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高数同济第三版D25高阶导数与函数微分PPT课件
解： dy (ex) dxdx
x0
x0
dy (ex) dxedx
x1
x1
14
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4.微分的几何意义
切线纵坐标的增量
dyf(x0) xtanx
当 x 很小时, ydy
y
dy
y f(x)
y
O
x0
x
x0 x
15
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二、 微分运算法则
2
t
dt
9
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二、微分的概念
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
边长由 x 0 变到 x0 x ,问此薄片面积改变了多少?
设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A x 2 , 当 x 在 x 0 取
得增量 x 时, 面积的增量为
A (x0 x)2x0 2
则由它确定的函数 yf(x)可求二阶导数 .
x(t)
利用新的参数方程 dy (t) ,可得 dx (t)
d2 y d x2
d dx
(d d
y x
)
d dt
(
dy dx
)
dd tx ddxt
8
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注意 : 已知
dy dx
(t (t
) )
,
d2y d x2
(t ) (t )
即
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 ,
n 1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 分别记作
y, y ( 4 ) , , y(n)
或
d d
3
x
y
3
,
同济大学(高等数学)_第二章_导数与微分知识分享
3 x) 3x
f (x0 )
3 f ( x0 )
6．
（ 2） lim f ( x0 h) f ( x0 h) lim f ( x0 h) f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 h)
h0
h
h0
h
lim f (x0 h)
h0
h
f (x0)
lim f (x0
h0
h) f (x0) h
2 f ( x0 )
内可导；
（ 2）若函数 y f ( x) 在区间 (a, b) 内可导，在区间左端点 a 的右导数 f (a) 和区间右
端点 b 的左导数 f (b) 均存在，则称 y f (x) 在闭区间 [ a,b] 上可导． 定义 4 若函数 y f ( x) 在区间 I （可以是开区间、闭区间或半开半闭区间）上可导，
x
x x0
x x0
值为 y f ( x) 在点 x0 的 左导数 ，记为 f ( x0 ) ，即
f ( x0 ) lim f ( x0 x0
x)
f (x0)
f (x) lim
f ( x0 ) ．
x
x x0
x x0
（ 2）设函数 y f ( x) 在点 x0 的某右邻域内有定义，当自变量 x 在点 x0 右侧取得增量
v(t0 ) lim v t0
1.1.2 平面曲线的切线斜率问题
s lim t0 t
lim s(t0
t0
t) s(t0) ． t
已知曲线 C : y f ( x) ，求曲线 C 上点 M 0 ( x0 , y0 ) 处的切线斜率．
欲求曲线 C 上点 M 0( x0 , y0) 的切线斜率，由切线为割线的极限位置，容易想到切线的
同济第三版-高数-(2.4) 第四节 高阶导数同济第三版-高数-
用归纳法寻求任意阶导函数表达式 y = ( cos x ) = - sin x ， y = ( cos x ) = ( - sin x ) = - cos x，
y = ( cos x ) = [( cos x )] =(- cos x )= sin x ， y ( 4) = ( cos x )( 4) = [( cos x )]=( sin x ) = cos x ， y ( 5) = ( cos x )( 5) = [( cos x )( 4)]=( cos x ) = - sin x ，
sin x n sin
x
n
2
C. P. U. Math. Dept. ·杨访
三角式的高阶导数往往会呈现出某种循环性，这 使得三角式高阶导数的计算比较繁杂。
由本题结果可方便地求出 sin k ax ,cos l bx 及其线 性式 sin k ax ±cos l bx 的 n 阶导数。
于是对于三角式的n 阶导数的计算常可考虑将其 转化为sin k ax ,cos l bx的线性式进行计算。
x
2
,
y cos x cos x cos x 2 , 2
y cos x sin x cos x 3 , 2
y4 cos x 4 sin x cos x 3 , 2
由此可见，cos x 的 n 阶导数可一般地写成：
cos x n cos
x
n
2
类似地可求得
的导数叫做四阶导数…… . 一般地，n - 1 阶导数的导
数叫做 n 阶导数，即 f ( n)( x )=[ f ( n-1)( x )]. 分别记作
f x , f 4 x , L , f n x 或
d3y dx3
,
y = ( cos x ) = [( cos x )] =(- cos x )= sin x ， y ( 4) = ( cos x )( 4) = [( cos x )]=( sin x ) = cos x ， y ( 5) = ( cos x )( 5) = [( cos x )( 4)]=( cos x ) = - sin x ，
sin x n sin
x
n
2
C. P. U. Math. Dept. ·杨访
三角式的高阶导数往往会呈现出某种循环性，这 使得三角式高阶导数的计算比较繁杂。
由本题结果可方便地求出 sin k ax ,cos l bx 及其线 性式 sin k ax ±cos l bx 的 n 阶导数。
于是对于三角式的n 阶导数的计算常可考虑将其 转化为sin k ax ,cos l bx的线性式进行计算。
x
2
,
y cos x cos x cos x 2 , 2
y cos x sin x cos x 3 , 2
y4 cos x 4 sin x cos x 3 , 2
由此可见，cos x 的 n 阶导数可一般地写成：
cos x n cos
x
n
2
类似地可求得
的导数叫做四阶导数…… . 一般地，n - 1 阶导数的导
数叫做 n 阶导数，即 f ( n)( x )=[ f ( n-1)( x )]. 分别记作
f x , f 4 x , L , f n x 或
d3y dx3
,
高等数学-§2.3 高阶导数
n
其中公式(2)称为莱布尼茨(Leibniz)公式.
高等数学 第2章 导数与微分
2.3 高阶导数
例2.3.7
y sin x cos x
4 4
2 2 2 2
, 求
y
n
.
解 将 y 变形得
y sin x cos x
1 cos 4 x 3 1 1 cos 4 x 4 4 4
2 2x 2 2 x x2 1 x 2x x2
y
y
2 1 x 2 x x 1 x
2
2x x2
2x x
2
2
2 x x 1 x 2x x
2
2 2x 2 2x x
2
高等数学 第2章 导数与微分
x
n
k
k n
高等数学 第2章 导数与微分
2.3 高阶导数
如果函数 u u x 和 v v x 在点 x 处具有 n 阶导数, 那么
u x v x 和 u x v x 在点 x 处也都具有
n 阶导数（ , 是常数）, 且
n
n 1 ! 1 n 1 x
n 1
通常规定 0! 1 , 因此这个公式当 n 1 时也成立.
高等数学 第2章 导数与微分
2.3 高阶导数
例2.3.6
解
求
yx
1
(
是任意常数)的 n 阶导数.
y 1 x 2
,
y x
y sin x cos( x ) sin( x 2 ) 2 2
高等数学高阶导数
第四节
第二章
高阶导数
一、高阶导数的概念 二、几个常用函数的高阶导数 三、高阶导数的运算法则 四、隐函数的二阶导数 五、由参数方程确定的函数的二阶导数
一、高阶导数的概念
引例：变速直线运动 速度 加速度 即 即 v s
a ( s)
定义 如果函数f ( x )的导数f ( x )在点x处可导, 即 f ( x x ) f ( x ) ( f ( x )) lim x 0 x 存在, 则称( f ( x ))为函数f ( x )在点x处的二阶导数.
y (n) a n e ax
特别有: (e x ) ( n ) e x
f (n ) (0) 存在的最高 例6 设 f ( x) 3x x x , 求使
3 2
2 3 4x , x 0 f (x) 3 分析: 2x , x 0 2 x3 0 f (0) lim 0 12 x 2 , x x 0 f (x) 2 4 x3 0 6x , (0) lim f 0 x x 0 6x2 0 又 f (0) lim 24x , x x 0 f (x) 12x , 12 x 2 0 f (0) lim x x 0 但是 f (0) 12 , f (0) 24 , f (0) 不存在 .
若 为自然数 , y xn则 n
y
( n)
( x ) n! ,
n ( n)
y ( n 1) ( n! ) 0.
注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后, 分析结果的 规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明) 1 例2 设 y , 求y ( n) . xa n (1) n! ( n) 1 1 y . 解 ( x a) , n1 xa ( x a) 例3 设 y ln(1 x ), 求y (n) . 1 1 y 解 y 1 x (1 x ) 2 2! 3! (4) y y 3 (1 x ) (1 x ) 4 (n) n 1 ( n 1)! y ( 1) ( n 1, 0! 1) n (1 x )
第二章
高阶导数
一、高阶导数的概念 二、几个常用函数的高阶导数 三、高阶导数的运算法则 四、隐函数的二阶导数 五、由参数方程确定的函数的二阶导数
一、高阶导数的概念
引例：变速直线运动 速度 加速度 即 即 v s
a ( s)
定义 如果函数f ( x )的导数f ( x )在点x处可导, 即 f ( x x ) f ( x ) ( f ( x )) lim x 0 x 存在, 则称( f ( x ))为函数f ( x )在点x处的二阶导数.
y (n) a n e ax
特别有: (e x ) ( n ) e x
f (n ) (0) 存在的最高 例6 设 f ( x) 3x x x , 求使
3 2
2 3 4x , x 0 f (x) 3 分析: 2x , x 0 2 x3 0 f (0) lim 0 12 x 2 , x x 0 f (x) 2 4 x3 0 6x , (0) lim f 0 x x 0 6x2 0 又 f (0) lim 24x , x x 0 f (x) 12x , 12 x 2 0 f (0) lim x x 0 但是 f (0) 12 , f (0) 24 , f (0) 不存在 .
若 为自然数 , y xn则 n
y
( n)
( x ) n! ,
n ( n)
y ( n 1) ( n! ) 0.
注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后, 分析结果的 规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明) 1 例2 设 y , 求y ( n) . xa n (1) n! ( n) 1 1 y . 解 ( x a) , n1 xa ( x a) 例3 设 y ln(1 x ), 求y (n) . 1 1 y 解 y 1 x (1 x ) 2 2! 3! (4) y y 3 (1 x ) (1 x ) 4 (n) n 1 ( n 1)! y ( 1) ( n 1, 0! 1) n (1 x )
大一上学期同济版高数第二章高阶导数
x2 x 1
时代入上式
A 1
时代入上式 B 1 1 1 y x 2 x 1 1 1 (n) n y (1) n ! n 1 n 1 ( x 1) ( x 2)
16
例3
解:
设
求
其中 f 二阶可导.
17
内容小结
高阶导数的求法 (1) 逐阶求导法 (2) 利用归纳法 (3) 间接法 —— 利用已知的高阶导数公式 n! 1 (n) n (1) 如, ax (a x) n 1 n! 1 (n) ax (a x) n 1 (4) 利用莱布尼兹公式
n2时 f
提示:
(n)
( x) n ! [ f ( x)]
n 1
f (x) 2 f ( x) f ( x) 2 ! [ f ( x)]3 f (x) 2 ! 3[ f ( x)]2 f ( x) 3 ! [ f ( x)]4
20
例4. 设
求
1 2 y , 即 (1 x ) y 1 解: 2 1 x 用莱布尼兹公式求 n 阶导数
a 2 b 2 e ax y
a 2 b 2 e a x a 2 b 2 sin(bx 2 )
a b 2 2 n bx a ( n ) ( 2 b sin a x cos b x) b 2 2 2 2 2 2 y (a b ) e sin(bx n ) ( arctan ) a a b a cos sin
2 n
x2
16
,则
f (n ) (2) n !
提示:
2 2
16 x2 n n! ( x 1) cos 16 (2) 已知 f (x) 任意阶可导, 且 f ( x) [ f ( x)]2 , 则当
同济版高等数学第二章导数与微分_3高阶导数课件
阶数 2
分析:
f
(
x)
4x3 2x3
, ,
x0 x0
f
(0)
lim
x 0
2x3 x
0
0
f (0)
lim
x0
4x3 0 x
0
f
(
x)
12x 2 , 6x2,
x0 x0
又
f
(0)
lim
x0
6x2 x
0
f
(0)
lim
x0
的导数为 f (x) 的二阶导数 , 记作 或
即
y ( y)
或
d2 y d x2
d (dy) d x dx
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 ,
n 1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 分别记作
或
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例1. 设
求
解: y a1 2a2 x 3a3x2 nan xn1 y 2 1a2 3 2a3x n(n 1)an xn2
1
x2
B (x 1) 原式
1
x 1
y 1 1
x 2 x 1
y(n)
(1)n
n!
( x
1 2)n1
(x
1
1)
n1
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(4) y sin6 x cos 6 x
解:
sin4 x sin2 x cos 2 x cos 4 x
同济大学第五版高数92962精品
相应地, f ( x)称为零阶导数; f ( x)称为一阶导数.
二、 高阶导数求法举例
1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.
例1 设 y arctan x, 求f (0), f (0).
解
y
1
1 x
2
y
( 1
1 x
2
)
(1
2x x2
)2
y
(
(1
y(n) ( 1)( n 1)xn (n 1)
若 为自然数n,则
y(n) ( xn )(n) n!, y(n1) (n!) 0.
注意:
求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并, 分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)
例3 设 y ln(1 x), 求y(n) .
y
cos( x
)
sin(
x
)
sin(
x
2
)
2
22
2
y
cos(
x
2
2
)
sin(
x
3
) 2
y(n) sin( x n )
2
同理可得 (cos x)(n) cos( x n ) 2
例5 设 y eax sin bx (a, b为常数), 求y(n) . 解 y aeax sin bx beax cos bx
2. 高阶导数的运算法则:
设函数u和v具有n阶导数, 则
(1) (u v)(n) u(n) v (n)
高等数学(第四版) 上、下册(同济大学 天津大学等编) 电子教案-2_5 高阶导数-电子课件
(x 1)(n 1, 2,...).
注 0! 1,因此，这个结果n 1 时也成立.
例5
求函数 f (x)
1 x2 6x 5
(x 1,5)的 n 阶导数.
解
f
(x)
x2
1 6x 5
1 (x 1)(x 5)
1 4
1 x 5
1 x 1
f
( x)
1 4
(x
1 5)2
1 (x 1)2
例如，自由落体的位置函数 s(t) 1 gt2 ，一阶导数 2
v(t) s(t) gt 是瞬时速度， Biblioteka (t) (gt) g 是加速度 .
例 1 设 f (x) x5 4x2 3x, 求 f (x)及 f (1).
解 因为 f (x) 5x4 8x 3, 则 f (x) (5x4 8x 3) 20x3 8
所以 f (1) (20x3 8) |x1 12.
例 2 证明： y exsinx满足关系式 y 2 y 2 y 0.
证明 因为 y exsinx excosx ex (sinx cosx),
y ex sin x cos x ex cos x sin x 2ex sin x
一般地， f (x)的 n-1 阶导数的导数称为 f (x) 的 n 阶导数.
三阶导数的记号是
y,
f
( x),
d3 y dx3
或d3 f dx3
.
n
4时的
n
阶导数
的记号是
y(n) ,
f
(n) (x),
dn y dxn
或dn f dxn
.二阶或二阶以上的导数统
称为高阶导数.
二阶导数有明显的物理意义.变速直线运动的位置函 数s s(t)时，s(t)为瞬时速度v(t)，加速度是速度v(t)的变 化率，等于v(t) ，即位置函数 s(t)的二阶导数 s(t)为变速 直线运动的加速度 a(t ).
同济大学高等数学高阶线性微分方程
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定理 5. 给定 n 阶非齐次线性方程
无关特解, 的通解为
是对应齐次方程的 n 个线性 是非齐次方程的特解, 则非齐次方程
Y (x) y(x)
齐次方程通解 非齐次方程特解
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例3. 设线性无关函数
都是二阶非齐次线
性方程 y P(x) y Q(x) y f (x)的解, C1,C2 是任意 常数, 则该方程的通解是 ( D ).
三、线性非齐次方程解的结构
定理 3. 设 y * (x) 是二阶非齐次方程
①
的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 则
y Y (x) y *(x)
②
是非齐次方程的通解 .
证: 将 y Y (x) y *(x) 代入方程①左端, 得
(Y y *) P(x) (Y y *) Q(x) (Y y *)
d 2uC d t2
2
d uC dt
02uC
0
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例1 例2 方程的共性 — 可归结为同一形式:
y p(x) y q(x) y f (x), 为二阶线性微分方程.
n 阶线性微分方程的一般形式为
y(n) a1(x) y(n1) an1(x) y an (x) y f (x) f (x) 0 时, 称为非齐次方程 ; f (x) 0 时, 称为齐次方程.
性无关特解, 则 y C1y1(x) C2 y2 (x)
数) 是该方程的通解. (自证)
例如, 方程
有特解
且
y2 y1
tan
x
常数, 故方程的通解为
推论.
是 n 阶齐次方程
高等数学高阶导数PPT课件
一、隐函数的导数
定义: 由方程F(x, y) 0所确定的函数称为隐函数.
y f ( x) 形式称为显函数.
F(x, y) 0
y f ( x) 隐函数的显化
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
隐函数求导法则:
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
1
第1页/共29页
例1 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
dx n
dx n
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应地, f ( x)称为零阶导数; f ( x)称为一阶导数.
17
第17页/共29页
2、 高阶导数求法举例
（1）直接法: 由高阶导数的定义逐步求高阶导数.
例6 设 y arctan x, 求f (0), f (0).
解
y
1
1 x
2
y
( 1
1 x
dx
dt
25
第25页/共29页
例11
求由方程
x y
a cos3 a sin3
t t
表示的函数的二阶导数.
dy
解
dy dx
dt dx
3a sin2 t cos t
3a cos2 t( sin t) tan t
dt
d2y dx 2
d (dy ) dx dx
( tan t) (a cos3 t )
sec2 t 3a cos2 t sin t
sec4 t 3a sin t
26
第26页/共29页
随堂练习：
求下列函数y的二阶导数：
(1) y x cos x；
(2) y2 2 xy 1；
(3) x2 y2 xy 1；
定义: 由方程F(x, y) 0所确定的函数称为隐函数.
y f ( x) 形式称为显函数.
F(x, y) 0
y f ( x) 隐函数的显化
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
隐函数求导法则:
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
1
第1页/共29页
例1 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
dx n
dx n
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应地, f ( x)称为零阶导数; f ( x)称为一阶导数.
17
第17页/共29页
2、 高阶导数求法举例
（1）直接法: 由高阶导数的定义逐步求高阶导数.
例6 设 y arctan x, 求f (0), f (0).
解
y
1
1 x
2
y
( 1
1 x
dx
dt
25
第25页/共29页
例11
求由方程
x y
a cos3 a sin3
t t
表示的函数的二阶导数.
dy
解
dy dx
dt dx
3a sin2 t cos t
3a cos2 t( sin t) tan t
dt
d2y dx 2
d (dy ) dx dx
( tan t) (a cos3 t )
sec2 t 3a cos2 t sin t
sec4 t 3a sin t
26
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随堂练习：
求下列函数y的二阶导数：
(1) y x cos x；
(2) y2 2 xy 1；
(3) x2 y2 xy 1；
高数同济六版课件D21导数概念
三角函数
sin(x)、cos(x)、 tan(x)等的导数公式
四则运算求导法则
01
加法法则
[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)
02
03
04
减法法则
[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x)
乘法法则
[f(x)*g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x )
ห้องสมุดไป่ตู้除法法则
[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)f(x)g'(x)]/[g(x)]^2（g(x)≠0）
弹性分析
弹性是经济学中一个重要概念，表示因变量对自变量变化的 敏感程度。通过求导数，可以计算各种弹性系数，如价格弹 性、收入弹性等，进而分析市场供求关系和经济政策效果。
04 高阶导数概念及计算
高阶导数定义及性质
高阶导数定义
函数f的n阶导数记为f^(n)，表示f的 导数f'的n-1阶导数，其中n为正整数。
三角函数
正弦函数sinx和余弦函数cosx的n阶 导数具有周期性，可通过归纳法得到 通项公式。
泰勒公式与麦克劳林公式简介
泰勒公式
泰勒公式是用多项式逼近复杂函数的一种方法，它将函数在某一点附近展开成无穷级数的形式，级数 的每一项都与函数在该点的各阶导数有关。
麦克劳林公式
麦克劳林公式是泰勒公式在x=0处的特例，它将函数展开成幂级数的形式，级数的每一项都与函数在 x=0处的各阶导数有关。麦克劳林公式在求解一些定积分和级数求和等问题时具有重要应用。
注意事项
在求参数方程的导数时，需要注意参数的变化范围以及导数的存在性。
同济高数
具体内容一、函数与极限二、导数与微分三、导数的应用四、不定积分五、定积分及其应用六、空间解析几何七、多元函数的微分学八、多元函数积分学九、常微分方程十、无穷级数导数的概念1.图书信息编辑推荐内容简介目录2.图书信息基本信息内容简介目录3.图书信息基本信息内容简介目录4.图书信息基本信息内容简介目录（下册）5.图书信息基本信息内容简介目录最新版图书信息内容简介图书目录5图书信息内容简介高等数学的特点如何学好高等数学具体内容一、函数与极限二、导数与微分三、导数的应用四、不定积分五、定积分及其应用六、空间解析几何七、多元函数的微分学八、多元函数积分学九、常微分方程十、无穷级数导数的概念1.图书信息编辑推荐内容简介目录2.图书信息基本信息内容简介目录3.图书信息基本信息内容简介目录4.图书信息基本信息内容简介目录（下册）5.图书信息基本信息内容简介目录最新版图书信息内容简介图书目录5图书信息内容简介展开编辑本段高等数学的特点初等数学研究的是常量与匀变量，高等数学研究的是不匀变量。
高等数学（它是几门课程的总称）是理、工科院校一门重要的基础学科。
作为一门科学，高等数学有其固有的特点，这就是高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。
抽象性和计算性是数学最基本、最显著的特点--有了高度抽象和统一，我们才能深入地揭示其本质规律，才能使之得到更广泛的应用。
严密的逻辑性是指在数学理论的归纳和整理中，无论是概念和表述，还是判断和推理，都要运用逻辑的规则，遵循思维的规律。
所以说，数学也是一种思想方法，学习数学的过程就是思维训练的过程。
人类社会的进步，与数学这门科学的广泛应用是分不开的。
尤其是到了现代，电子计算机的出现和普及使得数学的应用领域更加拓宽，现代数学正成为科技发展的强大动力，同时也广泛和深入地渗透到了社会科学领域。
因此，学好高等数学对我们来说相当重要。
编辑本段如何学好高等数学平心而论，高等数学确实是一门比较难的课程。
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