《土木工程力学》1

我们也可以通过结构几何组成分析对静定结构和超静定结构 重新加以认识，无多余约束的几何不变体系组成的结构是静定结
构，这是因为体系的约束刚好限制了体系所有可能运动方式，则
体系的平衡方程数目和约束数目刚好相等，因此未知量均可用平 衡方程解出。有多余约束的几何不变体系则不能用平衡方程全部 解出结构的未知量，是超静定结构，有多少个多余约束就需要多 少个补充方程来求解，多余约束的个数称为超静定结构的超静定
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例3-2 试对图示结构，进行组成分析。 解 通过直接观察可以看到AC刚片Ⅰ、BC刚片Ⅱ和基础由 不共线的三个铰，两两相连，组成三铰结构，形成扩大基础，形 成结构的基本部分。 FG杆和DF杆在扩大基础上组成二元体
HE刚片由铰H和不通过铰H的链杆E和扩大基础相连
整个结构是几何不变体系且无多余约束。 C Ⅰ Ⅱ H A E
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F
D
G
B
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例3-4 试对图示结构，进行组成分析。 解 结构与基础由不共线的一个链 Ⅰ Ⅲ
Ⅱ
杆和一个铰相连，故此铰和链杆对判别 没有影响可拆除。
例3-4 将左右两个三角形分别视为刚片Ⅰ、Ⅱ，
下拉杆视为刚片Ⅲ。
三刚片分别由两根等长平行的链杆相连
则这两根等长平行的链杆组成的虚铰始终在无穷远处，这样
受平面一般力系作用，则共可列出3n个独立的平衡方程。系统中 如所研究的平衡问题未知量大于独立的平衡方程数目，仅用平衡 方程就不可能全部解出未知量，这类问题称为超静定问题，这类 结构称为超静定结构。如未知量均可用平衡方程解出的系统平衡
问题，称为静定问题，这类结构称为静定结构。
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第3节 体系的几何组成与静定性的关系
的三角形是唯一确定的，因此铰接三角形是几何不变体系。 如果在铰接三角形上任意减少一个部分，如将铰接三角形 从维持几何不变的角度来看，有的约束是多余的（如AD或AC ABC中拆开，体系就成了几何可变体系，因此铰接三角形是几何 等链杆），这些约束称为多余约束。因此在几何不变体系中又分
不变体系中最简单的。以上称为铰接三角形规则。 无多余约束几何不变体系和有多余约束几何不变体系。 如果在铰接三角形上再增加一根链杆AD，体系ABCD仍然是
B
C
D
E
F
解 通过直接观察可以看到杆ABC是简支结构，杆ABC由铰A、 杆CDE由铰C、链杆D和扩大基础相连，由二刚片规则，杆 链杆B和基础相连，由二刚片规则，杆ABC和基础组成无多余约束 最后杆EF和链杆F作为二元体，因此整个结构是几何不变体 CDE和扩大基础组成无多余约束的几何不变体系，使基础进一步 的几何不变体系，从而形成扩大基础Ⅰ。 系且无多余约束。此例中杆ABC是结构的基本部分，其它是结构 扩大为Ⅱ。 的附属部分。
刚片Ⅰ、Ⅱ由链杆DE和CF组成的虚铰G相连
G
三虚铰C、B、G在同一直线上，可得出结构是几何瞬变体系。 A E Ⅰ
B
D Ⅱ
C
F
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第3节
体系的几何组成与静定性的关系
所谓体系既物体系统是指由若干个物体通过约束按一定方式 连接而成的系统。当系统平衡时，组成系统的每个物体也必将处
于平衡状态。一般而言，系统由n个物体组成，如每个物体都是
问题，这些刚体通常称为刚片。刚片的形状对组成分析无关紧要， 可组成几何不变体系，且无多余约束。 因此形状复杂的刚片均可以用形状简单的刚片或杆件来代替。 二、两刚片规则 两刚片间用一个铰和一根不通过此铰的链杆相 在铰接三角形中，将一根杆视为刚片，则铰接三角形就变成一 连，可组成几何不变体系，且无多余约束。 个刚片上用两根不共线的链杆在一端铰接成一个结点，这种结构叫 三、三刚片规则 三刚片间用不在同一直线上的三个铰两两相连， 做二元体结构。 可组成几何不变体系，且无多余约束。 A Ⅱ B
组成上述结构，这部分结构通常称为结构体系的基本部分，这
是应该首先观察出来的，那么其它部分称为附属部分，可以通 过应用组成规律对其进行判断。对于较复杂的结构体系，为了 便于分析，可先拆除不影响几何不变性的部分（如二元体）； 对于形状复杂的构件，可用直杆等效替代，使问题简化。
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例3-1 试对图示结构，进行组成分析。 Ⅰ A Ⅱ
结构体系在荷载作用下，不考虑材料的变形时。 形状和位置都不可能变化的结构体系，称为几何不变体系。 形状和位置可能变化的结构体系，称为几何可变体系。
显然，几何可变体系是不能作为工程结构使用的，工程结构
中只能使用几何不变体系。
FP
FP
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铰接三角形是结构中最简单的几何不变体系。
这是因为组成三角形的三条边一但确定，那么这三条边组成
刚片
A
A
Ⅱ
Ⅲ C
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C
B
Ⅰ
C
B
Ⅰ
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两刚片用两根不平行的链杆相连，两链杆的延长线相交于A点，
两刚片可绕A点作微小的相对转动。这种连接方式相当于在A点有一 个铰把两刚片相连。当然，实际上在A点没有铰，所以把A点叫做 “虚铰”。 如在刚片Ⅰ、Ⅱ之间加一根不通过A点的链杆3，就组成几何不
变体系，且无多余约束。
FP
B A C
A'
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第2节
结构组成分析方法
几何不变体系的组成规则是进行结构组成分析的依据。分 析时，一般先从能直接观察出的几何不变部分开始，应用组成
规律，逐步扩大不变部分直至整体。我们在前面学习中遇到的
结构大部分是无多余约束的几何不变的结构体系，如简支结构、 悬臂结构和三铰结构等，很多结构体系中有一部分结构和基础
第3章
平面体系的几何组成分析
第1节 结构组成的几何规则 第2节 结构组成分析方法 第3节 体系的几何组成与静定性的关系
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第3章
平面体系的几何组成分析
杆系结构（简称结构）是由若干杆件用铰结点和
刚结点连接而成的杆件体系，能承担一定范围的任意载 荷，否则在荷载作用下极有可能发生结构失效，这种失 效是由于结构组成不合理造成的，与构件强度、刚度和 稳定性失效不一样，它往往发生比较突然，范围较大，
几何不变体系。
A
A C
B
B D
C
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若将铰接三角形中的杆AB和杆BC均视为刚片，杆AC视为两刚 若将铰接三角形中的三根杆均视为刚片，则有三刚片规则： 对结构体系进行组成分析是不考虑各个构件的变形，因此每个 片间的约束，于是铰接三角形规则可表达为两刚片规则： 构件或每个几何不变体系均可认为是刚体，由于我们研究的是平面 一、二元体规则 一个点与一个刚片用两根不共线的链杆相连，
三个虚铰可认为在同一直线上，也就是说结构发生几何变形后， 三个虚铰仍在同一直线上，因此结构是几何可变体系。
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例3-5 试对图示结构，进行组成分析。 解 三个刚片 三角形EBF和杆DC分别视为刚片Ⅰ、Ⅱ，基础视为第
刚片Ⅰ与基础由链杆AE和B组成的虚铰B相连
例3-5 刚片Ⅱ与基础由链杆AD和C组成的虚铰C相连
次数，求解时必需通过其他的条件，补充相应的方程进行求解。
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A 如两刚片用两根平 行的链杆相连，则虚铰 在两链杆中线的无穷远 1 Ⅰ
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Ⅱ 3
2
的地方。
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两链杆在一条直线上。从约束的布置上就可以看出是不合理 的，因为链杆和链杆都是水平的，因此，对限制A点的水平位移
来说具有多余约束，而在竖向却没有约束，A点可沿竖向移动，
体系是可变的。 当铰A发生微小移动至A'时，两根链杆将不再共线，运动将不 继续发生。这种在某一瞬间可以发生微小位移的体系称为瞬变体 系，有时瞬变体系在受力时会对杆件产生巨大的内力，使构件发 生破坏，因此瞬变体系不能作为结构使用。
在工程中必需避免，这就需要对结构的几何组成进行分
析，以保证结构有足够、合理的约束，防止结构失效。
过多的约束将使结构成为超静定结构，那么超静定结构
相对静定结构有又什么不同的地方，对防止构件失效和 结构失效又有那些有利和不利的方面也将在本章中作简 要的说明。
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§3-1
结构组成的几何规则