2012全国各地模拟试题文科数学分类汇编4：导数(1)

a 3b 0 a 3, b 1. a 2b 1 0
Байду номын сангаас
（2） f ( x) x3 x 2 2x 1 对任意的 x1 , x2 [1,1], f ( x1 ) k ＜ g ( x2 ) 恒成立
f ( x) max k ＜ g ( x) min ( x [1,1])
1 若函数 f ( x) 的图象与函数 g ( x) 的图象的一个公 f ( x) ax3 bx2 2x 1, g ( x) x 2 x 1 ， 3
共点 P 的横坐标为 1，且两曲线在点 P 处的切线互相垂直。
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（1）求实数 a , b 的值； （2）对任意 x1 , x2 [1,1] ，不等式 f ( x1 ) k ＜ g ( x2 ) 恒成立，求实数 k 的取值范围。
2012 全国各地模拟分类汇编 （文） ： 导数 （1）
【浙江省杭州市西湖高级中学 2012 高三开学模拟文】如图是导函数 y f ( x) 的图像，则 下列命题错误的是
A．导函数 y f ( x) 在 x x1 处有极小值 B．导函数 y f ( x) 在 x x2 处有极大值 C．函数 y f ( x)在x x3 处有极小值 D．函数 y f ( x)在x x4 处有极小值 【答案】C 【浙江省塘栖、瓶窑、余杭中学 2012 届高三上学期联考文】曲线 y x3 在点 P (1,1) 处的切 线方程是 【答案】 y 3x 2 【江西省白鹭洲中学 2012 届高三第二次月考文】 函数 y f '( x) 是函数 y f ( x) 的导函数， 且 函 数 .

1
【答案】 (1)由 f(e)＝2 得 b＝2. (2)由(1)可得 f(x)＝－ax＋2＋axlnx. 从而 f′(x)＝alnx. 因为 a≠0，故： ①当 a>0 时，由 f′(x)>0 得 x>1，由 f′(x)<0 得 0<x<1； ②当 a<0 时，由 f′(x)>0 得 0<x<1，由 f′(x)<0 得 x>1. 综上，当 a>0 时，函数 f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)； 当 a<0 时，函数 f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (3)当 a＝1 时，f(x)＝－x＋2＋xlnx，f′(x)＝lnx. 1 由(2)可得，当 x 在区间 e，e内变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： 1 1，1 x 1 e (1，e) e e f′(x) 0 － ＋ 2 f(x) 2 2－ 单调递减 极小值 1 单调递增 e 1 2 又 2－ <2，所以函数 f(x)(x∈ e，e)的值域为[1,2]． e 【湖北省部分重点中学 2012 届高三起点考试】 （本小题满分 14 分） 设函数 f ( x) ln x x 1 ,（Ⅰ）求 f ( x ) 的单调区间；(Ⅱ)求证： ln x x 1 ；
y f ( x)
在
点
P( x0 , f ( x0 )) x)
）
处
的
切
线
为
l : y
( g )0 x
' f0 (
x ) 0( x
，如果函数 f ( x) 在区间 f( x ) y , F (x )
f
(x
) g
[a , b ]上的图象如图所示，且 a x0 b ，那么（
A． F '( x0 ) 0, x x0 是 F ( x) 的极大值点
ln 22 ln 32 ln n2 2n2 n 1 （Ⅲ）证明： 2 2 2 (n N , n 2) 2 3 n 2(n 1)
【答案】解： （Ⅰ）由已知 x 0, f ( x)
1 1 1 1 ,由 f ( x) 0 ，得 1 0 ， 1 ， x 1 。 x x x
【吉林省长春外国语学校 2012 届高三第一次月考】 抛物线 y x 2 上两点 A(1,1), B(2, 4) 处 的切线交于 M 点，则 MAB 的面积为 【答案】
27 4
）
【 江 西 省 上 饶 县 中 学 2012 届 高 三 上 学 期 第 三 次 半 月 考 】 函 数 f ( x) 的 定 义 域 为
（Ⅰ）研究函数 f 2 ( x) 的单调性并判断 f 2 ( x) 0 的实数解的个数； (Ⅱ)判断 f n ( x) 0 的实数解的个数，并加以证明. 【答案】解： （1） f 2 ( x) 1 x
x 2 x3 1 3 , f 2 ( x) 1 x x 2 ( x ) 2 0 2 3 2 4
R , f (1) 2 ,对任意 x R, f ' ( x) 2 ,则 f ( x) 2 x 4 的解集为（ A. (1,1) B. (1,) C. (,1) D.R
【答案】B
【 四 川 省 江 油 中 学 高 2012 届 高 三 第 一 次 学 月 考 试 】 已 知 函 数 f (x)= 3 x +1 ， 则
a 2 10 x 6 ， x3
其中 3<x<6，a 为常数．已知销售价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克． （1）求 a 的值； （2）若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得 的利润最大． a 【答案】 (1)因为 x＝5 时，y＝11，所以 ＋10＝11，a＝2. 2 2 (2)由(1)可知，该商品每日的销售量：y＝ ＋10(x－6)2. x－3 所以商场每日销售该商品所获得的利润 2 2 f(x)＝(x－3)x－3＋10x－6 ＝2＋10(x－3)(x－6)2 3<x<6. 2 从而 f′(x)＝10[x－6 ＋2x－3x－]6＝30(x－4)(x－6)． 于是，当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (3,4) 4 (4,6) f′(x) 0 ＋ － f(x) 单调递增 极大值 42 单调递减 由上表可得，x＝4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．
2 上的任意 3
一点， P 点处切线倾斜角为 ，则角 的取值范围是 A． C． [
[ 0，
（

2 5 ，) 6
）

2
) [
2 ，) 3
B ． [ 0， ) [ D． ( ，
2
5 ] 6
2 ，) 3
【答案】A 【吉林省长春外国语学校 2012 届高三第一次月考】 已知函数 f ( x) x 3 ax2 (a 6) x 1 有极大值和极小值，则实数 a 的取值范围是（ A． 1 a 2 【答案】C B． 3 a 6 ） D． a 1或a 2 C． a 3或a 6
f (1 x) f (1) 的值为 ( x 0 x 1 1 A． B． 3 3 lim
【答案】A
) C．
2 3
3
D． 0
【四川省江油中学高 2012 届高三第一次学月考试】曲线 y x x 1 在点 1,3 处的切线 方程是 【答案】 4 x y 1 0 【 四 川 省 成 都 外 国 语 学 校 2012 届 高 三 12 月 月 考 】（ 文 科 ） 已 知 函 数
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所以，当 x＝4 时，函数 f(x)取得最大值，且最大值等于 42. 答：当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 【 河 北 省 保 定 二 中 2012 届 高 三 第 三 次 月 考 】 已 知 a ， b 为 常 数 ， 且 a≠0 ， 函 数 f x ax b ax ln x ， f e 2 （ e 2.71828 是自然对数的底数） ． （1）求实数 b 的值； （2）求函数 f x 的单调区间； （文科做） （3）当 a 1 时，求函数 y f x x e , e 的值域。
1 5 而 g ( x) x 2 x 1 ( x ) 2 2 4
当 x [1,1] 时， g ( x) min g (1) 1 故 1 k ＜ 1 k ＜ 2
实数 k 的取值范围是 (,2).
【河北省保定二中 2012 届高三第三次月考】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日 的销售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系式 y
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B． F '( x0 ) = 0, x x0 是 F ( x) 的极小值点 C． F '( x0 ) 0, x x0 不是 F ( x) 极值点 D． F '( x0 ) 0, x x0 是 F ( x) 极值点 【答案】D
3 【吉林省长春外国语学校 2012 届高三第一次月考】设点 P 是曲线 y x 3 x
ln x 1 1 ，当 x 2 时， x x
则
ln n 2 1 ln x 1 1 ， 2 1 2 (n 2且n N ) x x n n
ln 22 ln 32 ln n2 1 1 1 (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) 2 2 2 2 3 n 2 3 n
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(n 1) (
又
1 1 1 2 2 ) 2 2 3 n
1 1 1 1 2 n n(n 1) n n 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 3 n 2 3 3 4 n n 1 2 n 1
f ' ( x) 3x 2 2 x 2 ，则 f ' ( x) ＞0 得
函数 f ( x) 在 [ 1,
1 7 1 7 ＜x＜ 3 3
1 7 1 7 ] 上递减，在 [ ,1] 上递增 3 3
而 f (1) 1, f (1) 1
f ( x) max f (1) 1
1 【答案】 （文科）解： （1） g (1) 1 f (1) a b 1 a 3b 0. 3
又 g ' ( x) 2 x 1 ， g ' (1) 1.
两双曲线在点 P 处的切线互相垂直， f ' (1) 1 。
f ' ( x) ax2 2bx 2, f ' (1) a 2b 2 1
1 1 3 1 2n 2 n 1 左式 n 1 ………………………14 分 n 2 n 1 2 n 1 2(n 1)
【湖北省部分重点中学 2012 届高三起点考试】设函数
f n ( x) 1 x
x 2 x3 x 2 n1 ... , n N 2 3 2 n 1
所以 f 2 ( x) 在 (, ) 单调递减. ………………………4 分
f1 ( x) 1 x 有唯一实数解 x 1 .
由 f 2 (0) 1 0, f 2 (2) 1 2
（， 1 ） 上为减函数，在 为增函数。………………………4 分 f ( x) 在 （ 0,1）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当 x 1 时， f ( x)max 1 1 0 。 对任意 x 0 ，有 f ( x) 0 即 ln x x 1 0 。 即 ln x x 1 ………………………8 分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，