等式组成立当且仅当xE［肯 － 2, 8-2肯｝． 6.设复数z满足l= I=I ， 使得关于，y的方程 x' + 2:x+2 =0有实根 ， 则这样
＝
的复数z的和为 答案：
分别是F；、凡，椭l2ll c 的弦 ST 与 UV 分别 －＇￥· 行于 x 剿l与y轴 ， 且相交子点P. 己 知线段PU,PS ‘ PV 、 PT 的长分另lj为L 2. 3. 6 ， 则 MF., 凡的朋积为 答案： -Jl5. 解： 由对称性 ， 不妨设 P （，飞·，，， )'p ）在第 一 象限，则由条件知
主．
解：设们在平面。上的射影为。白条件知， 立 ＝ tanLOQP ｜丘♂ I ' OQ I 3
ε
i己为 a, b,c, d, e,f ，则。be ÷d吃f ；是偶数的
概率为 答案： 解：先考虑。 bc+def ：为奇数的俏况，此时 abc、 d吃f 一 奇一 ｛间，若 abc 为奇敛，
10
则。 ， b,c 为l, 3, 5 的排列 ， 避而 d‘ e,f 为2,4,6的排列，这样有3！×31=36种情况， 由对称性可知 ， 使 abc+def 为奇数的情况数为 36 × 2 =72 种．从而 abc+d，电f 为偶 72 72 9 ＝I－一一＝一． 数的概率为I－一 ' 6 720 JO
1. 设织合 A= {I, 2, 3、
2018年全国高中数学联合竞赛一试（A卷） 参考答案及评分标准
,99｝‘B={2xjxE A}, C={xl2xε斗 ， 则B门C的元
2018年全国高中数学联合竞赛一试(含答案)
则(������ + ������������)������2 + 2(������ − ������������)������ + 2 = 0，
整理得：(������������2 + 2������������ + 2) + (������������2 − 2������������)������ = 0
由图结合对称性得：
������1 = ������ − 2, ������2 = 2������ − [4 + 2(2������ − 6)] = 8 − 2������ 所以，由函数单调性，不等式1 ≤ ������(������) ≤ 2在[1，2]内
分析：������������������ + ������������������为偶数，则������������������与������������������奇偶性相同，
故当������ ≥ 2 时，
������������ = √������ ± √������ − 1 ≤ √������ + √������ − 1 < 2√������ (2) ������������与������������+1异号时结论显然成立，
当������������与������������+1同号时： 由(1)得������������ = ±√������， 不妨得：������������ = √������ − √������ − 1
6. 设复数������满足|������|=1，使得关于������ 的方程z������2 + 2������̅������ +
2 = 0有实根，则这样的复数������的和为
2018年全国高中数学联赛模拟试题与参考 答案
解得− ≥ ������＞ − 4.
注意：函数的定义域不能为空集。
2.已知函数������(������) = 1 −
（������＞������）若������(������) = 2 ln √������ − ������(������)，则������(������������)的取值范围为____________.
P
注：也可采用联立直线与圆锥曲线的方法解答，但过于繁琐，本解
答采用熟知的结论：������������ + ������������ = ������. 7.对于 ≤ ������ ≤ 1，则(1 + ������) (1 − ������)(1 − 2������) 的最大值为___________.
的等腰三角形，则三棱锥 A-BCD 的高与其外接球的直径的比值为_____________.
A
【解答】如图，易得 AE⊥BE，由等量关系，CE=ED=2，AF=BF=4，AE=BE=2√2.
由垂径定理，OF⊥AB，OE⊥CD，由对称性得 O 在 EF 上.
F
由勾股定理，OF + AF = AO = R = OC = （4 − OF）² + CE²
故������������������������ =
=
=
=
2
²
，若������������������������＜0，则������������������������＜0，这不可能.
∴ ������������������������＞0. ������������������������ ≤ √ .
在 BDP 中由正弦定理得 1 x
sin 2 60
2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)
说明： 1． 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分． 2． 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，10 分为一个档次，不得增加其他中间档次．
一、（本题满分 40 分）设 a, b 是实数，函数 f (x) = ax + b + 9 ． x
知，满足条件的情况数为 36 × 2 =72 种．从而所求概率为= 72 7= 2 1 ． 6! 720 10
4. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 通过原点， n (3, 1) 是 l 的一个法向
量．已知数列{an}满足：对任意正整数 n ，点 (an1, an ) 均在 l 上．若 a2 6 ，则
11.（本题满分 20 分）如图所示，在平面直角 坐 标 系 xOy 中 ， A 、 B 与 C 、 D 分 别 是 椭 圆
x2 y2 : a2 b2 1 (a b 0) 的左、右顶点与上、下顶 A 点．设 P, Q 是 上且位于第一象限的两点，满足
y
R
P
C
M
Q
O
Bx
OQ ∥ AP ， M 是线段 AP 的中点，射线 OM 与椭
是 0 1 2 4 8 16 31 ．
2. 已知圆锥的顶点为 P ，底面半径长为 2 ，高为1．在圆锥底面上取一点 Q ，
使得直线 PQ 与底面所成角不大于 45 ，则满足条件的点 Q 所构成的区域的面积
为
．
答案： 3 ．
解：圆锥顶点 P 在底面上的投影即为底面中心，记之为 O ．由条件知， OP tan OQP 1 ，即 OQ 1 ，故所求的区域面积为 22 12 3 ． OQ
2018年全国高中数学联合竞赛一试参考答案(A卷)
2018年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 设集合 1,2,3,,99,2,2A B x x A C x x A ，则B C 的元素个数为 ．答案：24．解：由条件知， 13992,4,6,,198,1,,2,,2,4,6,,48222B C，故B C 的元素个数为24．2. 设点P 到平面的距离为，点Q 在平面 上，使得直线PQ 与 所成角不小于30 且不大于60 ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 ．答案：8 ．解：设点P 在平面 上的射影为O ．由条件知，tan OP OQP OQ ，即[1,3]OQ ，故所求的区域面积为22318 ．3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为 ．答案：910．解：先考虑abc def +为奇数的情况，此时,abc def 一奇一偶，若abc 为奇数，则,,a b c 为1,3,5的排列，进而,,d e f 为2,4,6的排列，这样有3!3!36×=种情况，由对称性可知，使abc def +为奇数的情况数为36272×=种．从而abc def +为偶数的概率为72729116!72010−=−=．4. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b的左、右焦点分别是1F 、2F ，椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于x 轴与y 轴，且相交于点P ．已知线段,,,PU PS PV PT 的长分别为1,2,3,6，则12PF F 的面积为 ．答案解：由对称性，不妨设(,)P P P x y 在第一象限，则由条件知112,122P P x PT PS y PV PU ，即(2,1)P ．进而由1,2P x PU PS 得(2,2),(4,1)U S ，代入椭圆C 的方程知2222111144161a b a b，解得2220,5a b ．从而121212PF F P P S F F y y ．5. 设()f x 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[0,1]上严格递减，且满足()1,(2)2f f ，则不等式组12,1()2x f x的解集为 ． 答案：[2,82] ．解：由()f x 为偶函数及在[0,1]上严格递减知，()f x 在[1,0] 上严格递增，再结合()f x 以2为周期可知，[1,2]是()f x 的严格递增区间．注意到(2)()1,(82)(2)(2)2f f f f f ，所以1()2(2)()(82)f x f f x f ，而12822 ，故原不等式组成立当且仅当[2,82]x ．6. 设复数z 满足1z ，使得关于x 的方程2220zx zx 有实根，则这样的复数z 的和为 ．答案：32．解：设22i (,,1)R z a b a b a b ．将原方程改为2(i)2(i)20a b x a b x ，分离实部与虚部后等价于2220ax ax ，① 220bx bx ．②若0b ，则21a ，但当1a 时，①无实数解，从而1a ，此时存在实数1x 1z 满足条件．若0b ，则由②知{0,2}x，但显然0x 不满足①，故只能是2x ，代入①解得14a ，进而b，相应有z ．综上，满足条件的所有复数z 之和为312．7. 设O 为ABC 的外心，若2AO AB AC，则sin BAC 的值为 ．答案 解：不失一般性，设ABC 的外接圆半径2R ．由条件知，2AC AO AB BO，①故112AC BO ．取AC 的中点M ，则OM AC ，结合①知OM BO ，且B 与A 位于直线OM 的同侧．于是1cos cos(90)sin 4MC BOC MOC MOC OC ． 在BOC 中，由余弦定理得BC ，进而在ABC中，由正弦定理得sin 2BC BAC R． 8. 设整数数列1210,,,a a a 满足1012853,2a a a a a ，且1{1,2},1,2,,9i i i a a a i ，则这样的数列的个数为 ．答案：80．解：设1{1,2}(1,2,,9)i i i b a a i ，则有11011292a a a b b b ，① 2345285567b b b a a a a b b b ．②用t 表示234,,b b b 中值为2的项数．由②知，t 也是567,,b b b 中值为2的项数，其中{0,1,2,3}t ．因此237,,,b b b 的取法数为021222323333(C )(C )(C )(C )20 ．取定237,,,b b b 后，任意指定89,b b 的值，有224 种方式．最后由①知，应取1{1,2}b 使得129b b b 为偶数，这样的1b 的取法是唯一的，并且确定了整数1a 的值，进而数列129,,,b b b 唯一对应一个满足条件的数列1210,,,a a a ．综上可知，满足条件的数列的个数为20480 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）已知定义在R 上的函数()f x 为3log 1,09,()49.x x f x x设,,a b c 是三个互不相同的实数，满足()()()f a f b f c ，求abc 的取值范围．解：不妨假设a b c ．由于()f x 在(0,3]上严格递减，在[3,9]上严格递增，在[9,) 上严格递减，且(3)0,(9)1f f ，故结合图像可知(0,3)a ，(3,9)b ，(9,)c ，并且()()()(0,1)f a f b f c ． …………………4分由()()f a f b 得331log log 1a b ，即33log log 2a b ，因此239ab ．于是9abc c ． …………………8分又0()41f c ， …………………12分故(9,16)c ．进而9(81,144)abc c ．所以，abc 的取值范围是(81,144)． …………………16分注：对任意的(81,144)r ，取09rc =，则0(9,16)c ∈，从而0()(0,1)f c ∈．过点00(,())c f c 作平行于x 轴的直线l ，则l 与()f x 的图像另有两个交点(,())a f a ，(,())b f b （其中(0,3),(3,9)a b ），满足()()()f a f b f c ，并且9ab ，从而abc r =．10.（本题满分20分）已知实数列123,,,a a a 满足：对任意正整数n ，有(2)1n n n a S a ，其中n S 表示数列的前n 项和．证明：(1) 对任意正整数n ，有n a(2) 对任意正整数n ，有11n n a a ．证明：(1) 约定00S ．由条件知，对任意正整数n ，有221111(2)()()n n n n n n n n n a S a S S S S S S ，从而220n S n S n ，即n S （当0n 时亦成立）． …………………5分显然，1n n n a S S ． …………………10分 (2) 仅需考虑1,n n a a 同号的情况．不失一般性，可设1,n n a a 均为正（否则将数列各项同时变为相反数，仍满足条件），则11n n n S S S ，故必有1n n S S ，此时1n n a a从而11n n a a ．…………………20分11.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，设AB 是抛物线24y x 的过点(1,0)F 的弦，AOB 的外接圆交抛物线于点P （不同于点,,O A B ）．若PF 平分APB ，求PF 的所有可能值．解：设222123123,,,,,444y y y A y B y P y，由条件知123,,y y y 两两不等且非零． 设直线AB 的方程为1x ty ，与抛物线方程联立可得2440y ty ，故124y y ． ① 注意到AOB 的外接圆过点O ，可设该圆的方程为220x y dx ey ，与24y x 联立得，4210164y d y ey ．该四次方程有123,,,0y y y y 这四个不同的实根，故由韦达定理得12300y y y ，从而312()y y y ．②…………………5分因PF 平分APB ，由角平分线定理知，12PA FA yPB FB y ，结合①、②，有2222312222231212112122222222222321222132()()16(2)44()16(2)()44y y y y y y y y y PA yy PB y y y y y y y y y2222422122122224212112(8)16(416)64192(8)16(416)64192y y y y y y y y y y ， ………………10分 即62226222112122126419264192y y y y y y y y ，故 224224121122()(192)0y y y y y y ．当2212y y 时，21y y ，故30y ，此时P 与O 重合，与条件不符． 当422411221920y y y y 时，注意到①，有22221212()192()208y y y y ． …………………15分因22121282y y y y ，故满足①以及2212y y 的实数12,y y 存在，对应可得满足条件的点,A B ．此时，结合①、②知222231212()4411444y y y y y PF ．…………………20分。
2018年全国高中数学联赛试题与解析B卷
o 二二 f(x ） 三1 仲 ！（ 却一6）三 f(x ）三／（4－的，
（用含有r的式子表示〉．
z, ＝一，Z2 ＝一，Z3 =-,
因此 W= Z1 �2 ＋毛毛＋勾引·于是
2
Z1
Z2
Z3
r = (z1 十Z2 + Z3 ）（王＋三十三） =lz.1 十lzJ + lz3 l + w十二＝3+2Rew,
2 2
解得Rew＝三三 2 二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出立字说明、证明过 程或演算步骤． 9. （本题满分16分）己知数列｛a，，｝：α， ＝7， 满足 a. >4
川 生土L =
的最小正整数 n.
2
α
a，，十2 , n = 1, 2, 3, · · · .求
故。”＝2 3烛
解：由生土L ＝ α，，＋2可知 G川 ＋1＝（α，，＋ 1) .因此 α，2 时 ”I 3x2"-1, α，，＋l=(a1 +1)2 ＝82 = 2
AD BC ，以 AB 为直径的圆 与线段 DE 交于一点 F． DC 2CE
A
证明：B，C，F，D 四点共圆（答题时请将图画在答卷纸上）
D
F
B
C
E
三、 （本题满分 50 分）设集合 A {1, 2,
, n} ，X，Y 均为 A 的非空设空子集（允许 X = Y） ．X
中的最大元与 Y 中的最小元分别记为 maxX，minY 求满足 maxX > minY 的有序集合对（X , Y） 的数目．
四、 （本题满分 50 分）给定整数 a 2 . 证明：对任意正整数 n，存在正整数 k，使得连续 n 个 数 ak 1， ak 2 ， ， a k n 均是合数．
2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
2,
4,
6,,
48
，
故 B C 的元素个数为 24 ． 2. 设点 P 到平面 的距离为 3 ，点 Q 在平面 上，使得直线 PQ 与 所成
角不小于 30 且不大于 60 ，则这样的点 Q 所构成的区域的面积为
．
答案：8 ．
解：设点 P 在平面 上的射影为 O ．由条件知，OP OQ
tan
OQP
3, 3求的区域面积为 32 12 8 ．
3. 将1, 2, 3, 4, 5, 6 随机排成一行，记为 a, b, c, d , e, f ，则 abc + def 是偶数的
概率为
．
答案： 9 ． 10
在[9,) 上严格递减，且 f (3) 0, f (9) 1，故结合图像可知
a (0, 3) ， b (3, 9) ， c (9, ) ，
并且 f (a) f (b) f (c) (0, 1) ．
…………………4 分
由 f (a) f (b) 得 1 log3 a log3 b 1，
注意到 f ( 2) f () 1, f (8 2) f (2) f (2) 2 ，
所以 1 f (x) 2 f ( 2) f (x) f (8 2) ，
而1 2 8 2 2 ，故原不等式组成立当且仅当 x [ 2, 8 2] ． 6. 设复数 z 满足 z 1，使得关于 x 的方程 zx2 2zx 2 0 有实根，则这样
证明： (1) 约定 S0 0 ．由条件知，对任意正整数 n ，有
1
an
(2Sn
最新-2018年全国高中数学联赛试题及参考答案精品
最新-2018年全国⾼中数学联赛试题及参考答案精品2018年全国⾼中数学联赛试题及参考答案试题⼀、选择题（本题满分36分，每⼩题6分）1、函数f (x)=log1/2(x2-2x-3)的单调递增区间是（）。
（A）（－∞,－1）（B）（－∞,1）（C）（1,＋∞）（D）（3, ＋∞）2、若实数x，y满⾜(x+5)2+(y-12)2=142，则x2+y2的最⼩值为（）。
（A）2 （B）1 （C）√3（D）√23、函数f(x)=x/1-2x-x/2（）（A）是偶函数但不是奇函数（B）是奇函数但不是偶函数（C）既是偶函数⼜是奇函数（D）既不是偶函数也不是奇函数4、直线x/4+y/3=1与椭圆x2/16+y2/9=1相交于A，B两点，该椭圆上点P，使得ΔPAB⾯积等于3，这样的点P共有（）。
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个5、已知两个实数集合A＝｛a1,a2,…,a100｝与B＝｛b1,b2,…,b50｝，若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100)则这样的映射共有（）。
（A）C50100（B）C4899（C）C49100（D）C49996、由曲线x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4围成的图形绕y轴旋转⼀周所得旋转体的体积为V1；满⾜x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的点（x,y）组成的图形绕y轴旋转⼀周所得旋转体的体积为V2，则（）。
（A）V1=（1/2）V2 (B)V1=（2/3）V2 (C)V1=V2 (D)V1=2V2⼆、填空题（本题满分54分，每⼩题9分）7、已知复数Z1,Z2满⾜∣Z1∣＝2,∣Z2∣＝3,若它们所对应向量的夹⾓为60°,则∣(Z1＋Z2)/(Z1＋Z2)∣=。
8、将⼆项式（√x+1/（24√x））n的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的幂指数是整数的项共有个。